Eclats de vers : Matemat 04 : Suites

• Chapitre \ref{chap:algebre} : Les structures algébriques
• Chapitre \ref{chap:ordres} : Les ordres
• Chapitre \ref{chap:topologies} : Les topologies

Afin de généraliser le plus possible la notion de distance au sens usuel, nous allons nous poser la question : quelles sont les caractéristiques fondamentales d'une distance ? Nous en déduirons les propriétés que doit respecter une distance générique.

Soit l'ensemble \(\Omega\), un corps \(\corps\) et une fonction \(\distance : \Omega \times \Omega \to \corps\) représentant une distance entre deux éléments de l'ensemble \(\Omega\). Choisissons des éléments quelconques \(x,y,z \in \Omega\). Au sens usuel, une distance entre deux objets est clairement positive :

\[\distance(x,y) \ge 0\]

Elle est également symétrique puisqu'on obtient la même distance lorsqu'on intervertit les objets :

\[\distance(x,y) = \distance(y,x)\]

Par ailleurs , la distance entre deux objets identiques doit évidemment être nulle :

\[\distance(x,x) = 0\]

On impose également que le seul élément \(y\) qui puisse être à distance nulle de \(x\) soit l'élément \(x\) lui-même :

\[\distance(x,y) = 0 \ \Rightarrow \ x = y\]

Enfin, il est toujours plus court d'aller directement de \(x\) à \(z\) plutôt que de passer par une étape \(y\). On a donc l'inégalité triangulaire :

\[\distance(x,z) \le \distance(x,y) + \distance(y,z)\]

Quelle est la distance à parcourir d'une ville donnée lorsqu'on désire se rendre dans un certain pays ? On a envie de dire que la distance est parcourue dès que l'on a atteint la frontière du pays en question. Comme on choisit généralement le chemin le plus court pour arriver à destination, on se rend compte que la distance ville - pays est le minimum des distances entre la ville et tous les points appartenant au pays.

Maintenant, remplaçons la ville par un élément \(x \in \Omega\) et le pays par un ensemble \(A \subseteq \Omega\). On définit simplement la distance de \(x\) à \(A\) comme étant l'infimum des distances de \(x\) à un point quelconque de \(A\) :

\[\distance(x,A) = \inf_{a \in A} \distance(x,a) = \inf \{ \distance(x,a) : a \in A \}\]

La distance entre deux ensembles \(A\) et \(B\) est l'infimum des distances possibles entre les couples \((a,b) \in A \times B\) :

\[\distance(A,B) = \inf \{ \distance(a,b) : (a,b) \in A \times B \}\]

On a bien évidemment :

\[\distance(A,B) = \inf \{ \distance(a,B) : a \in A \} = \inf \{ \distance(A,b) : b \in B \}\]

Les boules sont la généralisation des disques et des sphères. Or, ce qui caractèrise ces entités, c'est qu'elle incluent des points \(x\) vérifiant \(\distance(x,c) \le r\), où \(c\) est le centre et \(r\) le rayon. On définit par conséquent la boule fermée \(\boule[c,r]\) par :

\[\boule[c,r] = \{ x \in \Omega : \distance(x,c) \le r \}\]

où \(r\) est un réel positif.

Si l'on veut que la distance soit strictement inférieure à \(r\), on considérera plutôt la définition de la boule ouverte :

\[\boule(c,r) = \{ x \in \Omega : \distance(x,c) \strictinferieur r \}\]

La topologie usuelle définie sur les ensembles munis d'une distance est celle générée par les boules ouvertes, soit les éléments de la collection :

\[\mathcal{B} = \{ \boule(c,r) : c \in \Omega, \ r \in \corps, \ r \strictsuperieur 0 \}\]

La topologie métrique \(\topologie\) s'écrit donc :

\[\topologie = \topologies(\mathcal{B},\Omega)\]

Toute union de boules ouvertes est donc un ouvert.

Soit \(A \subseteq \Omega\).

• Soit \(x \in \interieur A\). L'élément \(x\) appartient donc à un ouvert \(U\) contenu dans \(A\). Comme \(x \in U\), on a \(U \ne \emptyset\). On en conclut que \(U\) doit être une union de boules ouvertes. On peut donc trouver un \(a \in U\) et un \(\delta \strictsuperieur 0\) tel que \(x \in \boule(a,\delta) \subseteq U\). Comme \(d = \distance(a,x) \strictinferieur \delta\), on a \(\delta - d \strictsuperieur 0\). Soit \(\epsilon = \delta - d\) et \(y \in \boule(x,\epsilon)\). On a :

\[\distance(a,y) \le \distance(a,x) + \distance(x,y) \strictinferieur d + \epsilon = \delta\]

Donc \(\boule(x,\epsilon) \subseteq \boule(a,\delta) \subseteq U \subseteq A\) et \(\distance( x , \Omega \setminus A ) \strictsuperieur 0\).

• Réciproquement, si \(z \in \Omega\) vérifie \(d = \distance( x , \Omega \setminus A ) \strictsuperieur 0\), on a \(z \in \boule(z,d/2) \subseteq A\). L'élément \(z\) appartient donc à un ouvert contenu dans \(A\). Il appartient donc à l'union des ouverts inclus dans \(A\), c'est-à-dire \(z \in \interieur A\).

On conclut de ce qui précède que :

\[\interieur A = \{ x \in \Omega : \distance( x , \Omega \setminus A ) \strictsuperieur 0 \}\]

On voit que :

\[\interieur (\Omega \setminus A) = \{ x \in \Omega : \distance(x,A) \strictsuperieur 0 \}\]

Le complémentaire de cet ensemble est bien sur constitué des \(x \in \Omega\) vérifiant \(\distance(x,A) = 0\). Or, nous avons vu que ce complémentaire n'est rien d'autre que l'adhérence de \(A\) :

\[\adh A = \{ x \in \Omega : \distance(x,A) = 0 \}\]

Soit \(x \in \Omega\), \(A \subseteq \Omega\) et :

Soit \(c \in C\). Pour tout \(\epsilon \in \corps\) avec \(\epsilon \strictsuperieur 0\), on peut trouver \(b \in B\) tel que :

\[\distance(c,b) \le \epsilon\]

et ensuite \(a \in A\) tel que :

\[\distance(b,a) \le \epsilon\]

On a donc :

\[\distance(c,a) \le \distance(c,b) + \distance(b,a) \le \epsilon + \epsilon\]

L'infimum est par conséquent nul :

\[\distance(c,A) = \inf_{a \in A} \distance(c,a) = 0\]

On en déduit que \(c \in \adh A\). Nous venons de montrer que :

\[\adh \adh A \subseteq \adh A\]

Mais comme l'inverse est également vrai, on a :

\[\adh \adh A = \adh A\]

• Chapitre \ref{chap:distances} : Les distances

Soit les ensembles \(E,F\) munis respectivement des distances \(\distance_E\) et \(\distance_F\), un sous-ensemble \(D \subseteq E\) et la fonction \(f : D \mapsto F\). Comme la distance utilisée est sans ambiguité d'après la nature des objets dont elle mesure l'éloignement :

on note dans la suite de ce chapitre \(\distance\) à la place de \(\distance_E\) et de \(\distance_F\).

Plaçons nous dans \(A \subseteq D\). Nous nous intéressons au cas où \(f(x)\) se rapproche de plus en plus d'un certain \(L \in F\) lorsque \(x \in A\) se rapproche suffisamment d'un certain \(a \in E\). Pour toute précision \(\epsilon \in \corps\), \(\epsilon \strictsuperieur 0\) aussi petite que l'on veut, on doit alors pouvoir trouver un niveau de proximité \(\delta(\epsilon) \in \corps\), \(\delta(\epsilon) \strictsuperieur 0\) tel que :

\[\distance(f(x),L) \le \epsilon\]

pour tout les \(x \in A\) vérifiant :

\[\distance(x,a) \le \delta(\epsilon)\]

Si cette condition est remplie, on dit que \(L\) est la limite de \(f\) en \(a\), et on note :

\[\lim_{ \substack{ x \to a \\ x \in A } } f(x) = L\]

Supposons qu'il existe des sous-ensembles \(A,B \subseteq D\) tels que :

\[\lim_{ \substack{ x \to a \\ x \in A } } f(x) \ne \lim_{ \substack{ x \to a \\ x \in B } } f(x)\]

On dit alors que la limite dépend du chemin parcouru.

Si \(E\) est un ensemble ordonné, on peut définir la notion de limite à l'infini. Soit une fonction \(f : E \mapsto F\) et \(L \in F\). Si, pour toute précision \(\epsilon > 0\), on peut trouver une borne inférieure \(I(\epsilon) \in E\) telle que :

\[\distance(f(x),L) \le \epsilon\]

pour tout \(x \in E\) vérifiant \(x \ge I(\epsilon)\), on dit alors que \(f\) tend vers \(L\) à l'infini positif et on écrit :

\[\lim_{ x \to +\infty } f(x) = L\]

Symétriquement, si pour toute précision \(\epsilon > 0\), on peut trouver une borne supérieure \(S(\epsilon) \in E\) telle que :

\[\distance(f(x),L) \le \epsilon\]

pour tout \(x \in E\) vérifiant \(x \le S(\epsilon)\), on dit alors que \(f\) tend vers \(L\) à l'infini négatif et on écrit :

\[\lim_{ x \to -\infty } f(x) = L\]

Si \(F\) est un ensemble ordonné, on peut définir la notion de limite infinie.

On suppose que \(E\) et \(F\) sont ordonnés. On dit que la limite de \(f\) à l'infini positif est l'infini positif et on le note :

\[\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\]

si, pour tout \(G \in F\) aussi grand que l'on veut, on peut trouver une borne inférieure \(I(G) \in E\) telle que :

\[f(x) \ge G\]

pour tout \(x \in E\) vérifiant \(x \ge I(G)\). On dit que la limite de \(f\) à l'infini positif est l'infini négatif et on le note :

\[\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty\]

si, pour tout \(P \in F\) aussi petit que l'on veut, on peut trouver une borne inférieure \(I(G) \in E\) telle que :

\[f(x) \le P\]

pour tout \(x \in E\) vérifiant \(x \ge I(G)\). On dit que la limite de \(f\) à l'infini négatif est l'infini positif et on le note :

\[\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty\]

si, pour tout \(G \in F\) aussi grand que l'on veut, on peut trouver une borne supérieure \(S(G) \in E\) telle que :

\[f(x) \ge G\]

pour tout \(x \in E\) vérifiant \(x \le S(G)\). On dit que la limite de \(f\) à l'infini négatif est l'infini négatif et on le note :

\[\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty\]

si, pour tout \(P \in F\) aussi petit que l'on veut, on peut trouver une borne supérieure \(S(G) \in E\) telle que :

\[f(x) \le P\]

pour tout \(x \in E\) vérifiant \(x \le S(G)\).

• Chapitre \ref{chap:limites} : Les limites

Si les ensemble \(A, B\) sont munis d'une distance, on définit la distance :

\[\distance^2 : (A \times B) \times (A \times B) \mapsto \corps\]

associée par :

\[\distance^2\big[(x,y), (a,b)\big] = \max \big\{ \distance(x,a), \distance(y,b) \big\}\]

pour tout \((x,y),(a,b) \in A \times B\). La fonction définie est-elle une distance ? On a clairement \(\distance^2 \ge 0\) et :

\[\distance^2\big[(x,y), (a,b)\big] = \distance^2\big[(a,b), (x,y)\big]\]

On a aussi :

\[\distance^2\big[(x,y), (x,y)\big] = \max \big\{ \distance(x,x), \distance(y,y) \big\} = \max \{ 0, 0 \} = 0\]

Si :

\[\distance^2\big[(x,y), (a,b)\big] = 0\]

on a forcément :

\[\distance(x,a) = \distance(y,b) = 0\]

Donc \(x = a\), \(y = b\) et :

\[(x,y) = (a,b)\]

Pour l'inégalité triangulaire, soit \((x,y),(a,b),(c,d) \in A \times B\) et :

\[d = \distance^2\big[(a,b), (c,d)\big] = \max \big\{ \distance(a,c), \distance(b,d) \big\}\]

La distance sur \(A\) vérifie :

\[\distance(a,c) \le \distance(a,x) + \distance(x,c)\]

La distance sur \(B\) vérifie :

\[\distance(b,d) \le \distance(b,y) + \distance(y,d)\]

On en déduit que :

\begin{align} d &\le \max \{ \distance(a,x) + \distance(x,c), \distance(b,y) + \distance(y,d) \} \\ &\le \max \{ \distance(a,x), \distance(b,y) \} + \max \{ \distance(x,c), \distance(y,d) \} \\ &\le \distance^2\big[(a,b), (x,y)\big] + \distance^2\big[(x,y), (c,d)\big] \end{align}

Soit un ensemble \(F\) et une fonction \(f : A \times B \mapsto F\). On choisit un ensemble \(U \subseteq A \times B\). On dit que \(L\) est la limite de \(f\) en \((a,b) \in A \times B\) et on le note :

\[\lim_{ \substack{ (x,y) \to (a,b) \\ (x,y) \in U } } f(x,y) = L\]

si, pour toute précision \(\epsilon \strictsuperieur 0\), on peut trouver un \(\delta \strictsuperieur 0\) tel que :

\[\distance(f(x,y), L) \le \epsilon\]

pour tout \((x,y) \in U\) vérifiant :

\[\distance^2\big[ (x,y), (a,b) \big] = \max \{ \distance(x,a), \distance(y,b) \} \le \delta\]

On suppose que les ensembles \(A, B\) sont ordonnés. On dit que \(L \in F\) est la limite de \(f : A \times B \mapsto F\) à l'infini positif et on le note :

\[\lim_{(x,y) \to +\infty} f(x,y) = L\]

si, pour toute précision \(\epsilon \strictsuperieur 0\), on peut trouver des bornes inférieures \((I, J) \in A \times B\) telles que :

\[\distance\big[f(x,y), L\big] \le \epsilon\]

pour tout \((x,y) \in A \times B\) vérifiant :

On dit que \(L \in F\) est la limite de \(f : A \times B \mapsto F\) à l'infini négatif et on le note :

\[\lim_{(x,y) \to -\infty} f(x,y) = L\]

si, pour toute précision \(\epsilon \strictsuperieur 0\), on peut trouver des bornes supérieures \((I, J) \in A \times B\) telles que :

\[\distance\big[f(x,y), L\big] \le \epsilon\]

pour tout \((x,y) \in A \times B\) vérifiant :

• Chapitre \ref{chap:limites} : Les limites

Une suite est une fonction \(s : \setN \mapsto \Omega\) définie par :

\[s : n \mapsto s_n = s(n)\]

pour tout \(n \in \setN\). On note \(\suitek(\Omega)\) l'ensemble des suites \(s \subseteq \Omega\).

On dit qu'une suite \(s : n \mapsto s_n \in \Omega\) converge vers \(L \in \Omega\) au sens de la distance \(\distance\), ou que \(L\) est sa limite à l'infini :

\[L = \lim_{n \to \infty} s_n\]

si, pour toute précision \(\epsilon > 0\) aussi petite que l'on veut, on peut trouver un naturel \(K(\epsilon)\) à partir duquel l'erreur sera au moins aussi faible que demandée. On a donc :

\[\distance(L,s_n) \le \epsilon\]

pour tout \(n \ge K(\epsilon)\).

On définit :

\[\limsup_{n \to \infty} s_n = \lim_{n \to \infty} \sup \{ s_m : m \in \setN, \ m \ge n \}\]

\[\liminf_{n \to \infty} s_n = \lim_{n \to \infty} \inf \{ s_m : m \in \setN, \ m \ge n \}\]

Soit les suites :

\[s : n \mapsto s_n \in \Omega\]

et :

\[t : n \mapsto t_n \in \Omega\]

On dit que \(s\) est équivalente à \(t\), et on le note :

\[s \equiv t\]

si et seulement si la limite de la distance entre les deux suites converge vers zéro :

\[\lim_{n \to \infty} \distance(s_n,t_n) = 0\]

Quelque soit \(\epsilon \strictsuperieur 0\), on peut donc trouver un naturel \(K(\epsilon)\) tel que :

\[\distance(s_n,t_n) \le \epsilon\]

pour tout \(n \ge K(\epsilon)\).

Soit les suites :

\[s : n \mapsto s_n \in \Omega\]

et :

\[t : n \mapsto t_n \in \Omega\]

Si un ordre est défini sur \(\Omega\), on dit que \(s\) est inférieure à \(t\) :

\[s \le t\]

si et seulement si les éléments de \(s\) sont inférieurs aux éléments de \(t\) :

\[s_n \le t_n\]

pour tout \(n \in \setN\).

Soit les suites :

\[s : n \mapsto s_n \in \Omega\]

et :

\[t : n \mapsto t_n \in \Omega\]

Pour toute opération \(\opera\) définie sur \(\Omega\), on définit l'opération induite \(\opera : \suitek(\Omega) \times \suitek(\Omega) \mapsto \suitek(\Omega)\) par :

\[(s \opera t)(n) = s_n \opera t_n\]

pour tout \(n \in \setN\). On note aussi :

\[(s \opera t)_n = (s \opera t)(n)\]

On dit qu'une suite :

\[s : n \mapsto s_n \in \Omega\]

est de Cauchy si, pour toute précision \(\epsilon > 0\) aussi petite que l'on veut, on peut trouver un naturel \(K(\epsilon)\) à partir duquel la distance entre deux éléments de la suite \(s_m, s_n\) sera aussi petite que demandée. On a donc :

\[\distance(s_m,s_n) \le \epsilon\]

pour tout \(m,n \ge K(\epsilon)\).

On dit qu'un ensemble \(X\) est complet si toute suite de Cauchy inclue dans \(X\) converge vers une limite \(L \in X\).

• Chapitre \ref{chap:algebre} : Algèbre

Soit le corps commutatif \(\corps\), un ensemble \(\Omega\) et la fonction \(f : \Omega \mapsto \corps\). On note la somme de \(f\) sur \(X\) par :

\[\sum_{x \in X} f(x)\]

pour tout sous-ensemble \(X \subseteq \Omega\). Il s'agit intuitivement de la somme des \(f(x) \in \corps\) lorsque \(x\) parcourt \(X\). Nous allons voir comment la formaliser.

Si deux ensembles \(X,Y \subseteq \Omega\) ne se chevauchent pas :

\[X \cap Y = \emptyset\]

la somme sur l'union des deux est intuitivement l'addition des sommes sur chacun d'entre-eux :

\[\sum_{z \in X \cup Y} f(z) = \sum_{z \in X} f(z) + \sum_{z \in Y} f(z)\]

Comme \(X = X \cup \emptyset\) et \(X \cap \emptyset = \emptyset\), on en déduit que :

\[\sum_{x \in X} f(x) = \sum_{x \in X \cup \emptyset} f(x) = \sum_{x \in X} f(x) + \sum_{x \in \emptyset} f(x)\]

La somme sur l'ensemble vide doit donc être le neutre pour l'addition :

\[\sum_{x \in \emptyset} f(x) = 0\]

Il semble également logique d'imposer que la somme sur un ensemble contenant un seul élément \(a \in X\) soit égal à \(f(a)\) :

\[\sum_{ x \in \{ a \} } f(x) = f(a)\]

Voilà qui complète les caractéristiques génériques des sommes.

Pour tout \(A \subseteq \corps\), on note :

\[\sum_{x \in A} x = \sum_{x \in A} \identite(x)\]

la somme des éléments de \(A\).

Soit l'ensemble \(X\) non vide, ensemble dont nous voulons évaluer la somme. Choisissons un élément \(a \in A\) et considérons la décomposition :

\[X = \{ a \} \cup ( X \setminus \{ a \} )\]

Comme l'intersection des deux ensembles du membre de droite est vide :

\[\{ a \} \cap ( X \setminus \{ a \} ) = \emptyset\]

on peut écrire :

\[\sum_{x \in X} f(x) = \sum_{ x \in \{ a \} } f(x) + \sum_{x \in X \setminus \{ a \} } f(x)\]

c'est-à-dire :

\[\sum_{x \in X} f(x) = f(a) + \sum_{x \in X \setminus \{ a \} } f(x)\]

On en déduit un algorithme itératif permettant d'estimer la somme :

\[S \approx \sum_{x \in X} f(x)\]

Nous partons de :

A chaque étape \(k \in \setN\), nous choisissons \(a_k \in X_k\) et nous adaptons notre estimation par :

\[S_{k + 1} = f(a_k) + S_k\]

On retire ensuite \(a_k\) de \(X_k\) pour éviter de le compter plus d'une fois, ce qui nous donne l'ensemble suivant :

\[X_{k + 1} = X_k \setminus \{ a_k \}\]

Cet algorithme va nous permettre de formaliser la définition des sommes.

Soit l'ensemble \(X\) contenant un nombre fini \(N \in \setN\) d'éléments :

\[X = \{ a_1, a_2, ..., a_N \}\]

En appliquant l'algorithme d'évaluation d'une somme, on finit par arriver à l'itération \(N\) avec :

\[X_N = \emptyset\]

On a simplement :

\[\sum_{x \in X} f(x) = S_N + \sum_{x \in \emptyset} f(x) = S_N + 0 = S_N\]

Comme :

\[S_N = f(a_1) + f(a_2) + ... + f(a_N)\]

on a simplement :

\[\sum_{x \in X} f(x) = f(a_1) + f(a_2) + ... + f(a_N)\]

On note :

\[\sum_{k = 1}^N f(a_k) = f(a_1) + f(a_2) + ... + f(a_N)\]

Soit les fonctions \(f,g : \Omega \mapsto \corps\) et l'ensemble fini \(X \subseteq \Omega\). On a clairement :

\[\sum_{x \in X} \Big[ f(x) + g(x) \Big] = \sum_{x \in X} f(x) + \sum_{x \in X} g(x)\]

Comme le produit se distribue sur l'addition, on a également :

\[\sum_{x \in X} \Big[ c \cdot f(x)\Big] = c \cdot \sum_{x \in X} f(x)\]

pour tout \(c \in \corps\). La somme sur un ensemble fini est linéaire.

Si les ensembles finis \(X\) et \(Y\) vérifient \(X \cap Y = \emptyset\), la commutativité et l'associativité de l'addition nous donnent la propriété d'additivité :

\[\sum_{x \in X \cup Y} f(x) = \sum_{x \in X} f(x) + \sum_{x \in Y} f(x)\]

Soit les ensembles \(\Omega\) et \(\Lambda\) comportant un nombre fini d'éléments, la fonction \(f : \Omega \mapsto \corps\) et la collection d'ensembles :

\[\Theta = \{ X(\lambda) \subseteq \Omega : \lambda \in \Lambda \}\]

où \(X : \Lambda \mapsto \sousens(\Omega)\). On définit la fonction \(S : \Lambda \mapsto \corps\) représentant les sommes associées par :

\[S(\lambda) = \sum_{x \in X(\lambda)} f(x)\]

On suppose que \(\Theta\) forme une partition de \(\Omega\). On a alors :

\[X(\lambda) \cap X(\mu) = \emptyset\]

pour tout \(\lambda,\mu \in \Lambda\) tels que \(\lambda \ne \mu\) et :

\[\Omega = \bigcup_{\lambda \in \Lambda} X(\lambda)\]

Alors, l'associativité et la commutativité de l'addition nous permettent de regrouper les termes de \(\Omega\) par sous-ensembles \(X(\lambda)\), et on a :

\[\sum_{x \in \Omega} f(x) = \sum_{\lambda \in \Lambda} S(\lambda) = \sum_{\lambda \in \Lambda} \left[ \sum_{x \in X(\lambda)} f(x) \right]\]

Soit les sous-ensembles \(X,Y \subseteq \Omega\) comportant un nombre fini d'éléments et la fonction \(f : X \times Y \mapsto \corps\). On définit la fonction \(A : X \mapsto \sousens(X \times Y)\) par :

\[A(x) = \{ (x,y) : y \in Y \}\]

pour tout \(x \in X\). Les sommes associées s'écrivent :

\[S(x) = \sum_{(\lambda,y) \in A(x)} f(\lambda,y)\]

Comme les éléments de \(A(x)\) sont de la forme \((x,y)\), on a forcément \(\lambda = x\). Par conséquent, parcourir \(A(x)\) revient à parcourir les \(y \in Y\) en gardant \(\lambda = x\) fixé et on a :

\[S(x) = \sum_{y \in Y} f(x,y)\]

On se rend compte que les ensembles de cette collection ne se chevauchent pas :

\[A(\lambda) \cap A(\mu) = \emptyset\]

pour tout \(\lambda, \mu \in X\) tels que \(\lambda \ne \mu\). On a aussi :

\[X \times Y = \bigcup_{\lambda \in X} A(\lambda)\]

Nous pouvons par conséquent utiliser l'additivité généralisée, ce qui nous donne :

\[\sum_{(x,y) \in X \times Y} f(x,y) = \sum_{x \in X} S(x)\]

soit, en tenant compte de l'expression de \(S(x)\) :

\[\sum_{(x,y) \in X \times Y} f(x,y) = \sum_{x \in X} \sum_{y \in Y} f(x,y)\]

On montre également que :

\[\sum_{(x,y) \in X \times Y} f(x,y) = \sum_{y \in Y} \sum_{x \in X} f(x,y)\]

Soit les fonctions \(f,g : \Omega \mapsto \corps\) et les sous-ensembles \(X,Y \subseteq \Omega\) comportant un nombre fini d'éléments. On a :

\[\sum_{(x,y) \in X \times Y} f(x) \cdot g(y) = \sum_{x \in X} \sum_{y \in Y} f(x) \cdot g(y)\]

Mais comme la valeur de \(f(x)\) ne dépend pas de \(y\), on peut appliquer la distributivité du produit sur l'addition pour faire sortir les valeurs de \(f\) de la somme sur \(y\) et :

\[\sum_{(x,y) \in X \times Y} f(x) \cdot g(y) = \sum_{x \in X} \left[ f(x) \cdot \sum_{y \in Y} g(y) \right]\]

A nouveau, comme la somme de \(g\) sur \(Y\) ne dépend pas de \(x\), on peut la faire sortir et :

\[\sum_{(x,y) \in X \times Y} f(x) \cdot g(y) = \left[ \sum_{y \in Y} g(y) \right] \cdot \left[ \sum_{x \in X} f(x) \right]\]

La multiplication étant commutative, on a également :

\[\sum_{(x,y) \in X \times Y} f(x) \cdot g(y) = \left[ \sum_{x \in X} f(x) \right] \cdot \left[ \sum_{y \in Y} g(y) \right]\]

Soit un corps commutatif \(\corps\) et l'ensemble d'indices \(\mathcal{Z}\). Supposons que l'on puisse écrire l'ensemble \(A \subseteq \corps\) sous la forme :

\[A = \{ a_k : k \in \mathcal{Z} \}\]

On associe à \(A\) la fonction \(\varphi : \mathcal{Z} \mapsto A\) définie par :

\[\varphi(k) = a_k\]

pour tout \(k \in \mathcal{Z}\). Pour tout sous-ensemble \(I \subseteq \mathcal{Z}\), on définit alors :

\[\sum_{k \in I} a_k = \sum_{k \in I} \varphi(k)\]

sous réserve d'existence de la somme.

Soit \(m,n \in \setZ\). Nous définissons l'intervalle discret :

\[\setZ[m,n] = \{ z \in \setZ : m \le z \le n \}\]

Si \(\setZ[m,n] \subseteq \mathcal{Z}\), on a simplement :

\[\sum_{k \in \setZ[m,n]} a_k = a_m + a_{m+1} + ... + a_{n-1} + a_n\]

On note aussi :

\[\sum_{k = m}^n a_k = \sum_{k = n}^m a_k = \sum_{k \in \setZ[m,n] } a_k\]

Soit les ensembles :

\[A = \{ a_k : k \in \mathcal{Z} \} \subseteq \corps\] \[B = \{ b_k : k \in \mathcal{Z} \} \subseteq \corps\]

et \(\alpha, \beta \in \corps\). Si \(I \subseteq \mathcal{Z}\) compte un nombre fini d'éléments, on a clairement :

\[\sum_{k \in I} (\alpha \cdot a_{k} + \beta \cdot b_k) = \alpha \cdot \sum_{k \in I} a_k + \beta \cdot \sum_{k \in I} b_k\]

Soit les sous-ensembles \(I,J \subseteq \setZ\) comportant un nombre fini d'éléments, et :

\[A = \{ a_{ij} \in E : (i,j) \in I \times J \}\]

Il découle directement de la formule des sommes sur les produits cartésiens que :

\[\sum_{(i,j) \in I \times J} a_{ij} = \sum_{i \in I} \sum_{j \in J} a_{ij} = \sum_{j \in J} \sum_{i \in I} a_{ij}\]

Soit les ensembles :

\[A = \{ a_k : k \in \mathcal{Z} \} \subseteq \corps\] \[B = \{ b_k : k \in \mathcal{Z} \} \subseteq \corps\]

et les ensembles \(I,J \subseteq \mathcal{Z}\) comportant un nombre fini d'éléments. La somme du produit se déduit du résultat analogue des sommes génériques :

\[\sum_{(i,j) \in I \times J} a_i \cdot b_j = \left[ \sum_{i \in I} a_i \right] \cdot \left[ \sum_{j \in J} b_j \right]\]

Soit le triangle discret :

\[\Delta = \{ (i,j) \in \setZ[0,N] \times \setZ[0,N] : \ j \le i \}\]

et un ensemble :

\[A = \{ a_{ij} : (i,j) \in \Delta \}\]

Le triangle \(\Delta\) peut être aussi défini par :

\[\Delta = \{ (i,j) \in \setZ^2 : 0 \le i \le N, \quad 0 \le j \le i\}\]

La somme sur \(\Delta\) peut donc se réécrire :

\[\sum_{(i,j) \in \Delta} a_{ij} = \sum_{i=0}^N \sum_{j=0}^i a_{ij}\]

Une autre définition alternative de \(\Delta\) nous donne :

\[\Delta = \{(i,j) \in \setZ^2 : 0 \le j \le N, \quad j \le i \le N\}\]

On a donc également :

\[\sum_{(i,j)\in\Delta} a_{ij} = \sum_{j=0}^N \sum_{i=j}^N a_{ij}\]

On en déduit une relation permettant d'inverser les sommes :

\[\sum_{i=0}^N \sum_{j=0}^i a_{ij} = \sum_{j=0}^N \sum_{i=j}^N a_{ij} = \sum_{(i,j)\in\Delta} a_{ij}\]

• Chapitre \ref{chap:reel} : Les réels
• Chapitre \ref{chap:complexe} : Les complexes
• Chapitre \ref{chap:somme} : Les sommes

Soit le corps \(\corps\) sur lequel est défini une relation d'ordre total ainsi des opérations d'addition, de multiplication, de soustraction, de division et de puissance similaires à celles de \(\setQ\).

Soit un ensemble \(\Omega\) et la fonction \(f : \Omega \mapsto \corps\). On note le produit de \(f\) sur \(X\) par :

\[\prod_{x \in X} f(x)\]

pour tout sous-ensemble \(X \subseteq \Omega\). Il s'agit intuitivement du produit des \(f(x) \in \corps\) lorsque \(x\) parcourt \(X\). Nous allons voir comment le formaliser.

Si deux ensembles \(X,Y \subseteq \Omega\) ne se chevauchent pas :

\[X \cap Y = \emptyset\]

le produit sur l'union des deux est intuitivement le produit des produits sur chacun d'entre-eux :

\[\prod_{z \in X \cup Y} f(z) = \left[ \prod_{z \in X} f(z) \right] \cdot \left[ \prod_{z \in Y} f(z) \right]\]

Comme \(X = X \cup \emptyset\) et \(X \cap \emptyset = \emptyset\), on en déduit que :

\[\prod_{x \in X} f(x) = \prod_{x \in X \cup \emptyset} f(x) = \prod_{x \in X} f(x) \cdot \prod_{x \in \emptyset} f(x)\]

Le produit sur l'ensemble vide doit donc être le neutre pour la multiplication :

\[\prod_{x \in \emptyset} f(x) = 1\]

Il semble également logique d'imposer que le produit sur un ensemble contenant un seul élément \(a \in X\) soit égal à \(f(a)\) :

\[\prod_{ x \in \{ a \} } f(x) = f(a)\]

Voilà qui complète les caractéristiques génériques des produits.

Soit l'ensemble \(X\) non vide, ensemble dont nous voulons évaluer le produit. Choisissons un élément \(a \in A\) et considérons la décomposition :

\[X = \{ a \} \cup ( X \setminus \{ a \} )\]

Comme l'intersection des deux ensembles du membre de droite est vide :

\[\{ a \} \cap ( X \setminus \{ a \} ) = \emptyset\]

on peut écrire :

\[\prod_{x \in X} f(x) = \prod_{ x \in \{ a \} } f(x) \cdot \prod_{x \in X \setminus \{ a \} } f(x)\]

c'est-à-dire :

\[\prod_{x \in X} f(x) = f(a) \cdot \prod_{x \in X \setminus \{ a \} } f(x)\]

On en déduit un algorithme itératif permettant d'estimer le produit :

\[S \approx \prod_{x \in X} f(x)\]

Nous partons de :

A chaque étape \(k\), nous choisissons \(a_k \in X_k\) et nous adaptons notre estimation par :

\[S_{k + 1} = f(a_k) \cdot S_k\]

On retire ensuite \(a_k\) de \(X_k\) pour éviter de le compter plus d'une fois, ce qui nous donne l'ensemble suivant :

\[X_{k + 1} = X_k \setminus \{ a_k \}\]

Soit l'ensemble \(X\) contenant un nombre fini \(N \in \setN\) d'éléments :

\[X = \{ a_1, a_2, ..., a_N \}\]

En appliquant l'algorithme d'évaluation d'une somme, on finit par arriver à l'itération \(N\) avec :

\[X_N = \emptyset\]

On a simplement :

\[\prod_{x \in X} f(x) = S_N \cdot \prod_{x \in \emptyset} f(x) = S_N \cdot 1 = S_N\]

et :

\[\prod_{x \in X} f(x) = S_N = f(a_1) \cdot f(a_2) \cdot ... \cdot f(a_N)\]

On note :

\[\prod_{k = 1}^N f(a_k) = f(a_1) \cdot f(a_2) \cdot ... \cdot f(a_N)\]

Soit \(n \in \setN\). Nous allons tenter d'évaluer la somme :

\[S_n = \sum_{i = 0}^n i = 0 + 1 + 2 + ... + n\]

L'idée est d'exprimer que cette somme est équivalente à :

\[(n - 0) + (n - 1) + ... + (n - n)\]

Si nous posons \(j\) tel que \(i = n - j\), on voit que l'on a \(j = n -i\) et \(0 \le j \le n\). Donc :

\[S_n = \sum_{j = 0}^n (n-j)\]

Développons :

\[\sum_{j = 0}^n (n-j) = \sum_{j = 0}^{n} n - \sum_{j = 0}^{n} j\]

Le premier terme du membre de droite peut se réécrire :

\[\sum_{j = 0}^n n = n \cdot \sum_{j = 0}^{n} 1 = n \cdot (n + 1)\]

Pour le second, on a clairement :

\[\sum_{j = 0}^n j = S_n\]

On en conclut que :

\[S_n = n \cdot (n + 1) - S_n\]

c'est-à-dire :

\[2 S_n = n \cdot (n + 1)\]

Divisant par \(2\), on obtient le résultat final :

\[\sum_{i = 0}^{n} i = \frac{ n \cdot (n + 1) }{ 2 }\]

Soit \(n \in \setN\) et \(a \in \corps\). Nous allons rechercher une expression de la somme :

\[G_n = \sum_{i=0}^n a^i = 1 + a + a^2 + ... + a^n\]

Si \(a = 1\), on a simplement :

\[G_n = \sum_{i=0}^n a^i = 1 + ... + 1 = n\]

Intéressons-nous à présent au cas où \(a \ne 1\). On part du constat que la somme \(G_n\) est équivalente à :

\[1 + a \cdot (1 + a + a^2 + ... + a^n) - a^{n+1}\]

On développe en ce sens :

\begin{align} G_n &= 1 + \sum_{i = 1}^n a^i \\ &= 1 + a \cdot \sum_{i = 0}^{n - 1} a^i \\ &= 1 + a \cdot \sum_{i = 0}^n a^i - a^{n + 1} \end{align}

et finalement, on arrive à l'équation implicite :

\[G_n = 1 + a \cdot G_n - a^{n + 1}\]

En soustrayant \(a \cdot G_n\) des deux membres, on obtient :

\[(1 - a) \cdot G_n = 1 - a^{n + 1}\]

Comme \(a \ne 1\), on en déduit que :

\[\sum_{i = 0}^n a^i = \frac{ 1 - a^{n + 1} }{ 1 - a }\]

\label{sec:factorisation_progression_geometrique}

Les progressions géométriques permettent d'obtenir une importante formule de factorisation. Soit \(a,b \in \corps\) avec \(a \ne 0\). Posons :

\[r = \frac{b}{a}\]

On a alors :

\[(1 - r) \cdot \sum_{i = 0}^n r^i = 1 - r^{n + 1}\]

Multipliant par \(a^{n + 1}\), on obtient :

\[(a - b) \cdot a^n \cdot \sum_{i = 0}^n \frac{b^i}{a^i} = a^{n + 1} - b^{n + 1}\]

En faisant rentrer le facteur \(a^n\) dans la somme, on a en définitive :

\[a^{n + 1} - b^{n + 1} = (a - b) \cdot \sum_{i = 0}^n a^{n - i} \cdot b^i\]

Considérons la somme :

\[C_n = \sum_{i = 0}^n i^2 = 1 + 4 + 16 + ... + n^2\]

La progression arythmétique nous dit que :

\[\frac{1}{2} \cdot i \cdot (i+1) = \sum_{j=0}^i j\]

On a par conséquent :

\[\sum_{i = 0}^n \frac{1}{2} \cdot i \cdot (i+1) = \sum_{i = 0}^n \sum_{j = 0}^i j\]

On peut utiliser le lemme du triangle pour inverser les deux sommes du membre de droite :

\[\sum_{i = 0}^n \sum_{j = 0}^i j = \sum_{j = 0}^n \sum_{i = j}^n j\]

Comme \(j\) ne dépend pas de \(i\), on peut le faire sortir de la somme sur \(i\) et le membre de droite devient :

\[\sum_{j = 0}^n \sum_{i = j}^n j = \sum_{j = 0}^n j \sum_{i = j}^n 1 = \sum_{j = 0}^n j \cdot (n - j + 1)\]

En tenant compte de la linéarité des sommes, on a alors :

\begin{align} \sum_{j = 0}^n j \cdot (n - j + 1) &= (n + 1) \cdot \sum_{j = 0}^n j - \sum_{j = 0}^n j^2 \\ &= \frac{1}{2} \cdot n \cdot (n + 1)^2 - C_n \end{align}

D'un autre côté, on a :

\[\sum_{i = 0}^n \frac{1}{2} \cdot i \cdot (i+1) = \frac{1}{2} \sum_{i = 0}^n (i^2 + i) = \frac{1}{2} \cdot C_n + \frac{1}{4} \cdot n \cdot (n + 1)\]

En égalisant ces deux expressions, on obtient :

\[\frac{3}{2} \cdot C_n &= \frac{1}{4} \cdot \Big[ 2 \cdot n \cdot (n + 1)^2 - n \cdot (n + 1) \Big]\]

Ou encore :

\begin{align} 6 \cdot C_n &= ( 2 \cdot n \cdot (n + 1) - n ) \cdot (n + 1) \\ &= ( 2 \cdot n^2 + n ) \cdot (n + 1) \end{align}

On a donc la formule permettant d'évaluer la somme des carrés :

\[\sum_{i = 0}^n i^2 = \frac{ (2 \cdot n^2 + n) \cdot (n + 1) }{ 6 }\]

Etant donné une suite :

\[A = \{ a_k : k \in \setN \} \subseteq \corps\]

on définit l'opérateur des différences \(\difference\) par :

\[\difference a_k = a_{k + 1} - a_k\]

Soit les suites :

\[A = \{ a_k : k \in \setN \} \subseteq \corps\]

et :

\[B = \{ b_k : k \in \setN \} \subseteq \corps\]

La différence de l'addition vérifie :

\[\difference (a_k + b_k) = a_{k + 1} + b_{k + 1} - a_k - b_k = \difference a_k + \difference b_k\]

Soit les suites :

\[A = \{ a_k : k \in \setN \} \subseteq \corps\]

et :

\[B = \{ b_k : k \in \setN \} \subseteq \corps\]

La différence de la multiplication vérifie :

\[\difference (a_k \cdot b_k) = a_{k + 1} \cdot b_{k + 1} - a_k \cdot b_k\]

Ajoutons et soustrayons le terme hybride \(a_{k + 1} \cdot b_k\). On a :

\[\difference (a_k \cdot b_k) = a_{k + 1} \cdot b_{k + 1} - a_{k + 1} \cdot b_k + a_{k + 1} \cdot b_k - a_k \cdot b_k\]

et :

\[\difference (a_k \cdot b_k) = a_{k + 1} \cdot \difference b_k + \difference a_k \cdot b_k\]

Ajoutons et soustrayons le terme hybride \(a_k \cdot b_{k + 1}\). On a :

\[\difference (a_k \cdot b_k) = a_{k + 1} \cdot b_{k + 1} - a_k \cdot b_{k + 1} + a_k \cdot b_{k + 1} - a_k \cdot b_k\]

et :

\[\difference (a_k \cdot b_k) = \difference a_k \cdot b_{k + 1} + a_k \cdot \difference b_k\]

On définit également :

\[\difference \sum_{k = 0}^n a_k = \sum_{k = 1}^{n + 1} a_k - \sum_{k = 0}^n a_k\]

La définition nous donne directement :

\[\difference \sum_{k = 0}^n a_k = (a_1 + ... + a_{n + 1}) - (a_0 + ... + a_n)\]

Tous les termes se neutralisant sauf \(a_0\) et \(a_{n + 1}\), on a :

\[\difference \sum_{k = 0}^n a_k = a_{n + 1} - a_0\]

On voit aussi que :

\[\sum_{k = 0}^n \difference a_k = (a_{n + 1} - a_n) + ... + (a_2 - a_1) + (a_1 - a_0)\]

Tous les termes se neutralisant mutuellement sauf le permier et le dernier, on a :

\[\sum_{k = 0}^n \difference a_k = a_{n + 1} - a_0\]

Ce résultat étant identique au précédent, on a :

\[\difference \sum_{k = 0}^n a_k = \sum_{k = 0}^n \difference a_k = a_{n + 1} - a_0\]

Soit les suites :

\[A = \{ a_k : k \in \setN \} \subseteq \corps\]

et :

\[B = \{ b_k : k \in \setN \} \subseteq \corps\]

On a :

\[\sum_{k = 0}^n \difference (a_k \cdot b_k) = a_{n + 1} \cdot b_{n + 1} - a_0 \cdot b_0\]

En utilisant la loi de différence d'une multiplication, on obtient parallèlement :

\[\sum_{k = 0}^n \difference (a_k \cdot b_k) = \sum_{k = 0}^n \difference a_k \cdot b_{k + 1} + \sum_{k = 0}^n a_k \cdot \difference b_k\]

On a donc :

\[\sum_{k = 0}^n a_k \cdot \difference b_k = \sum_{k = 0}^n \difference (a_k \cdot b_k) - \sum_{k = 0}^n \difference a_k \cdot b_{k + 1}\]

c'est-à-dire :

$$∑_{k = 0}ⁿ a_k ⋅ \difference b_k = a_{n + 1} ⋅ b_{n + 1} - a₀ ⋅ b₀ - ∑_{k = 0}ⁿ \difference a_k ⋅ b_{k + 1}

• Chapitre \ref{chap:rationnels} : Les rationnels
• Chapitre \ref{chap:distances} : Les distances
• Chapitre \ref{chap:limites} : Les limites

Une suite de rationnels, ou suite rationnelle est une suite \(s : \setN \mapsto \setQ\) :

\[s : n \mapsto s_n\]

On définit une distance sur l'ensemble des rationnels \(\setQ\) par :

\[\distance(x,y) = \abs{x - y}\]

pour tout \(x,y \in \setQ\). On a bien \(\distance(x,y) \ge 0\). La condition \(\distance(x,y) = 0\) implique que \(\abs{x - y}\), donc \(x - y = 0\) et \(x = y\). Enfin :

\begin{align} \distance(x,z) &= \abs{x - z} \\ &\le \abs{x - y} + \abs{y - z} \\ &\le \distance(x,y) + \distance(y,z) \end{align}

Soit les suites rationnelles \(s,t : \setN \mapsto \setQ\) vérifiant \(s \equiv t\). On a :

\[\lim_{n \to \infty} \distance(s_n,t_n) = \lim_{n \to \infty} \abs{s_n - t_n} = 0\]

On en déduit que :

\[\lim_{n \to \infty} (s_n - t_n) = 0\]

Soit un rationnel \(I_0\) vérifiant \(I_0 \strictsuperieur 0\) et la suite \(I : \setN \setminus \{ 0 \} \mapsto \setQ\) définie par :

\[I : n \mapsto I_n = \frac{I_0}{n}\]

pour tout naturel \(n\) vérifiant \(n \ne 0\). Soit \(\epsilon \strictsuperieur 0\). Comme \(I_0\) est strictement positif, on a :

\[\epsilon \cdot \frac{1}{I_0} = \frac{\epsilon}{I_0} \strictsuperieur 0\]

Soit \(\epsilon \strictsuperieur 0\). On peut trouver un naturel \(n\) tel que :

\[\frac{1}{n} \strictinferieur \frac{\epsilon}{I_0}\]

On a alors :

\[\frac{I_0}{n} \strictinferieur \epsilon\]

et :

\[\distance\left(0,\frac{I_0}{n}\right) = \abs{\frac{I_0}{n} - 0} = \abs{\frac{I_0}{n}} \strictinferieur \epsilon\]

On en déduit que :

\[\lim_{n \to \infty} \frac{I_0}{n} = 0\]

Nous allons tenter de déterminer la racine de deux, c'est-à-dire chercher un nombre noté :

\[x = \sqrt{2}\]

tel que :

\[x^2 = \left(\sqrt{2}\right)^2 = 2\]

Nous allons chercher une solution à ce problème sous la forme d'un rationnel \(x \in \setQ\). Soit :

\[x = \frac{i}{j}\]

avec \(i,j \in \setZ\) et \(j \ne 0\). On a :

\[x^2 = \frac{i^2}{j^2} = \frac{(-i)^2}{(-j)^2} = \frac{(-i)^2}{j^2} = \frac{i^2}{(-j)^2}\]

On peut donc se restreindre aux entiers positifs, autrement dit aux naturels. Si \(i = 0\), on a forcément :

\[\frac{i^2}{j^2} = 0 \ne 2\]

ce qui ne résout pas notre problème. Supposons à présent que \(i \ne 0\) et posons :

\[k = \pgcd(i,j)\]

On a alors \(k \ne 0\) et les quotients :

\[a = i \diventiere k\]

\[b = j \diventiere k\]

vérifiant les divisions exactes :

\[i = a \cdot k\] \[j = b \cdot k\]

Si nous voulons résoudre le problème, il faut donc avoir :

\[\left(\frac{a}{b}\right)^2 = \frac{a^2}{b^2} = \frac{a^2 \cdot k^2}{b^2 \cdot k^2} = \frac{i^2}{j^2} = 2\]

c'est-à-dire :

\[a^2 = 2 \ b^2\]

On a donc :

\[a^2 \diventiere 2 = b^2\]

et :

\[a^2 \modulo 2 = 0\]

On ne peut pas trouver de solution exacte à l'équation \(x^2 = 2\) dans l'ensemble des rationnels, mais on peut l'approcher autant qu'on le souhaite. Soit les suites de naturels \(n : k \mapsto n_k\) et \(M : k \mapsto M_k\) définies par :

\[n_k = 10^k\]

\[M_k = \sup \accolades{p \in \setN : \frac{p^2}{n_k^2} \le 2}\]

pour tout \(k \in \setN\). On définit aussi les rationnels associés :

\[x_k = \frac{M_k}{n_k}\]

et les erreurs :

\[E_k = 2 - x_k^2\]

On a :

\[n_0 = 1 \qquad M_0 = 1 \qquad x_0 = 1 \qquad E_0 = 1\] \[n_1 = 10 \qquad M_1 = 14 \qquad x_1 = 1,4 \qquad E_1 = 0,04\] \[n_2 = 100 \qquad M_2 = 141 \qquad x_2 = 1,41 \qquad E_2 = 0,0119\]

et ainsi de suite.

Soit les suites de naturels \(n : k \mapsto n_k\) et \(m : k \mapsto m_k\) définies par :

\[n_k = 10^k\]

\[m_k = \inf \accolades{p \in \setN : \frac{p^2}{n_k^2} \ge 2}\]

pour tout \(k \in \setN\). On définit aussi les rationnels associés :

\[y_k = \frac{m_k}{n_k}\]

et les erreurs :

\[e_k = y_k^2 - 2\]

On a :

\[n_0 = 1 \qquad m_0 = 2 \qquad y_0 = 2 \qquad e_0 = 2\] \[n_1 = 10 \qquad m_1 = 15 \qquad y_1 = 1,5 \qquad e_1 = 0,25\] \[n_2 = 100 \qquad m_2 = 142 \qquad y_2 = 1,42 \qquad e_2 = 0,0164\]

et ainsi de suite.

On sait que :

\[x_k = \frac{M_k}{n_k} \le \frac{M_k + 1}{n_k} = \frac{m_k}{n_k} = y_k\]

pour tout \(k \in \setN\). Donc :

\[y_k - x_k \ge 0\]

et :

\[\abs{y_k - x_k} = y_k - x_k\]

On a aussi \(x_k^2 \le y_k^2\) et :

\[\abs{y_k^2 - x_k^2} = y_k^2 - x_k^2\]

En soustrayant les inégalités :

\[y_k^2 \le 2 + \gamma_k\] \[x_k^2 \ge 2 - \alpha_k\]

on obtient :

\[y_k^2 - x_k^2 \le (2 + \gamma_k) - (2 - \alpha_k) = \gamma_k + \alpha_k\]

Posons :

\[\varpi_k = \gamma_k + \alpha_k = \frac{4}{n_k} + \frac{5}{n_k} = \frac{9}{n_k}\]

On a :

\[\abs{y_k^2 - x_k^2} \le \varpi_k\]

Comme \(y_k \ge x_k \ge x_0 = 1\), on a :

\[y_k + x_k \ge 1 + 1 = 2\]

La factorisation :

\[y_k^2 - x_k^2 = (y_k - x_k) \cdot (y_k + x_k) \ge (y_k - x_k) \cdot 2\]

nous donne la borne :

\[\abs{y_k - x_k} \le \frac{\abs{y_k^2 - x_k^2}}{2} \le \frac{\varpi_k}{2}\]

Comme :

\[\lim_{k \to \infty} \varpi_k = \lim_{k \to \infty} \frac{9}{n_k} = 0\]

on en déduit que :

\[\lim_{k \to \infty} \abs{y_k - x_k} = 0\]

et :

\[\lim_{k \to \infty} (x_k - y_k) = 0\]

La racine de deux n'existe pas dans l'ensemble des rationnels, mais on peut trouver des suites de rationnels de Cauchy, croissante et majorée :

\[1 = x_0 \le x_1 \le ... \le x_k \le ... \le 2\]

ou décroissante et minorée :

\[2 = y_0 \ge y_1 \ge ... \ge y_k \ge ... \ge 1\]

dont les carrés convergent vers \(2\) :

\[\lim_{k \to \infty} x_k^2 = \lim_{k \to \infty} y_k^2 = 2\]

On a également les propriétés extrémales :

\[\sup \accolades{x_k^2 : k \in \setN} = \inf \accolades{y_k^2 : k \in \setN} = 2\]

et l'équivalence :

\[\lim_{k \to \infty} (x_k - y_k) = 0\]

On aimerait en déduire que les suites convergent et que :

\[\sqrt{2} = \lim_{k \to \infty} x_k = \lim_{k \to \infty} y_k = \sup \accolades{x_k : k \in \setN} = \inf \accolades{y_k : k \in \setN}\]

Malheureusement, ces limites et extrema n'existent pas dans l'ensemble des rationnels. Nous sommes donc amenés à associer au nombre \(\sqrt{2}\) des ensembles associés à ces suites. La généralisation de ces propriétés nous mène à la construction des nombres réels.

• Chapitre \ref{chap:naturels} : Les nombres naturels
• Chapitre \ref{chap:entiers} : Les nombres entiers
• Chapitre \ref{chap:rationnels} : Les nombres rationnels

On note \(\mathfrak{C}^\top\) l'ensemble des suites de Cauchy rationnelles croissantes, \(\mathfrak{C}^\bot\) l'ensemble des suites de Cauchy rationnelles décroissantes et :

\[\mathfrak{C} = \mathfrak{C}^\top \cup \mathfrak{C}^\bot\]

l'ensemble des suites de Cauchy rationnelles monotones.

\[\lambda(u) = \{ v \in \setQ : v \le u \}\]

\[\theta(u) = \{ v \in \setQ : v \ge u \}\]

\[s : \setN \mapsto \setQ\]

\[s : n \mapsto s_n\]

\[\Lambda(s) = \sup_\subseteq \{ \lambda(s_n) : n \in \setN \}\]

\[\Lambda(s) = \bigcup_{n \in \setN} \lambda(s_n) = \bigcup_{n \in \setN} \{ v \in \setQ : v \le s_n \}\]

\[\Theta(s) = \inf_\subseteq \{ \theta(s_n) : n \in \setN \}\]

\[\Theta(s) = \bigcap_{n \in \setN} \theta(s_n) = \bigcap_{n \in \setN} \{ v \in \setQ : v \ge s_n \}\]

On aimerait bien étendre \(\setQ\) en construisant un ensemble qui contienne la solution \(r\) d'équations telles que \(r^2 = 2\). Notons que si \(r^2 = 2\) et que l'on veut garder dans cet ensemble étendu les propriétés des rationnels, on doit également avoir \((-r)^2 = r^2 = 2\). Il y aurait donc deux solutions. Nous allons étudier séparément la solution liée aux rationnels positifs. Soit la fonction \(f : \setQ \mapsto \setQ\) définie par :

pour tout \(x \in \setQ\). On part de la constatation que, si la solution de \(f(x) = 2\) n'existe pas dans \(\setQ\), l'équation « sépare » les rationnels en deux catégories : les \(x\) tels que \(f(x) \strictinferieur 2\) et les \(y\) tels que \(f(y) \strictsuperieur 2\). Considérons l'ensemble :

\[R = \{ x \in \setQ : f(x) \strictinferieur 2 \}\]

Plus on augmente la valeur de \(x \in R\), plus l'erreur \(e = 2 - x^2 \strictsuperieur 0\) diminue. On a par conséquent envie de dire que la solution \(r\) est le plus grand des éléments de \(R\). Mais comme ni le maximum ni le supremum n'existent au sens de l'ordre \(\le\), nous le considérons plutôt au sens de l'inclusion ensembliste \(\subseteq\) sur les sous-ensembles de \(R\) :

\[r \equiv \sup_\subseteq \sousens(R) = R\]

Nous sommes donc amenés à associer un sous-ensemble \(R\) des rationnels à chaque élément \(r\) de l'ensemble que nous désirons construire. Mais nous n'allons pas prendre n'importe quel sous-ensemble de \(\setQ\) : on désire que les sous-ensembles acceptés vérifie des propriétés analogues à notre \(R\) particulier. Or, pour tout \(x \in R\), l'ensemble :

\[\Lambda(x) = \{ y \in \setQ : y \strictinferieur x \}\]

est inclus dans \(R\). Cette propriété est à la base de la construction des réels.

On nomme réel tout nombre \(r\) associé à un sous-ensemble \(R \subseteq \setQ\) tel que :

• \(R \ne \emptyset\)
• Il existe un \(\mu \in \setQ\) tel que \(R \le \mu\)
• Pour tout \(x \in R\) et \(y \in \setQ\) tel que \(y \strictinferieur x\), on a \(y \in R\) :

\[\Lambda(x) = \{ y \in \setQ : y \strictinferieur x \} \subseteq R\]

• Le maximum de \(R\) n'existe pas.

On note \(\setR\) l'ensemble des réels.

On peut associer à tout rationnel \(x \in \setQ\) un ensemble \(\Lambda(x)\). Or, on a clairement \(\Lambda(x) \ne \emptyset\) et \(\Lambda(x) \le x\). Soit \(s \in \Lambda(x)\). On a \(\Lambda(s) \subseteq \Lambda(x)\). On peut aussi trouver un \(t \in \Lambda(x)\) tel que \(s \strictinferieur t \strictinferieur x\). Donc, \(s\) ne peut pas être le maximum de \(\Lambda(x)\). On en conclut que tout rationnel \(x\) correspond au réel associé à \(\Lambda(x)\). Les entiers pouvant être considérés comme des cas particuliers de rationnels et les naturels comme des cas particuliers d'entiers, on a donc finalement : \(\setN \subseteq \setZ \subseteq \setQ \subseteq \setR\).

L'ordre sur les réels découle directement de l'ordre \(\subseteq\) sur les ensembles. Soit \(r \in \setR\) associé au sous-ensemble \(R \subseteq \setQ\) et \(s \in \setR\) associé au sous-ensemble \(S \subseteq \setQ\). On dit que \(r\) est plus petit que \(s\) et on le note :

\[r \le s\]

si et seulement si \(R\) est inclus dans \(S\) :

\[R \subseteq S\]

L'addition de \(r \in \setR\) associé à \(R\) et de \(s \in \setR\) associé à \(S\) est définie par :

\[r + s \equiv \{ x + y \in \setQ : x \in R, \ y \in S \}\]

Soit \(0 \in \setQ\) et le sous-ensemble de rationnel correspondant :

\[Z = \{ x \in \setQ : x \strictinferieur 0 \}\]

Soit \(r \in \setR\) associé à l'ensemble \(R\) et l'ensemble \(S = R + Z\) associé à l'addition \(r + 0\).

Tout \(s \in S\) peut s'écrire sous la forme \(s = x + z\), pour un certain \(x \in R\) et un certain \(z \in Z\). Si \(z = 0\), on a bien évidemment \(s = x \in R\). Sinon, \(z \strictinferieur 0\) et \(s \strictinferieur x\), d'où \(s \in R\) par définition des réels. On a donc \(S \subseteq R\).

Réciproquement, soit un rationnel \(x \in R\). Si on avait \(y \le x\) pour tout \(y \in R\), notre \(x\) serait le maximum de \(R\), ce qui n'est pas possible par définition des réels. On peut donc trouver un \(y \in R\) tel que \(x \strictinferieur y\). Le rationnel \(d = x - y\) est strictement négatif et appartient donc à \(Z\). On en déduit que :

\[x = x - y + y = d + y\]

où \(d \in Z\) et \(y \in R\). Donc, \(x \in S\) et \(R \subseteq S\).

La double inclusion nous montre alors que \(R = S\), autrement dit que \(r + 0 = r\). L'élement neutre pour l'addition, noté \(0 \in \setR\), est donc associé à l'ensemble des rationnels strictement négatifs :

\[0 \equiv \{ x \in \setQ : x \strictinferieur 0 \}\]

On définit les ensembles des réels positifs et négatifs par :

La fonction signe est définie par :

pour tout \(x \in \setR\)

Soit \(r \in \setR\). On aimerait bien trouver l'opposé \(-r \in \setR\) tel que :

\[r + (-r) = (-r) + r = 0\]

Si \(r \in \setQ\), on a simplement :

\[-r \equiv \Lambda(-r) = \{ x \in \setQ : x \strictinferieur -r \}\]

Si \(r \in \setR \setminus \setQ\), on définit l'association :

\[-r \equiv \{ -x : x \in \setQ \setminus R \}\]

ou \(R \subseteq \setQ\) est l'ensemble de rationnels associé à \(r\).

On définit la soustraction par :

\[r - s = r + (-s)\]

pour tout \(r,s \in \setR\).

La valeur absolue d'un réel \(r \in \setR\) est définie par :

\[\abs{r} = \sup \{ -r , r \}\]

On définit une distance sur \(\setR\) par :

\[\distance(x,y) = \abs{x - y}\]

On a bien \(\distance(x,y) \ge 0\). La condition \(\distance(x,y) = 0\) implique que \(\abs{x - y}\), donc \(x - y = 0\) et \(x = y\). Enfin :

\begin{align} \distance(x,z) &= \abs{x - z} \\ &\le \abs{x - y} + \abs{y - z} \\ &\le \distance(x,y) + \distance(y,z) \end{align}

L'arrondi inférieur d'un réel \(x \in \setR\) associé à \(X\) est le plus grand entier dont l'ensemble associé est inclus dans \(X\) :

\[\arrondiinf{x} = \sup \{ n \in \setZ, \ \Lambda(n) \subseteq X \}\]

L'arrondi supérieur est le plus petit entier dont l'ensemble associé inclut \(X\) :

\[\arrondisup{x} = \inf \{ n \in \setZ, \ X \subseteq \Lambda(n) \}\]

Soit \(r \in \setR\), l'entier \(m \in \setZ\) et le naturel \(n \in \setN\) tel que \(n \ne 0\). On considère la suite des rationnels \(x_n \in \setQ\) définis par :

\[x_n = \frac{m}{2^n}\]

On va tenter de choisir \(m\) pour que :

\[\abs{ \frac{m}{2^n} - r} \le \frac{1}{2^n}\]

Cette inégalité est équivalente à :

En multipliant par \(2^n\), on en déduit que :

\[r \cdot 2^n - 1 \le m \le r \cdot 2^n + 1\]

Il suffit donc de prendre :

\[m \in \{ \arrondisup{r \cdot 2^n} , \arrondiinf{r \cdot 2^n} \}\]

pour satisfaire la contrainte demandée. La suite des \(x_n\) converge vers \(r\) puisque :

\[\lim_{n \to \infty} \abs{x_n - r} = 0\]

On le note :

\[\lim_{n \to \infty} x_n = r\]

On peut donc également identifier tout réel à une suite de rationnels qui converge vers lui.

Soit \(r,s \in \setR\). et les suites de rationnels \(x_n\) et \(y_n\) vérifiant :

On définit la multiplication par :

\[r \cdot s = \lim_{n \to \infty} x_n \cdot y_n\]

L'inverse d'un réel \(r \in \setR\) est le réel \(r^{-1}\) tel que :

\[r \cdot r^{-1} = r^{-1} \cdot r = 1\]

Soit \(r,s \in \setR\) avec \(s \ne 0\). On définit la division de \(r\) par \(s\) par :

\[\frac{r}{s} = r \cdot s^{-1}\]

Soit \(x \in \setR\) et \(n \in \setN\). La puissance de \(x\) est comme d'habitude :

Les puissances négatives sont données par :

\[x^{-n} = \left( x^{-1} \right)^n\]

Comme l'inverse d'une puissance est la puissance de l'inverse, on a aussi :

\[x^{-n} = \left( x^n \right)^{-1}\]

Soit \(x \in \setR\) et \(n \in \setN\). On dit que \(z\) est la \(n^{ième}\) racine de \(x\) si :

\[z^n = x\]

On note alors indifféremment :

\[z = x^{1/n} = \sqrt[n]{x}\]

Un cas particulier important est celui de la racine carrée :

\[\sqrt{x} = \sqrt[2]{x} = x^{1/2}\]

Soit \(n \in \setN\) et \(a,b,x,y \in \setR\) avec :

On a :

\[a^n \cdot b^n = a \cdot ... \cdot a \cdot b \cdot ... \cdot b = a \cdot b \cdot ... \cdot a \cdot b = (a \cdot b)^n\]

On en déduit que :

\[\sqrt[n]{a^n \cdot b^n} = a \cdot b\]

c'est-à-dire :

\[\sqrt[n]{x \cdot y} = \sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y} = (x \cdot y)^{1/n} = x^{1/n} \cdot y^{1/n}\]

La racine d'un produit est égale au produit des racines.

Soit \(m,n \in \setN\) et \(a,b,c \in \setR\) avec :

On voit que :

\[a = b^{1/m} = \left( c^{1/n} \right)^{1/m}\]

Mais on aussi :

\[a^{m \cdot n} = \left( a^m \right)^n = b^n = c\]

donc :

\[a = c^{ 1/(m \cdot n) }\]

On en déduit finalement que :

\[\left( c^{1/n} \right)^{1/m} = c^{ 1/(m \cdot n) }\]

Soit \(x \in \setR\) et \(m,n \in \setN\). On définit les puissances fractionnaires par :

Comme la racine d'un produit est égale au produit des racines, on a aussi :

Soit \(a,b \in \setZ\) et \(x \in \setR\). Posons :

\[z = x^{ 1/(b \cdot d) }\]

On a alors :

On voit que :

\[x^{a/b} \cdot x^{c/d} = \left( z^d \right)^a \cdot \left( z^b \right)^c = z^{a \cdot d} \cdot z^{b \cdot c} = z^{a \cdot d + b \cdot c}\]

c'est-à-dire :

\[x^{a/b} \cdot x^{c/d} = x^{ \frac{a \cdot d + b \cdot c}{b \cdot d} }\]

qui n'est rien d'autre que :

\[x^{a/b} \cdot x^{c/d} = x^{ \frac{a}{b} + \frac{c}{d} }\]

Soit \(a,b \in \setZ\) et \(x \in \setR\). Posons :

\[z = x^{ 1/(b \cdot d) }\]

On constate que :

\[\left( x^{a/b} \right)^{c/d} = \left( z^{a \cdot d} \right)^{c/d} = z^{a \cdot c}\]

qui n'est rien d'autre que :

\[\left( x^{a/b} \right)^{c/d} = x^{ \frac{a \cdot c}{b \cdot d} }\]

Soit \(x, s \in \setR\) et la suite de rationnels \(\{ r_1,r_2,... \}\) convergeant vers \(s\) :

\[\lim_{i \to \infty} r_i = s\]

On définit la puissance réelle par :

\[x^s = \lim_{i \to +\infty} x^{r_i}\]

• Chapitre \ref{chap:reel} : Les nombres réels
• Chapitre \ref{chap:interval} : Les intervalles

Soit un sous-ensemble \(A \subseteq \setR\) avec \(A \ne \emptyset\). Pour tout réel \(x \in A\), on note \(Q(x)\) le sous-ensemble de rationnels associé.

• Supposons que \(A\) soit majoré (\(\major A \ne \emptyset\)). Choisissons \(\mu \in \major A\) et considérons le sous-ensemble de rationnels \(Q(\mu)\) associé à \(\mu\). Comme \(\mu \ge A\) et comme l'ordre \(\le\) est dérivé de l'ordre inclusif sur les sous-ensembles de rationnels associés, on a \(Q(x) \subseteq Q(\mu)\) pour tout \(x \in A\). On en conclut que l'union \(S\) des \(Q(x)\) est inclue dans \(Q(\mu)\) :

\[S = \bigcup_{x \in A} Q(x) \subseteq Q(\mu)\]

Comme \(Q(\mu)\) est majoré, on peut trouver un rationnel \(\sigma\) tel que :

\[S \subseteq Q(\mu) \le \sigma\]

Donc \(S \le \sigma\), ce qui prouve que \(S\) est majoré. D'un autre coté, comme les \(Q(x)\) ne sont pas vides, il est clair que leur union \(S\) n'est pas vide.

Soit \(\alpha \in S\) et le rationnel \(\beta \in \setQ\) vérifiant \(\beta \strictinferieur \alpha\). On peut trouver un \(x \in A\) tel que \(\alpha \in Q(x)\). Par définition des sous-ensembles de rationnels associés aux réels, on a \(\beta \in Q(x)\), donc \(\beta\) appartient à l'union \(S\). Enfin, si \(S\) admettait un maximum \(M\), on on pourrait trouver un \(x \in A\) tel que \(M \in Q(x)\). On aurait aussi \(Q(x) \subseteq S \le M\), et donc \(Q(x) \le M\), ce qui contredit la définition des réels. On en conclut que l'ensemble \(S\) correspond à un réel \(s\). Mais on sait que le supremum inclusif est égal à l'union :

\[S = \sup_\subseteq \{ Q(x) \in \sousens(\setQ) : x \in A \} \]

L'ordre \(\le\) des réels étant dérivé de \(\subseteq\), on en conclut que le supremum de \(A\) existe et que :

\[s = \sup A\]

Nous avonc donc prouvé que tout sous-ensemble \(A\) non vide majoré de \(\setR\) admet un supremum.

• Supposons que \(A\) soit minoré (\(\minor A \ne \emptyset\)). Choisissons \(\lambda \in \minor A\) et posons :

\[-A = \{ -x \in \setR : x \in A \}\]

Comme \(\lambda \le x\) pour tout \(x \in A\), on a \(-\lambda \ge -x\) et \(-\lambda \in \major(-A) \ne \emptyset\). L'ensemble non vide \(-A\) est donc majoré et admet un supremum \(S = \sup(-A)\). On a \(S \ge -x\) pour tout \(x \in A\), donc \(I = -S \le x\) et \(I \in \minor A\). Choisissons \(\alpha \in \minor A\). On a \(\alpha \le x\) pour tout \(x \in A\), d'où \(-\alpha \ge -x\) et \(-\alpha \in \major(-A)\). On en déduit que \(-A \le S \le -\alpha\), c'est-à-dire \(\alpha \le I \le A\). Le réel \(I = -S\) est donc l'infimum de \(A\) :

\[\inf A = - \sup(-A)\]

Nous avonc donc prouvé que tout sous-ensemble \(A\) non vide minoré de \(\setR\) admet un infimum.

Soit \(A \subseteq \setR\) et \(r \in \setR\). Soit l'ensemble :

\[D = \{ \distance(r,x) : x \in A \}\]

• Supposons que \(r \in \adh A\). On a alors :

\[\distance(r,A) = \inf D = 0\]

Choisissons un réel \(\delta \strictsuperieur 0\). Si on avait \(\distance(x,r) \strictsuperieur \delta\) pour tout \(x \in A\), on aurait \(0 \strictinferieur \delta \le D\), ce qui contredit l'hypothèse d'infimum nul. Donc, pour tout \(\delta \strictsuperieur 0\), on peut trouver un \(x \in A\) tel que \(\distance(x,r) \le \delta\).

• Réciproquement, supposons que pour tout réel \(\delta \strictsuperieur 0\), on puisse trouver un \(x \in A\) tel que \(d = \distance(x,r) \le \delta\). Dans ce cas, on a \(\delta \le d \in D\). On en conclut que \(\delta \notin \minor D\). Par contre, si \(\delta \le 0\), on a \(\delta \le 0 \le D\) par positivité de la distance. On en conclut que \(\minor D = \intervallesemiouvertgauche{-\infty}{0}\), d'où :

\[\distance(r,A) = \inf D = \max \minor D = \max \intervallesemiouvertgauche{-\infty}{0} = 0\]

et \(r \in \adh A\).

• Supposons à présent que le supremum \(S = \sup A\) existe et que l'on puisse trouver un \(\delta \strictsuperieur 0\) tel que :

\[\distance(S,x) = \abs{S - x} = S - x \ge \delta\]

pour tout \(x \in A\). Soit alors :

\[y = S - \frac{\delta}{2}\]

On voit que \(S \strictsuperieur y\) et que :

\[y - x = (y - S) + (S - x) \ge - \frac{\delta}{2} + \delta = \frac{\delta}{2} \strictsuperieur 0\]

pour tout \(x \in A\), c'est-à-dire \(y \ge A\). On a donc \(S \strictsuperieur y \ge A\), ce qui contredit la définition du supremum. Pour tout \(\delta \strictsuperieur 0\), on peut donc trouver un \(x \in A\) tel que \(\distance(S,x) \le \delta\). On en conclut que \(\distance(S,A) = 0\), c'est-à-dire :

\[\sup A \in \adh A\]

• Soit l'ensemble \(A\) admettant un infimum \(I = \inf A\). Supposons que l'on puisse trouver un \(\delta \strictsuperieur 0\) tel que :

\[\distance(I,x) = \abs{I - x} = x - I \ge \delta\]

pour tout \(x \in A\). Soit alors :

\[y = I + \frac{\delta}{2}\]

On voit que \(I \strictinferieur y\) et que :

\[x - y = (x - I) + (I - y) \ge \delta - \frac{\delta}{2} = \frac{\delta}{2} \strictsuperieur 0\]

pour tout \(x \in A\), c'est-à-dire \(y \le A\). On a donc \(I \strictinferieur y \le A\), ce qui contredit la définition de l'infimum. Pour tout \(\delta \strictsuperieur 0\), on peut donc trouver un \(x \in A\) tel que \(\distance(I,x) \le \delta\). On en conclut que \(\distance(I,A) = 0\), c'est-à-dire :

\[\inf A \in \adh A\]

\[\abs{f(x) + g(x) - (F + G)} \le \abs{f(x) - F} + \abs{g(x) - G} = 2 \gamma\]

Il suffit donc de choisir \(\gamma = \epsilon / 2\) pour avoir \(\abs{f(x) + g(x) - (F + G)} \le \epsilon\). On en déduit que la limite de \(f + g\) est \(F + G\), c'est-à-dire :

\[\lim_{x \to a} \big[f(x) + g(x)\big] = \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x)\]

On a simplement :

\[\abs{\big[-g(x)\big] - (-G)} = \abs{G - g(x)} = \abs{g(x) - G} \le \gamma\]

Il suffit donc de choisir \(\gamma = \epsilon\) pour avoir \(\abs{(-g(x)) - (-G)} \le \epsilon\). On en déduit que la limite de \(-g\) est \(-G\), c'est-à-dire :

\[\lim_{x \to a} \big[-g(x)\big] = - \lim_{x \to a} g(x)\]

On a :

\begin{align} \lim_{x \to a} \big[f(x) - g(x)\big] &= \lim_{x \to a} \big[f(x) + \big(-g(x)\big)\big] \\ &= \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} \big(-g(x)\big) \\ &= \lim_{x \to a} f(x) - \lim_{x \to a} g(x) \end{align}

On voit que :

\begin{align} \abs{f(x) \cdot g(x) - F \cdot G} &= \abs{f(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot G + f(x) \cdot G - F \cdot G} \\ &= \abs{f(x) \cdot (g(x) - G) + (f(x) - F) \cdot G} \\ &\le \abs{f(x) \cdot (g(x) - G)} + \abs{(f(x) - F) \cdot G} \\ &\le \abs{f(x)} \cdot \abs{g(x) - G} + \abs{(f(x) - F)} \cdot \abs{G} \\ &\le \abs{f(x)} \cdot \gamma + \gamma \cdot \abs{G} \end{align}

Comme :

\[\abs{f(x)} = \abs{f(x) - F + F} \le \abs{f(x) - F} + F \le \gamma + \abs{F}\]

notre borne peut se réécrire :

\begin{align} \abs{f(x) \cdot g(x) - F \cdot G} &\le (\gamma + \abs{F}) \cdot \gamma + \gamma \cdot \abs{G} \\ &\le (\gamma + \abs{F} + \abs{G}) \cdot \gamma \end{align}

Si on choisit \(\gamma = \min\{ 1 , \epsilon / (1 + \abs{F} + \abs{G}) \}\), on a \(\gamma \le 1\) et :

\[\abs{f(x) \cdot g(x) - F \cdot G} \le (1 + \abs{F} + \abs{G}) \cdot \gamma \le \epsilon\]

On en déduit que la limite de \(f \cdot g\) est \(F \cdot G\), c'est-à-dire :

\[\lim_{x \to a} \big[f(x) \cdot g(x)\big] = \left[ \lim_{x \to a} f(x) \right] \cdot \left[ \lim_{x \to a} g(x) \right]\]

Supposons que \(G \ne 0\). On a :

\begin{align} \abs{\frac{1}{g(x)} - \frac{1}{G}} &= \abs{\frac{G - g(x)}{g(x) \cdot \abs{G}}} \\ &= \frac{ \abs{G - g(x)} }{ \abs{g(x)} \cdot \abs{G} } \\ &= \frac{ \gamma }{ \abs{g(x)} \cdot \abs{G} } \\ \end{align}

On voit aussi que :

\begin{align} \abs{g(x)} = \abs{g(x) - G + G} &= \abs{G - (G - g(x))} \\ &\ge \abs{G} - \abs{G - g(x)} \\ &\ge \abs{G} - \gamma \end{align}

Donc, si \(\gamma \strictinferieur \abs{G}\), on a :

\[\abs{\frac{1}{g(x)} - \frac{1}{G}} \le \frac{ \gamma }{ (\abs{G} - \gamma) \cdot \abs{G} }\]

Nous allons voir qu'il est possible de majorer cette expression par \(\epsilon\). En effet, la condition :

\[\frac{ \gamma }{ (\abs{G} - \gamma) \cdot \abs{G} } \le \epsilon\]

est équivalente à :

\[\gamma \le \epsilon \cdot (\abs{G} - \gamma) \cdot \abs{G} = G^2 \cdot \epsilon - \epsilon \cdot \abs{G} \cdot \gamma\]

ce qui revient à dire que :

\[(1 + \epsilon \cdot \abs{G}) \cdot \gamma \le G^2 \cdot \epsilon\]

et enfin :

\[0 \strictinferieur \gamma \le \frac{G^2 \cdot \epsilon}{1 + \epsilon \cdot \abs{G}}\]

En imposant également \(\gamma \strictinferieur \abs{G}\), on obtient la condition suffisante :

\[0 \strictinferieur \gamma \strictinferieur \min\left\{ \abs{G} , \frac{G^2 \cdot \epsilon}{1 + \epsilon \cdot \abs{G}} \right\}\]

On a alors \(\abs{\frac{1}{g(x)} - \frac{1}{G}} \le \epsilon\). On en conclut que la limite de \(1/g\) est \(1/G\), c'est-à-dire :

\[\lim_{x \to a} \frac{1}{g(x)} = \frac{1}{\lim_{x \to a} g(x)}\]

Toujours sous l'hypothèse que \(G \ne 0\), on a :

\[\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \left[\lim_{x \to a} f(x)\right] \cdot \left[\lim_{x \to a} \frac{1}{g(x)}\right] = \frac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x \to a} g(x)}\]

Soit une fonction \(f : \setR \mapsto \setR\) croissante et majorée par un certain \(M \in \setR\) :

\[F = \{ f(x) \in \setR : x \in \setR \} \le M\]

Comme l'ensemble de réels \(F\) est non vide et majoré, on en conclut qu'il admet un supremum inclus dans l'adhérence :

\[S = \sup F \in \adh F\]

Choisissons un réel \(\epsilon \strictsuperieur 0\). Comme \(\distance(S,F) = 0\), on peut trouver un \(\alpha \in \setR\) tel que :

\[\distance(S,f(\alpha)) = \abs{S - f(\alpha)} \le \epsilon\]

Comme \(S \ge F\), on a \(\abs{S - f(\alpha)} = S - f(\alpha) \le \epsilon\). Soit un \(\beta \in \setR\) tel que \(\beta \ge \alpha\). La fonction \(f\) étant croissante, on a \(f(\beta) \ge f(\alpha)\), et donc :

\[\distance(S,f(\beta)) = S - f(\beta) \le S - f(\alpha) \le \epsilon\]

On en déduit que \(f(x)\) converge vers le supremum \(S\) lorsque \(x \to \infty\). Par unicité de la limite, on a :

\[\lim_{x \to +\infty} f(x) = \sup \{ f(x) \in \setR : x \in \setR \}\]

Symétriquement, si \(g : \setR \mapsto \setR\) est une fonction décroissante et minorée par un certain \(L \in \setR\), l'ensemble non vide :

\[G = \{ g(x) \in \setR : x \in \setR \} \ge L\]

admet un infimum inclut dans l'adhérence :

\[I = \inf G \in \adh G\]

Choisissons un réel \(\epsilon \strictsuperieur 0\). Comme \(\distance(I,G) = 0\), on peut trouver un \(\alpha \in \setR\) tel que :

\[\distance(I,g(\alpha)) = \abs{I - g(\alpha)} \le \epsilon\]

Comme \(I \le F\), on a \(\abs{I - g(\alpha)} = g(\alpha) - I \le \epsilon\). Soit un \(\beta \in \setR\) tel que \(\beta \ge \alpha\). La fonction \(g\) étant décroissante, on a \(g(\beta) \le g(\alpha)\), et donc :

\[\distance(I,g(\beta)) = g(\beta) - I \le g(\alpha) - I \le \epsilon\]

On en déduit que \(g(x)\) converge vers le supremum \(I\) lorsque \(x \to \infty\). Par unicité de la limite, on a :

\[\lim_{x \to +\infty} g(x) = \inf \{ g(x) \in \setR : x \in \setR \}\]

Soit une fonction \(f : \setR \mapsto \setR\) majorée et minorée. On définit la famille \(\{F(x) : x \in \setR \}\) d'ensembles non vides, majorés et minorés par :

\[F(x) = \{f(z) : z \in \setR, \ z \ge x \}\]

Soit une fonction \(f : \setR \mapsto \setR\) majorée et minorée. Posons :

et choisissons un réel \(\epsilon \strictsuperieur 0\).

• Considérons le cas particulier où les limites sup et inf sont identiques :

\[L = \limsup_{x \to +\infty} f(x) = \liminf_{x \to +\infty} f(x)\]

pour tout \(x \in \setR\). Choisissons un \(\sigma\) tel que \(\abs{S(x) - L} \le \epsilon\) pour tout \(x\) vérifiant \(x \ge \sigma\) et un \(\tau\) tel que \(\abs{I(x) - L} \le \epsilon\) pour tout \(x\) vérifiant \(x \ge \tau\). Posant \(M = \max\{\sigma,\tau\}\), il vient :

pour tout réel \(z\) vérifiant \(z \ge M\). On a alors :

\[\abs{f(z) - L} \le \epsilon\]

On en conclut que la limite de \(f\) à l'infini existe et que :

\[\lim_{x \to +\infty} f(x) = \limsup_{x \to +\infty} f(x) = \liminf_{x \to +\infty} f(x)\]

• Inversément, supposons la limite de \(f\) à l'infini existe :

\[L = \lim_{x \to +\infty} f(x)\]

Soit un réel \(M\) tel que :

\[\abs{f(x) - L} \le \epsilon\]

pour tout réel \(x\) vérifiant \(x \ge M\). On a alors :

\[L - \epsilon \le f(x) \le L + \epsilon\]

On en déduit que :

Le supremum étant supérieur à l'infimum, on a finalement :

\[L - \epsilon \le I(x) \le S(x) \le L + \epsilon\]

et donc :

\[\{ \abs{S(x) - L} , \abs{I(x) - L} \} \le \epsilon\]

On en conclut que \(S\) et \(I\) convergent vers \(L\), c'est-à-dire :

\[\limsup_{x \to +\infty} f(x) = \liminf_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} f(x)\]

Soit les fonctions \(f,g : \setR \mapsto \setR\) vérifiant \(f \le g\).

Soit les fonctions \(f,g : \setR \mapsto \setR\) majorées, minorées et vérifiant \(f \le g\). Posons :

\[\Theta(x) = \{ z \in \setR : z \ge x \}\]

pour tout \(x \in \setR\).

Soit les fonctions \(f,S,I : \setR \mapsto \setR\) majorées, minorées et vérifiant \(I \le f \le S\). Supposons que :

\[L = \liminf_{x \to +\infty} I(x) = \limsup_{x \to +\infty} S(x)\]

On a alors :

\[L = \liminf_{x \to +\infty} I(x) \le \liminf_{x \to +\infty} f(x) \le \limsup_{x \to +\infty} f(x) \le \limsup_{x \to +\infty} S(x) = L\]

On en déduit que :

\[\liminf_{x \to +\infty} f(x) = \limsup_{x \to +\infty} f(x) = L\]

La limite de \(f\) existe donc et :

\[\lim_{x \to +\infty} f(x) = \liminf_{x \to +\infty} I(x) = \limsup_{x \to +\infty} S(x)\]

Soit une suite de réels $x₁ ≤ x₂ ≤ x₃ ≤ …$ croissante et majorée. On a alors :

\[\lim_{n \to \infty} x_n = \sup \{x_n \in \setR : n \in \setN \}\]

Soit une suite de réels $y₁ ≥ y₂ ≥ y₃ ≥ …$ décroissante et minorée. On a alors :

\[\lim_{n \to \infty} y_n = \inf \{y_n \in \setR : n \in \setN \}\]

Soit une suite de réels \(\{u_n \in \setR : n \in \setN\}\) majorée et minorée. On a :

\[\limsup_{ n \to \infty } u_n = \inf_{n \in \setN} \sup \{u_m : m \in \setN, \ m \ge n \}\]

\[\liminf_{ n \to \infty } u_n = \sup_{n \in \setN} \inf \{u_m : m \in \setN, \ m \ge n \}\]

Nous nous intéressons à des suites de réels \(A \subseteq \setR\) de la forme :

\[A = \{ a_k \in \setR : k \in \mathcal{Z} \}\]

Soit la suite :

\[A = \{ a_k \in \setR : k \in \setN \}\]

On définit la suite \(\{ S_n : n \in \setN \}\) des sommes partielles par :

\[S_n = \sum_{k = 0}^n a_k\]

pour tout \(n \in \setN\). Choisissons un \(m \in \setN\) vérifiant \(m \ge 1\). On définit la suite \(\{ D_n : n \in \setN \}\) des sommes partielles commençant en \(m\) par :

\[D_n = \sum_{k = m}^n a_k\]

pour tout \(n \in \setN\) vérifiant \(n \ge m\). Choisissons un naturel \(n\) vérifiant \(n \ge m\). On a :

\[S_n = \sum_{k = 0}^{m - 1} a_k + \sum_{k = m}^n a_k = S_{m - 1} + D_n\]

Si on pose :

\[E = S_{m - 1}\]

on a :

\[S_n = E + D_n\]

pour tout \(n \in \setN\) vérifiant \(n \ge m\). Si la limite de la suite des \(D_n\) existe, celle des \(S_n\) aussi et :

\[\lim_{n \to \infty} S_n = E + \lim_{n \to \infty} D_n\]

Inversément, si la limite des \(S_n\) existe, celle des \(D_n\) aussi et :

\[\lim_{n \to \infty} D_n = \lim_{n \to \infty} S_n - E\]

On a par définition :

\[\lim_{n \to \infty} S_n = \sum_{k = 0}^{+\infty} a_k\]

et :

\[\lim_{n \to \infty} D_n = \sum_{k = m}^{+\infty} a_k\]

On en conclut que :

\[\sum_{k = 0}^{+\infty} a_k = \sum_{k = 0}^{m - 1} a_k + \sum_{k = m}^{+\infty} a_k\]

Si la somme des \(a_k\) converge, l'additivité nous dit que :

\[\sum_{k = m}^{+\infty} a_k = \sum_{k = 0}^{+\infty} a_k - \sum_{k = 0}^{m - 1} a_k\]

En passant à la limite \(m \to \infty\), on a :

\begin{align} \lim_{m \to \infty} \sum_{k = m}^{+\infty} a_k &= \lim_{m \to \infty} \left[ \sum_{k = 0}^{+\infty} a_k - \sum_{k = 0}^{m - 1} a_k \right] \\ &= \sum_{k = 0}^{+\infty} a_k - \lim_{m \to \infty} \sum_{k = 0}^{m - 1} a_k \\ &= \sum_{k = 0}^{+\infty} a_k - \sum_{k = 0}^{+\infty} a_k \\ &= 0 \end{align}

La suite des sommes résiduelles \(R_m\) définie par :

\[R_m = \sum_{k = m}^{+\infty} a_k\]

pour tout \(m \in \setN\) converge donc vers zéro lorsque \(m\) tend vers l'infini.

Soit la suite positive :

\[P = \{ p_k \in \setR : p_k \ge 0, \ k \in \setN \}\]

et la suite des sommes partielles :

\[S_n = \sum_{k = 0}^n p_k\]

Choisissons \(m,n \in \setN\) tels que \(m \le n\). On a :

\[S_n = \sum_{k = 0}^m p_k + \sum_{k = m + 1}^n p_k = S_m + \sum_{k = m + 1}^n p_k\]

Par positivité, des \(p_k\), on a :

\[\sum_{k = m + 1}^n p_k \ge 0\]

et :

\[S_n \ge S_m\]

La suite des \(S_n\) est croissante. Si on peut trouver un \(M \in \setR\) tel que :

\[S_n \le M\]

pour tout \(n \in \setN\), la suite est majorée et converge vers son suprémum :

\[\sum_{k = 0}^{+\infty} p_k = \lim_{n \to \infty} \sum_{k = 0}^n p_k = \sup_{n \in \setN} \sum_{k = 0}^n p_k\]

Soit la suite :

\[A = \{ a_k \in \setR : k \in \setN \}\]

La suite dérivée :

\[P = \{ \abs{a_k} \in \setR : k \in \setN \}\]

est positive. Si on peut trouver un \(K \in \setR\) tel que :

\[\sum_{k = 0}^n \abs{a_k} \le K\]

pour tout \(n \in \setN\), la suite des valeurs absolues converge et :

\[\sum_{k = 0}^{+\infty} \abs{a_k} = \sup_{n \in \setN} \sum_{k = 0}^n \abs{a_k}\]

La suite des sommes résiduelles associées converge donc vers zéro :

\[\lim_{m \to \infty} \sum_{k = m}^{+\infty} \abs{a_k} = 0\]

Comme :

\[-\abs{a_k} \le a_k \le \abs{a_k}\]

on a :

\[-K \le - \sum_{k = 0}^n \abs{a_k} \le \sum_{k = 0}^n a_k \le \sum_{k = 0}^n \abs{a_k} \le K\]

et :

\[-K \le \sum_{k = 0}^n a_k \le K\]

La suite des sommes partielles \(S_n\) définies par :

\[S_n = \sum_{k = 0}^n a_k\]

est donc majorée et minorée. Elle admet par conséquent des limites suprémum :

\[\sigma = \limsup_{n \to \infty} S_n = \inf_{n \in \setN} \sup \{ S_k : k \in \setN, \ k \ge n \}\]

et infimum :

\[\lambda = \liminf_{n \to \infty} S_n = \sup_{n \in \setN} \inf \{ S_k : k \in \setN, \ k \ge n \}\]

La suite des \(S_n\) converge-t-elle ? Autrement dit, les limites suprémum et infimum des \(S_n\) sont-elles identiques ? On sait déjà que :

\[\lambda \le \sigma\]

Soit la famille de suprémums décroissants définie par :

\[H_m = \sup\{ S_n : n \in \setN, \, n \ge m \}\]

pour tout \(m \in \setN\). On a :

\[\sigma = \inf_{m \in \setN} H_m\]

Soit la famille d'infimums croissants définie par :

\[B_m = \inf\{ S_n : n \in \setN, \, n \ge m \}\]

pour tout \(m \in \setN\). On a :

\[\lambda = \sup_{m \in \setN} B_m\]

Soit \(\epsilon \strictsuperieur 0\). Comme la somme résiduelle converge vers zéro, on peut trouver un naturel \(M\) tel que :

\[\sum_{k = m}^{+\infty} \abs{a_k} \le \frac{\epsilon}{2}\]

pour tout naturel \(m\) vérifiant \(m \ge M\). Choisissons des naturels \(m,n\) tels que \(n \ge m + 1\) et \(m \ge M\). L'additivité finie nous dit que :

\[\sum_{k = 0}^n a_k = \sum_{k = 0}^m a_k + \sum_{k = m + 1}^n a_k\]

c'est-à-dire :

\[S_n = S_m + \sum_{k = m + 1}^n a_k\]

ou :

\[S_n - S_m = \sum_{k = m + 1}^n a_k\]

En prenant la valeur absolue, il vient :

\[\abs{S_n - S_m} = \abs{\sum_{k = m + 1}^n a_k} \le \sum_{k = m + 1}^n \abs{a_k}\]

Les termes \(\abs{a_k}\) étant positifs, la suite des \(D_i\) définie par :

\[D_i = \sum_{k = m + 1}^i \abs{a_k}\]

pour tout naturel \(i\) vérifiant \(i \ge m + 1\) est croissante, majorée et converge vers son suprémum. On a donc :

\[\sum_{k = m + 1}^n \abs{a_k} \le \lim_{i \to \infty} D_i = \sum_{k = m + 1}^{+\infty} \abs{a_k}\]

et :

\[\abs{S_m - S_n} \le \sum_{k = m + 1}^{+\infty} \abs{a_k}\]

Comme \(m + 1 \strictsuperieur m \ge M\), le terme de droite est majoré par \(\epsilon / 2\) et :

\[\abs{S_m - S_n} \le \frac{\epsilon}{2}\]

Choisissons \(m \ge M\). Pour tout naturel \(n\) vérifiant \(n \ge m\), on a soit \(n = m\) et \(S_n = S_m\), soit \(n \ge m + 1\). On en déduit les inégalités :

\[S_n \le \max \accolades{S_m, S_m + \frac{\epsilon}{2}} = S_m + \frac{\epsilon}{2}\]

et :

\[S_n \ge \min \accolades{S_m, S_m - \frac{\epsilon}{2}} = S_m - \frac{\epsilon}{2}\]

En passant au suprémum pour les entiers \(n\) vérifiant \(n \ge m\), on en déduit que :

\[H_m \le S_m + \frac{\epsilon}{2}\]

En passant à l'infimum pour les entiers \(n\) vérifiant \(n \ge m\), on en déduit que :

\[B_m \ge S_m - \frac{\epsilon}{2}\]

En combinant ces deux inégalités, on obtient :

\[H_m \le S_m + \frac{\epsilon}{2} = \parentheses{S_m - \frac{\epsilon}{2}} + \epsilon \le B_m + \epsilon\]

et a fortiori :

\[\inf_{ \substack{ m \in \setN \\ m \ge M } } H_m \le \sup_{ \substack{ m \in \setN \\ m \ge M } } B_m + \epsilon\]

c'est-à-dire :

\[\sigma \le \lambda + \epsilon\]

Cette relation étant valable pour tout \(\epsilon \strictsuperieur 0\), on en déduit que :

\[\sigma \le \lambda\]

Comme on a également \(\lambda \le \sigma\), on en conclut que \(\lambda = \sigma\). La somme converge donc et :

\[\sum_{k = 0}^{+\infty} a_k = \limsup_{n \to \infty} S_n = \liminf_{n \to \infty} S_n\]

Si le réel \(a\) vérifie \(\abs{a} \strictsuperieur 1\), on voit que \(a^{n + 1}\) converge vers \(0\) lorsque \(n\) tend vers l'infini. On a alors :

\[\sum_{i=0}^{+\infty} a^i = \lim_{n \to \infty} \frac{a^{n + 1} - 1}{a - 1} = \frac{1}{1 - a}\]