Eclats de vers : Matemat 05 : Nombres composés - 1

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Table des matières

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1 Complexes

1.1 Dépendances

  • Chapitre \ref{chap:naturels} : Les nombres naturels
  • Chapitre \ref{chap:entiers} : Les nombres entiers
  • Chapitre \ref{chap:rationnels} : Les nombres rationnels
  • Chapitre \ref{chap:reels} : Les nombres réels

1.2 Nombre imaginaire

Nous avons vu que le carré d'un nombre positif est forcément positif. Par conséquent, on ne peut pas trouver de \(x \in \setR\) tel que :

\[x^2 = -1\]

Il nous faut donc inventer un nouvel objet, que l'on nomme nombre imaginaire, et que l'on note \(\img\), tel que :

\[\img^2 = -1\]

On peut dès lors étendre la définition de la racine carrée par :

\[\sqrt{-1} = \img\]

Soit \(x \in \setR\). Comme l'on veut conserver les propriétés des produits et puissances, on note que :

\[(x \cdot \img)^2 = x^2 \cdot \img^2 = x^2 \cdot (-1) = - x^2\]

On a par conséquent :

\[\sqrt{-x^2} = x \cdot \img\]

1.2.1 Notation

On note aussi :

\[x \img = \img x = x \cdot \img\]

1.2.2 Remarque

Attention à ne pas confondre les variables « \(i\) » avec le nombre imaginaire « \(\img\) ».

1.3 Définition

Nous allons à présent nous intéresser aux propriétés algébriques des couples nombre réel - nombre imaginaire. Pour tout \((a, b) \in \setR^2\), nous introduisons la notation complexe :

\[a + \img b\]

L'ensemble des nombres complexes est simplement l'ensemble des couples réel - imaginaire :

\[\setC = \{ a + \img b : \ a,b \in \setR \}\]

1.4 Parties réelles et imaginaires

Soit \(z \in \setC\) et \(a,b \in \setR\) tels que :

\[z = a + \img b\]

On nomme \(a\) la partie réelle de \(z\), et on la note :

\[\Re(z) = a\]

On nomme \(b\) la partie imaginaire de \(z\), et on la note :

\[\Im(z) = b\]

On a donc :

\[z = \Re(z) + \img \Im(z)\]

1.5 Complexe conjugué

Soit \(z \in \setC\) et \(a,b \in \setR\) tels que :

\[z = a + \img b\]

Le complexe conjugué de \(z\) est le nombre donné par :

\[\conjaccent{z} = \conjugue(z) = a + \img (-b) = a - \img b\]

On a donc :

\( \Re(\conjaccent{z}) = \Re(z) \\ \Im(\conjaccent{z}) = - \Im(z) \)

1.5.1 Conjugué carré

Il est clair d'après la définition que :

\[\conjugue \conjugue z = z\]

1.6 Addition

Soient \(x,y \in \setC\) et \(a,b,c,d \in \setR\) tels que :

\( x = a + \img b \\ y = c + \img d \)

Comme nous désirons conserver les propriétés de commutativité et d'associativité de l'addition, on a :

\[x + y = a + \img b + c + \img d = (a + c) + \img (b + d)\]

1.7 Soustraction

Soient \(x,y \in \setC\) et \(a,b,c,d \in \setR\) tels que :

\( x = a + \img b \\ y = c + \img d \)

Comme nous souhaitons conserver les propriétés de la soustraction, on a simplement :

\[x + y = a + \img b - (c + \img d) = a + \img b - c - \img d = (a - c) + \img (b - d)\]

1.8 Multiplication

Soient \(x,y \in \setC\) et \(a,b,c,d \in \setR\) tels que :

\( x = a + \img b \\ y = c + \img d \)

Comme nous voulons conserver les propriétés de la multiplication, nous écrivons :

\[x \cdot y = (a + \img b) \cdot (c + \img d) = a \cdot c + \img a \cdot d + \img b \cdot c + \img^2 b \cdot d\]

En tenant compte de la définition du nombre imaginaire, on a :

\[x \cdot y = a \cdot c + \img a \cdot d + \img b \cdot c - b \cdot d\]

et finalement :

\[x \cdot y = (a \cdot c - b \cdot d) + \img (a \cdot d + b \cdot c)\]

On a donc :

\( \Re(x \cdot y) = \Re(x) \cdot \Re(y) - \Im(x) \cdot \Im(y) \\ \Im(x \cdot y) = \Re(x) \cdot \Im(y) + \Im(x) \cdot \Re(y) \)

1.8.1 Mixte

On en déduit le cas particulier suivant :

\[(a + \img b) \cdot c = a \cdot c + \img b \cdot c\]

1.8.2 Multiplication par \(\img\)

Soit \(z \in \setC\) et \(a,b \in \setR\) tels que :

\[z = a + \img b\]

Comme :

\[\img z = \img a + \img^2 b = \img a - b\]

on a :

\( \Re(\img z) = -b = - \Im(z) \\ \Im(\img z) = a = \Re(z) \)

1.8.3 Conjugué

On a :

\[\conjugue(x) \cdot \conjugue(y) = (a \cdot c - b \cdot d) - \img (a \cdot d + b \cdot c) = \conjugue(x \cdot y)\]

1.9 Module

Soit \(z \in \setC\) et \(a,b \in \setR\) tels que :

\[z = a + \img b\]

On définit le module de \(z\) par :

\[\abs{z} = \sqrt{a^2 + b^2} \ge 0\]

On voit que le module est un réel positif. Dans le cas d'un réel, le module s'identifie à la valeur absolue, ce qui justifie la notation identique.

1.9.1 Conjugué

On voit que :

\[z \cdot \conjaccent{z} = (a + \img b) \cdot (a - \img b) = a^2 + b^2 + \img (a \cdot b - a \cdot b) = a^2 + b^2\]

c'est-à-dire :

\[z \cdot \conjaccent{z} = \abs{z}^2\]

1.10 Inverse

Soit \(z \in \setC\) et \(a,b \in \setR\) tels que :

\[z = a + \img b\]

Multiplions la relation \(z \cdot \conjaccent{z} = \abs{z}^2\) par :

\[\left( z \cdot \abs{z}^2 \right)^{-1}\]

Il vient :

\[\unsur{z} = \frac{ \conjaccent{z} }{ \abs{z}^2 }\]

Nous pouvons donc évaluer l'inverse d'un nombre complexe :

\[\unsur{z} = \frac{ a - \img b }{ a^2 + b^2 } = \frac{ a }{ a^2 + b^2 } - \img \frac{ b }{ a^2 + b^2 }\]

1.10.1 Inverse de \(\img\)

On a en particulier :

\[\unsur{\img} = -\img\]

1.11 Division

Soient \(x,y \in \setC\) et \(a,b,c,d \in \setR\) tels que :

\( x = a + \img b \\ y = c + \img d \)

On définit la division de deux nombres complexes par :

\[\frac{x}{y} = x \cdot \unsur{y} = \frac{ x \cdot \conjaccent{y} }{ \abs{y}^2 }\]

On a donc :

\[\frac{x}{y} = \frac{(a + \img b) \cdot (c - \img d)}{c^2 + d^2}\]

ou encore :

\[\frac{x}{y} = \frac{(a \cdot c + b \cdot d) + \img (b \cdot c - a \cdot d)}{c^2 + d^2}\]

1.12 Obtention des parties réelles et imaginaires

Soit \(z \in \setC\) et \(a,b \in \setR\) tels que :

\[z = a + \img b\]

En additionnant \(z\) et son conjugué, on obtient :

\[z + \conjaccent{z} = (a + \img b) + (a - \img b) = 2 a = 2 \Re(z)\]

ce qui permet d'obtenir une expression de la partie réelle :

\[\Re(z) = \unsur{2}(z + \conjaccent{z})\]

En soustrayant \(z\) et \(\conjaccent{z}\), on obtient :

\[z - \conjaccent{z} = (a + \img b) - (a - \img b) = 2 \img b = 2 \img \Im(z)\]

ce qui permet d'obtenir une expression de la partie imaginaire :

\[\Im(z) = \unsur{2\img}(z - \conjaccent{z})\]

1.12.1 Cas particuliers

On en déduit directement que si \(z = \conjaccent{z}\), on a \(\Im(z) = 0\) et \(z\in\setR\). Par contre, si \(z = -\conjaccent{z}\), on a \(\Re(z) = 0\) et \(z\) est purement imaginaire.

1.13 Puissance

Soit \(n \in \setN\) avec \(n \ne 0\), \(z \in \setC\) et \(a,b \in \setR\) tels que :

\[z = a + \img b\]

On définit la \(n^{ième}\) puissance d'un nombre complexe par :

\( z^0 = 1 \\ z^n = z \cdot z^{n-1} \)

1.13.1 Négatives

Les puissances négatives sont données par :

\[z^{-n} = \unsur{z^n}\]

1.13.2 Racines

La \(n^{ième}\) racine \(x \in \setC\) de \(z\) est définie par :

\[x^n = z\]

On a alors :

\[z = x^{1/n}\]

1.13.3 Fractionnaires

Soit \(m \in \setN\). on a simplement :

\[z^{m/n} = \left( z^{1/n} \right)^m\]

1.13.4 Réelles

Soit \(s \in \setR\) et une suite \(\{ r_i \in \setQ : i \in \setN \}\) qui converge vers \(s\). On définit :

\[z^s = \lim_{i \to \infty} z^{r_i}\]

1.14 Ordre partiel

Soit les complexes \(x,y \in \setC\) et les réels \(a,b,c,d \in \setR\) tels que :

\( x = a + \img b \\ y = c + \img d \)

On dit que \(x\) est plus petit que \(y\) au sens des composantes, et on le note \(x \le y\) si les deux conditions suivantes sont vérifiées :

\( a \le c \\ b \le d \)

1.15 Ordre total

Soit les complexes \(x,y \in \setC\) et les réels \(a,b,c,d \in \setR\) tels que :

\( x = a + \img b \\ y = c + \img d \)

On dit que \(x\) est plus petit que \(y\) et on le note \(x \preceq y\) si :

\[a \strictinferieur c\]

ou si les conditions suivantes sont vérifiées :

\( a = c \\ b \le d \)

1.16 Inclusion

Pour tout \(a \in \setR\), on a \(a = a + \img 0 \in \setC\). On considère donc que \(\setR \subseteq \setC\).

2 Intervalles de réels

2.1 Dépendances

  • Chapitre \ref{chap:reel} : Les nombres réels

2.2 Intervalles bornés

Soit \(a,b \in \setR\) avec \(a \le b\). L'intervalle fermé \([a,b]\) est défini par :

\[[a,b] = \{ x \in \setR : a \le x \le b \}\]

L'intervalle ouvert \(\intervalleouvert{a}{b}\) est défini par :

\[\intervalleouvert{a}{b} \ = \{ x \in \setR : a \strictinferieur x \strictinferieur b \}\]

On recontre aussi les intervalles semi-ouverts à gauche :

\[\intervallesemiouvertgauche{a}{b} = \{ x \in \setR : a \strictinferieur x \le b \}\]

ou à droite :

\[\intervallesemiouvertdroite{a}{b} \ = \{ x \in \setR : a \le x \strictinferieur b \}\]

2.3 Intervalles non bornés

Soit \(a \in \setR\). Les intervalles non bornés sont des intervalles partant de l'infini négatif ou/et allant jusqu'à l'infini positif :

\begin{align}\relax \intervallesemiouvertdroite{a}{+\infty} &= \{ x \in \setR : x \ge a \} \\ \intervalleouvert{a}{+\infty} &= \{ x \in \setR : x \strictsuperieur a \} \\ \intervallesemiouvertgauche{-\infty}{a} &= \{ x \in \setR : x \le a \} \\ \intervalleouvert{-\infty}{a} &= \{ x \in \setR : x \strictinferieur a \} \\ \intervalleouvert{-\infty}{+\infty} &= \setR \end{align}

2.4 Boules

Soit \(c,r,x \in \setR\) avec \(r \ge 0\). La condition \(\abs{x - c} \le r\) est équivalente à \(x - c \le r\) et \(-(x - c) = c - x \le r\). On en déduit que :

\( x \le c + r \\ x \ge c - r \)

ce qui revient à dire que \(x \in [c - r, c + r]\). Nous obtenons un résultat analogue avec les inégalités strictes. On peut donc exprimer les boules en terme d'intervalles :

\begin{align} \boule[c,r] &= [c - r, c + r] \\ \boule(c,r) &= \ \intervalleouvert{c - r}{c + r} \end{align}

On peut inverser ces relations et exprimer certains intervalles en termes de boules. Soit \(a = c - r\) et \(b = c + r\). On a alors \(a \le b\) et :

\( a + b = c - r + c + r = 2 c \\ b - a = c + r - c + r = 2 r \)

On en déduit que :

\begin{align}\relax [a,b] &= \boule\left[\frac{a + b}{2},\frac{b - a}{2}\right] \\ \\ \intervalleouvert{a}{b} &= \boule\left(\frac{a + b}{2},\frac{b - a}{2}\right) \end{align}

2.5 Majorants et minorants

Soit \(a,b \in \setR\) avec \(a \le b\) et \(x \in \setR\).

Pour que \(x \ge [a,b]\), il faut que \(x \ge b\). Si \(y \in [a,b]\), on aura alors \(x \ge b \ge y\) d'où \(x \ge y\) par transitivité de l'ordre. On en déduit que :

\[\major [a,b] = \intervallesemiouvertgauche{b}{+\infty}\]

On obtient le même résultat pour l'intervalle ouvert :

\[\major \intervalleouvert{a}{b} = \intervallesemiouvertgauche{b}{+\infty}\]

ainsi que pour les intervalles semi-ouverts.

Pour que \(x \le [a,b]\), il faut que \(x \le a\). Si \(y \in [a,b]\), on aura alors \(x \le a \le y\) d'où \(x \le y\) par transitivité de l'ordre. On en déduit que :

\[\minor [a,b] = \intervallesemiouvertdroite{-\infty}{a}\]

On obtient le même résultat pour l'intervalle ouvert :

\[\minor \intervalleouvert{a}{b} = \intervallesemiouvertdroite{-\infty}{a}\]

ainsi que pour les intervalles semi-ouverts.

2.6 Maximum et minimum

Soit \(a,b \in \setR\) avec \(a \le b\). On a clairement :

\begin{align} \max [a,b] &= \max \intervallesemiouvertgauche{a}{b} = \max \intervallesemiouvertgauche{-\infty}{b} = b \\ \min [a,b] &= \min \intervallesemiouvertdroite{a}{b} = \min \intervallesemiouvertdroite{a}{+\infty} \ = a \end{align}

Les autre types d'intervalles n'admettent ni maximum ni minimum.

2.7 Supremum et infimum

Dans le cas où le maximum de l'intervalle \(I\) existe, on a \(\sup I = \max I\). Dans les autres cas, on a par exemple :

\[\sup \intervalleouvert{a}{b} = \min \major \intervalleouvert{a}{b} = \min [b, +\infty[ \ = b\]

et le même résultat pour les intervalles semi-ouverts.

Dans le cas où le minimum de l'intervalle \(I\) existe, on a \(\inf I = \min I\). Dans les autres cas, on a par exemple :

\[\inf \intervalleouvert{a}{b} = \max \minor \intervalleouvert{a}{b} = \max \ ]-\infty, a] = a\]

et le même résultat pour les intervalles semi-ouverts.

2.8 Adhérence, intérieur et frontière

On peut vérifier que :

\begin{align} \adh [a,b] &= \adh \intervalleouvert{a}{b} = [a,b] \\ \interieur [a,b] &= \interieur \intervalleouvert{a}{b} = \ ]a,b[ \end{align}

et ainsi de suite. La frontière est donc simplement :

\[\partial [a,b] = \partial \intervalleouvert{a}{b} = \{a,b\}\]

3 Dimension \(n\)

3.1 Dépendances

  • Chapitre \ref{chap:naturel} : Les naturels
  • Chapitre \ref{chap:entier} : Les entiers
  • Chapitre \ref{chap:rationel} : Les rationnels
  • Chapitre \ref{chap:reel} : Les réels
  • Chapitre \ref{chap:complexe} : Les complexes

3.2 Définition

Conformément à la définition de la « puissance » d'un ensemble, \(\setN^n\) est l'ensemble des $n$-tuples :

\[\setN^n = \{ (m_1,m_2,...,m_n) : m_1,m_2,...,m_n \in \setN \}\]

où chaque composante \(m_i\) est un naturel. On a pareillement :

\( \setZ^n = \{ (z_1,z_2,...,z_n) : z_1,z_2,...,z_n \in \setN \} \\ \setQ^n = \{ (q_1,q_2,...,q_n) : q_1,q_2,...,q_n \in \setQ \} \\ \setR^n = \{ (r_1,r_2,...,r_n) : r_1,r_2,...,r_n \in \setR \} \\ \setC^n = \{ (c_1,c_2,...,c_n) : c_1,c_2,...,c_n \in \setC \} \)

Dans la suite, nous notons :

\[\mathcal{D} = \{ \setN^n , \setZ^n , \setQ^n , \setR^n , \setC^n \}\]

On dit que les éléments de \(\mathcal{D}\) sont des ensembles de dimension \(n\).

3.3 Egalité

Soit l'ensemble \(A^n \in \mathcal{D}\) et \(x,y \in A^n\). On a :

\( x = (x_1,x_2,...,x_n) \\ y = (y_1,y_2,...,y_n) \)

On dit que \(x = y\) si et seulement si \(x_i = y_i\) pour tout \(i \in \{1,2,...,n\}\).

De même, on dit que \(x = 0\) si et seulement si \(x_i = 0\) pour tout \(i \in \{1,2,...,n\}\).

3.4 Ordre partiel

Soit l'ensemble \(A^n \in \mathcal{D}\) et \(x,y \in A^n\). On a :

\( x = (x_1,x_2,...,x_n) \\ y = (y_1,y_2,...,y_n) \)

On dit que \(x \le y\) si et seulement si \(x_i \le y_i\) pour tout \(i \in \{1,2,...,n\}\). On le note aussi \(y \ge x\).

On dit que \(x \strictinferieur y\) si et seulement si \(x_i \strictinferieur y_i\) pour tout \(i \in \{1,2,...,n\}\). On le note aussi \(y \strictsuperieur x\).

3.5 Opérations internes

Soit l'ensemble \(A^n \in \mathcal{D}\) et \(x,y \in A^n\). On a :

\( x = (x_1,x_2,...,x_n) \\ y = (y_1,y_2,...,y_n) \)

pour certains \(x_i,y_i \in A\).

Les opérations sur \(A^n\) sont définies par la même opération appliquée aux composantes. L'addition s'écrit donc :

\[x + y = (x_1 + y_1 , x_2 + y_2 , ... , x_n + y_n)\]

tandis que la soustraction est donnée par :

\[x - y = (x_1 - y_1 , x_2 - y_2 , ... , x_n - y_n)\]

3.6 Multiplication mixte

La multiplication mixte \(\cdot : A \times A^n \to A^n\) est définie par :

\[\alpha \cdot x = (\alpha \cdot x_1 , \alpha \cdot x_2 , ... , \alpha \cdot x_n)\]

pour tout \(\alpha \in A\).

3.6.1 Notations

On note bien entendu :

\[x \cdot \alpha = \alpha \cdot x\]

Choisissant un \(\beta \in A\), on pose également :

\[\alpha \cdot \beta \cdot x = (\alpha \cdot \beta) \cdot x\]

Enfin, le signe de multiplication est souvent omis :

\[\alpha \ x = \alpha \cdot x\]

3.7 Neutre

Soit l'ensemble \(A^n \in \mathcal{D}\). On note :

\[0 = (0,0,...,0)\]

l'élément \(0 \in A^n\)

3.8 Lien avec les fonctions

On voit clairement que ces relations et opérations sont équivalentes aux mêmes relations et opérations définies sur les fonctions :

\[\{1,2,...,n\} \mapsto \{f(1),f(2),...,f(n)\} \equiv (f_1,f_2,...,f_n)\]

associées.

3.9 Puissance

Soit \(x = (x_1,...x_n) , y = (y_1,...,y_n) \in A^n\). La puissance s'écrit :

\[y^x = y_1^{x_1} \cdot y_2^{x_2} \cdot ... \cdot y_n^{x_n}\]

3.10 Factorielle

Soit \(m = (m_1,m_2,...,m_n) \in \setN^n\). On définit :

\[m ! = m_1 ! \cdot m_2 ! \cdot ... \cdot m_n !\]

Auteur: chimay

Created: 2019-10-01 mar 12:33

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