Eclats de vers : Matemat 01 : Introduction

Index des Grimoires

Retour à l’accueil

Table des matières

\( \newcommand{\parentheses}[1]{\left(#1\right)} \newcommand{\crochets}[1]{\left[#1\right]} \newcommand{\accolades}[1]{\left\{#1\right\}} \newcommand{\ensemble}[1]{\left\{#1\right\}} \newcommand{\identite}{\mathrm{Id}} \newcommand{\indicatrice}{\boldsymbol{\delta}} \newcommand{\dirac}{\delta} \newcommand{\moinsun}{{-1}} \newcommand{\inverse}{\ddagger} \newcommand{\pinverse}{\dagger} \newcommand{\topologie}{\mathfrak{T}} \newcommand{\ferme}{\mathfrak{F}} \newcommand{\img}{\mathbf{i}} \newcommand{\binome}[2]{ \left\{ \begin{array}{c} #1 \\ #2 \\ \end{array} \right\} } \newcommand{\canonique}{\mathfrak{c}} \newcommand{\tenseuridentite}{\boldsymbol{\mathcal{I}}} \newcommand{\permutation}{\boldsymbol{\epsilon}} \newcommand{\matriceZero}{\mathfrak{0}} \newcommand{\matriceUn}{\mathfrak{1}} \newcommand{\christoffel}[2]{ \left\{ \begin{array}{c} #1 \\ #2 \\ \end{array} \right\} } \newcommand{\lagrangien}{\mathfrak{L}} \newcommand{\sousens}{\mathfrak{P}} \newcommand{\partition}{\mathrm{Partition}} \newcommand{\tribu}{\mathrm{Tribu}} \newcommand{\topologies}{\mathrm{Topo}} \newcommand{\setB}{\mathbb{B}} \newcommand{\setN}{\mathbb{N}} \newcommand{\setZ}{\mathbb{Z}} \newcommand{\setQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\setR}{\mathbb{R}} \newcommand{\setC}{\mathbb{C}} \newcommand{\corps}{\mathbb{K}} \newcommand{\boule}{\mathfrak{B}} \newcommand{\intervalleouvert}[2]{\relax \ ] #1 , #2 [ \ \relax} \newcommand{\intervallesemiouvertgauche}[2]{\relax \ ] #1 , #2 ]} \newcommand{\intervallesemiouvertdroite}[2]{[ #1 , #2 [ \ \relax} \newcommand{\fonction}{\mathbb{F}} \newcommand{\bijection}{\mathrm{Bij}} \newcommand{\polynome}{\mathrm{Poly}} \newcommand{\lineaire}{\mathrm{Lin}} \newcommand{\continue}{\mathrm{Cont}} \newcommand{\homeomorphisme}{\mathrm{Hom}} \newcommand{\etagee}{\mathrm{Etagee}} \newcommand{\lebesgue}{\mathrm{Leb}} \newcommand{\lipschitz}{\mathrm{Lip}} \newcommand{\suitek}{\mathrm{Suite}} \newcommand{\matrice}{\mathbb{M}} \newcommand{\krylov}{\mathrm{Krylov}} \newcommand{\tenseur}{\mathbb{T}} \newcommand{\essentiel}{\mathfrak{E}} \newcommand{\relation}{\mathrm{Rel}} \newcommand{\strictinferieur}{\ < \ } \newcommand{\strictsuperieur}{\ > \ } \newcommand{\ensinferieur}{\eqslantless} \newcommand{\enssuperieur}{\eqslantgtr} \newcommand{\esssuperieur}{\gtrsim} \newcommand{\essinferieur}{\lesssim} \newcommand{\essegal}{\eqsim} \newcommand{\union}{\ \cup \ } \newcommand{\intersection}{\ \cap \ } \newcommand{\opera}{\divideontimes} \newcommand{\autreaddition}{\boxplus} \newcommand{\autremultiplication}{\circledast} \newcommand{\commutateur}[2]{\left[ #1 , #2 \right]} \newcommand{\convolution}{\circledcirc} \newcommand{\correlation}{\ \natural \ } \newcommand{\diventiere}{\div} \newcommand{\modulo}{\bmod} \newcommand{\pgcd}{pgcd} \newcommand{\ppcm}{ppcm} \newcommand{\produitscalaire}[2]{\left\langle #1 \left|\right\relax #2 \right\rangle} \newcommand{\scalaire}[2]{\left\langle #1 \| #2 \right\rangle} \newcommand{\braket}[3]{\left\langle #1 \right| #2 \left| #3 \right\rangle} \newcommand{\orthogonal}{\bot} \newcommand{\forme}[2]{\left\langle #1 , #2 \right\rangle} \newcommand{\biforme}[3]{\left\langle #1 , #2 , #3 \right\rangle} \newcommand{\contraction}[3]{\left\langle #1 \odot #3 \right\rangle_{#2}} \newcommand{\dblecont}[5]{\left\langle #1 \right| #3 \left| #5 \right\rangle_{#2,#4}} \newcommand{\major}{major} \newcommand{\minor}{minor} \newcommand{\maxim}{maxim} \newcommand{\minim}{minim} \newcommand{\argument}{arg} \newcommand{\argmin}{arg\ min} \newcommand{\argmax}{arg\ max} \newcommand{\supessentiel}{ess\ sup} \newcommand{\infessentiel}{ess\ inf} \newcommand{\dual}{\star} \newcommand{\distance}{\mathfrak{dist}} \newcommand{\norme}[1]{\left\| #1 \right\|} \newcommand{\normetrois}[1]{\left|\left\| #1 \right\|\right|} \newcommand{\adh}{adh} \newcommand{\interieur}{int} \newcommand{\frontiere}{\partial} \newcommand{\image}{im} \newcommand{\domaine}{dom} \newcommand{\noyau}{ker} \newcommand{\support}{supp} \newcommand{\signe}{sign} \newcommand{\abs}[1]{\left| #1 \right|} \newcommand{\unsur}[1]{\frac{1}{#1}} \newcommand{\arrondisup}[1]{\lceil #1 \rceil} \newcommand{\arrondiinf}[1]{\lfloor #1 \rfloor} \newcommand{\conjugue}{conj} \newcommand{\conjaccent}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\division}{division} \newcommand{\difference}{\boldsymbol{\Delta}} \newcommand{\differentielle}[2]{\mathfrak{D}^{#1}_{#2}} \newcommand{\OD}[2]{\frac{d #1}{d #2}} \newcommand{\OOD}[2]{\frac{d^2 #1}{d #2^2}} \newcommand{\NOD}[3]{\frac{d^{#3} #1}{d #2^{#3}}} \newcommand{\deriveepartielle}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}} \newcommand{\dblederiveepartielle}[2]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2 \partial #2}} \newcommand{\dfdxdy}[3]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2 \partial #3}} \newcommand{\dfdxdx}[2]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2^2}} \newcommand{\gradient}{\mathbf{\nabla}} \newcommand{\combilin}[1]{\mathrm{span}\{ #1 \}} \newcommand{\trace}{tr} \newcommand{\proba}{\mathbb{P}} \newcommand{\probaof}[1]{\mathbb{P}\left[#1\right]} \newcommand{\esperof}[1]{\mathbb{E}\left[#1\right]} \newcommand{\cov}[2]{\mathrm{cov} \left( #1 , #2 \right) } \newcommand{\var}[1]{\mathrm{var} \left( #1 \right) } \newcommand{\rand}{\mathrm{rand}} \newcommand{\variation}[1]{\left\langle #1 \right\rangle} \newcommand{\composante}{comp} \newcommand{\bloc}{bloc} \newcommand{\ligne}{ligne} \newcommand{\colonne}{colonne} \newcommand{\diagonale}{diag} \newcommand{\matelementaire}{\mathrm{Elem}} \newcommand{\matpermutation}{permut} \newcommand{\matunitaire}{\mathrm{Unitaire}} \newcommand{\gaussjordan}{\mathrm{GaussJordan}} \newcommand{\householder}{\mathrm{Householder}} \newcommand{\rang}{rang} \newcommand{\schur}{\mathrm{Schur}} \newcommand{\singuliere}{\mathrm{DVS}} \newcommand{\convexe}{\mathrm{Convexe}} \newcommand{\petito}[1]{o\left(#1\right)} \newcommand{\grando}[1]{O\left(#1\right)} \)

1 Introduction

Tant d’ouvrages traitent abondemment et rigoureusement des domaines les plus divers que couvrent les mathématiques ! L’objectif de ce livre n’est pas d’en ajouter un de plus au bas d’une longue liste, mais d’adopter une approche différente.

Je l’ai voulu comme une introduction rapide et intuitive aux notions les plus diverses que l’on rencontre dans ce monde merveilleux et fascinant. À ce titre, les démonstrations que vous rencontrerez au fil de ces pages pourraient faire frémir plus d’un puriste : il s’agit ici, non pas de « prouver » au sens strict du terme, mais de montrer comment les différents concepts s’agencent entre-eux. Il s’agit avant tout de faire acquérir au lecteur une intuition mathématique que j’estime au moins aussi indispensable à l’apprentissage que la rigueur logique. Car enfin, de quoi sert la rigueur à quelqu’un qui ne « voit » pas où on veut en venir ?

Cet ouvrage est également conçu pour qu’un débutant puisse le lire aussi agréablement qu’un mathématicien confirmé. Il existe donc deux méthodes possibles pour parcourir cet ouvrage :

  • Les premiers chapitres définissent les notions fondamentales. L’édifice s’éleve ensuite patiemment vers des notions plus avancées. Le lecteur pourra donc entamer ce livre où il le souhaite, en fonction de ses connaissances. Qu’il n’hésite tout de même pas à jeter un oeil sur les notions qui lui semblent élémentaires : il sera parfois surpris par la complexité ou l’élégance de leur construction.
  • Afin de guider le lecteur qui voudrait accéder directement au domaine de son choix, une liste des « dépendances » est placée au début de chaque chapitre. Il s’agit en fait d’une liste d’autres chapitres, prérequis conseillés pour une compréhension optimale du chapitre choisi. Ces prérequis ne sont bien entendu pas à prendre au pied de la lettre. Il est même plutôt recommandé de commencer à lire, et de n’utiliser les dépendances que si la compréhension pose problème. N’oubliez pas non plus que ces dépendances sont récursives, à vous de reconstruire l’arbre jusqu’à la racine si besoin est.

1.1 Portée des notations

Les notations sont valables jusqu’à leur redéfinition au sein d’un autre concept. Le plus souvent, elles s’étendent sur une section, parfois pendant un chapitre entier. Certaines notations, les plus importantes, sont valables tout au long de l’ouvrage.

1.2 Abstraction

La première étape de l’abstraction consiste à repérer les propriétés fondamentales communes à plusieurs types différents d’objets mathématiques. Ensuite, on crée une nouvelle structure en imposant qu’elle vérifie ces propriétés. Tous les résultats qui s’en déduiront auront alors un champ d’application plus large que dans les applications de départ.

1.3 Récurrence

Supposons que nous ayons à prouver que \(A_n\) est vraie pour tout entier \(n \in \mathbb{N}\) tel que \(n \ge p\). Si nous prouvons que \(A_p\) est vrai et que la véracité de \(A_n\) implique celle de \(A_{n+1}\), la démonstration est finie. En effet, on a alors :

\begin{equation} A_p \Rightarrow A_{p+1} \Rightarrow A_{p+2} \Rightarrow ... \Rightarrow A_n \end{equation}

pour tout \(n \ge p\) arbitraire.

2 Notations

\(=\) Égalité entre deux objets
\(\ne\) Différence
\(\in\) Appartenance à un ensemble
\(\notin\) Non-appartenance à un ensemble
\(\equiv\) Équivalence
\(\Rightarrow\) La condition de gauche implique celle de droite
\(\Leftarrow\) La condition de droite implique celle de gauche
\(\Leftrightarrow\) Les deux conditions s’impliquent mutuellement
\(:\) Tel que
\(\exists\) Il existe
\(\forall\) Pour tout
\(\subseteq\) Inclusion
\(\subset\) Inclusion stricte
\(\cup\) Union d’ensembles
\(\cap\) Intersection d’ensembles
\(\sousens\) Ensemble des sous-ensembles
\(\partition\) Ensemble des partitions
\(\tribu\) Ensemble des tribus
\(\relation\) Relation
\(\le\) Ordre large
\(<\) Ordre strict
\(\ensinferieur\) Comparaison entre ensembles
major Ensemble des majorants
minor Ensemble des minorants
\(\max\) Maximum
\(\min\) Minimum
\(\sup\) Supremum
\(\inf\) Infimum
\(\arg\) Argument
\(\distance\) Distance
adh Adhérence
int Intérieur
\(\frontiere\) Frontière
\(\boule\) Boule
\(\fonction\) Fonction
\(\setB\) Ensemble de Boole
\(\setN\) Ensemble des naturels
\(\setZ\) Ensemble des entiers
\(\setQ\) Ensemble des rationnels
\(\setR\) Ensemble des réels
\(\setC\) Ensemble des complexes
\(\corps\) Corps quelconque

Auteur: chimay

Created: 2019-10-01 mar 12:33

Validate