Eclats de vers : Matemat 03 : Nombres

Posant \(i = m\) et \(j = n^+\), on voit clairement que :

\[i + j = i^+ + j^-\]

Pour \(m \in \setN\) quelconque, on a :

\[0 + m = 0^{+...+}\]

où \(+...+\) désigne l'opération de succession appliquée \(m\) fois. Mais comme \(0^{+...+} = m\), on a :

\[0 + m = m\]

On a donc \(0 + m = m + 0 = m\). On dit que \(0\) est neutre pour l'addition. On voit clairement d'après la définition que \(0\) est le seul neutre pour l'addition.

Soit \(m,n \in \setN\). Par définition de l'addition, on a :

\[m + n = m^{+...+} = 0^{+.....+}\]

où \(+.....+\) réprésente \(m\) suivies de \(n\) opérations de successions. On a aussi :

\[n + m = n^{+...+} = 0^{+.....+}\]

où \(+.....+\) réprésente \(n\) suivies de \(m\) opérations de successions. Les deux résultats étant identiques,on a :

\[m + n = n + m\]

On dit que l'addition sur \(\setN\) est commutative.

Soit \(m,n,p \in \setN\). Développons l'addition \(m + (p + n)\). On a :

\[m + (p + n) = m + p^{+...+}\]

où \(+...+\) désigne l'opération de succession appliquée \(n\) fois. Il vient ensuite :

où \(+...+-...-\) désigne l'opération de succession appliquée \(n\) fois, suivie de l'opération de prédécession appliquée \(n\) fois également. Mais comme le prédécesseur du sucesseur est égal à lui-même par définition, on a \(p^{+-} = p\). On constate en développant que la même propriété doit être vérifiée lorsque les opérations de succession et de prédécession sont appliquées un nombre quelconque mais identique de fois. On a donc :

\[p^{+...+-...-} = p\]

En tenant compte de ces résultats dans le développement de la somme ci-dessus, on arrive à :

\[m + (p + n) = m^{+...+} + p\]

Mais \(m^{+...+}\) n'est rien d'autre que la somme \(m + n\), et :

\[m + (p + n) = (m + n) + p\]

L'addition étant commutative, on peut inverser \(p\) et \(n\) pour obtenir :

\[m + (n + p) = (m + n) + p\]

On peut donc associer les termes d'une somme comme on le désire, le résultat restera identique. On dit que l'addition sur \(\setN\) est associative. On note aussi :

\[m + n + p = m + (n + p) = (m + n) + p\]

On note aussi :

\[m \ge n\]

pour signifier que \(n \le m\).

Soir \(m,n \in \setN\). Comme \(m\) est, directement ou indirectement, un successeur ou un prédécesseur de \(n\), on a soit :

\[m \le n\]

soit :

\[n \le m\]

L'ordre usuel sur \(\setN\) est total.

On note :

\[n \strictinferieur m\]

ou :

\[m \strictsuperieur n\]

lorsque \(n \le m\) et \(m \ne n\).

Comme tous les éléments de \(\setN\) sont supérieurs au égaux à \(0\), on a clairement :

\[\minor \setN = \{ 0 \}\]

et :

\[\inf \setN = \min \setN = 0\]

Par contre, si on suppose avoir trouvé \(s \in \major \setN\), on a \(s \le s^+ \in \setN\) ce qui contredit l'hypothèse de majorant. L'ensemble des majorants est donc vide, et le supremum n'existe pas dans \(\setN\). On note donc :

\[\sup \setN = +\infty\]

Si \(m \strictinferieur n\), calculer la soustraction :

\[p = m - n = m^{-...-} = 0^{+...+-...-}\]

reviendrait à effectuer plus d'opérations de prédécessions que de sucessions. Nous serions donc amenés à devoir évaluer le prédécesseur de l'élément racine \(0\), qui n'existe pas dans \(\setN\). Cette opération n'est par conséquent pas définie.

La définition implique directement l'équivalence :

Soit \(m,n,p \in \setN\) avec \(n + p \le m\). On a trivialement :

\[(m - n) - p = m - (n + p)\]

On note aussi :

\[m - n - p = (m - n) - p = m - (n + p)\]

Soit \(m,n,p \in \setN\) avec \(n + p \le m\). On voit que :

\[m - n - p = m - (n + p) = m - (p + n) = m - p - n\]

Soit \(m,n,p \in \setN\) avec \(p \le n\). On a trivialement :

\[(m + n) - p = m + (n - p)\]

On note aussi :

\[m + n - p = (m + n) - p = m + (n - p)\]

Soit \(m,n,p \in \setN\) avec \(m,p \le n\). On a trivialement :

Afin d'alléger les notations, nous convenons que la multiplication est toujours prioritaire sur l'addition. On pose donc :

\[i \cdot j + k = ( i \cdot j ) + k\]

pour tout \(i,j,k \in \setN\).

La définition peut alors se réécrire :

\[m \cdot 0 = 0\]

\[m \cdot n^+ = m \cdot n + m\]

Lorsque cela ne pose pas de problème d'ambiguité, on note aussi :

\[m \ n = m \cdot n\]

Soit \(m \in \setN\). On déduit directement de la définition que :

On a donc \(0 \cdot m = m \cdot 0 = 0\). On dit que \(0\) est absorbant pour la multiplication.

Soit \(m \ge 1\). En utilisant récursivement la définition, on obtient :

où le membre de droite compte \(n\) terme « \(m\) ». Mais comme \(m = m^- + 1\), on a :

\[m \cdot n = m^- + 1 + ... + m^- + 1\]

La commutativité nous permet de regrouper les \(n\) nombres \(1\) à la fin :

\[m \cdot n = m^- + ... + m^- + 1 + ... + 1\]

Il est clair que :

\[1 + ... + 1 = 0^{+...+} = n\]

On a dès lors :

\[m \cdot n = m^- + ... + m^- + n\]

Comme le membre de droite contient \(n\) termes \(m^-\), on en conclut que :

\[m \cdot n = m^- \cdot n + n\]

qui est une version alternative de la définition.

La définition implique que :

\[m \cdot 1 = m \cdot 0 + m = 0 + m = m\]

Mais en appliquant la définition alternative à \(1 \cdot m\), il vient :

\[1 \cdot m = 0 \cdot m + m = m\]

On a donc \(1 \cdot m = m \cdot 1 = m\). On dit que \(1\) est neutre pour la multiplication.

Soit \(m \in \setN\). On a vu que \(m \cdot 0 = 0 \cdot m\). L'équation :

\[m \cdot n = n \cdot m\]

Est donc vérifiée pour \(n = 0\).

Supposons à présent que :

\[n^- \cdot m = m \cdot n^-\]

En appliquant les deux alternatives de la définition, on a :

\[m \cdot n = m \cdot n^- + m\]

\[n \cdot m = n^- \cdot m + m\]

et donc :

\[m \cdot n = n \cdot m\]

Puisque cette égalité est vraie pour \(n = 0 = 1^-\), on en déduit qu'elle est également vraie pour \(n = 1 = 2^-\), pour \(n = 2 = 3^-\), etc. Elle est donc vérifiée pour tout \(n \in \setN\) : la multiplication est commutative.

Soit \(m,n,p \in \setN\). On a :

\[m \cdot (n + p) = m + ... + m\]

où le membre de droite compte \(n+p\) termes « \(m\) ». Par associativité de l'addition, on peut regrouper les termes comme suit :

\[m \cdot (n + p) = (m + ... + m) + (m + ... + m)\]

où la première parenthèse compte \(n\) termes et la seconde \(p\) termes. On a donc :

\[m \cdot (n + p) = m \cdot n + m \cdot p\]

Par commutativité de la multiplication, on en déduit :

\[(n + p) \cdot m = n \cdot m + p \cdot m\]

On dit que la multiplication se distribue sur l'addition.

Nous allons voir que l'absorbant est unique. Soit \(a_1, a_2 \in \setN\) tels que :

\[a_1 \cdot n = a_2 \cdot n = 0\]

pour tout \(n \in \setN\). On en déduit que :

\[a_1 \cdot n - a_2 \cdot n = 0\]

En utilisant la distributivité, on obtient :

\[(a_1 - a_2) \cdot n = 0\]

Mais comme ce résultat doit être valable pour tout \(n \in \setN\), il est valable pour \(n = 1\) et on a :

\[(a_1 - a_2) \cdot 1 = a_1 - a_2 = 0\]

Autrement dit, \(a_1 = a_2\). L'absorbant est donc unique.

Soit \(m,n,p \in \setN\). On a :

\[m \cdot (n \cdot p) = m + ... + m\]

où le membre de droite compte \(n \cdot p\) termes « \(m\) ». Par associativité de l'addition, on peut les regrouper en \(p\) parenthèses contenant chacune \(n\) termes :

\[m \cdot (n \cdot p) = (m + ... + m) + ... + (m + ... + m)\]

ce qui revient à :

\[m \cdot (n \cdot p) = (m \cdot n) + ... + (m \cdot n)\]

Mais comme il y a \(p\) parenthèses, on a :

\[m \cdot (n \cdot p) = (m \cdot n) \cdot p\]

La multiplication est donc associative. On note aussi :

\[m \cdot n \cdot p = m \cdot (n \cdot p) = (m \cdot n) \cdot p\]

Soit \(m,n \in \setN\) tels que :

\[m \cdot n = 0\]

Nous allons prouver qu'au moins un des deux facteurs doit être nul. Supposons que \(m, n \ne 0\). On a alors :

\[m \cdot n = n + ... + n = 0\]

Mais comme \(n \ne 0\), on a :

\[n \strictsuperieur 0\]

et :

\[0 = n + ... + n \ge n \strictsuperieur 0\]

ce qui est impossible. On a donc l'implication :

\[m \cdot n = 0 \quad \Rightarrow \quad m = 0 \quad \mathrm{ou} \quad n = 0\]

Soit \(m,n \in \setN\) avec \(n \ne 0\) et :

\[A_{mn} = \{ k \in \setN : k \cdot n \le m \}\]

Pour tout naturel \(p\) vérifiant \(p \strictsuperieur m\), on a :

\[p \cdot n = p + ... + p \strictsuperieur p \strictsuperieur m\]

On en conclut que :

\[A_{mn} \subseteq \{ 0, 1, ..., m - 1, m \}\]

L'ensemble \(A_{mn}\) contient donc un nombre fini d'éléments. Comme l'ordre usuel sur \(\setN\) est total, on en conclut que \(A_{mn}\) admet un maximum identique au suprémum. La division entière de \(m\) par \(n\) est donc bien définie :

\[m \diventiere n = \max A_{mn} = \sup A_{mn}\]

L'inclusion nous donne l'inégalité des maxima :

\[\max A_{mn} \le \max \{ 0, 1, ..., m - 1, m \} = m\]

On en déduit que :

\[m \diventiere n \le m\]

Soit \(m \in \setN\). Essayons d'évaluer la division \(m \diventiere 0\). Par absorption de \(0\), on voit que :

\[k \cdot 0 = 0 \le m\]

pour tout \(k \in \setN\). Par conséquent :

\[\{ k \in \setN : k \cdot 0 \le m \} = \setN\]

Le supremum n'existe pas dans \(\setN\) et la division par zéro n'est par conséquent pas définie. On le note symboliquement :

\[m \diventiere 0 = \sup \setN = +\infty\]

Soit \(m \in \setN\). On a :

\[m = m \cdot 1 \le m\]

et :

\[(m + 1) \cdot 1 = m + 1 \strictsuperieur m\]

On en déduit que :

\[m \diventiere 1 = m\]

Soit \(n \in \setN\) avec \(n \ne 0\). On a :

\[\{ k \in \setN : k \cdot n \le 0 \} = \{ 0 \}\]

La division entière de \(0\) par \(n\) est donc nulle :

\[0 \diventiere n = \sup \{ 0 \} = 0\]

Soit \(m,n \in \setN\). Par définition, on voit que :

\[(m \diventiere n) \cdot n \le m\]

Il est donc licite de définir le naturel :

\[r = m - (m \diventiere n) \cdot n\]

On dit que \(r\) est le modulo de \(m\) par rapport à \(n\) et on le note :

\[m \modulo n = m - (m \diventiere n) \cdot n\]

Soit \(m,n \in \setN\). Par définition du modulo, a la décomposition :

\[m = (m \diventiere n) \cdot n + m \modulo n\]

Soit \(m,n \in \setN\). On dit aussi que \(r = m \modulo n\) est le reste de la division entière de \(m\) par \(n\).

Soit \(m,n \in \setN\). Si \(m \modulo n = 0\), on dit que la division entière est exacte. Dans ce cas, la décomposition s'écrit simplement :

\[m = (m \diventiere n) \cdot n\]

Soit \(m,n \in \setN\) et \(k = m \diventiere n\). On sait déjà que :

\[m \modulo n \ge 0\]

par la positivité des naturels. Supposons de plus que :

\[m \modulo n = m - k \cdot n \ge n\]

on a alors :

\[m \ge n + k \cdot n = (k + 1) \cdot n\]

ce qui est contraire au caractère de supremum de \(k\). Par conséquent :

\[0 \le m \modulo n \le n - 1\]

Soit \(m,n,k,r \in \setN\) avec \(n \ne 0\). Supposons que :

\[m = k \cdot n + r\]

Par positivité des naturels, on a \(r \ge 0\) et :

\[k \cdot n \le m\]

d'où l'on conclut par définition du suprémum que \(k \le m \diventiere n\). Si on a également :

\[r \le n - 1\]

on a alors :

\[(k + 1) \cdot n = k \cdot n + n \strictsuperieur k \cdot n + r = m\]

On en conclut que \(k + 1 \strictsuperieur m \diventiere n\). Donc :

\[m \diventiere n = k\]

et :

\[m \modulo n = r\]

Soit \(m,n,q,i,j,k \in \setN\) avec \(n,j \ne 0\) tels que :

\[m = q \cdot n\] \[i = k \cdot j\]

On a alors les divisions exactes :

\[m \diventiere n = q\] \[i \diventiere j = k\]

De plus :

\[m \cdot i = q \cdot k \cdot n \cdot j\]

ce qui signifie que :

\[(m \cdot i) \diventiere (n \cdot j) = q \cdot k\]

On a donc :

\[(m \cdot i) \diventiere (n \cdot j) = (m \diventiere n) \cdot (i \diventiere j)\]

Soit \(m,n \in \setN\) avec \(n \ne 0\). On définit le plus grand commun diviseur de \(m\) et \(n\) par :

\[\pgcd(m,n) = \sup \{ k \in \setN : m \modulo k = n \modulo k = 0 \}\]

Comme les divisions sont exactes, on a :

\[m = \big[ m \diventiere \pgcd(m,n) \big] \cdot \pgcd(m,n)\]

et :

\[n = \big[ n \diventiere \pgcd(m,n) \big] \cdot \pgcd(m,n)\]

Soit \(m,n \in \setN\). On définit le plus petit commun multiple de \(m\) et \(n\) par :

\[\ppcm(m,n) = \inf \{ k \in \setN : k \modulo m = k \modulo n = 0 \}\]

Comme les divisions sont exactes, on a :

\[\ppcm(m,n) = \big[ \ppcm(m,n) \diventiere m \big] \cdot m\]

et :

\[\ppcm(m,n) = \big[ \ppcm(m,n) \diventiere n \big] \cdot n\]

Nous convenons des règles de priorité :

\[m + n^p = m + (n^p)\]

\[m \cdot n^p = m \cdot (n^p)\]

valables pour tout \(m,n,p \in \setN\).

Soit \(m,n,p \in \setN\). On a :

\[m^{n+p} = m \cdot ... \cdot m\]

où le membre de droite compte \(n+p\) facteur \(m\). En regroupant les \(n\) premiers facteurs dans une première parenthèse et les \(p\) facteurs restant dans la seconde, on a :

\[m^{n+p} = (m \cdot ... \cdot m) \cdot (m \cdot ... \cdot m)\]

qui n'est rien d'autre que :

\[m^{n+p} = m^n \cdot m^p\]

\[\left(m \cdot n\right)^p = m \cdot n \cdot ... \cdot m \cdot n\]

où le membre de droite compte \(p\) facteurs \(m \cdot n\). La commutativité de la multiplication nous permet de les regrouper les \(m\) d'un coté et les \(n\) de l'autre :

\[\left(m \cdot n\right)^p = m \cdot ... \cdot m \cdot n \cdot ... \cdot n\]

c'est-à-dire :

\[\left(m \cdot n\right)^p = m^p \cdot n^p\]

Soit \(m,n,p \in \setN\). On a :

où le membre de droite compte \(n \cdot p\) facteurs. On en conclut que :

\[\left(m^n\right)^p = m^{n \cdot p}\]

On convient que :

\[x \cdot y ! = x \cdot (y !)\]

Soit \(i \in \setN\). On note aussi :

En particulier :

Soit \(i,j \in \setN\). On a :

\[(i - j) + (0 - 0) = (i + 0) - (j + 0) = i - j\]

Pour tout \(n \in \setN\), la soustraction native des naturels nous dit que :

\[n - n = 0\]

Afin de rester consistant, on impose que :

\[i - j = (i - j) + 0 = (i - j) + (n - n) = (i + n) - (j + n)\]

ou, en terme de couples :

\[(i,j) = (i + n, j + n)\]

Le neutre pour l'addition s'écrit donc :

\[0 = 0 - 0 = n - n = (0,0) = (n,n)\]

On voit apparaître les familles :

\[D(i,j) = \{ (i + n, j + n) : n \in \setN \}\]

où chaque élément de \(D(i,j)\) est équivalent à un autre. Nous noterons donc également :

\[i - j = D(i,j)\]

Soit \(i,j \in \setN\).

• Si \(i \ge j\), le naturel \(i - j\) existe et nous pouvons toujours

ramener \((i,j)\) par équivalence à :

\[(i - j, 0) = (i - j, 0) + (j,j) = (i - j + j, j) = (i,j)\]

On dit alors que \((i,j) = i - j\) est un entier positif.

• Si \(i \le j\), le naturel \(j - i\) existe et nous pouvons toujours

ramener \((i,j)\) par équivalence à :

\[(0, j - i) = (0, j - i) + (i,i) = (i, j - i + i) = (i,j)\]

On dit alors que \((i,j) = i - j\) est un entier négatif.

On définit l'ensemble des entiers positifs par :

\[\setZ^+ = \{ i = D(i,0) : i \in \setN \}\]

ainsi que l'ensemble des entiers négatifs :

\[\setZ^- = \{ -i = D(0,i) : i \in \setN \}\]

L'ensemble des entiers est bien entendu l'union des deux : \(\setZ = \setZ^+ \cup \setZ^-\).

Nous pouvons associer à tout naturel \(i\) un entier équivalent \(i - 0 = (i,0)\). Pour cette raison, nous dirons que tout naturel est également un entier, et nous noterons : \(\setN \subseteq \setZ\).

Il existe une bijection \(f : \setN \mapsto \setZ^+\) définie par :

\[f(n) = (n,0) = n - 0 = n\]

pour tout \(n \in \setN\). On assimile donc les deux ensembles en écrivant \(\setN = \setZ^+\).

On a clairement :

\[- ( - (i - j)) = - (j - i) = i - j\]

ou :

\[- ( - (i,j)) = - (j,i) = (i,j)\]

L'opposé de l'opposé est l'entier lui-même.

Soit \(u,v \in \setZ\) et \(i,j,k,l \in \setN\) tels que :

\[u = i - j\] \[v = k - l\]

On a :

\[(u + v) + ((-u) + (-v)) = ((i - j) + (k - l)) + ((j - i) + (l - k))\]

ce qui nous donne :

\[(u + v) + ((-u) + (-v)) = (i + k + j + l) - (j + l + i + k) = 0\]

On en conclut que la somme des opposés est égale à l'opposé de la somme :

\[(-u) + (-v) = - ( u + v)\]

On note aussi :

\[- u + v = (-u) + v\]

pour tout \(u,v \in \setZ\).

Un cas particulier important :

\[-(1 - 0) = 0 - 1 = -1\]

et :

\[-(-1) = 1\]

On a clairement :

\[(-i) - j = (-i) + (-j) = - ( i + j )\]

\[(-i) - (-j) = (-i) + j = j + (-i) = j - i\]

On note aussi :

\[- u - v = (-u) - v\]

pour tout \(u,v \in \setZ\).

Soit \(x,y \in \setZ\). On note aussi :

\[y \ge x\]

pour signifier que \(x \le y\).

Soit \(x,y \in \setZ\). On note :

\[x \strictinferieur y\]

\[y \strictsuperieur x\]

lorsque \(x \le y\) et \(x \ne y\).

Soit \(u,v,w,z \in \setZ\) et \(i,j,k,l,m,n,r,s \in \setN\) tels que :

\[u = i - j\] \[v = k - l\] \[w = m - n\] \[z = r - s\]

On a :

\[u + w = (i + m) - (j + n)\] \[v + z = (k + r) - (l + s)\]

Supposons que :

\[u \le v\] \[w \le z\]

On a :

\[i - j \le k - l\] \[m - n \le r - s\]

ou :

\[i + l \le j + k\] \[m + s \le n + r\]

L'ordre des naturels étant conservé sous l'addition, on a :

\[i + l + m + s \le j + k + n + r\]

et :

\[(i + m) - (j + n) \le (k + r) - (l + s)\]

c'est-à-dire :

\[u + w \le v + z\]

L'ordre des entiers est conservé par l'addition.

Soit \(u,v \in \setZ\) tels que :

\[u \le v\]

Comme :

\[-(u + v) = -(u + v)\]

on a :

\[-(u + v) \le -(u + v)\]

et :

\[u + (-(u + v)) \le v + (-(u + v))\]

En développant, on a :

\[-v = u - u - v \le v - u - v = -u\]

c'est-à-dire :

\[-u \ge -v\]

L'ordre sur les opposés est l'inverse de l'ordre original.

Soit \(u \in \setZ^+\) et \(i \in \setN\) tel que :

\[u = i - 0\]

On a :

\[i + 0 \ge 0 + 0\]

et :

\[i - 0 \ge 0 - 0 = 0\]

On en déduit que \(u \ge 0\). Réciproquement, soit \(u \in \setZ\) et \(i,j \in \setN\) tels que :

\[u = i - j\]

Si \(u \ge 0\), on a :

\[i - j \ge 0\]

et :

\[i \ge j\]

On peut donc mettre \(u\) sous la forme canonique :

\[u = (i - j,0) \in \setZ^+\]

On a donc :

\[\setZ^+ = \{ u \in \setZ : u \ge 0 \}\]

On montre aussi que :

\[\setZ^- = \{ u \in \setZ : u \le 0 \}\]

Par analogie avec les naturels, on dit que les entiers positifs sont les successeurs de \(0\) et les entiers négatifs les prédécesseurs de \(0\).

Soit \(u,v \in \setZ\) et \(i,j,k,l \in \setN\) tels que :

\[u = i - j\] \[v = k - l\]

On a :

\[u \cdot v = (i - j) \cdot (k - l) = (i + (-j)) \cdot (k + (-l))\]

La distributivité nous donne :

\[u \cdot v = i \cdot (k + (-l)) + (-j) \cdot (k + (-l))\]

En l'utilisant une nouvelle fois, on arrive à :

\[u \cdot v = i \cdot k + i \cdot (-l) + (-j) \cdot k + (-j) \cdot (-l)\]

ou :

\[u \cdot v = i \cdot k - i \cdot l - j \cdot k + j \cdot l = (i \cdot k + j \cdot l) - (i \cdot l + j \cdot k)\]

On définit donc la multiplication d'entiers par :

\[(i,j) \cdot (k,l) = (i \cdot k + j \cdot l, i \cdot l + j \cdot k)\]

Soit \(u,v \in \setZ\) tels que \(u,v \ge 0\). On peut trouver des naturels \(i,j\) tels que :

\[u = i - 0\] \[v = j - 0\]

On a :

\[u \cdot v = (i - 0) \cdot (j - 0) = (i \cdot j + 0 \cdot 0) - (i \cdot 0 + 0 \cdot j) = i \cdot j - 0 = i \cdot j\]

La multiplication d'entiers positifs correspond à celle des naturels.

Soit \(u,v \in \setZ\) avec \(v \ge 0\) et \(i,j,k \in \setN\) tels que :

\[u = i - j\] \[v = k - 0\]

On a :

\[u \cdot v = (i - j) \cdot (k - 0) = (i \cdot k + j \cdot 0) - (j \cdot k + i \cdot 0) = i \cdot k - j \cdot k\]

En additionnant \(k\) fois le même terme \(u\), on obtient :

\[u + ... + u = i \cdot k - j \cdot k = u \cdot v\]

La commutativité de la multiplication sur les entiers découle de celle sur les naturels :

Soit \(u,v,w \in \setZ\). Si \(u, v, w \ge 0\), on peut les associer aux naturels \(i,j,k \in \setN\) par :

\[u = i - 0\] \[v = j - 0\] \[w = k - 0\]

On a alors :

\[u \cdot v = i \cdot j\]

et :

\[v \cdot w = j \cdot k\]

On a donc :

\[(u \cdot v) \cdot w = (i \cdot j) \cdot (k - 0) = i \cdot j \cdot k - 0 = i \cdot j \cdot k\]

et :

\[u \cdot (v \cdot w) = (i - 0) \cdot (j \cdot k) = i \cdot j \cdot k - 0 = i \cdot j \cdot k\]

On en conclut que :

\[(u \cdot v) \cdot w = u \cdot (v \cdot w)\]

Si un ou plusieurs entiers sont négatifs, soit \(-u,-v,-w\), on a :

\[((-u) \cdot v) \cdot w = (- (u \cdot v)) \cdot w = - ((u \cdot v) \cdot w)\]

et :

\[((-u) \cdot v) \cdot w = - (u \cdot (v \cdot w)) = (-u) \cdot (v \cdot w)\]

ou :

\[(u \cdot v) \cdot (-w) = - ((u \cdot v) \cdot w)\]

et :

\[(u \cdot v) \cdot w = - (u \cdot (v \cdot w)) = u \cdot (-(v \cdot w)) = u \cdot (v \cdot (-w))\]

Les autres cas sont semblables, on a donc :

\[u \cdot v \cdot w = (u \cdot v) \cdot w = u \cdot (v \cdot w)\]

pour tout \(u,v,w \in \setZ\).

On a :

\[(i - j) \cdot 1 = (i - j) \cdot (1 - 0) = (i \cdot 1 + j \cdot 0) - (i \cdot 0 + j \cdot 1) = i - j\]

et :

\[1 \cdot (i - j) = (i - j) \cdot 1 = i - j\]

L'entier \(1 = 1 - 0\) est le neutre pour la multiplication.

On note aussi :

\[- u \cdot v = - (u \cdot v)\]

pour tout \(u,v \in \setZ\).

On a :

\[(-1) \cdot (i,j) = - (1 \cdot (i,j)) = - (i,j)\]

Un cas particulier important :

\[(-1) \cdot (-1) = -(-1) = 1\]

Soit \(x,y,z \in \setZ\) avec \(z \ge 0\). Supposons que :

\[x \le y\]

On a alors :

\[x \cdot z = x + ... + x \le y + ... + y = y \cdot z\]

L'ordre est conservé lorsqu'on multiplie les deux membres de l'inégalité par un entier positif. Par contre :

\[x \cdot (-z) = - x \cdot z \ge - y \cdot z = y \cdot (-z)\]

L'ordre est inversé lorsqu'on multiplie les deux membres de l'inégalité par un entier négatif.

Soit \(x,y,u,v \in \setZ\) vérifiant :

\[x \le y\] \[u \le v\]

Si :

\[x,y,u,v \ge 0\]

on a :

\[x \cdot u \le x \cdot v \le y \cdot v\]

On note aussi les fractions par :

\[a/b = \frac{a}{b}\]

Lorsque \(b = 1\), on note plus simplement :

\[a = \frac{a}{1} = (a,1)\]

et donc en particulier :

Ne pas confondre les couples \((.,.)\) fractionnaires de ce chapitre avec les couples différentiels du chapitre \ref{chap:entiers} traitant des entiers.

Soit \(a,b,c,d \in \setZ\) vérifiant \(b,d \ne 0\). On a :

\[\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} = \frac{c \cdot a}{d \cdot b} = \frac{c}{d} \cdot \frac{a}{b}\]

La multiplication entre rationnels est commutative.

Soit \(a,b,c,d,e,f \in \setZ\) vérifiant \(b,d,f \ne 0\). On a :

\[\frac{a}{b} \cdot \crochets{\frac{c}{d} \cdot \frac{e}{f}} = \frac{a}{b} \cdot \frac{c \cdot e}{d \cdot f} = \frac{a \cdot c \cdot e}{b \cdot d \cdot f}\]

\[\crochets{\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}} \cdot \frac{e}{f} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} \cdot \frac{e}{f} = \frac{a \cdot c \cdot e}{b \cdot d \cdot f}\]

On en conclut que :

\[\frac{a}{b} \cdot \crochets{\frac{c}{d} \cdot \frac{e}{f}} = \crochets{\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}} \cdot \frac{e}{f}\]

La multiplication entre rationnels est associative :

\[\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} \cdot \frac{e}{f} = \frac{a}{b} \cdot \crochets{\frac{c}{d} \cdot \frac{e}{f}} = \crochets{\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}} \cdot \frac{e}{f}\]

Soit \(n \in \setZ\) avec \(n \ne 0\). On a :

\[\frac{a}{b} \cdot 1 = \frac{a}{b} \cdot \frac{1}{1} = \frac{a \cdot 1}{b \cdot 1} = \frac{a}{b}\]

Le rationnel \(1 = 1 / 1\) est le neutre pour la multiplication. Comme :

\[n \diventiere n = 1\]

on impose que :

\[\frac{n}{n} = \frac{1}{1} = 1\]

Cette contrainte nous donne :

\[\frac{a \cdot n}{b \cdot n} = \frac{a}{b} \cdot \frac{n}{n} = \frac{a}{b} \cdot 1 = \frac{a}{b}\]

pour tout \(a,b \in \setZ\) avec \(b \ne 0\).

On voit apparaître les familles :

\[F(a,b) = \left\{ \frac{a \cdot n}{b \cdot n} : n \in \setZ, \ n \ne 0 \right\}\]

où chaque élément de \(F(a,b)\) est équivalent à un autre. Nous noterons donc également :

\[\frac{a}{b} = F(a,b)\]

Se rappelant que tout \(a \in \setZ\) peut s'exprimer comme la soustraction de deux naturels \(i,j\) :

\[a = i - j\]

on arrive à la formulation équivalente :

\[\setQ = \left\{ \frac{i - j}{k - l} : i,j,k,l \in \setN, \ k \ne l \right\}\]

Nous pouvons associer à tout entier \(a\) un rationnel équivalent \((a,1) = a/1\). Pour cette raison, nous dirons que tout entier est également un rationnel, et nous noterons : \(\setZ \subseteq \setQ\).

On a clairement :

\[\crochets{\left( \frac{a}{b} \right)^{-1}}^{-1} = \crochets{\frac{b}{a}}^{-1} = \frac{a}{b}\]

L'inverse de l'inverse d'une fraction est égal à elle-même.

Soit \(a,b,c,d \in \setZ \setminus \{ 0 \}\). On a :

\[\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} \cdot \frac{d}{c} \cdot \frac{b}{a} = \frac{a}{b} \cdot \frac{c \cdot d}{d \cdot c} \cdot \frac{b}{a} = \frac{a}{b} \cdot 1 \cdot \frac{b}{a} = \frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} = \frac{a \cdot b}{b \cdot a} = 1\]

On en conclut que :

\[\frac{d}{c} \cdot \frac{b}{a} = \left( \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} \right)^{-1}\]

Soit \(a,b,n \in \setZ\) avec \(n \ne 0\). On voit que :

\[\frac{a}{n} + \frac{b}{n} = \frac{a}{1} \cdot \frac{1}{n} + \frac{b}{1} \cdot \frac{1}{n} = a \cdot \frc{1}{n} + b \cdot \frac{1}{n}\]

Si on veut conserver la distributivité de la multiplication sur l'addition, on doit donc avoir :

\[\frac{a}{n} + \frac{b}{n} = (a + b) \cdot \frac{1}{n} = \frac{a + b}{n}\]

Pour additionner deux fractions possédant un même dénominateur, il suffit d'additionner les numérateurs.

Soit \(a,b,c,d \in \setZ\) avec \(b,d \ne 0\). Tentons à présent d'obtenir une expression de la somme \((a,b) + (c,d)\). Multipliant la première par \(d / d = 1\) et la seconde par \(b / b = 1\), il vient :

\[\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d}{b \cdot d} + \frac{c \cdot b}{d \cdot b}\]

Comme les deux fractions du membre de droite ont un même dénominateur, on a finalement :

\[\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d + c \cdot b}{b \cdot d}\]

Soit \(a,b \in \setZ\) avec \(b \ne 0\). On a :

\[\frac{a}{b} + 0 = \frac{a}{b} + \frac{0}{1} = \frac{a \cdot 1 + 0 \cdot b}{b \cdot 1} = \frac{a}{b}\]

Le rationnel :

\[0 = \frac{0}{1}\]

est le neutre pour l'addition. On a aussi :

\[\frac{0}{n} = \frac{0 \cdot n}{1 \cdot n} = \frac{0}{1} = 0\]

On définit les ensembles des rationnels positifs et négatifs par :

\[\setQ^+ = \{ x \in \setQ : x \ge 0 \}\]

\[\setQ^- = \{ x \in \setQ : x \le 0 \}\]

Soit un rationnel \(x\) sous la forme canonique :

\[x = \frac{a}{b}\]

Si \(x\) est négatif :

\[x = \frac{a}{b} \le 0 = \frac{0}{1}\]

on a par définition :

\[a \cdot 1 \le 0 \cdot b = 0\]

autrement dit :

\[a \le 0\]

Invérsément, si \(x\) est positif :

\[x = \frac{a}{b} \ge 0 = \frac{0}{1}\]

on a par définition :

\[a \cdot 1 \ge 0 \cdot b = 0\]

autrement dit :

\[a \ge 0\]

Soit les rationnels \(x,y,z\) sous forme canonique :

\[x = \frac{a}{b}\]

\[y = \frac{c}{d}\]

\[z = \frac{e}{f}\]

avec \(a,b,c,d,e,f \in \setZ\) et \(b,d,f \strictsuperieur 0\). On suppose que \(z \ge 0\), c'est-à-dire :

\[e \ge 0\]

et que :

\[x \le y\]

c'est-à-dire :

\[a \cdot d \le c \cdot b\]

L'ordre entre entiers est conservé par la multiplication de l'entier positif \(e \cdot f\) :

\[a \cdot e \cdot d \cdot f \le c \cdot e \cdot b \cdot f\]

Par définition de l'ordre entre rationnels, on en déduit que :

\[\frac{a \cdot e}{b \cdot f} \le \frac{c \cdot e}{d \cdot f}\]

c'est-à-dire :

\[x \cdot z \le y \cdot z\]

L'ordre entre rationnels est conservé sous la multiplication d'un rationnel positif.

Soit les rationnels \(x,z,u,v\) sous forme canonique :

\[x = \frac{a}{b}\]

\[y = \frac{c}{d}\]

\[u = \frac{e}{f}\]

\[v = \frac{g}{h}\]

On suppose que :

\[x \le y\] \[u \le v\]

c'est-à-dire :

\[\frac{a}{b} \le \frac{c}{d}\]

\[\frac{e}{f} \le \frac{g}{h}\]

ou :

\[a \cdot d \le c \cdot b\]

\[e \cdot h \le g \cdot f\]

L'ordre entre entiers étant conservé sous la multiplication de \(f \cdot h \strictsuperieur 0\), on a :

\[a \cdot d \cdot f \cdot h \le c \cdot b \cdot f \cdot h\]

L'ordre entre entiers étant conservé sous la multiplication de \(b \cdot d \strictsuperieur 0\), on a :

\[e \cdot h \cdot b \cdot d \le g \cdot f \cdot b \cdot d\]

L'ordre entre entiers étant conservé sous l'addition, on a :

\[a \cdot d \cdot f \cdot h + e \cdot h \cdot b \cdot d \le c \cdot b \cdot f \cdot h + g \cdot f \cdot b \cdot d\]

En utilisant la distributivité, on en déduit que :

\[(a \cdot f + e \cdot b) \cdot d \cdot h \le (c \cdot h + g \cdot d) \cdot b \cdot f\]

ou, par définition de l'ordre entre rationnels :

\[\frac{a \cdot f + e \cdot b}{b \cdot f} \le \frac{c \cdot h + g \cdot d}{d \cdot h}\]

qui n'est rien d'autre que :

\[\frac{a}{b} + \frac{e}{f} \le \frac{c}{d} + \frac{g}{h}\]

c'est-à-dire :

\[x + u \le y + v\]

L'ordre entre rationnels est conservé sous l'addition.

Soit les rationnels \(x,z,u,v\) tels que :

\[x \le y\] \[u \ge v\]

En ajoutant :

\[(-u)+(-v) \ge (-u)+(-v)\]

à la seconde inégalité, on obtient :

\[u + (-u) + (-v) \ge v + (-u) + (-v)\]

qui se simplifie en :

\[-v \ge -u\]

ou :

\[-u \le -v\]

On a donc :

\[x + (-u) \le y + (-v)\]

c'est-à-dire :

\[x - u \le y - v\]

Soit \(x \in \setQ\). On vérifie que :

\[x^{m + n} = x^m \cdot x^n\]

\[x^{m - n} = x^m \cdot x^{-n} = \frac{x^m}{x^n}\]

\[x^{-m + n} = x^{-m} \cdot x^n = \frac{x^n}{x^m}\]

\[x^{-m - n} = x^{-m} \cdot x^{-n} = \frac{1}{x^m \cdot x^n}\]

On a donc bien :

\[x^{i + j} = x^i \cdot x^j\]

pour tout \(i,j \in \setZ\).

Soit \(x \in \setQ\). Si \(x \ge 0\), on pose \(p = x\). On a donc \(p \ge 0\). La multiplication par un rationnel positif ne modifiant pas l'ordre, on a :

\[p^2 = p \cdot p \ge 0 \cdot p = 0\]

Le carré est donc également positif :

\[x^2 = p^2 \ge 0\]

Si \(x \le 0\), on pose \(p = -x\). On a donc \(p \ge 0\). On voit que \(x = -p\) et que :

\[x^2 = (-p)^2 = (-p) \cdot (-p) = p \cdot p = p^2 \ge 0\]

On a donc :

\[x^2 \ge 0\]

pour tout \(x \in \setQ\).

Soit \(x,y \in \setQ\) vérifiant :

\[x,y \ge 0\]

et :

\[x \le y\]

Comme \(x \ge 0\), l'inégalité \(x \le y\) est conservée sous la multiplication par \(x\) :

\[x^2 = x \cdot x \le y \cdot x\]

Comme \(y \ge 0\), l'inégalité \(x \le y\) est conservée sous la multiplication par \(y\) :

\[x \cdot y \le y \cdot y = y^2\]

En rassemblant ces résultats, il vient :

\[x^2 \le y \cdot x = x \cdot y \le y^2\]

on a donc :

\[x^2 \le y^2\]

La fonction \(f : x \mapsto x^2\) est croissante sur l'ensemble des rationnels positifs.

Soit \(x,y \in \setZ\). En utilisant la distributivité, on obtient :

\[(x + y)^2 = (x + y) \cdot (x + y) = x \cdot (x + y) + y \cdot (x + y)\]

En l'utilisant une seconde fois, on arrive à :

\[(x + y)^2 = x \cdot x + x \cdot y + y \cdot x + y \cdot y\]

En utilisant la commutativité, on arrive au développement :

\[(x + y)^2 = x^2 + x \cdot y + x \cdot y + y^2\]

que l'on peut réexprimer comme :

\[(x + y)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot y + y^2\]

Soit les rationnels \(x,y\) vérifiant :

\[x \strictinferieur y\]

On pose :

\[\epsilon = y - x \strictsuperieur 0\]

On peut trouver un rationnel \(\delta\) tel que :

\[0 \strictinferieur \delta \strictinferieur \epsilon\]

En additionnant cette inégalité avec :

\[x \le x \le x\]

on arrive à :

\[x \strictinferieur x + \delta \strictinferieur x + \epsilon\]

Soit :

\[z = x + \delta\]

Comme :

\[x + \epsilon = x + y - x = y\]

on a :

\[x \strictinferieur z \strictinferieur y\]

On peut toujours trouver un rationnel strictement compris entre deux rationnels distincts.

Sur les anneaux et les corps, ou sur tout ensemble où sont définies les opérations usuelles \(+,-,\cdot,/\), on aura ainsi :

• les sommes : \((f + g)(x) = f(x) + g(x)\)
• les produits : \((f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)\)
• les soustractions : \((f - g)(x) = f(x) - g(x)\)
• les divisions : \((f / g)(x) = f(x) / g(x)\)

pour tout \(x \in A\).

Attention à ne pas confondre le suprémum d'un ensemble, noté « \(\sup\) » avec un seul « p », avec le support, noté « \(\support\) », qui prend deux « p ».

On note aussi :

\[\indicatrice[A] = \indicatrice_A\]

et :

\[\indicatrice[A](x) = \indicatrice_A(x)\]

On note aussi :

\[\indicatrice^{ij} = \indicatrice_i^j = \indicatrice_{ij}\]