Eclats de vers : Matemat 04 : Suites - 5

• Chapitre \ref{chap:naturels} : Les nombres naturels
• Chapitre \ref{chap:entiers} : Les nombres entiers
• Chapitre \ref{chap:rationnels} : Les nombres rationnels

On note \(\mathfrak{C}^\top\) l'ensemble des suites de Cauchy rationnelles croissantes, \(\mathfrak{C}^\bot\) l'ensemble des suites de Cauchy rationnelles décroissantes et :

\[\mathfrak{C} = \mathfrak{C}^\top \cup \mathfrak{C}^\bot\]

l'ensemble des suites de Cauchy rationnelles monotones.

\[\lambda(u) = \{ v \in \setQ : v \le u \}\]

\[\theta(u) = \{ v \in \setQ : v \ge u \}\]

\[s : \setN \mapsto \setQ\]

\[s : n \mapsto s_n\]

\[\Lambda(s) = \sup_\subseteq \{ \lambda(s_n) : n \in \setN \}\]

\[\Lambda(s) = \bigcup_{n \in \setN} \lambda(s_n) = \bigcup_{n \in \setN} \{ v \in \setQ : v \le s_n \}\]

\[\Theta(s) = \inf_\subseteq \{ \theta(s_n) : n \in \setN \}\]

\[\Theta(s) = \bigcap_{n \in \setN} \theta(s_n) = \bigcap_{n \in \setN} \{ v \in \setQ : v \ge s_n \}\]

On aimerait bien étendre \(\setQ\) en construisant un ensemble qui contienne la solution \(r\) d'équations telles que \(r^2 = 2\). Notons que si \(r^2 = 2\) et que l'on veut garder dans cet ensemble étendu les propriétés des rationnels, on doit également avoir \((-r)^2 = r^2 = 2\). Il y aurait donc deux solutions. Nous allons étudier séparément la solution liée aux rationnels positifs. Soit la fonction \(f : \setQ \mapsto \setQ\) définie par :

pour tout \(x \in \setQ\). On part de la constatation que, si la solution de \(f(x) = 2\) n'existe pas dans \(\setQ\), l'équation « sépare » les rationnels en deux catégories : les \(x\) tels que \(f(x) \strictinferieur 2\) et les \(y\) tels que \(f(y) \strictsuperieur 2\). Considérons l'ensemble :

\[R = \{ x \in \setQ : f(x) \strictinferieur 2 \}\]

Plus on augmente la valeur de \(x \in R\), plus l'erreur \(e = 2 - x^2 \strictsuperieur 0\) diminue. On a par conséquent envie de dire que la solution \(r\) est le plus grand des éléments de \(R\). Mais comme ni le maximum ni le supremum n'existent au sens de l'ordre \(\le\), nous le considérons plutôt au sens de l'inclusion ensembliste \(\subseteq\) sur les sous-ensembles de \(R\) :

\[r \equiv \sup_\subseteq \sousens(R) = R\]

Nous sommes donc amenés à associer un sous-ensemble \(R\) des rationnels à chaque élément \(r\) de l'ensemble que nous désirons construire. Mais nous n'allons pas prendre n'importe quel sous-ensemble de \(\setQ\) : on désire que les sous-ensembles acceptés vérifie des propriétés analogues à notre \(R\) particulier. Or, pour tout \(x \in R\), l'ensemble :

\[\Lambda(x) = \{ y \in \setQ : y \strictinferieur x \}\]

est inclus dans \(R\). Cette propriété est à la base de la construction des réels.

On nomme réel tout nombre \(r\) associé à un sous-ensemble \(R \subseteq \setQ\) tel que :

• \(R \ne \emptyset\)
• Il existe un \(\mu \in \setQ\) tel que \(R \le \mu\)
• Pour tout \(x \in R\) et \(y \in \setQ\) tel que \(y \strictinferieur x\), on a \(y \in R\) :

\[\Lambda(x) = \{ y \in \setQ : y \strictinferieur x \} \subseteq R\]

• Le maximum de \(R\) n'existe pas.

On note \(\setR\) l'ensemble des réels.

On peut associer à tout rationnel \(x \in \setQ\) un ensemble \(\Lambda(x)\). Or, on a clairement \(\Lambda(x) \ne \emptyset\) et \(\Lambda(x) \le x\). Soit \(s \in \Lambda(x)\). On a \(\Lambda(s) \subseteq \Lambda(x)\). On peut aussi trouver un \(t \in \Lambda(x)\) tel que \(s \strictinferieur t \strictinferieur x\). Donc, \(s\) ne peut pas être le maximum de \(\Lambda(x)\). On en conclut que tout rationnel \(x\) correspond au réel associé à \(\Lambda(x)\). Les entiers pouvant être considérés comme des cas particuliers de rationnels et les naturels comme des cas particuliers d'entiers, on a donc finalement : \(\setN \subseteq \setZ \subseteq \setQ \subseteq \setR\).

L'ordre sur les réels découle directement de l'ordre \(\subseteq\) sur les ensembles. Soit \(r \in \setR\) associé au sous-ensemble \(R \subseteq \setQ\) et \(s \in \setR\) associé au sous-ensemble \(S \subseteq \setQ\). On dit que \(r\) est plus petit que \(s\) et on le note :

\[r \le s\]

si et seulement si \(R\) est inclus dans \(S\) :

\[R \subseteq S\]

L'addition de \(r \in \setR\) associé à \(R\) et de \(s \in \setR\) associé à \(S\) est définie par :

\[r + s \equiv \{ x + y \in \setQ : x \in R, \ y \in S \}\]

Soit \(0 \in \setQ\) et le sous-ensemble de rationnel correspondant :

\[Z = \{ x \in \setQ : x \strictinferieur 0 \}\]

Soit \(r \in \setR\) associé à l'ensemble \(R\) et l'ensemble \(S = R + Z\) associé à l'addition \(r + 0\).

Tout \(s \in S\) peut s'écrire sous la forme \(s = x + z\), pour un certain \(x \in R\) et un certain \(z \in Z\). Si \(z = 0\), on a bien évidemment \(s = x \in R\). Sinon, \(z \strictinferieur 0\) et \(s \strictinferieur x\), d'où \(s \in R\) par définition des réels. On a donc \(S \subseteq R\).

Réciproquement, soit un rationnel \(x \in R\). Si on avait \(y \le x\) pour tout \(y \in R\), notre \(x\) serait le maximum de \(R\), ce qui n'est pas possible par définition des réels. On peut donc trouver un \(y \in R\) tel que \(x \strictinferieur y\). Le rationnel \(d = x - y\) est strictement négatif et appartient donc à \(Z\). On en déduit que :

\[x = x - y + y = d + y\]

où \(d \in Z\) et \(y \in R\). Donc, \(x \in S\) et \(R \subseteq S\).

La double inclusion nous montre alors que \(R = S\), autrement dit que \(r + 0 = r\). L'élement neutre pour l'addition, noté \(0 \in \setR\), est donc associé à l'ensemble des rationnels strictement négatifs :

\[0 \equiv \{ x \in \setQ : x \strictinferieur 0 \}\]

On définit les ensembles des réels positifs et négatifs par :

La fonction signe est définie par :

pour tout \(x \in \setR\)

Soit \(r \in \setR\). On aimerait bien trouver l'opposé \(-r \in \setR\) tel que :

\[r + (-r) = (-r) + r = 0\]

Si \(r \in \setQ\), on a simplement :

\[-r \equiv \Lambda(-r) = \{ x \in \setQ : x \strictinferieur -r \}\]

Si \(r \in \setR \setminus \setQ\), on définit l'association :

\[-r \equiv \{ -x : x \in \setQ \setminus R \}\]

ou \(R \subseteq \setQ\) est l'ensemble de rationnels associé à \(r\).

On définit la soustraction par :

\[r - s = r + (-s)\]

pour tout \(r,s \in \setR\).

La valeur absolue d'un réel \(r \in \setR\) est définie par :

\[\abs{r} = \sup \{ -r , r \}\]

On définit une distance sur \(\setR\) par :

\[\distance(x,y) = \abs{x - y}\]

On a bien \(\distance(x,y) \ge 0\). La condition \(\distance(x,y) = 0\) implique que \(\abs{x - y}\), donc \(x - y = 0\) et \(x = y\). Enfin :

\begin{align} \distance(x,z) &= \abs{x - z} \\ &\le \abs{x - y} + \abs{y - z} \\ &\le \distance(x,y) + \distance(y,z) \end{align}

L'arrondi inférieur d'un réel \(x \in \setR\) associé à \(X\) est le plus grand entier dont l'ensemble associé est inclus dans \(X\) :

\[\arrondiinf{x} = \sup \{ n \in \setZ, \ \Lambda(n) \subseteq X \}\]

L'arrondi supérieur est le plus petit entier dont l'ensemble associé inclut \(X\) :

\[\arrondisup{x} = \inf \{ n \in \setZ, \ X \subseteq \Lambda(n) \}\]

Soit \(r \in \setR\), l'entier \(m \in \setZ\) et le naturel \(n \in \setN\) tel que \(n \ne 0\). On considère la suite des rationnels \(x_n \in \setQ\) définis par :

\[x_n = \frac{m}{2^n}\]

On va tenter de choisir \(m\) pour que :

\[\abs{ \frac{m}{2^n} - r} \le \frac{1}{2^n}\]

Cette inégalité est équivalente à :

En multipliant par \(2^n\), on en déduit que :

\[r \cdot 2^n - 1 \le m \le r \cdot 2^n + 1\]

Il suffit donc de prendre :

\[m \in \{ \arrondisup{r \cdot 2^n} , \arrondiinf{r \cdot 2^n} \}\]

pour satisfaire la contrainte demandée. La suite des \(x_n\) converge vers \(r\) puisque :

\[\lim_{n \to \infty} \abs{x_n - r} = 0\]

On le note :

\[\lim_{n \to \infty} x_n = r\]

On peut donc également identifier tout réel à une suite de rationnels qui converge vers lui.

Soit \(r,s \in \setR\). et les suites de rationnels \(x_n\) et \(y_n\) vérifiant :

On définit la multiplication par :

\[r \cdot s = \lim_{n \to \infty} x_n \cdot y_n\]

L'inverse d'un réel \(r \in \setR\) est le réel \(r^{-1}\) tel que :

\[r \cdot r^{-1} = r^{-1} \cdot r = 1\]

Soit \(r,s \in \setR\) avec \(s \ne 0\). On définit la division de \(r\) par \(s\) par :

\[\frac{r}{s} = r \cdot s^{-1}\]

Soit \(x \in \setR\) et \(n \in \setN\). La puissance de \(x\) est comme d'habitude :

Les puissances négatives sont données par :

\[x^{-n} = \left( x^{-1} \right)^n\]

Comme l'inverse d'une puissance est la puissance de l'inverse, on a aussi :

\[x^{-n} = \left( x^n \right)^{-1}\]

Soit \(x \in \setR\) et \(n \in \setN\). On dit que \(z\) est la \(n^{ième}\) racine de \(x\) si :

\[z^n = x\]

On note alors indifféremment :

\[z = x^{1/n} = \sqrt[n]{x}\]

Un cas particulier important est celui de la racine carrée :

\[\sqrt{x} = \sqrt[2]{x} = x^{1/2}\]

Soit \(n \in \setN\) et \(a,b,x,y \in \setR\) avec :

On a :

\[a^n \cdot b^n = a \cdot ... \cdot a \cdot b \cdot ... \cdot b = a \cdot b \cdot ... \cdot a \cdot b = (a \cdot b)^n\]

On en déduit que :

\[\sqrt[n]{a^n \cdot b^n} = a \cdot b\]

c'est-à-dire :

\[\sqrt[n]{x \cdot y} = \sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y} = (x \cdot y)^{1/n} = x^{1/n} \cdot y^{1/n}\]

La racine d'un produit est égale au produit des racines.

Soit \(m,n \in \setN\) et \(a,b,c \in \setR\) avec :

On voit que :

\[a = b^{1/m} = \left( c^{1/n} \right)^{1/m}\]

Mais on aussi :

\[a^{m \cdot n} = \left( a^m \right)^n = b^n = c\]

donc :

\[a = c^{ 1/(m \cdot n) }\]

On en déduit finalement que :

\[\left( c^{1/n} \right)^{1/m} = c^{ 1/(m \cdot n) }\]

Soit \(x \in \setR\) et \(m,n \in \setN\). On définit les puissances fractionnaires par :

Comme la racine d'un produit est égale au produit des racines, on a aussi :

Soit \(a,b \in \setZ\) et \(x \in \setR\). Posons :

\[z = x^{ 1/(b \cdot d) }\]

On a alors :

On voit que :

\[x^{a/b} \cdot x^{c/d} = \left( z^d \right)^a \cdot \left( z^b \right)^c = z^{a \cdot d} \cdot z^{b \cdot c} = z^{a \cdot d + b \cdot c}\]

c'est-à-dire :

\[x^{a/b} \cdot x^{c/d} = x^{ \frac{a \cdot d + b \cdot c}{b \cdot d} }\]

qui n'est rien d'autre que :

\[x^{a/b} \cdot x^{c/d} = x^{ \frac{a}{b} + \frac{c}{d} }\]

Soit \(a,b \in \setZ\) et \(x \in \setR\). Posons :

\[z = x^{ 1/(b \cdot d) }\]

On constate que :

\[\left( x^{a/b} \right)^{c/d} = \left( z^{a \cdot d} \right)^{c/d} = z^{a \cdot c}\]

qui n'est rien d'autre que :

\[\left( x^{a/b} \right)^{c/d} = x^{ \frac{a \cdot c}{b \cdot d} }\]

Soit \(x, s \in \setR\) et la suite de rationnels \(\{ r_1,r_2,... \}\) convergeant vers \(s\) :

\[\lim_{i \to \infty} r_i = s\]

On définit la puissance réelle par :

\[x^s = \lim_{i \to +\infty} x^{r_i}\]

• Chapitre \ref{chap:reel} : Les nombres réels
• Chapitre \ref{chap:interval} : Les intervalles

Soit un sous-ensemble \(A \subseteq \setR\) avec \(A \ne \emptyset\). Pour tout réel \(x \in A\), on note \(Q(x)\) le sous-ensemble de rationnels associé.

• Supposons que \(A\) soit majoré (\(\major A \ne \emptyset\)). Choisissons \(\mu \in \major A\) et considérons le sous-ensemble de rationnels \(Q(\mu)\) associé à \(\mu\). Comme \(\mu \ge A\) et comme l'ordre \(\le\) est dérivé de l'ordre inclusif sur les sous-ensembles de rationnels associés, on a \(Q(x) \subseteq Q(\mu)\) pour tout \(x \in A\). On en conclut que l'union \(S\) des \(Q(x)\) est inclue dans \(Q(\mu)\) :

\[S = \bigcup_{x \in A} Q(x) \subseteq Q(\mu)\]

Comme \(Q(\mu)\) est majoré, on peut trouver un rationnel \(\sigma\) tel que :

\[S \subseteq Q(\mu) \le \sigma\]

Donc \(S \le \sigma\), ce qui prouve que \(S\) est majoré. D'un autre coté, comme les \(Q(x)\) ne sont pas vides, il est clair que leur union \(S\) n'est pas vide.

Soit \(\alpha \in S\) et le rationnel \(\beta \in \setQ\) vérifiant \(\beta \strictinferieur \alpha\). On peut trouver un \(x \in A\) tel que \(\alpha \in Q(x)\). Par définition des sous-ensembles de rationnels associés aux réels, on a \(\beta \in Q(x)\), donc \(\beta\) appartient à l'union \(S\). Enfin, si \(S\) admettait un maximum \(M\), on on pourrait trouver un \(x \in A\) tel que \(M \in Q(x)\). On aurait aussi \(Q(x) \subseteq S \le M\), et donc \(Q(x) \le M\), ce qui contredit la définition des réels. On en conclut que l'ensemble \(S\) correspond à un réel \(s\). Mais on sait que le supremum inclusif est égal à l'union :

\[S = \sup_\subseteq \{ Q(x) \in \sousens(\setQ) : x \in A \} \]

L'ordre \(\le\) des réels étant dérivé de \(\subseteq\), on en conclut que le supremum de \(A\) existe et que :

\[s = \sup A\]

Nous avonc donc prouvé que tout sous-ensemble \(A\) non vide majoré de \(\setR\) admet un supremum.

• Supposons que \(A\) soit minoré (\(\minor A \ne \emptyset\)). Choisissons \(\lambda \in \minor A\) et posons :

\[-A = \{ -x \in \setR : x \in A \}\]

Comme \(\lambda \le x\) pour tout \(x \in A\), on a \(-\lambda \ge -x\) et \(-\lambda \in \major(-A) \ne \emptyset\). L'ensemble non vide \(-A\) est donc majoré et admet un supremum \(S = \sup(-A)\). On a \(S \ge -x\) pour tout \(x \in A\), donc \(I = -S \le x\) et \(I \in \minor A\). Choisissons \(\alpha \in \minor A\). On a \(\alpha \le x\) pour tout \(x \in A\), d'où \(-\alpha \ge -x\) et \(-\alpha \in \major(-A)\). On en déduit que \(-A \le S \le -\alpha\), c'est-à-dire \(\alpha \le I \le A\). Le réel \(I = -S\) est donc l'infimum de \(A\) :

\[\inf A = - \sup(-A)\]

Nous avonc donc prouvé que tout sous-ensemble \(A\) non vide minoré de \(\setR\) admet un infimum.

Soit \(A \subseteq \setR\) et \(r \in \setR\). Soit l'ensemble :

\[D = \{ \distance(r,x) : x \in A \}\]

• Supposons que \(r \in \adh A\). On a alors :

\[\distance(r,A) = \inf D = 0\]

Choisissons un réel \(\delta \strictsuperieur 0\). Si on avait \(\distance(x,r) \strictsuperieur \delta\) pour tout \(x \in A\), on aurait \(0 \strictinferieur \delta \le D\), ce qui contredit l'hypothèse d'infimum nul. Donc, pour tout \(\delta \strictsuperieur 0\), on peut trouver un \(x \in A\) tel que \(\distance(x,r) \le \delta\).

• Réciproquement, supposons que pour tout réel \(\delta \strictsuperieur 0\), on puisse trouver un \(x \in A\) tel que \(d = \distance(x,r) \le \delta\). Dans ce cas, on a \(\delta \le d \in D\). On en conclut que \(\delta \notin \minor D\). Par contre, si \(\delta \le 0\), on a \(\delta \le 0 \le D\) par positivité de la distance. On en conclut que \(\minor D = \intervallesemiouvertgauche{-\infty}{0}\), d'où :

\[\distance(r,A) = \inf D = \max \minor D = \max \intervallesemiouvertgauche{-\infty}{0} = 0\]

et \(r \in \adh A\).

• Supposons à présent que le supremum \(S = \sup A\) existe et que l'on puisse trouver un \(\delta \strictsuperieur 0\) tel que :

\[\distance(S,x) = \abs{S - x} = S - x \ge \delta\]

pour tout \(x \in A\). Soit alors :

\[y = S - \frac{\delta}{2}\]

On voit que \(S \strictsuperieur y\) et que :

\[y - x = (y - S) + (S - x) \ge - \frac{\delta}{2} + \delta = \frac{\delta}{2} \strictsuperieur 0\]

pour tout \(x \in A\), c'est-à-dire \(y \ge A\). On a donc \(S \strictsuperieur y \ge A\), ce qui contredit la définition du supremum. Pour tout \(\delta \strictsuperieur 0\), on peut donc trouver un \(x \in A\) tel que \(\distance(S,x) \le \delta\). On en conclut que \(\distance(S,A) = 0\), c'est-à-dire :

\[\sup A \in \adh A\]

• Soit l'ensemble \(A\) admettant un infimum \(I = \inf A\). Supposons que l'on puisse trouver un \(\delta \strictsuperieur 0\) tel que :

\[\distance(I,x) = \abs{I - x} = x - I \ge \delta\]

pour tout \(x \in A\). Soit alors :

\[y = I + \frac{\delta}{2}\]

On voit que \(I \strictinferieur y\) et que :

\[x - y = (x - I) + (I - y) \ge \delta - \frac{\delta}{2} = \frac{\delta}{2} \strictsuperieur 0\]

pour tout \(x \in A\), c'est-à-dire \(y \le A\). On a donc \(I \strictinferieur y \le A\), ce qui contredit la définition de l'infimum. Pour tout \(\delta \strictsuperieur 0\), on peut donc trouver un \(x \in A\) tel que \(\distance(I,x) \le \delta\). On en conclut que \(\distance(I,A) = 0\), c'est-à-dire :

\[\inf A \in \adh A\]