Eclats de vers : Matemat 02 : Ensembles

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Les ensembles sont des regroupements d'objets appelés éléments.

Il existe deux méthodes permettant de définir un ensemble. Lorsqu'il n'existe qu'un nombre fini d'éléments distincts, on peut les énumérer :

\[A = \{ a, b, c, ..., z \}\]

On dit alors que \(x\) appartient à \(A\), et on le note :

\[x \in A\]

si \(x\) fait partie de la liste \(a, b, c, ..., z\). Dans le cas contraire, \(x\) n'appartient pas à \(A\), ce que l'on note par :

\[x \notin A\]

On peut aussi définir un ensemble en demandant que ses éléments respectent certaines conditions. On dit alors que \(x \in A\) si \(x\) vérifie toutes les conditions nécessaires pour appartenir à l'ensemble \(A\) ou que \(x \notin A\) si au moins une des conditions n'est pas remplie. Le schéma de ce type de définition s'écrit :

\[A = \{ x : \text{ une ou plusieurs conditions sur } x \}\]

Dans ce cas, le nombre d'éléments de l'ensemble peut être fini ou infini.

Le symbole \(\exists\) signifie « il existe » et le symbole \(\forall\) signifie « pour tout »

L'ensemble vide \(\emptyset = \{\}\) est un cas particulier ne contenant aucun élément :

\[x \notin \emptyset\]

quelle que soit la nature de \(x\).

L'ensemble des nombres naturels se construit à partir d'un élément « racine » \(0\), auquel on ajoute indéfiniment des successeurs. Le successeur de \(0\) est noté \(0^+\) ou \(1\). On dit aussi que \(0\) est le prédécesseur de \(1\) et on le note \(1^- = 0\). Arrivé à l'élément \(i\), on ajoute le successeur de \(i\), noté :

\[j = i^+\]

On dit aussi que \(i\) est le prédécesseur de \(j\) et on le note :

\[i = j^-\]

On a donc :

\[i^{+-} = j^- = i\]

et :

\[j^{-+} = i^+ = j\]

L'ensemble des objets ainsi crée est appelé l'ensemble des nombres naturels et noté \(\setN\). En l'exprimant au moyen des symboles usuels, on a dans l'ordre de succession :

\[\setN = \{ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,... \}\]

On dit que \(A\) est inclus dans \(B\) et on note :

\[A \subseteq B\]

si tous les éléments de \(A\) appartiennent aussi à \(B\) :

\[x \in A \ \Rightarrow \ x \in B\]

On dit alors que \(A\) est un sous-ensemble, ou une partie de \(B\).

Deux ensembles \(A\) et \(B\) sont dit égaux et on le note :

\[A = B\]

si tout élément de \(A\) appartient aussi à \(B\) et si tout élément de \(B\) appartient aussi à \(A\) :

\[x \in A \ \Leftrightarrow \ x \in B\]

ce qui revient à dire que l'on a inclusion mutuelle de \(A\) et \(B\) :

\[A = B \ \Leftrightarrow \ A \subseteq B \text{ et } B \subseteq A\]

L'union de deux ensembles \(A \cup B\) est l'ensemble contenant les éléments de \(A\) et les éléments de \(B\). Un élément quelconque de \(A \cup B\) peut donc appartenir à \(A\), à \(B\) ou aux deux ensembles simultanément :

\[A \cup B = \{ x : x \in A \text{ ou/et } x \in B \}\]

L'intersection \(A \cap B\) est l'ensemble des éléments qui appartiennent à la fois à \(A\) et à \(B\) :

\[A \cap B = \{ x : x \in A \text{ et } x \in B \}\]

Soit les ensembles \(A,B,C\). On définit :

\[A \cup B \cup C = A \cup (B \cup C)\]

Comme les éléments de \(A \cup B \cup C\) sont les éléments qui appartiennent à au moins un des ensembles \(A,B,C\), on voit que :

\[A \cup B \cup C = (A \cup B) \cup C\]

On en conclut que :

\[A \cup B \cup C = A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C\]

On définit aussi :

\[A \cap B \cap C = A \cap (B \cap C)\]

Comme les éléments de \(A \cap B \cap C\) sont les éléments qui appartiennent simultanément à \(A,B,C\), on voit que :

\[A \cap B \cap C = (A \cap B) \cap C\]

On en conclut que :

\[A \cap B \cap C = A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C\]

On a clairement :

Soit les ensembles \(A,B,C\). Lorsque \(x\) appartient à la fois à \(A\) et à au moins un des deux ensembles \(B\) et \(C\), on sait que \(x\) appartient à \(A\) et \(B\) ou qu'il appartient à \(A\) et \(C\), et inversément. On a donc :

\[A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)\]

On dit que l'intersection se distribue sur l'union. On a également la relation :

\[A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)\]

On dit que l'union se distribue sur l'intersection.

La différence \(A \setminus B\) est l'ensemble des éléments qui appartiennent à \(A\) mais pas à \(B\) :

\[A \setminus B = \{ x : x \in A \text{ et } x \notin B \}\]

Soit les ensembles \(A,B\). Les éléments de \(A\) sont de deux types :

• ceux qui appartiennent également à \(B\)
• ceux qui n'appartiennent pas à \(B\)

On en conclut que :

\[A = (A \cap B) \cup (A \setminus B)\]

On voit que les deux sous-ensembles de \(A\) sont disjoints :

\[(A \cap B) \cap (A \setminus B) = \emptyset\]

Si \(A \subseteq \Omega\), on dit que \(C = \Omega \setminus A\) est le complémentaire de \(A\) dans \(\Omega\), ou simplement que \(C\) est le complémentaire de \(A\) lorsque l'ensemble \(\Omega\) est évident d'après le contexte.

• Chapitre \ref{chap:ensembles} : Les ensembles

Une collection est un ensemble d'ensembles, c'est-à-dire un ensemble dont les éléments sont également des ensembles.

Une collection particulièrement importante est l'ensemble des sous-ensembles d'un ensemble donné \(A\). On le note :

\[\sousens(A) = \{ S : S \subseteq A \}\]

{\em Remarque :} la notation \(\sousens\) est une notation globale, vous la retrouver dans d'autres chapitres.

Soit un ensemble \(\Omega\) et une collection d'ensembles \(\mathcal{C} \subseteq \sousens(\Omega)\). On définit l'union des ensembles-éléments de \(\mathcal{C}\) par :

\[\bigcup \mathcal{C} = \{ a \in \Omega : \text{ il existe } A \in \mathcal{C} \text{ tel que } a \in A \}\]

Il s'agit donc de l'ensemble dont chaque élément appartient à au moins un des ensembles-éléments de \(\mathcal{C}\).

Soit un ensemble \(\Omega\) et une collection d'ensembles \(\mathcal{C} \subseteq \sousens(\Omega)\). On définit l'intersection des ensembles-éléments de \(\mathcal{C}\) par :

\[\bigcap \mathcal{C} = \{ a \in \Omega : a \in A \text{ pour tout } A \in \mathcal{C} \}\]

Il s'agit donc de l'ensemble dont chaque élément appartient à tous les ensembles-éléments de \(\mathcal{C}\).

Soit un ensemble \(X\) et la collection :

\[\mathcal{C} = \{ A(x) \in \sousens(\Omega) : x \in X \}\]

On appelle ce type de collection une collection paramétrée. L'ensemble \(X\) est appelé ensemble de paramètres.

Soit $A_1,A2,A3,…$ une collection finie ou infinie d'ensembles. L'union de tous ces ensembles se note :

\[\bigcup_i A_i = A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup ...\]

L'ensemble des éléments qui sont communs à tous ces ensembles se note :

\[\bigcap_i A_i = A_1 \cap A_2 \cap A_3 \cap ...\]

On a :

\[A \cap \bigcup_{x \in X} B(x) = \bigcup_{x \in X} \big[A \cap B(x)\big]\]

et :

\[A \cup \bigcap_{x \in X} B(x) = \bigcap_{x \in X} \big[A \cup B(x)\big]\]

Les collections discrètes en sont un cas particulier :

Soit une collection \(\{ A(x) : x \in X \} \subseteq \sousens(\Omega)\) de sous-ensembles de \(\Omega\). On a :

\[\Omega \setminus \bigcup_{x \in X} A(x) = \bigcap_{x \in X} \big[\Omega \setminus A(x)\big]\]

et :

\[\Omega \setminus \bigcap_{x \in X} A(x) = \bigcup_{x \in X} \big[\Omega \setminus A(x)\big]\]

Les collections discrètes en sont un cas particulier :

• Chapitre \ref{chap:collections} : Les collections

Une partition, ou découpage, d'un ensemble \(A\) est une collection de sous-ensembles de \(A\) :

\[\mathcal{P} = \{ P(x) \in \sousens(A) : x \in X \}\]

vérifiant certaines propriétés : les ensembles de \(\mathcal{P}\) doivent permettre de reconstituer \(A\) par leur union :

\[A = \bigcup_{x \in X} P(x)\]

et ne doivent pas se chevaucher. Leur intersection est donc vide dès que \(x,y \in X\) vérifient \(x \ne y\) :

\[P(x) \cap P(y) = \emptyset\]

On note \(\partition(A)\) l'ensemble des collections formant une partition de \(A\).

Pour qu'une collection \(\{A_1,A_2,...\}\) de sous-ensembles de \(A\) forme une partition de \(A\), il faut que :

\[A = \bigcup_i A_i\]

et que :

\[A_i \cap A_j = \emptyset\]

pour tout \(i \ne j\).

• Chapitre \ref{chap:ensembles} : Les ensembles

Le produit cartésien \(\times\) de deux ensembles \(A\) et \(B\) permet de construire des ensembles contenant des couples d'éléments \((x,y)\) :

\[A \times B = \{ (x,y) : x \in A \ \text{ et } \ y \in B \}\]

Les éléments \(x\) et \(y\) sont appelée composantes du couple \((x,y)\).

On généralise aux tuples \((x_1,x_2,...,x_n)\) formés d'éléments des ensembles \(A_1, A_2, ..., A_n\) par :

\[A_1 \times A_2 \times ... \times A_n = \{ (x_1,x_2,...,x_n) : x_1 \in A_1, x_2 \in A_2, ..., x_n \in A_n \}\]

Les éléments \(x_1,x_2,...,x_n\) sont appelés composantes du tuple \((x_1,x_2,...,x_n)\)

On dit que les deux tuples :

\[x = (x_1,x_2,...,x_n) \in A_1 \times A_2 \times ... \times A_n\]

et :

\[y = (y_1,y_2,...,y_n) \in A_1 \times A_2 \times ... \times A_n\]

sont égaux et on le note :

\[(x_1,x_2,...,x_n) = (y_1,y_2,...,y_n)\]

ou plus simplement :

\[x = y\]

si et seulement si toutes leurs composantes sont identiques :

\[x_i = y_i\]

pour tout \(i \in \{1,2,...,n\}\).

On note \(A^n\) l'ensemble des tuples composés de \(n\) éléments de \(A\) :

\[A^n = \{ (x_1,x_2,...,x_n) : x_1,x_2,...,x_n \in A \}\]

Un exemple courant :

\[A^2 = A \times A\]

• Chapitre \ref{chap:ensembles} : Les ensembles
• Chapitre \ref{chap:produitCartesien} : Produit cartésien

Une relation \(R\) est un ensemble de couples \((x,y) \in A \times B\) reliant des éléments de \(A\) à des élements de \(B\). On note \(\relation(A,B)\) l'ensemble des relations sur \(A,B\) :

\[\relation(A,B) = \{ R : R \subseteq A \times B \}\]

On dit que \(x \in A\) est en relation \(R\) avec \(y \in B\) si \((x,y) \in R\). On le note aussi :

\[x \ R \ y\]

A toute relation \(R\), on associe une relation inverse \(R^{-1}\) en intervertissant \(x\) et \(y\) :

\[R^{-1} = \{ (y,x) \in B \times A : (x,y) \in R \}\]

La relation identité \(\identite \subseteq X \times X\) est définie par :

\[\identite = \{ (x,x) : x \in X \}\]

Elle vérifie la propriété :

\[\identite^{-1} = \identite\]

L'image de \(x \in A\) par \(R\) est l'ensemble des éléments de \(B\) en relation avec \(x\) :

\[R(x) = \{ y \in B : (x,y) \in R \}\]

On généralise la notion d'image aux sous-ensembles \(X \subseteq A\) :

\[R(X) = \{ y \in B : x \in X, \ (x,y) \in R \}\]

L'image inverse de \(y \in B\) est l'ensemble des éléments de \(A\) en relation avec \(y\) :

\[R^{-1}(y) = \{ x \in A : (x,y) \in R \}\]

On généralise la notion d'image inverse aux sous-ensembles \(Y \subseteq B\) :

\[R^{-1}(Y) = \{ x \in A : y \in Y, \ (x,y) \in R \}\]

Lorsqu'on ne précise pas l'ensemble, l'image de \(R\) est simplement l'image de \(A\) :

\[\image R = R(A)\]

Le domaine de \(R\) est un cas particulier d'image inverse :

\[\domaine R = R^{-1}(B) = \{ x \in A : y \in B, \ (x,y) \in R \}\]

A partir d'une relation \(R\) reliant \(A\) à \(B\) et d'une relation \(S\) reliant \(B\) à \(C\), on peut construire une relation composée \(S \circ R\) (lire \(S\) après \(R\)) reliant \(A\) a \(C\). Pour que le couple \((x,z)\) appartienne à \(S \circ R\), on doit pouvoir trouver un élément intermédiaire \(y \in B\) tel que \((x,y) \in R\) et \((y,z)\in S\). Ce \(y\) doit donc appartenir simultanément à \(R(x)\) et à \(S^{-1}(z)\). On a par conséquent :

\[S \circ R = \{ (x,z) \in A \times C : R(x) \cap S^{-1}(z) \ne \emptyset \}\]

ou encore :

\[S \circ R = \{ (x,z) \in A \times C : \exists y \in B : (x,y) \in R, \ (y,z) \in S \}\]

Soit une relation \(R \in \relation(A,A)\). On définit la puissance par :

\begin{align} R^0 &= \identite \\ R^n &= R \circ R^{n-1} \end{align}

On a donc en particulier \(R^1 = R\) et :

\[R^n = R \circ ... \circ R\]

• Chapitre \ref{chap:ensembles} : Les ensembles
• Chapitre \ref{chap:relations} : Les relations

Une fonction \(f\) de \(A\) vers \(B\) associe à chaque \(x \in A\) un unique élément \(f(x) \in B\). On note \(\fonction(A,B)\) l'ensemble des fonctions \(f\) de \(A\) vers \(B\). On utilise aussi la notation :

\[f : A \mapsto B\]

pour préciser que \(f \in \fonction(A,B)\) et :

\[f : x \mapsto f(x)\]

pour préciser que \(f\) associe \(x \in A\) à \(f(x) \in B\). On dit que \(f(x)\) est la valeur de \(f\) en \(x\).

Dans le cas particulier où \(f \in \fonction( \{ 1,2,...,N \} , B )\), on peut associer à \(f\) un nombre \((f_1,f_2,...,f_N) \in B^N\) par :

\[f_i = f(i)\]

pour tout \(i \in \{ 1,2,...,N \}\). Inversément, à tout \((f_1,f_2,...,f_N) \in B^N\), on associe une fonction \(f : \{ 1,2,...,N \} \mapsto B\) par :

\[f(i) = f_i\]

On voit donc l'équivalence :

\[\fonction( \{ 1,2,...,N \} , B ) \equiv B^N\]

On peut associer à toute fonction \(f : A \mapsto B\) une relation \(R \in \relation(A,B)\) définie par :

\[R = \{ (x,f(x)) : x \in A \}\]

On a clairement :

\[R(x) = \{ f(x) \}\]

Soit \(f : A \mapsto B\) associée à la relation \(R \in \relation(A,B)\). La relation inverse \(R^{-1} \in \relation(B,A)\) est définie par :

\[R^{-1} = \{ (f(x),x) \in B \times A : x \in A \}\]

La fonction identité \(\identite : A \mapsto A\) est définie par :

\[\identite : x \mapsto \identite(x) = x\]

Soit \(f : A \mapsto B\). L'image d'un sous-ensemble \(X \subseteq A\) par \(f\) est l'ensemble des valeurs que prend \(f\) en tous les éléments de \(X\) :

\[f(X) = \{ f(x) : x \in X \}\]

Soit \(f : A \mapsto B\). L'image de \(f\) est l'ensemble des valeurs que prend \(f\) en tous les éléments de \(A\) :

\[\image f = f(A) = \{ f(x) : x \in A \}\]

Soit \(f : A \mapsto B\). Pour tout \(y \in B\), l'image inverse est l'ensemble défini par :

\[f^{-1}(y) = \{ x \in A : f(x) = y \}\]

L'image inverse d'un ensemble \(Y \subseteq B\) est définie par :

\[f^{-1}(Y) = \{ x \in A : f(x) \in Y \}\]

Soit un ensemble \(A \subseteq \Omega\) et une fonction \(f : A \mapsto B\). Le domaine de \(f\) est l'ensemble des éléments de \(x \in \Omega\) tels que \(f(x) \in B\) existe. Autrement dit :

\[\domaine f = A\]

Soit les fonctions \(f : A \mapsto B\) et \(g : B \mapsto C\).

Supposons que les grandeurs \(x \in A\), \(y \in B\) et \(z \in C\) soient reliées par les égalités \(y = f(x)\) et \(z = g(y)\). On a a alors \(z = g\left(f(x)\right)\). On définit une nouvelle fonction \(g \circ f : A \mapsto C\) associée à ce résultat par :

\[g \circ f : x \mapsto (g \circ f)(x) = g\left(f(x)\right)\]

On nomme \(g \circ f\) la composée de \(f\) et \(g\). On note aussi :

\[g \circ f(x) = (g \circ f)(x)\]

Soit une fonction \(f : A \mapsto A\). La « puissance » d'une fonction est définie au moyen de la composée \(\circ\) par :

\begin{align} f^0 &= \identite \\ f^n &= f \circ f^{n-1} \end{align}

pour tout \(n \in \setN\). On a donc en particulier \(f^1 = f\) et :

\[f^n = f \circ ... \circ f\]

On associe souvent à tout élément \(c \in B\) une fonction constante \(\hat{c} : A \mapsto B\) définie par :

\[\hat{c}(x) = c\]

pour tout \(x \in A\). On note abusivement :

\[\hat{c} = c\]

Deux fonctions \(f,g : A \mapsto B\) sont égales si et seulement si leurs valeurs sont égales en tout point \(x \in A\) :

\[f = g \quad \Leftrightarrow \quad f(x) = g(x)\]

• Chapitre \ref{chap:fonctions} : Les fonctions

Soit un ensemble \(\Omega\). Une opération \(\opera\) sur \(\Omega\), ou loi de composition interne sur \(\Omega\), est une fonction qui, à deux éléments de \(\Omega\), associe un troisième élément de \(\Omega\) appelé résultat. On a donc formellement :

\[\opera : \Omega \times \Omega \mapsto \Omega\]

Si \(z \in \Omega\) est le résultat de l'opération \(\opera\) sur \(x,y \in \Omega\), on le note :

\[z = x \opera y\]

Supposons que \(n \in \Omega\) soit l'unique neutre pour la loi \(\opera\).

On dit que \(\opera\) est associative si :

\[(x \opera y) \opera z = x \opera (y \opera z)\]

pour tout \(x,y,z \in \Omega\). On définit alors :

\[x \opera y \opera z = x \opera (y \opera z) = (x \opera y) \opera z\]

On dit que \(\opera\) est commutative si :

\[x \opera y = y \opera x\]

pour tout \(x,y \in \Omega\).

Soit \(\autreaddition, \autremultiplication\) deux lois de composition interne sur \(\Omega\). On dit que \(\autremultiplication\) se distribue sur \(\autreaddition\) si :

\[z \autremultiplication (x \autreaddition y) = (z \autremultiplication x) \autreaddition (z \autremultiplication y)\]

et :

\[(x \autreaddition y) \autremultiplication z = (x \autremultiplication z) \autreaddition (y \autremultiplication z)\]

pour tout \(x,y,z \in \Omega\).

Soit une opération \(\opera\) définie sur l'ensemble \(\Omega\). L'opération induite par \(\opera\) sur \(\Omega^n\) est définie par :

\[(x_1,x_2,...,x_n) \opera (y_1,y_2,...,y_n) = (x_1 \opera y_1, x_2 \opera y_2, ..., x_n \opera y_n)\]

pour tout :

\[(x_1,x_2,...,x_n), (y_1,y_2,...,y_n) \in \Omega^n\]

On note aussi :

\[z = x \opera y\]

pour :

\[x = (x_1,x_2,...,x_n) \in \Omega^n\]

\[y = (y_1,y_2,...,y_n) \in \Omega^n\]

et :

\[z = (z_1,z_2,...,z_n) \in \Omega^n\]

avec :

\[z_i = x_i \opera y_i\]

pour tout \(i \in \{1,2,...,n\}\).

• Chapitre \ref{chap:operations} : Les opérations

Soit un ensemble \(M\) sur lequel est défini une opération \(\opera\). On dit que le couple \((M,\opera)\) est un monoïde si \(\opera\) est associative.

Soit un ensemble \(G\) sur lequel est défini une opération \(\opera\). On dit que le couple \((G,\opera)\) est un groupe si :

• \(\opera\) est associative
• Il existe un neutre pour \(\opera\)
• Chaque élément de \(G\) possède un inverse pour \(\opera\)

Soit un monoïde \((G,\opera)\) tel qu'il existe un neutre à droite \(n \in G\) pour \(\opera\) et que chaque élément \(x \in G\) admet un inverse à droite \(x^\inverse\) pour \(\opera\) :

\[x \opera x^\inverse = n\]

Soit :

\[y = x^\inverse \opera x\]

En utilisant l'associativité de \(\opera\), on se rend compte que :

\[y = x^\inverse \opera n \opera x = x^\inverse \opera x \opera x^\inverse \opera x = y \opera y\]

En utilisant ce résultat, on obtient :

\[y = y \opera n = y \opera y \opera y^\inverse = y \opera y^\inverse = n\]

Donc :

\[x^\inverse \opera x = n\]

et \(x^\inverse\) est un inverse de \(x\). On a aussi :

\[n \opera x = x \opera x^\inverse \opera x = x \opera n = x\]

L'élément \(n\) est donc l'unique neutre de \(G\) et tout élément \(x \in G\) admet un inverse. On en conclut que le couple \((G,\opera)\) est un groupe.

Soit un ensemble \(A\) sur lequel sont définies les opérations \(\autreaddition\), appelée addition, et l'opération \(\autremultiplication\), appelée multiplication. On dit que le tuple \((A,\autreaddition,\autremultiplication)\) est un anneau si :

• L'addition est commutative et associative
• Il existe un neutre pour l'addition
• Chaque élément de \(A\) possède un inverse pour l'addition appelé opposé
• La multiplication est associative
• La multiplication se distribue sur l'addition

Soit un ensemble \(K\) sur lequel sont définies les opérations \(\autreaddition\), appelée addition, et l'opération \(\autremultiplication\), appelée multiplication. On dit que le tuple \((K,\autreaddition,\autremultiplication)\) est un corps si :

• L'addition est commutative et associative
• Il existe un neutre pour l'addition
• Chaque élément de \(K\) possède un inverse pour l'addition appelé opposé
• La multiplication est associative
• Il existe un neutre pour la multiplication
• Chaque élément de \(K\), à l'exception du neutre pour l'addition,

possède un inverse pour la multiplication appelé inverse

• La multiplication se distribue sur l'addition

Lorsque l'addition est définie et que \(b\) possède un opposé \(-b\), on définit généralement l'opération de soustraction par :

\[a - b = a + (-b)\]

Lorsque la multiplication est définie et que \(b\) dispose d'un inverse \(b^{-1}\), on définit généralement l'opération de division par :

\[\frac{a}{b} = a \cdot b^{-1}\]

On note aussi :

\[a / b = \frac{a}{b}\]

On définit généralement les puissances positives par :

\begin{align} x^0 &= 1 \\ x^k &= x \cdot x^{k - 1} \end{align}

pour tout \(k \in \setN\). Si l'inverse de \(x\) existe, on définit généralement les puissances négatives par :

\[x^{-k} = (x^{-1})^k\]

pour tout \(k \in \setN\).

Soit l'ensemble \(\Omega\) sur lequel est définie une opération d'addition. On définit la somme de deux sous-ensembles \(A,B \subseteq \Omega\) par :

\[A + B = \{ x + y : (x,y) \in A \times B \}\]

Soit l'ensemble \(\Omega\) sur lequel est définie une opération de multiplication. On définit la multiplication de \(\lambda \in \Omega\) et de \(A \subseteq \Omega\) par :

\[\lambda \cdot A = \{ \lambda \cdot x : x \in A \}\]

• Chapitre \ref{chap:relations} : Les relations

Une équivalence \(\equiv\) sur un ensemble \(A\) est une relation permettant de regrouper les éléments ayant une caractéristique similaire. Choisissons \(x,y,z \in A\). Tout élément \(x\) étant égal à lui-même, il doit bien entendu être équivalent à lui-même. Notre équivalence doit donc respecter la propriété :

\[x \equiv x\]

Par ailleurs, si \(x\) est équivalent à \(y\), l'inverse doit aussi être vrai :

\[x \equiv y \quad \Rightarrow \quad y \equiv x\]

Il est également clair que si \(x\) est équivalent \(y\) et que \(y\) est équivalent à \(z\), notre \(x\) doit être équivalent à \(z\). Donc :

\[x \equiv y, \quad y \equiv z \quad \Rightarrow \quad x \equiv z\]

Soit \(x \in A\). La classe d'équivalence associée à \(x\) est l'ensemble des éléments de \(A\) qui lui sont équivalents :

\[\mathcal{E}(x) = \{ y \in A : y \equiv x \}\]

Soit la relation \(R \subseteq A^2\) associée à l'équivalence \(\equiv\) définie sur \(A\). L'ensemble quotient de \(A\) par \(R\) est la collection des classes d'équivalence :

\[A / R = \{ \mathcal{E}(x) \in \sousens(A) : x \in A \}\]

• Chapitre \ref{chap:relations} : Les relations

Un ordre, ou ordre large, est une relation permettant de déterminer si un élément d'un ensemble est « plus petit ou égal » qu'un autre (on dit aussi « inférieur » à un autre).

Soit \(\le\) un ordre sur l'ensemble \(\Omega\). Choisissons \(x,y,z \in \Omega\). Comme tout élément \(x\) est égal à lui-même, il est forcément « plus petit ou égal » à lui-même, et notre ordre doit respecter la propriété :

\[x \le x\]

Par ailleurs, si \(x\) est plus petit ou égal à \(y\) et que l'inverse est vrai aussi, on doit avoir l'égalité entre les deux éléments :

\[x \le y, \quad y \le x \quad \Rightarrow \quad x = y\]

Il est également clair que si \(x\) est plus petit que \(y\) et que si \(y\) est plus petit que \(z\), \(x\) doit être plus petit que \(z\). Donc :

\[x \le y, \quad y \le z \quad \Rightarrow \quad x \le z\]

Soit \(x,y \in \Omega\). On dit que \(x\) est « plus grand ou égal », ou « supérieur » à \(y\), et on le note :

\[x \ge y\]

si et seulement si :

\[y \le x\]

On peut associer une relation \(R\) à tout ordre en posant :

\[R = \{ (x,y) \in \Omega^2 : x \le y \}\]

On a alors \(x \le y\) si et seulement si \((x,y) \in R\).

Soit un ensemble \(\Omega\) muni d'un ordre \(\le\). On dit alors que \(\Omega\) est un ensemble ordonné ou que le couple \((\Omega,\le)\) est un espace ordonné.

Un ordre \(\le\) sur \(\Omega\) est dit total si pour tout \(x,y \in \Omega\), on a \(x \le y\) ou \(y \le x\). Dans le cas contraire, on dit que l'ordre est partiel.

Soit la collection d'ensembles ordonnés \(A_1,A_2,...,A_n\) et les éléments \(x_i,y_i \in A_i\). On définit un ordre partiel sur les $n$-tuples :

en disant que :

\[x \le y\]

si et seulement si :

\[x_i \le y_i\]

pour tout \(i \in \{ 1,2,...,n \}\).

• Chapitre \ref{chap:ordres} : Les ordres

Un ordre strict sur un ensemble \(\Omega\) est une relation permettant de déterminer si un élément de \(\Omega\) est « strictement plus petit » qu'un autre. La différence fondamentale avec l'ordre large étant que les deux éléments doivent être distincts.

Soit \(\strictinferieur\) un ordre strict sur l'ensemble \(\Omega\) et \(x,y,z \in \Omega\). Comme \(x\) ne peut pas être distinct de lui-même, {\em on ne peut pas avoir} \(x \strictinferieur x\). La relation \(x \strictinferieur y\) implique donc que \(x \ne y\).

La seule solution pour avoir simultanément $x \strictinferieur y $ et \(y \strictinferieur x\) serait que \(x = y\) comme dans le cas de l'ordre large. Ce n'est pas possible par définition. Les relations \(x \strictinferieur y\) et \(z \strictinferieur x\) impliquent donc que \(y \ne z\). Par contre la propriété :

est analogue à celle de l'ordre large.

Soit \(x, y \in \Omega\). On dit que \(x\) est strictement plus grand que \(y\), et on le note :

\[x \strictsuperieur y\]

si et seulement si :

\[y \strictinferieur x\]

On peut définir un ordre strict à partir d'un ordre large en disant que \(x \strictinferieur y\) si et seulement si \(x \le y\) et \(x \ne y\).

Supposons que l'ordre \(\le\) soit total. Si \(x,y\) ne vérifient pas \(x \le y\), on doit forcément avoir \(y \le x\). Si on avait \(x = y\), on aurait aussi \(x \le y\) ce qui contredit l'hypothèse. Par conséquent, on doit avoir \(x \ne y\). On en déduit que \(y \strictinferieur x\).

Réciproquement, si la condition \(y \strictinferieur x\) n'est pas vérifiée, on a soit \(x = y\), soit \(x \le y\). Mais comme \(x \le y\) inclut la possibilité que \(x = y\), on a simplement \(x \le y\).

On a donc soit \(x \le y\), soit \(x \strictsuperieur y\). Ou encore, soit \(x \strictinferieur y\), soit \(x = y\), soit \(x \strictsuperieur y\).

• Chapitre \ref{chap:relations} : Les relations
• Chapitre \ref{chap:ordres} : Les ordres

Soit \(\le\) un ordre sur l'ensemble \(\Omega\) et \(A \subseteq \Omega\). Nous dirons qu'un objet \(m \in \Omega\) est inférieur à l'ensemble \(A\), ou que \(m\) est un minorant de \(A\), et nous le noterons :

\[m \le A\]

si \(m \le a\) pour tout élément \(a \in A\). Inversément, nous dirons que \(m\) est supérieur à \(A\), ou que \(m\) est un majorant de \(A\), et nous le noterons :

\[m \ge A\]

si \(m \ge a\) pour tout élément \(a \in A\) :

Soit \(\le\) un ordre sur l'ensemble de référence \(\Omega\) et \(A \subseteq \Omega\). L'ensemble des majorants de \(A\) est l'ensemble des éléments de \(\Omega\) supérieurs à A :

\[\major A = \{ m \in \Omega : m \ge A \}\]

Si \(\major A \ne \emptyset\), on dit que \(A\) est majoré ou encore que \(A\) est borné supérieurement. L'ensemble des minorants de \(A\) est l'ensemble des éléments de \(\Omega\) inférieurs à A :

\[\minor A = \{ m \in \Omega : m \le A \}\]

Si \(\minor A \ne \emptyset\), on dit que \(A\) est minoré ou encore que \(A\) est borné inférieurement.

On dit d'un élément \(M \in A\) qu'il est maximal dans \(A\) si pour tout \(a \in A\) vérifiant \(a \ge M\), on a \(M = a\). Autrement dit, aucun élément de \(A\) distinct de \(M\) n'est supérieur à ce dernier. \(M\) est donc le seul élément de \(A\) à être supérieur (au sens large) à lui-même. On a donc \(\major \{ M \} \cap A = \{ M \}\). On note \(\maxim A\) l'ensemble des éléments maximaux de \(A\) :

\[\maxim A = \Big\{ M \in A : \major \{ M \} \cap A = \{ M \} \Big\}\]

Symétriquement, on dit d'un élément \(m \in A\) qu'il est minimal dans \(A\) si pour tout \(a \in A\) vérifiant \(a \le m\), on a \(m = a\). Autrement dit, aucun élément de \(A\) distinct de \(m\) n'est inférieur à ce dernier. \(m\) est donc le seul élément de \(A\) à être inférieur (au sens large) à lui-même. On a donc \(\minor \{ m \} \cap A = \{ m \}\). On note \(\minim A\) l'ensemble des éléments minimaux de \(A\) :

\[\minim A = \Big\{ m \in A : \minor \{ m \} \cap A = \{ m \} \Big\}\]

Considérons le cas où l'on peut trouver des majorants de \(A\) appartenant à \(A\). Si \(x,y \in A \cap \major A\), on a \(x \ge y\) puisque \(x\) est un majorant de \(A\) et que \(y \in A\). Mais on a aussi \(y \ge x\) puisque \(y\) est également un majorant de \(A\) et que \(x \in A\). On en conclut que \(x = y\) et que l'intersection ne contient qu'un seul élément \(M\) :

\[A \cap \major A = \{ M \}\]

On dit alors que \(M \in A\) est le maximum de l'ensemble \(A\) et on le note :

\[M = \max A = \max_{a \in A} a\]

A présent, supposons que l'on puisse trouver des minorants de \(A\) appartenant à \(A\). Supposons que \(x,y \in A \cap \minor A\). On a alors \(x \le y\) puisque \(x\) est un minorant de \(A\) et que \(y \in A\). Mais on a aussi \(y \le x\) puisque \(y\) est également un minorant de \(A\) et que \(x \in A\). On en conclut que \(x = y\). L'intersection ne contient donc qu'un seul élément \(m\) :

\[A \cap \minor A = \{ m \}\]

On dit alors que \(m\) est le minimum de l'ensemble \(A\) et on le note :

\[m = \min A = \min_{a \in A} a\]

Soit un ensemble \(A \subseteq \Omega\) dont le maximum \(M = \max A\) existe et l'élément \(b \in \Omega\) tel que \(b \ge A\). Comme \(M\) est un élément de \(A\), on a forcément \(b \ge M\). Mais d'un autre coté, \(M \ge A\) par définition. Donc :

\[b \ge M \ge A\]

Comme ces relations sont valables pour tout les \(b\) supérieurs à \(A\), on en conclut que :

\[\major A \ge M \ge A\]

Relations qui nous disent que \(M\) est le plus petit des objets supérieurs à \(A\). Considérons à présent un cas plus général où nous ne supposons pas que le maximum de \(A\) existe. Supposons seulement que l'on puisse trouver un \(S \in \Omega\) tel que :

\[\major A \ge S \ge A\]

La première inégalité nous dit que \(S\) est un minorant de \(\major A\). La seconde nous dit que \(S\) est un majorant de \(A\), autrement dit \(S \in \major A\). Les deux conditions nous permettent d'affirmer que \(S\) est le minimum de l'ensemble des majorants de \(A\) :

\[S = \min \major A\]

Cet élément \(S\) est donc unique. On l'appelle supremum et on le note :

\[S = \sup A = \sup_{a \in A} a = \min \major A\]

Il est important de remarquer que \(S\) n'appartient pas forcément à \(A\). On procéde de la même façon pour étendre la notion de minimum. Si on peut trouver un \(I \in \Omega\) tel que :

\[\minor A \le I \le A\]

on en conclut que \(I\) est le maximum de l'ensemble des minorants de \(A\) et qu'il est donc unique. On l'appelle infimum et on le note :

\[I = \inf A = \inf_{a \in A} a = \max \minor A\]

Nous allons montrer que, sous l'hypothèse d'un ordre total, tout ensemble comportant un nombre fini d'éléments admet un maximum et un minimum. Si l'ensemble ne contient qu'un élément, soit \(A_1 = \{a\}\), on a \(a \le a\) et donc :

\[a = \max\{a\} = \min\{a\}\]

Supposons à présent que l'ensemble comporte deux éléments, soit \(A_2 = \{a_1,a_2\}\). Si \(a_1 \ge a_2\), on a \(a_1 \ge \{a_1,a_2\}\). Dans le cas contraire, on a \(a_2 \ge \{a_1,a_2\}\). On en déduit que :

Le minimum est donné par l'expression duale :

Supposons à présent avoir démontré que tout ensemble de \(n - 1\) éléments admettait un maximum et un minimum. Soit l'ensemble \(A = \{a_1,a_2,...,a_{n - 1},a_n\}\) comportant \(n\) éléments. L'ensemble \(A_{n - 1} = \{a_1,a_2,...,a_{n - 1}\}\) contient \(n - 1\) éléments et admet donc :

Posons \(\alpha = \max\{\sigma,a_n\}\). On voit que \(\alpha \in A\), que \(\alpha \ge \sigma \ge A_{n - 1}\) et que \(\alpha \ge a_n\). On en déduit que \(\alpha \ge A\). Donc :

\[\max \{a_1,a_2,...,a_{n - 1},a_n\} = \max \Big\{ \max \{a_1,a_2,...,a_{n - 1}\} , a_n \Big\}\]

Posons \(\beta = \min\{\lambda,a_n\}\). On voit que \(\beta \in A\), que \(\beta \le \lambda \le A_{n - 1}\) et que \(\beta \le a_n\). On en déduit que \(\beta \le A\). Donc :

\[\min \{a_1,a_2,...,a_{n - 1},a_n\} = \min \Big\{ \min \{a_1,a_2,...,a_{n - 1}\} , a_n \Big\}\]

Tout ensemble comportant un nombre fini d'éléments et sur lequel est défini un ordre total admet donc un maximum et un minimum. De plus, la démonstration nous donne un moyen d'évaluer récursivement ces extrema.

Il arrive qu'aucun élément de \(\Omega\) ne soit un majorant de \(\Omega\). On est alors amené à ajouter à l'ensemble une borne supérieure, notée \(+\infty\) (ou \(\infty\)), telle que tout élément \(a \in \Omega\) vérifie \(a \strictinferieur +\infty\). Le concept de l'infini négatif, noté \(-\infty\), est similaire. Il s'agit d'une borne inférieure de \(\Omega\) telle que tout élément \(a \in \Omega\) vérifie \(a \strictsuperieur -\infty\).

Soit \(A,B \subseteq \Omega\) avec \(A \subseteq B\). Soit l'ordre \(\le\) défini sur \(\Omega\).

• Chapitre \ref{chap:ordres} : Les ordres

Soit un ensemble \(\Omega\) sur lequel est défini un ordre \(\le\). Soit \(x,y \in \Omega\). L'ordre dual de \(\le\), noté \(\le^\dual\), est défini par :

\[x \le^\dual y\]

si et seulement si :

\[y \le x\]

Soit \(A \subseteq \Omega\) et un \(m \in \Omega\) vérifiant \(m \le A\). On a \(m \le a\) pour tout \(a \in A\), autrement dit \(m \ge^\dual a\). On en conclut que :

\[m \ge^\dual A\]

Soit \(m \in \Omega\) vérifiant \(m \ge A\). On a \(m \ge a\) pour tout \(a \in A\), autrement dit \(m \le^\dual a\). On en conclut que :

\[m \le^\dual A\]

Soit \(A \subseteq \Omega\). Si :

\[m \in \minor_\le A\]

on a \(m \le A\). Donc \(m \ge^\dual A\) et :

\[m \in \major_{\le^\dual} A\]

Si :

\[m \in \major_{\le^\dual} A\]

on a \(m \ge A\). Donc \(m \le^\dual A\) et :

\[m \in \minor_\le A\]

On en conclut que :

\[\major_{\le^\dual} A = \minor_\le A\]

On montre avec des arguments similaires que :

\[\minor_{\le^\dual} A = \major_\le A\]

Soit \(A \subseteq \Omega\). Si :

\[m \in \minim_\le A\]

on a \(m = a\) pour tout \(a \in A\) vérifiant \(a \le m\). Donc, si \(a \ge^\dual m\) on a \(a \le m\) et \(m = a\). Autrement dit :

\[m \in \maxim_{\le^\dual} A\]

Si :

\[m \in \maxim_{\le^\dual} A\]

on a \(m = a\) pour tout \(a \in A\) vérifiant \(a \ge^\dual m\). Donc, si \(a \le m\) on a \(a \ge^\dual m\) et \(m = a\). Autrement dit :

\[m \in \minim_\le A\]

On en conclut que :

\[\maxim_{\le^\dual} A = \minim_\le A\]

On montre avec des arguments similaires que :

\[\minim_{\le^\dual} A = \maxim_\le A\]

Soit \(A \subseteq \Omega\). Si l'ensemble des éléments minimaux pour \(\le\) se limite au minimum, on a :

\[\maxim_{\le^\dual} A = \minim_\le A = \left{ \min_\le A \right}\]

L'ensemble des éléments maximaux pour \(\le^\dual\) se résumant à un singleton, on en déduit que le maximum pour \(\le^\dual\) existe :

\[\maxim_{\le^\dual} A = \left{ \max_{\le^\dual} A \right}\]

et que :

\[\max_{\le^\dual} A = \min_\le A\]

On montre avec des arguments similaires que :

\[\min_{\le^\dual} A = \max_\le A\]

Soit \(A \subseteq \Omega\) admettant le supremum :

\[m = \sup_{\le^\dual} A\]

On a :

\[A \le^\dual m \le^\dual \major_{\le^\dual} A\]

ce qui implique :

\[\minor_\le A = \major_{\le^\dual} A \le m \le A\]

et vice versa. On en déduit que :

\[\sup_{\le^\dual} A = \inf_\le A\]

On montre avec des arguments similaires que :

\[\inf_{\le^\dual} A = \sup_\le A\]

• Chapitre \ref{chap:ordres} : Les ordres
• Chapitre \ref{chap:extrema} : Les extrema

Soit les fonctions \(f,g \in B^A\). Supposons qu'il existe un ordre défini sur \(B\). On dit que \(f\) est inférieure à \(g\) et on le note :

\[f \le g\]

si et seulement si les valeurs de \(f\) sont inférieures aux valeurs de \(g\) :

\[f(x) \le g(x)\]

en tout point \(x \in A\). Symétriquement, on dit que \(f\) est supérieure à \(g\) et on le note :

\[f \ge g\]

si :

\[f(x) \ge g(x)\]

pour tout \(x \in A\).

Soit un ensemble de paramètres \(Z\) et la collection paramétrée de fonctions :

\[\{ f_z \in B^A : z \in Z \}\]

Sous réserve d'existence des extrema, on définit la fonction supremum par :

\[\left[ \sup_{z \in Z} f_z \right](x) = \sup_{z \in Z} f_z(x)\]

pour tout \(x \in A\). On définit la fonction infimum par :

\[\left[ \inf_{z \in Z} f_z \right](x) = \inf_{z \in Z} f_z(x)\]

pour tout \(x \in A\).

Soit la fonction \(f \in B^A\) et un \(c \in B\). Supposons qu'il existe un ordre défini sur \(B\). On dit que \(f\) est inférieure à \(c\) et on le note :

\[f \le c\]

si les valeurs de \(f\) sont inférieures à \(c\) :

\[f(x) \le c\]

en tout point \(x \in A\). Symétriquement, on dit que \(f\) est supérieure à \(c\) et on le note :

\[f \ge c\]

si :

\[f(x) \ge c\]

pour tout \(x \in A\).

Etant donné la fonction \(f : \Omega \mapsto B\) et le sous-ensemble \(A \subseteq \Omega\), on définit les extrema de \(f\) (s'ils existent) par :

On dit que \(f\) atteint un minimum local en \(a \in A\) si il existe un voisinage \(U\) de \(x\) tel que :

\[f(a) \le f(x)\]

pour tout \(x \in U\). A l'inverse, on dit que \(f\) atteint un maximum local en \(a \in A\) si il existe un voisinage \(U\) de \(x\) tel que :

\[f(a) \ge f(x)\]

pour tout \(x \in U\).

Soit les fonctions \(f,g : A \mapsto B\) telles que \(f \le g\). Supposons que \(\sigma \in \major g(A)\). On a \(\sigma \ge g(x) \ge f(x)\) pour tout \(x \in A\), d'où \(\sigma \ge f(x)\) et \(\sigma \in \major f(A)\). On en conclut que \(\major g(A) \subseteq \major f(A)\). Si les minima existent, on a donc :

\[\min \major f(A) \le \min \major g(A)\]

c'est-à-dire :

\[\sup_{x \in A} f(x) = \sup f(A) \le \sup g(A) = \sup_{x \in A} g(x)\]

Supposons que \(\lambda \in \minor f(A)\). On a \(\lambda \le f(x) \le g(x)\) pour tout \(x \in A\), d'où \(\lambda \le g(x)\) et \(\lambda \in \minor g(A)\). On en conclut que \(\minor f(A) \subseteq \minor g(A)\). Si les maxima existent, on a donc :

\[\max \minor f(A) \le \max \minor g(A)\]

c'est-à-dire :

\[\inf_{x \in A} f(x) = \inf f(A) \le \inf g(A) = \inf_{x \in A} g(x)\]

• Chapitre \ref{chap:fonctionsEtOrdre} : Fonctions et ordre

Soit \(f : A \mapsto B\). Si \(l : B \mapsto A\) est une fonction telle que :

\[l \circ f = \identite\]

on dit que \(l\) est un inverse à gauche de \(f\).

Soit \(f : A \mapsto B\). Si \(r : B \mapsto A\) est une fonction telle que :

\[f \circ r = \identite\]

on dit que \(r\) est un inverse à droite de \(f\).

Soit \(f : A \mapsto B\). Supposons que \(f\) admette à la fois un inverse à gauche \(l\) et un inverse à droite \(r\). Ces deux inverses sont dès lors identiques :

\[l = l \circ \identite = l \circ f \circ r = \identite \circ r = r\]

Lorsque \(f\) est inversible, l'image inverse de \(y \in B\) se réduit à un ensemble contenant un unique \(x \in A\). Soit \(R\) la relation associée à \(f\). On a :

\[R^{-1}(y) = \{ f^{-1}(y) \}\]

Soit \(f \in \bijection(A,B)\) et \(g \in \bijection(B,C)\). Nous allons essayer de trouver une expression de l'inverse \(h\) de la composée de ces deux fonctions. On part de la relation \(h \circ g \circ f = \identite\) et on compose à droite par l'inverse de \(f\) puis l'inverse de \(g\), ce qui nous donne :

\[h \circ g \circ f \circ f^{-1} \circ g^{-1} = \identite \circ f^{-1} \circ g^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}\]

Mais comme :

\[h \circ g \circ f \circ f^{-1} \circ g^{-1} = h \circ g \circ \identite \circ g^{-1} = h \circ g \circ g^{-1} = h \circ \identite = h\]

on a :

\[h = f^{-1} \circ g^{-1}\]

Partant de la relation \(g \circ f \circ h = \identite\) et composant à gauche par l'inverse de \(g\) puis par l'inverse de \(f\), on arrive au même résultat \(h = f^{-1} \circ g^{-1}\). Donc :

\[(g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}\]

On généralise par récurrence à \(n\) fonctions :

\[(f_n \circ ... \circ f_2 \circ f_1)^{-1} = f_1^{-1} \circ f_2^{-1} \circ ... \circ f_n^{-1}\]

Si \(f\) est inversible, on peut également définir les puissances négatives par :

\[f^{-n} = \left( f^{-1} \right)^n = f^{-1} \circ ... \circ f^{-1}\]

pour tout \(n \in \setN\).

En considérant le cas particulier de fonctions identiques (\(f_1 = ... = f_n = f\)), l'expression de l'inverse d'une composition de fonctions nous montre que :

\[\left( f^{-1} \right)^n = f^{-n} = \left( f^n \right)^{-1}\]

L'inverse de la puissance est identique à la puissance de l'inverse.

On dit que deux ensembles \(A\) et \(B\) sont idempotents si il existe une bijection inversible de \(A\) vers \(B\) :

\[\bijection(A,B) \ne \emptyset\]

\begin{theoreme} Soit la fonction $f : A \mapsto B$ avec $B = f(A)$. Si $f$ est strictement croissante (ou décroissante), alors la fonction $f$ est inversible. \end{theoreme} \begin{demonstration} Choisissons $y \in B$ et considérons l'ensemble de solutions : $$S(y) = \{ x : f(x) = y \}$$ Comme $B = f(A)$, cet ensemble est non vide. Supposons $x_1,x_2 \in S(y)$ avec $x_1 \strictinferieur x_2$. On a alors, soit $f(x_1) \strictinferieur f(x_2)$ (si $f$ est strictement croissante), soit $f(x_1) \strictsuperieur f(x_2)$ (si $f$ est strictement décroissante). Or, par définition de $S(y)$, on doit avoir $f(x_1) = f(x_2) = y$. Il ne peut donc y avoir d'éléments distincts dans $S(y)$, et cet ensemble est de la forme : $$S(y) = \{ g(y) \}$$ relation qui définit implicitement la fonction $g : B \mapsto A$. On peut trouver un unique $g(y)$ tel que $f(g(y)) = y$. La fonction $f$ est donc inversible et : $$f^{-1} = g$$ \end{demonstration}

• Chapitre \ref{chap:collections} : Les collections
• Chapitre \ref{chap:ordres} : Les ordres
• Chapitre \ref{chap:extrema} : Les extrema

Soit l'ensemble \(\Omega\) et l'ensemble de ses sous-ensembles :

\[\sousens(\Omega) = \{ A : A \subseteq \Omega \}\]

On dit que \(A \in \sousens(\Omega)\) est plus petit ou égal à \(B \in \sousens(\Omega)\) au sens de l'ordre inclusif si et seulement si :

\[A \subseteq B\]

On voit qu'il s'agit d'un ordre partiel.

Soit l'ensemble de paramètres \(X\) et la collection paramétrée :

\[\mathcal{C} = \{ A(x) \in \sousens(\Omega) : x \in X \}\]

• Chapitre \ref{chap:ordreInclusif} : L'ordre inclusif

Soit l'ensemble \(\Omega\) et \(A,B \subseteq \Omega\). Au sens inclusif, les supremum et infimum de l'ensemble \(\{A,B\}\) existent toujours et :

Le concept de treillis est une généralisation de cette propriété. Soit un ensemble \(\mathcal{T}\) sur lequel est défini l'ordre \(\le\). On dit que le couple \((\mathcal{T},\le)\) est un treillis si, pour tout éléments \(a,b \in \mathcal{T}\), le supremum et l'infimum de l'ensemble :

\[\{ a,b \}\]

existent :

\[\minor \{ a, b \} \le \inf \{ a, b \} \le \{ a, b \} \le \sup \{ a, b \} \le \major \{ a, b \}\]

Dans la suite, nous considérons un treillis \((\mathcal{T},\le)\).

Soit \(a, b \in \mathcal{T}\). Par analogie avec l'union ensembliste, on définit l'opération d'union généralisée \(\sqcup\) par :

\[a \sqcup b = \sup \{ a, b \}\]

Soit \(a, b \in \mathcal{T}\). Par analogie avec l'intersection ensembliste, on définit l'opération d'intersection généralisée \(\sqcap\) par :

\[a \sqcap b = \inf \{ a, b \}\]

Le treillis dual de \((\mathcal{T},\le)\) est noté \((\mathcal{T},\le)^\dual\) et défini par :

\[(\mathcal{T},\le)^\dual = (\mathcal{T},\le^\dual)\]

où \(\le^\dual\) est l'ordre dual de \(\le\). On a bien entendu :

\[\sup_{\le^\dual} \{a,b\} = \inf_\le \{a,b\}\]

et :

\[\inf_{\le^\dual} \{a,b\} = \sup_\le \{a,b\}\]

Le treillis dual est donc également un treillis.

On dit que \(x^\ddagger \in \mathcal{T}\) est un complémentaire de \(x \in \mathcal{T}\) si :

\[x \sqcup x^\ddagger = 1\]

\[x \sqcap x^\ddagger = 0\]

On dit que \((\mathcal{T},\le)\) est un treillis distributif si :

\[a \sqcup (b \sqcap c) = (a \sqcup b) \sqcap (a \sqcup c)\]

\[a \sqcap (b \sqcup c) = (a \sqcap b) \sqcup (a \sqcap c)\]

pour tout \(a,b,c \in \mathcal{T}\).

Un treillis \((\mathcal{T},\le)\) est dit booléen si et seulement si :

• il comprend un élément nul et un élément universel
• il est distributif
• chaque élément de \(\mathcal{T}\) admet un complémentaire

Soit \(a \in \mathcal{T}\). On a :

\[\{a\} \le a \le \major\{a\}\]

donc :

\[a = \sup\{a\}\]

On en conclut que :

\[a \sqcup a = \sup\{a,a\} = \sup\{a\} = a\]

On a :

\[\minor\{a\} \le a \le \{a\}\]

donc :

\[a = \inf\{a\}\]

On en conclut que :

\[a \sqcap a = \inf\{a,a\} = \inf\{a\} = a\]

Soit \(a, b \in \mathcal{T}\). Comme \(\{a,b\} = \{b,a\}\), on a clairement :

\[a \sqcup b = b \sqcup a\]

et :

\[a \sqcap b = b \sqcap a\]

Soit \(a, b \in \mathcal{T}\). Posons :

\[\sigma = \sup\{a,b\}\]

Comme \(\sigma \ge a\), on a :

\[a \le \{a,\sigma\}\]

Choisissons \(\lambda \in \mathcal{T}\) tel que :

\[\lambda \le \{a,\sigma\}\]

on a alors forcément :

\[\lambda \le a\]

d'où l'on conclut que :

\[\minor \{a,\sigma\} \le a \le \{a,\sigma\}\]

L'élément \(a\) est donc l'infimum de \(\{a,\sigma\}\) :

\[a = \inf \{a,\sigma\}\]

Par définition de \(\sigma\), on a donc :

\[a = \inf \{a, \sup \{a, b\} \}\]

Exprimée en terme d'opérations, cette relation devient :

\[a = a \sqcap (a \sqcup b)\]

Cette même propriété étant valable pour le treillis dual, on a :

\[a = a \sqcap^\dual (a \sqcup^\dual b)\]

Équation qui peut être réexprimée en termes d'opérations du treillis primal, ce qui nous donne :

\[a = a \sqcup (a \sqcap b)\]

Une collection \(\mathcal{C}\) de sous-ensembles d'un ensemble de référence \(\Omega\) :

\[\mathcal{C} \subseteq \sousens(\Omega)\]

est un treillis d'ensembles si et seulement si :

\[\emptyset,\Omega \in \mathcal{C}\]

et :

\[A \cup B \in \mathcal{C}\]

\[A \cap B \in \mathcal{C}\]

pour tout \(A,B \in \mathcal{C}\). Le couple \((\mathcal{C},\subseteq)\) est un cas particulier de treillis.

• Chapitre \ref{chap:collections} : Les collections
• Chapitre \ref{chap:ordreInclusif} : L'ordre inclusif

Soit un ensemble \(\Omega\) et une collection de sous-ensembles \(\mathcal{T} \subseteq \sousens(\Omega)\). On dit que \(\mathcal{T}\) forme une tribu sur \(\Omega\) si et seulement si les conditions suivantes sont remplies :

• \(\emptyset \in \mathcal{T}\)
• si \(A \in \mathcal{T}\), on a aussi \(\Omega \setminus A \in \mathcal{T}\)
• l'union de toute suite discrète \(A_1,A_2,... \in \mathcal{T}\)

appartient aussi à la collection :

\[\bigcup_i A_i \in \mathcal{T}\]

On note \(\tribu(\Omega)\) l'ensemble des tribus sur \(\Omega\).

On conclut directement de la définition que :

\[\Omega = \Omega \setminus \emptyset \in \mathcal{T}\]

Soit les \(A_i \in \mathcal{T}\) et leurs complémentaires :

\[B_i = \Omega \setminus A_i \in \mathcal{T}\]

On a aussi :

\[A_i = \Omega \setminus B_i\]

En prenant l'intersection de tous les \(A_i\), on obtient :

\[\bigcap_i A_i = \Omega \setminus \left[ \bigcup_i B_i \right] \in \mathcal{T}\]

On en déduit que toute intersection dénombrable d'éléments de \(\mathcal{T}\) est également dans \(\mathcal{T}\).

Soit \(A,B \in \mathcal{T}\), on a

\[A \setminus B = A \cap (\Omega \setminus B) \in \mathcal{T}\]

Les collections d'ensemble étant des ensembles d'ensembles, on peut également les comparer au moyen de l'inclusion. En ce sens, la tribu engendrée par la collection \(\mathcal{C} \subseteq \sousens(\Omega)\) est la plus petite tribu contenant les éléments de \(\mathcal{C}\). On la note :

\[\tribu(\mathcal{C},\Omega) = \inf_\subseteq \{ \mathcal{T} \in \tribu(\Omega) : \mathcal{C} \subseteq \mathcal{T} \}\]

• Chapitre \ref{chap:collections} : Les collections
• Chapitre \ref{chap:ordreInclusif} : L'ordre inclusif

Soit un ensemble \(\Omega\) et une collection de sous-ensembles \(\topologie \subseteq \sousens(\Omega)\). On dit que \(\topologie\) forme une topologie sur \(\Omega\) si et seulement si les conditions suivantes sont remplies :

• \(\emptyset, \Omega \in \topologie\)
• pour toute sous-collection \(\mathcal{C} \subseteq \topologie\), l'union des ensembles-éléments de \(\mathcal{C}\) appartient également à la topologie :

\[\bigcup \mathcal{C} \in \topologie\]

• si \(A,B \in \topologie\), leur intersection appartient également à la topologie :

\[A \cap B \in \topologie\]

On note \(\topologies(\Omega)\) l'ensemble des topologies sur \(\Omega\).

Si \(\topologie\) est une topologie sur \(\Omega\), on dit que le couple \((\Omega,\topologie)\) forme un espace topologique.

On appelle « ouvert » tout ensemble \(U \in \topologie\).

On appelle « fermé » tout complémentaire d'un ouvert. Si \(F \subseteq \Omega\) est un fermé, on peut donc écrire :

\[F = \Omega \setminus U\]

pour un certain \(U \in \topologie\). On note la collection des ensembles fermés par :

\[\ferme = \{ \Omega \setminus U : U \in \topologie \}\]

On a \(\{\emptyset,\Omega\} \subseteq \topologie \cap \ferme\).

On dit que \(V \subseteq \Omega\) est un voisinage de \(x \in \Omega\) si il existe un ouvert \(U \in \topologie\) tel que \(x \in U \subseteq V\).

L'adhérence, ou fermeture, d'un ensemble \(A \subseteq \Omega\) est le plus petit (au sens inclusif) ensemble fermé \(F\) contenant \(A\). On la note :

\[\adh A = \inf_\subseteq \{ F \in \ferme : A \subseteq F \} = \bigcap \{ F \in \ferme : A \subseteq F \}\]

L'intérieur d'un ensemble \(A \subseteq \Omega\) est le plus grand ensemble ouvert contenu dans \(A\). On le note :

\[\interieur A = \sup_\subseteq \{ U \in \topologie : U \subseteq A \} = \bigcup \{ U \in \topologie : U \subseteq A \}\]

La frontière de \(A\) est la différence entre l'adhérence et l'intérieur :

\[\frontiere A = (\adh A) \setminus (\interieur A)\]

On dit que le couple \((\Omega,\topologie)\) est un espace de Haussdorff si, pour tout \(x,y \in \Omega\) vérifiant \(x \ne y\), on peut trouver des ouverts \(U, V \in \topologie\) tels que :

\[x \in U, \ y \in V\]

et :

\[U \cap V = \emptyset\]

Les collections d'ensemble étant des ensembles d'ensembles, on peut également les comparer au moyen de l'inclusion. En ce sens, la topologie engendrée par la collection \(\mathcal{C} \subseteq \sousens(\Omega)\) est la plus petite topologie contenant les ensembles-éléments de \(\mathcal{C}\). On la note :

\[\topologies(\mathcal{C},\Omega) = \inf_\subseteq \{ \topologie \in \topologies(\Omega) : \mathcal{C} \subseteq \topologie \}\]