Eclats de vers : Matemat 04 : Suites - 1

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1 Distances

1.1 Dépendances

  • Chapitre \ref{chap:algebre} : Les structures algébriques
  • Chapitre \ref{chap:ordres} : Les ordres
  • Chapitre \ref{chap:topologies} : Les topologies

1.2 Définition

Afin de généraliser le plus possible la notion de distance au sens usuel, nous allons nous poser la question : quelles sont les caractéristiques fondamentales d'une distance ? Nous en déduirons les propriétés que doit respecter une distance générique.

Soit l'ensemble \(\Omega\), un corps \(\corps\) et une fonction \(\distance : \Omega \times \Omega \to \corps\) représentant une distance entre deux éléments de l'ensemble \(\Omega\). Choisissons des éléments quelconques \(x,y,z \in \Omega\). Au sens usuel, une distance entre deux objets est clairement positive :

\[\distance(x,y) \ge 0\]

Elle est également symétrique puisqu'on obtient la même distance lorsqu'on intervertit les objets :

\[\distance(x,y) = \distance(y,x)\]

Par ailleurs , la distance entre deux objets identiques doit évidemment être nulle :

\[\distance(x,x) = 0\]

On impose également que le seul élément \(y\) qui puisse être à distance nulle de \(x\) soit l'élément \(x\) lui-même :

\[\distance(x,y) = 0 \ \Rightarrow \ x = y\]

Enfin, il est toujours plus court d'aller directement de \(x\) à \(z\) plutôt que de passer par une étape \(y\). On a donc l'inégalité triangulaire :

\[\distance(x,z) \le \distance(x,y) + \distance(y,z)\]

1.2.1 Remarque

Parfois, au lieu d'imposer l'égalité de deux éléments situés à distance nulle l'un de l'autre, on impose juste l'équivalence suivant un critère prédéfini :

\[\distance(x,y) = 0 \ \Rightarrow \ x \equiv y\]

1.3 Distance à un ensemble

Quelle est la distance à parcourir d'une ville donnée lorsqu'on désire se rendre dans un certain pays ? On a envie de dire que la distance est parcourue dès que l'on a atteint la frontière du pays en question. Comme on choisit généralement le chemin le plus court pour arriver à destination, on se rend compte que la distance ville - pays est le minimum des distances entre la ville et tous les points appartenant au pays.

Maintenant, remplaçons la ville par un élément \(x \in \Omega\) et le pays par un ensemble \(A \subseteq \Omega\). On définit simplement la distance de \(x\) à \(A\) comme étant l'infimum des distances de \(x\) à un point quelconque de \(A\) :

\[\distance(x,A) = \inf_{a \in A} \distance(x,a) = \inf \{ \distance(x,a) : a \in A \}\]

1.3.1 Inclusion

Si \(B \subseteq A\), on en déduit directement que :

\[\distance(a,A) \le \distance(a,B)\]

1.3.2 Notation

On note aussi :

\[\distance(A,a) = \distance(a,A)\]

1.3.3 Self-distance

Soit \(a \in A\). Comme \(\distance(a,a) = 0\) et que la distance \(\distance(a,b) \ge 0\) pour tout \(b \in A\), on voit que le choix \(b = a\) minimise \(\distance(a,b)\) sur \(A\). Donc :

\[\distance(a,A) = 0\]

pour tout élément \(a \in A\).

1.4 Distance inter-ensembles

La distance entre deux ensembles \(A\) et \(B\) est l'infimum des distances possibles entre les couples \((a,b) \in A \times B\) :

\[\distance(A,B) = \inf \{ \distance(a,b) : (a,b) \in A \times B \}\]

On a bien évidemment :

\[\distance(A,B) = \inf \{ \distance(a,B) : a \in A \} = \inf \{ \distance(A,b) : b \in B \}\]

1.5 Boules

Les boules sont la généralisation des disques et des sphères. Or, ce qui caractèrise ces entités, c'est qu'elle incluent des points \(x\) vérifiant \(\distance(x,c) \le r\), où \(c\) est le centre et \(r\) le rayon. On définit par conséquent la boule fermée \(\boule[c,r]\) par :

\[\boule[c,r] = \{ x \in \Omega : \distance(x,c) \le r \}\]

où \(r\) est un réel positif.

Si l'on veut que la distance soit strictement inférieure à \(r\), on considérera plutôt la définition de la boule ouverte :

\[\boule(c,r) = \{ x \in \Omega : \distance(x,c) \strictinferieur r \}\]

1.6 Topologie métrique

La topologie usuelle définie sur les ensembles munis d'une distance est celle générée par les boules ouvertes, soit les éléments de la collection :

\[\mathcal{B} = \{ \boule(c,r) : c \in \Omega, \ r \in \corps, \ r \strictsuperieur 0 \}\]

La topologie métrique \(\topologie\) s'écrit donc :

\[\topologie = \topologies(\mathcal{B},\Omega)\]

Toute union de boules ouvertes est donc un ouvert.

1.7 Intérieur

Soit \(A \subseteq \Omega\).

  • Soit \(x \in \interieur A\). L'élément \(x\) appartient donc à un ouvert \(U\) contenu dans \(A\). Comme \(x \in U\), on a \(U \ne \emptyset\). On en conclut que \(U\) doit être une union de boules ouvertes. On peut donc trouver un \(a \in U\) et un \(\delta \strictsuperieur 0\) tel que \(x \in \boule(a,\delta) \subseteq U\). Comme \(d = \distance(a,x) \strictinferieur \delta\), on a \(\delta - d \strictsuperieur 0\). Soit \(\epsilon = \delta - d\) et \(y \in \boule(x,\epsilon)\). On a :

\[\distance(a,y) \le \distance(a,x) + \distance(x,y) \strictinferieur d + \epsilon = \delta\]

Donc \(\boule(x,\epsilon) \subseteq \boule(a,\delta) \subseteq U \subseteq A\) et \(\distance( x , \Omega \setminus A ) \strictsuperieur 0\).

  • Réciproquement, si \(z \in \Omega\) vérifie \(d = \distance( x , \Omega \setminus A ) \strictsuperieur 0\), on a \(z \in \boule(z,d/2) \subseteq A\). L'élément \(z\) appartient donc à un ouvert contenu dans \(A\). Il appartient donc à l'union des ouverts inclus dans \(A\), c'est-à-dire \(z \in \interieur A\).

On conclut de ce qui précède que :

\[\interieur A = \{ x \in \Omega : \distance( x , \Omega \setminus A ) \strictsuperieur 0 \}\]

1.8 Adhérence

On voit que :

\[\interieur (\Omega \setminus A) = \{ x \in \Omega : \distance(x,A) \strictsuperieur 0 \}\]

Le complémentaire de cet ensemble est bien sur constitué des \(x \in \Omega\) vérifiant \(\distance(x,A) = 0\). Or, nous avons vu que ce complémentaire n'est rien d'autre que l'adhérence de \(A\) :

\[\adh A = \{ x \in \Omega : \distance(x,A) = 0 \}\]

1.9 Adhérence carrée

Soit \(x \in \Omega\), \(A \subseteq \Omega\) et :

\( B = \adh A \\ C = \adh B = \adh \adh A \)

Soit \(c \in C\). Pour tout \(\epsilon \in \corps\) avec \(\epsilon \strictsuperieur 0\), on peut trouver \(b \in B\) tel que :

\[\distance(c,b) \le \epsilon\]

et ensuite \(a \in A\) tel que :

\[\distance(b,a) \le \epsilon\]

On a donc :

\[\distance(c,a) \le \distance(c,b) + \distance(b,a) \le \epsilon + \epsilon\]

L'infimum est par conséquent nul :

\[\distance(c,A) = \inf_{a \in A} \distance(c,a) = 0\]

On en déduit que \(c \in \adh A\). Nous venons de montrer que :

\[\adh \adh A \subseteq \adh A\]

Mais comme l'inverse est également vrai, on a :

\[\adh \adh A = \adh A\]

2 Limites

2.1 Dépendances

  • Chapitre \ref{chap:distances} : Les distances

2.2 Définition

Soit les ensembles \(E,F\) munis respectivement des distances \(\distance_E\) et \(\distance_F\), un sous-ensemble \(D \subseteq E\) et la fonction \(f : D \mapsto F\). Comme la distance utilisée est sans ambiguité d'après la nature des objets dont elle mesure l'éloignement :

\( \distance(x,y) = \distance_E(x,y) \Leftrightarrow x,y \in E \\ \distance(x,y) = \distance_F(x,y) \Leftrightarrow x,y \in F \)

on note dans la suite de ce chapitre \(\distance\) à la place de \(\distance_E\) et de \(\distance_F\).

Plaçons nous dans \(A \subseteq D\). Nous nous intéressons au cas où \(f(x)\) se rapproche de plus en plus d'un certain \(L \in F\) lorsque \(x \in A\) se rapproche suffisamment d'un certain \(a \in E\). Pour toute précision \(\epsilon \in \corps\), \(\epsilon \strictsuperieur 0\) aussi petite que l'on veut, on doit alors pouvoir trouver un niveau de proximité \(\delta(\epsilon) \in \corps\), \(\delta(\epsilon) \strictsuperieur 0\) tel que :

\[\distance(f(x),L) \le \epsilon\]

pour tout les \(x \in A\) vérifiant :

\[\distance(x,a) \le \delta(\epsilon)\]

Si cette condition est remplie, on dit que \(L\) est la limite de \(f\) en \(a\), et on note :

\[\lim_{ \substack{ x \to a \\ x \in A } } f(x) = L\]

2.2.1 Notations

Lorsque l'ensemble \(A\) est évident d'après le contexte, on note simplement :

\[\lim_{ x \to a } f(x) = \lim_{ \substack{ x \to a \\ x \in A } } f(x)\]

Au lieu de noter l'ensemble, on peut citer les conditions qui le définissent. Ainsi par exemple :

\[\lim_{ \substack{ x \to a \\ x \ne a } } f(x) = \lim_{ \substack{ x \to a \\ x \in X(a) } } f(x)\]

où :

\[X(a) = D \setminus \{ a \}\]

Autre application :

\[\lim_{ \substack{ x \to a \\ x \le a } } f(x) = \lim_{ \substack{ x \to a \\ x \in I(a) } } f(x)\]

où :

\[I(a) = \{ x \in D : x \le a \}\]

2.2.2 Remarque

Rien n'impose que \(a\) appartienne à \(A\). L'existence de la limite de \(f\) en \(a\) n'implique donc pas que la fonction \(f\) soit définie en \(a\).

2.2.3 Unicité

Supposons que \(b\) et \(c\) soient deux limites de \(f\) en \(a\). Soit \(\epsilon \strictsuperieur 0\). On peut alors trouver un \(\alpha \strictsuperieur 0\) tel que :

\[\distance(f(x),b) \le \frac{\epsilon}{2}\]

pour tout \(x\) vérifiant \(\distance(x,a) \le \alpha\) et un \(\beta \strictsuperieur 0\) tel que :

\[\distance(f(x),c) \le \frac{\epsilon}{2}\]

pour tout \(x\) vérifiant \(\distance(x,a) \le \beta\). Posons \(\delta = \min\{\alpha,\beta\}\). Si \(x\) vérifie \(\distance(x,a) \le \delta\), on a :

\[\{ \ \distance(f(x),b) , \ \distance(f(x),c) \ \} \le \frac{\epsilon}{2}\]

et :

\[\distance(b,c) \le \distance(b,f(x)) + \distance(f(x),c) \le \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon\]

Comme ce doit être vrai pour tout \(\epsilon\) strictement positif, on en conclut que \(\distance(b,c) = 0\), c'est-à-dire \(b = c\). La limite est donc unique.

2.2.4 Inclusion des boules

Soit :

\( B_1(\delta) = \boule(a,\delta) \cap A \\ B_2(\epsilon) = \boule(f(a),\epsilon) \)

La définition de la limite revient à exiger que, pour tout \(\epsilon \strictsuperieur 0\), on puisse trouver un \(\delta \strictsuperieur 0\) tel que tout élément de \(B_1(\delta)\) auquel on applique la fonction \(f\) se retrouve dans \(B_2(\epsilon)\). Autrement dit, \(f(B_1(\delta)) \subseteq B_2(\epsilon)\).

2.2.5 Limite de la distance

Si \(L\) est la limite de \(f\) en \(a\), la distance doit converger vers zéro par définition :

\[\lim_{ \substack{ x \to a \\ x \in A } } \distance(f(x),L) = 0\]

2.3 Chemin

Supposons qu'il existe des sous-ensembles \(A,B \subseteq D\) tels que :

\[\lim_{ \substack{ x \to a \\ x \in A } } f(x) \ne \lim_{ \substack{ x \to a \\ x \in B } } f(x)\]

On dit alors que la limite dépend du chemin parcouru.

2.4 Limites à l'infini

Si \(E\) est un ensemble ordonné, on peut définir la notion de limite à l'infini. Soit une fonction \(f : E \mapsto F\) et \(L \in F\). Si, pour toute précision \(\epsilon > 0\), on peut trouver une borne inférieure \(I(\epsilon) \in E\) telle que :

\[\distance(f(x),L) \le \epsilon\]

pour tout \(x \in E\) vérifiant \(x \ge I(\epsilon)\), on dit alors que \(f\) tend vers \(L\) à l'infini positif et on écrit :

\[\lim_{ x \to +\infty } f(x) = L\]

Symétriquement, si pour toute précision \(\epsilon > 0\), on peut trouver une borne supérieure \(S(\epsilon) \in E\) telle que :

\[\distance(f(x),L) \le \epsilon\]

pour tout \(x \in E\) vérifiant \(x \le S(\epsilon)\), on dit alors que \(f\) tend vers \(L\) à l'infini négatif et on écrit :

\[\lim_{ x \to -\infty } f(x) = L\]

2.4.1 Notation

On a également la notation alternative :

\[\lim_{ x \to \infty } f(x) = \lim_{ x \to +\infty } f(x)\]

ainsi que :

\begin{align} f(+\infty) &= \lim_{ x \to +\infty } f(x) \\ \\ f(-\infty) &= \lim_{ x \to -\infty } f(x) \end{align}

2.5 Limite supremum et infimum

2.5.1 Infini positif

Il arrive que la limite à l'infini positif d'une fonction \(f : E \mapsto F\) n'existe pas mais que la limite de la fonction \(g : E \mapsto F\), que l'on suppose correctement définie pour tout \(x \in E\) par :

\[g(x) = \inf \{ f(y) : y \in E, \ y \ge x \}\]

existe. On note alors :

\[\liminf_{ x \to +\infty } f(x) = \lim_{ x \to +\infty } \inf \{ f(y) : y \in E, \ y \ge x \}\]

On définit pareillement la limite du supremum :

\[\limsup_{ x \to +\infty } f(x) = \lim_{ x \to +\infty } \sup \{ f(y) : y \in E, \ y \ge x \}\]

2.5.2 Infini négatif

On définit également :

\( \limsup_{ x \to -\infty } f(x) = \lim_{ x \to -\infty } \sup \{ f(y) : y \in E, \ y \le x \} \\ \\ \liminf_{ x \to -\infty } f(x) = \lim_{ x \to -\infty } \inf \{ f(y) : y \in E, \ y \le x \} \)

2.6 Limites infinies

Si \(F\) est un ensemble ordonné, on peut définir la notion de limite infinie.

2.6.1 Positive

Si, pour tout \(G \in F\) aussi grand que l'on veut, on peut trouver une proximité \(\delta(G) > 0\) vérifiant :

\[f(x) \ge G\]

pour tout les \(x \in A\) assez proche de \(a\) :

\[\distance(x,a) \le \delta(G)\]

on dit alors que \(f\) tend vers l'infini positif en \(a\) et on écrit :

\[\lim_{ x \to a } f(x) = +\infty\]

2.6.2 Négative

Si, pour tout \(P \in F\) aussi petit que l'on veut, on peut trouver une proximité \(\delta(P) > 0\) vérifiant :

\[f(x) \le P\]

pour tout les \(x \in A\) assez proche de \(a\) :

\[\distance(x,a) \le \delta(P)\]

on dit alors que \(f\) tend vers l'infini négatif en \(a\) et on écrit :

\[\lim_{ x \to a } f(x) = -\infty\]

2.6.3 Notation

On a les notations alternatives :

\( f(a) = +\infty \quad \Leftrightarrow \quad \lim_{ x \to a } f(x) = +\infty \\ f(a) = -\infty \quad \Leftrightarrow \quad \lim_{ x \to a } f(x) = -\infty \)

2.7 Limite infinie à l'infini

On suppose que \(E\) et \(F\) sont ordonnés. On dit que la limite de \(f\) à l'infini positif est l'infini positif et on le note :

\[\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\]

si, pour tout \(G \in F\) aussi grand que l'on veut, on peut trouver une borne inférieure \(I(G) \in E\) telle que :

\[f(x) \ge G\]

pour tout \(x \in E\) vérifiant \(x \ge I(G)\). On dit que la limite de \(f\) à l'infini positif est l'infini négatif et on le note :

\[\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty\]

si, pour tout \(P \in F\) aussi petit que l'on veut, on peut trouver une borne inférieure \(I(G) \in E\) telle que :

\[f(x) \le P\]

pour tout \(x \in E\) vérifiant \(x \ge I(G)\). On dit que la limite de \(f\) à l'infini négatif est l'infini positif et on le note :

\[\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty\]

si, pour tout \(G \in F\) aussi grand que l'on veut, on peut trouver une borne supérieure \(S(G) \in E\) telle que :

\[f(x) \ge G\]

pour tout \(x \in E\) vérifiant \(x \le S(G)\). On dit que la limite de \(f\) à l'infini négatif est l'infini négatif et on le note :

\[\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty\]

si, pour tout \(P \in F\) aussi petit que l'on veut, on peut trouver une borne supérieure \(S(G) \in E\) telle que :

\[f(x) \le P\]

pour tout \(x \in E\) vérifiant \(x \le S(G)\).

3 Limites doubles

3.1 Dépendances

  • Chapitre \ref{chap:limites} : Les limites

3.2 Introduction

Si les ensemble \(A, B\) sont munis d'une distance, on définit la distance :

\[\distance^2 : (A \times B) \times (A \times B) \mapsto \corps\]

associée par :

\[\distance^2\big[(x,y), (a,b)\big] = \max \big\{ \distance(x,a), \distance(y,b) \big\}\]

pour tout \((x,y),(a,b) \in A \times B\). La fonction définie est-elle une distance ? On a clairement \(\distance^2 \ge 0\) et :

\[\distance^2\big[(x,y), (a,b)\big] = \distance^2\big[(a,b), (x,y)\big]\]

On a aussi :

\[\distance^2\big[(x,y), (x,y)\big] = \max \big\{ \distance(x,x), \distance(y,y) \big\} = \max \{ 0, 0 \} = 0\]

Si :

\[\distance^2\big[(x,y), (a,b)\big] = 0\]

on a forcément :

\[\distance(x,a) = \distance(y,b) = 0\]

Donc \(x = a\), \(y = b\) et :

\[(x,y) = (a,b)\]

Pour l'inégalité triangulaire, soit \((x,y),(a,b),(c,d) \in A \times B\) et :

\[d = \distance^2\big[(a,b), (c,d)\big] = \max \big\{ \distance(a,c), \distance(b,d) \big\}\]

La distance sur \(A\) vérifie :

\[\distance(a,c) \le \distance(a,x) + \distance(x,c)\]

La distance sur \(B\) vérifie :

\[\distance(b,d) \le \distance(b,y) + \distance(y,d)\]

On en déduit que :

\begin{align} d &\le \max \{ \distance(a,x) + \distance(x,c), \distance(b,y) + \distance(y,d) \} \\ &\le \max \{ \distance(a,x), \distance(b,y) \} + \max \{ \distance(x,c), \distance(y,d) \} \\ &\le \distance^2\big[(a,b), (x,y)\big] + \distance^2\big[(x,y), (c,d)\big] \end{align}

3.3 Limite en un point

Soit un ensemble \(F\) et une fonction \(f : A \times B \mapsto F\). On choisit un ensemble \(U \subseteq A \times B\). On dit que \(L\) est la limite de \(f\) en \((a,b) \in A \times B\) et on le note :

\[\lim_{ \substack{ (x,y) \to (a,b) \\ (x,y) \in U } } f(x,y) = L\]

si, pour toute précision \(\epsilon \strictsuperieur 0\), on peut trouver un \(\delta \strictsuperieur 0\) tel que :

\[\distance(f(x,y), L) \le \epsilon\]

pour tout \((x,y) \in U\) vérifiant :

\[\distance^2\big[ (x,y), (a,b) \big] = \max \{ \distance(x,a), \distance(y,b) \} \le \delta\]

3.3.1 Formulation équivalente

La condition :

\[\max \{ \distance(x,a), \distance(y,b) \} \le \delta\]

est équivalente à :

\( \distance(x,a) \le \delta \\ \distance(y,b) \le \delta \)

On en conclut que :

\[\lim_{ \substack{ (x,y) \to (a,b) \\ (x,y) \in U } } f(x,y) = L\]

si et seulement si, pour toute précision \(\epsilon \strictsuperieur 0\), on peut trouver un \(\delta \strictsuperieur 0\) tel que :

\[\distance(f(x,y), L) \le \epsilon\]

pour tout \((x,y) \in U\) vérifiant :

\( \distance(x,a) \le \delta \\ \distance(y,b) \le \delta \)

3.3.2 Extension

Supposons que pour toute précision \(\epsilon \strictsuperieur 0\) on puisse trouver des \(\delta_1, \delta_2 \strictsuperieur 0\) tels que :

\[\distance(f(x,y), L) \le \epsilon\]

pour tout \((x,y) \in U\) vérifiant :

\( \distance(x,a) \le \delta_1 \\ \distance(y,b) \le \delta_2 \)

En posant :

\[\delta = \min \{ \delta_1, \delta_2 \} \strictsuperieur 0\]

on voit que :

\[\distance(f(x,y), L) \le \epsilon\]

pour tout \((x,y) \in U\) vérifiant :

\( \distance(x,a) \le \delta \le \delta_1 \\ \distance(y,b) \le \delta \le \delta_2 \)

On en conclut que :

\[\lim_{ \substack{ (x,y) \to (a,b) \\ (x,y) \in U } } f(x,y) = L\]

3.4 Limite à l'infini

On suppose que les ensembles \(A, B\) sont ordonnés. On dit que \(L \in F\) est la limite de \(f : A \times B \mapsto F\) à l'infini positif et on le note :

\[\lim_{(x,y) \to +\infty} f(x,y) = L\]

si, pour toute précision \(\epsilon \strictsuperieur 0\), on peut trouver des bornes inférieures \((I, J) \in A \times B\) telles que :

\[\distance\big[f(x,y), L\big] \le \epsilon\]

pour tout \((x,y) \in A \times B\) vérifiant :

\( x \ge I \\ y \ge J \)

On dit que \(L \in F\) est la limite de \(f : A \times B \mapsto F\) à l'infini négatif et on le note :

\[\lim_{(x,y) \to -\infty} f(x,y) = L\]

si, pour toute précision \(\epsilon \strictsuperieur 0\), on peut trouver des bornes supérieures \((I, J) \in A \times B\) telles que :

\[\distance\big[f(x,y), L\big] \le \epsilon\]

pour tout \((x,y) \in A \times B\) vérifiant :

\( x \le I \\ y \le J \)

3.5 Dualité

3.5.1 \(x\) puis \(y\)

Supposons que la limite \(\lambda(y)\) définie par :

\[\lambda(y) = \lim_{x \to a} f(x,y)\]

existe pour tout \(y \in B\) et que :

\[L = \lim_{y \to b} \lambda(y) = \lim_{y \to b} \lim_{x \to a} f(x,y)\]

est bien définie. Nous supposons également que, quelque soit \(\epsilon \strictsuperieur 0\), on peut trouver un \(\delta \strictsuperieur 0\) tel que :

\[\distance(f(x,y),\lambda(y)) \le \epsilon\]

pour tout \((x,y) \in A \times B\) vérifiant :

\[\distance(x,a) \le \delta\]

Choissons \(\epsilon \strictsuperieur 0\). On peut trouver \(\delta_1 \strictsuperieur 0\) tel que :

\[\distance(\lambda(y), L) \le \frac{\epsilon}{2}\]

pour tout \((x,y) \in A \times B\) vérifiant :

\[\distance(y,b) \le \delta_1\]

On peut aussi trouver \(\delta_2\) tel que :

\[\distance(f(x,y),\lambda(y)) \le \frac{\epsilon}{2}\]

pour tout \((x,y) \in A \times B\) vérifiant :

\[\distance(x,a) \le \delta_2\]

Soit \(\delta = \min \{ \delta_1, \delta_2 \}\) et \((x,y) \in A \times B\) vérifiant :

\[\max \{ \distance(x,a), \distance(y,b) \} \le \delta\]

On a alors :

\begin{align} \distance(f(x,y),L) &\le \distance(f(x,y),\lambda(y)) + \distance(\lambda(y),L) \\ &\le \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon \end{align}

On en conclut que :

\[\lim_{(x,y) \to (a,b)} f(x,y) = L\]

autrement dit :

\[\lim_{(x,y) \to (a,b)} f(x,y) = \lim_{y \to b} \lim_{x \to a} f(x,y)\]

3.5.2 \(y\) puis \(x\)

Supposons que la limite \(\mu(x)\) définie par :

\[\mu(x) = \lim_{y \to b} f(x,y)\]

existe pour tout \(x \in A\) et que :

\[M = \lim_{x \to a} \mu(y) = \lim_{x \to a} \lim_{y \to b} f(x,y)\]

est bien définie. Nous supposons également que, quelque soit \(\epsilon \strictsuperieur 0\), on peut trouver un \(\delta \strictsuperieur 0\) tel que :

\[\distance(f(x,y),\mu(x)) \le \epsilon\]

pour tout \((x,y) \in A \times B\) vérifiant :

\[\distance(y,b) \le \delta\]

Choissons \(\epsilon \strictsuperieur 0\). On peut trouver \(\delta_1 \strictsuperieur 0\) tel que :

\[\distance(\mu(x), M) \le \frac{\epsilon}{2}\]

pour tout \((x,y) \in A \times B\) vérifiant :

\[\distance(x,a) \le \delta_1\]

On peut aussi trouver \(\delta_2\) tel que :

\[\distance(f(x,y),\mu(x)) \le \frac{\epsilon}{2}\]

pour tout \((x,y) \in A \times B\) vérifiant :

\[\distance(y,b) \le \delta_2\]

Soit \(\delta = \min \{ \delta_1, \delta_2 \}\) et \((x,y) \in A \times B\) vérifiant :

\[\max \{ \distance(x,a), \distance(y,b) \} \le \delta\]

On a alors :

\begin{align} \distance(f(x,y),M) &\le \distance(f(x,y),\mu(x)) + \distance(\mu(x),M) \\ &\le \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon \end{align}

On en conclut que :

\[\lim_{(x,y) \to (a,b)} f(x,y) = M\]

autrement dit :

\[\lim_{(x,y) \to (a,b)} f(x,y) = \lim_{x \to a} \lim_{y \to b} f(x,y)\]

Auteur: chimay

Created: 2019-10-01 mar 12:33

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