Eclats de vers : Matemat 04 : Suites - 6

\[\abs{f(x) + g(x) - (F + G)} \le \abs{f(x) - F} + \abs{g(x) - G} = 2 \gamma\]

Il suffit donc de choisir \(\gamma = \epsilon / 2\) pour avoir \(\abs{f(x) + g(x) - (F + G)} \le \epsilon\). On en déduit que la limite de \(f + g\) est \(F + G\), c'est-à-dire :

\[\lim_{x \to a} \big[f(x) + g(x)\big] = \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x)\]

On a simplement :

\[\abs{\big[-g(x)\big] - (-G)} = \abs{G - g(x)} = \abs{g(x) - G} \le \gamma\]

Il suffit donc de choisir \(\gamma = \epsilon\) pour avoir \(\abs{(-g(x)) - (-G)} \le \epsilon\). On en déduit que la limite de \(-g\) est \(-G\), c'est-à-dire :

\[\lim_{x \to a} \big[-g(x)\big] = - \lim_{x \to a} g(x)\]

On a :

\begin{align} \lim_{x \to a} \big[f(x) - g(x)\big] &= \lim_{x \to a} \big[f(x) + \big(-g(x)\big)\big] \\ &= \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} \big(-g(x)\big) \\ &= \lim_{x \to a} f(x) - \lim_{x \to a} g(x) \end{align}

On voit que :

\begin{align} \abs{f(x) \cdot g(x) - F \cdot G} &= \abs{f(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot G + f(x) \cdot G - F \cdot G} \\ &= \abs{f(x) \cdot (g(x) - G) + (f(x) - F) \cdot G} \\ &\le \abs{f(x) \cdot (g(x) - G)} + \abs{(f(x) - F) \cdot G} \\ &\le \abs{f(x)} \cdot \abs{g(x) - G} + \abs{(f(x) - F)} \cdot \abs{G} \\ &\le \abs{f(x)} \cdot \gamma + \gamma \cdot \abs{G} \end{align}

Comme :

\[\abs{f(x)} = \abs{f(x) - F + F} \le \abs{f(x) - F} + F \le \gamma + \abs{F}\]

notre borne peut se réécrire :

\begin{align} \abs{f(x) \cdot g(x) - F \cdot G} &\le (\gamma + \abs{F}) \cdot \gamma + \gamma \cdot \abs{G} \\ &\le (\gamma + \abs{F} + \abs{G}) \cdot \gamma \end{align}

Si on choisit \(\gamma = \min\{ 1 , \epsilon / (1 + \abs{F} + \abs{G}) \}\), on a \(\gamma \le 1\) et :

\[\abs{f(x) \cdot g(x) - F \cdot G} \le (1 + \abs{F} + \abs{G}) \cdot \gamma \le \epsilon\]

On en déduit que la limite de \(f \cdot g\) est \(F \cdot G\), c'est-à-dire :

\[\lim_{x \to a} \big[f(x) \cdot g(x)\big] = \left[ \lim_{x \to a} f(x) \right] \cdot \left[ \lim_{x \to a} g(x) \right]\]

Supposons que \(G \ne 0\). On a :

\begin{align} \abs{\frac{1}{g(x)} - \frac{1}{G}} &= \abs{\frac{G - g(x)}{g(x) \cdot \abs{G}}} \\ &= \frac{ \abs{G - g(x)} }{ \abs{g(x)} \cdot \abs{G} } \\ &= \frac{ \gamma }{ \abs{g(x)} \cdot \abs{G} } \\ \end{align}

On voit aussi que :

\begin{align} \abs{g(x)} = \abs{g(x) - G + G} &= \abs{G - (G - g(x))} \\ &\ge \abs{G} - \abs{G - g(x)} \\ &\ge \abs{G} - \gamma \end{align}

Donc, si \(\gamma \strictinferieur \abs{G}\), on a :

\[\abs{\frac{1}{g(x)} - \frac{1}{G}} \le \frac{ \gamma }{ (\abs{G} - \gamma) \cdot \abs{G} }\]

Nous allons voir qu'il est possible de majorer cette expression par \(\epsilon\). En effet, la condition :

\[\frac{ \gamma }{ (\abs{G} - \gamma) \cdot \abs{G} } \le \epsilon\]

est équivalente à :

\[\gamma \le \epsilon \cdot (\abs{G} - \gamma) \cdot \abs{G} = G^2 \cdot \epsilon - \epsilon \cdot \abs{G} \cdot \gamma\]

ce qui revient à dire que :

\[(1 + \epsilon \cdot \abs{G}) \cdot \gamma \le G^2 \cdot \epsilon\]

et enfin :

\[0 \strictinferieur \gamma \le \frac{G^2 \cdot \epsilon}{1 + \epsilon \cdot \abs{G}}\]

En imposant également \(\gamma \strictinferieur \abs{G}\), on obtient la condition suffisante :

\[0 \strictinferieur \gamma \strictinferieur \min\left\{ \abs{G} , \frac{G^2 \cdot \epsilon}{1 + \epsilon \cdot \abs{G}} \right\}\]

On a alors \(\abs{\frac{1}{g(x)} - \frac{1}{G}} \le \epsilon\). On en conclut que la limite de \(1/g\) est \(1/G\), c'est-à-dire :

\[\lim_{x \to a} \frac{1}{g(x)} = \frac{1}{\lim_{x \to a} g(x)}\]

Toujours sous l'hypothèse que \(G \ne 0\), on a :

\[\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \left[\lim_{x \to a} f(x)\right] \cdot \left[\lim_{x \to a} \frac{1}{g(x)}\right] = \frac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x \to a} g(x)}\]

Soit une fonction \(f : \setR \mapsto \setR\) croissante et majorée par un certain \(M \in \setR\) :

\[F = \{ f(x) \in \setR : x \in \setR \} \le M\]

Comme l'ensemble de réels \(F\) est non vide et majoré, on en conclut qu'il admet un supremum inclus dans l'adhérence :

\[S = \sup F \in \adh F\]

Choisissons un réel \(\epsilon \strictsuperieur 0\). Comme \(\distance(S,F) = 0\), on peut trouver un \(\alpha \in \setR\) tel que :

\[\distance(S,f(\alpha)) = \abs{S - f(\alpha)} \le \epsilon\]

Comme \(S \ge F\), on a \(\abs{S - f(\alpha)} = S - f(\alpha) \le \epsilon\). Soit un \(\beta \in \setR\) tel que \(\beta \ge \alpha\). La fonction \(f\) étant croissante, on a \(f(\beta) \ge f(\alpha)\), et donc :

\[\distance(S,f(\beta)) = S - f(\beta) \le S - f(\alpha) \le \epsilon\]

On en déduit que \(f(x)\) converge vers le supremum \(S\) lorsque \(x \to \infty\). Par unicité de la limite, on a :

\[\lim_{x \to +\infty} f(x) = \sup \{ f(x) \in \setR : x \in \setR \}\]

Symétriquement, si \(g : \setR \mapsto \setR\) est une fonction décroissante et minorée par un certain \(L \in \setR\), l'ensemble non vide :

\[G = \{ g(x) \in \setR : x \in \setR \} \ge L\]

admet un infimum inclut dans l'adhérence :

\[I = \inf G \in \adh G\]

Choisissons un réel \(\epsilon \strictsuperieur 0\). Comme \(\distance(I,G) = 0\), on peut trouver un \(\alpha \in \setR\) tel que :

\[\distance(I,g(\alpha)) = \abs{I - g(\alpha)} \le \epsilon\]

Comme \(I \le F\), on a \(\abs{I - g(\alpha)} = g(\alpha) - I \le \epsilon\). Soit un \(\beta \in \setR\) tel que \(\beta \ge \alpha\). La fonction \(g\) étant décroissante, on a \(g(\beta) \le g(\alpha)\), et donc :

\[\distance(I,g(\beta)) = g(\beta) - I \le g(\alpha) - I \le \epsilon\]

On en déduit que \(g(x)\) converge vers le supremum \(I\) lorsque \(x \to \infty\). Par unicité de la limite, on a :

\[\lim_{x \to +\infty} g(x) = \inf \{ g(x) \in \setR : x \in \setR \}\]

Soit une fonction \(f : \setR \mapsto \setR\) majorée et minorée. On définit la famille \(\{F(x) : x \in \setR \}\) d'ensembles non vides, majorés et minorés par :

\[F(x) = \{f(z) : z \in \setR, \ z \ge x \}\]

Soit une fonction \(f : \setR \mapsto \setR\) majorée et minorée. Posons :

et choisissons un réel \(\epsilon \strictsuperieur 0\).

• Considérons le cas particulier où les limites sup et inf sont identiques :

\[L = \limsup_{x \to +\infty} f(x) = \liminf_{x \to +\infty} f(x)\]

pour tout \(x \in \setR\). Choisissons un \(\sigma\) tel que \(\abs{S(x) - L} \le \epsilon\) pour tout \(x\) vérifiant \(x \ge \sigma\) et un \(\tau\) tel que \(\abs{I(x) - L} \le \epsilon\) pour tout \(x\) vérifiant \(x \ge \tau\). Posant \(M = \max\{\sigma,\tau\}\), il vient :

pour tout réel \(z\) vérifiant \(z \ge M\). On a alors :

\[\abs{f(z) - L} \le \epsilon\]

On en conclut que la limite de \(f\) à l'infini existe et que :

\[\lim_{x \to +\infty} f(x) = \limsup_{x \to +\infty} f(x) = \liminf_{x \to +\infty} f(x)\]

• Inversément, supposons la limite de \(f\) à l'infini existe :

\[L = \lim_{x \to +\infty} f(x)\]

Soit un réel \(M\) tel que :

\[\abs{f(x) - L} \le \epsilon\]

pour tout réel \(x\) vérifiant \(x \ge M\). On a alors :

\[L - \epsilon \le f(x) \le L + \epsilon\]

On en déduit que :

Le supremum étant supérieur à l'infimum, on a finalement :

\[L - \epsilon \le I(x) \le S(x) \le L + \epsilon\]

et donc :

\[\{ \abs{S(x) - L} , \abs{I(x) - L} \} \le \epsilon\]

On en conclut que \(S\) et \(I\) convergent vers \(L\), c'est-à-dire :

\[\limsup_{x \to +\infty} f(x) = \liminf_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} f(x)\]

Soit les fonctions \(f,g : \setR \mapsto \setR\) vérifiant \(f \le g\).

Soit les fonctions \(f,g : \setR \mapsto \setR\) majorées, minorées et vérifiant \(f \le g\). Posons :

\[\Theta(x) = \{ z \in \setR : z \ge x \}\]

pour tout \(x \in \setR\).

Soit les fonctions \(f,S,I : \setR \mapsto \setR\) majorées, minorées et vérifiant \(I \le f \le S\). Supposons que :

\[L = \liminf_{x \to +\infty} I(x) = \limsup_{x \to +\infty} S(x)\]

On a alors :

\[L = \liminf_{x \to +\infty} I(x) \le \liminf_{x \to +\infty} f(x) \le \limsup_{x \to +\infty} f(x) \le \limsup_{x \to +\infty} S(x) = L\]

On en déduit que :

\[\liminf_{x \to +\infty} f(x) = \limsup_{x \to +\infty} f(x) = L\]

La limite de \(f\) existe donc et :

\[\lim_{x \to +\infty} f(x) = \liminf_{x \to +\infty} I(x) = \limsup_{x \to +\infty} S(x)\]

Soit une suite de réels $x₁ ≤ x₂ ≤ x₃ ≤ …$ croissante et majorée. On a alors :

\[\lim_{n \to \infty} x_n = \sup \{x_n \in \setR : n \in \setN \}\]

Soit une suite de réels $y₁ ≥ y₂ ≥ y₃ ≥ …$ décroissante et minorée. On a alors :

\[\lim_{n \to \infty} y_n = \inf \{y_n \in \setR : n \in \setN \}\]

Soit une suite de réels \(\{u_n \in \setR : n \in \setN\}\) majorée et minorée. On a :

\[\limsup_{ n \to \infty } u_n = \inf_{n \in \setN} \sup \{u_m : m \in \setN, \ m \ge n \}\]

\[\liminf_{ n \to \infty } u_n = \sup_{n \in \setN} \inf \{u_m : m \in \setN, \ m \ge n \}\]

Nous nous intéressons à des suites de réels \(A \subseteq \setR\) de la forme :

\[A = \{ a_k \in \setR : k \in \mathcal{Z} \}\]

Soit la suite :

\[A = \{ a_k \in \setR : k \in \setN \}\]

On définit la suite \(\{ S_n : n \in \setN \}\) des sommes partielles par :

\[S_n = \sum_{k = 0}^n a_k\]

pour tout \(n \in \setN\). Choisissons un \(m \in \setN\) vérifiant \(m \ge 1\). On définit la suite \(\{ D_n : n \in \setN \}\) des sommes partielles commençant en \(m\) par :

\[D_n = \sum_{k = m}^n a_k\]

pour tout \(n \in \setN\) vérifiant \(n \ge m\). Choisissons un naturel \(n\) vérifiant \(n \ge m\). On a :

\[S_n = \sum_{k = 0}^{m - 1} a_k + \sum_{k = m}^n a_k = S_{m - 1} + D_n\]

Si on pose :

\[E = S_{m - 1}\]

on a :

\[S_n = E + D_n\]

pour tout \(n \in \setN\) vérifiant \(n \ge m\). Si la limite de la suite des \(D_n\) existe, celle des \(S_n\) aussi et :

\[\lim_{n \to \infty} S_n = E + \lim_{n \to \infty} D_n\]

Inversément, si la limite des \(S_n\) existe, celle des \(D_n\) aussi et :

\[\lim_{n \to \infty} D_n = \lim_{n \to \infty} S_n - E\]

On a par définition :

\[\lim_{n \to \infty} S_n = \sum_{k = 0}^{+\infty} a_k\]

et :

\[\lim_{n \to \infty} D_n = \sum_{k = m}^{+\infty} a_k\]

On en conclut que :

\[\sum_{k = 0}^{+\infty} a_k = \sum_{k = 0}^{m - 1} a_k + \sum_{k = m}^{+\infty} a_k\]

Si la somme des \(a_k\) converge, l'additivité nous dit que :

\[\sum_{k = m}^{+\infty} a_k = \sum_{k = 0}^{+\infty} a_k - \sum_{k = 0}^{m - 1} a_k\]

En passant à la limite \(m \to \infty\), on a :

\begin{align} \lim_{m \to \infty} \sum_{k = m}^{+\infty} a_k &= \lim_{m \to \infty} \left[ \sum_{k = 0}^{+\infty} a_k - \sum_{k = 0}^{m - 1} a_k \right] \\ &= \sum_{k = 0}^{+\infty} a_k - \lim_{m \to \infty} \sum_{k = 0}^{m - 1} a_k \\ &= \sum_{k = 0}^{+\infty} a_k - \sum_{k = 0}^{+\infty} a_k \\ &= 0 \end{align}

La suite des sommes résiduelles \(R_m\) définie par :

\[R_m = \sum_{k = m}^{+\infty} a_k\]

pour tout \(m \in \setN\) converge donc vers zéro lorsque \(m\) tend vers l'infini.

Soit la suite positive :

\[P = \{ p_k \in \setR : p_k \ge 0, \ k \in \setN \}\]

et la suite des sommes partielles :

\[S_n = \sum_{k = 0}^n p_k\]

Choisissons \(m,n \in \setN\) tels que \(m \le n\). On a :

\[S_n = \sum_{k = 0}^m p_k + \sum_{k = m + 1}^n p_k = S_m + \sum_{k = m + 1}^n p_k\]

Par positivité, des \(p_k\), on a :

\[\sum_{k = m + 1}^n p_k \ge 0\]

et :

\[S_n \ge S_m\]

La suite des \(S_n\) est croissante. Si on peut trouver un \(M \in \setR\) tel que :

\[S_n \le M\]

pour tout \(n \in \setN\), la suite est majorée et converge vers son suprémum :

\[\sum_{k = 0}^{+\infty} p_k = \lim_{n \to \infty} \sum_{k = 0}^n p_k = \sup_{n \in \setN} \sum_{k = 0}^n p_k\]

Soit la suite :

\[A = \{ a_k \in \setR : k \in \setN \}\]

La suite dérivée :

\[P = \{ \abs{a_k} \in \setR : k \in \setN \}\]

est positive. Si on peut trouver un \(K \in \setR\) tel que :

\[\sum_{k = 0}^n \abs{a_k} \le K\]

pour tout \(n \in \setN\), la suite des valeurs absolues converge et :

\[\sum_{k = 0}^{+\infty} \abs{a_k} = \sup_{n \in \setN} \sum_{k = 0}^n \abs{a_k}\]

La suite des sommes résiduelles associées converge donc vers zéro :

\[\lim_{m \to \infty} \sum_{k = m}^{+\infty} \abs{a_k} = 0\]

Comme :

\[-\abs{a_k} \le a_k \le \abs{a_k}\]

on a :

\[-K \le - \sum_{k = 0}^n \abs{a_k} \le \sum_{k = 0}^n a_k \le \sum_{k = 0}^n \abs{a_k} \le K\]

et :

\[-K \le \sum_{k = 0}^n a_k \le K\]

La suite des sommes partielles \(S_n\) définies par :

\[S_n = \sum_{k = 0}^n a_k\]

est donc majorée et minorée. Elle admet par conséquent des limites suprémum :

\[\sigma = \limsup_{n \to \infty} S_n = \inf_{n \in \setN} \sup \{ S_k : k \in \setN, \ k \ge n \}\]

et infimum :

\[\lambda = \liminf_{n \to \infty} S_n = \sup_{n \in \setN} \inf \{ S_k : k \in \setN, \ k \ge n \}\]

La suite des \(S_n\) converge-t-elle ? Autrement dit, les limites suprémum et infimum des \(S_n\) sont-elles identiques ? On sait déjà que :

\[\lambda \le \sigma\]

Soit la famille de suprémums décroissants définie par :

\[H_m = \sup\{ S_n : n \in \setN, \, n \ge m \}\]

pour tout \(m \in \setN\). On a :

\[\sigma = \inf_{m \in \setN} H_m\]

Soit la famille d'infimums croissants définie par :

\[B_m = \inf\{ S_n : n \in \setN, \, n \ge m \}\]

pour tout \(m \in \setN\). On a :

\[\lambda = \sup_{m \in \setN} B_m\]

Soit \(\epsilon \strictsuperieur 0\). Comme la somme résiduelle converge vers zéro, on peut trouver un naturel \(M\) tel que :

\[\sum_{k = m}^{+\infty} \abs{a_k} \le \frac{\epsilon}{2}\]

pour tout naturel \(m\) vérifiant \(m \ge M\). Choisissons des naturels \(m,n\) tels que \(n \ge m + 1\) et \(m \ge M\). L'additivité finie nous dit que :

\[\sum_{k = 0}^n a_k = \sum_{k = 0}^m a_k + \sum_{k = m + 1}^n a_k\]

c'est-à-dire :

\[S_n = S_m + \sum_{k = m + 1}^n a_k\]

ou :

\[S_n - S_m = \sum_{k = m + 1}^n a_k\]

En prenant la valeur absolue, il vient :

\[\abs{S_n - S_m} = \abs{\sum_{k = m + 1}^n a_k} \le \sum_{k = m + 1}^n \abs{a_k}\]

Les termes \(\abs{a_k}\) étant positifs, la suite des \(D_i\) définie par :

\[D_i = \sum_{k = m + 1}^i \abs{a_k}\]

pour tout naturel \(i\) vérifiant \(i \ge m + 1\) est croissante, majorée et converge vers son suprémum. On a donc :

\[\sum_{k = m + 1}^n \abs{a_k} \le \lim_{i \to \infty} D_i = \sum_{k = m + 1}^{+\infty} \abs{a_k}\]

et :

\[\abs{S_m - S_n} \le \sum_{k = m + 1}^{+\infty} \abs{a_k}\]

Comme \(m + 1 \strictsuperieur m \ge M\), le terme de droite est majoré par \(\epsilon / 2\) et :

\[\abs{S_m - S_n} \le \frac{\epsilon}{2}\]

Choisissons \(m \ge M\). Pour tout naturel \(n\) vérifiant \(n \ge m\), on a soit \(n = m\) et \(S_n = S_m\), soit \(n \ge m + 1\). On en déduit les inégalités :

\[S_n \le \max \accolades{S_m, S_m + \frac{\epsilon}{2}} = S_m + \frac{\epsilon}{2}\]

et :

\[S_n \ge \min \accolades{S_m, S_m - \frac{\epsilon}{2}} = S_m - \frac{\epsilon}{2}\]

En passant au suprémum pour les entiers \(n\) vérifiant \(n \ge m\), on en déduit que :

\[H_m \le S_m + \frac{\epsilon}{2}\]

En passant à l'infimum pour les entiers \(n\) vérifiant \(n \ge m\), on en déduit que :

\[B_m \ge S_m - \frac{\epsilon}{2}\]

En combinant ces deux inégalités, on obtient :

\[H_m \le S_m + \frac{\epsilon}{2} = \parentheses{S_m - \frac{\epsilon}{2}} + \epsilon \le B_m + \epsilon\]

et a fortiori :

\[\inf_{ \substack{ m \in \setN \\ m \ge M } } H_m \le \sup_{ \substack{ m \in \setN \\ m \ge M } } B_m + \epsilon\]

c'est-à-dire :

\[\sigma \le \lambda + \epsilon\]

Cette relation étant valable pour tout \(\epsilon \strictsuperieur 0\), on en déduit que :

\[\sigma \le \lambda\]

Comme on a également \(\lambda \le \sigma\), on en conclut que \(\lambda = \sigma\). La somme converge donc et :

\[\sum_{k = 0}^{+\infty} a_k = \limsup_{n \to \infty} S_n = \liminf_{n \to \infty} S_n\]

Si le réel \(a\) vérifie \(\abs{a} \strictsuperieur 1\), on voit que \(a^{n + 1}\) converge vers \(0\) lorsque \(n\) tend vers l'infini. On a alors :

\[\sum_{i=0}^{+\infty} a^i = \lim_{n \to \infty} \frac{a^{n + 1} - 1}{a - 1} = \frac{1}{1 - a}\]