Eclats de vers : Matemat 01 : Ensembles - 3
Table des matières
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1. Ordres
\label{chap:ordres}
1.1. Dépendances
- Chapitre \ref{chap:relations} : Les relations
1.2. Ordre large
Un ordre, ou ordre large, est une relation permettant de déterminer si un élément d'un ensemble est « plus petit ou égal » qu'un autre (on dit aussi « inférieur » à un autre).
Soit \(\le\) un ordre sur l'ensemble \(\Omega\). Choisissons \(x,y,z \in \Omega\). Comme tout élément \(x\) est égal à lui-même, il est forcément « plus petit ou égal » à lui-même, et notre ordre doit respecter la propriété :
\[x \le x\]
Par ailleurs, si \(x\) est plus petit ou égal à \(y\) et que l'inverse est vrai aussi, on doit avoir l'égalité entre les deux éléments :
\[x \le y, \quad y \le x \quad \Rightarrow \quad x = y\]
Il est également clair que si \(x\) est plus petit que \(y\) et que si \(y\) est plus petit que \(z\), \(x\) doit être plus petit que \(z\). Donc :
\[x \le y, \quad y \le z \quad \Rightarrow \quad x \le z\]
1.2.1. Multiple
La notation \(x \le y \le z\) signifie que \(x \le y\) et que \(y \le z\).
1.3. Plus grand ou égal
Soit \(x,y \in \Omega\). On dit que \(x\) est « plus grand ou égal », ou « supérieur » à \(y\), et on le note :
\[x \ge y\]
si et seulement si :
\[y \le x\]
1.4. Relation associée
On peut associer une relation \(R\) à tout ordre en posant :
\[R = \{ (x,y) \in \Omega^2 : x \le y \}\]
On a alors \(x \le y\) si et seulement si \((x,y) \in R\).
1.5. Ordonné
Soit un ensemble \(\Omega\) muni d'un ordre \(\le\). On dit alors que \(\Omega\) est un ensemble ordonné ou que le couple \((\Omega,\le)\) est un espace ordonné.
1.6. Ordre total et partiel
Un ordre \(\le\) sur \(\Omega\) est dit total si pour tout \(x,y \in \Omega\), on a \(x \le y\) ou \(y \le x\). Dans le cas contraire, on dit que l'ordre est partiel.
1.7. Ordre sur un produit cartésien
Soit la collection d'ensembles ordonnés \(A_1,A_2,...,A_n\) et les éléments \(x_i,y_i \in A_i\). On définit un ordre partiel sur les $n$-tuples :
\( x = (x_1,x_2,...,x_n) \\ y = (y_1,y_2,...,y_n) \)
en disant que :
\[x \le y\]
si et seulement si :
\[x_i \le y_i\]
pour tout \(i \in \{ 1,2,...,n \}\).
2. Ordre strict
\label{chap:ordreStrict}
2.1. Dépendances
- Chapitre \ref{chap:ordres} : Les ordres
2.2. Définition
Un ordre strict sur un ensemble \(\Omega\) est une relation permettant de déterminer si un élément de \(\Omega\) est « strictement plus petit » qu'un autre. La différence fondamentale avec l'ordre large étant que les deux éléments doivent être distincts.
Soit \(\strictinferieur\) un ordre strict sur l'ensemble \(\Omega\) et \(x,y,z \in \Omega\). Comme \(x\) ne peut pas être distinct de lui-même, {\em on ne peut pas avoir} \(x \strictinferieur x\). La relation \(x \strictinferieur y\) implique donc que \(x \ne y\).
La seule solution pour avoir simultanément $x \strictinferieur y $ et \(y \strictinferieur x\) serait que \(x = y\) comme dans le cas de l'ordre large. Ce n'est pas possible par définition. Les relations \(x \strictinferieur y\) et \(z \strictinferieur x\) impliquent donc que \(y \ne z\). Par contre la propriété :
\( x \strictinferieur y, \quad y \strictinferieur z \quad \Rightarrow \quad x \strictinferieur z \)
est analogue à celle de l'ordre large.
2.2.1. Multiple
La notation \(x \strictinferieur y \strictinferieur z\) signifie que \(x \strictinferieur y\) et que \(y \strictinferieur z\).
2.3. Plus grand
Soit \(x, y \in \Omega\). On dit que \(x\) est strictement plus grand que \(y\), et on le note :
\[x \strictsuperieur y\]
si et seulement si :
\[y \strictinferieur x\]
2.4. Dérivé du large
On peut définir un ordre strict à partir d'un ordre large en disant que \(x \strictinferieur y\) si et seulement si \(x \le y\) et \(x \ne y\).
2.5. Complémentarité
Supposons que l'ordre \(\le\) soit total. Si \(x,y\) ne vérifient pas \(x \le y\), on doit forcément avoir \(y \le x\). Si on avait \(x = y\), on aurait aussi \(x \le y\) ce qui contredit l'hypothèse. Par conséquent, on doit avoir \(x \ne y\). On en déduit que \(y \strictinferieur x\).
Réciproquement, si la condition \(y \strictinferieur x\) n'est pas vérifiée, on a soit \(x = y\), soit \(x \le y\). Mais comme \(x \le y\) inclut la possibilité que \(x = y\), on a simplement \(x \le y\).
On a donc soit \(x \le y\), soit \(x \strictsuperieur y\). Ou encore, soit \(x \strictinferieur y\), soit \(x = y\), soit \(x \strictsuperieur y\).
3. Extrema
\label{chap:extrema}
3.1. Dépendances
- Chapitre \ref{chap:relations} : Les relations
- Chapitre \ref{chap:ordres} : Les ordres
3.2. Comparaison élément - ensemble
Soit \(\le\) un ordre sur l'ensemble \(\Omega\) et \(A \subseteq \Omega\). Nous dirons qu'un objet \(m \in \Omega\) est inférieur à l'ensemble \(A\), ou que \(m\) est un minorant de \(A\), et nous le noterons :
\[m \le A\]
si \(m \le a\) pour tout élément \(a \in A\). Inversément, nous dirons que \(m\) est supérieur à \(A\), ou que \(m\) est un majorant de \(A\), et nous le noterons :
\[m \ge A\]
si \(m \ge a\) pour tout élément \(a \in A\) :
3.3. Comparaison ensemble - ensemble
3.3.1. En-dessous
Soit \(\le\) un ordre sur l'ensemble \(\Omega\) et \(A,B \subseteq \Omega\). Nous dirons que \(A\) est en-dessous de l'ensemble \(B\), et nous le noterons :
\[A \ensinferieur B\]
si tout élément \(a \in A\) vérifie \(a \le B\). Cela revient à imposer l'inégalité :
\[a \le b\]
pour tout couple \((a,b) \in A \times B\).
3.3.2. Au-dessus
On dit que \(A\) est au-dessus de l'ensemble \(B\), et on le note :
\[A \enssuperieur B\]
si et seulement si :
\[B \ensinferieur A\]
Cela revient à imposer l'inégalité :
\[a \ge b\]
pour tout couple \((a,b) \in A \times B\).
3.3.3. Remarque
Attention, ces comparaisons ne constituent pas un ordre. En particulier, un ensemble quelconque n'est en général ni au-dessus ni en-dessous de lui-même.
3.4. Majorants et minorants
Soit \(\le\) un ordre sur l'ensemble de référence \(\Omega\) et \(A \subseteq \Omega\). L'ensemble des majorants de \(A\) est l'ensemble des éléments de \(\Omega\) supérieurs à A :
\[\major A = \{ m \in \Omega : m \ge A \}\]
Si \(\major A \ne \emptyset\), on dit que \(A\) est majoré ou encore que \(A\) est borné supérieurement. L'ensemble des minorants de \(A\) est l'ensemble des éléments de \(\Omega\) inférieurs à A :
\[\minor A = \{ m \in \Omega : m \le A \}\]
Si \(\minor A \ne \emptyset\), on dit que \(A\) est minoré ou encore que \(A\) est borné inférieurement.
3.4.1. Préciser l'ordre
Lorsqu'on veut préciser l'ordre \(\le\) utilisé, on note :
\( \major_\le A = \{ m \in \Omega : m \ge A \} \\ \\ \minor_\le A = \{ m \in \Omega : m \le A \} \)
3.4.2. Comparaisons d'ensembles
On se rend compte que si \(B \subseteq \Omega\) vérifie \(B \enssuperieur A\), tous les éléments de \(B\) sont dans l'ensemble des majorants :
\[B \enssuperieur A \ \Rightarrow \ B \subseteq \major A\]
Inversément, si \(B\) est en-dessous de \(A\), tous ses éléments sont dans l'ensemble des minorants :
\[B \ensinferieur A \ \Rightarrow \ B \subseteq \minor A\]
3.5. Éléments maximaux et minimaux
On dit d'un élément \(M \in A\) qu'il est maximal dans \(A\) si pour tout \(a \in A\) vérifiant \(a \ge M\), on a \(M = a\). Autrement dit, aucun élément de \(A\) distinct de \(M\) n'est supérieur à ce dernier. \(M\) est donc le seul élément de \(A\) à être supérieur (au sens large) à lui-même. On a donc \(\major \{ M \} \cap A = \{ M \}\). On note \(\maxim A\) l'ensemble des éléments maximaux de \(A\) :
\[\maxim A = \Big\{ M \in A : \major \{ M \} \cap A = \{ M \} \Big\}\]
Symétriquement, on dit d'un élément \(m \in A\) qu'il est minimal dans \(A\) si pour tout \(a \in A\) vérifiant \(a \le m\), on a \(m = a\). Autrement dit, aucun élément de \(A\) distinct de \(m\) n'est inférieur à ce dernier. \(m\) est donc le seul élément de \(A\) à être inférieur (au sens large) à lui-même. On a donc \(\minor \{ m \} \cap A = \{ m \}\). On note \(\minim A\) l'ensemble des éléments minimaux de \(A\) :
\[\minim A = \Big\{ m \in A : \minor \{ m \} \cap A = \{ m \} \Big\}\]
3.5.1. Préciser l'ordre
Lorsqu'on veut préciser l'ordre \(\le\) utilisé, on note :
\( \maxim_\le A \\ \\ \minim_\le A \)
3.6. Maximum et minimum
Considérons le cas où l'on peut trouver des majorants de \(A\) appartenant à \(A\). Si \(x,y \in A \cap \major A\), on a \(x \ge y\) puisque \(x\) est un majorant de \(A\) et que \(y \in A\). Mais on a aussi \(y \ge x\) puisque \(y\) est également un majorant de \(A\) et que \(x \in A\). On en conclut que \(x = y\) et que l'intersection ne contient qu'un seul élément \(M\) :
\[A \cap \major A = \{ M \}\]
On dit alors que \(M \in A\) est le maximum de l'ensemble \(A\) et on le note :
\[M = \max A = \max_{a \in A} a\]
A présent, supposons que l'on puisse trouver des minorants de \(A\) appartenant à \(A\). Supposons que \(x,y \in A \cap \minor A\). On a alors \(x \le y\) puisque \(x\) est un minorant de \(A\) et que \(y \in A\). Mais on a aussi \(y \le x\) puisque \(y\) est également un minorant de \(A\) et que \(x \in A\). On en conclut que \(x = y\). L'intersection ne contient donc qu'un seul élément \(m\) :
\[A \cap \minor A = \{ m \}\]
On dit alors que \(m\) est le minimum de l'ensemble \(A\) et on le note :
\[m = \min A = \min_{a \in A} a\]
3.6.1. Préciser l'ordre
Lorsqu'on veut préciser l'ordre \(\le\) utilisé, on note plutôt :
\( \max_\le A = \max A \\ \\ \min_\le A = \min A \)
3.6.2. Maximal et minimal
Supposons que \(M = \max A\) existe. On a \(M \in A\). Soit \(a \in A\) vérifiant \(M \le a\). Par définition du maximum, on a aussi \(M \ge a\), d'où \(M = a\). On en conclut que le maximum est un élément maximal. A présent, soit \(x \in \maxim A\). Comme \(x \le M\), on en conclut que \(x = M\). On a donc :
\[\maxim A = \{ \max A \}\]
Supposons que \(m = \min A\) existe. On a \(m \in A\). Soit \(a \in A\) vérifiant \(m \ge a\). Par définition du minimum, on a aussi \(m \le a\), d'où \(m = a\). On en conclut que le minimum est un élément minimal. A présent, soit \(x \in \minim A\). Comme \(x \ge m\), on en conclut que \(x = m\). On a donc :
\[\minim A = \{ \min A \}\]
3.7. Supremum et infimum
Soit un ensemble \(A \subseteq \Omega\) dont le maximum \(M = \max A\) existe et l'élément \(b \in \Omega\) tel que \(b \ge A\). Comme \(M\) est un élément de \(A\), on a forcément \(b \ge M\). Mais d'un autre coté, \(M \ge A\) par définition. Donc :
\[b \ge M \ge A\]
Comme ces relations sont valables pour tout les \(b\) supérieurs à \(A\), on en conclut que :
\[\major A \ge M \ge A\]
Relations qui nous disent que \(M\) est le plus petit des objets supérieurs à \(A\). Considérons à présent un cas plus général où nous ne supposons pas que le maximum de \(A\) existe. Supposons seulement que l'on puisse trouver un \(S \in \Omega\) tel que :
\[\major A \ge S \ge A\]
La première inégalité nous dit que \(S\) est un minorant de \(\major A\). La seconde nous dit que \(S\) est un majorant de \(A\), autrement dit \(S \in \major A\). Les deux conditions nous permettent d'affirmer que \(S\) est le minimum de l'ensemble des majorants de \(A\) :
\[S = \min \major A\]
Cet élément \(S\) est donc unique. On l'appelle supremum et on le note :
\[S = \sup A = \sup_{a \in A} a = \min \major A\]
Il est important de remarquer que \(S\) n'appartient pas forcément à \(A\). On procéde de la même façon pour étendre la notion de minimum. Si on peut trouver un \(I \in \Omega\) tel que :
\[\minor A \le I \le A\]
on en conclut que \(I\) est le maximum de l'ensemble des minorants de \(A\) et qu'il est donc unique. On l'appelle infimum et on le note :
\[I = \inf A = \inf_{a \in A} a = \max \minor A\]
3.7.1. Préciser l'ordre
Lorsqu'on veut préciser l'ordre \(\le\) utilisé, on note :
\( \sup_\le A = \min \major A \\ \\ \inf_\le A = \max \minor A \)
3.7.2. Comparaison des bornes
Si \(A\) est non vide, il suffit de choisir \(x \in A\) pour se rendre compte que :
\[\inf A \le x \le \sup A\]
d'où :
\[\inf A \le \sup A\]
3.7.3. Cas particulier
Dans le cas où le maximum de \(A\) existe, on a par unicité \(\sup A = \max A\). Dans le cas où le minimum de \(A\) existe, on a par unicité \(\inf A = \min A\).
3.8. Ensembles finis
Nous allons montrer que, sous l'hypothèse d'un ordre total, tout ensemble comportant un nombre fini d'éléments admet un maximum et un minimum. Si l'ensemble ne contient qu'un élément, soit \(A_1 = \{a\}\), on a \(a \le a\) et donc :
\[a = \max\{a\} = \min\{a\}\]
Supposons à présent que l'ensemble comporte deux éléments, soit \(A_2 = \{a_1,a_2\}\). Si \(a_1 \ge a_2\), on a \(a_1 \ge \{a_1,a_2\}\). Dans le cas contraire, on a \(a_2 \ge \{a_1,a_2\}\). On en déduit que :
\( max\{a1,a2\} =
\begin{cases} a_1 & \text{ si } a_1 \ge a_2 \\ a_2 & \text{ sinon} \end{cases}\)
Le minimum est donné par l'expression duale :
\( min\{a1,a2\} =
\begin{cases} a_1 & \text{ si } a_1 \le a_2 \\ a_2 & \text{ sinon} \end{cases}\)
Supposons à présent avoir démontré que tout ensemble de \(n - 1\) éléments admettait un maximum et un minimum. Soit l'ensemble \(A = \{a_1,a_2,...,a_{n - 1},a_n\}\) comportant \(n\) éléments. L'ensemble \(A_{n - 1} = \{a_1,a_2,...,a_{n - 1}\}\) contient \(n - 1\) éléments et admet donc :
\( \sigma = \max \{a_1,a_2,...,a_{n - 1}\} \\ \lambda = \min \{a_1,a_2,...,a_{n - 1}\} \)
Posons \(\alpha = \max\{\sigma,a_n\}\). On voit que \(\alpha \in A\), que \(\alpha \ge \sigma \ge A_{n - 1}\) et que \(\alpha \ge a_n\). On en déduit que \(\alpha \ge A\). Donc :
\[\max \{a_1,a_2,...,a_{n - 1},a_n\} = \max \Big\{ \max \{a_1,a_2,...,a_{n - 1}\} , a_n \Big\}\]
Posons \(\beta = \min\{\lambda,a_n\}\). On voit que \(\beta \in A\), que \(\beta \le \lambda \le A_{n - 1}\) et que \(\beta \le a_n\). On en déduit que \(\beta \le A\). Donc :
\[\min \{a_1,a_2,...,a_{n - 1},a_n\} = \min \Big\{ \min \{a_1,a_2,...,a_{n - 1}\} , a_n \Big\}\]
Tout ensemble comportant un nombre fini d'éléments et sur lequel est défini un ordre total admet donc un maximum et un minimum. De plus, la démonstration nous donne un moyen d'évaluer récursivement ces extrema.
3.8.1. Notations
On note aussi :
\( \max_{i = 1}^n a_i = \max \{ a_1,a_2,...,a_n \} \\ \\ \min_{i = 1}^n a_i = \min \{ a_1,a_2,...,a_n \} \)
3.9. Infini
Il arrive qu'aucun élément de \(\Omega\) ne soit un majorant de \(\Omega\). On est alors amené à ajouter à l'ensemble une borne supérieure, notée \(+\infty\) (ou \(\infty\)), telle que tout élément \(a \in \Omega\) vérifie \(a \strictinferieur +\infty\). Le concept de l'infini négatif, noté \(-\infty\), est similaire. Il s'agit d'une borne inférieure de \(\Omega\) telle que tout élément \(a \in \Omega\) vérifie \(a \strictsuperieur -\infty\).
3.9.1. Supremum et infimum
Lorsque l'ensemble des majorants de \(A\) est vide, le supremum n'existe pas. On dit alors qu'il est infini et on le note :
\[\sup A = +\infty\]
Lorsque l'ensemble des minorants de \(A\) est vide, l'infimum n'existe pas. On dit alors qu'il est infini et on le note :
\[\inf A = -\infty\]
3.10. Ordre et inclusion
Soit \(A,B \subseteq \Omega\) avec \(A \subseteq B\). Soit l'ordre \(\le\) défini sur \(\Omega\).
3.10.1. Max - Min
Supposons que les maxima existent. Le maximum de \(A\) étant dans \(A\), il est aussi dans \(B\). Par conséquent, le maximum de \(B\) est supérieur au maximum de \(A\) :
\[\max A \le \max B\]
En suivant le même raisonnement avec les minima, on obtient :
\[\min A \ge \min B\]
3.10.2. Sup - Inf
A présent, ne supposons plus l'existence des maxima ou des minima, mais seulement des supremums et infimums. Tout majorant de \(B\) sera aussi un majorant de \(A\). On a donc :
\[\major B \subseteq \major A\]
L'ensemble \(\major B\) étant inclus dans \(\major A\), son minimum doit être supérieur, et on a :
\[\sup A \le \sup B\]
En répétant le même raisonnement avec les minorants, on obtient :
\[\inf A \ge \inf B\]
3.11. Ordre, union et intersection
3.11.1. Max - Min de l'union
Supposons que les maxima de \(A\) et \(B\) existent. Si l'ordre est total, on a soit \(\max A \le \max B\), soit \(\max B \le \max A\). Le maximum :
\[M = \max \{ \max A , \max B \}\]
existe donc. On voit que \(M\) appartient à \(A\) ou à \(B\) suivant les cas, c'est-à-dire à \(A \cup B\) et que :
\( x \le \max A \le M \\ y \le \max B \le M \)
pour tout \(x \in A\) et \(y \in B\). On en conclut que \(M\) majore \(A \cup B\). On a donc :
\[\max \{ \max A , \max B \} = \max (A \cup B)\]
En suivant le même raisonnement avec les minima, on obtient :
\[\min \{ \min A , \min B \} = \min (A \cup B)\]
3.11.2. Max - Min de l'intersection
Supposons que les maxima de \(A\) et \(B\) existent et que leur intersection soit non vide :
\[A \cap B \ne \emptyset\]
Si l'ordre est total, on a soit \(\max A \le \max B\), soit \(\max B \le \max A\). Le minimum :
\[m = \min \{ \max A , \max B \}\]
existe donc. On voit que pour tout \(x \in A \cap B\) :
\( x \in A \ \Rightarrow \ x \le \max A \\ x \in B \ \Rightarrow \ x \le \max B \)
On en conclut que \(x \le m\). L'élément \(m\) est donc un majorant de \(A \cap B\). Si le maximum de l'intersection existe, on a donc :
\[\max (A \cap B) \le \min \{ \max A , \max B \}\]
En suivant le même raisonnement avec les minima, on obtient :
\[\min (A \cap B) \ge \max \{ \min A , \min B \}\]
3.11.3. Sup - Inf de l'union
A présent, ne supposons plus l'existence des maxima ou des minima, mais seulement des supremums et infimums. Comme les majorant de \(A \cup B\) sont ceux qui majorent tous les éléments de \(A\) et tous les éléments de \(B\), on a :
\[\major (A \cup B) = (\major A) \cap (\major B)\]
Il ne nous reste plus qu'à minimiser les deux membres de cette égalité. Le minimum de l'intersection étant supérieure au maximum des minima, on a :
\[\min \Big[ (\major A) \cap (\major B) \Big] \ge \max \{ \min \major A , \min \major B \}\]
et :
\[\min \major (A \cup B) \ge \max \{ \min \major A , \min \major B \}\]
c'est-à-dire :
\[\sup (A \cup B) \ge \max \{ \sup A , \sup B \}\]
En répétant le même raisonnement avec les minorants, on obtient :
\[\minor (A \cup B) = (\minor A) \cap (\minor B)\]
et :
\[\inf (A \cup B) \le \min \{ \inf A , \inf B \}\]
3.11.4. Sup - Inf de l'intersection
Soit \(x \in A \cap B\) et \(M \in (\major A) \cup (\major B)\). On a soit :
- \(M \in \major A\) et alors \(M \ge x\) car \(x \in A\)
- \(M \in \major B\) et alors \(M \ge x\) car \(x \in B\)
On en déduit que :
\[(\major A) \cup (\major B) \subseteq \major (A \cap B)\]
Le minimum d'un ensemble inclus dans un autre devant être plus grand, on obtient :
\[\min \Big[ (\major A) \cup (\major B) \Big] \ge \min \major (A \cap B)\]
Comme le minimum de l'union est égal au minimum des minima, on a :
\[\min \Big[ (\major A) \cup (\major B) \Big] = \min \{ \min (\major A) , \min (\major B) \}\]
et :
\[\min \major (A \cap B) \le \min \{ \min (\major A) , \min (\major B) \}\]
On a donc par définition :
\[\sup (A \cap B) \le \min \{ \sup A , \sup B \}\]
En répétant le même raisonnement avec les minorants, on obtient :
\[\inf (A \cap B) \ge \max \{ \inf A , \inf B \}\]
4. Dualité
\label{chap:dualite}
4.1. Dépendances
- Chapitre \ref{chap:ordres} : Les ordres
4.2. Ordre dual
Soit un ensemble \(\Omega\) sur lequel est défini un ordre \(\le\). Soit \(x,y \in \Omega\). L'ordre dual de \(\le\), noté \(\le^\dual\), est défini par :
\[x \le^\dual y\]
si et seulement si :
\[y \le x\]
4.2.1. Ordre primal
Par opposition à l'ordre dual \(\le^\dual\), l'ordre \(\le\) est appelé ordre primal.
4.3. Comparaison élément - ensemble
Soit \(A \subseteq \Omega\) et un \(m \in \Omega\) vérifiant \(m \le A\). On a \(m \le a\) pour tout \(a \in A\), autrement dit \(m \ge^\dual a\). On en conclut que :
\[m \ge^\dual A\]
Soit \(m \in \Omega\) vérifiant \(m \ge A\). On a \(m \ge a\) pour tout \(a \in A\), autrement dit \(m \le^\dual a\). On en conclut que :
\[m \le^\dual A\]
4.4. Majorants et minorants
Soit \(A \subseteq \Omega\). Si :
\[m \in \minor_\le A\]
on a \(m \le A\). Donc \(m \ge^\dual A\) et :
\[m \in \major_{\le^\dual} A\]
Si :
\[m \in \major_{\le^\dual} A\]
on a \(m \ge A\). Donc \(m \le^\dual A\) et :
\[m \in \minor_\le A\]
On en conclut que :
\[\major_{\le^\dual} A = \minor_\le A\]
On montre avec des arguments similaires que :
\[\minor_{\le^\dual} A = \major_\le A\]
4.5. Éléments maximaux et minimaux
Soit \(A \subseteq \Omega\). Si :
\[m \in \minim_\le A\]
on a \(m = a\) pour tout \(a \in A\) vérifiant \(a \le m\). Donc, si \(a \ge^\dual m\) on a \(a \le m\) et \(m = a\). Autrement dit :
\[m \in \maxim_{\le^\dual} A\]
Si :
\[m \in \maxim_{\le^\dual} A\]
on a \(m = a\) pour tout \(a \in A\) vérifiant \(a \ge^\dual m\). Donc, si \(a \le m\) on a \(a \ge^\dual m\) et \(m = a\). Autrement dit :
\[m \in \minim_\le A\]
On en conclut que :
\[\maxim_{\le^\dual} A = \minim_\le A\]
On montre avec des arguments similaires que :
\[\minim_{\le^\dual} A = \maxim_\le A\]
4.6. Maximum et minimum
Soit \(A \subseteq \Omega\). Si l'ensemble des éléments minimaux pour \(\le\) se limite au minimum, on a :
\[\maxim_{\le^\dual} A = \minim_\le A = \accolades{\min_\le A}\]
L'ensemble des éléments maximaux pour \(\le^\dual\) se résumant à un singleton, on en déduit que le maximum pour \(\le^\dual\) existe :
\[\maxim_{\le^\dual} A = \accolades{\max_{\le^\dual} A}\]
et que :
\[\max_{\le^\dual} A = \min_\le A\]
On montre avec des arguments similaires que :
\[\min_{\le^\dual} A = \max_\le A\]
4.7. Supremum et Infimum
Soit \(A \subseteq \Omega\) admettant le supremum :
\[m = \sup_{\le^\dual} A\]
On a :
\[A \le^\dual m \le^\dual \major_{\le^\dual} A\]
ce qui implique :
\[\minor_\le A = \major_{\le^\dual} A \le m \le A\]
et vice versa. On en déduit que :
\[\sup_{\le^\dual} A = \inf_\le A\]
On montre avec des arguments similaires que :
\[\inf_{\le^\dual} A = \sup_\le A\]