Eclats de vers : Matemat 03 : Nombres - 4

• Chapitre \ref{chap:operations} : Les opérations
• Chapitre \ref{chap:algebre} : L'algèbre

L'ensemble de Boole se définit par :

\[\setB = \{ 0 , 1 \}\]

On associe souvent à \(0\) le sens de « faux » et à \(1\) le sens de « vrai ».

Soit \(C_1, C_2 \in \setB\). La condition « \(C_1\) et \(C_2\) » n'est vraie (\(=1\)) que si \(C_1 = 1\) et \(C_2 = 1\). On définit donc l'opération « ET », notée \(\cdot : \setB \times \setB \mapsto \setB\), par :

Soit \(C_1, C_2 \in \setB\). La condition « \(C_1\) ou \(C_2\) » est vraie (\(=1\)) dès qu'au moins un des deux \(C_i = 1\). On définit donc l'opération « OU », notée \(\oplus : \setB \times \setB \mapsto \setB\), par :

Le contraire de vrai est simplement faux et inversément. On définit donc le contraire de \(C \in \setB\) noté \(\neg C\), par :

• Chapitre \ref{chap:algebre} : L'algèbre
• Chapitre \ref{chap:naturels} : Les naturels
• Chapitre \ref{chap:entiers} : Les entiers
• Chapitre \ref{chap:rationnels} : Les rationnels

Soit les fonctions \(f,g \in B^A\) et \(\divideontimes\) une opération sur \(A\). On définit alors la fonction \(f \divideontimes g\) par :

\[(f \divideontimes g)(x) = f(x) \divideontimes g(x)\]

pour tout \(x \in A\). Nous avons ainsi défini une opération sur \(B^A\) :

\[\divideontimes : B^A \times B^A \mapsto B^A\]

induite par la loi équivalente sur \(B\).

Soit la fonction \(f \in B^A\). Si l'inverse pour l'addition \(-f(x)\) existe pour tout \(x \in A\), on définit la fonction opposée \(-f\) par :

\[(-f)(x) = -f(x)\]

pour tout \(x \in A\). On a alors :

\[f - f = 0\]

Si l'inverse pour la multiplication \(1/f(x)\) existe pour tout \(x \in A\), on définit la fonction \(1/f\) par :

\[(1/f)(x) = 1/f(x)\]

pour tout \(x \in A\). On a alors :

\[f \cdot 1/f = 1\]

Soit la fonction \(f \in B^A\) et \(c \in B\). Étant donnée une opération \(\divideontimes\) définie sur \(B\), on définit les opérations mixtes \(f \divideontimes c\) et \(c \divideontimes f\) par :

pour tout \(x \in A\). Dans le cas où l'opération \(\divideontimes\) définie sur \(B\) est commutative, on a bien entendu \(f \divideontimes c = c \divideontimes f\).

Sur les ensembles où sont définies les lois usuelles \(+,-,\cdot,/\), on aura ainsi :

• les sommes :

• les produits :

• les soustractions :

• les divisions :

pour tout \(x \in A\).

Notons qu'en général la composée n'est pas commutative. On peut en effet trouver des fonctions \(f,g : A \mapsto A\) telles que \(f \circ g \ne g \circ f\).

Cette constatation nous amène à la notion de commutateur. Il s'agit d'une fonction \([f,g] : A \mapsto A\) définie par :

\[[f,g] = f \circ g - g \circ f\]

Cet opérateur est clairement antisymétrique :

\[[f,g] = - [g,f]\]

Dans le cas particulier où \([f,g] = 0\), on dit que les fonctions \(f\) et \(g\) commutent.

Attention à ne pas confondre exposant de la fonction et exposant de la valeur de la fonction en un point :

\[f(x)^n = f(x) \cdot f(x)^{n - 1} \ne f^n(x) = (f \circ f^{n - 1})(x)\]

Le noyau d'une fonction \(f : A \mapsto B\) est l'ensemble des \(x \in A\) où les valeurs de \(f\) sont égales au neutre pour l'addition :

\[\noyau f = \{ x \in A : f(x) = 0 \}\]

Le support d'une fonction \(f : A \mapsto \Omega\) est l'adhérence de l'ensemble des points où \(f\) prend une valeur non nulle :

\[\support f = \adh \{ x \in A : f(x) \ne 0 \}\]

• Chapitre \ref{chap:algebre} : Les structures algébriques
• Chapitre \ref{chap:ordres} : Les ordres
• Chapitre \ref{chap:naturels} : Les naturels
• Chapitre \ref{chap:entiers} : Les entiers
• Chapitre \ref{chap:rationnels} : Les rationnels

Soit un ensemble de référence \(\Omega\) et \(A \subseteq \Omega\). La fonction indicatrice

\[\indicatrice_A : \Omega \mapsto \{ 0 , 1 \}\]

associée à l'ensemble \(A\) permet de déterminer si un élément quelconque de \(\Omega\) appartient où non à \(A\). Elle est définie par :

\[\indicatrice_A(x) = \begin{cases} 1 & \text{si } \ x \in A \\ 0 & \text{si } \ x \in \Omega \setminus A \end{cases}\]

Notons en particulier que :

\[\indicatrice[\emptyset] = 0\]

Soit \(A,B \subseteq \Omega\) avec \(A \subseteq B\). On voit que :

• pour tout \(x \in A\), on a aussi \(x \in B\) et \(\indicatrice_A(x) = \indicatrice_B(x) = 1\)
• pour tout \(x \in \Omega \setminus A\), on a \(\indicatrice_A(x) = 0 \le \indicatrice_B(x)\)

On en conclut que :

\[\indicatrice_A(x) \le \indicatrice_B(x)\]

pour tout \(x \in \Omega\), c'est-à-dire :

\[\indicatrice_A \le \indicatrice_B\]

L'ordre des fonctions indicatrices correspond à l'ordre inclusif des ensembles.

Soit \(A, B \subseteq \Omega\). On voit que :

• si \(x \in A \cap B\), on a \(\indicatrice_A(x) \cdot \indicatrice_B(x) = 1 \cdot 1 = 1 = \indicatrice[A \cap B](x)\)
• si \(x \in A \cap (\Omega \setminus B)\), on a \(\indicatrice_A(x) \cdot \indicatrice_B(x) = 1 \cdot 0 = 0 = \indicatrice[A \cap B](x)\)
• si \(x \in (\Omega \setminus A) \cap B\), on a \(\indicatrice_A(x) \cdot \indicatrice_B(x) = 0 \cdot 1 = 0 = \indicatrice[A \cap B](x)\)
• si \(x \in \Omega \setminus (A \cup B)\), on a \(\indicatrice_A(x) \cdot \indicatrice_B(x) = 0 \cdot 0 = 0 = \indicatrice[A \cap B](x)\)

Donc :

\[\indicatrice[A \cap B] = \indicatrice_A \cdot \indicatrice_B\]

Si \(A \cap B = \emptyset\), on a clairement :

\[\indicatrice[A \cup B] = \indicatrice_A + \indicatrice_B\]

Soit les ensembles \(A\) et \(B\). On a la décomposition :

\[A = (A \setminus B) \cup (A \cap B)\]

On sait que les deux sous-ensembles sont disjoints :

\[(A \setminus B) \cap (A \cap B) = \emptyset\]

On a donc :

\[\indicatrice_A = \indicatrice[A \setminus B] + \indicatrice[A \cap B]\]

On en conclut que :

\begin{align} \indicatrice[A \setminus B] &= \indicatrice_A - \indicatrice[A \cap B] \\ &= \indicatrice_A - \indicatrice_A \cdot \indicatrice_B \end{align}

Soit les ensembles \(A\) et \(B\). On a la décomposition :

\[A \cup B = (A \setminus B) \cup B\]

On voit que les deux sous-ensembles sont disjoints :

\[(A \setminus B) \cap B = \emptyset\]

On en conclut que :

\[\indicatrice[A \cup B] = \indicatrice[A \setminus B] + \indicatrice_B\]

Reprenant l'expression de la différence, on a finalement :

\begin{align} \indicatrice[A \cup B] &= \indicatrice_A + \indicatrice_B - \indicatrice[A \cap B] \\ &= \indicatrice_A + \indicatrice_B - \indicatrice_A \cdot \indicatrice_B \end{align}

Pour tout \((x,y) \in A \times B\), on a :

\[\indicatrice[A \times B](x,y) = \indicatrice_A(x) \cdot \indicatrice_B(y)\]

Considérons l'ensemble \(I \subset \Omega^2\) défini par :

\[I = \{ (i,j) \in \Omega^2 : i = j \}\]

Le delta de Kronecker est simplement :

\[\indicatrice_{ij} = \indicatrice_I(i,j)\]

On a donc :

On dit qu'une fonction \(\sigma : \corps \mapsto \corps\) est paire si :

\[\sigma(-x) = \sigma(x)\]

pour tout réel \(x\). Inversément, on dit qu'une fonction \(\alpha : \corps \mapsto \corps\) est impaire si :

\[\alpha(-x) = - \alpha(x)\]

pour tout réel \(x\).

Soit une fonction \(\varphi : \corps \mapsto \corps\). La fonction \(\sigma\) définie par :

\[\sigma(x) = \frac{1}{2} \ \Big[\varphi(x) + \varphi(-x)\Big]\]

pour tout réel \(x\) vérifie :

\[\sigma(-x) = \frac{1}{2} \ \Big[\varphi(-x) + \varphi(x)\Big] = \frac{1}{2} \ \Big[\varphi(x) + \varphi(-x)\Big] = \sigma(x)\]

Cette fonction est donc paire. La fonction \(\alpha\) définie par :

\[\alpha(x) = \frac{1}{2} \ \Big[\varphi(x) - \varphi(-x)\Big]\]

pour tout réel \(x\) vérifie :

\[\alpha(-x) = \frac{1}{2} \ \Big[\varphi(-x) - \varphi(x)\Big] = - \frac{1}{2} \ \Big[\varphi(x) - \varphi(-x)\Big] = - \alpha(x)\]

Cette fonction est donc impaire. On voit que :

\[\sigma(x) + \alpha(x) = \frac{1}{2} \ \Big[\varphi(x) + \varphi(-x) + \varphi(x) - \varphi(-x)\Big] = \frac{2}{2} \ \varphi(x) = \varphi(x)\]

On a donc la décomposition :

\[\varphi = \sigma + \alpha\]

où \(\sigma\) est paire et \(\alpha\) impaire. On dit que \(\sigma\) est la composante paire de \(\varphi\) et que \(\alpha\) est la composante impaire de $ϕ$·