Eclats de vers : Matemat 01 : Ensembles - 2

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Table des matières

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1 Relations

1.1 Dépendances

  • Chapitre \ref{chap:ensembles} : Les ensembles
  • Chapitre \ref{chap:produitCartesien} : Produit cartésien

1.2 Définition

Une relation \(R\) est un ensemble de couples \((x,y) \in A \times B\) reliant des éléments de \(A\) à des élements de \(B\). On note \(\relation(A,B)\) l'ensemble des relations sur \(A,B\) :

\[\relation(A,B) = \{ R : R \subseteq A \times B \}\]

On dit que \(x \in A\) est en relation \(R\) avec \(y \in B\) si \((x,y) \in R\). On le note aussi :

\[x \ R \ y\]

1.3 Relation inverse

A toute relation \(R\), on associe une relation inverse \(R^{-1}\) en intervertissant \(x\) et \(y\) :

\[R^{-1} = \{ (y,x) \in B \times A : (x,y) \in R \}\]

1.4 Relation identité

La relation identité \(\identite \subseteq X \times X\) est définie par :

\[\identite = \{ (x,x) : x \in X \}\]

Elle vérifie la propriété :

\[\identite^{-1} = \identite\]

1.4.1 Egalité

Si \(x = y\), on a \((x,y) \in \identite\) et inversément. L'égalité correspond donc à la relation identité.

1.5 Image

L'image de \(x \in A\) par \(R\) est l'ensemble des éléments de \(B\) en relation avec \(x\) :

\[R(x) = \{ y \in B : (x,y) \in R \}\]

On généralise la notion d'image aux sous-ensembles \(X \subseteq A\) :

\[R(X) = \{ y \in B : x \in X, \ (x,y) \in R \}\]

1.6 Image inverse

L'image inverse de \(y \in B\) est l'ensemble des éléments de \(A\) en relation avec \(y\) :

\[R^{-1}(y) = \{ x \in A : (x,y) \in R \}\]

On généralise la notion d'image inverse aux sous-ensembles \(Y \subseteq B\) :

\[R^{-1}(Y) = \{ x \in A : y \in Y, \ (x,y) \in R \}\]

1.7 Image

Lorsqu'on ne précise pas l'ensemble, l'image de \(R\) est simplement l'image de \(A\) :

\[\image R = R(A)\]

1.8 Domaine

Le domaine de \(R\) est un cas particulier d'image inverse :

\[\domaine R = R^{-1}(B) = \{ x \in A : y \in B, \ (x,y) \in R \}\]

1.9 Composée

A partir d'une relation \(R\) reliant \(A\) à \(B\) et d'une relation \(S\) reliant \(B\) à \(C\), on peut construire une relation composée \(S \circ R\) (lire \(S\) après \(R\)) reliant \(A\) a \(C\). Pour que le couple \((x,z)\) appartienne à \(S \circ R\), on doit pouvoir trouver un élément intermédiaire \(y \in B\) tel que \((x,y) \in R\) et \((y,z)\in S\). Ce \(y\) doit donc appartenir simultanément à \(R(x)\) et à \(S^{-1}(z)\). On a par conséquent :

\[S \circ R = \{ (x,z) \in A \times C : R(x) \cap S^{-1}(z) \ne \emptyset \}\]

ou encore :

\[S \circ R = \{ (x,z) \in A \times C : \exists y \in B : (x,y) \in R, \ (y,z) \in S \}\]

1.10 Puissance

Soit une relation \(R \in \relation(A,A)\). On définit la puissance par :

\begin{align} R^0 &= \identite \\ R^n &= R \circ R^{n-1} \end{align}

On a donc en particulier \(R^1 = R\) et :

\[R^n = R \circ ... \circ R\]

2 Fonctions

2.1 Dépendances

  • Chapitre \ref{chap:ensembles} : Les ensembles
  • Chapitre \ref{chap:relations} : Les relations

2.2 Définitions

Une fonction \(f\) de \(A\) vers \(B\) associe à chaque \(x \in A\) un unique élément \(f(x) \in B\). On note \(\fonction(A,B)\) l'ensemble des fonctions \(f\) de \(A\) vers \(B\). On utilise aussi la notation :

\[f : A \mapsto B\]

pour préciser que \(f \in \fonction(A,B)\) et :

\[f : x \mapsto f(x)\]

pour préciser que \(f\) associe \(x \in A\) à \(f(x) \in B\). On dit que \(f(x)\) est la valeur de \(f\) en \(x\).

2.2.1 Remarque

La notation \(f : A \mapsto B\) signifie que :

  • \(f(x)\) est défini pour tout \(x \in A\)
  • \(f(x) \in B\)

Par conséquent, si \(C \subseteq A\) et si \(B \subseteq D\), la condition \(f : A \mapsto B\) implique \(f : C \mapsto D\).

2.2.2 Synonymes

On parle indifféremment de fonction ou d'application.

2.3 Fonctions discrètes

Dans le cas particulier où \(f \in \fonction( \{ 1,2,...,N \} , B )\), on peut associer à \(f\) un nombre \((f_1,f_2,...,f_N) \in B^N\) par :

\[f_i = f(i)\]

pour tout \(i \in \{ 1,2,...,N \}\). Inversément, à tout \((f_1,f_2,...,f_N) \in B^N\), on associe une fonction \(f : \{ 1,2,...,N \} \mapsto B\) par :

\[f(i) = f_i\]

On voit donc l'équivalence :

\[\fonction( \{ 1,2,...,N \} , B ) \equiv B^N\]

2.3.1 Notation

Dans le cas de fonctions quelconques, on pose par analogie :

\[B^A = \fonction(A,B)\]

2.4 Relation associée

On peut associer à toute fonction \(f : A \mapsto B\) une relation \(R \in \relation(A,B)\) définie par :

\[R = \{ (x,f(x)) : x \in A \}\]

On a clairement :

\[R(x) = \{ f(x) \}\]

2.5 Relation inverse

Soit \(f : A \mapsto B\) associée à la relation \(R \in \relation(A,B)\). La relation inverse \(R^{-1} \in \relation(B,A)\) est définie par :

\[R^{-1} = \{ (f(x),x) \in B \times A : x \in A \}\]

2.6 Fonction identité

La fonction identité \(\identite : A \mapsto A\) est définie par :

\[\identite : x \mapsto \identite(x) = x\]

2.6.1 Relation

La relation associée à la fonction identité s'écrit :

\[\{ (x,\identite(x)) \in A^2 : x \in A \} = \{ (x,x) \in A^2 : x \in A \}\]

La fonction identité est donc associée à la relation identité.

2.7 Image d'un ensemble

Soit \(f : A \mapsto B\). L'image d'un sous-ensemble \(X \subseteq A\) par \(f\) est l'ensemble des valeurs que prend \(f\) en tous les éléments de \(X\) :

\[f(X) = \{ f(x) : x \in X \}\]

2.8 Image d'une fonction

Soit \(f : A \mapsto B\). L'image de \(f\) est l'ensemble des valeurs que prend \(f\) en tous les éléments de \(A\) :

\[\image f = f(A) = \{ f(x) : x \in A \}\]

2.9 Image inverse

Soit \(f : A \mapsto B\). Pour tout \(y \in B\), l'image inverse est l'ensemble défini par :

\[f^{-1}(y) = \{ x \in A : f(x) = y \}\]

L'image inverse d'un ensemble \(Y \subseteq B\) est définie par :

\[f^{-1}(Y) = \{ x \in A : f(x) \in Y \}\]

2.10 Domaine

Soit un ensemble \(A \subseteq \Omega\) et une fonction \(f : A \mapsto B\). Le domaine de \(f\) est l'ensemble des éléments de \(x \in \Omega\) tels que \(f(x) \in B\) existe. Autrement dit :

\[\domaine f = A\]

2.11 Composée

Soit les fonctions \(f : A \mapsto B\) et \(g : B \mapsto C\).

Supposons que les grandeurs \(x \in A\), \(y \in B\) et \(z \in C\) soient reliées par les égalités \(y = f(x)\) et \(z = g(y)\). On a a alors \(z = g\left(f(x)\right)\). On définit une nouvelle fonction \(g \circ f : A \mapsto C\) associée à ce résultat par :

\[g \circ f : x \mapsto (g \circ f)(x) = g\left(f(x)\right)\]

On nomme \(g \circ f\) la composée de \(f\) et \(g\). On note aussi :

\[g \circ f(x) = (g \circ f)(x)\]

2.11.1 Association

Soit aussi \(h : C \mapsto D\). On remarque que :

\[\left(h \circ (g \circ f)\right)(x) = h\left(g\left(f(x)\right)\right) = \left((h \circ g) \circ f\right)(x)\]

On note :

\[h \circ g \circ f = (h \circ (g \circ f)) = ((h \circ g) \circ f)\]

2.11.2 Neutre

On constate que

\[\identite \circ f = f \circ \identite = f\]

On dit que la fonction identité est neutre pour la composition.

2.12 Puissance

Soit une fonction \(f : A \mapsto A\). La « puissance » d'une fonction est définie au moyen de la composée \(\circ\) par :

\begin{align} f^0 &= \identite \\ f^n &= f \circ f^{n-1} \end{align}

pour tout \(n \in \setN\). On a donc en particulier \(f^1 = f\) et :

\[f^n = f \circ ... \circ f\]

2.13 Fonction constante

On associe souvent à tout élément \(c \in B\) une fonction constante \(\hat{c} : A \mapsto B\) définie par :

\[\hat{c}(x) = c\]

pour tout \(x \in A\). On note abusivement :

\[\hat{c} = c\]

2.14 Egalité

Deux fonctions \(f,g : A \mapsto B\) sont égales si et seulement si leurs valeurs sont égales en tout point \(x \in A\) :

\[f = g \quad \Leftrightarrow \quad f(x) = g(x)\]

3 Opérations

3.1 Dépendances

  • Chapitre \ref{chap:fonctions} : Les fonctions

3.2 Introduction

Soit un ensemble \(\Omega\). Une opération \(\opera\) sur \(\Omega\), ou loi de composition interne sur \(\Omega\), est une fonction qui, à deux éléments de \(\Omega\), associe un troisième élément de \(\Omega\) appelé résultat. On a donc formellement :

\[\opera : \Omega \times \Omega \mapsto \Omega\]

Si \(z \in \Omega\) est le résultat de l'opération \(\opera\) sur \(x,y \in \Omega\), on le note :

\[z = x \opera y\]

3.3 Neutre

3.3.1 À gauche

On dit qu'un élément \(n \in \Omega\) est neutre à gauche pour la loi \(\opera\) si :

\[n \opera x = x\]

pour tout \(x \in \Omega\).

3.3.2 À droite

On dit qu'un élément \(n \in \Omega\) est neutre à droite pour la loi \(\opera\) si :

\[x \opera n = x\]

pour tout \(x \in \Omega\).

3.3.3 Simultané

On dit qu'un élément \(n \in \Omega\) est neutre pour la loi \(\opera\) si :

\[x \opera n = n \opera x = x\]

pour tout \(x \in \Omega\).

3.3.4 Unicité

Si \(m,n \in \Omega\) sont des éléments neutres pour \(\opera\), on a :

\[m = m \opera n = n\]

Si un neutre existe, il est unique.

3.4 Inverse

Supposons que \(n \in \Omega\) soit l'unique neutre pour la loi \(\opera\).

3.4.1 À gauche

On dit qu'un élément \(y \in \Omega\) est un inverse à gauche de \(x \in \Omega\) pour la loi \(\opera\) si :

\[y \opera x = n\]

3.4.2 À droite

On dit qu'un élément \(y \in \Omega\) est un inverse à droite de \(x \in \Omega\) pour la loi \(\opera\) si :

\[x \opera y = n\]

3.4.3 Simultané

On dit qu'un élément \(x^\inverse \in \Omega\) est l'inverse de \(x \in \Omega\) pour la loi \(\opera\) si :

\[x \opera x^\inverse = x^\inverse \opera x = n\]

3.5 Associativité

On dit que \(\opera\) est associative si :

\[(x \opera y) \opera z = x \opera (y \opera z)\]

pour tout \(x,y,z \in \Omega\). On définit alors :

\[x \opera y \opera z = x \opera (y \opera z) = (x \opera y) \opera z\]

3.5.1 Extension

Soit \(x_1,x_2,...,x_n \in \Omega\). On définit

3.5.2 Unicité de l'inverse

On suppose que \(\opera\) admet \(n\) comme neutre. Soit \(x \in \Omega\) et \(y,z \in \Omega\) deux inverses de \(x\). On a :

\[y \opera x \opera z = y \opera (x \opera z) = y \opera n = y\]

et :

\[y \opera x \opera z = (y \opera x) \opera z = n \opera z = z\]

On a donc :

\[y = z\]

Dans le cadre d'une opération associative, l'inverse d'un élément donné est unique.

3.6 Commutativité

On dit que \(\opera\) est commutative si :

\[x \opera y = y \opera x\]

pour tout \(x,y \in \Omega\).

3.7 Distributivité

Soit \(\autreaddition, \autremultiplication\) deux lois de composition interne sur \(\Omega\). On dit que \(\autremultiplication\) se distribue sur \(\autreaddition\) si :

\[z \autremultiplication (x \autreaddition y) = (z \autremultiplication x) \autreaddition (z \autremultiplication y)\]

et :

\[(x \autreaddition y) \autremultiplication z = (x \autremultiplication z) \autreaddition (y \autremultiplication z)\]

pour tout \(x,y,z \in \Omega\).

3.8 Opération induite

Soit une opération \(\opera\) définie sur l'ensemble \(\Omega\). L'opération induite par \(\opera\) sur \(\Omega^n\) est définie par :

\[(x_1,x_2,...,x_n) \opera (y_1,y_2,...,y_n) = (x_1 \opera y_1, x_2 \opera y_2, ..., x_n \opera y_n)\]

pour tout :

\[(x_1,x_2,...,x_n), (y_1,y_2,...,y_n) \in \Omega^n\]

On note aussi :

\[z = x \opera y\]

pour :

\[x = (x_1,x_2,...,x_n) \in \Omega^n\]

\[y = (y_1,y_2,...,y_n) \in \Omega^n\]

et :

\[z = (z_1,z_2,...,z_n) \in \Omega^n\]

avec :

\[z_i = x_i \opera y_i\]

pour tout \(i \in \{1,2,...,n\}\).

4 Algèbre

4.1 Dépendances

  • Chapitre \ref{chap:operations} : Les opérations

4.2 Monoïde

Soit un ensemble \(M\) sur lequel est défini une opération \(\opera\). On dit que le couple \((M,\opera)\) est un monoïde si \(\opera\) est associative.

4.2.1 Nomenclature

Lorsque l'opération \(\opera\) est évidente d'après le contexte, on dit simplement que \(M\) est un monoïde.

4.3 Groupes

Soit un ensemble \(G\) sur lequel est défini une opération \(\opera\). On dit que le couple \((G,\opera)\) est un groupe si :

  • \(\opera\) est associative
  • Il existe un neutre pour \(\opera\)
  • Chaque élément de \(G\) possède un inverse pour \(\opera\)

4.3.1 Nomenclature

Lorsque l'opération \(\opera\) est évidente d'après le contexte, on dit simplement que \(G\) est un groupe.

4.3.2 Commutatif

Si \(\opera\) est également commutative, on dit que \((G,\opera)\) est un groupe abélien ou commutatif.

4.4 Monoïde et groupe

Soit un monoïde \((G,\opera)\) tel qu'il existe un neutre à droite \(n \in G\) pour \(\opera\) et que chaque élément \(x \in G\) admet un inverse à droite \(x^\inverse\) pour \(\opera\) :

\[x \opera x^\inverse = n\]

Soit :

\[y = x^\inverse \opera x\]

En utilisant l'associativité de \(\opera\), on se rend compte que :

\[y = x^\inverse \opera n \opera x = x^\inverse \opera x \opera x^\inverse \opera x = y \opera y\]

En utilisant ce résultat, on obtient :

\[y = y \opera n = y \opera y \opera y^\inverse = y \opera y^\inverse = n\]

Donc :

\[x^\inverse \opera x = n\]

et \(x^\inverse\) est un inverse de \(x\). On a aussi :

\[n \opera x = x \opera x^\inverse \opera x = x \opera n = x\]

L'élément \(n\) est donc l'unique neutre de \(G\) et tout élément \(x \in G\) admet un inverse. On en conclut que le couple \((G,\opera)\) est un groupe.

4.5 Anneaux

Soit un ensemble \(A\) sur lequel sont définies les opérations \(\autreaddition\), appelée addition, et l'opération \(\autremultiplication\), appelée multiplication. On dit que le tuple \((A,\autreaddition,\autremultiplication)\) est un anneau si :

  • L'addition est commutative et associative
  • Il existe un neutre pour l'addition
  • Chaque élément de \(A\) possède un inverse pour l'addition appelé opposé
  • La multiplication est associative
  • La multiplication se distribue sur l'addition

4.5.1 Nomenclature

Lorsque les opérations sont évidentes d'après le contexte, on dit simplement que \(A\) est un anneau.

4.5.2 Unitaire

Si la multiplication admet également un neutre, on parle d'anneau unitaire.

4.5.3 Notations

Soit un anneau \(A\). L'addition de \(x,y \in A\) est généralement notée :

\[x + y\]

La multiplication est généralement notée :

\[x \cdot y\]

On désigne généralement par \(0\) le neutre pour l'addition :

\[x + 0 = 0 + x = x\]

Si l'anneau \(A\) est unitaire, on désigne généralement par \(1\) le neutre pour la multiplication :

\[x \cdot 1 = 1 \cdot x = x\]

L'inverse de \(x\) pour l'addition, aussi nommé opposé, est noté \(-x\) :

\[x + (-x) = (-x) + x = 0\]

4.5.4 Intègre

Soit un anneau \((A,+,\cdot)\). Si la relation :

\[a \cdot b = 0\]

implique :

\[a = 0 \ \text{ ou } \ b = 0\]

on dit que \((A,+,\cdot)\) est un anneau intègre.

4.6 Corps

Soit un ensemble \(K\) sur lequel sont définies les opérations \(\autreaddition\), appelée addition, et l'opération \(\autremultiplication\), appelée multiplication. On dit que le tuple \((K,\autreaddition,\autremultiplication)\) est un corps si :

  • L'addition est commutative et associative
  • Il existe un neutre pour l'addition
  • Chaque élément de \(K\) possède un inverse pour l'addition appelé opposé
  • La multiplication est associative
  • Il existe un neutre pour la multiplication
  • Chaque élément de \(K\), à l'exception du neutre pour l'addition,

possède un inverse pour la multiplication appelé inverse

  • La multiplication se distribue sur l'addition

4.6.1 Nomenclature

Lorsque les opérations sont évidentes d'après le contexte, on dit simplement que \(K\) est un corps.

4.6.2 Symbole

On utilise souvent le symbole \(\corps\) pour désigner un corps générique.

4.6.3 Commutatif

Si la multiplication est également commutative, on parle de corps commutatif.

4.6.4 Notations

Soit un corps \(K\). L'addition de \(x,y \in K\) est notée :

\[x + y\]

La multiplication est notée :

\[x \cdot y\]

On désigne généralement par \(0\) le neutre pour l'addition :

\[x + 0 = 0 + x = x\]

et par \(1\) le neutre pour la multiplication :

\[x \cdot 1 = 1 \cdot x = x\]

L'inverse de \(x\) pour l'addition, aussi nommé opposé, est noté \(-x\) :

\[x + (-x) = (-x) + x = 0\]

et l'inverse de \(x\) pour la multiplication est noté \(x^{-1}\) ou \(1/x\) :

\[x \cdot x^{-1} = x^{-1} \cdot x = 1\]

4.7 Soustraction et division

Lorsque l'addition est définie et que \(b\) possède un opposé \(-b\), on définit généralement l'opération de soustraction par :

\[a - b = a + (-b)\]

Lorsque la multiplication est définie et que \(b\) dispose d'un inverse \(b^{-1}\), on définit généralement l'opération de division par :

\[\frac{a}{b} = a \cdot b^{-1}\]

On note aussi :

\[a / b = \frac{a}{b}\]

4.8 Les puissances

On définit généralement les puissances positives par :

\begin{align} x^0 &= 1 \\ x^k &= x \cdot x^{k - 1} \end{align}

pour tout \(k \in \setN\). Si l'inverse de \(x\) existe, on définit généralement les puissances négatives par :

\[x^{-k} = (x^{-1})^k\]

pour tout \(k \in \setN\).

4.9 Somme d'ensembles

Soit l'ensemble \(\Omega\) sur lequel est définie une opération d'addition. On définit la somme de deux sous-ensembles \(A,B \subseteq \Omega\) par :

\[A + B = \{ x + y : (x,y) \in A \times B \}\]

4.9.1 Somme directe

Si, pour tout \(s \in S\), il existe un et un seul couple \((x,y) \in A \times B\) tel que \(s = x + y\), on dit que \(S\) est la somme directe de \(A\) et \(B\) et on le note :

\[S = A \bigoplus B\]

4.10 Multiplication mixte

Soit l'ensemble \(\Omega\) sur lequel est définie une opération de multiplication. On définit la multiplication de \(\lambda \in \Omega\) et de \(A \subseteq \Omega\) par :

\[\lambda \cdot A = \{ \lambda \cdot x : x \in A \}\]

5 Equivalences

5.1 Dépendances

  • Chapitre \ref{chap:relations} : Les relations

5.2 Définition

Une équivalence \(\equiv\) sur un ensemble \(A\) est une relation permettant de regrouper les éléments ayant une caractéristique similaire. Choisissons \(x,y,z \in A\). Tout élément \(x\) étant égal à lui-même, il doit bien entendu être équivalent à lui-même. Notre équivalence doit donc respecter la propriété :

\[x \equiv x\]

Par ailleurs, si \(x\) est équivalent à \(y\), l'inverse doit aussi être vrai :

\[x \equiv y \quad \Rightarrow \quad y \equiv x\]

Il est également clair que si \(x\) est équivalent \(y\) et que \(y\) est équivalent à \(z\), notre \(x\) doit être équivalent à \(z\). Donc :

\[x \equiv y, \quad y \equiv z \quad \Rightarrow \quad x \equiv z\]

5.2.1 Relation

On peut associer une relation \(R\) à toute équivalence en posant :

\[R = \{ (x,y) \in A^2 : x \equiv y \}\]

On a alors \(x \equiv y\) si et seulement si \((x,y) \in R\).

5.2.2 Multiple

La notation \(x \equiv y \equiv z\) signifie que \(x \equiv y\) et que \(y \equiv z\).

5.3 Classe d'équivalence

Soit \(x \in A\). La classe d'équivalence associée à \(x\) est l'ensemble des éléments de \(A\) qui lui sont équivalents :

\[\mathcal{E}(x) = \{ y \in A : y \equiv x \}\]

5.4 Ensemble quotient

Soit la relation \(R \subseteq A^2\) associée à l'équivalence \(\equiv\) définie sur \(A\). L'ensemble quotient de \(A\) par \(R\) est la collection des classes d'équivalence :

\[A / R = \{ \mathcal{E}(x) \in \sousens(A) : x \in A \}\]

5.4.1 Intersection

Soit \(x,y \in A\).

  • Supposons que \(x\) n'est pas équivalent à \(y\) et choisissons un \(z\) dans l'intersection :

\[z \in \mathcal{E}(x) \cap \mathcal{E}(y)\]

On doit donc avoir \(x \equiv z\) et \(z \equiv y\), alors que \(x\) n'est pas équivalent à \(y\), ce qui contredit la définition des équivalences. Par conséquent, un tel \(z\) ne peut pas exister et l'intersection est vide :

\[\mathcal{E}(x) \cap \mathcal{E}(y) = \emptyset\]

  • A présent, supposons que \(x\) est équivalent à \(y\) et choisissons un \(z \in \mathcal{E}(x)\). On a donc \(z \equiv x\) et \(x \equiv y\). On en déduit que \(z \equiv y\), d'où \(z \in \mathcal{E}(y)\) et \(\mathcal{E}(x) \subseteq \mathcal{E}(y)\). Symétriquement, si \(w \in \mathcal{E}(y)\), on a \(w \equiv y\) et \(y \equiv x\), d'où \(w \in \mathcal{E}(x)\) et \(\mathcal{E}(y) \subseteq \mathcal{E}(x)\). On a donc :

\[\mathcal{E}(x) = \mathcal{E}(y)\]

5.4.2 Union

Quel que soit \(x \in A\), tous les éléments de \(\mathcal{E}(x)\) sont dans \(A\) par définition. L'union :

\[E = \bigcup_{x \in A} \mathcal{E}(x)\]

est donc également inclue dans \(A\). D'un autre coté, tout \(x \in A\) étant équivalent à lui-même, chaque \(\mathcal{E}(x)\) contient au moins \(x\). On en conclut que \(A\) est inclus dans \(E\). La double inclusion nous montre que :

\[A = \bigcup_{x \in A} \mathcal{E}(x)\]

5.4.3 Partition

On déduit de ce qui précède que la collection des classes d'équivalences :

\[\mathcal{P} = A / R\]

forme une partition de \(A\). Cette constation explique la terminologie de quotient, liée à celle de division et de partition.

Auteur: chimay

Created: 2019-10-01 mar 12:33

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