Eclats de vers : Matemat 06 : Vecteurs - 4

• Chapitre \ref{chap:vecteur} : Les espaces vectoriels
• Chapitre \ref{chap:norme} : Les normes

Soit \(E\) un espace vectoriel sur \(\corps\) et une famille de fonctions linéaires \(\phi_u \in E^\dual\) où \(u \in E\) est un paramètre vectoriel. Nous pouvons écrire :

\[\phi_u(v) = \forme{\phi_u}{v}\]

pour tout \(u,v \in E\). Cette expression introduit implicitement le produit dérivé \(\scalaire{}{} : E \times E \mapsto \corps\) défini par :

\[\scalaire{u}{v} = \forme{\phi_u}{v}\]

pour tout \(u,v \in E\). Ce produit hérite bien entendu la linéarité à droite de la forme associée :

\[\scalaire{u}{\alpha \cdot v + \beta \cdot w} = \alpha \cdot \scalaire{u}{v} + \beta \cdot \scalaire{u}{w}\]

pour tout \(u,v,w \in E\) et pour tout \(\alpha,\beta \in \corps\).

Les produits scalaires sont des cas particuliers de ce type de produit.

Considérons le cas particulier où \(\corps = \setR\). et un produit linéaire à droite \(\scalaire{}{} : E \times E \mapsto \setR\). Nous voudrions en plus que la valeur de \(\scalaire{u}{u}\) en chaque \(u \in E\) puisse représenter la norme de \(u\). Nous imposons donc la positivité :

\[\scalaire{u}{u} \ge 0\]

Pour compléter le caractère strictement défini positif, on impose également que le seul élément \(u \in E\) vérifiant :

\[\scalaire{u}{u} = 0\]

soit le vecteur nul \(u = 0\). Ce qui revient à dire que :

\[\scalaire{u}{u} > 0\]

pour tout \(u \in E \setminus \{ 0 \}\).

Si on peut également interchanger n'importe quels \(u,v \in E\) sans changer le résultat :

\[\scalaire{u}{v} = \scalaire{v}{u}\]

on dit que \(\scalaire{}{}\) est un produit scalaire réel sur \(E\).

Nous déduisons directement de la linéarité à droite et de la symétrie que :

\[\scalaire{\alpha \cdot u + \beta \cdot v}{w} = \alpha \cdot \scalaire{u}{w} + \beta \cdot \scalaire{v}{w}\]

pour tout \(\alpha,\beta \in \setR\) et \(u,v,w \in E\). Le produit scalaire réel est bilinéaire.

Examinons à présent le cas \(\corps = \setC\). On demande qu'un produit scalaire \(\scalaire{}{} : E \times E \mapsto \setC\) soit strictement défini positif. Pour cela, les valeurs de \(\scalaire{u}{u}\) doivent être réelles et positives :

pour tout \(u \in E\). Ensuite, il faut également que le seul élément \(u \in E\) vérifiant :

\[\scalaire{u}{u} = 0\]

soit le vecteur nul \(u = 0\).

Le caractère réel de \(\scalaire{u}{u}\) implique que :

\[\scalaire{u}{u} = \conjaccent{\scalaire{u}{u}}\]

où la barre supérieure désigne comme d'habitude le complexe conjugué. Cette constatation nous mène à une variante de la symétrie. On impose :

\[\scalaire{u}{v} = \conjaccent{\scalaire{v}{u}}\]

pour tout \(u,v \in E\). On dit que le produit scalaire complexe est hermitien.

La linéarité à droite s'exprime simplement par :

\[\scalaire{u}{\alpha \cdot v + \beta \cdot w} = \alpha \cdot \scalaire{u}{v} + \beta \cdot \scalaire{u}{w}\]

pour tout \(u,v,w \in E\) et pour tout \(\alpha,\beta \in \setC\). On déduit de la linéarité et du caractère hermitien du produit scalaire complexe que :

\begin{align} \scalaire{\alpha \cdot u + \beta \cdot v}{w} &= \conjaccent{\scalaire{w}{\alpha \cdot u + \beta \cdot v}} \\ &= \conjaccent{\alpha} \cdot \conjaccent{\scalaire{w}{u}} + \conjaccent{\beta} \cdot \conjaccent{\scalaire{w}{v}} \end{align}

et finalement :

\[\scalaire{\alpha \cdot u + \beta \cdot v}{w} = \conjaccent{\alpha} \cdot \scalaire{u}{w} + \conjaccent{\beta} \cdot \scalaire{v}{w}\]

On dit que le produit scalaire est antilinéaire à gauche.

Si \(u,v \in E\) sont tels que :

\[\scalaire{u}{w} = \scalaire{v}{w}\]

pour tout \(w \in E\), on a :

\[\scalaire{u - v}{w} = 0\]

Le choix \(w = u - v \in E\) nous donne alors :

\[\scalaire{u - v}{u - v} = 0\]

ce qui implique \(u - v = 0\) et donc \(u = v\).

Une base \((e_1,...,e_n)\) de \(E\) est dite orthonormée si le produit scalaire de deux vecteurs \(e_i \ne e_j\) s'annule, tandis que le produit scalaire d'un \(e_i\) avec lui-même donne l'unité :

\[\scalaire{e_i}{e_j} = \indicatrice_{ij}\]

Soit \((e_1,...,e_n)\) une base de \(E\) et \(u,v \in E\). On a :

pour certains \(u_i,v_i \in \corps\). Posons :

\[g_{ij} = \scalaire{e_i}{e_j}\]

où \(\scalaire{}{} : E \times E \mapsto \setC\) est un produit scalaire complexe. Nous pouvons faire sortir les sommes en utilisant les propriétés du produit scalaire, ce qui nous donne :

\[\scalaire{u}{v} = \sum_{i,j} \conjaccent{u}_i \cdot g_{ij} \cdot v_j\]

Soit une application linéaire \(A : E \mapsto E\). Si le produit scalaire de \(u\) avec \(A(u)\) est un réel positif :

\[\scalaire{u}{A(u)} = \scalaire{A(u)}{u} \ge 0\]

pour tout \(u \in E\), on dit que \(A\) est définie positive.

Soit \(x,y \in \setR^n\) tels que :

pour certains \(x_i,y_i \in \setR\).

Le produit scalaire usuel sur \(\setR^n\) est défini par :

\[\scalaire{x}{y} = \sum_{i = 1}^n x_i y_i\]

Soit \(x,y \in \setC^n\) tels que :

pour certains \(x_i,y_i \in \setC\).

Le produit scalaire usuel est défini par :

\[\scalaire{x}{y} = \sum_{i=1}^n \conjaccent{x}_i y_i\]

Soit \(\corps \in \{ \setR , \setC \}\). Il est clair que la base canonique de \(\corps^n\) :

\[e_i = ( \indicatrice_{ij} )_{i,j}\]

vérifie :

\[\scalaire{e_i}{e_j} = \indicatrice_{ij}\]

pour le produit scalaire usuel sur \(\corps^n\). La suite \((e_1,...,e_n)\) forme une base orthonormée.

Soit \(x = (x_1,..,x_n) , y = (y_1,...,y_n) \in \setC^n\). On définit les vecteurs colonne associé :

L'équivalence entre \(\setC^n\) et \(\matrice(\setC,n,1)\) nous amène à :

\[\scalaire{x}{y} = \sum_i \conjaccent{x}_i \cdot y_i\]

Le membre de droite n'est rien d'autre que le produit « matriciel » \(\conjaccent{x^T} \cdot y\) et on a donc :

\[\scalaire{x}{y} = \conjaccent{x^T} \cdot y\]

On vérifie que la base \((e_1,...,e_n)\) est orthonormée pour ce produit scalaire :

\[e_i^T \cdot e_j = \indicatrice_{ij}\]

Soit les espaces vectoriels \(E,F\) sur \(\corps\) et une application linéaire \(\mathcal{A} : E \mapsto F\). On prend une base \((e_1,..,e_n)\) de \(E\) et une base orthonormée \((f_1,...,f_m)\) de \(F\). Comme les composantes de la matrice associée \(A\) sont les coordonnées de \(\mathcal{A}(e_j)\) dans la base des \(f_i\), on a :

\[\composante_{ij} A = \scalaire{f_i}{\mathcal{A}(e_j)}\]

Soit un espace vectoriel \(E\) sur \(\corps\) et un produit scalaire \(\scalaire{}{}\) quelconque défini sur \(E\). Soit \((e_1,...,e_n)\) une base quelconque de \(E\) (nous ne supposons pas qu'elle soit orthonormée). Si \(\hat{x},\hat{y} \in E\), on a :

pour certains \(x_i,y_i \in S\). Or, nous avons vu que :

\[\scalaire{\hat{x}}{\hat{y}} = \sum_{i,j} \conjaccent{x}_i \scalaire{e_i}{e_j} y_j\]

Si nous définissons la matrice des produits scalaires \(A \in \matrice(\corps,m,n)\) par :

\[\composante_{ij} A = \scalaire{e_i}{e_j}\]

nous pouvons réécrire le produit scalaire sous la forme :

\[\scalaire{\hat{x}}{\hat{y}} = \conjaccent{x^T} \cdot A \cdot y\]

où \(x,y\) sont les vecteurs colonne associés à \(\hat{x},\hat{y}\) :

Cette matrice possède d'importantes propriétés issues du produit scalaire. On a \(\conjaccent{x^T} \cdot A \cdot x > 0\) pour tout \(x \ne 0\). On dit que \(A\) est une matrice définie positive. Le caractère hermitien du produit scalaire nous donne aussi \(\conjaccent{A^T} = A\). On dit que \(A\) est une matrice hermitienne, ou auto-adjointe.

Un cas particulier important survient lorsque les vecteurs sont des vecteurs matriciels. Soit une suite de vecteurs linéairement indépendants \(u_1,u_2,...,u_m \in \matrice(\corps,n,1)\). Soit des \(x_i,y_i \in \corps\) et les vecteurs :

Si nous considérons les vecteurs \(x,y \in \matrice(\corps,m,1)\) associés :

ainsi que la matrice \(U \in \matrice(\corps,n,m)\) rassemblant les \(u_i\) :

\[U = [u_1 \ u_2 \ ... \ u_m]\]

on peut réécrire la définition de \(x,y\) sous la forme :

On a alors :

\[\scalaire{X}{Y} = \conjaccent{X^T} \cdot Y = \conjaccent{x^T} \cdot \conjaccent{U^T} \cdot U \cdot y\]

On en conclut que la matrice \(A = \conjaccent{U^T} \cdot U \in \matrice(\corps,m,m)\) est une matrice de produit scalaire

Soit \(l_i = \ligne_i A\) et \(x \in \noyau A\). On a alors :

\[0 = \composante_i (A \cdot x) = l_i \cdot x\]

On en conclut que les lignes de \(A\) sont orthogonales aux \(\conjaccent{l}_i\). Il en va de même pour toute combinaison linéaire de ces lignes, et :

\[\noyau A = \combilin{\conjaccent{l}_1,...,\conjaccent{l}_m}^\orthogonal\]

• Chapitre \ref{chap:vecteur} : Les espaces vectoriels
• Chapitre \ref{chap:norme} : Les normes

Soit un espace vectoriel \(E\) muni du produit scalaire \(\scalaire{}{}\). Nous allons analyser les propriétés de l'application \(\norme{.} : E \mapsto \corps\) associée au produit scalaire et définie par :

\[\norme{x} = \sqrt{ \scalaire{x}{x} }\]

pour tout \(x \in E\).

Soit \(x,y \in E\) et \(\alpha,\beta \in \setC\). On a :

\begin{align} \norme{\alpha \cdot x + \beta \cdot y}^2 &= \scalaire{\alpha \cdot x + \beta \cdot y}{\alpha \cdot x + \beta \cdot y} \\ &= \conjaccent{\alpha} \cdot \alpha \cdot \scalaire{x}{x} + \conjaccent{\alpha} \cdot \beta \cdot \scalaire{x}{y} + \conjaccent{\beta} \cdot \alpha \cdot \scalaire{y}{x} + \conjaccent{\beta} \cdot \beta \cdot \scalaire{y}{y} \\ &= \abs{\alpha}^2 \cdot \norme{x}^2 + \conjaccent{\alpha} \cdot \beta \cdot \scalaire{x}{y} + \conjaccent{\beta} \cdot \alpha \cdot \scalaire{y}{x} + \abs{\beta}^2 \cdot \norme{y}^2 \end{align}

Dans le cas particulier où \(\beta = 1\), on a :

\begin{align} \norme{y + \alpha \cdot x} &= \norme{y}^2 + \alpha \cdot \scalaire{y}{x} + \conjaccent{\alpha} \cdot \scalaire{x}{y} + \abs{\alpha}^2 \cdot \norme{x}^2 \\ &= \norme{y}^2 + 2 \Re(\alpha \cdot \scalaire{y}{x}) + \abs{\alpha}^2 \cdot \norme{x}^2 \end{align}

Si \(x,y \in E\) sont orthogonaux :

\[\scalaire{x}{y} = 0\]

on a également \(\scalaire{y}{x} = \conjugue \scalaire{x}{y} = 0\) et :

\begin{align} \scalaire{x + y}{x + y} &= \scalaire{x}{x} + \scalaire{x}{y} + \scalaire{y}{x} + \scalaire{y}{y} \\ &= \scalaire{x}{x} + \scalaire{y}{y} \end{align}

En exprimant cette relation en terme de \(\norme{.}\), on obtient :

\[\norme{x + y}^2 = \norme{x}^2 + \norme{y}^2\]

résultat connu sous le nom de théorème de Pythagore.

En additionnant les équations :

on obtient :

\[\norme{x + y}^2 + \norme{x - y}^2 = 2(\scalaire{x}{x} + \scalaire{y}{y}) = 2 (\norme{x}^2 + \norme{y}^2)\]

Soit \(x,y \in E\) et \(\lambda \in \setC\). On a :

\[\norme{y - \lambda \cdot x}^2 = \scalaire{y}{y} - \lambda \cdot \scalaire{y}{x} - \conjaccent{\lambda} \cdot \scalaire{x}{y} + \conjaccent{\lambda} \cdot \lambda \cdot \scalaire{x}{x} \ge 0\]

Le choix magique de \(\lambda\) (nous verrons d'où il vient en étudiant les projections) est :

\[\lambda = \frac{ \scalaire{x}{y} }{ \scalaire{x}{x} }\]

On a alors :

\[\scalaire{y}{y} - \frac{ \scalaire{x}{y} \cdot \scalaire{y}{x} }{ \scalaire{x}{x} } - \frac{ \scalaire{y}{x} \cdot \scalaire{x}{y} }{ \scalaire{x}{x} } + \frac{ \scalaire{y}{x} \cdot \scalaire{x}{y} }{ \scalaire{x}{x}^2 } \cdot \scalaire{x}{x} \ge 0\]

En simplifiant les termes, on arrive à :

\[\scalaire{y}{y} - \frac{ \scalaire{x}{y} \cdot \scalaire{y}{x} }{ \scalaire{x}{x} } = \scalaire{y}{y} - \frac{ \abs{\scalaire{x}{y}}^2 }{ \scalaire{x}{x} } \ge 0\]

En faisant passer le second terme dans le second membre et en multipliant par \(\scalaire{x}{x}\), on arrive finalement à :

\[\abs{\scalaire{x}{y}}^2 \le \scalaire{x}{x} \cdot \scalaire{y}{y}\]

En prenant la racine carrée, on obtient une relation connue sous le nom d'inégalite de Cauchy-Schwartz :

\[\abs{\scalaire{x}{y}} \le \sqrt{\scalaire{x}{x} \cdot \scalaire{y}{y}} = \norme{x} \cdot \norme{y}\]

Nous allons à présent vérifier que l'application \(\norme{.}\) est bien une norme.

On associe une distance à la norme et au produit scalaire par :

\[\distance(x,y) = \norme{x - y} = \sqrt{\scalaire{x - y}{x - y}}\]

pour tout \(x,y \in E\).

En soutrayant les équations :

on obtient :

\[\norme{x + y}^2 - \norme{x - y}^2 = 4 \Re(\scalaire{x}{y})\]

Comme \(\Re(\img z) = - \Im(z)\), on a aussi :

\begin{align} \norme{x + \img y}^2 &= \scalaire{x}{x} + 2 \Re(\img \scalaire{x}{y}) + \scalaire{y}{y} \\ &= \scalaire{x}{x} - 2 \Im(\scalaire{x}{y}) + \scalaire{y}{y} \\ \norme{x - \img y}^2 &= \scalaire{x}{x} - 2 \Re(\img \scalaire{x}{y}) + \scalaire{y}{y} \\ &= \scalaire{x}{x} + 2 \Im(\scalaire{x}{y}) + \scalaire{y}{y} \end{align}

En soustrayant ces deux résultats, on a donc :

\[\norme{x + \img y}^2 - \norme{x - \img y}^2 = - 4 \Im(\scalaire{x}{y})\]

On en conclut que :

\begin{align} \scalaire{x}{y} &= \Re(\scalaire{x}{y}) + \img \Im(\scalaire{x}{y}) \\ &= \unsur{4} (\norme{x + y}^2 + \norme{x - y}^2) + \frac{\img}{4} (\norme{x - \img y}^2 - \norme{x + \img y}^2) \end{align}

Soit \((e_1,...,e_n)\) une base de \(E\) et \(u \in E\). On a :

\[u = \sum_i u_i \cdot e_i\]

pour certains \(u_i,v_i \in \corps\). La norme s'écrit alors :

\[\norme{u} = \sqrt{ \sum_{i,j} \conjaccent{u}_i \cdot \scalaire{e_i}{e_j} \cdot u_j }\]

Soit \(\corps \in \{ \setR , \setC \}\). On définit une norme sur \(\corps^n\), dite norme euclidienne, à partir du produit scalaire :

\[\norme{x} = \sqrt{ \scalaire{x}{x} } = \sqrt{\sum_{i=1}^n \abs{x_i}^2}\]

Soit \((a,b) \in \setR^2\) et \(z = a + \img b\). Il est clair que le module :

\[\abs{z} = \abs{a + \img b} = \sqrt{a^2 + b^2} = \norme{(a,b)}\]

définit une norme sur \(\setC\).

Soit le vecteur matriciel \(x = [x_1 \ ... \ x_n]^T\). Sa norme s'écrit :

\[\norme{x} = \sqrt{ \scalaire{x}{x} } = \sqrt{\conjaccent{x}^T \cdot x}\]