Eclats de vers : Matemat 03 : Ensembles - 5

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1 Treillis

1.1 Dépendances

  • Chapitre \ref{chap:ordreInclusif} : L'ordre inclusif

1.2 Définition

Soit l'ensemble \(\Omega\) et \(A,B \subseteq \Omega\). Au sens inclusif, les supremum et infimum de l'ensemble \(\{A,B\}\) existent toujours et :

\( \sup_\subseteq \{ A,B \} = A \cup B \\ \\ \inf_\subseteq \{ A,B \} = A \cap B \)

Le concept de treillis est une généralisation de cette propriété. Soit un ensemble \(\mathcal{T}\) sur lequel est défini l'ordre \(\le\). On dit que le couple \((\mathcal{T},\le)\) est un treillis si, pour tout éléments \(a,b \in \mathcal{T}\), le supremum et l'infimum de l'ensemble :

\[\{ a,b \}\]

existent :

\[\minor \{ a, b \} \le \inf \{ a, b \} \le \{ a, b \} \le \sup \{ a, b \} \le \major \{ a, b \}\]

Dans la suite, nous considérons un treillis \((\mathcal{T},\le)\).

1.3 Union généralisée

Soit \(a, b \in \mathcal{T}\). Par analogie avec l'union ensembliste, on définit l'opération d'union généralisée \(\sqcup\) par :

\[a \sqcup b = \sup \{ a, b \}\]

1.4 Intersection généralisée

Soit \(a, b \in \mathcal{T}\). Par analogie avec l'intersection ensembliste, on définit l'opération d'intersection généralisée \(\sqcap\) par :

\[a \sqcap b = \inf \{ a, b \}\]

1.5 Treillis dual

Le treillis dual de \((\mathcal{T},\le)\) est noté \((\mathcal{T},\le)^\dual\) et défini par :

\[(\mathcal{T},\le)^\dual = (\mathcal{T},\le^\dual)\]

où \(\le^\dual\) est l'ordre dual de \(\le\). On a bien entendu :

\[\sup_{\le^\dual} \{a,b\} = \inf_\le \{a,b\}\]

et :

\[\inf_{\le^\dual} \{a,b\} = \sup_\le \{a,b\}\]

Le treillis dual est donc également un treillis.

1.5.1 Union

Soit \(a,b \in \mathcal{T}\). On définit l'opération \(\sqcup^\dual\) par :

\[a \sqcup^\dual b = \sup_{\le^\dual} \{a,b\} = \inf_\le \{a,b\} = a \sqcap b\]

1.5.2 Intersection

Soit \(a,b \in \mathcal{T}\). On définit l'opération \(\sqcap^\dual\) par :

\[a \sqcap^\dual b = \inf_{\le^\dual} \{a,b\} = \sup_\le \{a,b\} = a \sqcup b\]

1.5.3 Primal

Par opposition au treillis dual \((\mathcal{T},\le)^\dual\), le treillis \((\mathcal{T},\le)\) est appelé treillis primal.

1.6 Éléments nul et universel

1.6.1 Élément nul

Si \(\mathcal{T}\) admet un minimum, on l'appelle élément nul de \(\mathcal{T}\) et on le note :

\[0 = \min \mathcal{T}\]

Soit \(a \in \mathcal{T}\). Si \(x \in \minor \{ 0, a \}\), on a \(x \le 0\). Comme on a également \(0 \le x\), on en conclut que \(x = 0\) et que :

\[\minor \{ 0, a \} = \{ 0 \}\]

Donc :

\[\inf \{ 0, a \} = \max \{ 0 \} = 0\]

On a aussi :

\[\{ 0, a \} \le a \le \major \{ 0, a \}\]

d'où l'on déduit :

\[\sup \{ 0, a \} = a\]

En termes d'opérations, ces résultats s'écrivent :

\[0 \sqcap a = 0\]

\[0 \sqcup a = a\]

1.6.2 Élément universel

Si \(\mathcal{T}\) admet un maximum, on l'appelle élément universel de \(\mathcal{T}\) et on le note :

\[1 = \max \mathcal{T}\]

Si \(x \in \major \{ 1, a \}\), on a \(x \ge 1\). Comme on a également \(1 \ge x\), on en conclut que \(x = 1\) et que :

\[\major \{ 1, a \} = \{ 1 \}\]

Donc :

\[\sup \{ 1, a \} = \min \{ 1 \} = 1\]

On a aussi :

\[\{ 1, a \} \ge a \ge \minor \{ 1, a \}\]

d'où l'on déduit :

\[\inf \{ 1, a \} = a\]

En termes d'opérations, ces résultats s'écrivent :

\[1 \sqcup a = 1\]

\[1 \sqcap a = a\]

1.6.3 Dualité

Sous réserve d'existence, on a :

\[0 = \min_\le \mathcal{T} = \max_{\le^\dual} \mathcal{T}\]

L'élément universel du treillis dual est donc égal à l'élément nul du treillis primal :

\[1^\dual = 0\]

Sous réserve d'existence, on a :

\[1 = \max_\le \mathcal{T} = \min_{\le^\dual} \mathcal{T}\]

L'élément nul du treillis dual est donc égal à l'élément universel du treillis primal :

\[0^\dual = 1\]

1.7 Complémentaire

On dit que \(x^\ddagger \in \mathcal{T}\) est un complémentaire de \(x \in \mathcal{T}\) si :

\[x \sqcup x^\ddagger = 1\]

\[x \sqcap x^\ddagger = 0\]

1.7.1 Dualité

En termes d'opérations du treillis dual, les conditions de complémentarité s'écrivent :

\[x \sqcap^\dual x^\ddagger = 0^\dual\]

\[x \sqcup^\dual x^\ddagger = 1^\dual\]

On en conclut que \(x^\ddagger\) est également le complémentaire de \(x\) au sens du treillis dual.

1.8 Distributivité

On dit que \((\mathcal{T},\le)\) est un treillis distributif si :

\[a \sqcup (b \sqcap c) = (a \sqcup b) \sqcap (a \sqcup c)\]

\[a \sqcap (b \sqcup c) = (a \sqcap b) \sqcup (a \sqcap c)\]

pour tout \(a,b,c \in \mathcal{T}\).

1.9 Booléen

Un treillis \((\mathcal{T},\le)\) est dit booléen si et seulement si :

  • il comprend un élément nul et un élément universel
  • il est distributif
  • chaque élément de \(\mathcal{T}\) admet un complémentaire

1.10 Idempotence

Soit \(a \in \mathcal{T}\). On a :

\[\{a\} \le a \le \major\{a\}\]

donc :

\[a = \sup\{a\}\]

On en conclut que :

\[a \sqcup a = \sup\{a,a\} = \sup\{a\} = a\]

On a :

\[\minor\{a\} \le a \le \{a\}\]

donc :

\[a = \inf\{a\}\]

On en conclut que :

\[a \sqcap a = \inf\{a,a\} = \inf\{a\} = a\]

1.11 Sous-ensemble fini

1.11.1 Supremum

Nous allons voir que tout sous-ensemble fini d'un treillis admet un supremum. On sait déjà que c'est vrai pour des ensembles comportant un ou deux éléments. Supposons à présent que ce soit vrai pour les sous-ensembles de maximum \(n - 1\) éléments, où \(n\) est un naturel vérifiant \(n \ge 2\). Soit :

\[A = \{ a_1, a_2, ..., a_n \} \subseteq \mathcal{T}\]

Choisissons \(i \in \{ 1, 2, ..., n \}\) et posons :

\[x = a_i\]

\[Z = A \setminus \{ x \} = \{ ..., a_{i - 1}, a_{i + 1}, ... \}\]

L'ensemble \(Z\) comportant \(n - 1\) éléments, il admet un supremum :

\[\mu = \sup Z\]

Posons :

\[\sigma = \sup \{ \mu, x \}\]

On a :

\[\sigma \ge \mu \ge Z\] \[\sigma \ge \{ x \}\]

donc :

\[\sigma \ge Z \cup \{ x \} = A\]

et :

\[\sigma \in \major A\]

Choisissons :

\[\varkappa \in \major A\]

On a :

\[\varkappa \ge Z\] \[\varkappa \ge \{ x \}\]

La première inégalité nous dit que :

\[\varkappa \in \major Z\]

Le supremum étant le plus petit des majorants, on doit donc avoir :

\[\varkappa \ge \mu\]

Comme on a également :

\[\varkappa \ge x\]

on en conclut que :

\[\varkappa \in \major \{ \mu, x \}\]

Le supremum étant le plus petit des majorants, on doit donc avoir :

\[\varkappa \ge \sigma\]

Nous venons de prouver que :

\[\sigma = \min \major A = \sup A\]

Tout sous-ensemble fini non vide \(A \subseteq \mathcal{T}\) possède un supremum. Si \(A\) compte au moins deux éléments, on a :

\[\sup A = \sup \Big\{ \sup\big(A \setminus \{ x \}\big) , x \Big\}\]

1.11.2 Infimum

Nous allons voir que tout sous-ensemble fini d'un treillis admet un infimum. On sait déjà que c'est vrai pour des ensembles comportant un ou deux éléments. Supposons à présent que ce soit vrai pour les sous-ensembles de maximum \(n - 1\) éléments, où \(n\) est un naturel vérifiant \(n \ge 2\). Soit :

\[A = \{ a_1, a_2, ..., a_n \} \subseteq \mathcal{T}\]

Choisissons \(i \in \{ 1, 2, ..., n \}\) et posons :

\[x = a_i\]

\[Z = A \setminus \{ x \} = \{ ..., a_{i - 1}, a_{i + 1}, ... \}\]

L'ensemble \(Z\) comportant \(n - 1\) éléments, il admet un infimum :

\[\gamma = \inf Z\]

Posons :

\[\lambda = \inf \{ \gamma, x \}\]

On a :

\[\lambda \le \gamma \le Z\] \[\lambda \le \{ x \}\]

donc :

\[\lambda \le Z \cup \{ x \} = A\]

et :

\[\lambda \in \minor A\]

Choisissons :

\[\vartheta \in \minor A\]

On a :

\[\vartheta \le Z\] \[\vartheta \le \{ x \}\]

La première inégalité nous dit que :

\[\vartheta \in \minor Z\]

L'infimum étant le plus grand des minorants, on doit donc avoir :

\[\vartheta \le \gamma\]

Comme on a également :

\[\vartheta \le x\]

on en conclut que :

\[\vartheta \in \minor \{ \gamma, x \}\]

L'infimum étant le plus grand des minorants, on doit donc avoir :

\[\vartheta \le \lambda\]

Nous venons de prouver que :

\[\lambda = \max \minor A = \inf A\]

Tout sous-ensemble fini non vide \(A \subseteq \mathcal{T}\) possède un infimum. Si \(A\) compte au moins deux éléments, on a :

\[\inf A = \inf \Big\{ \inf\big(A \setminus \{ x \}\big) , x \Big\}\]

1.12 Commutativité

Soit \(a, b \in \mathcal{T}\). Comme \(\{a,b\} = \{b,a\}\), on a clairement :

\[a \sqcup b = b \sqcup a\]

et :

\[a \sqcap b = b \sqcap a\]

1.13 Associativité

1.13.1 Union

On a :

\[\sup \big\{ a, \sup \{b, c\} \big\} = \sup \{a,b,c\} = \sup \big\{ \sup \{a, b\}, c \big\}\]

En terme d'opération, ce résultat implique l'associativité de l'union généralisée :

\[a \sqcup (b \sqcup c) = (a \sqcup b) \sqcup c\]

On définit donc :

\[a \sqcup b \sqcup c = a \sqcup (b \sqcup c) = (a \sqcup b) \sqcup c\]

Plus généralement, on a :

\[a_1 \sqcup a_2 \sqcup ... \sqcup a_n = \sup \{ a_1, a_2, ..., a_n \}\]

pour tout \(a_1, a_2, ..., a_n \in \mathcal{T}\).

1.13.2 Intersection

Le treillis dual \((\mathcal{T},\le^\dual)\) étant également un treillis, on a la propriété :

\[a \sqcup^\dual (b \sqcup^\dual c) = (a \sqcup^\dual b) \sqcup^\dual c\]

pour tout \(a,b,c \in \mathcal{T}\). Cette relation traduite en terme d'opérations du treillis primal nous donne l'associativité de l'intersection généralisée :

\[a \sqcap (b \sqcap c) = (a \sqcap b) \sqcap c\]

On définit donc :

\[a \sqcap b \sqcap c = a \sqcap (b \sqcap c) = (a \sqcap b) \sqcap c\]

Plus généralement, on a :

\[a_1 \sqcap a_2 \sqcap ... \sqcap a_n = \inf \{ a_1, a_2, ..., a_n \}\]

pour tout \(a_1, a_2, ..., a_n \in \mathcal{T}\).

1.14 Absorption

Soit \(a, b \in \mathcal{T}\). Posons :

\[\sigma = \sup\{a,b\}\]

Comme \(\sigma \ge a\), on a :

\[a \le \{a,\sigma\}\]

Choisissons \(\lambda \in \mathcal{T}\) tel que :

\[\lambda \le \{a,\sigma\}\]

on a alors forcément :

\[\lambda \le a\]

d'où l'on conclut que :

\[\minor \{a,\sigma\} \le a \le \{a,\sigma\}\]

L'élément \(a\) est donc l'infimum de \(\{a,\sigma\}\) :

\[a = \inf \{a,\sigma\}\]

Par définition de \(\sigma\), on a donc :

\[a = \inf \{a, \sup \{a, b\} \}\]

Exprimée en terme d'opérations, cette relation devient :

\[a = a \sqcap (a \sqcup b)\]

Cette même propriété étant valable pour le treillis dual, on a :

\[a = a \sqcap^\dual (a \sqcup^\dual b)\]

Équation qui peut être réexprimée en termes d'opérations du treillis primal, ce qui nous donne :

\[a = a \sqcup (a \sqcap b)\]

1.15 Treillis d'ensemble

Une collection \(\mathcal{C}\) de sous-ensembles d'un ensemble de référence \(\Omega\) :

\[\mathcal{C} \subseteq \sousens(\Omega)\]

est un treillis d'ensembles si et seulement si :

\[\emptyset,\Omega \in \mathcal{C}\]

et :

\[A \cup B \in \mathcal{C}\]

\[A \cap B \in \mathcal{C}\]

pour tout \(A,B \in \mathcal{C}\). Le couple \((\mathcal{C},\subseteq)\) est un cas particulier de treillis.

1.15.1 Élément nul

Un treillis d'ensembles comporte toujours un élément nul :

\[\emptyset = \min_{\subseteq} \mathcal{C}\]

1.15.2 Élément universel

Un treillis d'ensembles comporte toujours un élément universel :

\[\Omega = \max_{\subseteq} \mathcal{C}\]

2 Tribus

\label{chap:tribus}

2.1 Dépendances

  • Chapitre \ref{chap:collections} : Les collections
  • Chapitre \ref{chap:ordreInclusif} : L'ordre inclusif

2.2 Définition

Soit un ensemble \(\Omega\) et une collection de sous-ensembles \(\mathcal{T} \subseteq \sousens(\Omega)\). On dit que \(\mathcal{T}\) forme une tribu sur \(\Omega\) si et seulement si les conditions suivantes sont remplies :

  • \(\emptyset \in \mathcal{T}\)
  • si \(A \in \mathcal{T}\), on a aussi \(\Omega \setminus A \in \mathcal{T}\)
  • l'union de toute suite discrète \(A_1,A_2,... \in \mathcal{T}\)

appartient aussi à la collection :

\[\bigcup_i A_i \in \mathcal{T}\]

On note \(\tribu(\Omega)\) l'ensemble des tribus sur \(\Omega\).

2.3 Corollaire

On conclut directement de la définition que :

\[\Omega = \Omega \setminus \emptyset \in \mathcal{T}\]

2.4 Intersection

Soit les \(A_i \in \mathcal{T}\) et leurs complémentaires :

\[B_i = \Omega \setminus A_i \in \mathcal{T}\]

On a aussi :

\[A_i = \Omega \setminus B_i\]

En prenant l'intersection de tous les \(A_i\), on obtient :

\[\bigcap_i A_i = \Omega \setminus \crochets{\bigcup_i B_i} \in \mathcal{T}\]

On en déduit que toute intersection dénombrable d'éléments de \(\mathcal{T}\) est également dans \(\mathcal{T}\).

2.5 Différence

Soit \(A,B \in \mathcal{T}\), on a

\[A \setminus B = A \cap (\Omega \setminus B) \in \mathcal{T}\]

2.6 Tribu engendrée

Les collections d'ensemble étant des ensembles d'ensembles, on peut également les comparer au moyen de l'inclusion. En ce sens, la tribu engendrée par la collection \(\mathcal{C} \subseteq \sousens(\Omega)\) est la plus petite tribu contenant les éléments de \(\mathcal{C}\). On la note :

\[\tribu(\mathcal{C},\Omega) = \inf_\subseteq \{ \mathcal{T} \in \tribu(\Omega) : \mathcal{C} \subseteq \mathcal{T} \}\]

3 Topologies

\label{chap:topologies}

3.1 Dépendances

  • Chapitre \ref{chap:collections} : Les collections
  • Chapitre \ref{chap:ordreInclusif} : L'ordre inclusif

3.2 Définition

Soit un ensemble \(\Omega\) et une collection de sous-ensembles \(\topologie \subseteq \sousens(\Omega)\). On dit que \(\topologie\) forme une topologie sur \(\Omega\) si et seulement si les conditions suivantes sont remplies :

  • \(\emptyset, \Omega \in \topologie\)
  • pour toute sous-collection \(\mathcal{C} \subseteq \topologie\), l'union des ensembles-éléments de \(\mathcal{C}\) appartient également à la topologie :

\[\bigcup \mathcal{C} \in \topologie\]

  • si \(A,B \in \topologie\), leur intersection appartient également à la topologie :

\[A \cap B \in \topologie\]

On note \(\topologies(\Omega)\) l'ensemble des topologies sur \(\Omega\).

3.3 Espace topologique

Si \(\topologie\) est une topologie sur \(\Omega\), on dit que le couple \((\Omega,\topologie)\) forme un espace topologique.

3.4 Ouvert

On appelle « ouvert » tout ensemble \(U \in \topologie\).

3.5 Fermé

On appelle « fermé » tout complémentaire d'un ouvert. Si \(F \subseteq \Omega\) est un fermé, on peut donc écrire :

\[F = \Omega \setminus U\]

pour un certain \(U \in \topologie\). On note la collection des ensembles fermés par :

\[\ferme = \{ \Omega \setminus U : U \in \topologie \}\]

3.5.1 Intersection

Soit une collection d'ouverts \(\mathcal{C} \subseteq \topologie\) et la collection de fermés correspondant :

\[\mathcal{F} = \{ \Omega \setminus U : U \in \mathcal{C} \}\]

L'intersection de tous ces fermés :

\[\bigcap \mathcal{F} = \Omega \setminus \bigcup \mathcal{C}\]

est le complémentaire de l'ensemble :

\[U = \bigcup \mathcal{C}\]

qui est un ouvert. On en conclut qu'une intersection de fermés est un fermé.

3.5.2 Union

Soit les ouverts \(U,V \in \topologie\) et les fermés correspondant :

\( F = \Omega \setminus U \\ G = \Omega \setminus V \)

On a :

\[F \cup G = \Omega \setminus (U \cap V)\]

L'ensemble \(U \cap V\) étant un ouvert, on en conclut que l'union de deux fermés est un fermé.

3.6 Ouverts fermés

On a \(\{\emptyset,\Omega\} \subseteq \topologie \cap \ferme\).

3.7 Voisinage

On dit que \(V \subseteq \Omega\) est un voisinage de \(x \in \Omega\) si il existe un ouvert \(U \in \topologie\) tel que \(x \in U \subseteq V\).

3.8 Adhérence

L'adhérence, ou fermeture, d'un ensemble \(A \subseteq \Omega\) est le plus petit (au sens inclusif) ensemble fermé \(F\) contenant \(A\). On la note :

\[\adh A = \inf_\subseteq \{ F \in \ferme : A \subseteq F \} = \bigcap \{ F \in \ferme : A \subseteq F \}\]

3.9 Intérieur

L'intérieur d'un ensemble \(A \subseteq \Omega\) est le plus grand ensemble ouvert contenu dans \(A\). On le note :

\[\interieur A = \sup_\subseteq \{ U \in \topologie : U \subseteq A \} = \bigcup \{ U \in \topologie : U \subseteq A \}\]

3.10 Frontière

La frontière de \(A\) est la différence entre l'adhérence et l'intérieur :

\[\frontiere A = (\adh A) \setminus (\interieur A)\]

3.11 Propriétés de l'adhérence et de l'intérieur

3.11.1 Inclusions

On a bien entendu :

\[\interieur A \subseteq A \subseteq \adh A\]

3.11.2 Nature

Une union quelconque d'ouverts étant un ouvert, on a \(\interieur A \in \topologie\). Une intersection quelconque de fermés étant un fermé, on a \(\adh A \in \ferme\).

3.11.3 Complémentaire

Les fermés \(F\) contenant \(A\) correspondent aux complémentaires des ouverts \(U = \Omega \setminus F\) inclus dans \(\Omega \setminus A\). Comme \(\bigcap F = \Omega \setminus \bigcup U\), on a :

\[\adh A = \Omega \setminus \interieur (\Omega \setminus A)\]

Les ouverts \(U\) inclus dans \(A\) correspondent aux complémentaires des fermés \(F = \Omega \setminus U\) contenant \(\Omega \setminus A\). La relation \(\bigcup U = \Omega \setminus \bigcap F\) nous dit que :

\[\interieur A = \Omega \setminus \adh (\Omega \setminus A)\]

3.12 Hausdorff

On dit que le couple \((\Omega,\topologie)\) est un espace de Haussdorff si, pour tout \(x,y \in \Omega\) vérifiant \(x \ne y\), on peut trouver des ouverts \(U, V \in \topologie\) tels que :

\[x \in U, \ y \in V\]

et :

\[U \cap V = \emptyset\]

3.13 Topologie engendrée

Les collections d'ensemble étant des ensembles d'ensembles, on peut également les comparer au moyen de l'inclusion. En ce sens, la topologie engendrée par la collection \(\mathcal{C} \subseteq \sousens(\Omega)\) est la plus petite topologie contenant les ensembles-éléments de \(\mathcal{C}\). On la note :

\[\topologies(\mathcal{C},\Omega) = \inf_\subseteq \{ \topologie \in \topologies(\Omega) : \mathcal{C} \subseteq \topologie \}\]

Auteur: chimay

Created: 2019-10-01 mar 12:34

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