Eclats de vers : Matemat 01 : Ensembles - 1
Table des matières
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1. Ensembles
\label{chap:ensembles}
1.1. Dépendances
Vous êtes à la racine.
1.2. Définition explicite
Les ensembles sont des regroupements d'objets appelés éléments.
Il existe deux méthodes permettant de définir un ensemble. Lorsqu'il n'existe qu'un nombre fini d'éléments distincts, on peut les énumérer :
\[A = \{ a, b, c, ..., z \}\]
On dit alors que \(x\) appartient à \(A\), et on le note :
\[x \in A\]
si \(x\) fait partie de la liste \(a, b, c, ..., z\). Dans le cas contraire, \(x\) n'appartient pas à \(A\), ce que l'on note par :
\[x \notin A\]
1.3. Définition implicite
On peut aussi définir un ensemble en demandant que ses éléments respectent certaines conditions. On dit alors que \(x \in A\) si \(x\) vérifie toutes les conditions nécessaires pour appartenir à l'ensemble \(A\) ou que \(x \notin A\) si au moins une des conditions n'est pas remplie. Le schéma de ce type de définition s'écrit :
\[A = \{ x : \text{ une ou plusieurs conditions sur } x \}\]
Dans ce cas, le nombre d'éléments de l'ensemble peut être fini ou infini.
1.3.1. Variante
On ajoute souvent une condition sur les éléments de l'ensemble :
\[A = \{ x \in \Omega : \text{ conditions sur } x \}\]
Dans ce cas, tout candidat \(x\) doit en plus appartenir à l'ensemble \(\Omega\) s'il veut appartenir à l'ensemble \(A\). Cette définition est donc équivalente à :
\[A = \{ x : x \in \Omega, \text{ conditions sur } x \}\]
1.4. Notations
Le symbole \(\exists\) signifie « il existe » et le symbole \(\forall\) signifie « pour tout »
1.5. Ensemble vide
L'ensemble vide \(\emptyset = \{\}\) est un cas particulier ne contenant aucun élément :
\[x \notin \emptyset\]
quelle que soit la nature de \(x\).
1.6. Naturels
L'ensemble des nombres naturels se construit à partir d'un élément « racine » \(0\), auquel on ajoute indéfiniment des successeurs. Le successeur de \(0\) est noté \(0^+\) ou \(1\). On dit aussi que \(0\) est le prédécesseur de \(1\) et on le note \(1^- = 0\). Arrivé à l'élément \(i\), on ajoute le successeur de \(i\), noté :
\[j = i^+\]
On dit aussi que \(i\) est le prédécesseur de \(j\) et on le note :
\[i = j^-\]
On a donc :
\[i^{+-} = j^- = i\]
et :
\[j^{-+} = i^+ = j\]
L'ensemble des objets ainsi crée est appelé l'ensemble des nombres naturels et noté \(\setN\). En l'exprimant au moyen des symboles usuels, on a dans l'ordre de succession :
\[\setN = \{ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,... \}\]
1.6.1. Notation
On note aussi :
\[i + 1 = i^+\]
et :
\[i - 1 = i^-\]
1.6.2. Element racine
L'élément \(0\) est le seul naturel à de pas posséder de prédécesseur. On l'appelle pour cette raison l'élément racine de \(\setN\).
On dit aussi qu'un élément \(n\) est nul pour signifier que \(n = 0\).
1.6.3. Ensemble discret ou dénombrable
Tout ensemble de la forme :
\[A = \{ a_k : k \in \setN \}\]
est dit discret ou dénombrable.
1.7. Inclusion
On dit que \(A\) est inclus dans \(B\) et on note :
\[A \subseteq B\]
si tous les éléments de \(A\) appartiennent aussi à \(B\) :
\[x \in A \ \Rightarrow \ x \in B\]
On dit alors que \(A\) est un sous-ensemble, ou une partie de \(B\).
1.7.1. Stricte
Il y a inclusion stricte :
\[A \subset B\]
lorsque $A \subseteq B $ et que les deux ensembles ne sont pas égaux, ce que l'on note par :
\[A \ne B\]
1.8. Egalité
Deux ensembles \(A\) et \(B\) sont dit égaux et on le note :
\[A = B\]
si tout élément de \(A\) appartient aussi à \(B\) et si tout élément de \(B\) appartient aussi à \(A\) :
\[x \in A \ \Leftrightarrow \ x \in B\]
ce qui revient à dire que l'on a inclusion mutuelle de \(A\) et \(B\) :
\[A = B \ \Leftrightarrow \ A \subseteq B \text{ et } B \subseteq A\]
1.8.1. Remarque
Dans le cadre des ensembles, on ne se soucie pas de l'ordre :
\[\{a,b\} = \{b,a\}\]
ni du nombre d'apparitions d'un élément :
\[\{a,a,b\} = \{a,b\}\]
1.9. Union
L'union de deux ensembles \(A \cup B\) est l'ensemble contenant les éléments de \(A\) et les éléments de \(B\). Un élément quelconque de \(A \cup B\) peut donc appartenir à \(A\), à \(B\) ou aux deux ensembles simultanément :
\[A \cup B = \{ x : x \in A \text{ ou/et } x \in B \}\]
1.9.1. Jargon
Le « ou » mathématique est non exclusif. La proposition \(a\) ou \(b\) signifie que soit \(a\), soit \(b\), soit (\(a\) et \(b\)) est vérifié.
1.10. Intersection
L'intersection \(A \cap B\) est l'ensemble des éléments qui appartiennent à la fois à \(A\) et à \(B\) :
\[A \cap B = \{ x : x \in A \text{ et } x \in B \}\]
1.10.1. Nomenclature
Lorsque l'intersection de deux ensembles est vide, on dit qu'ils sont disjoints.
1.11. Association
Soit les ensembles \(A,B,C\). On définit :
\[A \cup B \cup C = A \cup (B \cup C)\]
Comme les éléments de \(A \cup B \cup C\) sont les éléments qui appartiennent à au moins un des ensembles \(A,B,C\), on voit que :
\[A \cup B \cup C = (A \cup B) \cup C\]
On en conclut que :
\[A \cup B \cup C = A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C\]
On définit aussi :
\[A \cap B \cap C = A \cap (B \cap C)\]
Comme les éléments de \(A \cap B \cap C\) sont les éléments qui appartiennent simultanément à \(A,B,C\), on voit que :
\[A \cap B \cap C = (A \cap B) \cap C\]
On en conclut que :
\[A \cap B \cap C = A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C\]
1.12. Commutation
On a clairement :
\( A \cup B = B \cup A \\ A \cap B = B \cap A \)
1.13. Distribution
Soit les ensembles \(A,B,C\). Lorsque \(x\) appartient à la fois à \(A\) et à au moins un des deux ensembles \(B\) et \(C\), on sait que \(x\) appartient à \(A\) et \(B\) ou qu'il appartient à \(A\) et \(C\), et inversément. On a donc :
\[A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)\]
On dit que l'intersection se distribue sur l'union. On a également la relation :
\[A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)\]
On dit que l'union se distribue sur l'intersection.
1.14. Différence
La différence \(A \setminus B\) est l'ensemble des éléments qui appartiennent à \(A\) mais pas à \(B\) :
\[A \setminus B = \{ x : x \in A \text{ et } x \notin B \}\]
1.15. Décomposition
Soit les ensembles \(A,B\). Les éléments de \(A\) sont de deux types :
- ceux qui appartiennent également à \(B\)
- ceux qui n'appartiennent pas à \(B\)
On en conclut que :
\[A = (A \cap B) \cup (A \setminus B)\]
On voit que les deux sous-ensembles de \(A\) sont disjoints :
\[(A \cap B) \cap (A \setminus B) = \emptyset\]
1.15.1. Union
Les éléments de \(A \cup B\) sont de deux types :
- ceux qui appartiennent seulement à \(A\)
- ceux qui appartiennent à \(B\)
On en conclut que :
\[A \cup B = (A \setminus B) \cup B\]
On voit que les deux sous-ensembles de \(A \cup B\) sont disjoints :
\[(A \setminus B) \cap B = \emptyset\]
1.16. Complémentaire
Si \(A \subseteq \Omega\), on dit que \(C = \Omega \setminus A\) est le complémentaire de \(A\) dans \(\Omega\), ou simplement que \(C\) est le complémentaire de \(A\) lorsque l'ensemble \(\Omega\) est évident d'après le contexte.
1.16.1. Complémentaire du complémentaire
Soit \(A \subseteq \Omega\). Un élément de \(\Omega\) qui n'appartient pas à \(\Omega \setminus A\) appartient à \(A\), et réciproquement. On a donc :
\[\Omega \setminus (\Omega \setminus A) = A\]
1.16.2. Réciprocité
Soit \(A \subseteq \Omega\) et son complémentaire :
\[B = \Omega \setminus A\]
En prenant le complémentaire de cette équation, on obtient :
\[\Omega \setminus B = \Omega \setminus (\Omega \setminus A) = A\]
Soit à présent \(B \subseteq \Omega\) et son complémentaire :
\[A = \Omega \setminus B\]
En prenant le complémentaire de cette équation, on obtient :
\[\Omega \setminus A = \Omega \setminus (\Omega \setminus B) = B\]
On en conclut l'équivalence :
\[A = \Omega \setminus B \ \Leftrightarrow \ B = \Omega \setminus A\]
1.16.3. Complémentaire d'une union
Soit un ensemble \(\Omega\) et les sous-ensembles \(A,B \subseteq \Omega\). Un élément de \(\Omega\) qui n'appartient pas à \(A \cup B\) n'appartient ni à \(A\) ni à \(B\). Il appartient donc à \(\Omega \setminus A\) et à \(\Omega \setminus B\). Inversément, un élément qui appartient à \(\Omega \setminus A\) et à \(\Omega \setminus B\) n'appartient ni à \(A\) ni à \(B\). On a donc :
\[\Omega \setminus (A \cup B) = (\Omega \setminus A) \cap (\Omega \setminus B)\]
Le complémentaire d'une union est l'intersection des complémentaires.
1.16.4. Complémentaire d'une intersection
Soit \(A,B \in \Omega\). Posons :
\( C = \Omega \setminus A \subseteq \Omega \\ D = \Omega \setminus B \subseteq \Omega \)
L'expression du complémentaire de \(A \cup B\) devient :
\[\Omega \setminus \big[(\Omega \setminus C) \cup (\Omega \setminus D)\big] = C \cap D\]
En prenant le complémentaire des deux membres par rapport à \(\Omega\), on obtient :
\[(\Omega \setminus C) \cup (\Omega \setminus D) = \Omega \setminus (C \cap D)\]
Le complémentaire d'une intersection est l'union des complémentaires.
2. Collections
\label{chap:collections}
2.1. Dépendances
- Chapitre \ref{chap:ensembles} : Les ensembles
2.2. Définition
Une collection est un ensemble d'ensembles, c'est-à-dire un ensemble dont les éléments sont également des ensembles.
2.3. L'ensemble des sous-ensembles
Une collection particulièrement importante est l'ensemble des sous-ensembles d'un ensemble donné \(A\). On le note :
\[\sousens(A) = \{ S : S \subseteq A \}\]
{\em Remarque :} la notation \(\sousens\) est une notation globale, vous la retrouver dans d'autres chapitres.
2.4. Union
Soit un ensemble \(\Omega\) et une collection d'ensembles \(\mathcal{C} \subseteq \sousens(\Omega)\). On définit l'union des ensembles-éléments de \(\mathcal{C}\) par :
\[\bigcup \mathcal{C} = \{ a \in \Omega : \text{ il existe } A \in \mathcal{C} \text{ tel que } a \in A \}\]
Il s'agit donc de l'ensemble dont chaque élément appartient à au moins un des ensembles-éléments de \(\mathcal{C}\).
2.5. Intersection
Soit un ensemble \(\Omega\) et une collection d'ensembles \(\mathcal{C} \subseteq \sousens(\Omega)\). On définit l'intersection des ensembles-éléments de \(\mathcal{C}\) par :
\[\bigcap \mathcal{C} = \{ a \in \Omega : a \in A \text{ pour tout } A \in \mathcal{C} \}\]
Il s'agit donc de l'ensemble dont chaque élément appartient à tous les ensembles-éléments de \(\mathcal{C}\).
2.6. Collection paramétrée
Soit un ensemble \(X\) et la collection :
\[\mathcal{C} = \{ A(x) \in \sousens(\Omega) : x \in X \}\]
On appelle ce type de collection une collection paramétrée. L'ensemble \(X\) est appelé ensemble de paramètres.
2.6.1. Union
L'union de tous ces ensembles est l'ensemble dont les éléments appartiennent à au moins un des \(A(x)\), pour un certain \(x \in X\) :
\[\bigcup_{x \in X} A(x) = \{ a \in \Omega : \text{ il existe } x \in X \text{ tel que } a \in A \}\]
L'intersection est l'ensemble des éléments appartenant à tous les \(A(x)\), pour tout les \(x \in X\) :
\[\bigcap_{x \in X} A(x) = \{ a \in \Omega : a \in A(x) \text{ pour tout } x \in X \}\]
2.7. Collections discrètes
Soit $A1,A2,A3,…$ une collection finie ou infinie d'ensembles. L'union de tous ces ensembles se note :
\[\bigcup_i A_i = A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup ...\]
L'ensemble des éléments qui sont communs à tous ces ensembles se note :
\[\bigcap_i A_i = A_1 \cap A_2 \cap A_3 \cap ...\]
2.7.1. Finie
Dans le cas où la collection est finie, par exemple \(A_1,A_2,...,A_n\), on note simplement :
\[\bigcup_{i = 1}^n A_i = A_1 \cup A_2 \cup ... \cup A_n\]
ainsi que :
\[\bigcap_{i = 1}^n A_i = A_1 \cap A_2 \cap ... \cap A_n\]
2.7.2. Infinie
Dans le cas où la collection est infinie, on note simplement :
\[\bigcup_{i = 1}^{+\infty} A_i = A_1 \cup A_2 \cup ...\]
ainsi que :
\[\bigcap_{i = 1}^{+\infty} A_i = A_1 \cap A_2 \cap ...\]
2.8. Distributivité
On a :
\[A \cap \bigcup_{x \in X} B(x) = \bigcup_{x \in X} \big[A \cap B(x)\big]\]
et :
\[A \cup \bigcap_{x \in X} B(x) = \bigcap_{x \in X} \big[A \cup B(x)\big]\]
Les collections discrètes en sont un cas particulier :
\( A \cap \bigcup_i B_i = \bigcup_i \big[A \cap B_i\big] \\ \\ A \cup \bigcap_i B_i = \bigcap_i \big[A \cup B_i\big] \)
2.9. Complémentaire
Soit une collection \(\{ A(x) : x \in X \} \subseteq \sousens(\Omega)\) de sous-ensembles de \(\Omega\). On a :
\[\Omega \setminus \bigcup_{x \in X} A(x) = \bigcap_{x \in X} \big[\Omega \setminus A(x)\big]\]
et :
\[\Omega \setminus \bigcap_{x \in X} A(x) = \bigcup_{x \in X} \big[\Omega \setminus A(x)\big]\]
Les collections discrètes en sont un cas particulier :
\( \Omega \setminus \bigcup_i A_i = \bigcap_i \big[\Omega \setminus A_i\big] \\ \\ \Omega \setminus \bigcap_i A_i = \bigcup_i \big[\Omega \setminus A_i\big] \)
3. Partitions
\label{chap:partitions}
3.1. Dépendances
- Chapitre \ref{chap:collections} : Les collections
3.2. Définition
Une partition, ou découpage, d'un ensemble \(A\) est une collection de sous-ensembles de \(A\) :
\[\mathcal{P} = \{ P(x) \in \sousens(A) : x \in X \}\]
vérifiant certaines propriétés : les ensembles de \(\mathcal{P}\) doivent permettre de reconstituer \(A\) par leur union :
\[A = \bigcup_{x \in X} P(x)\]
et ne doivent pas se chevaucher. Leur intersection est donc vide dès que \(x,y \in X\) vérifient \(x \ne y\) :
\[P(x) \cap P(y) = \emptyset\]
On note \(\partition(A)\) l'ensemble des collections formant une partition de \(A\).
3.3. Discrètes
Pour qu'une collection \(\{A_1,A_2,...\}\) de sous-ensembles de \(A\) forme une partition de \(A\), il faut que :
\[A = \bigcup_i A_i\]
et que :
\[A_i \cap A_j = \emptyset\]
pour tout \(i \ne j\).
4. Produit cartésien
\label{chap:produitCartesien}
4.1. Dépendances
- Chapitre \ref{chap:ensembles} : Les ensembles
4.2. Définition
Le produit cartésien \(\times\) de deux ensembles \(A\) et \(B\) permet de construire des ensembles contenant des couples d'éléments \((x,y)\) :
\[A \times B = \{ (x,y) : x \in A \ \text{ et } \ y \in B \}\]
Les éléments \(x\) et \(y\) sont appelée composantes du couple \((x,y)\).
4.3. Tuple
On généralise aux tuples \((x_1,x_2,...,x_n)\) formés d'éléments des ensembles \(A_1, A_2, ..., A_n\) par :
\[A_1 \times A_2 \times ... \times A_n = \{ (x_1,x_2,...,x_n) : x_1 \in A_1, x_2 \in A_2, ..., x_n \in A_n \}\]
Les éléments \(x_1,x_2,...,x_n\) sont appelés composantes du tuple \((x_1,x_2,...,x_n)\)
4.4. Égalité
On dit que les deux tuples :
\[x = (x_1,x_2,...,x_n) \in A_1 \times A_2 \times ... \times A_n\]
et :
\[y = (y_1,y_2,...,y_n) \in A_1 \times A_2 \times ... \times A_n\]
sont égaux et on le note :
\[(x_1,x_2,...,x_n) = (y_1,y_2,...,y_n)\]
ou plus simplement :
\[x = y\]
si et seulement si toutes leurs composantes sont identiques :
\[x_i = y_i\]
pour tout \(i \in \{1,2,...,n\}\).
4.4.1. Remarque
Dans le cadre des tuples, l'ordre compte :
\[(a,b) \ne (b,a)\]
ainsi que le nombre d'apparitions d'un élément :
\[(a,a,b) \ne (a,b)\]
4.5. Puissance
On note \(A^n\) l'ensemble des tuples composés de \(n\) éléments de \(A\) :
\[A^n = \{ (x_1,x_2,...,x_n) : x_1,x_2,...,x_n \in A \}\]
Un exemple courant :
\[A^2 = A \times A\]