Eclats de vers : Matemat 04 : Suites - 6

Index des Grimoires

Retour à l’accueil

Table des matières

\( \newcommand{\parentheses}[1]{\left(#1\right)} \newcommand{\crochets}[1]{\left[#1\right]} \newcommand{\accolades}[1]{\left\{#1\right\}} \newcommand{\ensemble}[1]{\left\{#1\right\}} \newcommand{\identite}{\mathrm{Id}} \newcommand{\indicatrice}{\boldsymbol{\delta}} \newcommand{\dirac}{\delta} \newcommand{\moinsun}{{-1}} \newcommand{\inverse}{\ddagger} \newcommand{\pinverse}{\dagger} \newcommand{\topologie}{\mathfrak{T}} \newcommand{\ferme}{\mathfrak{F}} \newcommand{\img}{\mathbf{i}} \newcommand{\binome}[2]{ \left\{ \begin{array}{c} #1 \\ #2 \\ \end{array} \right\} } \newcommand{\canonique}{\mathfrak{c}} \newcommand{\tenseuridentite}{\boldsymbol{\mathcal{I}}} \newcommand{\permutation}{\boldsymbol{\epsilon}} \newcommand{\matriceZero}{\mathfrak{0}} \newcommand{\matriceUn}{\mathfrak{1}} \newcommand{\christoffel}[2]{ \left\{ \begin{array}{c} #1 \\ #2 \\ \end{array} \right\} } \newcommand{\lagrangien}{\mathfrak{L}} \newcommand{\sousens}{\mathfrak{P}} \newcommand{\partition}{\mathrm{Partition}} \newcommand{\tribu}{\mathrm{Tribu}} \newcommand{\topologies}{\mathrm{Topo}} \newcommand{\setB}{\mathbb{B}} \newcommand{\setN}{\mathbb{N}} \newcommand{\setZ}{\mathbb{Z}} \newcommand{\setQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\setR}{\mathbb{R}} \newcommand{\setC}{\mathbb{C}} \newcommand{\corps}{\mathbb{K}} \newcommand{\boule}{\mathfrak{B}} \newcommand{\intervalleouvert}[2]{\relax \ ] #1 , #2 [ \ \relax} \newcommand{\intervallesemiouvertgauche}[2]{\relax \ ] #1 , #2 ]} \newcommand{\intervallesemiouvertdroite}[2]{[ #1 , #2 [ \ \relax} \newcommand{\fonction}{\mathbb{F}} \newcommand{\bijection}{\mathrm{Bij}} \newcommand{\polynome}{\mathrm{Poly}} \newcommand{\lineaire}{\mathrm{Lin}} \newcommand{\continue}{\mathrm{Cont}} \newcommand{\homeomorphisme}{\mathrm{Hom}} \newcommand{\etagee}{\mathrm{Etagee}} \newcommand{\lebesgue}{\mathrm{Leb}} \newcommand{\lipschitz}{\mathrm{Lip}} \newcommand{\suitek}{\mathrm{Suite}} \newcommand{\matrice}{\mathbb{M}} \newcommand{\krylov}{\mathrm{Krylov}} \newcommand{\tenseur}{\mathbb{T}} \newcommand{\essentiel}{\mathfrak{E}} \newcommand{\relation}{\mathrm{Rel}} \newcommand{\strictinferieur}{\ < \ } \newcommand{\strictsuperieur}{\ > \ } \newcommand{\ensinferieur}{\eqslantless} \newcommand{\enssuperieur}{\eqslantgtr} \newcommand{\esssuperieur}{\gtrsim} \newcommand{\essinferieur}{\lesssim} \newcommand{\essegal}{\eqsim} \newcommand{\union}{\ \cup \ } \newcommand{\intersection}{\ \cap \ } \newcommand{\opera}{\divideontimes} \newcommand{\autreaddition}{\boxplus} \newcommand{\autremultiplication}{\circledast} \newcommand{\commutateur}[2]{\left[ #1 , #2 \right]} \newcommand{\convolution}{\circledcirc} \newcommand{\correlation}{\ \natural \ } \newcommand{\diventiere}{\div} \newcommand{\modulo}{\bmod} \newcommand{\pgcd}{pgcd} \newcommand{\ppcm}{ppcm} \newcommand{\produitscalaire}[2]{\left\langle #1 \left|\right\relax #2 \right\rangle} \newcommand{\scalaire}[2]{\left\langle #1 \| #2 \right\rangle} \newcommand{\braket}[3]{\left\langle #1 \right| #2 \left| #3 \right\rangle} \newcommand{\orthogonal}{\bot} \newcommand{\forme}[2]{\left\langle #1 , #2 \right\rangle} \newcommand{\biforme}[3]{\left\langle #1 , #2 , #3 \right\rangle} \newcommand{\contraction}[3]{\left\langle #1 \odot #3 \right\rangle_{#2}} \newcommand{\dblecont}[5]{\left\langle #1 \right| #3 \left| #5 \right\rangle_{#2,#4}} \newcommand{\major}{major} \newcommand{\minor}{minor} \newcommand{\maxim}{maxim} \newcommand{\minim}{minim} \newcommand{\argument}{arg} \newcommand{\argmin}{arg\ min} \newcommand{\argmax}{arg\ max} \newcommand{\supessentiel}{ess\ sup} \newcommand{\infessentiel}{ess\ inf} \newcommand{\dual}{\star} \newcommand{\distance}{\mathfrak{dist}} \newcommand{\norme}[1]{\left\| #1 \right\|} \newcommand{\normetrois}[1]{\left|\left\| #1 \right\|\right|} \newcommand{\adh}{adh} \newcommand{\interieur}{int} \newcommand{\frontiere}{\partial} \newcommand{\image}{im} \newcommand{\domaine}{dom} \newcommand{\noyau}{ker} \newcommand{\support}{supp} \newcommand{\signe}{sign} \newcommand{\abs}[1]{\left| #1 \right|} \newcommand{\unsur}[1]{\frac{1}{#1}} \newcommand{\arrondisup}[1]{\lceil #1 \rceil} \newcommand{\arrondiinf}[1]{\lfloor #1 \rfloor} \newcommand{\conjugue}{conj} \newcommand{\conjaccent}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\division}{division} \newcommand{\difference}{\boldsymbol{\Delta}} \newcommand{\differentielle}[2]{\mathfrak{D}^{#1}_{#2}} \newcommand{\OD}[2]{\frac{d #1}{d #2}} \newcommand{\OOD}[2]{\frac{d^2 #1}{d #2^2}} \newcommand{\NOD}[3]{\frac{d^{#3} #1}{d #2^{#3}}} \newcommand{\deriveepartielle}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}} \newcommand{\dblederiveepartielle}[2]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2 \partial #2}} \newcommand{\dfdxdy}[3]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2 \partial #3}} \newcommand{\dfdxdx}[2]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2^2}} \newcommand{\gradient}{\mathbf{\nabla}} \newcommand{\combilin}[1]{\mathrm{span}\{ #1 \}} \newcommand{\trace}{tr} \newcommand{\proba}{\mathbb{P}} \newcommand{\probaof}[1]{\mathbb{P}\left[#1\right]} \newcommand{\esperof}[1]{\mathbb{E}\left[#1\right]} \newcommand{\cov}[2]{\mathrm{cov} \left( #1 , #2 \right) } \newcommand{\var}[1]{\mathrm{var} \left( #1 \right) } \newcommand{\rand}{\mathrm{rand}} \newcommand{\variation}[1]{\left\langle #1 \right\rangle} \newcommand{\composante}{comp} \newcommand{\bloc}{bloc} \newcommand{\ligne}{ligne} \newcommand{\colonne}{colonne} \newcommand{\diagonale}{diag} \newcommand{\matelementaire}{\mathrm{Elem}} \newcommand{\matpermutation}{permut} \newcommand{\matunitaire}{\mathrm{Unitaire}} \newcommand{\gaussjordan}{\mathrm{GaussJordan}} \newcommand{\householder}{\mathrm{Householder}} \newcommand{\rang}{rang} \newcommand{\schur}{\mathrm{Schur}} \newcommand{\singuliere}{\mathrm{DVS}} \newcommand{\convexe}{\mathrm{Convexe}} \newcommand{\petito}[1]{o\left(#1\right)} \newcommand{\grando}[1]{O\left(#1\right)} \)

1 Opérations sur les limites

\label{chap:operationSurLesLimites}

Soit les fonction \(f,g : \setR \mapsto \setR\) vérifiant :

\( F = \lim_{x \to a} f(x) \\ \\ G = \lim_{x \to a} g(x) \)

où \(F,G \in \setR\). Choisissons un réel \(\epsilon \strictsuperieur 0\). Pour tout \(\gamma \strictsuperieur 0\), on peut trouver un \(\delta(\gamma) \strictsuperieur 0\) tel que :

\( \distance(f(x),F) = \abs{f(x) - F} \le \gamma \\ \distance(g(x),G) = \abs{g(x) - G} \le \gamma \)

pour tout \(x \in \setR\) tel que \(\distance(x,a) = \abs{x - a} \le \delta(\gamma)\).

1.0.1 Addition

\[\abs{f(x) + g(x) - (F + G)} \le \abs{f(x) - F} + \abs{g(x) - G} = 2 \gamma\]

Il suffit donc de choisir \(\gamma = \epsilon / 2\) pour avoir \(\abs{f(x) + g(x) - (F + G)} \le \epsilon\). On en déduit que la limite de \(f + g\) est \(F + G\), c'est-à-dire :

\[\lim_{x \to a} \big[f(x) + g(x)\big] = \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x)\]

1.0.1.1 Fonction constante

Dans le cas particulier où une des deux fonctions est une constante \(G \in \setR\), soit :

\[g : x \mapsto G\]

pour tout \(x \in \setR\), on a :

\[\lim_{x \to a} g(x) = \lim_{x \to a} G = G\]

et :

\[\lim_{x \to a} \big[f(x) + G\big] = \lim_{x \to a} f(x) + G\]

1.0.2 Opposé

On a simplement :

\[\abs{\big[-g(x)\big] - (-G)} = \abs{G - g(x)} = \abs{g(x) - G} \le \gamma\]

Il suffit donc de choisir \(\gamma = \epsilon\) pour avoir \(\abs{(-g(x)) - (-G)} \le \epsilon\). On en déduit que la limite de \(-g\) est \(-G\), c'est-à-dire :

\[\lim_{x \to a} \big[-g(x)\big] = - \lim_{x \to a} g(x)\]

1.0.3 Soustraction

On a :

\begin{align} \lim_{x \to a} \big[f(x) - g(x)\big] &= \lim_{x \to a} \big[f(x) + \big(-g(x)\big)\big] \\ &= \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} \big(-g(x)\big) \\ &= \lim_{x \to a} f(x) - \lim_{x \to a} g(x) \end{align}

1.0.4 Multiplication

On voit que :

\begin{align} \abs{f(x) \cdot g(x) - F \cdot G} &= \abs{f(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot G + f(x) \cdot G - F \cdot G} \\ &= \abs{f(x) \cdot (g(x) - G) + (f(x) - F) \cdot G} \\ &\le \abs{f(x) \cdot (g(x) - G)} + \abs{(f(x) - F) \cdot G} \\ &\le \abs{f(x)} \cdot \abs{g(x) - G} + \abs{(f(x) - F)} \cdot \abs{G} \\ &\le \abs{f(x)} \cdot \gamma + \gamma \cdot \abs{G} \end{align}

Comme :

\[\abs{f(x)} = \abs{f(x) - F + F} \le \abs{f(x) - F} + F \le \gamma + \abs{F}\]

notre borne peut se réécrire :

\begin{align} \abs{f(x) \cdot g(x) - F \cdot G} &\le (\gamma + \abs{F}) \cdot \gamma + \gamma \cdot \abs{G} \\ &\le (\gamma + \abs{F} + \abs{G}) \cdot \gamma \end{align}

Si on choisit \(\gamma = \min\{ 1 , \epsilon / (1 + \abs{F} + \abs{G}) \}\), on a \(\gamma \le 1\) et :

\[\abs{f(x) \cdot g(x) - F \cdot G} \le (1 + \abs{F} + \abs{G}) \cdot \gamma \le \epsilon\]

On en déduit que la limite de \(f \cdot g\) est \(F \cdot G\), c'est-à-dire :

\[\lim_{x \to a} \big[f(x) \cdot g(x)\big] = \left[ \lim_{x \to a} f(x) \right] \cdot \left[ \lim_{x \to a} g(x) \right]\]

1.0.5 Inverse multiplicatif

Supposons que \(G \ne 0\). On a :

\begin{align} \abs{\frac{1}{g(x)} - \frac{1}{G}} &= \abs{\frac{G - g(x)}{g(x) \cdot \abs{G}}} \\ &= \frac{ \abs{G - g(x)} }{ \abs{g(x)} \cdot \abs{G} } \\ &= \frac{ \gamma }{ \abs{g(x)} \cdot \abs{G} } \\ \end{align}

On voit aussi que :

\begin{align} \abs{g(x)} = \abs{g(x) - G + G} &= \abs{G - (G - g(x))} \\ &\ge \abs{G} - \abs{G - g(x)} \\ &\ge \abs{G} - \gamma \end{align}

Donc, si \(\gamma \strictinferieur \abs{G}\), on a :

\[\abs{\frac{1}{g(x)} - \frac{1}{G}} \le \frac{ \gamma }{ (\abs{G} - \gamma) \cdot \abs{G} }\]

Nous allons voir qu'il est possible de majorer cette expression par \(\epsilon\). En effet, la condition :

\[\frac{ \gamma }{ (\abs{G} - \gamma) \cdot \abs{G} } \le \epsilon\]

est équivalente à :

\[\gamma \le \epsilon \cdot (\abs{G} - \gamma) \cdot \abs{G} = G^2 \cdot \epsilon - \epsilon \cdot \abs{G} \cdot \gamma\]

ce qui revient à dire que :

\[(1 + \epsilon \cdot \abs{G}) \cdot \gamma \le G^2 \cdot \epsilon\]

et enfin :

\[0 \strictinferieur \gamma \le \frac{G^2 \cdot \epsilon}{1 + \epsilon \cdot \abs{G}}\]

En imposant également \(\gamma \strictinferieur \abs{G}\), on obtient la condition suffisante :

\[0 \strictinferieur \gamma \strictinferieur \min\left\{ \abs{G} , \frac{G^2 \cdot \epsilon}{1 + \epsilon \cdot \abs{G}} \right\}\]

On a alors \(\abs{\frac{1}{g(x)} - \frac{1}{G}} \le \epsilon\). On en conclut que la limite de \(1/g\) est \(1/G\), c'est-à-dire :

\[\lim_{x \to a} \frac{1}{g(x)} = \frac{1}{\lim_{x \to a} g(x)}\]

1.0.6 Fraction

Toujours sous l'hypothèse que \(G \ne 0\), on a :

\[\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \left[\lim_{x \to a} f(x)\right] \cdot \left[\lim_{x \to a} \frac{1}{g(x)}\right] = \frac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x \to a} g(x)}\]

2 Limites réelles

2.1 Fonction croissante

Soit une fonction \(f : \setR \mapsto \setR\) croissante et majorée par un certain \(M \in \setR\) :

\[F = \{ f(x) \in \setR : x \in \setR \} \le M\]

Comme l'ensemble de réels \(F\) est non vide et majoré, on en conclut qu'il admet un supremum inclus dans l'adhérence :

\[S = \sup F \in \adh F\]

Choisissons un réel \(\epsilon \strictsuperieur 0\). Comme \(\distance(S,F) = 0\), on peut trouver un \(\alpha \in \setR\) tel que :

\[\distance(S,f(\alpha)) = \abs{S - f(\alpha)} \le \epsilon\]

Comme \(S \ge F\), on a \(\abs{S - f(\alpha)} = S - f(\alpha) \le \epsilon\). Soit un \(\beta \in \setR\) tel que \(\beta \ge \alpha\). La fonction \(f\) étant croissante, on a \(f(\beta) \ge f(\alpha)\), et donc :

\[\distance(S,f(\beta)) = S - f(\beta) \le S - f(\alpha) \le \epsilon\]

On en déduit que \(f(x)\) converge vers le supremum \(S\) lorsque \(x \to \infty\). Par unicité de la limite, on a :

\[\lim_{x \to +\infty} f(x) = \sup \{ f(x) \in \setR : x \in \setR \}\]

2.2 Fonction décroissante

Symétriquement, si \(g : \setR \mapsto \setR\) est une fonction décroissante et minorée par un certain \(L \in \setR\), l'ensemble non vide :

\[G = \{ g(x) \in \setR : x \in \setR \} \ge L\]

admet un infimum inclut dans l'adhérence :

\[I = \inf G \in \adh G\]

Choisissons un réel \(\epsilon \strictsuperieur 0\). Comme \(\distance(I,G) = 0\), on peut trouver un \(\alpha \in \setR\) tel que :

\[\distance(I,g(\alpha)) = \abs{I - g(\alpha)} \le \epsilon\]

Comme \(I \le F\), on a \(\abs{I - g(\alpha)} = g(\alpha) - I \le \epsilon\). Soit un \(\beta \in \setR\) tel que \(\beta \ge \alpha\). La fonction \(g\) étant décroissante, on a \(g(\beta) \le g(\alpha)\), et donc :

\[\distance(I,g(\beta)) = g(\beta) - I \le g(\alpha) - I \le \epsilon\]

On en déduit que \(g(x)\) converge vers le supremum \(I\) lorsque \(x \to \infty\). Par unicité de la limite, on a :

\[\lim_{x \to +\infty} g(x) = \inf \{ g(x) \in \setR : x \in \setR \}\]

2.3 Limites supremum et infimum

Soit une fonction \(f : \setR \mapsto \setR\) majorée et minorée. On définit la famille \(\{F(x) : x \in \setR \}\) d'ensembles non vides, majorés et minorés par :

\[F(x) = \{f(z) : z \in \setR, \ z \ge x \}\]

2.3.1 Limite supremum

Si \(x \ge y\), on a \(F(x) \subseteq F(y)\), et donc \(\sup F(x) \le \sup F(y)\). On en conclut que la fonction dérivée \(d : \setR \mapsto \setR\) définie par :

\[d(x) = \sup \{ f(z) : z \in \setR, \ z \ge x \}\]

pour tout \(x \in \setR\) est décroissante et minorée. Elle converge donc vers son infimum :

\[\lim_{x \to +\infty} d(x) = \inf_{x \in \setR} d(x) = \inf_{x \in \setR} \sup \{f(z) : z \in \setR, \ z \ge x \}\]

D'un autre coté, la définition de \(d\) implique que :

\[\lim_{x \to +\infty} d(x) = \lim_{x \to +\infty} \sup \{f(z) : z \in \setR, \ z \ge x \} = \limsup_{x \to +\infty} f(x)\]

On en conclut que :

\[\limsup_{x \to +\infty} f(x) = \inf_{x \in \setR} \sup \{f(z) : z \in \setR, \ z \ge x \}\]

2.3.2 Limite infimum

Si \(x \ge y\), on a \(F(x) \subseteq F(y)\), et donc \(\inf F(x) \ge \inf F(y)\). On en conclut que la fonction dérivée \(c : \setR \mapsto \setR\) définie par :

\[c(x) = \inf \{ f(z) : z \in \setR, \ z \ge x \}\]

pour tout \(x \in \setR\) est croissante et majorée. Elle converge donc vers son supremum :

\[\lim_{x \to +\infty} c(x) = \sup_{x \in \setR} c(x) = \sup_{x \in \setR} \inf \{f(z) : z \in \setR, \ z \ge x \}\]

D'un autre coté, la définition de \(c\) implique que :

\[\lim_{x \to +\infty} c(x) = \lim_{x \to +\infty} \inf \{f(z) : z \in \setR, \ z \ge x \} = \liminf_{x \to +\infty} f(x)\]

On en conclut que :

\[\liminf_{x \to +\infty} f(x) = \sup_{x \in \setR} \inf \{f(z) : z \in \setR, \ z \ge x \}\]

2.4 Egalité des limites sup et inf

Soit une fonction \(f : \setR \mapsto \setR\) majorée et minorée. Posons :

\( S(x) = \sup \{ f(z) : z \in \setR, \ z \ge x \} \\ I(x) = \inf \{ f(z) : z \in \setR, \ z \ge x \} \)

et choisissons un réel \(\epsilon \strictsuperieur 0\).

  • Considérons le cas particulier où les limites sup et inf sont identiques :

\[L = \limsup_{x \to +\infty} f(x) = \liminf_{x \to +\infty} f(x)\]

pour tout \(x \in \setR\). Choisissons un \(\sigma\) tel que \(\abs{S(x) - L} \le \epsilon\) pour tout \(x\) vérifiant \(x \ge \sigma\) et un \(\tau\) tel que \(\abs{I(x) - L} \le \epsilon\) pour tout \(x\) vérifiant \(x \ge \tau\). Posant \(M = \max\{\sigma,\tau\}\), il vient :

\( f(z) \le S(M) \le L + \epsilon \\ f(z) \ge I(M) \ge L - \epsilon \)

pour tout réel \(z\) vérifiant \(z \ge M\). On a alors :

\[\abs{f(z) - L} \le \epsilon\]

On en conclut que la limite de \(f\) à l'infini existe et que :

\[\lim_{x \to +\infty} f(x) = \limsup_{x \to +\infty} f(x) = \liminf_{x \to +\infty} f(x)\]

  • Inversément, supposons la limite de \(f\) à l'infini existe :

\[L = \lim_{x \to +\infty} f(x)\]

Soit un réel \(M\) tel que :

\[\abs{f(x) - L} \le \epsilon\]

pour tout réel \(x\) vérifiant \(x \ge M\). On a alors :

\[L - \epsilon \le f(x) \le L + \epsilon\]

On en déduit que :

\( S(x) \le L + \epsilon \\ I(x) \ge L - \epsilon \)

Le supremum étant supérieur à l'infimum, on a finalement :

\[L - \epsilon \le I(x) \le S(x) \le L + \epsilon\]

et donc :

\[\{ \abs{S(x) - L} , \abs{I(x) - L} \} \le \epsilon\]

On en conclut que \(S\) et \(I\) convergent vers \(L\), c'est-à-dire :

\[\limsup_{x \to +\infty} f(x) = \liminf_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} f(x)\]

2.5 Ordre et limite

Soit les fonctions \(f,g : \setR \mapsto \setR\) vérifiant \(f \le g\).

2.5.1 A l'infini

Supposons que les limites à l'infini existent :

\( \lim_{x \to +\infty} f(x) = b \\ \\ \lim_{x \to +\infty} g(x) = c \)

Supposons que \(b \strictsuperieur c\) et posons \(\epsilon = (b - c)/4 \strictsuperieur 0\). On a alors :

\[b = c + 4 \epsilon\]

On peut trouver un réel \(F\) tel que :

\[\abs{f(x) - b} \le \epsilon\]

pour tout réel \(x\) vérifiant \(x \ge F\). De même, on peut trouver un réel \(G\) tel que :

\[\abs{g(x) - c} \le \epsilon\]

pour tout réel \(x\) vérifiant \(x \ge G\). Donc, pour tout réel \(x\) vérifiant \(x \ge M = \max\{F,G\}\), on a :

\[\{ \ \abs{f(x) - b} , \ \abs{g(x) - c} \ \} \le \epsilon\]

On voit que :

\[b - \epsilon = c + 3 \epsilon \strictsuperieur c + \epsilon\]

On en déduit que :

\[f(x) \ge b - \epsilon \strictsuperieur c + \epsilon \ge g(x)\]

ce qui contredit \(f \le g\). Notre hypothèse est donc fausse et \(b \le c\), c'est-à-dire :

\[\lim_{x \to +\infty} f(x) \le \lim_{x \to +\infty} g(x)\]

2.5.2 Vers un réel

On montre par un raisonnement analogue que, si les limites de \(f,g\) en \(a\) existent, on a :

\[\lim_{x \to a} f(x) \le \lim_{x \to a} g(x)\]

2.5.3 Supremum et infimum

Pour tout \(x \in \setR\), on a :

\[\lambda(x) = \inf \{ f(z) : z \in \setR, \ z \ge x \} \le \sigma(x) = \sup \{ f(z) : z \in \setR, \ z \ge x \}\]

On en conclut que \(\lambda \le \sigma\). Leurs limites à l'infini respectent donc le même ordre. Mais comme ces limites correspondent aux limites infimum et supremum de \(f\), on a :

\[\liminf_{x \to +\infty} f(x) \le \limsup_{x \to +\infty} f(x)\]

2.6 Ordre et supremum-infimum

Soit les fonctions \(f,g : \setR \mapsto \setR\) majorées, minorées et vérifiant \(f \le g\). Posons :

\[\Theta(x) = \{ z \in \setR : z \ge x \}\]

pour tout \(x \in \setR\).

2.6.1 Supremum

Soit les fonctions \(\varphi,\gamma\) définies par :

\( \varphi(x) = \sup \{ f(z) : z \in \setR, \ z \ge x \} \\ \gamma(x) = \sup \{ g(z) : z \in \setR, \ z \ge x \} \)

pour tout \(x \in \setR\). Quel que soit le réel \(x\), on a \(f \le g\) sur \(\Theta(x)\). On en conclut que :

\[\varphi(x) = \sup f(\Theta(x)) \le \sup g(\Theta(x)) = \gamma(x)\]

ce qui revient à dire que \(\varphi \le \gamma\). On doit donc avoir :

\[\lim_{x \to +\infty} \varphi(x) \le \lim_{x \to +\infty} \gamma(x)\]

c'est-à-dire :

\[\limsup_{x \to +\infty} f(x) \le \limsup_{x \to +\infty} g(x)\]

2.6.2 Infimum

Soit les fonctions \(\varphi,\gamma\) définies par :

\( \varphi(x) = \inf \{ f(z) : z \in \setR, \ z \ge x \} \\ \gamma(x) = \inf \{ g(z) : z \in \setR, \ z \ge x \} \)

pour tout \(x \in \setR\). Quel que soit le réel \(x\), on a \(f \le g\) sur \(\Theta(x)\). On en conclut que :

\[\varphi(x) = \inf f(\Theta(x)) \le \inf g(\Theta(x)) = \gamma(x)\]

ce qui revient à dire que \(\varphi \le \gamma\). On doit donc avoir :

\[\lim_{x \to +\infty} \varphi(x) \le \lim_{x \to +\infty} \gamma(x)\]

c'est-à-dire :

\[\liminf_{x \to +\infty} f(x) \le \liminf_{x \to +\infty} g(x)\]

2.6.3 Egalité

Supposons que :

\[L = \liminf_{x \to +\infty} f(x) = \limsup_{x \to +\infty} g(x)\]

On a alors :

\[L = \liminf_{x \to +\infty} f(x) \le \limsup_{x \to +\infty} f(x) \le \limsup_{x \to +\infty} g(x) = L\]

Les limites sup et inf de \(f\) sont donc toutes deux égales à \(L\) et :

\[\lim_{x \to +\infty} f(x) = \liminf_{x \to +\infty} f(x) = \limsup_{x \to +\infty} f(x) = L\]

On a aussi :

\[L = \liminf_{x \to +\infty} f(x) \le \liminf_{x \to +\infty} g(x) \le \limsup_{x \to +\infty} g(x) = L\]

Les limites sup et inf de \(g\) sont donc toutes deux égales à \(L\) et :

\[\lim_{x \to +\infty} g(x) = \liminf_{x \to +\infty} g(x) = \limsup_{x \to +\infty} g(x) = L\]

On en conclut que les limites de \(f\) et \(g\) existent et que :

\[\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} g(x)\]

2.7 Cadre

Soit les fonctions \(f,S,I : \setR \mapsto \setR\) majorées, minorées et vérifiant \(I \le f \le S\). Supposons que :

\[L = \liminf_{x \to +\infty} I(x) = \limsup_{x \to +\infty} S(x)\]

On a alors :

\[L = \liminf_{x \to +\infty} I(x) \le \liminf_{x \to +\infty} f(x) \le \limsup_{x \to +\infty} f(x) \le \limsup_{x \to +\infty} S(x) = L\]

On en déduit que :

\[\liminf_{x \to +\infty} f(x) = \limsup_{x \to +\infty} f(x) = L\]

La limite de \(f\) existe donc et :

\[\lim_{x \to +\infty} f(x) = \liminf_{x \to +\infty} I(x) = \limsup_{x \to +\infty} S(x)\]

3 Suites de réels

\label{chap:suitesDeReels}

3.1 Monotones

Soit une suite de réels $x1 ≤ x2 ≤ x3 ≤ …$ croissante et majorée. On a alors :

\[\lim_{n \to \infty} x_n = \sup \{x_n \in \setR : n \in \setN \}\]

Soit une suite de réels $y1 ≥ y2 ≥ y3 ≥ …$ décroissante et minorée. On a alors :

\[\lim_{n \to \infty} y_n = \inf \{y_n \in \setR : n \in \setN \}\]

3.2 Limites extrémales

Soit une suite de réels \(\{u_n \in \setR : n \in \setN\}\) majorée et minorée. On a :

\[\limsup_{ n \to \infty } u_n = \inf_{n \in \setN} \sup \{u_m : m \in \setN, \ m \ge n \}\]

\[\liminf_{ n \to \infty } u_n = \sup_{n \in \setN} \inf \{u_m : m \in \setN, \ m \ge n \}\]

4 Sommes réelles

4.1 Introduction

Nous nous intéressons à des suites de réels \(A \subseteq \setR\) de la forme :

\[A = \{ a_k \in \setR : k \in \mathcal{Z} \}\]

4.1.1 Dénombrable

Supposons que \(\mathcal{Z} \subseteq \setZ\). Si les sommes partielles convergent, on définit :

\[\sum_{k \in \setN} a_k = \sum_{k = 0}^{+\infty} a_k = \lim_{n \to \infty} \sum_{k = 0}^n a_k\]

dans le cas où \(\mathcal{Z} = \setN\) et :

\[\sum_{k \in \setZ} a_k = \sum_{k = -\infty}^{+\infty} a_k = \lim_{n \to \infty} \sum_{k = -n}^n a_k\]

dans le cas où \(\mathcal{Z} = \setZ\). On définit aussi :

\[\sum_{k = m}^{+\infty} a_k = \lim_{n \to \infty} \sum_{k = m}^n a_k\]

4.1.2 Quelconque

Pour un ensemble \(\mathcal{Z}\) quelconque, on pose :

\[Z^+ = \{ k \in \mathcal{Z} : a_k \ge 0 \}\]

et :

\[Z^- = \{ k \in \mathcal{Z} : a_k \strictinferieur 0 \}\]

Sous réserve d'existence du suprémum, on définit :

\[\sum_{k \in Z^+} a_k = \sup \accolades{ \sum_{k \in I} a_k : I \subseteq Z^+, \ I \ \mathrm{fini} }\]

ainsi que :

\[\sum_{k \in Z^-} a_k = - \sup \accolades{ - \sum_{k \in I} a_k : I \subseteq Z^-, \ I \ \mathrm{fini} }\]

On définit alors la somme par :

\[\sum_{k \in \mathcal{Z}} a_k = \sum_{k \in Z^+} a_k + \sum_{k \in Z^-} a_k\]

4.2 Additivité

Soit la suite :

\[A = \{ a_k \in \setR : k \in \setN \}\]

On définit la suite \(\{ S_n : n \in \setN \}\) des sommes partielles par :

\[S_n = \sum_{k = 0}^n a_k\]

pour tout \(n \in \setN\). Choisissons un \(m \in \setN\) vérifiant \(m \ge 1\). On définit la suite \(\{ D_n : n \in \setN \}\) des sommes partielles commençant en \(m\) par :

\[D_n = \sum_{k = m}^n a_k\]

pour tout \(n \in \setN\) vérifiant \(n \ge m\). Choisissons un naturel \(n\) vérifiant \(n \ge m\). On a :

\[S_n = \sum_{k = 0}^{m - 1} a_k + \sum_{k = m}^n a_k = S_{m - 1} + D_n\]

Si on pose :

\[E = S_{m - 1}\]

on a :

\[S_n = E + D_n\]

pour tout \(n \in \setN\) vérifiant \(n \ge m\). Si la limite de la suite des \(D_n\) existe, celle des \(S_n\) aussi et :

\[\lim_{n \to \infty} S_n = E + \lim_{n \to \infty} D_n\]

Inversément, si la limite des \(S_n\) existe, celle des \(D_n\) aussi et :

\[\lim_{n \to \infty} D_n = \lim_{n \to \infty} S_n - E\]

On a par définition :

\[\lim_{n \to \infty} S_n = \sum_{k = 0}^{+\infty} a_k\]

et :

\[\lim_{n \to \infty} D_n = \sum_{k = m}^{+\infty} a_k\]

On en conclut que :

\[\sum_{k = 0}^{+\infty} a_k = \sum_{k = 0}^{m - 1} a_k + \sum_{k = m}^{+\infty} a_k\]

4.3 Somme résiduelle

Si la somme des \(a_k\) converge, l'additivité nous dit que :

\[\sum_{k = m}^{+\infty} a_k = \sum_{k = 0}^{+\infty} a_k - \sum_{k = 0}^{m - 1} a_k\]

En passant à la limite \(m \to \infty\), on a :

\begin{align} \lim_{m \to \infty} \sum_{k = m}^{+\infty} a_k &= \lim_{m \to \infty} \left[ \sum_{k = 0}^{+\infty} a_k - \sum_{k = 0}^{m - 1} a_k \right] \\ &= \sum_{k = 0}^{+\infty} a_k - \lim_{m \to \infty} \sum_{k = 0}^{m - 1} a_k \\ &= \sum_{k = 0}^{+\infty} a_k - \sum_{k = 0}^{+\infty} a_k \\ &= 0 \end{align}

La suite des sommes résiduelles \(R_m\) définie par :

\[R_m = \sum_{k = m}^{+\infty} a_k\]

pour tout \(m \in \setN\) converge donc vers zéro lorsque \(m\) tend vers l'infini.

4.4 Termes positifs

Soit la suite positive :

\[P = \{ p_k \in \setR : p_k \ge 0, \ k \in \setN \}\]

et la suite des sommes partielles :

\[S_n = \sum_{k = 0}^n p_k\]

Choisissons \(m,n \in \setN\) tels que \(m \le n\). On a :

\[S_n = \sum_{k = 0}^m p_k + \sum_{k = m + 1}^n p_k = S_m + \sum_{k = m + 1}^n p_k\]

Par positivité, des \(p_k\), on a :

\[\sum_{k = m + 1}^n p_k \ge 0\]

et :

\[S_n \ge S_m\]

La suite des \(S_n\) est croissante. Si on peut trouver un \(M \in \setR\) tel que :

\[S_n \le M\]

pour tout \(n \in \setN\), la suite est majorée et converge vers son suprémum :

\[\sum_{k = 0}^{+\infty} p_k = \lim_{n \to \infty} \sum_{k = 0}^n p_k = \sup_{n \in \setN} \sum_{k = 0}^n p_k\]

4.5 Convergence absolue

Soit la suite :

\[A = \{ a_k \in \setR : k \in \setN \}\]

La suite dérivée :

\[P = \{ \abs{a_k} \in \setR : k \in \setN \}\]

est positive. Si on peut trouver un \(K \in \setR\) tel que :

\[\sum_{k = 0}^n \abs{a_k} \le K\]

pour tout \(n \in \setN\), la suite des valeurs absolues converge et :

\[\sum_{k = 0}^{+\infty} \abs{a_k} = \sup_{n \in \setN} \sum_{k = 0}^n \abs{a_k}\]

La suite des sommes résiduelles associées converge donc vers zéro :

\[\lim_{m \to \infty} \sum_{k = m}^{+\infty} \abs{a_k} = 0\]

Comme :

\[-\abs{a_k} \le a_k \le \abs{a_k}\]

on a :

\[-K \le - \sum_{k = 0}^n \abs{a_k} \le \sum_{k = 0}^n a_k \le \sum_{k = 0}^n \abs{a_k} \le K\]

et :

\[-K \le \sum_{k = 0}^n a_k \le K\]

La suite des sommes partielles \(S_n\) définies par :

\[S_n = \sum_{k = 0}^n a_k\]

est donc majorée et minorée. Elle admet par conséquent des limites suprémum :

\[\sigma = \limsup_{n \to \infty} S_n = \inf_{n \in \setN} \sup \{ S_k : k \in \setN, \ k \ge n \}\]

et infimum :

\[\lambda = \liminf_{n \to \infty} S_n = \sup_{n \in \setN} \inf \{ S_k : k \in \setN, \ k \ge n \}\]

La suite des \(S_n\) converge-t-elle ? Autrement dit, les limites suprémum et infimum des \(S_n\) sont-elles identiques ? On sait déjà que :

\[\lambda \le \sigma\]

Soit la famille de suprémums décroissants définie par :

\[H_m = \sup\{ S_n : n \in \setN, \, n \ge m \}\]

pour tout \(m \in \setN\). On a :

\[\sigma = \inf_{m \in \setN} H_m\]

Soit la famille d'infimums croissants définie par :

\[B_m = \inf\{ S_n : n \in \setN, \, n \ge m \}\]

pour tout \(m \in \setN\). On a :

\[\lambda = \sup_{m \in \setN} B_m\]

Soit \(\epsilon \strictsuperieur 0\). Comme la somme résiduelle converge vers zéro, on peut trouver un naturel \(M\) tel que :

\[\sum_{k = m}^{+\infty} \abs{a_k} \le \frac{\epsilon}{2}\]

pour tout naturel \(m\) vérifiant \(m \ge M\). Choisissons des naturels \(m,n\) tels que \(n \ge m + 1\) et \(m \ge M\). L'additivité finie nous dit que :

\[\sum_{k = 0}^n a_k = \sum_{k = 0}^m a_k + \sum_{k = m + 1}^n a_k\]

c'est-à-dire :

\[S_n = S_m + \sum_{k = m + 1}^n a_k\]

ou :

\[S_n - S_m = \sum_{k = m + 1}^n a_k\]

En prenant la valeur absolue, il vient :

\[\abs{S_n - S_m} = \abs{\sum_{k = m + 1}^n a_k} \le \sum_{k = m + 1}^n \abs{a_k}\]

Les termes \(\abs{a_k}\) étant positifs, la suite des \(D_i\) définie par :

\[D_i = \sum_{k = m + 1}^i \abs{a_k}\]

pour tout naturel \(i\) vérifiant \(i \ge m + 1\) est croissante, majorée et converge vers son suprémum. On a donc :

\[\sum_{k = m + 1}^n \abs{a_k} \le \lim_{i \to \infty} D_i = \sum_{k = m + 1}^{+\infty} \abs{a_k}\]

et :

\[\abs{S_m - S_n} \le \sum_{k = m + 1}^{+\infty} \abs{a_k}\]

Comme \(m + 1 \strictsuperieur m \ge M\), le terme de droite est majoré par \(\epsilon / 2\) et :

\[\abs{S_m - S_n} \le \frac{\epsilon}{2}\]

Choisissons \(m \ge M\). Pour tout naturel \(n\) vérifiant \(n \ge m\), on a soit \(n = m\) et \(S_n = S_m\), soit \(n \ge m + 1\). On en déduit les inégalités :

\[S_n \le \max \accolades{S_m, S_m + \frac{\epsilon}{2}} = S_m + \frac{\epsilon}{2}\]

et :

\[S_n \ge \min \accolades{S_m, S_m - \frac{\epsilon}{2}} = S_m - \frac{\epsilon}{2}\]

En passant au suprémum pour les entiers \(n\) vérifiant \(n \ge m\), on en déduit que :

\[H_m \le S_m + \frac{\epsilon}{2}\]

En passant à l'infimum pour les entiers \(n\) vérifiant \(n \ge m\), on en déduit que :

\[B_m \ge S_m - \frac{\epsilon}{2}\]

En combinant ces deux inégalités, on obtient :

\[H_m \le S_m + \frac{\epsilon}{2} = \parentheses{S_m - \frac{\epsilon}{2}} + \epsilon \le B_m + \epsilon\]

et a fortiori :

\[\inf_{ \substack{ m \in \setN \\ m \ge M } } H_m \le \sup_{ \substack{ m \in \setN \\ m \ge M } } B_m + \epsilon\]

c'est-à-dire :

\[\sigma \le \lambda + \epsilon\]

Cette relation étant valable pour tout \(\epsilon \strictsuperieur 0\), on en déduit que :

\[\sigma \le \lambda\]

Comme on a également \(\lambda \le \sigma\), on en conclut que \(\lambda = \sigma\). La somme converge donc et :

\[\sum_{k = 0}^{+\infty} a_k = \limsup_{n \to \infty} S_n = \liminf_{n \to \infty} S_n\]

4.6 Progression géométrique infinie

Si le réel \(a\) vérifie \(\abs{a} \strictsuperieur 1\), on voit que \(a^{n + 1}\) converge vers \(0\) lorsque \(n\) tend vers l'infini. On a alors :

\[\sum_{i=0}^{+\infty} a^i = \lim_{n \to \infty} \frac{a^{n + 1} - 1}{a - 1} = \frac{1}{1 - a}\]

Auteur: chimay

Created: 2019-10-01 mar 12:32

Validate