Eclats de vers : Matemat 04 : Suites - 3

• Chapitre \ref{chap:reel} : Les réels
• Chapitre \ref{chap:complexe} : Les complexes
• Chapitre \ref{chap:somme} : Les sommes

Soit le corps \(\corps\) sur lequel est défini une relation d'ordre total ainsi des opérations d'addition, de multiplication, de soustraction, de division et de puissance similaires à celles de \(\setR\).

Soit un ensemble \(\Omega\) et la fonction \(f : \Omega \mapsto \corps\). On note le produit de \(f\) sur \(X\) par :

\[\prod_{x \in X} f(x)\]

pour tout sous-ensemble \(X \subseteq \Omega\). Il s'agit intuitivement du produit des \(f(x) \in \corps\) lorsque \(x\) parcourt \(X\). Nous allons voir comment le formaliser.

Si deux ensembles \(X,Y \subseteq \Omega\) ne se chevauchent pas :

\[X \cap Y = \emptyset\]

le produit sur l'union des deux est intuitivement le produit des produits sur chacun d'entre-eux :

\[\prod_{z \in X \cup Y} f(z) = \left[ \prod_{z \in X} f(z) \right] \cdot \left[ \prod_{z \in Y} f(z) \right]\]

Comme \(X = X \cup \emptyset\) et \(X \cap \emptyset = \emptyset\), on en déduit que :

\[\prod_{x \in X} f(x) = \prod_{x \in X \cup \emptyset} f(x) = \prod_{x \in X} f(x) \cdot \prod_{x \in \emptyset} f(x)\]

Le produit sur l'ensemble vide doit donc être le neutre pour la multiplication :

\[\prod_{x \in \emptyset} f(x) = 1\]

Il semble également logique d'imposer que le produit sur un ensemble contenant un seul élément \(a \in X\) soit égal à \(f(a)\) :

\[\prod_{ x \in \{ a \} } f(x) = f(a)\]

Voilà qui complète les caractéristiques génériques des produits.

Soit l'ensemble \(X\) non vide, ensemble dont nous voulons évaluer le produit. Choisissons un élément \(a \in A\) et considérons la décomposition :

\[X = \{ a \} \cup ( X \setminus \{ a \} )\]

Comme l'intersection des deux ensembles du membre de droite est vide :

\[\{ a \} \cap ( X \setminus \{ a \} ) = \emptyset\]

on peut écrire :

\[\prod_{x \in X} f(x) = \prod_{ x \in \{ a \} } f(x) \cdot \prod_{x \in X \setminus \{ a \} } f(x)\]

c'est-à-dire :

\[\prod_{x \in X} f(x) = f(a) \cdot \prod_{x \in X \setminus \{ a \} } f(x)\]

On en déduit un algorithme itératif permettant d'estimer le produit :

\[S \approx \prod_{x \in X} f(x)\]

Nous partons de :

A chaque étape \(k\), nous choisissons \(a_k \in X_k\) et nous adaptons notre estimation par :

\[S_{k + 1} = f(a_k) \cdot S_k\]

On retire ensuite \(a_k\) de \(X_k\) pour éviter de le compter plus d'une fois, ce qui nous donne l'ensemble suivant :

\[X_{k + 1} = X_k \setminus \{ a_k \}\]

Soit l'ensemble \(X\) contenant un nombre fini \(N \in \setN\) d'éléments :

\[X = \{ a_1, a_2, ..., a_N \}\]

En appliquant l'algorithme d'évaluation d'une somme, on finit par arriver à l'itération \(N\) avec :

\[X_N = \emptyset\]

On a simplement :

\[\prod_{x \in X} f(x) = S_N \cdot \prod_{x \in \emptyset} f(x) = S_N \cdot 1 = S_N\]

et :

\[\prod_{x \in X} f(x) = S_N = f(a_1) \cdot f(a_2) \cdot ... \cdot f(a_N)\]

On note :

\[\prod_{k = 1}^N f(a_k) = f(a_1) \cdot f(a_2) \cdot ... \cdot f(a_N)\]

Soit \(n \in \setN\). Nous allons tenter d'évaluer la somme :

\[S_n = \sum_{i = 0}^n i = 0 + 1 + 2 + ... + n\]

L'idée est d'exprimer que cette somme est équivalente à :

\[(n - 0) + (n - 1) + ... + (n - n)\]

Si nous posons \(j\) tel que \(i = n - j\), on voit que l'on a \(j = n -i\) et \(0 \le j \le n\). Donc :

\[S_n = \sum_{j = 0}^n (n-j)\]

Développons :

\[\sum_{j = 0}^n (n-j) = \sum_{j = 0}^{n} n - \sum_{j = 0}^{n} j\]

Le premier terme du membre de droite peut se réécrire :

\[\sum_{j = 0}^n n = n \cdot \sum_{j = 0}^{n} 1 = n \cdot (n + 1)\]

Pour le second, on a clairement :

\[\sum_{j = 0}^n j = S_n\]

On en conclut que :

\[S_n = n \cdot (n + 1) - S_n\]

c'est-à-dire :

\[2 S_n = n \cdot (n + 1)\]

Divisant par \(2\), on obtient le résultat final :

\[\sum_{i = 0}^{n} i = \frac{ n \cdot (n + 1) }{ 2 }\]

Soit \(n \in \setN\) et \(a \in \corps\). Nous allons rechercher une expression de la somme :

\[G_n = \sum_{i=0}^n a^i = 1 + a + a^2 + ... + a^n\]

Si \(a = 1\), on a simplement :

\[G_n = \sum_{i=0}^n a^i = 1 + ... + 1 = n\]

Intéressons-nous à présent au cas où \(a \ne 1\). On part du constat que la somme \(G_n\) est équivalente à :

\[1 + a \cdot (1 + a + a^2 + ... + a^n) - a^{n+1}\]

On développe en ce sens :

\begin{align} G_n &= 1 + \sum_{i = 1}^n a^i \\ &= 1 + a \cdot \sum_{i = 0}^{n - 1} a^i \\ &= 1 + a \cdot \sum_{i = 0}^n a^i - a^{n + 1} \end{align}

et finalement, on arrive à l'équation implicite :

\[G_n = 1 + a \cdot G_n - a^{n + 1}\]

En soustrayant \(a \cdot G_n\) des deux membres, on obtient :

\[(1 - a) \cdot G_n = 1 - a^{n + 1}\]

Comme \(a \ne 1\), on en déduit que :

\[\sum_{i = 0}^n a^i = \frac{ 1 - a^{n + 1} }{ 1 - a }\]

\label{sec:factorisation_progression_geometrique}

Les progressions géométriques permettent d'obtenir une importante formule de factorisation. Soit \(a,b \in \corps\) avec \(a \ne 0\). Posons :

\[r = \frac{b}{a}\]

On a alors :

\[(1 - r) \cdot \sum_{i = 0}^n r^i = 1 - r^{n + 1}\]

Multipliant par \(a^{n + 1}\), on obtient :

\[(a - b) \cdot a^n \cdot \sum_{i = 0}^n \frac{b^i}{a^i} = a^{n + 1} - b^{n + 1}\]

En faisant rentrer le facteur \(a^n\) dans la somme, on a en définitive :

\[a^{n + 1} - b^{n + 1} = (a - b) \cdot \sum_{i = 0}^n a^{n - i} \cdot b^i\]

Considérons la somme :

\[C_n = \sum_{i = 0}^n i^2 = 1 + 4 + 16 + ... + n^2\]

La progression arythmétique nous dit que :

\[\frac{1}{2} \cdot i \cdot (i+1) = \sum_{j=0}^i j\]

On a par conséquent :

\[\sum_{i = 0}^n \frac{1}{2} \cdot i \cdot (i+1) = \sum_{i = 0}^n \sum_{j = 0}^i j\]

On peut utiliser le lemme du triangle pour inverser les deux sommes du membre de droite :

\[\sum_{i = 0}^n \sum_{j = 0}^i j = \sum_{j = 0}^n \sum_{i = j}^n j\]

Comme \(j\) ne dépend pas de \(i\), on peut le faire sortir de la somme sur \(i\) et le membre de droite devient :

\[\sum_{j = 0}^n \sum_{i = j}^n j = \sum_{j = 0}^n j \sum_{i = j}^n 1 = \sum_{j = 0}^n j \cdot (n - j + 1)\]

En tenant compte de la linéarité des sommes, on a alors :

\begin{align} \sum_{j = 0}^n j \cdot (n - j + 1) &= (n + 1) \cdot \sum_{j = 0}^n j - \sum_{j = 0}^n j^2 \\ &= \frac{1}{2} \cdot n \cdot (n + 1)^2 - C_n \end{align}

D'un autre côté, on a :

\[\sum_{i = 0}^n \frac{1}{2} \cdot i \cdot (i+1) = \frac{1}{2} \sum_{i = 0}^n (i^2 + i) = \frac{1}{2} \cdot C_n + \frac{1}{4} \cdot n \cdot (n + 1)\]

En égalisant ces deux expressions, on obtient :

\[\frac{3}{2} \cdot C_n &= \frac{1}{4} \cdot \Big[ 2 \cdot n \cdot (n + 1)^2 - n \cdot (n + 1) \Big]\]

Ou encore :

\begin{align} 6 \cdot C_n &= ( 2 \cdot n \cdot (n + 1) - n ) \cdot (n + 1) \\ &= ( 2 \cdot n^2 + n ) \cdot (n + 1) \end{align}

On a donc la formule permettant d'évaluer la somme des carrés :

\[\sum_{i = 0}^n i^2 = \frac{ (2 \cdot n^2 + n) \cdot (n + 1) }{ 6 }\]

Etant donné une suite :

\[A = \{ a_k : k \in \setN \} \subseteq \corps\]

on définit l'opérateur des différences \(\difference\) par :

\[\difference a_k = a_{k + 1} - a_k\]

Soit les suites :

\[A = \{ a_k : k \in \setN \} \subseteq \corps\]

et :

\[B = \{ b_k : k \in \setN \} \subseteq \corps\]

La différence de l'addition vérifie :

\[\difference (a_k + b_k) = a_{k + 1} + b_{k + 1} - a_k - b_k = \difference a_k + \difference b_k\]

Soit les suites :

\[A = \{ a_k : k \in \setN \} \subseteq \corps\]

et :

\[B = \{ b_k : k \in \setN \} \subseteq \corps\]

La différence de la multiplication vérifie :

\[\difference (a_k \cdot b_k) = a_{k + 1} \cdot b_{k + 1} - a_k \cdot b_k\]

Ajoutons et soustrayons le terme hybride \(a_{k + 1} \cdot b_k\). On a :

\[\difference (a_k \cdot b_k) = a_{k + 1} \cdot b_{k + 1} - a_{k + 1} \cdot b_k + a_{k + 1} \cdot b_k - a_k \cdot b_k\]

et :

\[\difference (a_k \cdot b_k) = a_{k + 1} \cdot \difference b_k + \difference a_k \cdot b_k\]

Ajoutons et soustrayons le terme hybride \(a_k \cdot b_{k + 1}\). On a :

\[\difference (a_k \cdot b_k) = a_{k + 1} \cdot b_{k + 1} - a_k \cdot b_{k + 1} + a_k \cdot b_{k + 1} - a_k \cdot b_k\]

et :

\[\difference (a_k \cdot b_k) = \difference a_k \cdot b_{k + 1} + a_k \cdot \difference b_k\]

On définit également :

\[\difference \sum_{k = 0}^n a_k = \sum_{k = 1}^{n + 1} a_k - \sum_{k = 0}^n a_k\]

La définition nous donne directement :

\[\difference \sum_{k = 0}^n a_k = (a_1 + ... + a_{n + 1}) - (a_0 + ... + a_n)\]

Tous les termes se neutralisant sauf \(a_0\) et \(a_{n + 1}\), on a :

\[\difference \sum_{k = 0}^n a_k = a_{n + 1} - a_0\]

On voit aussi que :

\[\sum_{k = 0}^n \difference a_k = (a_{n + 1} - a_n) + ... + (a_2 - a_1) + (a_1 - a_0)\]

Tous les termes se neutralisant mutuellement sauf le permier et le dernier, on a :

\[\sum_{k = 0}^n \difference a_k = a_{n + 1} - a_0\]

Ce résultat étant identique au précédent, on a :

\[\difference \sum_{k = 0}^n a_k = \sum_{k = 0}^n \difference a_k = a_{n + 1} - a_0\]

Soit les suites :

\[A = \{ a_k : k \in \setN \} \subseteq \corps\]

et :

\[B = \{ b_k : k \in \setN \} \subseteq \corps\]

On a :

\[\sum_{k = 0}^n \difference (a_k \cdot b_k) = a_{n + 1} \cdot b_{n + 1} - a_0 \cdot b_0\]

En utilisant la loi de différence d'une multiplication, on obtient parallèlement :

\[\sum_{k = 0}^n \difference (a_k \cdot b_k) = \sum_{k = 0}^n \difference a_k \cdot b_{k + 1} + \sum_{k = 0}^n a_k \cdot \difference b_k\]

On a donc :

\[\sum_{k = 0}^n a_k \cdot \difference b_k = \sum_{k = 0}^n \difference (a_k \cdot b_k) - \sum_{k = 0}^n \difference a_k \cdot b_{k + 1}\]

c'est-à-dire :

$$∑_{k = 0}ⁿ a_k ⋅ \difference b_k = a_{n + 1} ⋅ b_{n + 1} - a₀ ⋅ b₀ - ∑_{k = 0}ⁿ \difference a_k ⋅ b_{k + 1}

• Chapitre \ref{chap:rationnels} : Les rationnels
• Chapitre \ref{chap:distances} : Les distances
• Chapitre \ref{chap:limites} : Les limites

Une suite de rationnels, ou suite rationnelle est une suite \(s : \setN \mapsto \setQ\) :

\[s : n \mapsto s_n\]

On définit une distance sur l'ensemble des rationnels \(\setQ\) par :

\[\distance(x,y) = \abs{x - y}\]

pour tout \(x,y \in \setQ\). On a bien \(\distance(x,y) \ge 0\). La condition \(\distance(x,y) = 0\) implique que \(\abs{x - y}\), donc \(x - y = 0\) et \(x = y\). Enfin :

\begin{align} \distance(x,z) &= \abs{x - z} \\ &\le \abs{x - y} + \abs{y - z} \\ &\le \distance(x,y) + \distance(y,z) \end{align}

Soit les suites rationnelles \(s,t : \setN \mapsto \setQ\) vérifiant \(s \equiv t\). On a :

\[\lim_{n \to \infty} \distance(s_n,t_n) = \lim_{n \to \infty} \abs{s_n - t_n} = 0\]

On en déduit que :

\[\lim_{n \to \infty} (s_n - t_n) = 0\]

Soit un rationnel \(I_0\) vérifiant \(I_0 \strictsuperieur 0\) et la suite \(I : \setN \setminus \{ 0 \} \mapsto \setQ\) définie par :

\[I : n \mapsto I_n = \frac{I_0}{n}\]

pour tout naturel \(n\) vérifiant \(n \ne 0\). Soit \(\epsilon \strictsuperieur 0\). Comme \(I_0\) est strictement positif, on a :

\[\epsilon \cdot \frac{1}{I_0} = \frac{\epsilon}{I_0} \strictsuperieur 0\]

Soit \(\epsilon \strictsuperieur 0\). On peut trouver un naturel \(n\) tel que :

\[\frac{1}{n} \strictinferieur \frac{\epsilon}{I_0}\]

On a alors :

\[\frac{I_0}{n} \strictinferieur \epsilon\]

et :

\[\distance\parentheses{0,\frac{I_0}{n}} = \abs{\frac{I_0}{n} - 0} = \abs{\frac{I_0}{n}} \strictinferieur \epsilon\]

On en déduit que :

\[\lim_{n \to \infty} \frac{I_0}{n} = 0\]