Eclats de vers : Matemat 04 : Suites - 5

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1 Réels

1.1 Dépendances

  • Chapitre \ref{chap:naturels} : Les nombres naturels
  • Chapitre \ref{chap:entiers} : Les nombres entiers
  • Chapitre \ref{chap:rationnels} : Les nombres rationnels

1.2 Suites

On note \(\mathfrak{C}^\top\) l'ensemble des suites de Cauchy rationnelles croissantes, \(\mathfrak{C}^\bot\) l'ensemble des suites de Cauchy rationnelles décroissantes et :

\[\mathfrak{C} = \mathfrak{C}^\top \cup \mathfrak{C}^\bot\]

l'ensemble des suites de Cauchy rationnelles monotones.

1.2.1 Équivalence

\[\mathcal{E}^\top(s) = \accolades{t \in \mathfrak{C}^\top : s \equiv t}\]

\[\mathcal{E}^\top(s) = \accolades{t \in \mathfrak{C}^\top : \lim_n (s_n - t_n) = 0}\]

\[\mathcal{E}^\bot(s) = \accolades{t \in \mathfrak{C}^\bot : s \equiv t}\]

\[\mathcal{E}^\bot(s) = \accolades{t \in \mathfrak{C}^\bot : \lim_n (s_n - t_n) = 0}\]

\[\mathcal{E}(s) = \accolades{t \in \mathfrak{C} : s \equiv t}\]

\[\mathcal{E}(s) = \accolades{t \in \mathfrak{C} : \lim_n (s_n - t_n) = 0}\]

1.3 Ensembles

\[\lambda(u) = \{ v \in \setQ : v \le u \}\]

\[\theta(u) = \{ v \in \setQ : v \ge u \}\]

\[s : \setN \mapsto \setQ\]

\[s : n \mapsto s_n\]

\[\Lambda(s) = \sup_\subseteq \{ \lambda(s_n) : n \in \setN \}\]

\[\Lambda(s) = \bigcup_{n \in \setN} \lambda(s_n) = \bigcup_{n \in \setN} \{ v \in \setQ : v \le s_n \}\]

\[\Theta(s) = \inf_\subseteq \{ \theta(s_n) : n \in \setN \}\]

\[\Theta(s) = \bigcap_{n \in \setN} \theta(s_n) = \bigcap_{n \in \setN} \{ v \in \setQ : v \ge s_n \}\]

1.4 Séparation

On aimerait bien étendre \(\setQ\) en construisant un ensemble qui contienne la solution \(r\) d'équations telles que \(r^2 = 2\). Notons que si \(r^2 = 2\) et que l'on veut garder dans cet ensemble étendu les propriétés des rationnels, on doit également avoir \((-r)^2 = r^2 = 2\). Il y aurait donc deux solutions. Nous allons étudier séparément la solution liée aux rationnels positifs. Soit la fonction \(f : \setQ \mapsto \setQ\) définie par :

\( f(x) =

\begin{cases} 0 & \text{ si } x \le 0 \\ x^2 & \text{ si } x \strictsuperieur 0 \end{cases}

\)

pour tout \(x \in \setQ\). On part de la constatation que, si la solution de \(f(x) = 2\) n'existe pas dans \(\setQ\), l'équation « sépare » les rationnels en deux catégories : les \(x\) tels que \(f(x) \strictinferieur 2\) et les \(y\) tels que \(f(y) \strictsuperieur 2\). Considérons l'ensemble :

\[R = \{ x \in \setQ : f(x) \strictinferieur 2 \}\]

Plus on augmente la valeur de \(x \in R\), plus l'erreur \(e = 2 - x^2 \strictsuperieur 0\) diminue. On a par conséquent envie de dire que la solution \(r\) est le plus grand des éléments de \(R\). Mais comme ni le maximum ni le supremum n'existent au sens de l'ordre \(\le\), nous le considérons plutôt au sens de l'inclusion ensembliste \(\subseteq\) sur les sous-ensembles de \(R\) :

\[r \equiv \sup_\subseteq \sousens(R) = R\]

Nous sommes donc amenés à associer un sous-ensemble \(R\) des rationnels à chaque élément \(r\) de l'ensemble que nous désirons construire. Mais nous n'allons pas prendre n'importe quel sous-ensemble de \(\setQ\) : on désire que les sous-ensembles acceptés vérifie des propriétés analogues à notre \(R\) particulier. Or, pour tout \(x \in R\), l'ensemble :

\[\Lambda(x) = \{ y \in \setQ : y \strictinferieur x \}\]

est inclus dans \(R\). Cette propriété est à la base de la construction des réels.

1.5 Définition

On nomme réel tout nombre \(r\) associé à un sous-ensemble \(R \subseteq \setQ\) tel que :

  • \(R \ne \emptyset\)
  • Il existe un \(\mu \in \setQ\) tel que \(R \le \mu\)
  • Pour tout \(x \in R\) et \(y \in \setQ\) tel que \(y \strictinferieur x\), on a \(y \in R\) :

\[\Lambda(x) = \{ y \in \setQ : y \strictinferieur x \} \subseteq R\]

  • Le maximum de \(R\) n'existe pas.

On note \(\setR\) l'ensemble des réels.

1.5.1 Corollaire

Si le rationnel \(x \in \setQ\) n'appartient pas à \(R\), on a \(y \notin R\) pour tout \(y \in \setQ\) vérifiant \(y \strictsuperieur x\) (dans le cas contraire, on aurait \(x \notin R\) avec \(x \strictinferieur y\) et \(y \in R\), ce qui contredit la définition des réels).

1.5.2 Notation

Pour tout réel \(r\) associé au sous-ensemble de rationnels \(R\), on note bien entendu :

\[r = \sup R\]

1.6 Inclusions

On peut associer à tout rationnel \(x \in \setQ\) un ensemble \(\Lambda(x)\). Or, on a clairement \(\Lambda(x) \ne \emptyset\) et \(\Lambda(x) \le x\). Soit \(s \in \Lambda(x)\). On a \(\Lambda(s) \subseteq \Lambda(x)\). On peut aussi trouver un \(t \in \Lambda(x)\) tel que \(s \strictinferieur t \strictinferieur x\). Donc, \(s\) ne peut pas être le maximum de \(\Lambda(x)\). On en conclut que tout rationnel \(x\) correspond au réel associé à \(\Lambda(x)\). Les entiers pouvant être considérés comme des cas particuliers de rationnels et les naturels comme des cas particuliers d'entiers, on a donc finalement : \(\setN \subseteq \setZ \subseteq \setQ \subseteq \setR\).

1.7 Ordre

L'ordre sur les réels découle directement de l'ordre \(\subseteq\) sur les ensembles. Soit \(r \in \setR\) associé au sous-ensemble \(R \subseteq \setQ\) et \(s \in \setR\) associé au sous-ensemble \(S \subseteq \setQ\). On dit que \(r\) est plus petit que \(s\) et on le note :

\[r \le s\]

si et seulement si \(R\) est inclus dans \(S\) :

\[R \subseteq S\]

1.7.1 Totalité

Supposons que pour tout \(x \in R\), on ait \(x \in S\). On a alors \(R \subseteq S\) et \(r \le s\) par définition. Inversément, supposons que l'on puisse trouver un \(x \in R\) tel que \(x \notin S\). Tous les rationnels \(z \in \setQ\) tels que \(z = x\) ou \(z \strictsuperieur x\) vérifient \(z \notin S\). Par conséquent, si \(y \in S\), on doit avoir \(y \strictinferieur x\). Mais, par définition des réels et comme \(x \in R\), on doit aussi avoir \(y \in R\). On en conclut que \(S \subseteq R\), et donc \(s \le r\).

Pour tout couple de réels \((r,s) \in \setR^2\), on a donc soit \(r \le s\), soit \(s \le r\). L'ordre ainsi défini est donc total.

1.7.2 Ordre strict

On a également l'analogue pour l'ordre et l'inclusion stricts :

\[r \strictinferieur s \quad \Leftrightarrow \quad R \subset S\]

Ce qui revient à dire que \(r \strictinferieur s\) si et seulement si \(r \le s\) et \(r \ne s\).

1.8 Addition

L'addition de \(r \in \setR\) associé à \(R\) et de \(s \in \setR\) associé à \(S\) est définie par :

\[r + s \equiv \{ x + y \in \setQ : x \in R, \ y \in S \}\]

1.9 Neutre additif

Soit \(0 \in \setQ\) et le sous-ensemble de rationnel correspondant :

\[Z = \{ x \in \setQ : x \strictinferieur 0 \}\]

Soit \(r \in \setR\) associé à l'ensemble \(R\) et l'ensemble \(S = R + Z\) associé à l'addition \(r + 0\).

Tout \(s \in S\) peut s'écrire sous la forme \(s = x + z\), pour un certain \(x \in R\) et un certain \(z \in Z\). Si \(z = 0\), on a bien évidemment \(s = x \in R\). Sinon, \(z \strictinferieur 0\) et \(s \strictinferieur x\), d'où \(s \in R\) par définition des réels. On a donc \(S \subseteq R\).

Réciproquement, soit un rationnel \(x \in R\). Si on avait \(y \le x\) pour tout \(y \in R\), notre \(x\) serait le maximum de \(R\), ce qui n'est pas possible par définition des réels. On peut donc trouver un \(y \in R\) tel que \(x \strictinferieur y\). Le rationnel \(d = x - y\) est strictement négatif et appartient donc à \(Z\). On en déduit que :

\[x = x - y + y = d + y\]

où \(d \in Z\) et \(y \in R\). Donc, \(x \in S\) et \(R \subseteq S\).

La double inclusion nous montre alors que \(R = S\), autrement dit que \(r + 0 = r\). L'élement neutre pour l'addition, noté \(0 \in \setR\), est donc associé à l'ensemble des rationnels strictement négatifs :

\[0 \equiv \{ x \in \setQ : x \strictinferieur 0 \}\]

1.10 Positifs et négatifs

On définit les ensembles des réels positifs et négatifs par :

\( \setR^+ = \{ x \in \setR : x \ge 0 \} \\ \setR^- = \{ x \in \setR : x \le 0 \} \)

1.11 Signe

La fonction signe est définie par :

\( \signe(x) =

\begin{cases} 1 & \text{ si } x \ge 0 \\ -1 & \text{ si } x \strictinferieur 0 \end{cases}

\)

pour tout \(x \in \setR\)

1.12 Opposé

Soit \(r \in \setR\). On aimerait bien trouver l'opposé \(-r \in \setR\) tel que :

\[r + (-r) = (-r) + r = 0\]

Si \(r \in \setQ\), on a simplement :

\[-r \equiv \Lambda(-r) = \{ x \in \setQ : x \strictinferieur -r \}\]

Si \(r \in \setR \setminus \setQ\), on définit l'association :

\[-r \equiv \{ -x : x \in \setQ \setminus R \}\]

ou \(R \subseteq \setQ\) est l'ensemble de rationnels associé à \(r\).

1.13 Soustraction

On définit la soustraction par :

\[r - s = r + (-s)\]

pour tout \(r,s \in \setR\).

1.14 Valeur absolue

La valeur absolue d'un réel \(r \in \setR\) est définie par :

\[\abs{r} = \sup \{ -r , r \}\]

1.14.1 Propriétés

On a clairement \(\abs{-r} = \abs{r}\). Si \(r \ge 0\), on a \(\abs{r} = r \ge 0\). Si \(r \strictinferieur 0\), on a \(\abs{r} = -r \strictsuperieur 0\). On en conclut que \(\abs{r} \ge 0\) pour tout \(r \in \setR\). Si \(\abs{r} = 0\), on a soit \(r = 0\) ou \(-r = 0\). On en conclut que \(r = 0\). Enfin, choisissons \(r,s \in \setR\) :

  • Si \(r,s \ge 0\), on a \(\abs{r + s} = r + s\).
  • Si \(r \ge 0\) et \(s \strictinferieur 0\), on a \(\abs{r + s} \le \max\{ \abs{r} , \abs{s} \} \le \abs{r} + \abs{s}\).
  • Si \(r \strictinferieur 0\) et \(s \ge 0\), on a \(\abs{r + s} \le \max\{ \abs{r} , \abs{s} \} \le \abs{r} + \abs{s}\).
  • si \(r,s \strictinferieur 0\), on a \(\abs{r + s} = (-r) + (-s) = \abs{r} + \abs{s}\).

On en conclut que \(\abs{r + s} \le \abs{r} + \abs{s}\) pour tout \(r,s \in \setR\).

1.15 Distance

On définit une distance sur \(\setR\) par :

\[\distance(x,y) = \abs{x - y}\]

On a bien \(\distance(x,y) \ge 0\). La condition \(\distance(x,y) = 0\) implique que \(\abs{x - y}\), donc \(x - y = 0\) et \(x = y\). Enfin :

\begin{align} \distance(x,z) &= \abs{x - z} \\ &\le \abs{x - y} + \abs{y - z} \\ &\le \distance(x,y) + \distance(y,z) \end{align}

1.16 Arrondis

L'arrondi inférieur d'un réel \(x \in \setR\) associé à \(X\) est le plus grand entier dont l'ensemble associé est inclus dans \(X\) :

\[\arrondiinf{x} = \sup \{ n \in \setZ, \ \Lambda(n) \subseteq X \}\]

L'arrondi supérieur est le plus petit entier dont l'ensemble associé inclut \(X\) :

\[\arrondisup{x} = \inf \{ n \in \setZ, \ X \subseteq \Lambda(n) \}\]

1.16.1 Eloignement

Supposons que :

\[\abs{\arrondiinf{x} - x} \ge 1\]

on aurait :

\( x - \arrondiinf{x} \ge 1 \\ x \ge \arrondiinf{x} + 1 \)

avec \(\arrondiinf{x} + 1\) entier, ce qui contredit l'hypothèse de supremum de l'arrondi inférieur. On déduit l'analogue pour l'arrondi supérieur. On a donc :

\[\max\{ \abs{\arrondisup{x} - x} , \abs{\arrondiinf{x} - x} \} \strictinferieur 1\]

1.17 Suites convergentes

Soit \(r \in \setR\), l'entier \(m \in \setZ\) et le naturel \(n \in \setN\) tel que \(n \ne 0\). On considère la suite des rationnels \(x_n \in \setQ\) définis par :

\[x_n = \frac{m}{2^n}\]

On va tenter de choisir \(m\) pour que :

\[\abs{ \frac{m}{2^n} - r} \le \frac{1}{2^n}\]

Cette inégalité est équivalente à :

\( \frac{m}{2^n} - r \le \frac{1}{2^n} \\ r - \frac{m}{2^n} \le \frac{1}{2^n} \)

En multipliant par \(2^n\), on en déduit que :

\[r \cdot 2^n - 1 \le m \le r \cdot 2^n + 1\]

Il suffit donc de prendre :

\[m \in \{ \arrondisup{r \cdot 2^n} , \arrondiinf{r \cdot 2^n} \}\]

pour satisfaire la contrainte demandée. La suite des \(x_n\) converge vers \(r\) puisque :

\[\lim_{n \to \infty} \abs{x_n - r} = 0\]

On le note :

\[\lim_{n \to \infty} x_n = r\]

On peut donc également identifier tout réel à une suite de rationnels qui converge vers lui.

1.17.1 Opération

On peut se servir de ce résultat pour étendre une opération \(\divideontimes\) définie sur \(\setQ\). Soit \(r,s \in \setR\) et les suites de rationnels \(x_i,y_i \in \setQ\) convergent respectivement vers \(r\) et \(s\) :

\( \lim_{n \to \infty} x_n = r \\ \lim_{n \to \infty} y_n = s \)

On définit alors :

\[r \divideontimes s = \lim_{n \to \infty} \left[ x_n \divideontimes y_n \right]\]

1.18 Multiplication

Soit \(r,s \in \setR\). et les suites de rationnels \(x_n\) et \(y_n\) vérifiant :

\( \lim_{n \to \infty} x_n = r \\ \lim_{n \to \infty} y_n = s \)

On définit la multiplication par :

\[r \cdot s = \lim_{n \to \infty} x_n \cdot y_n\]

1.19 Inverse

L'inverse d'un réel \(r \in \setR\) est le réel \(r^{-1}\) tel que :

\[r \cdot r^{-1} = r^{-1} \cdot r = 1\]

1.20 Division

Soit \(r,s \in \setR\) avec \(s \ne 0\). On définit la division de \(r\) par \(s\) par :

\[\frac{r}{s} = r \cdot s^{-1}\]

1.21 Puissance

Soit \(x \in \setR\) et \(n \in \setN\). La puissance de \(x\) est comme d'habitude :

\( x^0 = 1 \\ x^n = x \cdot x^{n - 1} \)

Les puissances négatives sont données par :

\[x^{-n} = \left( x^{-1} \right)^n\]

Comme l'inverse d'une puissance est la puissance de l'inverse, on a aussi :

\[x^{-n} = \left( x^n \right)^{-1}\]

1.22 Racines

Soit \(x \in \setR\) et \(n \in \setN\). On dit que \(z\) est la \(n^{ième}\) racine de \(x\) si :

\[z^n = x\]

On note alors indifféremment :

\[z = x^{1/n} = \sqrt[n]{x}\]

Un cas particulier important est celui de la racine carrée :

\[\sqrt{x} = \sqrt[2]{x} = x^{1/2}\]

1.23 Unicité

1.23.1 Amplitude

Soit \(x,y,z \in \setR\) avec \(x,y \ge 0\) et \(n \in \setN\). Il est clair que si \(x \ne y\), on a forcément \(x^n \ne y^n\). On en conclut que si \(x\) et \(y\) sont tels que \(x^n = y^n\), on a forcément \(x = y\). Les racines sont uniques sur \(\setR^+\).

1.23.2 Signe

Soit \(x \in \setR\). On a :

\[x^2 = (-x)^2\]

Par conséquent, \(x\) et \(-x\) sont des racines carrées de \(z = x^2\). Pour conserver l'unicité on impose que :

\[\sqrt{z} = \abs{x} \ge 0\]

Il en va de même pour les puissances paires \(2 n\), où \(n \in \setN\) car :

\[x^{2 n} = \left( x^2 \right)^n = \left( (-x)^2 \right)^n = (-x)^{2 n}\]

Par contre, pour les puissances impaires :

\[x^{2 n + 1} = \left( x^2 \right)^n \cdot x = - \left( (-x)^2 \right)^n \cdot (-x) = - (-x)^{2 n + 1}\]

Le signe n'est pas ambigu. En résumé, on a :

\( \sqrt[2 n]{ x^{2 n} } = \abs{x} \\ \sqrt[2 n + 1]{ x^{2 n + 1} } = x \)

1.24 Racine d'un produit

Soit \(n \in \setN\) et \(a,b,x,y \in \setR\) avec :

\( a^n = x \\ b^n = y \)

On a :

\[a^n \cdot b^n = a \cdot ... \cdot a \cdot b \cdot ... \cdot b = a \cdot b \cdot ... \cdot a \cdot b = (a \cdot b)^n\]

On en déduit que :

\[\sqrt[n]{a^n \cdot b^n} = a \cdot b\]

c'est-à-dire :

\[\sqrt[n]{x \cdot y} = \sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y} = (x \cdot y)^{1/n} = x^{1/n} \cdot y^{1/n}\]

La racine d'un produit est égale au produit des racines.

1.25 Racine d'une racine

Soit \(m,n \in \setN\) et \(a,b,c \in \setR\) avec :

\( a^m = b \\ b^n = c \)

On voit que :

\[a = b^{1/m} = \left( c^{1/n} \right)^{1/m}\]

Mais on aussi :

\[a^{m \cdot n} = \left( a^m \right)^n = b^n = c\]

donc :

\[a = c^{ 1/(m \cdot n) }\]

On en déduit finalement que :

\[\left( c^{1/n} \right)^{1/m} = c^{ 1/(m \cdot n) }\]

1.26 Puissances fractionnaires

Soit \(x \in \setR\) et \(m,n \in \setN\). On définit les puissances fractionnaires par :

\( x^{m/n} = \left( x^{1/n} \right)^m \\ x^{-m/n} = \left( x^{1/n} \right)^{-m} = \frac{1}{x^{m/n}} \)

Comme la racine d'un produit est égale au produit des racines, on a aussi :

\( x^{m/n} = \left( x^m \right)^{1/n} \\ x^{-m/n} = \left( x^{-m} \right)^{1/n} = \frac{1}{x^{m/n}} \)

1.27 Somme en exposant

Soit \(a,b \in \setZ\) et \(x \in \setR\). Posons :

\[z = x^{ 1/(b \cdot d) }\]

On a alors :

\( x^{1/b} = z^d \\ x^{1/d} = z^b \)

On voit que :

\[x^{a/b} \cdot x^{c/d} = \left( z^d \right)^a \cdot \left( z^b \right)^c = z^{a \cdot d} \cdot z^{b \cdot c} = z^{a \cdot d + b \cdot c}\]

c'est-à-dire :

\[x^{a/b} \cdot x^{c/d} = x^{ \frac{a \cdot d + b \cdot c}{b \cdot d} }\]

qui n'est rien d'autre que :

\[x^{a/b} \cdot x^{c/d} = x^{ \frac{a}{b} + \frac{c}{d} }\]

1.28 Puissance d'une puissance

Soit \(a,b \in \setZ\) et \(x \in \setR\). Posons :

\[z = x^{ 1/(b \cdot d) }\]

On constate que :

\[\left( x^{a/b} \right)^{c/d} = \left( z^{a \cdot d} \right)^{c/d} = z^{a \cdot c}\]

qui n'est rien d'autre que :

\[\left( x^{a/b} \right)^{c/d} = x^{ \frac{a \cdot c}{b \cdot d} }\]

1.29 Puissance réelle

Soit \(x, s \in \setR\) et la suite de rationnels \(\{ r_1,r_2,... \}\) convergeant vers \(s\) :

\[\lim_{i \to \infty} r_i = s\]

On définit la puissance réelle par :

\[x^s = \lim_{i \to +\infty} x^{r_i}\]

1.29.1 Additivité

Les propriétés des puissances fractionnaires nous montrent que :

\( x^{r + s} = x^r \cdot x^s \\ \left( x^r \right)^s = x^{r \cdot s} \)

pour tout \(x,r,s \in \setR\).

2 Extrema réels

2.1 Dépendances

  • Chapitre \ref{chap:reel} : Les nombres réels
  • Chapitre \ref{chap:interval} : Les intervalles

2.2 Existence

Soit un sous-ensemble \(A \subseteq \setR\) avec \(A \ne \emptyset\). Pour tout réel \(x \in A\), on note \(Q(x)\) le sous-ensemble de rationnels associé.

  • Supposons que \(A\) soit majoré (\(\major A \ne \emptyset\)). Choisissons \(\mu \in \major A\) et considérons le sous-ensemble de rationnels \(Q(\mu)\) associé à \(\mu\). Comme \(\mu \ge A\) et comme l'ordre \(\le\) est dérivé de l'ordre inclusif sur les sous-ensembles de rationnels associés, on a \(Q(x) \subseteq Q(\mu)\) pour tout \(x \in A\). On en conclut que l'union \(S\) des \(Q(x)\) est inclue dans \(Q(\mu)\) :

\[S = \bigcup_{x \in A} Q(x) \subseteq Q(\mu)\]

Comme \(Q(\mu)\) est majoré, on peut trouver un rationnel \(\sigma\) tel que :

\[S \subseteq Q(\mu) \le \sigma\]

Donc \(S \le \sigma\), ce qui prouve que \(S\) est majoré. D'un autre coté, comme les \(Q(x)\) ne sont pas vides, il est clair que leur union \(S\) n'est pas vide.

Soit \(\alpha \in S\) et le rationnel \(\beta \in \setQ\) vérifiant \(\beta \strictinferieur \alpha\). On peut trouver un \(x \in A\) tel que \(\alpha \in Q(x)\). Par définition des sous-ensembles de rationnels associés aux réels, on a \(\beta \in Q(x)\), donc \(\beta\) appartient à l'union \(S\). Enfin, si \(S\) admettait un maximum \(M\), on on pourrait trouver un \(x \in A\) tel que \(M \in Q(x)\). On aurait aussi \(Q(x) \subseteq S \le M\), et donc \(Q(x) \le M\), ce qui contredit la définition des réels. On en conclut que l'ensemble \(S\) correspond à un réel \(s\). Mais on sait que le supremum inclusif est égal à l'union :

\[S = \sup_\subseteq \{ Q(x) \in \sousens(\setQ) : x \in A \} \]

L'ordre \(\le\) des réels étant dérivé de \(\subseteq\), on en conclut que le supremum de \(A\) existe et que :

\[s = \sup A\]

Nous avonc donc prouvé que tout sous-ensemble \(A\) non vide majoré de \(\setR\) admet un supremum.

  • Supposons que \(A\) soit minoré (\(\minor A \ne \emptyset\)). Choisissons \(\lambda \in \minor A\) et posons :

\[-A = \{ -x \in \setR : x \in A \}\]

Comme \(\lambda \le x\) pour tout \(x \in A\), on a \(-\lambda \ge -x\) et \(-\lambda \in \major(-A) \ne \emptyset\). L'ensemble non vide \(-A\) est donc majoré et admet un supremum \(S = \sup(-A)\). On a \(S \ge -x\) pour tout \(x \in A\), donc \(I = -S \le x\) et \(I \in \minor A\). Choisissons \(\alpha \in \minor A\). On a \(\alpha \le x\) pour tout \(x \in A\), d'où \(-\alpha \ge -x\) et \(-\alpha \in \major(-A)\). On en déduit que \(-A \le S \le -\alpha\), c'est-à-dire \(\alpha \le I \le A\). Le réel \(I = -S\) est donc l'infimum de \(A\) :

\[\inf A = - \sup(-A)\]

Nous avonc donc prouvé que tout sous-ensemble \(A\) non vide minoré de \(\setR\) admet un infimum.

2.3 Adhérence et distance

Soit \(A \subseteq \setR\) et \(r \in \setR\). Soit l'ensemble :

\[D = \{ \distance(r,x) : x \in A \}\]

  • Supposons que \(r \in \adh A\). On a alors :

\[\distance(r,A) = \inf D = 0\]

Choisissons un réel \(\delta \strictsuperieur 0\). Si on avait \(\distance(x,r) \strictsuperieur \delta\) pour tout \(x \in A\), on aurait \(0 \strictinferieur \delta \le D\), ce qui contredit l'hypothèse d'infimum nul. Donc, pour tout \(\delta \strictsuperieur 0\), on peut trouver un \(x \in A\) tel que \(\distance(x,r) \le \delta\).

  • Réciproquement, supposons que pour tout réel \(\delta \strictsuperieur 0\), on puisse trouver un \(x \in A\) tel que \(d = \distance(x,r) \le \delta\). Dans ce cas, on a \(\delta \le d \in D\). On en conclut que \(\delta \notin \minor D\). Par contre, si \(\delta \le 0\), on a \(\delta \le 0 \le D\) par positivité de la distance. On en conclut que \(\minor D = \intervallesemiouvertgauche{-\infty}{0}\), d'où :

\[\distance(r,A) = \inf D = \max \minor D = \max \intervallesemiouvertgauche{-\infty}{0} = 0\]

et \(r \in \adh A\).

2.4 Eloignement

  • Supposons à présent que le supremum \(S = \sup A\) existe et que l'on puisse trouver un \(\delta \strictsuperieur 0\) tel que :

\[\distance(S,x) = \abs{S - x} = S - x \ge \delta\]

pour tout \(x \in A\). Soit alors :

\[y = S - \frac{\delta}{2}\]

On voit que \(S \strictsuperieur y\) et que :

\[y - x = (y - S) + (S - x) \ge - \frac{\delta}{2} + \delta = \frac{\delta}{2} \strictsuperieur 0\]

pour tout \(x \in A\), c'est-à-dire \(y \ge A\). On a donc \(S \strictsuperieur y \ge A\), ce qui contredit la définition du supremum. Pour tout \(\delta \strictsuperieur 0\), on peut donc trouver un \(x \in A\) tel que \(\distance(S,x) \le \delta\). On en conclut que \(\distance(S,A) = 0\), c'est-à-dire :

\[\sup A \in \adh A\]

  • Soit l'ensemble \(A\) admettant un infimum \(I = \inf A\). Supposons que l'on puisse trouver un \(\delta \strictsuperieur 0\) tel que :

\[\distance(I,x) = \abs{I - x} = x - I \ge \delta\]

pour tout \(x \in A\). Soit alors :

\[y = I + \frac{\delta}{2}\]

On voit que \(I \strictinferieur y\) et que :

\[x - y = (x - I) + (I - y) \ge \delta - \frac{\delta}{2} = \frac{\delta}{2} \strictsuperieur 0\]

pour tout \(x \in A\), c'est-à-dire \(y \le A\). On a donc \(I \strictinferieur y \le A\), ce qui contredit la définition de l'infimum. Pour tout \(\delta \strictsuperieur 0\), on peut donc trouver un \(x \in A\) tel que \(\distance(I,x) \le \delta\). On en conclut que \(\distance(I,A) = 0\), c'est-à-dire :

\[\inf A \in \adh A\]

Auteur: chimay

Created: 2019-10-01 mar 12:32

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