Eclats de vers : Matemat 01 : Ensembles - 2

• Chapitre \ref{chap:ensembles} : Les ensembles
• Chapitre \ref{chap:produitCartesien} : Produit cartésien

Une relation \(R\) est un ensemble de couples \((x,y) \in A \times B\) reliant des éléments de \(A\) à des élements de \(B\). On note \(\relation(A,B)\) l'ensemble des relations sur \(A,B\) :

\[\relation(A,B) = \{ R : R \subseteq A \times B \}\]

On dit que \(x \in A\) est en relation \(R\) avec \(y \in B\) si \((x,y) \in R\). On le note aussi :

\[x \ R \ y\]

A toute relation \(R\), on associe une relation inverse \(R^{-1}\) en intervertissant \(x\) et \(y\) :

\[R^{-1} = \{ (y,x) \in B \times A : (x,y) \in R \}\]

La relation identité \(\identite \subseteq X \times X\) est définie par :

\[\identite = \{ (x,x) : x \in X \}\]

Elle vérifie la propriété :

\[\identite^{-1} = \identite\]

L'image de \(x \in A\) par \(R\) est l'ensemble des éléments de \(B\) en relation avec \(x\) :

\[R(x) = \{ y \in B : (x,y) \in R \}\]

On généralise la notion d'image aux sous-ensembles \(X \subseteq A\) :

\[R(X) = \{ y \in B : x \in X, \ (x,y) \in R \}\]

L'image inverse de \(y \in B\) est l'ensemble des éléments de \(A\) en relation avec \(y\) :

\[R^{-1}(y) = \{ x \in A : (x,y) \in R \}\]

On généralise la notion d'image inverse aux sous-ensembles \(Y \subseteq B\) :

\[R^{-1}(Y) = \{ x \in A : y \in Y, \ (x,y) \in R \}\]

Lorsqu'on ne précise pas l'ensemble, l'image de \(R\) est simplement l'image de \(A\) :

\[\image R = R(A)\]

Le domaine de \(R\) est un cas particulier d'image inverse :

\[\domaine R = R^{-1}(B) = \{ x \in A : y \in B, \ (x,y) \in R \}\]

A partir d'une relation \(R\) reliant \(A\) à \(B\) et d'une relation \(S\) reliant \(B\) à \(C\), on peut construire une relation composée \(S \circ R\) (lire \(S\) après \(R\)) reliant \(A\) a \(C\). Pour que le couple \((x,z)\) appartienne à \(S \circ R\), on doit pouvoir trouver un élément intermédiaire \(y \in B\) tel que \((x,y) \in R\) et \((y,z)\in S\). Ce \(y\) doit donc appartenir simultanément à \(R(x)\) et à \(S^{-1}(z)\). On a par conséquent :

\[S \circ R = \{ (x,z) \in A \times C : R(x) \cap S^{-1}(z) \ne \emptyset \}\]

ou encore :

\[S \circ R = \{ (x,z) \in A \times C : \exists y \in B : (x,y) \in R, \ (y,z) \in S \}\]

Soit une relation \(R \in \relation(A,A)\). On définit la puissance par :

\begin{align} R^0 &= \identite \\ R^n &= R \circ R^{n-1} \end{align}

On a donc en particulier \(R^1 = R\) et :

\[R^n = R \circ ... \circ R\]

• Chapitre \ref{chap:ensembles} : Les ensembles
• Chapitre \ref{chap:relations} : Les relations

Une fonction \(f\) de \(A\) vers \(B\) associe à chaque \(x \in A\) un unique élément \(f(x) \in B\). On note \(\fonction(A,B)\) l'ensemble des fonctions \(f\) de \(A\) vers \(B\). On utilise aussi la notation :

\[f : A \mapsto B\]

pour préciser que \(f \in \fonction(A,B)\) et :

\[f : x \mapsto f(x)\]

pour préciser que \(f\) associe \(x \in A\) à \(f(x) \in B\). On dit que \(f(x)\) est la valeur de \(f\) en \(x\).

Dans le cas particulier où \(f \in \fonction( \{ 1,2,...,N \} , B )\), on peut associer à \(f\) un nombre \((f_1,f_2,...,f_N) \in B^N\) par :

\[f_i = f(i)\]

pour tout \(i \in \{ 1,2,...,N \}\). Inversément, à tout \((f_1,f_2,...,f_N) \in B^N\), on associe une fonction \(f : \{ 1,2,...,N \} \mapsto B\) par :

\[f(i) = f_i\]

On voit donc l'équivalence :

\[\fonction( \{ 1,2,...,N \} , B ) \equiv B^N\]

On peut associer à toute fonction \(f : A \mapsto B\) une relation \(R \in \relation(A,B)\) définie par :

\[R = \{ (x,f(x)) : x \in A \}\]

On a clairement :

\[R(x) = \{ f(x) \}\]

Soit \(f : A \mapsto B\) associée à la relation \(R \in \relation(A,B)\). La relation inverse \(R^{-1} \in \relation(B,A)\) est définie par :

\[R^{-1} = \{ (f(x),x) \in B \times A : x \in A \}\]

La fonction identité \(\identite : A \mapsto A\) est définie par :

\[\identite : x \mapsto \identite(x) = x\]

Soit \(f : A \mapsto B\). L'image d'un sous-ensemble \(X \subseteq A\) par \(f\) est l'ensemble des valeurs que prend \(f\) en tous les éléments de \(X\) :

\[f(X) = \{ f(x) : x \in X \}\]

Soit \(f : A \mapsto B\). L'image de \(f\) est l'ensemble des valeurs que prend \(f\) en tous les éléments de \(A\) :

\[\image f = f(A) = \{ f(x) : x \in A \}\]

Soit \(f : A \mapsto B\). Pour tout \(y \in B\), l'image inverse est l'ensemble défini par :

\[f^{-1}(y) = \{ x \in A : f(x) = y \}\]

L'image inverse d'un ensemble \(Y \subseteq B\) est définie par :

\[f^{-1}(Y) = \{ x \in A : f(x) \in Y \}\]

Soit un ensemble \(A \subseteq \Omega\) et une fonction \(f : A \mapsto B\). Le domaine de \(f\) est l'ensemble des éléments de \(x \in \Omega\) tels que \(f(x) \in B\) existe. Autrement dit :

\[\domaine f = A\]

Soit les fonctions \(f : A \mapsto B\) et \(g : B \mapsto C\).

Supposons que les grandeurs \(x \in A\), \(y \in B\) et \(z \in C\) soient reliées par les égalités \(y = f(x)\) et \(z = g(y)\). On a a alors \(z = g\left(f(x)\right)\). On définit une nouvelle fonction \(g \circ f : A \mapsto C\) associée à ce résultat par :

\[g \circ f : x \mapsto (g \circ f)(x) = g\left(f(x)\right)\]

On nomme \(g \circ f\) la composée de \(f\) et \(g\). On note aussi :

\[g \circ f(x) = (g \circ f)(x)\]

Soit une fonction \(f : A \mapsto A\). La « puissance » d'une fonction est définie au moyen de la composée \(\circ\) par :

\begin{align} f^0 &= \identite \\ f^n &= f \circ f^{n-1} \end{align}

pour tout \(n \in \setN\). On a donc en particulier \(f^1 = f\) et :

\[f^n = f \circ ... \circ f\]

On associe souvent à tout élément \(c \in B\) une fonction constante \(\hat{c} : A \mapsto B\) définie par :

\[\hat{c}(x) = c\]

pour tout \(x \in A\). On note abusivement :

\[\hat{c} = c\]

Deux fonctions \(f,g : A \mapsto B\) sont égales si et seulement si leurs valeurs sont égales en tout point \(x \in A\) :

\[f = g \quad \Leftrightarrow \quad f(x) = g(x)\]

• Chapitre \ref{chap:fonctions} : Les fonctions

Soit un ensemble \(\Omega\). Une opération \(\opera\) sur \(\Omega\), ou loi de composition interne sur \(\Omega\), est une fonction qui, à deux éléments de \(\Omega\), associe un troisième élément de \(\Omega\) appelé résultat. On a donc formellement :

\[\opera : \Omega \times \Omega \mapsto \Omega\]

Si \(z \in \Omega\) est le résultat de l'opération \(\opera\) sur \(x,y \in \Omega\), on le note :

\[z = x \opera y\]

Supposons que \(n \in \Omega\) soit l'unique neutre pour la loi \(\opera\).

On dit que \(\opera\) est associative si :

\[(x \opera y) \opera z = x \opera (y \opera z)\]

pour tout \(x,y,z \in \Omega\). On définit alors :

\[x \opera y \opera z = x \opera (y \opera z) = (x \opera y) \opera z\]

On dit que \(\opera\) est commutative si :

\[x \opera y = y \opera x\]

pour tout \(x,y \in \Omega\).

Soit \(\autreaddition, \autremultiplication\) deux lois de composition interne sur \(\Omega\). On dit que \(\autremultiplication\) se distribue sur \(\autreaddition\) si :

\[z \autremultiplication (x \autreaddition y) = (z \autremultiplication x) \autreaddition (z \autremultiplication y)\]

et :

\[(x \autreaddition y) \autremultiplication z = (x \autremultiplication z) \autreaddition (y \autremultiplication z)\]

pour tout \(x,y,z \in \Omega\).

Soit une opération \(\opera\) définie sur l'ensemble \(\Omega\). L'opération induite par \(\opera\) sur \(\Omega^n\) est définie par :

\[(x_1,x_2,...,x_n) \opera (y_1,y_2,...,y_n) = (x_1 \opera y_1, x_2 \opera y_2, ..., x_n \opera y_n)\]

pour tout :

\[(x_1,x_2,...,x_n), (y_1,y_2,...,y_n) \in \Omega^n\]

On note aussi :

\[z = x \opera y\]

pour :

\[x = (x_1,x_2,...,x_n) \in \Omega^n\]

\[y = (y_1,y_2,...,y_n) \in \Omega^n\]

et :

\[z = (z_1,z_2,...,z_n) \in \Omega^n\]

avec :

\[z_i = x_i \opera y_i\]

pour tout \(i \in \{1,2,...,n\}\).

• Chapitre \ref{chap:operations} : Les opérations

Soit un ensemble \(M\) sur lequel est défini une opération \(\opera\). On dit que le couple \((M,\opera)\) est un monoïde si \(\opera\) est associative.

Soit un ensemble \(G\) sur lequel est défini une opération \(\opera\). On dit que le couple \((G,\opera)\) est un groupe si :

• \(\opera\) est associative
• Il existe un neutre pour \(\opera\)
• Chaque élément de \(G\) possède un inverse pour \(\opera\)

Soit un monoïde \((G,\opera)\) tel qu'il existe un neutre à droite \(n \in G\) pour \(\opera\) et que chaque élément \(x \in G\) admet un inverse à droite \(x^\inverse\) pour \(\opera\) :

\[x \opera x^\inverse = n\]

Soit :

\[y = x^\inverse \opera x\]

En utilisant l'associativité de \(\opera\), on se rend compte que :

\[y = x^\inverse \opera n \opera x = x^\inverse \opera x \opera x^\inverse \opera x = y \opera y\]

En utilisant ce résultat, on obtient :

\[y = y \opera n = y \opera y \opera y^\inverse = y \opera y^\inverse = n\]

Donc :

\[x^\inverse \opera x = n\]

et \(x^\inverse\) est un inverse de \(x\). On a aussi :

\[n \opera x = x \opera x^\inverse \opera x = x \opera n = x\]

L'élément \(n\) est donc l'unique neutre de \(G\) et tout élément \(x \in G\) admet un inverse. On en conclut que le couple \((G,\opera)\) est un groupe.

Soit un ensemble \(A\) sur lequel sont définies les opérations \(\autreaddition\), appelée addition, et l'opération \(\autremultiplication\), appelée multiplication. On dit que le tuple \((A,\autreaddition,\autremultiplication)\) est un anneau si :

• L'addition est commutative et associative
• Il existe un neutre pour l'addition
• Chaque élément de \(A\) possède un inverse pour l'addition appelé opposé
• La multiplication est associative
• La multiplication se distribue sur l'addition

Soit un ensemble \(K\) sur lequel sont définies les opérations \(\autreaddition\), appelée addition, et l'opération \(\autremultiplication\), appelée multiplication. On dit que le tuple \((K,\autreaddition,\autremultiplication)\) est un corps si :

• L'addition est commutative et associative
• Il existe un neutre pour l'addition
• Chaque élément de \(K\) possède un inverse pour l'addition appelé opposé
• La multiplication est associative
• Il existe un neutre pour la multiplication
• Chaque élément de \(K\), à l'exception du neutre pour l'addition,

possède un inverse pour la multiplication appelé inverse

• La multiplication se distribue sur l'addition

Lorsque l'addition est définie et que \(b\) possède un opposé \(-b\), on définit généralement l'opération de soustraction par :

\[a - b = a + (-b)\]

Lorsque la multiplication est définie et que \(b\) dispose d'un inverse \(b^{-1}\), on définit généralement l'opération de division par :

\[\frac{a}{b} = a \cdot b^{-1}\]

On note aussi :

\[a / b = \frac{a}{b}\]

On définit généralement les puissances positives par :

\begin{align} x^0 &= 1 \\ x^k &= x \cdot x^{k - 1} \end{align}

pour tout \(k \in \setN\). Si l'inverse de \(x\) existe, on définit généralement les puissances négatives par :

\[x^{-k} = (x^{-1})^k\]

pour tout \(k \in \setN\).

Soit l'ensemble \(\Omega\) sur lequel est définie une opération d'addition. On définit la somme de deux sous-ensembles \(A,B \subseteq \Omega\) par :

\[A + B = \{ x + y : (x,y) \in A \times B \}\]

Soit l'ensemble \(\Omega\) sur lequel est définie une opération de multiplication. On définit la multiplication de \(\lambda \in \Omega\) et de \(A \subseteq \Omega\) par :

\[\lambda \cdot A = \{ \lambda \cdot x : x \in A \}\]

• Chapitre \ref{chap:relations} : Les relations

Une équivalence \(\equiv\) sur un ensemble \(A\) est une relation permettant de regrouper les éléments ayant une caractéristique similaire. Choisissons \(x,y,z \in A\). Tout élément \(x\) étant égal à lui-même, il doit bien entendu être équivalent à lui-même. Notre équivalence doit donc respecter la propriété :

\[x \equiv x\]

Par ailleurs, si \(x\) est équivalent à \(y\), l'inverse doit aussi être vrai :

\[x \equiv y \quad \Rightarrow \quad y \equiv x\]

Il est également clair que si \(x\) est équivalent \(y\) et que \(y\) est équivalent à \(z\), notre \(x\) doit être équivalent à \(z\). Donc :

\[x \equiv y, \quad y \equiv z \quad \Rightarrow \quad x \equiv z\]

Soit \(x \in A\). La classe d'équivalence associée à \(x\) est l'ensemble des éléments de \(A\) qui lui sont équivalents :

\[\mathcal{E}(x) = \{ y \in A : y \equiv x \}\]

Soit la relation \(R \subseteq A^2\) associée à l'équivalence \(\equiv\) définie sur \(A\). L'ensemble quotient de \(A\) par \(R\) est la collection des classes d'équivalence :

\[A / R = \{ \mathcal{E}(x) \in \sousens(A) : x \in A \}\]