Eclats de vers : Matemat 03 : Nombres - 1

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1 Naturels

1.1 Dépendances

  • Chapitre \ref{chap:ensembles} : Les ensembles
  • Chapitre \ref{chap:operations} : Les opérations
  • Chapitre \ref{chap:algebre} : L'algèbre
  • Chapitre \ref{chap:ordres} : Les ordres
  • Chapitre \ref{chap:extrema} : Les extrema

1.2 Introduction

Nous allons étudier l'ensemble des naturels :

\[\setN = \{ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,... \}\]

1.3 Addition

L'addition usuelle sur \(\setN\), notée \(+ : \setN \times \setN \mapsto \setN\), est définie par :

\begin{align} m + 0 &= 0 \\ m + n^+ &= m^+ + n \end{align}

pour tout \(m,n \in \setN\).

En utilisant récursivement la définition, on arrive à :

\begin{align} m + 1 &= m + 0^+ = m^+ + 0 = m^+ \\ m + 2 &= m + 0^{++} = m^+ + 0^+ = m^{++} + 0 = m^{++} \\ \vdots && \\ m + n &= ... = m^{+...+} \end{align}

où \(+...+\) désigne l'opération de succession appliquée \(n\) fois. L'addition de \(n\) revient donc à effectuer \(n\) opérations de succession.

1.3.1 Dualité

Posant \(i = m\) et \(j = n^+\), on voit clairement que :

\[i + j = i^+ + j^-\]

1.3.2 Neutre additif

Pour \(m \in \setN\) quelconque, on a :

\[0 + m = 0^{+...+}\]

où \(+...+\) désigne l'opération de succession appliquée \(m\) fois. Mais comme \(0^{+...+} = m\), on a :

\[0 + m = m\]

On a donc \(0 + m = m + 0 = m\). On dit que \(0\) est neutre pour l'addition. On voit clairement d'après la définition que \(0\) est le seul neutre pour l'addition.

1.3.3 Commutativité

Soit \(m,n \in \setN\). Par définition de l'addition, on a :

\[m + n = m^{+...+} = 0^{+.....+}\]

où \(+.....+\) réprésente \(m\) suivies de \(n\) opérations de successions. On a aussi :

\[n + m = n^{+...+} = 0^{+.....+}\]

où \(+.....+\) réprésente \(n\) suivies de \(m\) opérations de successions. Les deux résultats étant identiques,on a :

\[m + n = n + m\]

On dit que l'addition sur \(\setN\) est commutative.

1.3.4 Associativité

Soit \(m,n,p \in \setN\). Développons l'addition \(m + (p + n)\). On a :

\[m + (p + n) = m + p^{+...+}\]

où \(+...+\) désigne l'opération de succession appliquée \(n\) fois. Il vient ensuite :

\( m + (p + n) = m^+ + p^{+...+-} \\ \vdots \\ m + (p + n) = m^{+...+} + p^{+...+-...-} \)

où \(+...+-...-\) désigne l'opération de succession appliquée \(n\) fois, suivie de l'opération de prédécession appliquée \(n\) fois également. Mais comme le prédécesseur du sucesseur est égal à lui-même par définition, on a \(p^{+-} = p\). On constate en développant que la même propriété doit être vérifiée lorsque les opérations de succession et de prédécession sont appliquées un nombre quelconque mais identique de fois. On a donc :

\[p^{+...+-...-} = p\]

En tenant compte de ces résultats dans le développement de la somme ci-dessus, on arrive à :

\[m + (p + n) = m^{+...+} + p\]

Mais \(m^{+...+}\) n'est rien d'autre que la somme \(m + n\), et :

\[m + (p + n) = (m + n) + p\]

L'addition étant commutative, on peut inverser \(p\) et \(n\) pour obtenir :

\[m + (n + p) = (m + n) + p\]

On peut donc associer les termes d'une somme comme on le désire, le résultat restera identique. On dit que l'addition sur \(\setN\) est associative. On note aussi :

\[m + n + p = m + (n + p) = (m + n) + p\]

1.4 Ordre

Soit \(m,n \in \setN\). On dit que \(n\) est plus petit ou égal à \(m\), et on le note :

\[n \le m\]

si on peut trouver un \(p \in \setN\) tel que :

\[m = n + p\]

En évaluant les additions \(n+1\) et \(n^- + 1\), on obtient :

\begin{align} n^- + 1 &= n \\ n + 1 &= n^+ \end{align}

Le choix \(p = 1\) nous montre alors que :

\[n^- \le n \le n^+\]

1.4.1 Plus grand ou égal

On note aussi :

\[m \ge n\]

pour signifier que \(n \le m\).

1.4.2 Total

Soir \(m,n \in \setN\). Comme \(m\) est, directement ou indirectement, un successeur ou un prédécesseur de \(n\), on a soit :

\[m \le n\]

soit :

\[n \le m\]

L'ordre usuel sur \(\setN\) est total.

1.4.3 Ordre strict

On note :

\[n \strictinferieur m\]

ou :

\[m \strictsuperieur n\]

lorsque \(n \le m\) et \(m \ne n\).

1.4.4 Extrema

Comme tous les éléments de \(\setN\) sont supérieurs au égaux à \(0\), on a clairement :

\[\minor \setN = \{ 0 \}\]

et :

\[\inf \setN = \min \setN = 0\]

Par contre, si on suppose avoir trouvé \(s \in \major \setN\), on a \(s \le s^+ \in \setN\) ce qui contredit l'hypothèse de majorant. L'ensemble des majorants est donc vide, et le supremum n'existe pas dans \(\setN\). On note donc :

\[\sup \setN = +\infty\]

1.5 Ordre et addition

Soit \(a,b,c,d \in \setN\). Supposons que :

\[a \le b\] \[c \le d\]

On peut donc trouver \(p,q \in \setN\) tels que :

\begin{align} b &= a + p \\ d &= c + q \end{align}

En additionnant ces deux équations, on obtient :

\[b + d = a + p + c + q = (a + c) + (p + q)\]

Comme \(p + q\) est également un naturel, on en conclut que :

\[a + c \le b + d\]

L'ordre est donc conservé lorsqu'on ajoute au moins autant au grand nombre qu'au petit. On parle d'invariance sous l'addition.

1.6 Positivité

\label{sec:positivite_des_naturels}

Soit \(n \in \setN\). La neutralité de \(0\) pour l'addition nous permet d'écrire :

\[n = 0 + n\]

On en déduit que :

\[n \ge 0\]

pour tout \(n \in \setN\) et :

\[n \strictsuperieur 0\]

lorsque \(n \ne 0\).

1.7 Soustraction

Soit l'ensemble :

\[\Delta = \{ (m,n) \in \setN^2 : n \le m \}\]

Choisissons \((m,n) \in \Delta\). On peut trouver \(p \in \setN\) tel que :

\[m = n + p\]

Comme :

\[n + p = p + n = p^{+...+} = m\]

on voit que :

\[p = m^{-...-}\]

où \(-...-\) désigne \(n\) opérations de prédécessions. Le \(p\) ainsi défini est donc unique. On dit que \(p\) est la soustraction de \(m\) et \(n\), et on le note :

\[p = m - n\]

1.7.1 \(m \le n\)

Si \(m \strictinferieur n\), calculer la soustraction :

\[p = m - n = m^{-...-} = 0^{+...+-...-}\]

reviendrait à effectuer plus d'opérations de prédécessions que de sucessions. Nous serions donc amenés à devoir évaluer le prédécesseur de l'élément racine \(0\), qui n'existe pas dans \(\setN\). Cette opération n'est par conséquent pas définie.

1.7.2 Neutralisation

La définition implique directement l'équivalence :

\( m = n = n + 0 \\ \Longleftrightarrow \\ m - n = 0 \)

1.7.3 Associativité

Soit \(m,n,p \in \setN\) avec \(n + p \le m\). On a trivialement :

\[(m - n) - p = m - (n + p)\]

On note aussi :

\[m - n - p = (m - n) - p = m - (n + p)\]

1.7.4 Commutativité

Soit \(m,n,p \in \setN\) avec \(n + p \le m\). On voit que :

\[m - n - p = m - (n + p) = m - (p + n) = m - p - n\]

1.7.5 Associativité mixte

Soit \(m,n,p \in \setN\) avec \(p \le n\). On a trivialement :

\[(m + n) - p = m + (n - p)\]

On note aussi :

\[m + n - p = (m + n) - p = m + (n - p)\]

1.7.6 Commutativité mixte

Soit \(m,n,p \in \setN\) avec \(m,p \le n\). On a trivialement :

\begin{align} m + n - p = (m + n) - p &= (n + m) - p \\ &= n + (m - p) \\ &= (m - p) + n \\ &= m - p + n \end{align}

1.8 Ordre et soustraction

Soit \(a,b,c,d \in \setN\). Supposons que :

\[a \le b\] \[c \ge d\]

On peut donc trouver \(p,q \in \setN\) tel que :

\[b = a + p\]

\[d + q = c\]

En soustrayant ces deux équations, on obtient :

\[b - d - q = a + p - c\]

\[b - d = a - c + p + q\]

Comme \(p + q\) est aussi un naturel, on en conclut que :

\[a - c \le b - d\]

L'ordre est donc conservé lorsqu'on soustrait au moins autant au petit nombre qu'au grand. On parle d'invariance pour la soustraction.

1.9 Multiplication

Soit \(m,n \in \setN\). La multiplication usuelle, notée \(\cdot : \setN \times \setN \mapsto \setN\), est définie par :

\[m \cdot 0 = 0\]

\[m \cdot n^+ = ( m \cdot n ) + m\]

Posant \(i = m\) et \(j = n^+\), on en déduit que :

\[i \cdot 0 = 0\]

\[i \cdot j = ( i \cdot j^- ) + i\]

1.9.1 Priorité

Afin d'alléger les notations, nous convenons que la multiplication est toujours prioritaire sur l'addition. On pose donc :

\[i \cdot j + k = ( i \cdot j ) + k\]

pour tout \(i,j,k \in \setN\).

La définition peut alors se réécrire :

\[m \cdot 0 = 0\]

\[m \cdot n^+ = m \cdot n + m\]

1.9.2 Notation

Lorsque cela ne pose pas de problème d'ambiguité, on note aussi :

\[m \ n = m \cdot n\]

1.9.3 Absorption

Soit \(m \in \setN\). On déduit directement de la définition que :

\begin{align} 0 \cdot m &= 0 \cdot m^- + 0 \\ \vdots && \\ 0 \cdot m &= 0 + ... + 0 = 0 \end{align}

On a donc \(0 \cdot m = m \cdot 0 = 0\). On dit que \(0\) est absorbant pour la multiplication.

1.9.4 Définition alternative

Soit \(m \ge 1\). En utilisant récursivement la définition, on obtient :

\begin{align} m \cdot n &= m \cdot n^- + m \\ &\vdots& \\ &= m \cdot 0 + m + ... + m \\ &= 0 + m + ... + m \\ &= m + ... + m \end{align}

où le membre de droite compte \(n\) terme « \(m\) ». Mais comme \(m = m^- + 1\), on a :

\[m \cdot n = m^- + 1 + ... + m^- + 1\]

La commutativité nous permet de regrouper les \(n\) nombres \(1\) à la fin :

\[m \cdot n = m^- + ... + m^- + 1 + ... + 1\]

Il est clair que :

\[1 + ... + 1 = 0^{+...+} = n\]

On a dès lors :

\[m \cdot n = m^- + ... + m^- + n\]

Comme le membre de droite contient \(n\) termes \(m^-\), on en conclut que :

\[m \cdot n = m^- \cdot n + n\]

qui est une version alternative de la définition.

1.9.5 Neutre multiplicatif

La définition implique que :

\[m \cdot 1 = m \cdot 0 + m = 0 + m = m\]

Mais en appliquant la définition alternative à \(1 \cdot m\), il vient :

\[1 \cdot m = 0 \cdot m + m = m\]

On a donc \(1 \cdot m = m \cdot 1 = m\). On dit que \(1\) est neutre pour la multiplication.

1.9.6 Commutativité

Soit \(m \in \setN\). On a vu que \(m \cdot 0 = 0 \cdot m\). L'équation :

\[m \cdot n = n \cdot m\]

Est donc vérifiée pour \(n = 0\).

Supposons à présent que :

\[n^- \cdot m = m \cdot n^-\]

En appliquant les deux alternatives de la définition, on a :

\[m \cdot n = m \cdot n^- + m\]

\[n \cdot m = n^- \cdot m + m\]

et donc :

\[m \cdot n = n \cdot m\]

Puisque cette égalité est vraie pour \(n = 0 = 1^-\), on en déduit qu'elle est également vraie pour \(n = 1 = 2^-\), pour \(n = 2 = 3^-\), etc. Elle est donc vérifiée pour tout \(n \in \setN\) : la multiplication est commutative.

1.9.7 Distributivité

Soit \(m,n,p \in \setN\). On a :

\[m \cdot (n + p) = m + ... + m\]

où le membre de droite compte \(n+p\) termes « \(m\) ». Par associativité de l'addition, on peut regrouper les termes comme suit :

\[m \cdot (n + p) = (m + ... + m) + (m + ... + m)\]

où la première parenthèse compte \(n\) termes et la seconde \(p\) termes. On a donc :

\[m \cdot (n + p) = m \cdot n + m \cdot p\]

Par commutativité de la multiplication, on en déduit :

\[(n + p) \cdot m = n \cdot m + p \cdot m\]

On dit que la multiplication se distribue sur l'addition.

1.9.7.1 Sur la soustraction

Soit \(m,n,p \in \setN\) avec \(p \le n\) et :

\[q = n - p\]

On a :

\[m \cdot (p + q) = m \cdot p + m \cdot q\]

Mais comme \(p + q = n\), il vient :

\[m \cdot n = m \cdot p + m \cdot (n - p)\]

On en déduit que :

\[m \cdot (n - p) = m \cdot n - m \cdot p\]

Par commutativité de la multiplication, on a également :

\[(n - p) \cdot m = n \cdot m - p \cdot m\]

On dit que la multiplication se distribue sur la soustraction.

1.9.8 Unicité de l'absorbant

Nous allons voir que l'absorbant est unique. Soit \(a_1, a_2 \in \setN\) tels que :

\[a_1 \cdot n = a_2 \cdot n = 0\]

pour tout \(n \in \setN\). On en déduit que :

\[a_1 \cdot n - a_2 \cdot n = 0\]

En utilisant la distributivité, on obtient :

\[(a_1 - a_2) \cdot n = 0\]

Mais comme ce résultat doit être valable pour tout \(n \in \setN\), il est valable pour \(n = 1\) et on a :

\[(a_1 - a_2) \cdot 1 = a_1 - a_2 = 0\]

Autrement dit, \(a_1 = a_2\). L'absorbant est donc unique.

1.9.9 Associativité

Soit \(m,n,p \in \setN\). On a :

\[m \cdot (n \cdot p) = m + ... + m\]

où le membre de droite compte \(n \cdot p\) termes « \(m\) ». Par associativité de l'addition, on peut les regrouper en \(p\) parenthèses contenant chacune \(n\) termes :

\[m \cdot (n \cdot p) = (m + ... + m) + ... + (m + ... + m)\]

ce qui revient à :

\[m \cdot (n \cdot p) = (m \cdot n) + ... + (m \cdot n)\]

Mais comme il y a \(p\) parenthèses, on a :

\[m \cdot (n \cdot p) = (m \cdot n) \cdot p\]

La multiplication est donc associative. On note aussi :

\[m \cdot n \cdot p = m \cdot (n \cdot p) = (m \cdot n) \cdot p\]

1.9.10 Produit nul

Soit \(m,n \in \setN\) tels que :

\[m \cdot n = 0\]

Nous allons prouver qu'au moins un des deux facteurs doit être nul. Supposons que \(m, n \ne 0\). On a alors :

\[m \cdot n = n + ... + n = 0\]

Mais comme \(n \ne 0\), on a :

\[n \strictsuperieur 0\]

et :

\[0 = n + ... + n \ge n \strictsuperieur 0\]

ce qui est impossible. On a donc l'implication :

\[m \cdot n = 0 \quad \Rightarrow \quad m = 0 \quad \mathrm{ou} \quad n = 0\]

1.10 Notation décimale

Soit le tuple :

\[(i_0,i_1,i_2,...i_{n - 1},i_n) \in \{ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 \}^{n + 1}\]

La notation décimale associée est définie par :

\[i_n i_{n - 1} ... i_2 i_1 i_0 = i_0 + i_1 \cdot 10 + i_2 \cdot 10^2 + ... + i_{n - 1} \cdot 10^{n - 1} + i_n \cdot 10^n\]

Exemple :

\[7512 = 2 + 1 \cdot 10 + 5 \cdot 10^2 + 7 \cdot 10^3\]

1.11 Division entière

Soit \(m,n \in \setN\). On définit la division entière \(\diventiere : \setN \times \setN \to \setN\) par :

\[m \diventiere n = \sup \{ k \in \setN : k \cdot n \le m \}\]

On dit que \(m\) est le numérateur, \(n\) le dénominateur et \(m \diventiere n\) le quotient de \(m\) par \(n\).

1.11.1 Existence

Soit \(m,n \in \setN\) avec \(n \ne 0\) et :

\[A_{mn} = \{ k \in \setN : k \cdot n \le m \}\]

Pour tout naturel \(p\) vérifiant \(p \strictsuperieur m\), on a :

\[p \cdot n = p + ... + p \strictsuperieur p \strictsuperieur m\]

On en conclut que :

\[A_{mn} \subseteq \{ 0, 1, ..., m - 1, m \}\]

L'ensemble \(A_{mn}\) contient donc un nombre fini d'éléments. Comme l'ordre usuel sur \(\setN\) est total, on en conclut que \(A_{mn}\) admet un maximum identique au suprémum. La division entière de \(m\) par \(n\) est donc bien définie :

\[m \diventiere n = \max A_{mn} = \sup A_{mn}\]

L'inclusion nous donne l'inégalité des maxima :

\[\max A_{mn} \le \max \{ 0, 1, ..., m - 1, m \} = m\]

On en déduit que :

\[m \diventiere n \le m\]

1.11.2 Division par zéro

Soit \(m \in \setN\). Essayons d'évaluer la division \(m \diventiere 0\). Par absorption de \(0\), on voit que :

\[k \cdot 0 = 0 \le m\]

pour tout \(k \in \setN\). Par conséquent :

\[\{ k \in \setN : k \cdot 0 \le m \} = \setN\]

Le supremum n'existe pas dans \(\setN\) et la division par zéro n'est par conséquent pas définie. On le note symboliquement :

\[m \diventiere 0 = \sup \setN = +\infty\]

1.11.3 Division par un

Soit \(m \in \setN\). On a :

\[m = m \cdot 1 \le m\]

et :

\[(m + 1) \cdot 1 = m + 1 \strictsuperieur m\]

On en déduit que :

\[m \diventiere 1 = m\]

1.11.4 Zéro divisé

Soit \(n \in \setN\) avec \(n \ne 0\). On a :

\[\{ k \in \setN : k \cdot n \le 0 \} = \{ 0 \}\]

La division entière de \(0\) par \(n\) est donc nulle :

\[0 \diventiere n = \sup \{ 0 \} = 0\]

1.11.5 Modulo

Soit \(m,n \in \setN\). Par définition, on voit que :

\[(m \diventiere n) \cdot n \le m\]

Il est donc licite de définir le naturel :

\[r = m - (m \diventiere n) \cdot n\]

On dit que \(r\) est le modulo de \(m\) par rapport à \(n\) et on le note :

\[m \modulo n = m - (m \diventiere n) \cdot n\]

1.11.6 Décomposition

Soit \(m,n \in \setN\). Par définition du modulo, a la décomposition :

\[m = (m \diventiere n) \cdot n + m \modulo n\]

1.11.7 Reste

Soit \(m,n \in \setN\). On dit aussi que \(r = m \modulo n\) est le reste de la division entière de \(m\) par \(n\).

1.11.8 Exacte

Soit \(m,n \in \setN\). Si \(m \modulo n = 0\), on dit que la division entière est exacte. Dans ce cas, la décomposition s'écrit simplement :

\[m = (m \diventiere n) \cdot n\]

1.11.9 Bornes

Soit \(m,n \in \setN\) et \(k = m \diventiere n\). On sait déjà que :

\[m \modulo n \ge 0\]

par la positivité des naturels. Supposons de plus que :

\[m \modulo n = m - k \cdot n \ge n\]

on a alors :

\[m \ge n + k \cdot n = (k + 1) \cdot n\]

ce qui est contraire au caractère de supremum de \(k\). Par conséquent :

\[0 \le m \modulo n \le n - 1\]

1.11.10 Solution

Soit \(m,n,k,r \in \setN\) avec \(n \ne 0\). Supposons que :

\[m = k \cdot n + r\]

Par positivité des naturels, on a \(r \ge 0\) et :

\[k \cdot n \le m\]

d'où l'on conclut par définition du suprémum que \(k \le m \diventiere n\). Si on a également :

\[r \le n - 1\]

on a alors :

\[(k + 1) \cdot n = k \cdot n + n \strictsuperieur k \cdot n + r = m\]

On en conclut que \(k + 1 \strictsuperieur m \diventiere n\). Donc :

\[m \diventiere n = k\]

et :

\[m \modulo n = r\]

1.11.11 Division de deux produits

Soit \(m,n,q,i,j,k \in \setN\) avec \(n,j \ne 0\) tels que :

\[m = q \cdot n\] \[i = k \cdot j\]

On a alors les divisions exactes :

\[m \diventiere n = q\] \[i \diventiere j = k\]

De plus :

\[m \cdot i = q \cdot k \cdot n \cdot j\]

ce qui signifie que :

\[(m \cdot i) \diventiere (n \cdot j) = q \cdot k\]

On a donc :

\[(m \cdot i) \diventiere (n \cdot j) = (m \diventiere n) \cdot (i \diventiere j)\]

1.11.12 Plus grand commun diviseur

Soit \(m,n \in \setN\) avec \(n \ne 0\). On définit le plus grand commun diviseur de \(m\) et \(n\) par :

\[\pgcd(m,n) = \sup \{ k \in \setN : m \modulo k = n \modulo k = 0 \}\]

Comme les divisions sont exactes, on a :

\[m = \big[ m \diventiere \pgcd(m,n) \big] \cdot \pgcd(m,n)\]

et :

\[n = \big[ n \diventiere \pgcd(m,n) \big] \cdot \pgcd(m,n)\]

1.11.13 Plus petit commun multiple

Soit \(m,n \in \setN\). On définit le plus petit commun multiple de \(m\) et \(n\) par :

\[\ppcm(m,n) = \inf \{ k \in \setN : k \modulo m = k \modulo n = 0 \}\]

Comme les divisions sont exactes, on a :

\[\ppcm(m,n) = \big[ \ppcm(m,n) \diventiere m \big] \cdot m\]

et :

\[\ppcm(m,n) = \big[ \ppcm(m,n) \diventiere n \big] \cdot n\]

1.12 Puissance

Soit \(m,n \in \setN\) avec \(n \ne 0\). Les puissances naturelles sont définies par :

\begin{align} m^0 &= 1 \\ m^n &= m \cdot m^{n-1} \end{align}

En appliquant récursivement la définition, on obtient :

\begin{align} m^n &= m \cdot m^{n-1} \\ &\vdots& \\ &= m \cdot ... \cdot m \end{align}

où le membre de droite compte \(n\) facteurs « \(m\) ».

1.12.1 Priorité

Nous convenons des règles de priorité :

\[m + n^p = m + (n^p)\]

\[m \cdot n^p = m \cdot (n^p)\]

valables pour tout \(m,n,p \in \setN\).

1.12.2 Somme en exposant

Soit \(m,n,p \in \setN\). On a :

\[m^{n+p} = m \cdot ... \cdot m\]

où le membre de droite compte \(n+p\) facteur \(m\). En regroupant les \(n\) premiers facteurs dans une première parenthèse et les \(p\) facteurs restant dans la seconde, on a :

\[m^{n+p} = (m \cdot ... \cdot m) \cdot (m \cdot ... \cdot m)\]

qui n'est rien d'autre que :

\[m^{n+p} = m^n \cdot m^p\]

1.12.3 Puissance d'un produit

\[\left(m \cdot n\right)^p = m \cdot n \cdot ... \cdot m \cdot n\]

où le membre de droite compte \(p\) facteurs \(m \cdot n\). La commutativité de la multiplication nous permet de les regrouper les \(m\) d'un coté et les \(n\) de l'autre :

\[\left(m \cdot n\right)^p = m \cdot ... \cdot m \cdot n \cdot ... \cdot n\]

c'est-à-dire :

\[\left(m \cdot n\right)^p = m^p \cdot n^p\]

1.12.4 Puissance d'une puissance

Soit \(m,n,p \in \setN\). On a :

\begin{align} \left(m^n\right)^p &= \left(m \cdot ... \cdot m\right)^p \\ &= m \cdot ... \cdot m \end{align}

où le membre de droite compte \(n \cdot p\) facteurs. On en conclut que :

\[\left(m^n\right)^p = m^{n \cdot p}\]

1.13 Factorielle

Soit \(n\in\setN\), \(n \ne 0\). On définit la factorielle de \(n\) par :

\begin{align} 0 ! &= 1 \\ n ! &= n \cdot (n-1) ! \end{align}

On a donc :

\[n ! = n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \cdot ... \cdot 1 = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot n\]

1.13.1 Priorité

On convient que :

\[x \cdot y ! = x \cdot (y !)\]

1.14 Monoïde

\((\setN,+)\) et \((\setN,\cdot)\) sont des monoïdes.

Auteur: chimay

Created: 2019-10-01 mar 12:32

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