Eclats de vers : Matemat 03 : Nombres - 2

Table des matières

1. Entiers

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1. Entiers

1.1. Dépendances
1.2. Principe général de l'extension
1.3. Soustraction de naturels
1.4. Addition
1.5. Définition
1.6. Opposé
1.7. Soustraction d'entiers
1.8. Ordre
1.9. Signe
1.10. Valeur absolue
1.11. Multiplication
1.12. Ordre et multiplication
1.13. Notation décimale
1.14. Division entière et modulo
1.15. Puissance
1.16. Anneau
1.17. Propriétés

\label{chap:entiers}

1.1. Dépendances

Chapitre \ref{chap:naturels} : Les nombres naturels

1.2. Principe général de l'extension

Nous allons à présent étendre progressivement les opérations vues sur les naturels. Le principe est de partir d'un ensemble \(X\) et de construire un ensemble dérivé \(Y\) (souvent \(Y\) sera \(X^2\)). Ensuite, nous définissons l'opération étendue sur \(Y\) de telle sorte qu'elle vérifie les nouvelles propriétés demandées en plus de celles déjà acquises sur \(X\).

1.3. Soustraction de naturels

On aimerait bien étendre la soustraction à deux naturels \(i,j \in \setN\) quelconques. Malheureusement, nous avons vu que si \(i \le j\), cette opération n'est pas définie. Pour contourner ce problème nous introduisons la notation différentielle :

\[i - j = (i,j)\]

où \((i,j) \in \setN^2\) est appelé nombre entier. Il ne nous reste plus ensuite qu'à définir convenablement les autres opérations pour conserver les propriétés intéressantes qu'elles possèdent sur \(\setN\).

1.3.1. Notations

Soit \(i \in \setN\). On note aussi :

\( i = i - 0 = (i,0) \\ -i = 0 - i = (0,i) \)

En particulier :

\( 1 = (1,0) \\ 0 = (0,0) \\ -1 = (0,1) \)

1.4. Addition

Soit \(i,j,k,l \in \setN\). Pour conserver l'associativité et la commutativité, on doit avoir :

\[(i - j) + (k - l) = (i + j) - k - l = (i + j) - (k + l)\]

Ceci nous incite à définir l'addition des entiers par :

\[(i,j) + (k,l) = (i + j, k + l)\]

1.4.1. Neutre additif

Soit \(i,j \in \setN\). On a :

\[(i - j) + (0 - 0) = (i + 0) - (j + 0) = i - j\]

Pour tout \(n \in \setN\), la soustraction native des naturels nous dit que :

\[n - n = 0\]

Afin de rester consistant, on impose que :

\[i - j = (i - j) + 0 = (i - j) + (n - n) = (i + n) - (j + n)\]

ou, en terme de couples :

\[(i,j) = (i + n, j + n)\]

Le neutre pour l'addition s'écrit donc :

\[0 = 0 - 0 = n - n = (0,0) = (n,n)\]

1.4.2. Équivalence

On voit apparaître les familles :

\[D(i,j) = \{ (i + n, j + n) : n \in \setN \}\]

où chaque élément de \(D(i,j)\) est équivalent à un autre. Nous noterons donc également :

\[i - j = D(i,j)\]

1.5. Définition

On définit l'ensemble des nombres entiers par :

\[\setZ = \{ i - j : i,j \in \setN \}\]

où \(i - j\) représente l'ensemble d'équivalence \(D(i,j)\). En introduisant les symboles usuels, on a donc :

\[\setZ = \{ ...,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,... \}\]

1.5.1. Forme canonique

Soit \(i,j \in \setN\).

Si \(i \ge j\), le naturel \(i - j\) existe et nous pouvons toujours

ramener \((i,j)\) par équivalence à :

\[(i - j, 0) = (i - j, 0) + (j,j) = (i - j + j, j) = (i,j)\]

On dit alors que \((i,j) = i - j\) est un entier positif.

Si \(i \le j\), le naturel \(j - i\) existe et nous pouvons toujours

ramener \((i,j)\) par équivalence à :

\[(0, j - i) = (0, j - i) + (i,i) = (i, j - i + i) = (i,j)\]

On dit alors que \((i,j) = i - j\) est un entier négatif.

1.5.2. Signe

On définit l'ensemble des entiers positifs par :

\[\setZ^+ = \{ i = D(i,0) : i \in \setN \}\]

ainsi que l'ensemble des entiers négatifs :

\[\setZ^- = \{ -i = D(0,i) : i \in \setN \}\]

L'ensemble des entiers est bien entendu l'union des deux : \(\setZ = \setZ^+ \cup \setZ^-\).

1.5.3. Inclusion

Nous pouvons associer à tout naturel \(i\) un entier équivalent \(i - 0 = (i,0)\). Pour cette raison, nous dirons que tout naturel est également un entier, et nous noterons : \(\setN \subseteq \setZ\).

1.5.4. Entiers positifs et naturels

Il existe une bijection \(f : \setN \mapsto \setZ^+\) définie par :

\[f(n) = (n,0) = n - 0 = n\]

pour tout \(n \in \setN\). On assimile donc les deux ensembles en écrivant \(\setN = \setZ^+\).

1.6. Opposé

Soit \(i,j \in \setN\). On déduit de la définition de l'addition que :

\[(i - j) + (j - i) = (i + j) - (j + i) = (i + j) - (i + j) = 0 - 0 = 0\]

ou, en terme de couples :

\[(i,j) + (j,i) = (i + j, i + j) = (0,0) = 0\]

On dit que \(j - i = (j,i)\) est l'opposé de \(i - j = (i,j)\), et inversément. On le note :

\[- (i - j) = j - i\]

ou :

\[- (i,j) = (j,i)\]

1.6.1. De l'opposé

On a clairement :

\[- ( - (i - j)) = - (j - i) = i - j\]

ou :

\[- ( - (i,j)) = - (j,i) = (i,j)\]

L'opposé de l'opposé est l'entier lui-même.

1.6.2. D'une somme

Soit \(u,v \in \setZ\) et \(i,j,k,l \in \setN\) tels que :

\[u = i - j\] \[v = k - l\]

On a :

\[(u + v) + ((-u) + (-v)) = ((i - j) + (k - l)) + ((j - i) + (l - k))\]

ce qui nous donne :

\[(u + v) + ((-u) + (-v)) = (i + k + j + l) - (j + l + i + k) = 0\]

On en conclut que la somme des opposés est égale à l'opposé de la somme :

\[(-u) + (-v) = - ( u + v)\]

1.6.3. Notation

On note aussi :

\[- u + v = (-u) + v\]

pour tout \(u,v \in \setZ\).

1.6.4. Moins un

Un cas particulier important :

\[-(1 - 0) = 0 - 1 = -1\]

et :

\[-(-1) = 1\]

1.7. Soustraction d'entiers

Soit \(i,j,k,l \in \setN\). Comme :

\begin{align} i + (-j) = (i,0) + (0,j) = (i,j) = i - j \end{align}

On étend la soustraction à l'ensemble des entiers par :

\begin{align} (i,j) - (k,l) = (i,j) + (-(k,l)) = (i,j) + (l,k) \end{align}

ce qu'on peut réécrire par :

\[u - v = u + (-v)\]

pour tout \(u,v \in \setZ\).

1.7.1. Propriétés

On a clairement :

\[(-i) - j = (-i) + (-j) = - ( i + j )\]

\[(-i) - (-j) = (-i) + j = j + (-i) = j - i\]

1.7.2. Notation

On note aussi :

\[- u - v = (-u) - v\]

pour tout \(u,v \in \setZ\).

1.8. Ordre

Soit \(u,v \in \setZ\) et \(i,j,k,l \in \setN\) tels que :

\[u = i - j\] \[v = k - l\]

Si nous voulons conserver la propriété de conservation de l'ordre sous l'addition, l'inégalité :

\[u = i - j \le k - l = v\]

doit être équivalente à :

\[(i - j) + j + l \le (k - l) + j + l\]

qui nous donne :

\[i + l \le k + j\]

Nous définissons l'ordre sur les entiers en affirmant que :

\[i - j \le k - l\]

si et seulement si :

\[i + l \le j + k\]

1.8.1. Plus grand ou égal

Soit \(x,y \in \setZ\). On note aussi :

\[y \ge x\]

pour signifier que \(x \le y\).

1.8.2. Ordre strict

Soit \(x,y \in \setZ\). On note :

\[x \strictinferieur y\]

\[y \strictsuperieur x\]

lorsque \(x \le y\) et \(x \ne y\).

1.8.3. Conservation

Soit \(u,v,w,z \in \setZ\) et \(i,j,k,l,m,n,r,s \in \setN\) tels que :

\[u = i - j\] \[v = k - l\] \[w = m - n\] \[z = r - s\]

On a :

\[u + w = (i + m) - (j + n)\] \[v + z = (k + r) - (l + s)\]

Supposons que :

\[u \le v\] \[w \le z\]

On a :

\[i - j \le k - l\] \[m - n \le r - s\]

ou :

\[i + l \le j + k\] \[m + s \le n + r\]

L'ordre des naturels étant conservé sous l'addition, on a :

\[i + l + m + s \le j + k + n + r\]

et :

\[(i + m) - (j + n) \le (k + r) - (l + s)\]

c'est-à-dire :

\[u + w \le v + z\]

L'ordre des entiers est conservé par l'addition.

1.8.4. Opposé

Soit \(u,v \in \setZ\) tels que :

\[u \le v\]

Comme :

\[-(u + v) = -(u + v)\]

on a :

\[-(u + v) \le -(u + v)\]

et :

\[u + (-(u + v)) \le v + (-(u + v))\]

En développant, on a :

\[-v = u - u - v \le v - u - v = -u\]

c'est-à-dire :

\[-u \ge -v\]

L'ordre sur les opposés est l'inverse de l'ordre original.

1.8.4.1. Signe

Soit \(z \in \setZ\). Si \(z \ge 0\), on a :

\[-z \le 0\]

Inversément, si \(z \le 0\), on a :

\[-z \ge 0\]

1.8.5. Positifs et négatifs

Soit \(u \in \setZ^+\) et \(i \in \setN\) tel que :

\[u = i - 0\]

On a :

\[i + 0 \ge 0 + 0\]

et :

\[i - 0 \ge 0 - 0 = 0\]

On en déduit que \(u \ge 0\). Réciproquement, soit \(u \in \setZ\) et \(i,j \in \setN\) tels que :

\[u = i - j\]

Si \(u \ge 0\), on a :

\[i - j \ge 0\]

et :

\[i \ge j\]

On peut donc mettre \(u\) sous la forme canonique :

\[u = (i - j,0) \in \setZ^+\]

On a donc :

\[\setZ^+ = \{ u \in \setZ : u \ge 0 \}\]

On montre aussi que :

\[\setZ^- = \{ u \in \setZ : u \le 0 \}\]

Par analogie avec les naturels, on dit que les entiers positifs sont les successeurs de \(0\) et les entiers négatifs les prédécesseurs de \(0\).

1.9. Signe

La fonction signe est définie par :

\[\signe(z) = \begin{cases} 1 & \text{si } \ z \ge 0 \\ -1 & \text{si } \ z \strictinferieur 0 \end{cases}\]

pour tout \(z \in \setZ\).

1.10. Valeur absolue

Soit \(z \in \setZ\). On définit la valeur absolue de \(z\) par :

\[\left| z \right | = \max \{ z , -z \}\]

On a donc :

\[\left| z \right| = \begin{cases} z & \text{si } \ z \ge 0 \\ -z & \text{si } \ z \strictinferieur 0 \end{cases}\]

Comme le nombre positif l'emporte toujours sur le négatif dans le maximum, on a :

\[\left| z \right| \ge 0\]

On vérifie que :

pour tout \(x,y \in \setZ\).

1.11. Multiplication

Soit \(u \in \setZ\). Le naturel \(0\) est absorbant pour la multiplication. On souhaite conserver cette propriété pour l'entier \(0 = 0 - 0\) :

\[u \cdot 0 = 0 \cdot u = 0\]

\[u \cdot 1 = 1 \cdot u = u\]

Soit \(u,v \in \setZ\). Si nous voulons conserver la distributivité, il faut que :

\[u \cdot v + (-u) \cdot v = (u + (-u)) \cdot v = 0 \cdot v = 0\]

On en conclut que :

\[(-u) \cdot v = - (u \cdot v)\]

On a aussi :

\[u \cdot v + u \cdot (-v) = u \cdot (v + (-v)) = u \cdot 0 = 0\]

et :

\[u \cdot (-v) = -(u \cdot v)\]

Enfin :

\[(-u) \cdot (-v) = - (u \cdot (-v)) = - ( - (u \cdot v)) = u \cdot v\]

1.11.1. Définition

Soit \(u,v \in \setZ\) et \(i,j,k,l \in \setN\) tels que :

\[u = i - j\] \[v = k - l\]

On a :

\[u \cdot v = (i - j) \cdot (k - l) = (i + (-j)) \cdot (k + (-l))\]

La distributivité nous donne :

\[u \cdot v = i \cdot (k + (-l)) + (-j) \cdot (k + (-l))\]

En l'utilisant une nouvelle fois, on arrive à :

\[u \cdot v = i \cdot k + i \cdot (-l) + (-j) \cdot k + (-j) \cdot (-l)\]

ou :

\[u \cdot v = i \cdot k - i \cdot l - j \cdot k + j \cdot l = (i \cdot k + j \cdot l) - (i \cdot l + j \cdot k)\]

On définit donc la multiplication d'entiers par :

\[(i,j) \cdot (k,l) = (i \cdot k + j \cdot l, i \cdot l + j \cdot k)\]

1.11.2. Entiers positifs

Soit \(u,v \in \setZ\) tels que \(u,v \ge 0\). On peut trouver des naturels \(i,j\) tels que :

\[u = i - 0\] \[v = j - 0\]

On a :

\[u \cdot v = (i - 0) \cdot (j - 0) = (i \cdot j + 0 \cdot 0) - (i \cdot 0 + 0 \cdot j) = i \cdot j - 0 = i \cdot j\]

La multiplication d'entiers positifs correspond à celle des naturels.

1.11.3. Lien avec l'addition

Soit \(u,v \in \setZ\) avec \(v \ge 0\) et \(i,j,k \in \setN\) tels que :

\[u = i - j\] \[v = k - 0\]

On a :

\[u \cdot v = (i - j) \cdot (k - 0) = (i \cdot k + j \cdot 0) - (j \cdot k + i \cdot 0) = i \cdot k - j \cdot k\]

En additionnant \(k\) fois le même terme \(u\), on obtient :

\[u + ... + u = i \cdot k - j \cdot k = u \cdot v\]

1.11.4. Commutativité

La commutativité de la multiplication sur les entiers découle de celle sur les naturels :

\begin{align} (k - l) \cdot (i - j) &= (k \cdot i + l \cdot j) - (k \cdot j + l \cdot i) \\ &= (i \cdot k + j \cdot l) - (i \cdot l + j \cdot k) \\ &= (i - j) \cdot (k - l) \end{align}

1.11.5. Associativité

Soit \(u,v,w \in \setZ\). Si \(u, v, w \ge 0\), on peut les associer aux naturels \(i,j,k \in \setN\) par :

\[u = i - 0\] \[v = j - 0\] \[w = k - 0\]

On a alors :

\[u \cdot v = i \cdot j\]

et :

\[v \cdot w = j \cdot k\]

On a donc :

\[(u \cdot v) \cdot w = (i \cdot j) \cdot (k - 0) = i \cdot j \cdot k - 0 = i \cdot j \cdot k\]

et :

\[u \cdot (v \cdot w) = (i - 0) \cdot (j \cdot k) = i \cdot j \cdot k - 0 = i \cdot j \cdot k\]

On en conclut que :

\[(u \cdot v) \cdot w = u \cdot (v \cdot w)\]

Si un ou plusieurs entiers sont négatifs, soit \(-u,-v,-w\), on a :

\[((-u) \cdot v) \cdot w = (- (u \cdot v)) \cdot w = - ((u \cdot v) \cdot w)\]

et :

\[((-u) \cdot v) \cdot w = - (u \cdot (v \cdot w)) = (-u) \cdot (v \cdot w)\]

ou :

\[(u \cdot v) \cdot (-w) = - ((u \cdot v) \cdot w)\]

et :

\[(u \cdot v) \cdot w = - (u \cdot (v \cdot w)) = u \cdot (-(v \cdot w)) = u \cdot (v \cdot (-w))\]

Les autres cas sont semblables, on a donc :

\[u \cdot v \cdot w = (u \cdot v) \cdot w = u \cdot (v \cdot w)\]

pour tout \(u,v,w \in \setZ\).

1.11.6. Neutre

On a :

\[(i - j) \cdot 1 = (i - j) \cdot (1 - 0) = (i \cdot 1 + j \cdot 0) - (i \cdot 0 + j \cdot 1) = i - j\]

et :

\[1 \cdot (i - j) = (i - j) \cdot 1 = i - j\]

L'entier \(1 = 1 - 0\) est le neutre pour la multiplication.

1.11.7. Notation

On note aussi :

\[- u \cdot v = - (u \cdot v)\]

pour tout \(u,v \in \setZ\).

1.11.8. Moins un

On a :

\[(-1) \cdot (i,j) = - (1 \cdot (i,j)) = - (i,j)\]

Un cas particulier important :

\[(-1) \cdot (-1) = -(-1) = 1\]

1.12. Ordre et multiplication

1.12.1. Conservation simple

Soit \(x,y,z \in \setZ\) avec \(z \ge 0\). Supposons que :

\[x \le y\]

On a alors :

\[x \cdot z = x + ... + x \le y + ... + y = y \cdot z\]

L'ordre est conservé lorsqu'on multiplie les deux membres de l'inégalité par un entier positif. Par contre :

\[x \cdot (-z) = - x \cdot z \ge - y \cdot z = y \cdot (-z)\]

L'ordre est inversé lorsqu'on multiplie les deux membres de l'inégalité par un entier négatif.

1.12.2. Conservation double

Soit \(x,y,u,v \in \setZ\) vérifiant :

\[x \le y\] \[u \le v\]

Si :

\[x,y,u,v \ge 0\]

on a :

\[x \cdot u \le x \cdot v \le y \cdot v\]

1.13. Notation décimale

Soit le tuple :

\[(i_0,i_1,i_2,...i_{n - 1},i_n) \in \{ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 \}^{n + 1}\]

La notation décimale associée est définie par :

\[i_n i_{n - 1} ... i_2 i_1 i_0 = i_0 + i_1 \cdot 10 + i_2 \cdot 10^2 + ... + i_{n - 1} \cdot 10^{n - 1} + i_n \cdot 10^n\]

pour les entiers positifs et :

\[-i_n i_{n - 1} ... i_2 i_1 i_0 = -\left( i_0 + i_1 \cdot 10 + i_2 \cdot 10^2 + ... + i_{n - 1} \cdot 10^{n - 1} + i_n \cdot 10^n \right)\]

pour les entiers négatifs. Exemple :

\[-7512 = -\left( 2 + 1 \cdot 10 + 5 \cdot 10^2 + 7 \cdot 10^3 \right)\]

1.14. Division entière et modulo

Soit \(m,n \in \setN\), avec \(n \ne 0\). Soit :

\begin{align} k &= m \diventiere n \\ r &= m \modulo n \end{align}

On veut étendre la division entière à \(\setZ\) en conservant la décomposition :

\[m = k \cdot n + r\]

On note que :

\[m = (-k) \cdot (-n) + r\]

On en déduit l'extension :

\[m \diventiere (-n) = -k = - (m \diventiere n)\]

et :

\[m \modulo (-n) = r = m \modulo n\]

On note que :

\[-m = k \cdot (-n) - r\]

On en déduit l'extension :

\[(-m) \diventiere (-n) = k = m \diventiere n\]

et :

\[(-m) \modulo (-n) = -r = - (m \modulo n)\]

On note que :

\[-m = (-k) \cdot n - r\]

On en déduit l'extension :

\[(-m) \diventiere n = -k = -(m \diventiere n)\]

et :

\[(-m) \modulo n = -r = - (m \modulo n)\]

1.15. Puissance

Soit \(z \in \setZ\) et \(n \in \setN\). On définit les puissances par :

\begin{align} z^0 &= 1 \\ z^n &= z \cdot z^{n - 1} \end{align}

On a donc :

\[z^n = z \cdot ... \cdot z\]

\(z^n\) est égal au produit de \(n\) facteurs \(z\).

1.16. Anneau

\((\setZ,+,\cdot)\) est un anneau.

1.17. Propriétés

La majeure partie des résultats démontrés sur \(\setN\) reste valable sur \(\setZ\). On le vérifie aisément en utilisant les définitions étendues. Exceptions :

La positivité des naturels (voir section \ref{sec:positivite_des_naturels}), qui est remplacée par la positivité de la valeur absolue