Eclats de vers : Matemat 04 : Suites - 4

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1 Problème de la racine

1.1 Introduction

Nous allons tenter de déterminer la racine de deux, c'est-à-dire chercher un nombre noté :

\[x = \sqrt{2}\]

tel que :

\[x^2 = \parentheses{\sqrt{2}}^2 = 2\]

1.2 Solution rationnelle ?

Nous allons chercher une solution à ce problème sous la forme d'un rationnel \(x \in \setQ\). Soit :

\[x = \frac{i}{j}\]

avec \(i,j \in \setZ\) et \(j \ne 0\). On a :

\[x^2 = \frac{i^2}{j^2} = \frac{(-i)^2}{(-j)^2} = \frac{(-i)^2}{j^2} = \frac{i^2}{(-j)^2}\]

On peut donc se restreindre aux entiers positifs, autrement dit aux naturels. Si \(i = 0\), on a forcément :

\[\frac{i^2}{j^2} = 0 \ne 2\]

ce qui ne résout pas notre problème. Supposons à présent que \(i \ne 0\) et posons :

\[k = \pgcd(i,j)\]

On a alors \(k \ne 0\) et les quotients :

\[a = i \diventiere k\]

\[b = j \diventiere k\]

vérifiant les divisions exactes :

\[i = a \cdot k\] \[j = b \cdot k\]

Si nous voulons résoudre le problème, il faut donc avoir :

\[\parentheses{\frac{a}{b}}^2 = \frac{a^2}{b^2} = \frac{a^2 \cdot k^2}{b^2 \cdot k^2} = \frac{i^2}{j^2} = 2\]

c'est-à-dire :

\[a^2 = 2 \ b^2\]

On a donc :

\[a^2 \diventiere 2 = b^2\]

et :

\[a^2 \modulo 2 = 0\]

1.2.1 Lemme

Soit un naturel \(m \in \setN\) vérifiant :

\[m^2 \modulo 2 = 0\]

Posons :

\[n = m \diventiere 2\] \[r = m \modulo 2\]

Le modulo \(r \in \setN\) vérifie :

\[0 \le r \le 2 - 1 = 1\]

autrement dit \(r \in \{0,1\}\). Si on suppose que \(r = 1\), on a :

\[m = 2 \ n + 1\]

Développons le carré :

\[m^2 = (2 \ n + 1)^2 = 4 \ n^2 + 4 \ n + 1 = 4 \ (n^2 + n) + 1\]

On aurait alors :

\[m^2 \diventiere 2 = 2 \ (n^2 + n)\]

et :

\[m^2 \modulo 2 = 1\]

contrairement à l'hypothèse. On en conclut que \(r = 0\), la division entière de \(m\) par \(2\) est exacte :

\[m \modulo 2 = 0\]

1.2.2 Modulo nul

Le naturel \(a\) vérifiant :

\[a^2 \modulo 2 = 0\]

on a également :

\[a \modulo 2 = 0\]

Si on pose :

\[n = a \diventiere 2\]

on a l'expression de la division exacte :

\[a = 2 \ n\]

L'équation à résoudre devient alors :

\[a^2 = 4 \ n^2 = 2 \ b^2\]

On en déduit que :

\[b^2 = 2 \ n^2\]

vérifie :

\[b^2 \diventiere 2 = n^2\]

et :

\[b^2 \modulo 2 = 0\]

On a donc aussi :

\[b \modulo 2 = 0\]

Posons \(p = b \diventiere 2\). On a :

\[a = 2 \ n\] \[b = 2 \ p\]

et :

\[i = 2 \ n \cdot k = n \cdot (2 \ k)\] \[j = 2 \ p \cdot k = p \cdot (2 \ k)\]

Le naturel \(t = 2 \ k \strictsuperieur k\) vérifie donc :

\[i \modulo t = j \modulo t = 0\]

ce qui est contraire à l'hypothèse de supremum de \(k = \pgcd(i,j)\). On ne peut donc pas trouver de rationnel \(x\) vérifiant :

\[x^2 = 2\]

1.3 Suite inférieure

On ne peut pas trouver de solution exacte à l'équation \(x^2 = 2\) dans l'ensemble des rationnels, mais on peut l'approcher autant qu'on le souhaite. Soit les suites de naturels \(n : k \mapsto n_k\) et \(M : k \mapsto M_k\) définies par :

\[n_k = 10^k\]

\[M_k = \sup \accolades{p \in \setN : \frac{p^2}{n_k^2} \le 2}\]

pour tout \(k \in \setN\). On définit aussi les rationnels associés :

\[x_k = \frac{M_k}{n_k}\]

et les erreurs :

\[E_k = 2 - x_k^2\]

On a :

\[n_0 = 1 \qquad M_0 = 1 \qquad x_0 = 1 \qquad E_0 = 1\] \[n_1 = 10 \qquad M_1 = 14 \qquad x_1 = 1,4 \qquad E_1 = 0,04\] \[n_2 = 100 \qquad M_2 = 141 \qquad x_2 = 1,41 \qquad E_2 = 0,0119\]

et ainsi de suite.

1.3.1 Maximum

Soit :

\[A_k = \accolades{p \in \setN : \frac{p^2}{n_k^2} \le 2}\]

Pour tout \(p \in \setN\) vérifiant \(p \strictsuperieur 2 \ n_k\), on a :

\[\frac{p^2}{n_k^2} \strictsuperieur \frac{2^2 \ n_k^2}{n_k^2} = \frac{4 \ n_k^2}{n_k^2} = 4 \strictsuperieur 2\]

On en conclut que :

\[A_k \subseteq \{ 0, 1, ..., 2 \ n_k - 1, 2 \ n_k \}\]

L'ensemble \(A_k\) contient donc un nombre fini d'éléments. Comme l'ordre usuel sur \(\setN\) est total, on en conclut que \(A_k\) admet un maximum identique au suprémum. La suite des \(M_k\) est donc bien définie :

\[M_k = \max A_k = \sup A_k\]

1.3.2 Majoration

L'inclusion nous donne l'inégalité des maxima :

\[\max A_k \le \max \{ 0, 1, ..., 2 \ n_k \} = 2 \ n_k\]

On en déduit que :

\[M_k \le 2 \ n_k\]

En divisant cette inégalité par \(n_k \strictsuperieur 0\), on obtient une borne constante pour les rationnels associés :

\[x_k = \frac{M_k}{n_k} \le 2\]

La suite des \(x_k\) est majorée.

1.3.3 Suite croissante

Le maximum appartenant à l'ensemble, on a :

\[\frac{M_k^2}{n_k^2} \le 2\]

et :

\[\frac{(10 \ M_k)^2}{n_{k+1}^2} = \frac{(10 \ M_k)^2}{(10 \ n_k)^2} = \frac{100 \ M_k^2}{100 \ n_k^2} = \frac{M_k^2}{n_k^2} \le 2\]

On en déduit que :

\[10 \ M_k \in \accolades{p \in \setN : \frac{p^2}{n_{k+1}^2} \le 2}\]

On conclut de ce résultat et du caractère de maximum de \(M_{k+1}\) que :

\[M_{k+1} \ge 10 \ M_k\]

et :

\[x_{k+1} = \frac{M_{k+1}}{n_{k+1}} \ge \frac{10 \ M_k}{n_{k+1}} = \frac{10 \ M_k}{10 \ n_k} = \frac{M_k}{n_k} = x_k\]

On en conclut que :

\[x_0 \le x_1 \le x_2 \le ...\]

On a donc \(x_i \ge x_j\) pour tout \(i,j \in \setN\) vérifiant \(i \ge j\), la suite des \(x_k\) est croissante.

1.3.4 Cadre

Comme \(M_k\) est le maximum de \(A_k\), on a :

\[x_k^2 = \frac{M_k^2}{n_k^2} \le 2\]

et :

\[\parentheses{\frac{M_k + 1}{n_k}}^2 \strictsuperieur 2\]

On a :

\[\parentheses{\frac{M_k + 1}{n_k}}^2 = \parentheses{x_k + \frac{1}{n_k}}^2\]

En développant le binôme, on arrive à :

\[\parentheses{\frac{M_k + 1}{n_k}}^2 = x_k^2 + \frac{2 \ x_k}{n_k} + \frac{1}{n_k^2}\]

On a donc l'inégalité :

\[x_k^2 + \frac{2 \ x_k}{n_k} + \frac{1}{n_k^2} \strictsuperieur 2\]

qui nous donne la borne inférieure :

\[x_k^2 \strictsuperieur 2 - \parentheses{\frac{2 \ x_k}{n_k} + \frac{1}{n_k^2}}\]

Posons :

\[\Delta_k = \frac{2 \ x_k}{n_k} + \frac{1}{n_k^2}\]

En divisant l'inégalité :

\[1 \le n_k\]

par \(n_k^2 \strictsuperieur 0\), on obtient :

\[\frac{1}{n_k^2} \le \frac{1}{n_k}\]

On a donc :

\[\Delta_k \le \frac{2 \ x_k}{n_k} + \frac{1}{n_k} = \frac{2 \ x_k + 1}{n_k}\]

Comme \(x_k \le 2\), on a :

\[\Delta_k \le \frac{2 \cdot 2 + 1}{n_k} = \frac{5}{n_k}\]

On a finalement la borne inférieure :

\[x_k^2 \strictsuperieur 2 - \Delta_k \ge 2 - \frac{5}{n_k}\]

Posons :

\[\alpha_k = \frac{5}{n_k}\]

On a l'encadrement :

\[2 - \alpha_k \strictinferieur x_k^2 \le 2\]

1.3.5 Bornes d'une différence

Soit \(i,j \in \setN\) tels que \(i \ge j\). On dispose des bornes :

\[2 - \alpha_i \strictinferieur x_i^2 \le 2\] \[2 - \alpha_j \strictinferieur x_j^2 \le 2\]

En évaluant la différence de :

\[x_i^2 \le 2\]

\[x_j^2 \strictsuperieur 2 - \alpha_j\]

on arrive à la majoration :

\[x_i^2 - x_j^2 \le 2 - (2 - \alpha_j) = \alpha_j\]

Comme la suite est croissante, on a \(x_i \ge x_j\). Comme la fonction \(f : x \mapsto x^2\) est croissante sur l'ensemble des rationnels positifs, on a également :

\[x_i^2 \ge x_j^2\]

ou :

\[x_i^2 - x_j^2 \ge 0\]

On a donc finalement :

\[\abs{x_i^2 - x_j^2} = x_i^2 - x_j^2 \le \alpha_j\]

1.3.6 Factorisation

On a la factorisation :

\[x_i^2 - x_j^2 = (x_i - x_j) \cdot (x_i + x_j)\]

Comme la suite est croissante, on sait que :

\[x_i,x_j \ge x_0 = 1\]

Leur somme vérifie l'inégalité :

\[x_i + x_j \ge 1 + 1 = 2\]

La différence des carrés est donc minorée par :

\[x_i^2 - x_j^2 = (x_i - x_j) \cdot (x_i + x_j) \ge (x_i - x_j) \cdot 2\]

En divisant par \(2\), on obtient :

\[x_i - x_j \le \frac{1}{2} \ \parentheses{x_i^2 - x_j^2}\]

Comme la suite est croissante, on a \(x_i \ge x_j\) et :

\[x_i - x_j \ge 0\]

Donc :

\[\abs{x_i - x_j} = x_i - x_j\]

Comme la fonction \(f : x \mapsto x^2\) est croissante sur l'ensemble des rationnels positifs, on a également :

\[x_i^2 \ge x_j^2\]

ou :

\[x_i^2 - x_j^2 \ge 0\]

Donc :

\[\abs{x_i^2 - x_j^2} = x_i^2 - x_j^2\]

On a donc :

\[\abs{x_i - x_j} \le \frac{1}{2} \ \abs{x_i^2 - x_j^2} \le \frac{\alpha_j}{2}\]

1.3.7 Suite de Cauchy

Soit \(\epsilon \strictsuperieur 0\). Comme :

\[\lim_{k \to \infty} \alpha_k = \lim_{k \to \infty} \frac{5}{n_k} = \lim_{k \to \infty} \frac{5}{10^k} = 0\]

on peut trouver un naturel \(K\) tel que :

\[\abs{\alpha_k} = \abs{\alpha_k - 0} \le \epsilon\]

pour tout naturel \(k\) vérifiant \(k \ge K\). On note que :

\[\alpha_k = \frac{5}{10^k} \le \frac{5}{10^K} = \alpha_K\]

Si \(i,j \in \setN\) vérifient \(i,j \ge K\), on a donc :

\[\abs{x_i - x_j} \le \frac{1}{2} \ \max \{ \alpha_i, \alpha_j \} \le \alpha_K \le \epsilon\]

La suite des \(x_k\) est de Cauchy.

1.3.8 Erreur

On déduit du cadre de \(x_k\) que :

\[-\alpha_k = (2 - \alpha_k) - 2 \strictinferieur x_k^2 - 2\]

ou :

\[E_k = 2 - x_k^2 \strictinferieur \alpha_k\]

Comme on a également \(x_k^2 \le 2\) par définition des \(M_k\), on a aussi \(E_k \ge 0\) et :

\[\abs{E_k - 0} = \abs{E_k} = E_k \le \alpha_k\]

La suite des \(\alpha_k\) convergeant vers zéro, on en déduit que :

\[\lim_{k \to \infty} E_k = 0\]

1.3.9 Convergence

Soit \(\epsilon \strictsuperieur 0\). L'erreur convergeant vers zéro, on peut trouver un \(K \in \setN\) tel que :

\[\distance(x_k^2,2) = \abs{x_k^2 - 2} = \abs{E_k} = \abs{E_k - 0} \le \epsilon\]

pour tout naturel \(k\) vérifiant \(k \ge K\). On en déduit que :

\[\lim_{k \to \infty} x_k^2 = 2\]

1.3.10 Supremum

Soit l'ensemble :

\[X = \accolades{x_k^2 : k \in \setN}\]

On sait déjà que :

\[x_k^2 = \frac{M_k^2}{n_k^2} \le 2\]

pour tout \(k \in \setN\). On en conclut que :

\[X \le 2\]

Pour tout rationnel \(u \ge 2 \ge X\), on a :

\[u \in \major X\]

On en déduit que :

\[\{ u \in \setQ : u \ge 2 \} \subseteq \major X\]

Soit un rationnel \(v \strictinferieur 2\). Posons :

\[\delta = 2 - v \strictsuperieur 0\]

On choisit un rationnel \(\epsilon\) vérifiant :

\[0 \strictinferieur \epsilon \strictinferieur \delta\]

Comme la suite \(k \mapsto x_k^2\) converge vers \(2\), on peut trouver un naturel \(K\) tel que :

\[\abs{x_k^2 - 2} = 2 - x_k^2 \le \epsilon\]

pour tout naturel \(k\) vérifiant \(k \ge K\). On a alors :

\[x_k^2 \ge 2 - \epsilon \strictsuperieur 2 - \delta = v\]

Donc :

\[v \notin \major X\]

On a donc :

\[\major X = \{ u \in \setQ : u \ge 2 \}\]

et :

\[\sup \accolades{x_k^2 : k \in \setN} = \min \{ u \in \setQ : u \ge 2 \} = 2\]

1.4 Suite supérieure

Soit les suites de naturels \(n : k \mapsto n_k\) et \(m : k \mapsto m_k\) définies par :

\[n_k = 10^k\]

\[m_k = \inf \accolades{p \in \setN : \frac{p^2}{n_k^2} \ge 2}\]

pour tout \(k \in \setN\). On définit aussi les rationnels associés :

\[y_k = \frac{m_k}{n_k}\]

et les erreurs :

\[e_k = y_k^2 - 2\]

On a :

\[n_0 = 1 \qquad m_0 = 2 \qquad y_0 = 2 \qquad e_0 = 2\] \[n_1 = 10 \qquad m_1 = 15 \qquad y_1 = 1,5 \qquad e_1 = 0,25\] \[n_2 = 100 \qquad m_2 = 142 \qquad y_2 = 1,42 \qquad e_2 = 0,0164\]

et ainsi de suite.

1.4.1 Minimum

Soit les ensembles :

\[A_k = \accolades{p \in \setN : \frac{p^2}{n_k^2} \le 2}\]

\[B_k = \accolades{p \in \setN : \frac{p^2}{n_k^2} \ge 2}\]

Le problème de la racine de deux n'admettant pas de solution dans \(\setQ\), on ne peut trouver de naturel \(p\) tel que :

\[\frac{p^2}{n_k^2} = 2\]

Pour tout \(p \in \setN\), on a donc soit :

\[\frac{p^2}{n_k^2} \strictinferieur 2\]

et \(p \in A_k\), soit :

\[\frac{p^2}{n_k^2} \strictsuperieur 2\]

et \(p \in B_k\). On en conclut que :

\[A_k \cup B_k = \setN\]

Si on pouvait trouver un \(p \in A_k \cap B_k\), on aurait :

\[2 \le \frac{p^2}{n_k^2} \le 2\]

et donc :

\[\frac{p^2}{n_k^2} = 2\]

ce qui est impossible. On en conclut que :

\[A_k \cap B_k = \emptyset\]

Si \(p \in \setN \setminus A_k\), on a \(p \in B_k\) et vice versa. Donc :

\[B_k = \setN \setminus A_k\]

Soit \(p \in A_k\). Pour tout \(u \in \setN\) vérifiant \(u \le p\), on a :

\[\frac{u^2}{n_k^2} \le \frac{p^2}{n_k^2} \le 2\]

On en conclut que \(u \in A_k\). L'ensemble \(A_k\) possédant un maximum :

\[M_k = \max A_k\]

il est donc de la forme :

\[A_k = \{ 0, 1, ..., M_k - 1, M_k \}\]

On en conclut que \(B_k\) est de la forme :

\[B_k = \setN \setminus A_k = \{ M_k + 1, M_k + 2, ... \} = \{ p \in \setN : p \ge M_k + 1 \}\]

On en conclut que le minimum de \(B_k\) existe et qu'il s'identifie à l'infimum. Les nombres \(m_k\) sont donc bien définis et :

\[m_k = \inf B_k = \min B_k = M_k + 1\]

1.4.2 Minoration

Comme \(m_k = M_k + 1\), on a :

\[1 = x_0 \le x_k = \frac{M_k}{n_k} \le \frac{M_k + 1}{n_k} = \frac{m_k}{n_k} = y_k\]

La suite des \(y_k\) est minorée.

1.4.3 Suite décroissante

Le minimum appartenant à l'ensemble, on a :

\[\frac{m_k^2}{n_k^2} \ge 2\]

et :

\[\frac{(10 \ m_k)^2}{n_{k+1}^2} = \frac{(10 \ m_k)^2}{(10 \ n_k)^2} = \frac{100 \ m_k^2}{100 \ n_k^2} = \frac{m_k^2}{n_k^2} \ge 2\]

On en déduit que :

\[10 \ m_k \in \accolades{p \in \setN : \frac{p^2}{n_{k+1}^2} \ge 2}\]

On conclut de ce résultat et du caractère de minimum de \(m_{k+1}\) que :

\[m_{k+1} \le 10 \ m_k\]

et :

\[y_{k+1} = \frac{m_{k+1}}{n_{k+1}} \le \frac{10 \ m_k}{n_{k+1}} = \frac{10 \ m_k}{10 \ n_k} = \frac{m_k}{n_k} = y_k\]

On en conclut que :

\[y_0 \ge y_1 \ge y_2 \ge ...\]

On a donc \(y_i \le y_j\) pour tout \(i,j \in \setN\) vérifiant \(i \ge j\), la suite des \(y_k\) est décroissante.

1.4.4 Cadre

Comme \(m_k\) est le minimum de \(B_k\), on a :

\[y_k^2 = \frac{m_k^2}{n_k^2} \ge 2\]

et :

\[\parentheses{\frac{m_k - 1}{n_k}}^2 \strictinferieur 2\]

On a :

\[\parentheses{\frac{m_k - 1}{n_k}}^2 = \parentheses{y_k - \frac{1}{n_k}}^2\]

En développant le binôme, on arrive à :

\[\parentheses{\frac{m_k - 1}{n_k}}^2 = y_k^2 - \frac{2 \ y_k}{n_k} + \frac{1}{n_k^2}\]

On a donc l'inégalité :

\[y_k^2 - \frac{2 \ y_k}{n_k} + \frac{1}{n_k^2} \strictinferieur 2\]

qui nous donne la borne inférieure :

\[y_k^2 \strictinferieur 2 + \parentheses{\frac{2 \ y_k}{n_k} - \frac{1}{n_k^2}}\]

Posons :

\[\delta_k = \frac{2 \ y_k}{n_k} - \frac{1}{n_k^2}\]

Comme :

\[\frac{1}{n_k^2} \strictsuperieur 0\]

on a :

\[\delta_k \le \frac{2 \ y_k}{n_k}\]

Comme \(y_k \le y_0 = 2\), on a :

\[\delta_k \le \frac{2 \cdot 2}{n_k} = \frac{4}{n_k}\]

On a finalement la borne supérieure :

\[y_k^2 \strictinferieur 2 + \delta_k \le 2 + \frac{4}{n_k}\]

Posons :

\[\gamma_k = \frac{4}{n_k}\]

On a l'encadrement :

\[2 \le y_k^2 \strictinferieur 2 + \gamma_k\]

1.4.5 Bornes d'une différence

Soit \(i,j \in \setN\) tels que \(i \le j\). On dispose des bornes :

\[2 \le y_i^2 \strictinferieur 2 + \gamma_i\] \[2 \le y_j^2 \strictinferieur 2 + \gamma_j\]

En évaluant la différence de :

\[y_i^2 \strictinferieur 2 + \gamma_i\]

\[y_j^2 \ge 2\]

on arrive à la majoration :

\[y_i^2 - y_j^2 \le 2 + \gamma_i - 2 = \gamma_i\]

Comme la suite est croissante, on a \(y_i \ge y_j\). Comme la fonction \(f : x \mapsto x^2\) est croissante sur l'ensemble des rationnels positifs, on a également :

\[y_i^2 \ge y_j^2\]

ou :

\[y_i^2 - y_j^2 \ge 0\]

On a donc finalement :

\[\abs{y_i^2 - y_j^2} = y_i^2 - y_j^2 \le \gamma_i\]

1.4.6 Factorisation

On a la factorisation :

\[y_i^2 - y_j^2 = (y_i - y_j) \cdot (y_i + y_j)\]

Comme :

\[y_i,y_j \ge 1\]

leur somme vérifie l'inégalité :

\[y_i + y_j \ge 1 + 1 = 2\]

La différence des carrés est donc minorée par :

\[y_i^2 - y_j^2 = (y_i - y_j) \cdot (y_i + y_j) \ge (y_i - y_j) \cdot 2\]

En divisant par \(2\), on obtient :

\[y_i - y_j \le \frac{1}{2} \ \parentheses{y_i^2 - y_j^2}\]

Comme la suite est croissante, on a \(y_i \ge y_j\) et :

\[y_i - y_j \ge 0\]

Donc :

\[\abs{y_i - y_j} = y_i - y_j\]

Comme la fonction \(f : x \mapsto x^2\) est croissante sur l'ensemble des rationnels positifs, on a également :

\[y_i^2 \ge y_j^2\]

ou :

\[y_i^2 - y_j^2 \ge 0\]

Donc :

\[\abs{y_i^2 - y_j^2} = y_i^2 - y_j^2\]

On a donc :

\[\abs{y_i - y_j} \le \frac{1}{2} \ \abs{y_i^2 - y_j^2} \le \frac{\gamma_i}{2}\]

1.4.7 Suite de Cauchy

Soit \(\epsilon \strictsuperieur 0\). Comme :

\[\lim_{k \to \infty} \gamma_k = \lim_{k \to \infty} \frac{4}{n_k} = \lim_{k \to \infty} \frac{4}{10^k} = 0\]

on peut trouver un naturel \(K\) tel que :

\[\abs{\gamma_k} = \abs{\gamma_k - 0} \le \epsilon\]

pour tout naturel \(k\) vérifiant \(k \ge K\). On note que :

\[\gamma_k = \frac{4}{10^k} \le \frac{4}{10^K} = \gamma_K\]

Si \(i,j \in \setN\) vérifient \(i,j \ge K\), on a donc :

\[\abs{y_i - y_j} \le \frac{1}{2} \ \max \{ \gamma_i, \gamma_j \} \le \gamma_K \le \epsilon\]

La suite des \(y_k\) est de Cauchy.

1.4.8 Erreur

On déduit du cadre de \(y_k\) que :

\[e_k = y_k^2 - 2 \strictinferieur \gamma_k\]

Comme on a également \(y_k^2 \ge 2\) par définition des \(m_k\), on a aussi \(e_k \ge 0\) et :

\[\abs{e_k - 0} = \abs{e_k} = e_k \le \gamma_k\]

La suite des \(\gamma_k\) convergeant vers zéro, on en déduit que :

\[\lim_{k \to \infty} e_k = 0\]

1.4.9 Convergence

Soit \(\epsilon \strictsuperieur 0\). L'erreur convergeant vers zéro, on peut trouver un \(K \in \setN\) tel que :

\[\distance(y_k^2,2) = \abs{y_k^2 - 2} = \abs{e_k} = \abs{e_k - 0} \le \epsilon\]

pour tout naturel \(k\) vérifiant \(k \ge K\). On en déduit que :

\[\lim_{k \to \infty} y_k^2 = 2\]

1.4.10 Infimum

Soit l'ensemble :

\[Y = \accolades{Y_k^2 : k \in \setN}\]

On sait déjà que :

\[y_k^2 = \frac{m_k^2}{n_k^2} \ge 2\]

pour tout \(k \in \setN\). On en conclut que :

\[Y \ge 2\]

Pour tout rationnel \(u \le 2 \le Y\), on a :

\[u \in \minor Y\]

On en déduit que :

\[\{ u \in \setQ : u \le 2 \} \subseteq \minor Y\]

Soit un rationnel \(v \strictsuperieur 2\). Posons :

\[\delta = v - 2 \strictsuperieur 0\]

On choisit un rationnel \(\epsilon\) vérifiant :

\[0 \strictinferieur \epsilon \strictinferieur \delta\]

Comme la suite \(k \mapsto y_k^2\) converge vers \(2\), on peut trouver un naturel \(K\) tel que :

\[\abs{y_k^2 - 2} = y_k^2 - 2 \le \epsilon\]

pour tout naturel \(k\) vérifiant \(k \ge K\). On a alors :

\[y_k^2 \le 2 + \epsilon \strictinferieur 2 + \delta = v\]

Donc :

\[v \notin \minor Y\]

On a donc :

\[\minor Y = \{ u \in \setQ : u \le 2 \}\]

et :

\[\inf \accolades{y_k^2 : k \in \setN} = \max \{ u \in \setQ : u \le 2 \} = 2\]

1.5 Équivalence

On sait que :

\[x_k = \frac{M_k}{n_k} \le \frac{M_k + 1}{n_k} = \frac{m_k}{n_k} = y_k\]

pour tout \(k \in \setN\). Donc :

\[y_k - x_k \ge 0\]

et :

\[\abs{y_k - x_k} = y_k - x_k\]

On a aussi \(x_k^2 \le y_k^2\) et :

\[\abs{y_k^2 - x_k^2} = y_k^2 - x_k^2\]

En soustrayant les inégalités :

\[y_k^2 \le 2 + \gamma_k\] \[x_k^2 \ge 2 - \alpha_k\]

on obtient :

\[y_k^2 - x_k^2 \le (2 + \gamma_k) - (2 - \alpha_k) = \gamma_k + \alpha_k\]

Posons :

\[\varpi_k = \gamma_k + \alpha_k = \frac{4}{n_k} + \frac{5}{n_k} = \frac{9}{n_k}\]

On a :

\[\abs{y_k^2 - x_k^2} \le \varpi_k\]

Comme \(y_k \ge x_k \ge x_0 = 1\), on a :

\[y_k + x_k \ge 1 + 1 = 2\]

La factorisation :

\[y_k^2 - x_k^2 = (y_k - x_k) \cdot (y_k + x_k) \ge (y_k - x_k) \cdot 2\]

nous donne la borne :

\[\abs{y_k - x_k} \le \frac{\abs{y_k^2 - x_k^2}}{2} \le \frac{\varpi_k}{2}\]

Comme :

\[\lim_{k \to \infty} \varpi_k = \lim_{k \to \infty} \frac{9}{n_k} = 0\]

on en déduit que :

\[\lim_{k \to \infty} \abs{y_k - x_k} = 0\]

et :

\[\lim_{k \to \infty} (x_k - y_k) = 0\]

1.6 Conclusion

La racine de deux n'existe pas dans l'ensemble des rationnels, mais on peut trouver des suites de rationnels de Cauchy, croissante et majorée :

\[1 = x_0 \le x_1 \le ... \le x_k \le ... \le 2\]

ou décroissante et minorée :

\[2 = y_0 \ge y_1 \ge ... \ge y_k \ge ... \ge 1\]

dont les carrés convergent vers \(2\) :

\[\lim_{k \to \infty} x_k^2 = \lim_{k \to \infty} y_k^2 = 2\]

On a également les propriétés extrémales :

\[\sup \accolades{x_k^2 : k \in \setN} = \inf \accolades{y_k^2 : k \in \setN} = 2\]

et l'équivalence :

\[\lim_{k \to \infty} (x_k - y_k) = 0\]

On aimerait en déduire que les suites convergent et que :

\[\sqrt{2} = \lim_{k \to \infty} x_k = \lim_{k \to \infty} y_k = \sup \accolades{x_k : k \in \setN} = \inf \accolades{y_k : k \in \setN}\]

Malheureusement, ces limites et extrema n'existent pas dans l'ensemble des rationnels. Nous sommes donc amenés à associer au nombre \(\sqrt{2}\) des ensembles associés à ces suites. La généralisation de ces propriétés nous mène à la construction des nombres réels.

Auteur: chimay

Created: 2019-10-01 mar 12:33

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