Eclats de vers : Matemat 06 : Vecteurs - 6

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1 Produit extérieur

1.1 Dépendances

  • Chapitre \ref{chap:vecteur} : Les vecteurs
  • Chapitre \ref{chap:tenseur} : Les tenseurs

1.2 Dimension 2

Soit l'espace vectoriel \(E = \combilin{e_1,e_2}\) sur \(S\), où \((e_1,e_2)\) forme est une base orthonormée. Soit \(u,v \in E\). On a :

\( u = \sum_{i = 1}^2 u_i e_i \\ v = \sum_{i = 1}^2 v_i e_i \)

pour certains \(u_i,v_i \in S\).

Les symboles \(\permutation_{ij}\quad (i,j=1,2)\) sont définis de telle sorte que pour tout \(u,v\) la double somme :

\[u \wedge v = \sum_{i,j=1}^2 \permutation_{ij} u_i v_j\]

représente (au signe près) la surface du parallélogramme dont les sommets sont \((0,0)\), \((u_1,u_2)\), \((v_1,v_2)\) et \((u_1+v_1,u_2+v_2)\). On impose de plus l'antisymétrie :

\[u \wedge v = - v \wedge u\]

afin de donner une orientation à ce parallélogramme. Ces contraintes nous donnent :

\( u = e_1, \quad v = e_1 \quad \Rightarrow \quad u \wedge v = 0 \\ u = e_1, \quad v = e_2 \quad \Rightarrow \quad u \wedge v = 1 \\ u = e_2, \quad v = e_2 \quad \Rightarrow \quad u \wedge v = 0 \\ u = e_2, \quad v = e_1 \quad \Rightarrow \quad u \wedge v = -1 \)

ce qui nous amène à :

\( \permutation_{11} = \permutation_{22} = 0 \\ \permutation_{12} = 1 \qquad \permutation_{21} = -1 \)

On voit qu'il y a un certain arbitraire dans notre choix, on aurait pu également choisir :

\( \permutation_{11} = \permutation_{22} = 0 \\ \permutation_{12} = -1 \qquad \permutation_{21} = 1 \)

Le choix du signe détermine ce que l'on appelle l'orientation de l'espace \(E\).

1.3 Dimension 3

Soit l'espace vectoriel \(E = \combilin{e_1,e_2,e_3}\) sur \(S\), où \((e_1,e_2,e_3)\) forme est une base orthonormée. Soit \(u,v,w \in E\). On a :

\( u = \sum_{i = 1}^3 u_i e_i \\ v = \sum_{i = 1}^3 v_i e_i \\ w = \sum_{i = 1}^3 w_i e_i \)

pour certains \(u_i,v_i,w_i \in S\).

Les symboles \(\permutation_{ijk} \quad (i,j=1,2,3)\) sont définis de telle sorte que pour tout \(u,v,w\) le scalaire :

\[u \wedge v \wedge w = \sum_{i,j,k=1}^3 \permutation_{ijk} u_i v_j w_k\]

représente (au signe près) le volume du parallélipipède dont les côtés sont définis par \(u\), \(v\) et \(w\). On impose également l'antisymétrie

\( u \wedge v \wedge w = - u \wedge w \wedge v \\ u \wedge v \wedge w = - v \wedge u \wedge w \)

Par un procédé analogue au cas bidimensionnel, on montre qu'un choix possible est donné par :

\( \permutation_{123} = 1 \\ \permutation_{ijj} = \permutation_{iij} = \permutation_{iji} = 0 \\ \permutation_{ijk} = \permutation_{jki} = \permutation_{kij} \\ \permutation_{ijk} = - \permutation_{jik} \qquad \permutation_{ijk} = - \permutation_{ikj} \)

1.3.1 Produit vectoriel

On peut également former un vecteur avec l'opérateur \(\wedge\). On pose simplement :

\[u \wedge v = \sum_{i,j,k = 1}^3 \left( \permutation_{ijk} u_j v_k \right) e_i\]

Les composantes sont donc données par :

\( (u \wedge v)_1 = u_2 v_3 - u_3 v_2 \\ (u \wedge v)_2 = u_3 v_1 - u_1 v_3 \\ (u \wedge v)_3 = u_1 v_2 - u_2 v_1 \)

On peut relier le produit extérieur au produit scalaire en constatant que :

\[\scalaire{u}{v \wedge w} = \sum_{i,j,k} \permutation_{ijk} u_i v_j w_k = u \wedge v \wedge w\]

1.4 Permutations en dimension \(N\)

Voyons quelles sont les propriétés communes aux \(\permutation_*\) présentés ci-dessus. On remarque que \(\permutation_{12} = \permutation_{123} = 1\). On note aussi que \(\permutation_*\) est antysimétrique puisque l'inversion de deux indices change le signe. Ces propriétés nous permettent de généraliser la définition du produit extérieur à un espace de dimension \(N\). On impose que le \(\permutation\) à \(N\) indices vérifie les conditions suivantes :

\label{def:eps}

\( \permutation_{1,2,...,N} = 1 \\ \permutation_{i ... j ... k ... l} = - \permutation_{i ... k ... j ... l} \)

Ces conditions nous permettent de retrouver la valeur de n'importe quel \(\permutation_{ijk...l}\). Si deux indices sont égaux, l'antisymétrie nous permet d'affirmer que :

\[\permutation_{i ... j ... j ... k} = - \permutation_{i ... j ... j ... k}\]

et donc :

\[\permutation_{i ... j ... j ... k} = 0\]

Les seuls \(\permutation\) non nuls sont donc ceux dont tous les indices \((i,j,k,...,s)\) sont distincts, c'est-à-dire les permutations de \((1,2,3,...,N)\). On se rend compte que si \(p \in \setN\) est le nombre de permutations de couples d'indices nécessaires pour obtenir \((i,j,k,...,s)\) à partir de \((1,2,3,...,N)\), on a :

\[\permutation_{i j k ... l} = (-1)^p\]

1.5 Tenseur de permutation

Soit \((e_1,e_2,...,e_N)\) une base orthonormée d'un espace vectoriel \(E\) sur \(S\). Nous définissons le tenseur de permutation \(\mathcal{E} \in \tenseur_N(E)\) par :

\[\mathcal{E} = \sum_{i_1,i_2,...,i_N} \permutation_{i_1,i_2,...,i_N} \cdot e_{i_1} \otimes e_{i_2} \otimes ... \otimes e_{i_N}\]

1.6 Produit extérieur généralisé

Soit \((e_1,e_2,...,e_N)\) une base orthonormée d'un espace vectoriel \(E\) sur \(\corps\), \(M \le N\) et les vecteurs \(u_1,u_2,...u_M \in E\) de coordonnées \(u_k^i\) :

\[u_k = \sum_{i = 1}^N u_k^i e_i\]

Nous définissons leur produit extérieur par une contraction d'ordre \(M\) :

\[u_1 \wedge u_2 \wedge ... \wedge u_M = \contraction{ \mathcal{E} }{M}{ u_M \otimes ... \otimes u_1 }\]

Par orthonormalité de la base, on a :

\[\scalaire{e_j}{u_k} = u_k^j\]

Le produit extérieur s'écrit donc :

\[\mathcal{U} = u_1 \wedge u_2 \wedge ... \wedge u_M = \sum_{i_1,i_2,...i_N} \permutation_{i_1,i_2,...i_N} \cdot e_{i_1} \otimes ... \otimes e_{ i_{N - M} } \cdot u_M^{i_N} \cdot \hdots \cdot u_1^{ i_{N - M + 1} }\]

ce qui nous donne les coordonnées du tenseur \(\mathcal{U} \in \tenseur_{N-M}(E)\) par rapport à la base \((e_1,...,e_N)\) :

\[U_{ i_1,...,i_{N - M} } = \sum_{i_{N - M + 1},...,i_N} \permutation_{i_1,i_2,...i_N} \cdot u_1^{ i_{N - M + 1} } \cdot \hdots \cdot u_M^{i_N}\]

On vérifie les propriétés suivantes :

\( u \wedge v = - v \wedge u \\ u \wedge u = 0 \\ (\alpha u + \beta v) \wedge w = \alpha u \wedge w + \beta v \wedge w \\ w \wedge (\alpha u + \beta v) = \alpha w \wedge u + \beta w \wedge v \)

pour tout \(u,v,w,... \in E\) et \(\alpha,\beta \in S\).

1.6.1 \(N\) vecteurs

Dans le cas où \(M = N\), le produit extérieur est le scalaire :

\[\Delta = u_1 \wedge u_2 \wedge ... \wedge u_N = \sum_{i,j,...,k = 1}^N \permutation_{ij...k} \cdot u_1^i \cdot u_2^j \cdot \hdots \cdot u_N^k\]

On appelle le \(\Delta\) ainsi obtenu le déterminant des \(N\) vecteurs \(u_i\), et on le note :

\[\det(u_1,...,u_N) = u_1 \wedge u_2 \wedge ... \wedge u_N\]

1.7 Déterminant d'une matrice

Soit une matrice \(A \in \matrice(K,N,N)\) :

\[A = \left( a_{ij} \right)_{i,j}\]

et les vecteurs correspondants :

\[a_i = \sum_j a_{ij} e_j\]

On définit alors simplement :

\( \det(A) = a_1 \wedge ... \wedge a_N = \sum_{i_1,i_2,...i_N} \permutation_{i_1,i_2,...i_N} a_{1, i_1 } ... a_{N, i_N} \)

2 Matrices élémentaires

2.1 Dépendances

  • Chapitre \ref{chap:matrice} : Les matrices
  • Chapitre \ref{chap:tenseur} : Les tenseurs

2.2 Introduction

Les matrices élémentaires constituent une classe importante de matrice. Elles permettent d'obtenir d'importants résultats utiles tant sur le plan théorique que pour les applications numériques. Une matrice élémentaire de taille \((n,n)\) est déterminée par un scalaire \(\alpha \in \corps\) et le produit tensoriel de deux vecteurs \(u,v \in \corps^n\) :

\[\matelementaire(\alpha,u,v) = I + \alpha \cdot u \otimes v = I + \alpha \cdot u \cdot v^\dual\]

2.3 Inverse

Considérons le produit :

\begin{align} \matelementaire(\alpha,u,v) \cdot \matelementaire(\beta,u,v) &= I + (\alpha + \beta) \cdot u \cdot v^\dual + \alpha \cdot \beta \cdot u \cdot v^\dual \cdot u \cdot v^\dual \\ &= I + [\alpha + \beta + \alpha \cdot \beta \cdot (v^\dual \cdot u)] \cdot u \cdot v^\dual \end{align}

On voit que si on peut trouver un scalaire \(\beta\) tel que :

\[\alpha + \beta + \alpha \cdot \beta \cdot (v^\dual \cdot u) = 0\]

le produit des deux matrices sera égal à la matrice identité. Ce sera possible si \(1 + \alpha \cdot v^\dual \cdot u \ne 0\). On a alors :

\[\beta = - \frac{\alpha}{1 + \alpha \cdot (v^\dual \cdot u)}\]

et :

\[\matelementaire(\alpha,u,v) \cdot \matelementaire(\beta,u,v) = I\]

Par symétrie, il est clair que le produit des deux matrices ne change pas lorsqu'on intervertit \(\alpha\) et \(\beta\). On a donc aussi :

\[\matelementaire(\beta,u,v) \cdot \matelementaire(\alpha,u,v) = I\]

Ces deux conditions étant remplies, on a :

\[\matelementaire(\beta,u,v) = \matelementaire(\alpha,u,v)^{-1}\]

Les matrices élémentaires sont donc très faciles à inverser.

2.4 Matrices élémentaires de transformation

Nous allons construire une matrice élémentaire qui transforme un vecteur donné \(x \in \matrice(\corps,n,1)\) non nul en un autre vecteur donné \(y \in \matrice(\corps,n,1)\) de même taille.

2.4.1 Colonne

On cherche une matrice élémentaire \(E_{yx}\) telle que \(E_{yx} \cdot x = y\). L'équation :

\[(I + \alpha \cdot u \cdot v^\dual) \cdot x = x + \alpha \cdot u \cdot (v^\dual \cdot x) = y\]

nous donne la condition :

\[\alpha \cdot (v^\dual \cdot x) \cdot u = y - x\]

On peut donc choisir par exemple \(u = y - x\) et \(v = x\). On a alors \(\alpha = 1 / (x^\dual \cdot x) \ne 0\) et on se retrouve avec la matrice élémentaire :

\[E_{yx} = I + \unsur{x^\dual \cdot x} \cdot (y - x) \cdot x^\dual\]

2.4.2 Inverse

Si l'inverse existe, il s'agit d'une matrice élémentaire de paramètre scalaire :

\[\beta = - \unsur{x^\dual \cdot x + x^\dual \cdot (y - x)} = - \unsur{x^\dual \cdot y}\]

Sous réserve que \(x^\dual \cdot y \ne 0\), on a donc :

\[E_{yx}^{-1} = I - \unsur{x^\dual \cdot y} \cdot (y - x) \cdot x^\dual\]

2.4.3 Ligne

On cherche une matrice élémentaire \(E_{yx}\) telle que \(x^\dual \cdot E_{yx} = y^\dual\). L'équation :

\[x^\dual \cdot (I + \alpha \cdot u \cdot v^\dual) = x^\dual + \alpha \cdot (x^\dual \cdot u) \cdot v^\dual = y^\dual\]

nous donne la condition :

\[\alpha \cdot (x^\dual \cdot u) \cdot v^\dual = y^\dual - x^\dual\]

ou :

\[\conjaccent{\alpha} \cdot (u^\dual \cdot x) \cdot v = y - x\]

On peut donc choisir par exemple \(v = y - x\) et \(u = x\). On a alors \(\alpha = \conjaccent{\alpha} = 1 / (x^\dual \cdot x) \ne 0\) et on se retrouve avec la matrice élémentaire :

\[E_{yx} = I + \unsur{x^\dual \cdot x} \cdot x \cdot (y - x)^\dual\]

2.4.4 Inverse

Si l'inverse existe, il s'agit d'une matrice élémentaire de paramètre scalaire :

\[\beta = - \unsur{x^\dual \cdot x + (y - x)^\dual \cdot x} = - \unsur{y^\dual \cdot x}\]

Sous réserve que \(y^\dual \cdot x \ne 0\), on a donc :

\[E_{yx}^{-1} = I - \unsur{y^\dual \cdot x} \cdot x \cdot (y - x)^\dual\]

2.5 Matrices élémentaires de permutation

Les matrices élémentaires de permutations permettent de permuter deux lignes ou deux colonnes d'une matrice. Soit \(\canonique_1,...,\canonique_n\) les vecteurs de la base canonique de \(\corps^n\). La matrice de permutation élémentaire de taille \((n,n)\) et de paramètres \(i,j\) est définie par :

\[\matpermutation_{n,i,j} = I - (\canonique_i - \canonique_j) \cdot (\canonique_i - \canonique_j)^\dual\]

Dans la suite, nous considérons \(A \in \matrice(\corps,m,n)\) et \(P = \matpermutation_{n,i,j}\).

2.5.1 Permutation des colonnes

Soit les colonnes \(C_i = A \cdot \canonique_i\). On a :

\[A \cdot P = A - (C_i \cdot \canonique_i^\dual + C_j \cdot \canonique_j^\dual) + (C_j \cdot \canonique_i^\dual + C_i \cdot \canonique_j^\dual)\]

Les colonnes \(i\) et \(j\) de \(A\) sont donc permutées par multiplication à droite d'une matrice de permutation.

2.5.2 Permutation des lignes

Soit les lignes \(L_i = \canonique_i^\dual \cdot A\). On a :

\[P \cdot A = A - (\canonique_i \cdot L_i + \canonique_j \cdot L_j) + (\canonique_j \cdot L_i + \canonique_i \cdot L_j)\]

Les lignes \(i\) et \(j\) de \(A\) sont donc permutées par multiplication à gauche d'une matrice de permutation.

2.5.3 Symétrie

On constate que la transposée et la duale sont égales à la matrice elle-même :

\[\matpermutation_{n,i,j} = \matpermutation_{n,i,j}^T = \matpermutation_{n,i,j}^\dual\]

2.5.4 Inverse

Soit \(\Delta_{ij} = \canonique_i - \canonique_j\) et :

\[P = \matpermutation_{n,i,j} = I - \Delta_{ij} \cdot \Delta_{ij}^\dual\]

Le produit de cette matrice avec elle-même s'écrit :

\[P \cdot P = I - 2 \Delta_{ij} \cdot \Delta_{ij}^\dual + \Delta_{ij} \cdot \Delta_{ij}^\dual \cdot \Delta_{ij} \cdot \Delta_{ij}^\dual\]

Mais comme \(\Delta_{ij}^\dual \cdot \Delta_{ij} = 2\), on a :

\[P \cdot P = I - 2 \Delta_{ij} \cdot \Delta_{ij}^\dual + 2 \Delta_{ij} \cdot \Delta_{ij}^\dual\]

Les deux derniers termes s'annihilent et :

\[P \cdot P = I\]

Les matrices de permutations élémentaires sont donc égales à leur propre inverse :

\[\matpermutation_{n,i,j} = \matpermutation_{n,i,j}^{-1}\]

2.6 Matrices de permutations

Une matrice de permutation \(P\) est une matrice de la forme :

\[P = P_1 \cdot ... \cdot P_n\]

où les \(P_i\) sont des matrices élémentaires de permutation.

2.6.1 Inverse

\( P^\dual \cdot P = P_n \cdot ... \cdot P_1 \cdot P_1 \cdot ... \cdot P_n = I \\ P \cdot P^\dual = P_1 \cdot ... \cdot P_n \cdot P_n \cdot ... \cdot P_1 = I \)

Donc \(P^\dual = P^{-1}\). Comme \(P^\dual = P^T\), la transposée d'une matrice de permutation est identique à son inverse. On dit que ces matrices sont orthogonales.

Auteur: chimay

Created: 2019-10-01 mar 12:32

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