Eclats de vers : Matemat 05 : Nombres composés - 1

• Chapitre \ref{chap:naturels} : Les nombres naturels
• Chapitre \ref{chap:entiers} : Les nombres entiers
• Chapitre \ref{chap:rationnels} : Les nombres rationnels
• Chapitre \ref{chap:reels} : Les nombres réels

Nous avons vu que le carré d'un nombre positif est forcément positif. Par conséquent, on ne peut pas trouver de \(x \in \setR\) tel que :

\[x^2 = -1\]

Il nous faut donc inventer un nouvel objet, que l'on nomme nombre imaginaire, et que l'on note \(\img\), tel que :

\[\img^2 = -1\]

On peut dès lors étendre la définition de la racine carrée par :

\[\sqrt{-1} = \img\]

Soit \(x \in \setR\). Comme l'on veut conserver les propriétés des produits et puissances, on note que :

\[(x \cdot \img)^2 = x^2 \cdot \img^2 = x^2 \cdot (-1) = - x^2\]

On a par conséquent :

\[\sqrt{-x^2} = x \cdot \img\]

Nous allons à présent nous intéresser aux propriétés algébriques des couples nombre réel - nombre imaginaire. Pour tout \((a, b) \in \setR^2\), nous introduisons la notation complexe :

\[a + \img b\]

L'ensemble des nombres complexes est simplement l'ensemble des couples réel - imaginaire :

\[\setC = \{ a + \img b : \ a,b \in \setR \}\]

Soit \(z \in \setC\) et \(a,b \in \setR\) tels que :

\[z = a + \img b\]

On nomme \(a\) la partie réelle de \(z\), et on la note :

\[\Re(z) = a\]

On nomme \(b\) la partie imaginaire de \(z\), et on la note :

\[\Im(z) = b\]

On a donc :

\[z = \Re(z) + \img \Im(z)\]

Soit \(z \in \setC\) et \(a,b \in \setR\) tels que :

\[z = a + \img b\]

Le complexe conjugué de \(z\) est le nombre donné par :

\[\conjaccent{z} = \conjugue(z) = a + \img (-b) = a - \img b\]

On a donc :

Soient \(x,y \in \setC\) et \(a,b,c,d \in \setR\) tels que :

Comme nous désirons conserver les propriétés de commutativité et d'associativité de l'addition, on a :

\[x + y = a + \img b + c + \img d = (a + c) + \img (b + d)\]

Soient \(x,y \in \setC\) et \(a,b,c,d \in \setR\) tels que :

Comme nous souhaitons conserver les propriétés de la soustraction, on a simplement :

\[x + y = a + \img b - (c + \img d) = a + \img b - c - \img d = (a - c) + \img (b - d)\]

Soient \(x,y \in \setC\) et \(a,b,c,d \in \setR\) tels que :

Comme nous voulons conserver les propriétés de la multiplication, nous écrivons :

\[x \cdot y = (a + \img b) \cdot (c + \img d) = a \cdot c + \img a \cdot d + \img b \cdot c + \img^2 b \cdot d\]

En tenant compte de la définition du nombre imaginaire, on a :

\[x \cdot y = a \cdot c + \img a \cdot d + \img b \cdot c - b \cdot d\]

et finalement :

\[x \cdot y = (a \cdot c - b \cdot d) + \img (a \cdot d + b \cdot c)\]

On a donc :

Soit \(z \in \setC\) et \(a,b \in \setR\) tels que :

\[z = a + \img b\]

On définit le module de \(z\) par :

\[\abs{z} = \sqrt{a^2 + b^2} \ge 0\]

On voit que le module est un réel positif. Dans le cas d'un réel, le module s'identifie à la valeur absolue, ce qui justifie la notation identique.

Soit \(z \in \setC\) et \(a,b \in \setR\) tels que :

\[z = a + \img b\]

Multiplions la relation \(z \cdot \conjaccent{z} = \abs{z}^2\) par :

\[\left( z \cdot \abs{z}^2 \right)^{-1}\]

Il vient :

\[\unsur{z} = \frac{ \conjaccent{z} }{ \abs{z}^2 }\]

Nous pouvons donc évaluer l'inverse d'un nombre complexe :

\[\unsur{z} = \frac{ a - \img b }{ a^2 + b^2 } = \frac{ a }{ a^2 + b^2 } - \img \frac{ b }{ a^2 + b^2 }\]

Soient \(x,y \in \setC\) et \(a,b,c,d \in \setR\) tels que :

On définit la division de deux nombres complexes par :

\[\frac{x}{y} = x \cdot \unsur{y} = \frac{ x \cdot \conjaccent{y} }{ \abs{y}^2 }\]

On a donc :

\[\frac{x}{y} = \frac{(a + \img b) \cdot (c - \img d)}{c^2 + d^2}\]

ou encore :

\[\frac{x}{y} = \frac{(a \cdot c + b \cdot d) + \img (b \cdot c - a \cdot d)}{c^2 + d^2}\]

Soit \(z \in \setC\) et \(a,b \in \setR\) tels que :

\[z = a + \img b\]

En additionnant \(z\) et son conjugué, on obtient :

\[z + \conjaccent{z} = (a + \img b) + (a - \img b) = 2 a = 2 \Re(z)\]

ce qui permet d'obtenir une expression de la partie réelle :

\[\Re(z) = \unsur{2}(z + \conjaccent{z})\]

En soustrayant \(z\) et \(\conjaccent{z}\), on obtient :

\[z - \conjaccent{z} = (a + \img b) - (a - \img b) = 2 \img b = 2 \img \Im(z)\]

ce qui permet d'obtenir une expression de la partie imaginaire :

\[\Im(z) = \unsur{2\img}(z - \conjaccent{z})\]

Soit \(n \in \setN\) avec \(n \ne 0\), \(z \in \setC\) et \(a,b \in \setR\) tels que :

\[z = a + \img b\]

On définit la \(n^{ième}\) puissance d'un nombre complexe par :

Soit les complexes \(x,y \in \setC\) et les réels \(a,b,c,d \in \setR\) tels que :

On dit que \(x\) est plus petit que \(y\) au sens des composantes, et on le note \(x \le y\) si les deux conditions suivantes sont vérifiées :

Soit les complexes \(x,y \in \setC\) et les réels \(a,b,c,d \in \setR\) tels que :

On dit que \(x\) est plus petit que \(y\) et on le note \(x \preceq y\) si :

\[a \strictinferieur c\]

ou si les conditions suivantes sont vérifiées :

Pour tout \(a \in \setR\), on a \(a = a + \img 0 \in \setC\). On considère donc que \(\setR \subseteq \setC\).

• Chapitre \ref{chap:reel} : Les nombres réels

Soit \(a,b \in \setR\) avec \(a \le b\). L'intervalle fermé \([a,b]\) est défini par :

\[[a,b] = \{ x \in \setR : a \le x \le b \}\]

L'intervalle ouvert \(\intervalleouvert{a}{b}\) est défini par :

\[\intervalleouvert{a}{b} \ = \{ x \in \setR : a \strictinferieur x \strictinferieur b \}\]

On recontre aussi les intervalles semi-ouverts à gauche :

\[\intervallesemiouvertgauche{a}{b} = \{ x \in \setR : a \strictinferieur x \le b \}\]

ou à droite :

\[\intervallesemiouvertdroite{a}{b} \ = \{ x \in \setR : a \le x \strictinferieur b \}\]

Soit \(a \in \setR\). Les intervalles non bornés sont des intervalles partant de l'infini négatif ou/et allant jusqu'à l'infini positif :

\begin{align}\relax \intervallesemiouvertdroite{a}{+\infty} &= \{ x \in \setR : x \ge a \} \\ \intervalleouvert{a}{+\infty} &= \{ x \in \setR : x \strictsuperieur a \} \\ \intervallesemiouvertgauche{-\infty}{a} &= \{ x \in \setR : x \le a \} \\ \intervalleouvert{-\infty}{a} &= \{ x \in \setR : x \strictinferieur a \} \\ \intervalleouvert{-\infty}{+\infty} &= \setR \end{align}

Soit \(c,r,x \in \setR\) avec \(r \ge 0\). La condition \(\abs{x - c} \le r\) est équivalente à \(x - c \le r\) et \(-(x - c) = c - x \le r\). On en déduit que :

ce qui revient à dire que \(x \in [c - r, c + r]\). Nous obtenons un résultat analogue avec les inégalités strictes. On peut donc exprimer les boules en terme d'intervalles :

\begin{align} \boule[c,r] &= [c - r, c + r] \\ \boule(c,r) &= \ \intervalleouvert{c - r}{c + r} \end{align}

On peut inverser ces relations et exprimer certains intervalles en termes de boules. Soit \(a = c - r\) et \(b = c + r\). On a alors \(a \le b\) et :

On en déduit que :

\begin{align}\relax [a,b] &= \boule\left[\frac{a + b}{2},\frac{b - a}{2}\right] \\ \\ \intervalleouvert{a}{b} &= \boule\left(\frac{a + b}{2},\frac{b - a}{2}\right) \end{align}

Soit \(a,b \in \setR\) avec \(a \le b\) et \(x \in \setR\).

Pour que \(x \ge [a,b]\), il faut que \(x \ge b\). Si \(y \in [a,b]\), on aura alors \(x \ge b \ge y\) d'où \(x \ge y\) par transitivité de l'ordre. On en déduit que :

\[\major [a,b] = \intervallesemiouvertgauche{b}{+\infty}\]

On obtient le même résultat pour l'intervalle ouvert :

\[\major \intervalleouvert{a}{b} = \intervallesemiouvertgauche{b}{+\infty}\]

ainsi que pour les intervalles semi-ouverts.

Pour que \(x \le [a,b]\), il faut que \(x \le a\). Si \(y \in [a,b]\), on aura alors \(x \le a \le y\) d'où \(x \le y\) par transitivité de l'ordre. On en déduit que :

\[\minor [a,b] = \intervallesemiouvertdroite{-\infty}{a}\]

On obtient le même résultat pour l'intervalle ouvert :

\[\minor \intervalleouvert{a}{b} = \intervallesemiouvertdroite{-\infty}{a}\]

ainsi que pour les intervalles semi-ouverts.

Soit \(a,b \in \setR\) avec \(a \le b\). On a clairement :

\begin{align} \max [a,b] &= \max \intervallesemiouvertgauche{a}{b} = \max \intervallesemiouvertgauche{-\infty}{b} = b \\ \min [a,b] &= \min \intervallesemiouvertdroite{a}{b} = \min \intervallesemiouvertdroite{a}{+\infty} \ = a \end{align}

Les autre types d'intervalles n'admettent ni maximum ni minimum.

Dans le cas où le maximum de l'intervalle \(I\) existe, on a \(\sup I = \max I\). Dans les autres cas, on a par exemple :

\[\sup \intervalleouvert{a}{b} = \min \major \intervalleouvert{a}{b} = \min [b, +\infty[ \ = b\]

et le même résultat pour les intervalles semi-ouverts.

Dans le cas où le minimum de l'intervalle \(I\) existe, on a \(\inf I = \min I\). Dans les autres cas, on a par exemple :

\[\inf \intervalleouvert{a}{b} = \max \minor \intervalleouvert{a}{b} = \max \ ]-\infty, a] = a\]

et le même résultat pour les intervalles semi-ouverts.

On peut vérifier que :

\begin{align} \adh [a,b] &= \adh \intervalleouvert{a}{b} = [a,b] \\ \interieur [a,b] &= \interieur \intervalleouvert{a}{b} = \ ]a,b[ \end{align}

et ainsi de suite. La frontière est donc simplement :

\[\partial [a,b] = \partial \intervalleouvert{a}{b} = \{a,b\}\]

• Chapitre \ref{chap:naturel} : Les naturels
• Chapitre \ref{chap:entier} : Les entiers
• Chapitre \ref{chap:rationel} : Les rationnels
• Chapitre \ref{chap:reel} : Les réels
• Chapitre \ref{chap:complexe} : Les complexes

Conformément à la définition de la « puissance » d'un ensemble, \(\setN^n\) est l'ensemble des $n$-tuples :

\[\setN^n = \{ (m_1,m_2,...,m_n) : m_1,m_2,...,m_n \in \setN \}\]

où chaque composante \(m_i\) est un naturel. On a pareillement :

Dans la suite, nous notons :

\[\mathcal{D} = \{ \setN^n , \setZ^n , \setQ^n , \setR^n , \setC^n \}\]

On dit que les éléments de \(\mathcal{D}\) sont des ensembles de dimension \(n\).

Soit l'ensemble \(A^n \in \mathcal{D}\) et \(x,y \in A^n\). On a :

On dit que \(x = y\) si et seulement si \(x_i = y_i\) pour tout \(i \in \{1,2,...,n\}\).

De même, on dit que \(x = 0\) si et seulement si \(x_i = 0\) pour tout \(i \in \{1,2,...,n\}\).

Soit l'ensemble \(A^n \in \mathcal{D}\) et \(x,y \in A^n\). On a :

On dit que \(x \le y\) si et seulement si \(x_i \le y_i\) pour tout \(i \in \{1,2,...,n\}\). On le note aussi \(y \ge x\).

On dit que \(x \strictinferieur y\) si et seulement si \(x_i \strictinferieur y_i\) pour tout \(i \in \{1,2,...,n\}\). On le note aussi \(y \strictsuperieur x\).

Soit l'ensemble \(A^n \in \mathcal{D}\) et \(x,y \in A^n\). On a :

pour certains \(x_i,y_i \in A\).

Les opérations sur \(A^n\) sont définies par la même opération appliquée aux composantes. L'addition s'écrit donc :

\[x + y = (x_1 + y_1 , x_2 + y_2 , ... , x_n + y_n)\]

tandis que la soustraction est donnée par :

\[x - y = (x_1 - y_1 , x_2 - y_2 , ... , x_n - y_n)\]

La multiplication mixte \(\cdot : A \times A^n \to A^n\) est définie par :

\[\alpha \cdot x = (\alpha \cdot x_1 , \alpha \cdot x_2 , ... , \alpha \cdot x_n)\]

pour tout \(\alpha \in A\).

Soit l'ensemble \(A^n \in \mathcal{D}\). On note :

\[0 = (0,0,...,0)\]

l'élément \(0 \in A^n\)

On voit clairement que ces relations et opérations sont équivalentes aux mêmes relations et opérations définies sur les fonctions :

\[\{1,2,...,n\} \mapsto \{f(1),f(2),...,f(n)\} \equiv (f_1,f_2,...,f_n)\]

associées.

Soit \(x = (x_1,...x_n) , y = (y_1,...,y_n) \in A^n\). La puissance s'écrit :

\[y^x = y_1^{x_1} \cdot y_2^{x_2} \cdot ... \cdot y_n^{x_n}\]

Soit \(m = (m_1,m_2,...,m_n) \in \setN^n\). On définit :

\[m ! = m_1 ! \cdot m_2 ! \cdot ... \cdot m_n !\]