Eclats de vers : Matemat 01 : Ensembles - 4

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Table des matières

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1 Fonctions et ordre

1.1 Dépendances

  • Chapitre \ref{chap:ordres} : Les ordres
  • Chapitre \ref{chap:extrema} : Les extrema

1.2 Monotonie

1.2.1 Croissance

On dit qu'une fonction \(f : A \to F\) est croissante si :

\[f(x) \ge f(y)\]

pour tout \(x,y \in A\) tels que \(x \ge y\). Autrement dit, une fonction croissante conserve l'ordre.

1.2.2 Décroissance

On dit qu'une fonction \(f : A \to F\) est décroissante si :

\[f(x) \le f(y)\]

pour tout \(x,y \in A\) tels que \(x \ge y\). Autrement dit, une fonction décroissante inverse l'ordre.

1.2.3 Stricte

On dit qu'une fonction \(f : A \to F\) est strictement croissante si :

\[f(x) \strictinferieur f(y)\]

pour tout \(x,y \in A\) tels que \(x \strictinferieur y\).

On dit qu'une fonction \(f : A \to F\) est strictement décroissante si :

\[f(x) \strictsuperieur f(y)\]

pour tout \(x,y \in A\) tels que \(x \strictinferieur y\).

1.3 Ordre entre fonctions

Soit les fonctions \(f,g \in B^A\). Supposons qu'il existe un ordre défini sur \(B\). On dit que \(f\) est inférieure à \(g\) et on le note :

\[f \le g\]

si et seulement si les valeurs de \(f\) sont inférieures aux valeurs de \(g\) :

\[f(x) \le g(x)\]

en tout point \(x \in A\). Symétriquement, on dit que \(f\) est supérieure à \(g\) et on le note :

\[f \ge g\]

si :

\[f(x) \ge g(x)\]

pour tout \(x \in A\).

1.3.1 Strict

On note également :

  • \(f \strictinferieur g\) si \(f(x) \strictinferieur g(x)\) pour tout \(x \in A\)
  • \(f \strictsuperieur g\) si \(f(x) \strictsuperieur g(x)\) pour tout \(x \in A\)

1.4 Fonctions extrema

Soit un ensemble de paramètres \(Z\) et la collection paramétrée de fonctions :

\[\{ f_z \in B^A : z \in Z \}\]

Sous réserve d'existence des extrema, on définit la fonction supremum par :

\[\left[ \sup_{z \in Z} f_z \right](x) = \sup_{z \in Z} f_z(x)\]

pour tout \(x \in A\). On définit la fonction infimum par :

\[\left[ \inf_{z \in Z} f_z \right](x) = \inf_{z \in Z} f_z(x)\]

pour tout \(x \in A\).

1.4.1 Maximum et minimum

Lorsque les maximum et minimum existent, on définit :

\( \left[ \max_{z \in Z} f_z \right](x) = \max_{z \in Z} f_z(x) \\ \\ \left[ \min_{z \in Z} f_z \right](x) = \min_{z \in Z} f_z(x) \)

1.4.2 Notation

On note aussi :

\( \sup \{ f_z : z \in Z \} = \sup_{z \in Z} f_z \\ \\ \inf \{ f_z : z \in Z \} = \inf_{z \in Z} f_z \\ \\ \max \{ f_z : z \in Z \} = \max_{z \in Z} f_z \\ \\ \min \{ f_z : z \in Z \} = \min_{z \in Z} f_z \)

1.4.3 Couples

On définit les fonctions \(M = \max\{f,g\}\) et \(m = \min\{f,g\}\) par :

\( M(x) = \max\{ f , g \}(x) = \max\{ f(x) , g(x) \} \\ m(x) = \min\{ f , g \}(x) = \min\{ f(x) , g(x) \} \)

pour tout \(x \in A\).

1.5 Ordre mixte

Soit la fonction \(f \in B^A\) et un \(c \in B\). Supposons qu'il existe un ordre défini sur \(B\). On dit que \(f\) est inférieure à \(c\) et on le note :

\[f \le c\]

si les valeurs de \(f\) sont inférieures à \(c\) :

\[f(x) \le c\]

en tout point \(x \in A\). Symétriquement, on dit que \(f\) est supérieure à \(c\) et on le note :

\[f \ge c\]

si :

\[f(x) \ge c\]

pour tout \(x \in A\).

1.5.1 Strict

On note également :

  • \(f \strictinferieur c\) si \(f(x) \strictinferieur c\) pour tout \(x \in A\).
  • \(f \strictsuperieur c\) si \(f(x) \strictsuperieur c\) pour tout \(x \in A\).

1.5.2 Fonctions max et min

On définit les fonctions \(\max\{f,c\}\) et \(\min\{f,c\}\) par :

\( \max\{ f , c \}(x) = \max\{ f(x) , c \} \\ \min\{ f , c \}(x) = \min\{ f(x) , c \} \)

pour tout \(x \in A\).

1.6 Extrema d'une fonction

Etant donné la fonction \(f : \Omega \mapsto B\) et le sous-ensemble \(A \subseteq \Omega\), on définit les extrema de \(f\) (s'ils existent) par :

\( \max_{x \in A} f(x) = \max \{ f(x) : x \in A \} \\ \\ \min_{x \in A} f(x) = \min \{ f(x) : x \in A \} \\ \\ \sup_{x \in A} f(x) = \sup \{ f(x) : x \in A \} \\ \\ \inf_{x \in A} f(x) = \inf \{ f(x) : x \in A \} \)

1.7 Arguments d'extrema

1.7.1 Maximum et minimum

L'ensemble des éléments de \(A\) qui maximisent \(f\) sur \(A\) est noté :

\[\arg\max_{x \in A} f(x) = \left\{ \alpha \in A : f(\alpha) = \max_{x \in A} f(x) \right\}\]

Dans le cas où cet ensemble contient un unique élément, on le note :

\[\alpha = \arg\max_{x \in A} f(x)\]

L'ensemble des éléments de \(A\) qui minimisent \(f\) sur \(A\) est noté :

\[\arg\min_{x \in A} f(x) = \left\{ \beta \in A : f(\beta) = \min_{x \in A} f(x) \right\}\]

Dans le cas où cet ensemble contient un unique élément, on le note :

\[\beta = \arg\min_{x \in A} f(x)\]

1.7.2 Supremum et infimum

L'ensemble des éléments de \(\Omega\) qui produisent une valeur égale au supremum des valeurs de \(f\) sur \(A \subseteq \Omega\) est noté :

\[\argument_\Omega\sup_{x \in A} f(x) = \left\{ \alpha \in \Omega : f(\alpha) = \sup_{x \in A} f(x) \right\}\]

Dans le cas où cet ensemble contient un unique élément, on le note :

\[\alpha = \argument_\Omega\sup_{x \in A} f(x)\]

L'ensemble des éléments de \(\Omega\) qui produisent une valeur égale à l'infimum des valeurs de \(f\) sur \(A \subseteq \Omega\) est noté :

\[\argument_\Omega\inf_{x \in A} f(x) = \left\{ \beta \in \Omega : f(\beta) = \inf_{x \in A} f(x) \right\}\]

Dans le cas où cet ensemble contient un unique élément, on le note :

\[\beta = \argument_\Omega\inf_{x \in A} f(x)\]

1.8 Extrema locaux

On dit que \(f\) atteint un minimum local en \(a \in A\) si il existe un voisinage \(U\) de \(x\) tel que :

\[f(a) \le f(x)\]

pour tout \(x \in U\). A l'inverse, on dit que \(f\) atteint un maximum local en \(a \in A\) si il existe un voisinage \(U\) de \(x\) tel que :

\[f(a) \ge f(x)\]

pour tout \(x \in U\).

1.9 Ordre entre fonctions et extrema

Soit les fonctions \(f,g : A \mapsto B\) telles que \(f \le g\). Supposons que \(\sigma \in \major g(A)\). On a \(\sigma \ge g(x) \ge f(x)\) pour tout \(x \in A\), d'où \(\sigma \ge f(x)\) et \(\sigma \in \major f(A)\). On en conclut que \(\major g(A) \subseteq \major f(A)\). Si les minima existent, on a donc :

\[\min \major f(A) \le \min \major g(A)\]

c'est-à-dire :

\[\sup_{x \in A} f(x) = \sup f(A) \le \sup g(A) = \sup_{x \in A} g(x)\]

Supposons que \(\lambda \in \minor f(A)\). On a \(\lambda \le f(x) \le g(x)\) pour tout \(x \in A\), d'où \(\lambda \le g(x)\) et \(\lambda \in \minor g(A)\). On en conclut que \(\minor f(A) \subseteq \minor g(A)\). Si les maxima existent, on a donc :

\[\max \minor f(A) \le \max \minor g(A)\]

c'est-à-dire :

\[\inf_{x \in A} f(x) = \inf f(A) \le \inf g(A) = \inf_{x \in A} g(x)\]

2 Bijections

2.1 Dépendances

  • Chapitre \ref{chap:fonctionsEtOrdre} : Fonctions et ordre

2.2 Inverse à gauche

Soit \(f : A \mapsto B\). Si \(l : B \mapsto A\) est une fonction telle que :

\[l \circ f = \identite\]

on dit que \(l\) est un inverse à gauche de \(f\).

2.2.1 Unicité

Soit \(y \in B\). Si \(f\) admet un inverse à gauche, on peut trouver au plus un seul \(x \in A\) tel que \(f(x) = y\). En effet, supposons que \(x_1, x_2 \in A\) avec \(f(x_1) = f(x_2) = y\). On a :

\[l(y) = (l \circ f)(x_1) = (l \circ f)(x_2)\]

mais comme \(l \circ f = \identite\), et que \(\identite(x) = x\) pour tout \(x \in A\), on a :

\[l(y) = x_1 = x_2\]

ce qui prouve l'unicité de la solution.

2.3 Inverse à droite

Soit \(f : A \mapsto B\). Si \(r : B \mapsto A\) est une fonction telle que :

\[f \circ r = \identite\]

on dit que \(r\) est un inverse à droite de \(f\).

2.3.1 Existence

Soit \(y \in B\). Si \(f\) admet un inverse à droite \(r\), on peut trouver au moins un \(x \in A\) tel que \(f(x) = y\). En effet, si l'on choisit \(x = r(y)\), on a :

\[f(x) = (f \circ r)(y) = \identite(y) = y\]

ce qui prouve l'existence de la solution.

2.4 Fonction inverse

Soit \(f : A \mapsto B\). Supposons que \(f\) admette à la fois un inverse à gauche \(l\) et un inverse à droite \(r\). Ces deux inverses sont dès lors identiques :

\[l = l \circ \identite = l \circ f \circ r = \identite \circ r = r\]

2.4.1 Existence et unicité

Soit \(y \in B\). On déduit des résultats précédents que l'on peut trouver un unique \(x \in A\), donné par \(x = r(y)\), tel que \(f(x) = y\). Nous pouvons dès lors définir la fonction inverse, notée \(f^{-1} : B \mapsto A\), par :

\[f^{-1}(y) = r(y)\]

pour tout \(y \in B\). On a donc :

\[f^{-1} = r = l\]

et :

\[f^{-1} \circ f = f \circ f^{-1} = \identite\]

2.4.2 Bijection

Lorsque \(f\) admet un inverse \(f^{-1}\), on dit que \(f\) est inversible ou que \(f\) est une bijection. On note :

\[\bijection(A,B) = \{ f \in B^A : \exists f^{-1} \in A^B \}\]

l'ensemble des bijections de \(A\) vers \(B\).

2.5 Relation

Lorsque \(f\) est inversible, l'image inverse de \(y \in B\) se réduit à un ensemble contenant un unique \(x \in A\). Soit \(R\) la relation associée à \(f\). On a :

\[R^{-1}(y) = \{ f^{-1}(y) \}\]

2.6 Inverse d'une composée

Soit \(f \in \bijection(A,B)\) et \(g \in \bijection(B,C)\). Nous allons essayer de trouver une expression de l'inverse \(h\) de la composée de ces deux fonctions. On part de la relation \(h \circ g \circ f = \identite\) et on compose à droite par l'inverse de \(f\) puis l'inverse de \(g\), ce qui nous donne :

\[h \circ g \circ f \circ f^{-1} \circ g^{-1} = \identite \circ f^{-1} \circ g^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}\]

Mais comme :

\[h \circ g \circ f \circ f^{-1} \circ g^{-1} = h \circ g \circ \identite \circ g^{-1} = h \circ g \circ g^{-1} = h \circ \identite = h\]

on a :

\[h = f^{-1} \circ g^{-1}\]

Partant de la relation \(g \circ f \circ h = \identite\) et composant à gauche par l'inverse de \(g\) puis par l'inverse de \(f\), on arrive au même résultat \(h = f^{-1} \circ g^{-1}\). Donc :

\[(g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}\]

On généralise par récurrence à \(n\) fonctions :

\[(f_n \circ ... \circ f_2 \circ f_1)^{-1} = f_1^{-1} \circ f_2^{-1} \circ ... \circ f_n^{-1}\]

2.7 Puissances négatives

Si \(f\) est inversible, on peut également définir les puissances négatives par :

\[f^{-n} = \left( f^{-1} \right)^n = f^{-1} \circ ... \circ f^{-1}\]

pour tout \(n \in \setN\).

2.8 Inverse d'une puissance

En considérant le cas particulier de fonctions identiques (\(f_1 = ... = f_n = f\)), l'expression de l'inverse d'une composition de fonctions nous montre que :

\[\left( f^{-1} \right)^n = f^{-n} = \left( f^n \right)^{-1}\]

L'inverse de la puissance est identique à la puissance de l'inverse.

2.9 Idempotence

On dit que deux ensembles \(A\) et \(B\) sont idempotents si il existe une bijection inversible de \(A\) vers \(B\) :

\[\bijection(A,B) \ne \emptyset\]

2.9.1 Equivalence

Soit les ensembles \(A\) et \(B\). Supposons qu'il existe une bijection \(f \in \bijection(A,B)\). On peut alors définir une équivalence sur \(A \cup B\) en disant que \(x \equiv y\) si \(x \in A\) avec \(y = f(x) \in B\), ou si \(x \in B\) avec \(y = f^{-1}(x) \in A\). Dans les autres cas, \(x\) ne sera pas équivalent à \(y\). Les classes d'quivalences seront donc de la forme :

\[\mathcal{E}(a) = \{ a , f(a) \}\]

pour tout \(a \in A\) et de la forme :

\[\mathcal{E}(b) = \{ b , f^{-1}(b) \}\]

pour tout \(b \in B\). Il y a donc une « équivalence » entre les éléments de \(A\) et les éléments de \(B\). Dans ce cas, on confond souvent les éléments \(x\) de \(A\) avec les éléments de \(\hat{x}\) de \(B\), et on note abusivement \(x = \hat{x}\).

2.9.2 Ensembles finis

Dans le cas d'ensembles finis, l'idempotence revient à dire que \(A\) et \(B\) ont le même nombre d'éléments.

2.10 Inverse des fonctions monotones

\begin{theoreme} Soit la fonction $f : A \mapsto B$ avec $B = f(A)$. Si $f$ est strictement croissante (ou décroissante), alors la fonction $f$ est inversible. \end{theoreme} \begin{demonstration} Choisissons $y \in B$ et considérons l'ensemble de solutions : $$S(y) = \{ x : f(x) = y \}$$ Comme $B = f(A)$, cet ensemble est non vide. Supposons $x_1,x_2 \in S(y)$ avec $x_1 \strictinferieur x_2$. On a alors, soit $f(x_1) \strictinferieur f(x_2)$ (si $f$ est strictement croissante), soit $f(x_1) \strictsuperieur f(x_2)$ (si $f$ est strictement décroissante). Or, par définition de $S(y)$, on doit avoir $f(x_1) = f(x_2) = y$. Il ne peut donc y avoir d'éléments distincts dans $S(y)$, et cet ensemble est de la forme : $$S(y) = \{ g(y) \}$$ relation qui définit implicitement la fonction $g : B \mapsto A$. On peut trouver un unique $g(y)$ tel que $f(g(y)) = y$. La fonction $f$ est donc inversible et : $$f^{-1} = g$$ \end{demonstration}

3 Ordre inclusif

3.1 Dépendances

  • Chapitre \ref{chap:collections} : Les collections
  • Chapitre \ref{chap:ordres} : Les ordres
  • Chapitre \ref{chap:extrema} : Les extrema

3.2 Ordre sur les ensembles

Soit l'ensemble \(\Omega\) et l'ensemble de ses sous-ensembles :

\[\sousens(\Omega) = \{ A : A \subseteq \Omega \}\]

On dit que \(A \in \sousens(\Omega)\) est plus petit ou égal à \(B \in \sousens(\Omega)\) au sens de l'ordre inclusif si et seulement si :

\[A \subseteq B\]

On voit qu'il s'agit d'un ordre partiel.

3.2.1 Attention

Ne pas confondre l'ordre inclusif \(\subseteq\) avec la comparaison d'ensembles \(\ensinferieur\) qui est elle basée sur l'ordre entre les éléments des ensembles concernés.

3.3 Extrema inclusifs d'une collection

Soit l'ensemble de paramètres \(X\) et la collection paramétrée :

\[\mathcal{C} = \{ A(x) \in \sousens(\Omega) : x \in X \}\]

3.3.1 Majorant

Si on veut qu'un ensemble quelconque \(M \subseteq \Omega\) soit un majorant inclusif de \(\mathcal{C}\), il faut que \(A(x) \subseteq M\) pour tout \(x \in X\). Pour cela, il faut et il suffit que \(M\) contienne tous les \(A(x)\). Autrement dit, il faut et il suffit que \(M\) contienne l'union des ensembles-éléments de la collection. On a donc :

\[\major_\subseteq \mathcal{C} = \left\{ M \in \sousens(\Omega) : \bigcup_{x \in X} A(x) \subseteq M \right\}\]

3.3.2 Supremum

Etudions l'ensemble :

\[S = \bigcup_{x \in X} A(x) \in \sousens(\Omega)\]

Comme :

\[\bigcup_{x \in X} A(x) \subseteq S\]

on a :

\[S \in \major_\subseteq \mathcal{C}\]

On voit aussi que \(S \subseteq M\) pour tout \(M \in \major_\subseteq \mathcal{C}\). On en déduit que :

\[S = \min_\subseteq \major_\subseteq \mathcal{C} = \sup_\subseteq \mathcal{C}\]

3.3.3 Minorant

Si on veut qu'un ensemble quelconque \(L \subseteq \Omega\) soit un minorant inclusif de \(\mathcal{C}\), il faut que \(L \subseteq A(x)\) pour tout \(x \in X\). Pour cela, il faut et il suffit que \(L\) soit contenu dans tous les \(A(x)\). Autrement dit, il faut et il suffit que \(L\) soit contenu dans l'intersection des ensembles-éléments de la collection. On a donc :

\[\minor_\subseteq \mathcal{C} = \left\{ L \in \sousens(\Omega) : L \subseteq \bigcap_{x \in X} A(x) \right\}\]

3.3.4 Infimum

Etudions l'ensemble :

\[I = \bigcap_{x \in X} A(x) \in \sousens(\Omega)\]

Comme :

\[I \subseteq \bigcap_{x \in X} A(x)\]

on a :

\[I \in \minor_\subseteq \mathcal{C}\]

On voit aussi que \(L \subseteq I\) pour tout \(L \in \minor_\subseteq \mathcal{C}\). On en déduit que :

\[I = \max_\subseteq \minor_\subseteq \mathcal{C} = \inf_\subseteq \mathcal{C}\]

3.3.5 Conclusion

Le supremum inclusif d'une collection de sous-ensembles de \(\Omega\) existe toujours dans \(\sousens(\Omega)\) et est égal à l'union de tous ces ensembles :

\[\sup_\subseteq \{ A(x) \in \sousens(\Omega) : x \in X \} = \bigcup_{x \in X} A(x)\]

L'infimum inclusif d'une collection de sous-ensembles de \(\Omega\) existe toujours dans \(\sousens(\Omega)\) et est égal à l'intersection de tous ces ensembles :

\[\inf_\subseteq \{ A(x) \in \sousens(\Omega) : x \in X \} = \bigcap_{x \in X} A(x)\]

Auteur: chimay

Created: 2019-10-01 mar 12:33

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