Eclats de vers : Matemat 05 : Nombres composés

• Chapitre \ref{chap:naturels} : Les nombres naturels
• Chapitre \ref{chap:entiers} : Les nombres entiers
• Chapitre \ref{chap:rationnels} : Les nombres rationnels
• Chapitre \ref{chap:reels} : Les nombres réels

Nous avons vu que le carré d'un nombre positif est forcément positif. Par conséquent, on ne peut pas trouver de \(x \in \setR\) tel que :

\[x^2 = -1\]

Il nous faut donc inventer un nouvel objet, que l'on nomme nombre imaginaire, et que l'on note \(\img\), tel que :

\[\img^2 = -1\]

On peut dès lors étendre la définition de la racine carrée par :

\[\sqrt{-1} = \img\]

Soit \(x \in \setR\). Comme l'on veut conserver les propriétés des produits et puissances, on note que :

\[(x \cdot \img)^2 = x^2 \cdot \img^2 = x^2 \cdot (-1) = - x^2\]

On a par conséquent :

\[\sqrt{-x^2} = x \cdot \img\]

Nous allons à présent nous intéresser aux propriétés algébriques des couples nombre réel - nombre imaginaire. Pour tout \((a, b) \in \setR^2\), nous introduisons la notation complexe :

\[a + \img b\]

L'ensemble des nombres complexes est simplement l'ensemble des couples réel - imaginaire :

\[\setC = \{ a + \img b : \ a,b \in \setR \}\]

Soit \(z \in \setC\) et \(a,b \in \setR\) tels que :

\[z = a + \img b\]

On nomme \(a\) la partie réelle de \(z\), et on la note :

\[\Re(z) = a\]

On nomme \(b\) la partie imaginaire de \(z\), et on la note :

\[\Im(z) = b\]

On a donc :

\[z = \Re(z) + \img \Im(z)\]

Soit \(z \in \setC\) et \(a,b \in \setR\) tels que :

\[z = a + \img b\]

Le complexe conjugué de \(z\) est le nombre donné par :

\[\conjaccent{z} = \conjugue(z) = a + \img (-b) = a - \img b\]

On a donc :

Soient \(x,y \in \setC\) et \(a,b,c,d \in \setR\) tels que :

Comme nous désirons conserver les propriétés de commutativité et d'associativité de l'addition, on a :

\[x + y = a + \img b + c + \img d = (a + c) + \img (b + d)\]

Soient \(x,y \in \setC\) et \(a,b,c,d \in \setR\) tels que :

Comme nous souhaitons conserver les propriétés de la soustraction, on a simplement :

\[x + y = a + \img b - (c + \img d) = a + \img b - c - \img d = (a - c) + \img (b - d)\]

Soient \(x,y \in \setC\) et \(a,b,c,d \in \setR\) tels que :

Comme nous voulons conserver les propriétés de la multiplication, nous écrivons :

\[x \cdot y = (a + \img b) \cdot (c + \img d) = a \cdot c + \img a \cdot d + \img b \cdot c + \img^2 b \cdot d\]

En tenant compte de la définition du nombre imaginaire, on a :

\[x \cdot y = a \cdot c + \img a \cdot d + \img b \cdot c - b \cdot d\]

et finalement :

\[x \cdot y = (a \cdot c - b \cdot d) + \img (a \cdot d + b \cdot c)\]

On a donc :

Soit \(z \in \setC\) et \(a,b \in \setR\) tels que :

\[z = a + \img b\]

On définit le module de \(z\) par :

\[\abs{z} = \sqrt{a^2 + b^2} \ge 0\]

On voit que le module est un réel positif. Dans le cas d'un réel, le module s'identifie à la valeur absolue, ce qui justifie la notation identique.

Soit \(z \in \setC\) et \(a,b \in \setR\) tels que :

\[z = a + \img b\]

Multiplions la relation \(z \cdot \conjaccent{z} = \abs{z}^2\) par :

\[\left( z \cdot \abs{z}^2 \right)^{-1}\]

Il vient :

\[\unsur{z} = \frac{ \conjaccent{z} }{ \abs{z}^2 }\]

Nous pouvons donc évaluer l'inverse d'un nombre complexe :

\[\unsur{z} = \frac{ a - \img b }{ a^2 + b^2 } = \frac{ a }{ a^2 + b^2 } - \img \frac{ b }{ a^2 + b^2 }\]

Soient \(x,y \in \setC\) et \(a,b,c,d \in \setR\) tels que :

On définit la division de deux nombres complexes par :

\[\frac{x}{y} = x \cdot \unsur{y} = \frac{ x \cdot \conjaccent{y} }{ \abs{y}^2 }\]

On a donc :

\[\frac{x}{y} = \frac{(a + \img b) \cdot (c - \img d)}{c^2 + d^2}\]

ou encore :

\[\frac{x}{y} = \frac{(a \cdot c + b \cdot d) + \img (b \cdot c - a \cdot d)}{c^2 + d^2}\]

Soit \(z \in \setC\) et \(a,b \in \setR\) tels que :

\[z = a + \img b\]

En additionnant \(z\) et son conjugué, on obtient :

\[z + \conjaccent{z} = (a + \img b) + (a - \img b) = 2 a = 2 \Re(z)\]

ce qui permet d'obtenir une expression de la partie réelle :

\[\Re(z) = \unsur{2}(z + \conjaccent{z})\]

En soustrayant \(z\) et \(\conjaccent{z}\), on obtient :

\[z - \conjaccent{z} = (a + \img b) - (a - \img b) = 2 \img b = 2 \img \Im(z)\]

ce qui permet d'obtenir une expression de la partie imaginaire :

\[\Im(z) = \unsur{2\img}(z - \conjaccent{z})\]

Soit \(n \in \setN\) avec \(n \ne 0\), \(z \in \setC\) et \(a,b \in \setR\) tels que :

\[z = a + \img b\]

On définit la \(n^{ième}\) puissance d'un nombre complexe par :

Soit les complexes \(x,y \in \setC\) et les réels \(a,b,c,d \in \setR\) tels que :

On dit que \(x\) est plus petit que \(y\) au sens des composantes, et on le note \(x \le y\) si les deux conditions suivantes sont vérifiées :

Soit les complexes \(x,y \in \setC\) et les réels \(a,b,c,d \in \setR\) tels que :

On dit que \(x\) est plus petit que \(y\) et on le note \(x \preceq y\) si :

\[a \strictinferieur c\]

ou si les conditions suivantes sont vérifiées :

Pour tout \(a \in \setR\), on a \(a = a + \img 0 \in \setC\). On considère donc que \(\setR \subseteq \setC\).

• Chapitre \ref{chap:reel} : Les nombres réels

Soit \(a,b \in \setR\) avec \(a \le b\). L'intervalle fermé \([a,b]\) est défini par :

\[[a,b] = \{ x \in \setR : a \le x \le b \}\]

L'intervalle ouvert \(\intervalleouvert{a}{b}\) est défini par :

\[\intervalleouvert{a}{b} \ = \{ x \in \setR : a \strictinferieur x \strictinferieur b \}\]

On recontre aussi les intervalles semi-ouverts à gauche :

\[\intervallesemiouvertgauche{a}{b} = \{ x \in \setR : a \strictinferieur x \le b \}\]

ou à droite :

\[\intervallesemiouvertdroite{a}{b} \ = \{ x \in \setR : a \le x \strictinferieur b \}\]

Soit \(a \in \setR\). Les intervalles non bornés sont des intervalles partant de l'infini négatif ou/et allant jusqu'à l'infini positif :

\begin{align}\relax \intervallesemiouvertdroite{a}{+\infty} &= \{ x \in \setR : x \ge a \} \\ \intervalleouvert{a}{+\infty} &= \{ x \in \setR : x \strictsuperieur a \} \\ \intervallesemiouvertgauche{-\infty}{a} &= \{ x \in \setR : x \le a \} \\ \intervalleouvert{-\infty}{a} &= \{ x \in \setR : x \strictinferieur a \} \\ \intervalleouvert{-\infty}{+\infty} &= \setR \end{align}

Soit \(c,r,x \in \setR\) avec \(r \ge 0\). La condition \(\abs{x - c} \le r\) est équivalente à \(x - c \le r\) et \(-(x - c) = c - x \le r\). On en déduit que :

ce qui revient à dire que \(x \in [c - r, c + r]\). Nous obtenons un résultat analogue avec les inégalités strictes. On peut donc exprimer les boules en terme d'intervalles :

\begin{align} \boule[c,r] &= [c - r, c + r] \\ \boule(c,r) &= \ \intervalleouvert{c - r}{c + r} \end{align}

On peut inverser ces relations et exprimer certains intervalles en termes de boules. Soit \(a = c - r\) et \(b = c + r\). On a alors \(a \le b\) et :

On en déduit que :

\begin{align}\relax [a,b] &= \boule\left[\frac{a + b}{2},\frac{b - a}{2}\right] \\ \\ \intervalleouvert{a}{b} &= \boule\left(\frac{a + b}{2},\frac{b - a}{2}\right) \end{align}

Soit \(a,b \in \setR\) avec \(a \le b\) et \(x \in \setR\).

Pour que \(x \ge [a,b]\), il faut que \(x \ge b\). Si \(y \in [a,b]\), on aura alors \(x \ge b \ge y\) d'où \(x \ge y\) par transitivité de l'ordre. On en déduit que :

\[\major [a,b] = \intervallesemiouvertgauche{b}{+\infty}\]

On obtient le même résultat pour l'intervalle ouvert :

\[\major \intervalleouvert{a}{b} = \intervallesemiouvertgauche{b}{+\infty}\]

ainsi que pour les intervalles semi-ouverts.

Pour que \(x \le [a,b]\), il faut que \(x \le a\). Si \(y \in [a,b]\), on aura alors \(x \le a \le y\) d'où \(x \le y\) par transitivité de l'ordre. On en déduit que :

\[\minor [a,b] = \intervallesemiouvertdroite{-\infty}{a}\]

On obtient le même résultat pour l'intervalle ouvert :

\[\minor \intervalleouvert{a}{b} = \intervallesemiouvertdroite{-\infty}{a}\]

ainsi que pour les intervalles semi-ouverts.

Soit \(a,b \in \setR\) avec \(a \le b\). On a clairement :

\begin{align} \max [a,b] &= \max \intervallesemiouvertgauche{a}{b} = \max \intervallesemiouvertgauche{-\infty}{b} = b \\ \min [a,b] &= \min \intervallesemiouvertdroite{a}{b} = \min \intervallesemiouvertdroite{a}{+\infty} \ = a \end{align}

Les autre types d'intervalles n'admettent ni maximum ni minimum.

Dans le cas où le maximum de l'intervalle \(I\) existe, on a \(\sup I = \max I\). Dans les autres cas, on a par exemple :

\[\sup \intervalleouvert{a}{b} = \min \major \intervalleouvert{a}{b} = \min [b, +\infty[ \ = b\]

et le même résultat pour les intervalles semi-ouverts.

Dans le cas où le minimum de l'intervalle \(I\) existe, on a \(\inf I = \min I\). Dans les autres cas, on a par exemple :

\[\inf \intervalleouvert{a}{b} = \max \minor \intervalleouvert{a}{b} = \max \ ]-\infty, a] = a\]

et le même résultat pour les intervalles semi-ouverts.

On peut vérifier que :

\begin{align} \adh [a,b] &= \adh \intervalleouvert{a}{b} = [a,b] \\ \interieur [a,b] &= \interieur \intervalleouvert{a}{b} = \ ]a,b[ \end{align}

et ainsi de suite. La frontière est donc simplement :

\[\partial [a,b] = \partial \intervalleouvert{a}{b} = \{a,b\}\]

• Chapitre \ref{chap:naturel} : Les naturels
• Chapitre \ref{chap:entier} : Les entiers
• Chapitre \ref{chap:rationel} : Les rationnels
• Chapitre \ref{chap:reel} : Les réels
• Chapitre \ref{chap:complexe} : Les complexes

Conformément à la définition de la « puissance » d'un ensemble, \(\setN^n\) est l'ensemble des $n$-tuples :

\[\setN^n = \{ (m_1,m_2,...,m_n) : m_1,m_2,...,m_n \in \setN \}\]

où chaque composante \(m_i\) est un naturel. On a pareillement :

Dans la suite, nous notons :

\[\mathcal{D} = \{ \setN^n , \setZ^n , \setQ^n , \setR^n , \setC^n \}\]

On dit que les éléments de \(\mathcal{D}\) sont des ensembles de dimension \(n\).

Soit l'ensemble \(A^n \in \mathcal{D}\) et \(x,y \in A^n\). On a :

On dit que \(x = y\) si et seulement si \(x_i = y_i\) pour tout \(i \in \{1,2,...,n\}\).

De même, on dit que \(x = 0\) si et seulement si \(x_i = 0\) pour tout \(i \in \{1,2,...,n\}\).

Soit l'ensemble \(A^n \in \mathcal{D}\) et \(x,y \in A^n\). On a :

On dit que \(x \le y\) si et seulement si \(x_i \le y_i\) pour tout \(i \in \{1,2,...,n\}\). On le note aussi \(y \ge x\).

On dit que \(x \strictinferieur y\) si et seulement si \(x_i \strictinferieur y_i\) pour tout \(i \in \{1,2,...,n\}\). On le note aussi \(y \strictsuperieur x\).

Soit l'ensemble \(A^n \in \mathcal{D}\) et \(x,y \in A^n\). On a :

pour certains \(x_i,y_i \in A\).

Les opérations sur \(A^n\) sont définies par la même opération appliquée aux composantes. L'addition s'écrit donc :

\[x + y = (x_1 + y_1 , x_2 + y_2 , ... , x_n + y_n)\]

tandis que la soustraction est donnée par :

\[x - y = (x_1 - y_1 , x_2 - y_2 , ... , x_n - y_n)\]

La multiplication mixte \(\cdot : A \times A^n \to A^n\) est définie par :

\[\alpha \cdot x = (\alpha \cdot x_1 , \alpha \cdot x_2 , ... , \alpha \cdot x_n)\]

pour tout \(\alpha \in A\).

Soit l'ensemble \(A^n \in \mathcal{D}\). On note :

\[0 = (0,0,...,0)\]

l'élément \(0 \in A^n\)

On voit clairement que ces relations et opérations sont équivalentes aux mêmes relations et opérations définies sur les fonctions :

\[\{1,2,...,n\} \mapsto \{f(1),f(2),...,f(n)\} \equiv (f_1,f_2,...,f_n)\]

associées.

Soit \(x = (x_1,...x_n) , y = (y_1,...,y_n) \in A^n\). La puissance s'écrit :

\[y^x = y_1^{x_1} \cdot y_2^{x_2} \cdot ... \cdot y_n^{x_n}\]

Soit \(m = (m_1,m_2,...,m_n) \in \setN^n\). On définit :

\[m ! = m_1 ! \cdot m_2 ! \cdot ... \cdot m_n !\]

• Chapitre \ref{chap:reel} : Les réels
• Chapitre \ref{chap:complexe} : Les complexes

Les matrices sont des tableaux de réels, de complexes, ou de composantes d'une autre nature appartenant à un corps quelconque. Voici un exemple d'une matrice à \(m\) lignes et \(n\) colonnes :

où les \(a_{ij}\) appartiennent à un corps \(\corps\). On a également des versions simplifiées de cette notation :

\[A = ( a_{ij} )_{i,j} = [ a_{ij} ]_{i,j}\]

Par convention, le numéro de ligne passe avant le numéro de colonne à l'extérieur de la parenthèse (ou du crochet).

On note \(\matrice(\corps,m,n)\) l'ensemble des matrices à \(m\) lignes et \(n\) colonnes. On dit d'une matrice \(A \in \matrice(\corps,m,n)\) qu'elle est de taille \((m,n)\).

Soit \(A = (a_{ij})_{i,j}\). La fonction \(\composante_{ij}\) donne la composante située à la \(i^{ème}\) ligne et à la \(j^{ème}\) colonne :

\[a_{ij} = \composante_{ij} A\]

Soit \(A = (a_{ij})_{i,j}\). La fonction \(\bloc_{ijkl}\) donne la sous-matrice située entre la \(i^{ème}\) et la \(j^{ème}\) ligne, ainsi qu'entre la \(k^{ième}\) et la \(l^{ième}\) colonne :

On appelle bloc une telle sous-matrice.

Il est parfois très utile de partitionner une matrice en blocs, ou de former une matrice plus grande à partir de matrices de tailles plus petites. On note alors :

où les \(b_{ij},c_{ij},d_{ij},e_{ij}\) sont respectivement les composantes des matrices \(B,C,D,E\). Ces matrices doivent évidemment être de tailles compatibles (nombres de lignes identiques pour \(B\) et \(C\), ainsi que pour \(D\) et \(E\) ; nombres de colonnes identiques pour \(B\) et \(D\), ainsi que pour \(C\) et \(E\)).

On peut exprimer une matrice \(A \in \matrice(\corps,m,n)\) sous la forme de lignes superposées. Soit :

où les \(l_i \in \matrice(\corps,1,n)\) sont les lignes de \(A\). On note :

\[\ligne_i A = l_i\]

On peut aussi l'exprimer sous la forme de colonnes juxtaposées. Soit :

\[A = [c_1 \ c_2 \hdots \ c_n]\]

où les \(c_i \in \matrice(\corps,m,1)\) sont les colonnes de \(A\). On note :

\[\colonne_i A = c_i\]

Transposer une matrice \(A = (a_{ij})_{i,j} \in \matrice(\corps,m,n)\) consiste à agencer ses lignes en colonnes et vice-versa :

On voit que la transposée \(A^T \in \matrice(\corps,n,m)\).

On a clairement :

\[\big( A^T \big)^T = A\]

Les vecteurs ligne sont des matrices ne possédant qu'une seule ligne. Ils sont donc de taille générique \((1,n)\). Les vecteurs colonne sont des matrices ne possédant qu'une seule colonne. Ils sont donc de taille générique \((m,1)\).

Les vecteurs {\em colonne} sont notés :

\[x = (x_i)_i\]

On a aussi :

\[x_i = \composante_i x\]

Les matrices \(A \in \matrice(\corps,n,n)\) ayant même nombre de colonnes et de lignes sont dites « carrées ». Les matrices \(A \in \matrice(\corps,m,n)\) avec \(m \ne n\) sont dites « rectangulaires ». Lorsque \(m \strictinferieur n\), on dit que la matrice est « longue ». Si \(m \strictsuperieur n\), on dit que la matrice est « haute ».

Une matrice diagonale contient des composantes nulles partout, à l'exception de la diagonale où aucune contrainte n'est fixée. On peut représenter une matrice diagonale \(D \in \matrice(\corps,m,n)\) par :

\[D = ( d_i \cdot \indicatrice_{ij} )_{i,j}\]

On peut aussi former une matrice diagonale de taille \((m,n)\) à partir d'un vecteur \(d = (d_i)_i\) de taille \((p,1)\), où \(p \le \min \{ m , n \}\). On le note :

\[D = \diagonale_{m,n}(d) = \diagonale_{m,n}(d_1,...,d_p)\]

où :

Les composantes des matrices triangulaires supérieures ne peuvent être non nulles qu'au-dessus de la diagonale, c'est-à-dire lorsque \(i \le j\). Elles peuvent se représenter par :

\[T = (t_{ij} \cdot \tau^+_{ij})_{i,j}\]

où :

Les composantes des matrices triangulaires inférieures ne peuvent être non nulles qu'au-dessous de la diagonale, c'est-à-dire lorsque \(i \ge j\). Elles peuvent se représenter par :

\[T = (t_{ij} \cdot \tau^-_{ij})_{i,j}\]

où :

Il est clair que deux matrices \(A,B \in \matrice(\corps,m,n)\) :

sont égales (\(A = B\)) si tous leurs éléments le sont :

\[a_{ij} = b_{ij}\]

pour tout \((i,j) \in \{ 1,2,...,m \} \times \{ 1,2,...,n \}\).

Soit les matrices \(A,B \in \matrice(\corps,m,n)\) :

On dit que \(A\) est inférieure à \(B\), et on le note \(A \le B\), si :

\[a_{ij} \le b_{ij}\]

pour tout \((i,j) \in \{ 1,2,...,m \} \times \{ 1,2,...,n \}\).

Soit les matrices de tailles identiques \(A, B \in \matrice(\corps,m,n)\) :

L'addition et la soustraction des matrices sont simplement définies par l'addition et la soustraction des composantes :

On a donc clairement :

\[A + B = B + A\]

On définit la multiplication mixte \(\cdot : \corps \times \matrice(\corps,m,n) \to \matrice(\corps,m,n)\) par :

\[\beta \cdot A = (\beta \cdot a_{ij})_{i,j}\]

où \(\beta \in \corps\) et \(A \in \matrice(\corps,m,n)\).

Choissons également \(\gamma \in \corps\). On note comme d'habitude :

La conjuguée d'une matrice \(A = (a_{ij})_{i,j} \in \matrice(\setC,m,n)\) est définie par la conjuguée des composantes :

\[\conjugue A = \bar{A} = ( \bar{a}_{ij} )_{i,j} = ( \conjugue a_{ij} )_{i,j}\]

Soit une matrice carréé \(A \in \matrice(\corps, n, n)\).

\[G_N = \sum_{k = 0}^N A^k = I + A + A^2 + ... + A^N\]

• Chapitre \ref{chap:reel} : Les réels
• Chapitre \ref{chap:complexe} : Les complexes
• Chapitre \ref{chap:somme} : Les sommes
• Chapitre \ref{chap:produit} : Les produits

Soit un corps \(\corps\). On dit qu'une fonction \(p : \corps \mapsto \corps\) est un polynôme de degré \(n\) si on peut trouver des éléments \(a_0,a_1,...a_n \in \corps\) tels que :

\[p(x) = \sum_{i = 0}^n a_i \cdot x^i\]

pour tout \(x \in \corps\). On note \(\polynome(\corps,n)\) l'espace des polynômes de degré \(n\) définis sur \(\corps\).

Un cas particulier important est celui des polynômes réels :

\[\mathcal{P}_n = \polynome(\setR,n)\]

Un monôme \(\mu_i : \corps \mapsto \corps\) est une fonction de la forme :

\[\mu_i(x) = x^i\]

pour tout \(x \in \corps\).

On dit que \(r\) est une racine du polynôme \(p\) si :

\[p(r) = 0\]

Nous allons montrer que tout polynôme de degré \(n\) non nul admet au plus \(n\) racines distinctes.

Ce qui revient à dire que si un polynôme de degré \(n\) admet \(m+1\) racines distinctes avec \(m \ge n\), alors ce polynôme est forcément nul.

Soit \(n = 0\). Considérons un polynôme \(p_0\) défini par \(p_0(x) = a_0\) pour un certain \(a_0 \in \corps\). Comme \(n + 1 = 1\), on peut trouver au moins un \(x \in \corps\) tel que \(p_0(x_0) = a_0 = 0\). On en conclut que \(a_0 = 0\) et que \(p_0(x) = 0\) pour tout \(x \in \corps\), ce qui revient à dire que \(p_0 = 0\). La thèse est donc vérifiée pour \(n = 0\).

A présent, supposons que l'affirmation soit vraie pour \(n - 1\). Choisissons un polynôme \(p_n\) de degré \(n\) :

\[p_n(x) = \sum_{i=0}^n a_i \cdot x^i\]

Supposons que \(p\) possède \(m+1\) racines

\[p_n(x_0) = p_n(x_1) = ... = p_n(x_m) = 0\]

avec \(m \ge n\) et  :

\[x_0 \strictinferieur x_1 \strictinferieur ... \strictinferieur x_m\]

On a alors :

\[p_n(x) = p_n(x) - p_n(x_0) = \sum_{i=1}^n a_i \cdot (x^i - x_0^i)\]

Mais les propriétés de factorisation des progressions géométriques (voir la section \ref{sec:factorisation_progression_geometrique}) nous permettent d'affirmer que :

\[x^i - x_0^i = (x - x_0) \sum_{j = 0}^{i - 1} x^j \cdot x_0^{i - 1 -j}\]

on en déduit que :

\[p_n(x) = (x - x_0) \cdot q_{n-1}(x)\]

où le polynôme \(q_{n - 1}\) est défini par :

\[q_{n - 1}(x) = \sum_{i = 1}^n a_i \sum_{j = 0}^{i - 1} x^j \cdot x_0^{i - 1 - j}\]

Cette expression ne faisant intervenir que les puissances \(1,x,...,x^{n-1}\), on voit que \(q_{n-1} \in \mathcal{P}_n\) est de degré \(n-1\). Considérons les cas des racines \(x = x_1, x_2, ...,x_m\) de \(p_n\). On a :

\[0 = p_n(x_k) = (x_k - x_0) \cdot q_{n-1}(x_k)\]

Comme \(x_k - x_0 \ne 0\), on peut multiplier par \((x_k - x_0)^{-1}\) pour obtenir :

\[q_{n-1}(x_k) = \frac{p_{n-1}(x_k)}{x_k - x_0} = 0\]

Le polynôme \(q_{n-1}\) possède par conséquent au moins \(m-1 \ge n-1\) racines distinctes. Il est dès lors nul par l'hypothèse de récurrence. La factorisation de \(p_n\) devient alors :

\[p_n(x) = (x - x_0) \cdot q_{n-1}(x) = 0\]

pour tout \(x \in \corps\). Le polynôme \(p_n\) est également nul et la thèse est démontrée.

Choisissons un polynôme \(p\in\mathcal{P}_n\) qui admet \(n\) racines distinctes \(x_1,x_2,...,x_n\). Soit alors \(x_0 \notin \{x_1,...,x_n\}\) et :

\[A = \frac{p(x_0)}{\prod_{i = 1}^n (x_0 - x_i)}\]

On voit que le polynôme :

\[q(x) = A \cdot \prod_{i=1}^n (x - x_i)\]

est égal à \(p\) en chacune des racines :

\[p(x_i) = q(x_i) = 0 \qquad i = 1,2,...,n\]

Mais par la définition de \(A\), on a aussi :

\[p(x_0) = q(x_0)\]

Les deux polynômes sont donc égaux en \(n+1\) points distincts. Comme ils sont tous deux de degré \(n\), on en déduit que \(p = q\). Les coefficients doivent donc tous être égaux, et comme :

on a \(A = a_n\) et :

\[p(x) = a_n \cdot \prod_{i=1}^n (x - x_i)\]

Le binôme canonique de degré \(n \in \setN\) est une fonction \(b_n : \corps \to \corps\) définie par :

\[b_n(x) = (1 + x)^n\]

pour tout \(x \in \corps\). On a par exemple :

\begin{align} b_0(x) &= (1 + x)^0 = 1 \\ b_1(x) &= (1 + x)^1 = 1 + x \\ b_2(x) &= (1 + x)^2 = (1 + x) \cdot (1 + x) = 1 + 2 \ x + x^2 \end{align}

On voit donc que le binôme canonique de degré \(n\) peut s'écrire comme :

\[b_n(x) = (1 + x)^n = \sum_{k = 0}^n a_{nk} \cdot x^k\]

pour certains coefficients \(a_{nk} \in \corps\). On nomme ces coefficients les « nombres binômiaux », et on les note :

\[\binome{n}{k} = a_{nk}\]

L'expression de \(b_0\) nous donne :

\[\binome{0}{0} = 1\]

On peut évaluer récursivement les nombres binômiaux d'ordres plus élevés en utilisant la définition de la puissance :

\[b_n(x) = (1 + x) \cdot b_{n-1}(x)\]

Il vient alors :

\begin{align} \sum_{k = 0}^n \binome{n}{k} \cdot x^k &= (1 + x) \sum_{k = 0}^{n - 1} \binome{n - 1}{k} \cdot x^k \\ &= \sum_{k = 0}^{n - 1} \binome{n - 1}{k} \cdot x^k + \sum_{k = 0}^{n - 1} \binome{n - 1}{k} \cdot x^{k + 1} \\ &= \sum_{k = 0}^{n - 1} \binome{n - 1}{k} \cdot x^k + \sum_{i = 1}^n \binome{n - 1}{i - 1} \cdot x^i \\ \end{align}

et finalement :

#+BEGIN_CENTER \( ∑_{k = 0}ⁿ \binome{n}{k} ⋅ x^k = \binome{n - 1}{0} + ∑_{k = 1}^{n - 1} \left[ \binome{n - 1}{k} + \binome{n - 1}{k - 1} \right] ⋅ x^k
\qquad \qquad \qquad + \binome{n - 1}{n - 1} ⋅ xⁿ \end{Eqts*}

En égalisant les coefficients des \(x^0 = 1\), nous avons :

\[\binome{n}{0} = \binome{n - 1}{0}\]

On en déduit par récurrence que :

\[\binome{n}{0} = 1\]

En égalisant les coefficients des \(x^n\), nous avons :

\[\binome{n}{n} = \binome{n - 1}{n - 1}\]

On en déduit par récurrence que :

\[\binome{n}{n} = 1\]

En égalisant les coefficients de \(x^k\) pour \(k \in \{1,...,n-1\}\), il vient :

\[\binome{n}{k} = \binome{n - 1}{k} + \binome{n - 1}{k - 1}\]

Il est donc facile d'évaluer les coefficients de \(b_n\) à partir des coefficients de \(b_{n - 1}\).

Le binôme générique de degré \(n \in \setN\) est une fonction \(B_n : \corps \times \corps \mapsto \corps\) définie par :

\[B_n(x,y) = (x + y)^n\]

pour tout \((x,y) \in \corps^2\). Nous avons la forme équivalente :

\[B_n(x,y) = y^n \cdot \left( 1 + \frac{x}{y} \right)^n = y^n \cdot b_n\left( \frac{x}{y} \right)\]

c'est-à-dire :

\[B_n(x,y) = \sum_{k = 0}^n \binome{n}{k} \cdot x^k \cdot y^{n - k}\]

Le binôme du second degré est couramment utilisé :

\[(x + y)^2 = x \ (x + y) + y \ (x + y) = x^2 + 2 \ x \ y + y^2\]

Par commutativité de l'addition, on a \(B_n(x,y) = B_n(y,x)\) et :

\[\sum_{k = 0}^n \binome{n}{k} \cdot x^k \cdot y^{n - k} = \sum_{i = 0}^n \binome{n}{i} \cdot y^i \cdot x^{n - i}\]

Procédant au changement d'indice \(n - i = k\), il vient :

\[\sum_{k = 0}^n \binome{n}{k} \cdot x^k \cdot y^{n - k} = \sum_{k = 0}^n \binome{n}{n - k} \cdot x^k \cdot y^{n - k}\]

On en déduit en égalisant les coefficients de \(x^k\) que :

\[\binome{n}{k} = \binome{n}{n - k}\]

En considérant le cas particuliers \(x = y = 1\), on constate que :

\[\sum_{k=0}^{n} \binome{n}{k} = (1 + 1)^n = 2^n\]

Pour \(x = -1\), \(y = 1\), on a :

\[\sum_{k=0}^{n} \binome{n}{k} \cdot (-1)^k = (-1 + 1)^n = 0^n = 0\]

Lorsque \(y = 1 - x\) on arrive à :

\[\sum_{k=0}^{n} \binome{n}{k} \cdot x^k \cdot (1-x)^{n-k} = (x + 1 - x)^n = 1^n = 1\]

Soit \(i,n \in \setN\) avec \(i \le n\). Les polynômes de Bernstein \(B_i^n\) sont définis par :

\[B_i^n(t) = \binome{n}{i} \cdot t^i \cdot (1 - t)^{n-i}\]

pour tout \(t \in [0,1]\).

Considérons l'espace fonctionnel \(\mathcal{F} = \fonction([0,1],\corps)\). L'opérateur de Bernstein \(\mathcal{B}_n : \mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}\) est défini par :

\[\mathcal{B}_n(f)(t) = \sum_{i = 0}^n f(i / n) \cdot B_i^n(t)\]

pour tout \(f \in \mathcal{F}\) et pour tout \(t \in [0,1]\).

Soit la fonction constante \(c \in \mathcal{F}\) associée à un certain \(c \in \corps\) et définie par :

\[c(t) = c\]

pour tout \(t \in [0,1]\).

L'opérateur de Bernstein possède l'importante propriété de conserver ces fonctions constantes :

\[\mathcal{B}_n(c)(t) = \sum_{i = 0}^n c \cdot B_i^n(t) = c \sum_{i = 0}^n \binome{n}{i} t^i \cdot (1 - t)^{n-i} = c\]

quelle que soit la valeur de \(t \in [0,1]\).

Soit deux polynomes \(a \in \mathcal{P}_n\) et \(b \in \mathcal{P}_m\) avec \(m \le n\) et :

On dit que \(q\) et \(r\) sont respectivement le quotient et le reste de la division euclidienne de \(a\) et \(b\), et on note :

\[(q,r) = \division(a,b)\]

si :

avec \(p \strictinferieur m \le n\).