Eclats de vers : Matemat 06 : Vecteurs

• Chapitre \ref{chap:algebre} : Les structures algébriques
• Chapitre \ref{chap:somme} : Les sommes

Soit un corps \(\corps\), un ensemble quelconque \(A\) et \(n \in \setN\). Le but des espaces vectoriels est de fournir un cadre général aux $n$-tuples de \(\corps^n\) et aux fonctions de \(\corps^A\). Nous avons vu la correspondance \(\corps^n \leftrightarrow \corps^A\) dans le cas particulier où \(A\) possède un nombre fini d'éléments. Mais le lien entre les deux types d'objets ne s'arrête pas là : la comparaison de deux fonctions se base sur le même principe (étendu) que la comparaison de deux $n$-tuples. Nous avons également défini des produits mixtes \(\cdot : \corps \times \corps^n \to \corps^n\) et \(\cdot : \corps \times \corps^A \to \corps^A\) semblables. Les matrices représentant des applications linéaires, nous pouvons également les ajouter dans la liste. Si \(u,v \in E\), avec \(E \in \{ \corps^n , \corps^A , \matrice(\corps,m,n) \}\), on a :

pour tout \(\alpha, \beta \in \corps\). De plus l'addition induite sur \(E\) par l'addition de \(\corps\) transforme \(E\) en groupe commutatif. On ne peut toutefois pas parler de corps pour \(E\), car la multiplication matricielle n'est pas une multiplication induite, et est non commutative.

Soit un groupe commutatif pour l'addition \(E\), ainsi qu'un corps \(\corps\). Si il existe une opération de multiplication mixte \(\cdot : \corps \times E \mapsto E\) vérifiant les propriétés \ref{eq:mixte} ci-dessus, on dit que \(E\) est un espace vectoriel sur \(\corps\). On nomme alors « vecteurs » les éléments de \(E\) et « scalaires » les éléments de \(\corps\).

On dit que \(F \subseteq E\) est un sous-espace vectoriel de \(E\) si \(0 \in F\) et si :

\[z = \alpha \cdot x + \beta \cdot y\]

appartient à \(F\) quels que soient les vecteurs \(x,y \in F\) et les scalaires \(\alpha,\beta \in \corps\).

On vérifie par exemple que \(E\) est un sous-espace vectoriel de lui-même.

L'espace engendré par les vecteurs \(e_1,e_2,...,e_n \in E\) est l'ensemble des combinaisons linéaires formées à partir des \(e_i\) :

\[\combilin{e_1,...,e_n} = \left\{ \sum_{i=1}^{n} \alpha_i \cdot e_i : \alpha_i \in \corps \right\}\]

On vérifie que \(\combilin{e_1,...,e_n}\) est un sous-espace vectoriel de \(E\).

On dit qu'une série de vecteurs \(e_1,...,e_n\) est linéairement indépendante si pour toute suite de scalaires \(\alpha_i\), la condition :

\[\sum_{i=1}^{n} \alpha_i \cdot e_i = 0\]

implique que tous les scalaires soient nuls :

\[\alpha_i = 0\]

pour tout \(i \in \{1,2,...,n\}\).

Soit les vecteurs linéairement indépendants \((e_1,...,e_n)\) et \(x \in \combilin{e_1,...,e_n}\). On peut trouver une suite de scalaire \(\alpha_i\) tels que :

\[x = \sum_{i = 1}^n \alpha_i \cdot e_i\]

Supposons que l'on ait également :

\[x = \sum_{i=1}^n \beta_i \cdot e_i\]

pour une autre suite de scalaires \(\beta_i\). En soustrayant les deux équations, on obtient :

\[\sum_{i=1}^n (\alpha_i - \beta_i) \cdot e_i = 0\]

L'indépendance linéaire des \(e_i\) implique alors que \(\alpha_i - \beta_i = 0\), c'est-à-dire :

\[\alpha_i = \beta_i\]

pour tout \(i \in \{1,2,...,n\}\).

On a donc unicité des coefficients scalaire de la combinaison linéaire. On dit que les \(\alpha_i\) sont les coordonnées de \(x\) par rapport aux \((e_1,...,e_n)\).

Soit \(e_1,...,e_n \in E\) une suite de vecteurs linéairement indépendants. Soit \(i \in \{ 1,2,...,n \}\) et :

\[J(i) = \setZ(0,n) \setminus \{ i \}\]

Supposons que le vecteur \(e_i\) soit une combinaison des autres vecteurs :

\[e_i = \sum_{ j \in J(i) } \alpha_j \cdot e_j\]

On a donc :

\[e_i - \sum_{ j \in J(i) } \alpha_j \cdot e_j = 0\]

L'hypothèse d'indépendance linéaire voudrait que tous les \(\alpha_j\) et le \(\alpha_i\) soient nuls. Ce qui n'est manifestement pas le cas puisque \(\alpha_i = 1 \ne 0\) !

Aucun des vecteurs de la suite n'est donc combinaison des autres. On dit qu'aucun vecteur n'est redondant dans la suite.

Soit \(\corps \in \{ \setR, \setC \}\). On note \(\canonique_i\) l'élément de \(\corps^n\) ayant un \(1\) en \(i^{ème}\) position et des \(0\) partout ailleurs. On a donc :

On a alors, pour tout \(x = (x_1,...,x_n) \in \corps^n\) :

\[x = \sum_{i = 1}^n x_i \cdot \canonique_i\]

On représente généralement les vecteurs de \(\corps^n\) par des vecteurs lignes ou colonnes. On parle alors de « vecteurs matriciels ». Le \(i^{ème}\) vecteur de la base canonique est défini par le vecteur colonne :

soit :

• Chapitre \ref{chap:distance} : Les distances
• Chapitre \ref{chap:vecteur} : Les espaces vectoriels

Soit \(S\) un corps muni d'un ordre \(\le\) et \(E\) un espace vectoriel sur \(\corps\). Une norme \(\norme{.} : E \to \setR\) est intuitivement la « grandeur » d'un vecteur \(x \in E\). Cette grandeur correspond à la distance séparant le vecteur nul de \(x\) :

\[\norme{x} \equiv \distance(x,0)\]

Soit \(x,y,z \in E\).

Comme \(\distance(x,0) \ge 0\), on impose par analogie que :

\[\norme{x} \ge 0\]

De plus, le seul vecteur \(x\) de \(E\) vérifiant :

\[\norme{x} = 0\]

implique que notre distance équivalente \(\distance(x,0) = 0\) soit nulle, ce qui n'est possible que si \(x = 0\). Lorsqu'on fait référence à ces conditions, on dit que la norme est strictement définie positive.

Considérons à présent l'inégalité triangulaire :

\[\distance(0 , x + y) \le \distance(0,x) + \distance(x , x + y)\]

Comment faire correspondre \(\distance(x , x + y)\) à une norme ? En demandant simplement que notre distance particulière soit invariante sous translation de \(x\) :

\[\distance(x , x + y) = \distance(x - x , x + y - x) = \distance(0,y) \equiv \norme{y}\]

On impose donc l'inégalité triangulaire :

\[\norme{x + y} \le \norme{x} + \norme{y}\]

Par ailleurs, lorsqu'on allonge ou réduit un vecteur \(x\) d'un facteur \(\alpha \in \corps\), la distance parcourue sur \(x\) devra être allongée ou réduite par la valeur absolue de \(\alpha\) :

\[\norme{\alpha \cdot x} = \abs{\alpha} \cdot \norme{x}\]

On déduit de la définition que :

\[\norme{-x} = \norme{(-1) \cdot x} = \abs{-1} \cdot \norme{x} = \norme{x}\]

En posant \(z = x + y\), on a :

\[\norme{z} \le \norme{x} + \norme{y} = \norme{x} + \norme{z-x}\]

c'est-à-dire :

\[\norme{z - x} \ge \norme{z} - \norme{x}\]

Mais comme \(\norme{z-x} = \norme{(-1) \cdot (z-x)} = \norme{x-z}\), la propriété vaut également en interchangeant \(z\) et \(x\), et on obtient :

\[\norme{z - x} \ge \max\{ \norme{z} - \norme{x}, \norme{x} -\norme{z} \}\]

On peut associer une distance \(d\) à une norme \(\norme{.}\) en posant :

\[\distance(x,y) = \norme{x - y}\]

En effet :

• \(\distance(x,x) = \norme{x - x} = \norme{0} = 0\)
• si \(\distance(x,y) = 0 = \norme{x-y}\), on a forcément \(x - y = 0\) et donc \(x = y\)
• \(\distance(x,y) = \norme{x-y} = \norme{y-x} = \distance(y,x)\)
• \(\distance(x,y) + \distance(y,z) = \norme{x-y} + \norme{y-z} \ge \norme{x-y+y-z} = \norme{x-z} = \distance(x,z)\)

On peut toujours normaliser un vecteur \(w \ne 0\) pour obtenir un vecteur \(u\) de norme \(1\). Comme \(\norme{w} \ne 0\), on peut écrire :

\[u = \frac{w}{\norme{w}}\]

On a alors :

\[\norme{u} = \norme{ \frac{w}{\norme{w}} } = \unsur{\norme{w}} \cdot \norme{w} = 1\]

On dit qu'un espace vectoriel \(X\) est un espace de Banach si il est complet pour la distance issue de la norme \(\distance(x,y) = \norme{x - y}\). Dans la suite, nous considérons un espace de Banach \(X\) sur \(\setR\) ou \(\setC\).

On dit qu'une application \(A : X \mapsto X\) est contractante s'il existe un \(c \in \intervallesemiouvertdroite{0}{1} \subseteq \setR\) tel que :

\[\distance\big( A(u) , A(v) \big) \le c \cdot \distance(u,v)\]

pour tout \(u,v\in X\).

Soit une application contractante \(A : X \mapsto X\) et \(u_0 \in X\). On définit la suite $u_0,u1,u2,…$ par :

\[u_n = A(u_{n - 1}) = ... = A^n(u_0)\]

pour tout \(n \in \setN\). On a alors :

\[\distance( u_{n + 1} , u_n ) \le c \cdot \distance( u_n , u_{n - 1} ) \le ... \le c^n \cdot \distance( u_1 , u_0 )\]

Soit \(m,n \in \setN\). Les propriétés des distances nous permettent d'écrire :

\[\distance( u_{n + m} , u_n ) \le \sum_{i = 0}^{m - 1} \distance( u_{n + i + 1} , u_{n + i} )\]

Mais comme \(\distance( u_{n + i + 1} , u_{n + i} ) \le c^{n + i} \cdot \distance( u_1 , u_0 )\), on a :

Finalement, comme \(1 - c^m \le 1\) quel que soit \(m \in \setN\) on obtient une expression qui ne dépend pas de \(m\) :

\[\distance( u_{n + m} , u_n ) \le \frac{c^n}{1 - c} \cdot \distance( u_1 , u_0 )\]

Les éléments de la suite sont donc de plus en plus proche l'un de l'autre lorsque \(n\) augmente. Soit \(\epsilon \strictsuperieur 0\). Comme la suite \(c^n\) converge vers \(0\) lorsque \(n \to \infty\), on peut toujours trouver \(N\) tel que :

\[c^N \le \frac{\epsilon \cdot (1 - c)}{\distance( u_1 , u_0 )}\]

Il suffit donc de choisir \(i,j \in \setN\) tels que \(i,j \ge N\) pour avoir :

\[\distance( u_i , u_j ) = \distance( u_j , u_i ) \le \epsilon\]

On en conclut que la suite des \(u_n\) est de Cauchy.

Comme \(X\) est complet, notre suite \(u_n\) étant de Cauchy converge vers une certaine limite :

\[p = \lim_{n \to \infty} u_n\]

appartenant à \(X\). Analysons le comportement de \(A(p)\). On a la borne supérieure :

\[\distance\big( A(p) , p \big) \le \distance\big( A(p) , A(u_n) \big) + \distance\big( A(u_n) , u_n \big) + \distance\big( u_n , p \big)\]

On sait déjà que \(\distance( u_n , p )\) converge vers \(0\) par définition de \(p\). On sait aussi que \(\distance\big( A(u_n) , u_n \big) = \distance( u_{n + 1} , u_n ) \to 0\). On a également :

\[\distance\big( A(p) , A(u_n) \big) \le c \cdot \distance\big( p , u_n \big)\]

On en conclut que la suite \(A(u_n)\) converge vers \(A(p)\) :

\[A(p) = \lim_{n \to \infty} A(u_n)\]

Les trois termes de la borne supérieure convergeant chacun vers \(0\), cette borne est aussi petite que l'on veut lorsque \(n\) est assez grand. On a donc \(\distance\big( A(p) , p \big) = 0\) et :

\[A(p) = p\]

L'élément \(p \in X\) est un point fixe de \(A\).

Si \(p_1\) et \(p_2\) sont deux points fixes, on a :

et :

\[\distance( p_1 , p_2 ) \le c \cdot \distance\big( A(p_1) , A(p_2) \big) \le c \cdot \distance\left( p_1 , p_2 \right)\]

Comme \(c \strictinferieur 1\), ce n'est possible que si \(\distance(p_1,p_2) = 0\), c'est-à-dire :

\[p_1 = p_2\]

Le point fixe de \(A\) est unique.

Nous avons donc montré que la suite des \(u_n\) converge vers l'unique point fixe \(p\) de \(A\), et ce quel que soit \(u_0\). On a même la propriété suivante nous donnant une borne supérieure pour le taux de convergence :

\[\distance(u_n,p) \le \distance\big(A(u_{n - 1}),A(p)\big) \le c \cdot \distance(u_{n - 1},p) \le ... \le c^n \cdot \distance(u_0,p)\]

• Chapitre \ref{chap:limite} : Les limites
• Chapitre \ref{chap:reel} : Les réels

Une fonction \(f : D \to F\) est dite continue en \(a\) si :

\[\lim_{ \substack{ x \to a \\ x \in D } } f(x) = f(a)\]

Soit \(A \subseteq D\). On dit qu'une fonction est continue sur \(A\) si :

\[\lim_{ \substack{ x \to a \\ x \in A } } f(x) = f(a)\]

pour tout \(a \in A\). On note \(\continue(A,F)\) l'ensemble des fonctions \(f : A \mapsto F\) continues sur \(A\).

Si \(\corps\) est un corps, on vérifie que \(\continue(A,\corps)\) est un espace vectoriel sur \(\corps\). En effet, la fonction nulle \(0\) est continue. Si \(\alpha,\beta \in \corps\) et si \(f,g \in \continue(A,\corps)\), on a :

pour tout \(a \in A\). On en conclut que \(\alpha \cdot f + \beta \cdot g\) est également continue.

Si l'ensemble \(F\) est muni d'une norme, on peut définir la norme \(\norme{.}_\continue\) d'une fonction continue \(u\) par :

\[\norme{u}_\continue = \sup \big\{ \norme{u(x)} : x \in A \big\}\]

Les fonctions continues possèdent l'importante propriété suivante.

\label{sec:continuite_uniforme}

On dit qu'une fonction \(f\) est uniformément continue sur \(A\), si pour toute précision \(\epsilon \strictsuperieur 0\), on peut trouver un \(\delta \strictsuperieur 0\) tel que :

\[\abs{f(s) - f(t)} \le \epsilon\]

pour tout \(s,t \in A\) vérifiant \(\abs{s - t} \le \delta\).

Soit \(n \in \setN\) et \(\alpha,\beta \in \setR\) avec \(\alpha \le \beta\). Nous allons analyser la continuité du monôme \(\mu : [\alpha,\beta] \mapsto \setR\) défini par :

\[\mu : x \mapsto x^n\]

pour tout \(x \in [\alpha,\beta]\). Reprenant les résultats de la section \ref{sec:factorisation_progression_geometrique}, nous avons :

\[s^n - t^n = (s - t) \sum_{i = 0}^{n - 1} s^{n - 1 - i} \cdot t^i\]

Quelque soient \(s,t \in [\alpha,\beta]\), il est clair que

\[\abs{s}, \abs{t} \le M = \max \{ \abs{\alpha} , \abs{\beta} \}\]

On a donc :

\[\abs{s^n - t^n} \le \abs{s - t} \cdot n \cdot M^{n - 1}\]

Fixons à présent \(\epsilon \strictsuperieur 0\). Il suffit de prendre :

\[\abs{s - t} \le \delta \le \frac{\epsilon}{ n \cdot M^{n - 1} }\]

pour avoir :

\[\abs{s^n - t^n} \le \delta \cdot n \cdot M^n \le \epsilon\]

Comme le choix de \(\delta\) ne dépend ni de \(s\) ni de \(t\), le monôme \(\mu\) est uniformément continu sur \([\alpha,\beta]\).

Pour généraliser aux polynômes de la forme :

\[p(x) = \sum_{i = 0}^n a_i \cdot x^i\]

on part de :

\[p(s) - p(t) = \sum_{i = 0}^n a_i \cdot (s^i - t^i)\]

On a donc :

\[\abs{p(s) - p(t)} \le \sum_{i = 0}^n \abs{a_i} \cdot \abs{s^i - t^i}\]

Mais comme on peut trouver des \(\delta_k\) tels que :

\[\abs{s^k - t^k} \le \frac{\epsilon}{\sum_j \abs{a_j}}\]

il suffit de choisir \(\delta = \min \{ \delta_0, \delta_1, ..., \delta_n \}\) pour avoir :

\[\abs{p(s) - p(t)} \le \epsilon \cdot \frac{ \sum_i \abs{a_i} }{ \sum_j \abs{a_j} } = \epsilon\]

Cette généralisation montre aussi que toute combinaison linéaire de fonctions uniformément continues est uniformément continue.

Nous allons à présent montrer que toute fonction continue sur un intervalle de la forme \([\alpha,\beta]\) y est uniformément continue.

On déduit de l'uniforme continuité des fonctions continues sur les intervalles que les fonctions continues y sont bornées. En effet, soit \(\epsilon \strictsuperieur\) et \(\delta \strictsuperieur 0\) tel que :

\[\abs{f(b) - f(a)} \le \epsilon\]

pour tout \(a,b \in [\alpha,\beta]\) tels que \(\abs{a - b} \le \delta\). Choisissons \(N \in \setN\) tel que :

\[\frac{\beta - \alpha}{N} \le \delta\]

Choisissons à présent \(x,y \in [\alpha,\beta]\) et posons :

\[h = \frac{y - x}{N}\]

On a alors :

\[\abs{h} = \abs{\frac{y - x}{N}} \le \frac{\beta - \alpha}{N} \le \delta\]

Posons \(x_i = x + i \cdot h\) pour \(i = 0,1,2,...,N\). On a alors \(x_0 = x\) et \(x_N = y\). La variation est bornée par :

\[\abs{f(x) - f(y)} \le \sum_{i = 0}^N \abs{f(x_i) - f(x_{i - 1})} \le (N + 1) \cdot \epsilon\]

Soit \(f \in \continue([a,b],\setR)\). Comme \(f\) est bornée, on peut poser :

\[I = \inf \{ f(x) : x \in [a,b] \} = \inf f([a,b])\]

Comme la distance de l'infimum à l'ensemble est nulle, on peut construire une suite \(\{x_1,x_2,...\}\) convergente vers \(\lambda \in [a,b]\) :

\[\lambda = \lim_{n \to \infty} x_n\]

et telle que :

\[f(x_n) - I \le \unsur{2^n}\]

On voit que :

\[\lim_{n \to \infty} f(x_n) = I\]

Mais par continuité de \(f\), on a aussi :

\[\lim_{n \to \infty} f(x_n) = f(\lambda)\]

On en conclut que :

\[f(\lambda) = I\]

On peut donc trouver un réel dans l'intervalle qui minimise la fonction. L'infimum appartient à l'image \(f([a,b])\). Il est donc également un minimum et on a :

\[f(\lambda) = \inf f([a,b]) = \min f([a,b])\]

On construit de même un \(\sigma \in [a,b]\) qui atteint le supremum :

\[f(\sigma) = \sup f([a,b]) = \max f([a,b])\]

• Chapitre \ref{chap:fonction} : Les fonctions

Soit les espaces vectoriels \(E\) et \(F\) sur \(\corps\) et la fonction \(f : E \mapsto F\). On dit que \(f\) est linéaire si, pour tout \(x,y \in E\) et \(\alpha, \beta \in \corps\), on a :

\[f(\alpha \cdot x + \beta \cdot y) = \alpha \cdot f(x) + \beta \cdot f(y)\]

On note \(\lineaire(E,F)\) l'ensemble des fonctions linéaires de \(E\) vers \(F\).

L'application identité est clairement linéaire.

Soit \(u = f(x)\) et \(v = f(y)\). Si l'application inverse existe, on a \(x = f^{-1}(u)\) et \(y = f^{-1}(v)\). En composant à gauche par \(f^{-1}\) la définition de la linéarité, on obtient :

\[\alpha \cdot f^{-1}(u) + \beta \cdot f^{-1}(v) = f^{-1}(\alpha \cdot u + \beta \cdot v)\]

ce qui montre que l'inverse est également linéaire.

Choisissons un \(x \in E\). on voit que :

\[f(0) = f(0 \cdot x) = 0 \cdot f(x) = 0\]

La valeur d'une application linéaire s'annule au vecteur nul.

La norme d'une application linéaire est définie comme étant l'extension maximale qu'elle produit :

\[\norme{f} = \sup \left\{ \frac{ \norme{f(x)} }{ \norme{x} } : x \in E, \ x \ne 0 \right\}\]

On a donc :

\[\norme{f(x)} \le \norme{f} \cdot \norme{x}\]

pour tout \(x \in E \setminus \{ 0 \}\).

Soit \(f : E \mapsto F\) et \(g : F \mapsto G\) deux applications linéaires de normes finies. Si \(x \in E\) avec \(x \ne 0\) on a \(f(x) \in F\) et :

\[\norme{g \circ f(x)} \le \norme{g} \cdot \norme{f(x)} \le \norme{g} \cdot \norme{f} \cdot \norme{x}\]

En divisant par \(\norme{x} \ne 0\) :

\[\frac{ \norme{g \circ f(x)} }{ \norme{x} } \le \norme{g} \cdot \norme{f}\]

et en passant au supremum sur \(x \ne 0\), on en conclut que :

\[\norme{g \circ f} \le \norme{g} \cdot \norme{f}\]

On a clairement :

\[\norme{f^n} = \norme{f \circ ... \circ f} \le \norme{f}^n\]

Nous allons montrer que, pour tout \(f \in \lineaire(A,B)\), on a l'équivalence entre l'hypothèse d'une norme de \(f\) finie et l'hypothèse de \(f\) continue.

Si la norme est finie, on a :

\[\norme{f(x) - f(a)} = \norme{f(x - a)} \le \norme{f} \cdot \norme{x-a}\]

qui tend bien vers \(0\) lorsque \(x\) tend vers \(a\). Inversément, si \(f\) est continue, on peut trouver un \(\delta \strictsuperieur 0\) tel que :

\[\norme{f(x) - f(0)} \le 1\]

pour tout \(x\) vérifiant \(\distance(x,0) = \norme{x} \le \delta\). Posons \(B = \{ x \in A : \norme{x} = \delta \}\). On a alors :

\[\sup_{x \in B} \frac{\norme{f(x)}}{\norme{x}} = \unsur{\delta} \sup_{x \in B} \norme{f(x) - f(0)} \le \unsur{\delta}\]

La norme est donc finie :

\[\norme{f} = \sup_{x \in B} \frac{\norme{f(x)}}{\norme{x}} \le \unsur{\delta} \strictinferieur +\infty\]

On dit que la fonction \(f : E_1 \times ... \times E_n \mapsto F\) est $n$-linéaire si elle est linéaire par rapport à chacune des composantes de son argument, les autres composantes restant inchangées :

\[f(...,\alpha x + \beta y,...) = \alpha \cdot f(...,x,...) + \beta \cdot f(...,y,...)\]

pour tout \(\alpha,\beta \in \corps\) et \(x,y \in E\). On note \(\lineaire_n(E_1,...,E_n,F)\) l'ensemble des fonctions $n$-linéaires de \(E_1 \times ... \times E_n\) vers \(F\).

Soit une application linéaire \(\mathcal{A} : E \to F\). Choisissons \(x \in E\) et posons :

\[y = \mathcal{A}(x)\]

Si on dispose d'une base \((e_1,...,e_n)\) de \(E\) et d'une base \((f_1,...,f_m)\) de \(F\), on a :

pour certains \(x_i,y_i \in \corps\). La linéarité de \(\mathcal{A}\) implique que :

\[y = \sum_{j = 1}^n \mathcal{A}(e_j) \cdot x_j\]

Si les \(a_{ij} \in \corps\) sont les coordonnées de \(\mathcal{A}(e_j)\) dans la base des \(f_i\), on a :

\[\mathcal{A}(e_j) = \sum_{i = 1}^m a_{ij} \cdot f_i\]

En substituant cette expression, on obtient :

\[y = \sum_{i = 1}^m f_i \sum_{j = 1}^n a_{ij} \cdot x_j\]

La \(i^{ème}\) coordonnée de \(y\) est donc donnée par :

\[y_i = \sum_{j = 1}^n a_{ij} \cdot x_j\]

On définit la matrice \(A \in \matrice(\corps,m,n)\) associée à \(\mathcal{A}\) en posant :

\[A = ( a_{ij} )_{i,j}\]

Nous définissons ensuite le produit d'une matrice avec le « vecteur » \(x\) équivalent de \(\corps^n\) :

\[A \cdot x = \left( \sum_j a_{ij} \cdot x_j \right)_i\]

de telle sorte que :

\[A \cdot x = \mathcal{A}(x)\]

Soit à présent les matrices \(A \in \matrice(\corps,m,n)\) et \(B \in \matrice(\corps,n,p)\) données par :

où les \(a_{ij},b_{ij} \in K\). Soit les applications linéaires \(\mathcal{B} : \corps^p \to \corps^n\) et \(\mathcal{A} : \corps^n \to \corps^m\) définies par :

pour tout \(x \in \corps^p\), \(y \in \corps^n\). Choisissons \(z \in \corps^m\) et relions \(x,y,z\) par :

Examinons les composantes de \(z\) en fonction de celles de \(x\) :

\[z_i = \sum_k a_{ik} \cdot y_k = \sum_k a_{ik} \sum_j b_{kj} \cdot x_j = \sum_{k,j} a_{ik} \cdot b_{kj} \cdot x_j\]

On en déduit que la composée \(\mathcal{C} = \mathcal{A} \circ \mathcal{B}\) est représentée par la matrice \(C \in \matrice(\corps,m,p)\) de composantes :

\[\composante_{ij} C = c_{ij} = \sum_k a_{ik} \cdot b_{kj}\]

Il suffit donc de définir le produit matriciel \(A \cdot B\) par :

\[A \cdot B = \left(\sum_{k=1}^n a_{ik} \cdot b_{kj}\right)_{i,j}\]

pour avoir :

\[(A \cdot B) \cdot x = \big( \mathcal{A} \circ \mathcal{B} \big)(x)\]

Le produit matriciel représente donc une composée d'applications linéaires. Pour que ce produit soit bien défini, il est nécessaire que le nombre de colonnes \(n\) de \(A\) et le nombre de lignes de \(B\) soient identiques.

On voit également que le produit matrice - vecteur défini précédemment en est un cas particulier lorsque \(p = 1\).

En utilisant l'associativité de l'addition, on peut facilement vérifier que la formule de multiplication reste valable lorsqu'on considère des blocs de matrices au lieu des éléments, à condition de respecter l'ordre de multiplication. Un exemple fréquemment utilisé :

La matrice identité \(I \in \matrice(\corps,n,n)\) correspond à la fonction \(\identité\). On a donc :

\[I \cdot x = x\]

pour tout \(x \in \corps^n\). Si \((\canonique_1,...\canonique_n)\) est la base canonique de \(\corps^n\), on a donc :

\[I \cdot \canonique_i = \canonique_i\]

ce qui entraîne directement :

\[I = ( \indicatrice_{ij} )_{i,j}\]

On remarque que :

\[I = [\canonique_1 \ \hdots \ \canonique_n]\]

Lorsqu'elle existe, la matrice inverse de \(A\), notée \(A^{-1}\), reflète l'application linéaire inverse sous-jacente. Elle est donc l'unique matrice telle que :

\[A^{-1} \cdot A = A \cdot A^{-1} = I\]

Soit \(A\) et \(B\) deux matrices inversibles. Les relations \(C \cdot (A \cdot B) = I\) et \((A \cdot B) \cdot D = I\) nous donnent :

\[C = D = B^{-1} \cdot A^{-1}\]

et donc :

\[(A \cdot B)^{-1} = B^{-1} \cdot A^{-1}\]

Il est possible de multiplier une matrice carrée \(A\) avec elle-même. On peut donc définir l'exposant par :

Ici, \(\corps\) n'est plus un corps mais l'anneau des matrices \(X\) de taille \((N,N)\). On dit que \(p : \matrice(\corps,N,N) \mapsto \matrice(\corps,N,N)\) est un polynôme matriciel si il existe \(a_0,...,a_n \in \corps\) tels que :

\[p(X) = \sum_{i = 0}^n a_i \cdot X^i\]

pour tout \(X \in \matrice(\corps,N,N)\).

Une courbe sur un espace vectoriel \(E\) (par exemple \(\setR^n\)) est de la forme :

où \(\lambda : [\alpha,\beta] \mapsto E\) est une fonction continue et où \(\alpha,\beta \in \setR\) vérifient \(\alpha \le \beta\).

Les segments sont une généralisation des intervalles. Un segment de \(u \in E\) vers \(v \in E\) est un cas particulier de courbe où \(\lambda : [0,1] \subseteq \setR \mapsto E\) est une fonction linéaire définie par :

pour tout \(s \in [0,1] \subseteq \setR\). On voit que \(\lambda(0) = u\) et que \(\lambda(1) = v\). On note aussi :

Soit \(A \subseteq E\) et la collection des segments reliant deux points quelconques de \(A\) :

L'enveloppe convexe de \(A\) est l'union de tous ces segments :

Pour tout \(u,v \in A\) et \((s,t) \in \setR^2\) tels que \(s,t \ge 0\) et \(s + t = 1\), on a donc :

Une surface de \(E\) est de la forme :

où \(\varphi : [a,b] \times [c,d] \mapsto E\) est une fonction continue et où \(a,b,c,d \in \setR\) vérifient \(a \le b\) et \(c \le d\).

• Chapitre \ref{chap:relation} : Les fonctions
• Chapitre \ref{chap:lineaire} : Les fonctions linéaires

Soit un espace vectoriel \(E\) sur \(\corps\). Une forme linéaire est une fonction linéaire continue \(\varphi : E \mapsto \corps\).

L'espace dual \(E^\dual\) de \(E\) est l'ensemble des formes linéaires sur \(E\) , autrement dit l'ensemble des fonctions linéaires continues de \(E\) vers \(\corps\) :

\[E^\dual = \{ \varphi \in \lineaire(E,\corps) : \norme{\varphi}_\lineaire \strictinferieur +\infty \}\]

Il s'agit d'un espace vectoriel pour les opérations d'addition et de multiplication mixte définies sur les fonctions.

Pour toute forme \(\varphi \in E^\dual\) et tout vecteur \(v \in E\), on note :

\[\forme{\varphi}{v} = \varphi(v)\]

ce qui définit implicitement la fonction \(\forme{}{} : E^\dual \times E \mapsto \corps\).

Soit \(\varphi,\psi \in E^\dual\), \(u,v \in E\) et \(\alpha,\beta \in S\). Comme \(\varphi\) est linéaire, on a :

\[\forme{\varphi}{\alpha \cdot u + \beta \cdot v} = \alpha \cdot \forme{\varphi}{u} + \beta \cdot \forme{\varphi}{v}\]

Symétriquement, la définition des opérations sur les fonctions nous donne également :

\[\forme{\alpha \cdot \varphi + \beta \cdot \psi}{u} = \alpha \cdot \forme{\varphi}{u} + \beta \cdot \forme{\psi}{u}\]

L'application \(\forme{}{}\) est donc bilinéaire.

On dit que les suites \((\Phi_1,...,\Phi_m)\) de \(E^\dual\) et \((e_1,...,e_n)\) de \(E\) sont biorthonormées si :

\[\forme{\Phi_i}{e_j} = \indicatrice_{ij}\]

pour tout \((i,j) \in \setZ(0,m) \times \setZ(0,n)\). De telles suites permettent d'évaluer facilement les coefficients des développements en série du type :

\[\varphi = \sum_{i = 1}^m \alpha_i \cdot \Phi_i\]

où \(\alpha_1,...,\alpha_m \in S\). En effet, il suffit d'évaluer :

\[\varphi(e_j) = \forme{\varphi}{e_j} = \sum_{i = 1}^m \alpha_i \cdot \forme{\Phi_i}{e_j} = \sum_{i = 1}^m \alpha_i \cdot \indicatrice_{ij} = \alpha_j\]

pour obtenir les valeurs des \(\alpha_j\).

Réciproquement, si :

\[u = \sum_{i = 1}^n \beta_i \cdot e_i\]

avec \(\beta_1,...,\beta_n \in S\), on a :

\[\Phi_j(u) = \forme{\Phi_j}{u} = \sum_{i = 1}^n \beta_i \cdot \forme{\Phi_j}{e_i} = \sum_{i = 1}^n \beta_i \cdot \indicatrice_{ij} = \beta_j\]

ce qui nous donne les valeurs des \(\beta_j\).

Forts de ces résultats, il est aisé d'évaluer :

\[\forme{\varphi}{u} = \sum_{i,j} \alpha_i \cdot \forme{\Phi_i}{u_j} \cdot \beta_j = \sum_{i,j} \alpha_i \cdot \indicatrice_{ij} \cdot \beta_j = \sum_i \alpha_i \cdot \beta_i\]

On a donc en définitive :

\[\forme{\varphi}{u} = \sum_i \forme{\varphi}{e_i} \cdot \forme{\Phi_i}{u}\]

On dit que deux fonctions \(u,v \in E\) sont identique au sens des distributions si :

\[\forme{\varphi}{u} = \forme{\varphi}{v}\]

pour tout \(\varphi \in E^\dual\).

Symétriquement, les deux formes \(\varphi,\psi \in E^\dual\) sont identiques par définition si et seulement si :

\[\forme{\varphi}{u} = \forme{\psi}{u}\]

pour tout \(u \in E\).

On définit l'espace bidual de \(E\), noté \(E^{\dual \dual}\), par :

\[E^{\dual \dual} = (E^\dual)^\dual\]

On associe à chaque élément \(u \in E\) un élément \(\hat{u} \in E^{\dual \dual}\) par la condition :

\[\hat{u}(\varphi) = \varphi(u)\]

qui doit être vérifiée pour tout \(\varphi \in E^\dual\). On a donc :

\[\forme{\hat{u}}{\varphi} = \forme{\varphi}{u}\]

Soit les espaces vectoriels \(E\) et \(F\) sur \(\corps\) et une fonction \(A : E \mapsto F\). Le dual de \(A\) au sens des formes, s'il existe, est l'unique fonction \(A^\dual : F^\dual \mapsto E^\dual\) telle que :

\[\forme{ A^\dual(\varphi) }{u} = \forme{\varphi}{ A(u) }\]

pour tout \(u \in E\) et \(\varphi \in F^\dual\).

Soit les espaces vectoriels \(E\) et \(F\) sur \(\corps\). Une forme bilinéaire est une fonction bilinéaire continue \(\vartheta : F \times E \mapsto \corps\). On utilise une notation analogue à celle des formes :

\[\biforme{x}{\vartheta}{u} = \vartheta(x,u)\]

pour tout \(x \in F\) et \(u \in E\). On voit que :

pour tout \(\alpha,\beta \in \corps\), \(u,v \in E\) et \(x,y \in F\).

Soit la forme bilinéaire $ ϑ : E × E \mapsto \corps$. Une forme quadratique \(\mathcal{Q} : E \mapsto \corps\) est une fonction de la forme :

\[\mathcal{Q}(x) = \biforme{x}{\vartheta}{x}\]

On peut représenter toute forme linéaire \(\varphi \in \lineaire(\corps^n,\corps)\) par un vecteur matriciel \(\hat{\varphi} \in \corps^n\). Etant donné la base canonique \((e_1,...,e_n)\) de \(\corps^n\), il suffit de poser :

\[\hat{\varphi}_i = \forme{\varphi}{e_i}\]

pour avoir :

\[\forme{\varphi}{u} = \hat{\varphi}^T \cdot u\]

pour tout \(u \in \corps^n\).

• Chapitre \ref{chap:vecteur} : Les espaces vectoriels
• Chapitre \ref{chap:norme} : Les normes

Soit \(E\) un espace vectoriel sur \(\corps\) et une famille de fonctions linéaires \(\phi_u \in E^\dual\) où \(u \in E\) est un paramètre vectoriel. Nous pouvons écrire :

\[\phi_u(v) = \forme{\phi_u}{v}\]

pour tout \(u,v \in E\). Cette expression introduit implicitement le produit dérivé \(\scalaire{}{} : E \times E \mapsto \corps\) défini par :

\[\scalaire{u}{v} = \forme{\phi_u}{v}\]

pour tout \(u,v \in E\). Ce produit hérite bien entendu la linéarité à droite de la forme associée :

\[\scalaire{u}{\alpha \cdot v + \beta \cdot w} = \alpha \cdot \scalaire{u}{v} + \beta \cdot \scalaire{u}{w}\]

pour tout \(u,v,w \in E\) et pour tout \(\alpha,\beta \in \corps\).

Les produits scalaires sont des cas particuliers de ce type de produit.

Considérons le cas particulier où \(\corps = \setR\). et un produit linéaire à droite \(\scalaire{}{} : E \times E \mapsto \setR\). Nous voudrions en plus que la valeur de \(\scalaire{u}{u}\) en chaque \(u \in E\) puisse représenter la norme de \(u\). Nous imposons donc la positivité :

\[\scalaire{u}{u} \ge 0\]

Pour compléter le caractère strictement défini positif, on impose également que le seul élément \(u \in E\) vérifiant :

\[\scalaire{u}{u} = 0\]

soit le vecteur nul \(u = 0\). Ce qui revient à dire que :

\[\scalaire{u}{u} > 0\]

pour tout \(u \in E \setminus \{ 0 \}\).

Si on peut également interchanger n'importe quels \(u,v \in E\) sans changer le résultat :

\[\scalaire{u}{v} = \scalaire{v}{u}\]

on dit que \(\scalaire{}{}\) est un produit scalaire réel sur \(E\).

Nous déduisons directement de la linéarité à droite et de la symétrie que :

\[\scalaire{\alpha \cdot u + \beta \cdot v}{w} = \alpha \cdot \scalaire{u}{w} + \beta \cdot \scalaire{v}{w}\]

pour tout \(\alpha,\beta \in \setR\) et \(u,v,w \in E\). Le produit scalaire réel est bilinéaire.

Examinons à présent le cas \(\corps = \setC\). On demande qu'un produit scalaire \(\scalaire{}{} : E \times E \mapsto \setC\) soit strictement défini positif. Pour cela, les valeurs de \(\scalaire{u}{u}\) doivent être réelles et positives :

pour tout \(u \in E\). Ensuite, il faut également que le seul élément \(u \in E\) vérifiant :

\[\scalaire{u}{u} = 0\]

soit le vecteur nul \(u = 0\).

Le caractère réel de \(\scalaire{u}{u}\) implique que :

\[\scalaire{u}{u} = \conjaccent{\scalaire{u}{u}}\]

où la barre supérieure désigne comme d'habitude le complexe conjugué. Cette constatation nous mène à une variante de la symétrie. On impose :

\[\scalaire{u}{v} = \conjaccent{\scalaire{v}{u}}\]

pour tout \(u,v \in E\). On dit que le produit scalaire complexe est hermitien.

La linéarité à droite s'exprime simplement par :

\[\scalaire{u}{\alpha \cdot v + \beta \cdot w} = \alpha \cdot \scalaire{u}{v} + \beta \cdot \scalaire{u}{w}\]

pour tout \(u,v,w \in E\) et pour tout \(\alpha,\beta \in \setC\). On déduit de la linéarité et du caractère hermitien du produit scalaire complexe que :

et finalement :

\[\scalaire{\alpha \cdot u + \beta \cdot v}{w} = \conjaccent{\alpha} \cdot \scalaire{u}{w} + \conjaccent{\beta} \cdot \scalaire{v}{w}\]

On dit que le produit scalaire est antilinéaire à gauche.

Si \(u,v \in E\) sont tels que :

\[\scalaire{u}{w} = \scalaire{v}{w}\]

pour tout \(w \in E\), on a :

\[\scalaire{u - v}{w} = 0\]

Le choix \(w = u - v \in E\) nous donne alors :

\[\scalaire{u - v}{u - v} = 0\]

ce qui implique \(u - v = 0\) et donc \(u = v\).

Une base \((e_1,...,e_n)\) de \(E\) est dite orthonormée si le produit scalaire de deux vecteurs \(e_i \ne e_j\) s'annule, tandis que le produit scalaire d'un \(e_i\) avec lui-même donne l'unité :

\[\scalaire{e_i}{e_j} = \indicatrice_{ij}\]

Soit \((e_1,...,e_n)\) une base de \(E\) et \(u,v \in E\). On a :

pour certains \(u_i,v_i \in \corps\). Posons :

\[g_{ij} = \scalaire{e_i}{e_j}\]

où \(\scalaire{}{} : E \times E \mapsto \setC\) est un produit scalaire complexe. Nous pouvons faire sortir les sommes en utilisant les propriétés du produit scalaire, ce qui nous donne :

\[\scalaire{u}{v} = \sum_{i,j} \conjaccent{u}_i \cdot g_{ij} \cdot v_j\]

Soit une application linéaire \(A : E \mapsto E\). Si le produit scalaire de \(u\) avec \(A(u)\) est un réel positif :

\[\scalaire{u}{A(u)} = \scalaire{A(u)}{u} \ge 0\]

pour tout \(u \in E\), on dit que \(A\) est définie positive.

Soit \(x,y \in \setR^n\) tels que :

pour certains \(x_i,y_i \in \setR\).

Le produit scalaire usuel sur \(\setR^n\) est défini par :

\[\scalaire{x}{y} = \sum_{i = 1}^n x_i y_i\]

Soit \(x,y \in \setC^n\) tels que :

pour certains \(x_i,y_i \in \setC\).

Le produit scalaire usuel est défini par :

\[\scalaire{x}{y} = \sum_{i=1}^n \conjaccent{x}_i y_i\]

Soit \(\corps \in \{ \setR , \setC \}\). Il est clair que la base canonique de \(\corps^n\) :

\[e_i = ( \indicatrice_{ij} )_{i,j}\]

vérifie :

\[\scalaire{e_i}{e_j} = \indicatrice_{ij}\]

pour le produit scalaire usuel sur \(\corps^n\). La suite \((e_1,...,e_n)\) forme une base orthonormée.

Soit \(x = (x_1,..,x_n) , y = (y_1,...,y_n) \in \setC^n\). On définit les vecteurs colonne associé :

L'équivalence entre \(\setC^n\) et \(\matrice(\setC,n,1)\) nous amène à :

\[\scalaire{x}{y} = \sum_i \conjaccent{x}_i \cdot y_i\]

Le membre de droite n'est rien d'autre que le produit « matriciel » \(\conjaccent{x^T} \cdot y\) et on a donc :

\[\scalaire{x}{y} = \conjaccent{x^T} \cdot y\]

On vérifie que la base \((e_1,...,e_n)\) est orthonormée pour ce produit scalaire :

\[e_i^T \cdot e_j = \indicatrice_{ij}\]

Soit les espaces vectoriels \(E,F\) sur \(\corps\) et une application linéaire \(\mathcal{A} : E \mapsto F\). On prend une base \((e_1,..,e_n)\) de \(E\) et une base orthonormée \((f_1,...,f_m)\) de \(F\). Comme les composantes de la matrice associée \(A\) sont les coordonnées de \(\mathcal{A}(e_j)\) dans la base des \(f_i\), on a :

\[\composante_{ij} A = \scalaire{f_i}{\mathcal{A}(e_j)}\]

Soit un espace vectoriel \(E\) sur \(\corps\) et un produit scalaire \(\scalaire{}{}\) quelconque défini sur \(E\). Soit \((e_1,...,e_n)\) une base quelconque de \(E\) (nous ne supposons pas qu'elle soit orthonormée). Si \(\hat{x},\hat{y} \in E\), on a :

pour certains \(x_i,y_i \in S\). Or, nous avons vu que :

\[\scalaire{\hat{x}}{\hat{y}} = \sum_{i,j} \conjaccent{x}_i \scalaire{e_i}{e_j} y_j\]

Si nous définissons la matrice des produits scalaires \(A \in \matrice(\corps,m,n)\) par :

\[\composante_{ij} A = \scalaire{e_i}{e_j}\]

nous pouvons réécrire le produit scalaire sous la forme :

\[\scalaire{\hat{x}}{\hat{y}} = \conjaccent{x^T} \cdot A \cdot y\]

où \(x,y\) sont les vecteurs colonne associés à \(\hat{x},\hat{y}\) :

Cette matrice possède d'importantes propriétés issues du produit scalaire. On a \(\conjaccent{x^T} \cdot A \cdot x > 0\) pour tout \(x \ne 0\). On dit que \(A\) est une matrice définie positive. Le caractère hermitien du produit scalaire nous donne aussi \(\conjaccent{A^T} = A\). On dit que \(A\) est une matrice hermitienne, ou auto-adjointe.

Un cas particulier important survient lorsque les vecteurs sont des vecteurs matriciels. Soit une suite de vecteurs linéairement indépendants \(u_1,u_2,...,u_m \in \matrice(\corps,n,1)\). Soit des \(x_i,y_i \in \corps\) et les vecteurs :

Si nous considérons les vecteurs \(x,y \in \matrice(\corps,m,1)\) associés :

ainsi que la matrice \(U \in \matrice(\corps,n,m)\) rassemblant les \(u_i\) :

\[U = [u_1 \ u_2 \ ... \ u_m]\]

on peut réécrire la définition de \(x,y\) sous la forme :

On a alors :

\[\scalaire{X}{Y} = \conjaccent{X^T} \cdot Y = \conjaccent{x^T} \cdot \conjaccent{U^T} \cdot U \cdot y\]

On en conclut que la matrice \(A = \conjaccent{U^T} \cdot U \in \matrice(\corps,m,m)\) est une matrice de produit scalaire

Soit \(l_i = \ligne_i A\) et \(x \in \noyau A\). On a alors :

\[0 = \composante_i (A \cdot x) = l_i \cdot x\]

On en conclut que les lignes de \(A\) sont orthogonales aux \(\conjaccent{l}_i\). Il en va de même pour toute combinaison linéaire de ces lignes, et :

\[\noyau A = \combilin{\conjaccent{l}_1,...,\conjaccent{l}_m}^\orthogonal\]

• Chapitre \ref{chap:vecteur} : Les espaces vectoriels
• Chapitre \ref{chap:norme} : Les normes

Soit un espace vectoriel \(E\) muni du produit scalaire \(\scalaire{}{}\). Nous allons analyser les propriétés de l'application \(\norme{.} : E \mapsto \corps\) associée au produit scalaire et définie par :

\[\norme{x} = \sqrt{ \scalaire{x}{x} }\]

pour tout \(x \in E\).

Soit \(x,y \in E\) et \(\alpha,\beta \in \setC\). On a :

Dans le cas particulier où \(\beta = 1\), on a :

Si \(x,y \in E\) sont orthogonaux :

\[\scalaire{x}{y} = 0\]

on a également \(\scalaire{y}{x} = \conjugue \scalaire{x}{y} = 0\) et :

En exprimant cette relation en terme de \(\norme{.}\), on obtient :

\[\norme{x + y}^2 = \norme{x}^2 + \norme{y}^2\]

résultat connu sous le nom de théorème de Pythagore.

En additionnant les équations :

on obtient :

\[\norme{x + y}^2 + \norme{x - y}^2 = 2(\scalaire{x}{x} + \scalaire{y}{y}) = 2 (\norme{x}^2 + \norme{y}^2)\]

Soit \(x,y \in E\) et \(\lambda \in \setC\). On a :

\[\norme{y - \lambda \cdot x}^2 = \scalaire{y}{y} - \lambda \cdot \scalaire{y}{x} - \conjaccent{\lambda} \cdot \scalaire{x}{y} + \conjaccent{\lambda} \cdot \lambda \cdot \scalaire{x}{x} \ge 0\]

Le choix magique de \(\lambda\) (nous verrons d'où il vient en étudiant les projections) est :

\[\lambda = \frac{ \scalaire{x}{y} }{ \scalaire{x}{x} }\]

On a alors :

\[\scalaire{y}{y} - \frac{ \scalaire{x}{y} \cdot \scalaire{y}{x} }{ \scalaire{x}{x} } - \frac{ \scalaire{y}{x} \cdot \scalaire{x}{y} }{ \scalaire{x}{x} } + \frac{ \scalaire{y}{x} \cdot \scalaire{x}{y} }{ \scalaire{x}{x}^2 } \cdot \scalaire{x}{x} \ge 0\]

En simplifiant les termes, on arrive à :

\[\scalaire{y}{y} - \frac{ \scalaire{x}{y} \cdot \scalaire{y}{x} }{ \scalaire{x}{x} } = \scalaire{y}{y} - \frac{ \abs{\scalaire{x}{y}}^2 }{ \scalaire{x}{x} } \ge 0\]

En faisant passer le second terme dans le second membre et en multipliant par \(\scalaire{x}{x}\), on arrive finalement à :

\[\abs{\scalaire{x}{y}}^2 \le \scalaire{x}{x} \cdot \scalaire{y}{y}\]

En prenant la racine carrée, on obtient une relation connue sous le nom d'inégalite de Cauchy-Schwartz :

\[\abs{\scalaire{x}{y}} \le \sqrt{\scalaire{x}{x} \cdot \scalaire{y}{y}} = \norme{x} \cdot \norme{y}\]

Nous allons à présent vérifier que l'application \(\norme{.}\) est bien une norme.

On associe une distance à la norme et au produit scalaire par :

\[\distance(x,y) = \norme{x - y} = \sqrt{\scalaire{x - y}{x - y}}\]

pour tout \(x,y \in E\).

En soutrayant les équations :

on obtient :

\[\norme{x + y}^2 - \norme{x - y}^2 = 4 \Re(\scalaire{x}{y})\]

Comme \(\Re(\img z) = - \Im(z)\), on a aussi :

En soustrayant ces deux résultats, on a donc :

\[\norme{x + \img y}^2 - \norme{x - \img y}^2 = - 4 \Im(\scalaire{x}{y})\]

On en conclut que :

Soit \((e_1,...,e_n)\) une base de \(E\) et \(u \in E\). On a :

\[u = \sum_i u_i \cdot e_i\]

pour certains \(u_i,v_i \in \corps\). La norme s'écrit alors :

\[\norme{u} = \sqrt{ \sum_{i,j} \conjaccent{u}_i \cdot \scalaire{e_i}{e_j} \cdot u_j }\]

Soit \(\corps \in \{ \setR , \setC \}\). On définit une norme sur \(\corps^n\), dite norme euclidienne, à partir du produit scalaire :

\[\norme{x} = \sqrt{ \scalaire{x}{x} } = \sqrt{\sum_{i=1}^n \abs{x_i}^2}\]

Soit \((a,b) \in \setR^2\) et \(z = a + \img b\). Il est clair que le module :

\[\abs{z} = \abs{a + \img b} = \sqrt{a^2 + b^2} = \norme{(a,b)}\]

définit une norme sur \(\setC\).

Soit le vecteur matriciel \(x = [x_1 \ ... \ x_n]^T\). Sa norme s'écrit :

\[\norme{x} = \sqrt{ \scalaire{x}{x} } = \sqrt{\conjaccent{x}^T \cdot x}\]

• Chapitre \ref{chap:forme} : Les formes linéaires
• Chapitre \ref{chap:ps} : Les produits scalaires

Soit les espaces vectoriels \(E\) et \(F\) sur \(\corps\) et l'application linéaire \(A : E \mapsto F\). Si \(A^\dual : F^\dual \mapsto E^\dual\) est l'unique fonction de \(E^F\) vérifiant :

\[\forme{\varphi}{A(u)} = \forme{A^\dual(\varphi)}{u}\]

pour tout \(\varphi \in F^\dual\) et \(u \in E\), on dit que \(A^\dual\) est l'application duale (ou adjointe) de \(A\) au sens des formes linéaires.

Soient \(E\) et \(F\) deux espaces vectoriels munis de produits scalaires et l'application linéaire \(A : E \mapsto F\). Si \(A^\dual : F \mapsto E\) est l'unique fonction de \(E^F\) vérifiant :

\[\scalaire{v}{A(u)} = \scalaire{A^\dual(v)}{u}\]

pour tout \((u,v) \in E \times F\), on dit que \(A^\dual\) est l'application duale (ou adjointe) de \(A\) au sens du produit scalaire. Nous supposons dans la suite que les applications rencontrées possèdent une application adjointe.

Comme :

\[\scalaire{v}{\identite(u)} = \scalaire{\identite(v)}{u} = \scalaire{v}{u}\]

on a bien évidemment \(\identite^\dual = \identite\).

Soit deux applications linéaires \(A,B : E \mapsto F\) et \(\alpha,\beta \in \corps\). Si \((u,v) \in E \times F\), on a :

On en conclut que :

\[(\alpha \cdot A + \beta \cdot B)^\dual = \conjaccent{\alpha} \cdot A^\dual + \conjaccent{\beta} \cdot B^\dual\]

L'opérateur \(^\dual : A \mapsto A^\dual\) est antilinéaire.

On remarque que :

\[\scalaire{u}{A^\dual(v)} = \conjaccent{\scalaire{A^\dual(v)}{u}} = \conjaccent{\scalaire{v}{A(u)}} = \scalaire{A(u)}{v}\]

pour tout \((u,v) \in E \times F\). On a donc :

\[\left( A^\dual \right)^\dual = A\]

Soit un troisième espace vectoriel \(G\). Si les applications adjointes des applications linéaires \(A : E \mapsto F\) et \(B : F \mapsto G\) existent, on a :

\[\scalaire{v}{(A \circ B)(u)} = \scalaire{A^\dual(v)}{B(u)} = \scalaire{(B^\dual \circ A^\dual)(v)}{u}\]

pour tout \((u,v) \in E \times G\). On en conclut que :

\[(A \circ B)^\dual = B^\dual \circ A^\dual\]

Nous allons voir que nous pouvons construire deux applications auto-adjointes à partir de n'importe quelle application linéaire \(A : E \mapsto F\) admettant une application duale \(A^\dual : F \mapsto E\).

• L'application \(A^\dual \circ A : E \mapsto E\) vérifie :

\[\scalaire{A^\dual \circ A(v)}{u} = \scalaire{A(v)}{A(u)} = \scalaire{v}{A^\dual \circ A(u)}\]

pour tout \(u,v \in E\). On en déduit que :

\[(A^\dual \circ A)^\dual = A^\dual \circ A\]

• L'application \(A \circ A^\dual : F \mapsto F\) vérifie :

\[\scalaire{A \circ A^\dual(x)}{y} =\scalaire{A^\dual(x)}{A^\dual(y)} = \scalaire{x}{A \circ A^\dual(y)}\]

pour tout \(x,y \in F\). On en déduit que :

\[(A \circ A^\dual)^\dual = A \circ A^\dual\]

Soit \(u,v \in E\), \(x,y \in F\) et \(\alpha, \beta \in \corps\). On a :

Comme ce doit être valable pour tout \(u \in E\), on en conclut que l'application adjointe est linéaire :

\[A^\dual(\alpha \cdot x + \beta \cdot y) = \alpha \cdot A^\dual(x) + \beta \cdot A^\dual(y)\]

Soit une application linéaire \(A : E \mapsto F\) de norme finie. Si \(x \in F\) est un vecteur non nul, on a :

et donc :

\[\norme{A^\dual(x)}^2 \le \norme{A} \cdot \norme{A^\dual(x)} \cdot \norme{x}\]

Si \(\norme{A^\dual(x)} \ne 0\), on peut diviser par \(\norme{A^\dual(x)}\). On obtient alors :

\[\norme{A^\dual(x)} \le \norme{A} \cdot \norme{x}\]

Par positivité des normes, on remarque que cette relation est également valable lorsque \(\norme{A^\dual(x)} = 0 \le \norme{A} \cdot \norme{x}\). En divisant par la norme de \(x\), on obtient :

\[\frac{ \norme{A^\dual(x)} }{ \norme{x} } \le \norme{A}\]

Il ne nous reste plus qu'à passer au supremum sur \(x\) pour en conclure que :

\[\norme{A^\dual} \le \norme{A}\]

Mais comme \((A^\dual)^\dual = A\), on a aussi :

\[\norme{A} = \norme{(A^\dual)^\dual} \le \norme{A^\dual}\]

Ces deux inégalités nous montrent que :

\[\norme{A^\dual} = \norme{A}\]

Supposons que \(A\) soit inversible. On a :

On en conclut que \(A^\dual\) est également inversible et que :

\[(A^\dual)^{-1} = (A^{-1})^\dual\]

Soit l'application linéaire \(A : E \mapsto F\). Soit \(u \in \noyau A\) et \(v \in \image A^\dual\). On peut donc trouver un \(x \in F\) tel que \(v = A^\dual(x)\). On a :

\[\scalaire{u}{v} = \scalaire{u}{A^\dual(x)} = \scalaire{A(u)}{x} = \scalaire{0}{x} = 0\]

d'où \(u \in (\image A^\dual)^\orthogonal\) et \(\noyau A \subseteq (\image A^\dual)^\orthogonal\). Inversément, si \(u \in (\image A^\dual)^\orthogonal\), on a :

\[\scalaire{A(u)}{x} = \scalaire{u}{A^\dual(x)} = 0\]

pour tout \(x \in E\). On en conclut que \(A(u) = 0\), c'est-à-dire \(u \in \noyau A\). On a donc aussi \((\image A^\dual)^\orthogonal \subseteq \noyau A\). Ces deux inclusions nous montrent finalement que :

\[\noyau A = (\image A^\dual)^\orthogonal\]

Comme le bidual revient à l'application d'origine, on a aussi :

\[\noyau A^\dual = (\image A)^\orthogonal\]

Soit \(\corps \in \{ \setR , \setC \}\) et la matrice \(A \in \matrice(\corps,m,n)\) représentant l'application linéaire \(\mathcal{A} : \corps^n \mapsto \corps^m\). Soit \(A^\dual \in \matrice(\corps,n,m)\) représentant \(\mathcal{A}^\dual\). On a :

\[\scalaire{y}{ \mathcal{A}(x) } = \conjaccent{y^T} \cdot A \cdot x\]

ainsi que :

\[\scalaire{\mathcal{A}^\dual(y)}{ x } = \big( \conjaccent{A^\dual} \cdot \conjaccent{y} \big)^T \cdot x = \conjaccent{y^T} \cdot \big( \conjaccent{A^\dual} \big)^T \cdot x\]

Les deux produits scalaires devant être égaux par définition de la dualité, on doit clairement avoir :

\[\big( \conjaccent{A^\dual} \big)^T = A\]

c'est-à-dire :

\[A^\dual = \conjaccent{A^T} = \conjugue A^T\]

Ce résultat prouve l'existence et l'unicité de l'adjoint dans le cas d'espaces de dimension finie.

On peut vérifier que :

\[(A \cdot B)^\dual = B^\dual \cdot A^\dual\]

pour toutes matrices \(A \in \matrice(\corps,m,n)\) et \(B \in \matrice(\corps,n,p)\) de dimensions compatibles pour la multiplication.

• Chapitre \ref{chap:vecteur} : Les vecteurs
• Chapitre \ref{chap:lineaire} : Les fonctions linéaires
• Chapitre \ref{chap:forme} : Les formes
• Chapitre \ref{chap:ps} : Les produits scalaires

Nous présentons deux variantes de la définition des tenseurs. La première, classique, est basée sur les formes linéaires. La seconde, basée sur les vecteurs et la généralisation des produits scalaires, a l'avantage de mettre en relief la structure particulière des tenseurs, ainsi que la multitude de fonctions que l'on peut leur associer.

Soit deux espaces vectoriels \(E\) et \(F\) sur \(\corps\), ainsi que les fonctions \(\varphi \in \lineaire(E,S)\) et \(\psi \in \lineaire(F,S)\). On définit le produit tensoriel de ces deux fonctions, noté \(\varphi \otimes \psi\), par :

\[(\varphi \otimes \psi)(a,b) = \varphi(a) \cdot \psi(b)\]

pour tout \(a \in E\) et \(b \in F\). La fonction \(\varphi \otimes \psi\) est donc une forme bilinéaire vérifiant :

\[\biforme{a}{\varphi \otimes \psi}{b} = \forme{\varphi}{a} \cdot \forme{\psi}{b}\]

Soit les espaces vectoriels \(E_1,E_2,...,E_n\) sur \(\corps\). On nomme tenseur d'ordre \(n\) les formes $n$-linéaires de \(E_1 \times E_2 \times ... \times E_n\) vers \(\corps\).

Soit les espaces vectoriels \(E\) et \(F\) sur \(\corps\). Choisissons \(a \in F\) et \(b \in E\). Le produit tensoriel \(a \otimes b\) est l'application linéaire de \(E\) vers \(F\) définie par :

\[(a \otimes b)(c) = a \cdot \scalaire{b}{c}\]

pour tout \(c \in E\). On vérifie aisément que ce produit est bilinéaire.

Soit les espaces vectoriels \(E,F,G\) sur \(\corps\). On étend la notion de « produit scalaire » par les relations :

valables pour tout \((a,b,c,d) \in G \times F \times F \times E\).

Soit \(b \in F\) et \(c \in E\). Afin de rester consistant avec le produit tensoriel des formes, nous définissons la forme associée à \(b \otimes c\) par :

\[\varphi(a,d) = \scalaire{a}{(b \otimes c)(d)} = \scalaire{a}{b} \cdot \scalaire{c}{d}\]

pour tout \(d \in E\) et \(a \in F\). On note en général cette forme au moyen de la double contraction :

\[\braket{a}{b \otimes c}{d} = \scalaire{a}{b} \cdot \scalaire{c}{d}\]

Soit le scalaire \(\alpha \in \setC\) et les vecteurs \(a,u \in E_1\) et \(b,v \in E_2\). On a :

\[\scalaire{u}{\alpha \cdot (a \otimes b)(v)} = \alpha \cdot \scalaire{u}{a} \cdot \scalaire{b}{v}\]

et :

On en déduit que :

\[(\alpha \cdot a \otimes b)^\dual = \conjaccent{\alpha} \cdot b \otimes a\]

Soit des vecteurs \(a_i,b_i,c_i,d_i\) et des scalaires \(\theta_{ij},\upsilon_{ij}\). On étend la définition des contractions à des combinaisons linéaires de la forme :

en imposant simplement la linéarité. On a donc par exemple :

\[\scalaire{T}{U} = \sum_{i,j,k,l} \theta_{ij} \cdot \upsilon_{kl} \cdot \scalaire{b_j}{c_k} \cdot (a_i \otimes d_l)\]

Soit \(a \in F\) et \(b \in E\). Un objet de la forme :

\[T = a \otimes b\]

est un cas particulier de « tenseur d'ordre deux ». Il est formellement défini comme une application linéaire de \(E\) vers \(F\), mais il est en fait bien plus riche puisqu'on peut associer différents types de fonctions et de formes à chaque contraction possible impliquant ce tenseur. Les notions de tenseur et de contraction sont en fait étroitement liées.

On note \(\tenseur_2(F,E)\) l'espace vectoriel généré par ce type de tenseurs d'ordre deux.

La possibilité d'associer une forme linéaire à chaque vecteur \(a \in E\) par la contraction avec un autre vecteur, qui est dans ce cas un simple produit scalaire :

\[\varphi_a(b) = \scalaire{a}{b}\]

nous incite à considérer les vecteurs comme des « tenseurs d'ordre un ». Nommant \(\tenseur_1(E)\) l'ensemble des tenseurs d'ordre un, on a simplement \(\tenseur_1(E) = E\). Quant aux scalaires, ils seront considérés comme des « tenseurs d'ordre zéro ». On note \(\tenseur_0 = \corps\) l'ensemble des tenseurs d'ordre zéro.

Soit \(a \in G\), \(b \in F\) et \(c \in E\). Comme \(\lineaire(E,F)\) est également un espace vectoriel, on a :

\[\Big[ a \otimes \big[ (b \otimes c)(u) \big] \Big](v) = \big[ a \otimes b \scalaire{c}{u} \big](v) = a \scalaire{c}{u} \scalaire{b}{v}\]

valable pour tout \(u \in E\) et tout \(v \in F\). Mais \(\lineaire(F,G)\) est aussi un espace vectoriel, et l'on a aussi :

\[\Big[ \big[ (a \otimes b)(v) \big] \otimes c \Big](u) = \Big[ \scalaire{b}{v} a \otimes c \Big](u) = \scalaire{b}{v} \scalaire{c}{u} a\]

Le résultat étant le même, le produit tensoriel est associatif, et nous notons :

\[a \otimes b \otimes c = a \otimes (b \otimes c) = (a \otimes b) \otimes c\]

l'application linéaire définie par :

\[(a \otimes b \otimes c)(u,v) = \scalaire{c}{u} \scalaire{b}{v} a\]

Considérons les espaces vectoriels \(E_1,...,E_n\), les séries de vecteurs \(a_k^1,a_k^2,...a_k^{N_k} \in E_k\) et les scalaires \(\theta_{ij...r} \in \corps\). Un tenseur d'ordre \(n\) est une combinaison linéaire de la forme :

\[T = \sum_{i,j,...,r} \theta_{ij...r} \cdot a_1^i \otimes a_2^j \otimes ... \otimes a_n^r\]

On note \(\tenseur_n(E_1,E_2,...,E_n)\) l'espace des tenseurs d'ordre \(n\).

Lorsque tous les espaces vectoriels sont égaux, soit \(E = E_1 = E_2 = ... = E_n\), on note \(\tenseur_n(E) = \tenseur_n(E,E,...,E)\).

Soit les séries de vecteurs \(a_k^i \in E_k\), les scalaires \(\theta_{ij...rs} \in \corps\), et le tenseur associé :

\[A = \sum_{i,j,...,r,s} \theta_{ij...rs} \cdot a_1^i \otimes a_2^j \otimes ... \otimes a_{n - 1}^r \otimes a_n^s\]

On vérifie que le dual s'obtient en inversant l'ordre des vecteurs et en conjuguant les coordonnées :

\[A^\dual = \sum_{i,j,...,r,s} \conjaccent{\theta}_{ij...rs} \cdot a_n^s \otimes a_{n - 1}^r \otimes ... \otimes a_2^j \otimes a_1^i\]

Soit les séries de vecteurs \(a_k^i \in E_k\), les scalaires \(\theta_{ij...rs} \in \corps\), et le tenseur associé :

\[A = \sum_{i,j,...,r,s} \theta_{ij...rs} \cdot a_1^i \otimes a_2^j \otimes ... \otimes a_{n - 1}^r \otimes a_n^s\]

Les opérations de réduction consistent à construire des tenseurs d'ordre \(n - 1\), notés \(A_-(s)\) et \(A^-(i)\), en retirant les vecteurs \(a_n^s\) (réduction à droite) ou les vecteurs \(a_1^i\) (réduction à gauche) :

Soit les séries de vecteurs \(a_k^i \in E_k\) et \(b_k^j \in F_k\), les scalaires \(\eta_{i...r}, \theta_{j...s} \in \corps\), et les tenseurs :

La contraction d'ordre \(0\) consiste simplement à juxtaposer les deux tenseurs au moyen du produit tensoriel :

\[\contraction{A}{0}{B} = \sum_{i,...,r,j,...,s} \eta_{i...r} \cdot \theta_{j...s} \cdot a_1^i \otimes ... \otimes a_m^r \otimes b_1^j \otimes ... \otimes b_n^s\]

Soit \(p \in \setN\) tel que \(0 \le p \le \min \{m,n\}\). Si :

on peut définir la contraction \(\contraction{}{p}{}\) d'ordre \(p\) de deux tenseurs par récurrence :

\[\contraction{A}{p}{B} = \sum_{r,j} \scalaire{a_m^r}{b_1^j} \cdot \contraction{A_-(r)}{p - 1}{B^-(j)}\]

On définit également la contraction double utilisant trois facteurs par :

\[\dblecont{Y}{m}{T}{n}{X} = \contraction{ Y }{m}{ \contraction{T}{n}{X} } = \contraction{ \contraction{Y}{m}{T} }{n}{ X }\]

Si chaque \(E_k\) dispose d'une base de vecteurs \((e_k^1,e_k^2,...e_k^{N_k})\), tout tenseur \(T \in \tenseur_n(E_1,E_2,...,E_n)\) peut être écrit sous la forme :

\[T = \sum_{i,...,r} \theta_{i...r} \cdot e_1^i \otimes ... \otimes e_n^r\]

On dit que les \(\theta_{i...r}\) sont les coordonnées de \(T\). L'indépendance linéaire des \(e_k^i\) nous garantit que ces coordonnées sont uniques.

Il y a donc :

\[N = \prod_i N_i\]

coordonnées déterminant un tenseur.

La norme d'un tenseur \(A\) est analogue aux normes dérivées d'un produit scalaire. On utilise ici la contraction maximale et le tenseur duel de \(A\), afin que les espaces des vecteurs soient compatibles :

\[\norm{A} = \sqrt{A^\dual : A}\]

Le tenseur identité \(\tenseuridentite \in \tenseur_2(E)\) est défini par :

\[\tenseuridentite \cdot u = \contraction{\tenseuridentite}{1}{u} = u\]

pour tout \(u \in E\).

Soit un tenseur \(T \in \tenseur_2(E)\). Si il existe un tenseur \(T^{-1} \in \tenseur_2(E)\) dont les contractions d'ordre \(1\) avec \(T\) donnent le tenseur identité :

\[T \cdot T^{-1} = \contraction{T}{1}{T^{-1}} = T^{-1} \cdot T = \contraction{T^{-1}}{1}{T} = \tenseuridentite\]

on dit que \(T^{-1}\) est l'inverse de \(T\).

Soit \((e_1,...,e_n)\) est une base orthonormée de \(E\) et le tenseur \(T \in \tenseur_2(E)\) :

\[T = \sum_{i,j} \theta_{ij} \cdot e_i \otimes e_j\]

On définit sa trace par :

\[\trace T = T : \tenseuridentite = \sum_{i,j} \theta_{ij} \cdot \indicatrice_{ij} = \sum_i \theta_{ii}\]

On dit que les vecteurs \(e_i \in E\) forment un cadre de \(E\) si :

\[\sum_i e_i \otimes e_i = \tenseuridentite\]

On a alors, pour tout vecteur \(u\) de \(E\) :

\[\sum_i \scalaire{e_i \otimes e_i}{u} = u\]

c'est-à-dire :

\[u = \sum_i \scalaire{e_i}{u} e_i\]

par définition de la contraction. Prenant le produit scalaire avec un autre vecteur \(v \in F\), on obtient :

\[\scalaire{v}{u} = \sum_i \scalaire{v}{e_i}\scalaire{e_i}{u}\]

Soit les vecteurs \(u \in F = \matrice(K,m,1) \equiv \corps^m\) et \(v,w \in E = \matrice(K,n,1) \equiv \corps^n\). La matrice :

représente une application linéaire de \(\corps^n\) vers \(\corps^m\). Comme le produit matriciel est associatif, cette fonction possède la propriété :

\[A \cdot w = (u \cdot v^\dual) \cdot w = u \cdot (v^\dual \cdot w) = u \cdot \scalaire{v}{w}\]

Ce résultat étant identique à la définition d'un tenseur d'ordre deux, on voit que les matrices sont équivalentes à des tenseurs d'ordre deux : \(\matrice(K,m,n) \equiv \tenseur_2(\corps^m,\corps^n)\). On parle donc de tenseurs matriciels pour désigner cette représentation. On définit par équivalence le produit tensoriel de deux vecteurs matriciels par :

\[u \otimes v = u \cdot v^\dual\]

Soit les espaces vectoriels \(E_1,E_2,E_3\) sur \(\corps\) et les suites de vecteurs \((e_k^1,e_k^2,...e_k^{N_k})\) formant des bases orthonormées des \(E_k\). Soit les tenseurs :

où \(a_{ij},b_{ij} \in \corps\). Calculons leur contraction d'ordre \(1\) :

On voit que les coordonnées obtenues :

\[c_{ij} = \sum_k a_{ik} \cdot b_{kj}\]

correspondent à une matrice \(C = ( c_{ij} )_{i,j}\) telle que :

\[C = A \cdot B\]

où les matrices \(A\) et \(B\) sont données par :

La contraction d'ordre \(1\) correspond donc au produit matriciel, qui correspond lui-même à la composition d'application linéaires.

Soit les espaces vectoriels \(E_1,E_2,E_3\) sur \(\corps\) et les suites de vecteurs \((e_k^1,e_k^2,...e_k^{N_k})\) formant des bases orthonormées des \(E_k\). Soit les tenseurs :

où \(a_{ij},b_{ij} \in \corps\). Calculons leur contraction maximale :

Ce résultat nous incite à définir l'opération équivalente sur les matrices associées \(A = ( a_{ij} )_{i,j}\) et \(B = ( b_{ij} )_{i,j}\) :

\[A : B = \sum_{i,j} a_{ij} \cdot b_{ji}\]

Soit \(\canonique_{m,i}\) les vecteurs de la base canonique de \(\corps^m\) et \(\canonique_{n,i}\) les vecteurs de la base canonique de \(\corps^n\). Si \(A = (a_{ij})_{i,j} \in \matrice(\corps,m,n)\), on a clairement :

\[A = \sum_{i = 1}^m \sum_{j = 1}^n a_{ij} \cdot \canonique_{m,i} \otimes \canonique_{n,j} = \sum_{i = 1}^m \sum_{j = 1}^n a_{ij} \cdot \canonique_{m,i} \cdot \canonique_{n,j}^\dual\]

La norme de Frobenius d'une matrice \(A = ( a_{ij} )_{i,j}\) est la norme du tenseur associé. On a donc :

\[\norm{A}_F = \sqrt{A^\dual : A} = \sqrt{\sum_{i,j} \bar{a}_{ij} \cdot a_{ij} } = \sqrt{ \sum_{i,j} \abs{a_{ij}}^2 }\]

• Chapitre \ref{chap:vecteur} : Les vecteurs
• Chapitre \ref{chap:tenseur} : Les tenseurs

Soit l'espace vectoriel \(E = \combilin{e_1,e_2}\) sur \(S\), où \((e_1,e_2)\) forme est une base orthonormée. Soit \(u,v \in E\). On a :

pour certains \(u_i,v_i \in S\).

Les symboles \(\permutation_{ij}\quad (i,j=1,2)\) sont définis de telle sorte que pour tout \(u,v\) la double somme :

\[u \wedge v = \sum_{i,j=1}^2 \permutation_{ij} u_i v_j\]

représente (au signe près) la surface du parallélogramme dont les sommets sont \((0,0)\), \((u_1,u_2)\), \((v_1,v_2)\) et \((u_1+v_1,u_2+v_2)\). On impose de plus l'antisymétrie :

\[u \wedge v = - v \wedge u\]

afin de donner une orientation à ce parallélogramme. Ces contraintes nous donnent :

ce qui nous amène à :

On voit qu'il y a un certain arbitraire dans notre choix, on aurait pu également choisir :

Le choix du signe détermine ce que l'on appelle l'orientation de l'espace \(E\).

Soit l'espace vectoriel \(E = \combilin{e_1,e_2,e_3}\) sur \(S\), où \((e_1,e_2,e_3)\) forme est une base orthonormée. Soit \(u,v,w \in E\). On a :

pour certains \(u_i,v_i,w_i \in S\).

Les symboles \(\permutation_{ijk} \quad (i,j=1,2,3)\) sont définis de telle sorte que pour tout \(u,v,w\) le scalaire :

\[u \wedge v \wedge w = \sum_{i,j,k=1}^3 \permutation_{ijk} u_i v_j w_k\]

représente (au signe près) le volume du parallélipipède dont les côtés sont définis par \(u\), \(v\) et \(w\). On impose également l'antisymétrie

Par un procédé analogue au cas bidimensionnel, on montre qu'un choix possible est donné par :

Voyons quelles sont les propriétés communes aux \(\permutation_*\) présentés ci-dessus. On remarque que \(\permutation_{12} = \permutation_{123} = 1\). On note aussi que \(\permutation_*\) est antysimétrique puisque l'inversion de deux indices change le signe. Ces propriétés nous permettent de généraliser la définition du produit extérieur à un espace de dimension \(N\). On impose que le \(\permutation\) à \(N\) indices vérifie les conditions suivantes :

\label{def:eps}

Ces conditions nous permettent de retrouver la valeur de n'importe quel \(\permutation_{ijk...l}\). Si deux indices sont égaux, l'antisymétrie nous permet d'affirmer que :

\[\permutation_{i ... j ... j ... k} = - \permutation_{i ... j ... j ... k}\]

et donc :

\[\permutation_{i ... j ... j ... k} = 0\]

Les seuls \(\permutation\) non nuls sont donc ceux dont tous les indices \((i,j,k,...,s)\) sont distincts, c'est-à-dire les permutations de \((1,2,3,...,N)\). On se rend compte que si \(p \in \setN\) est le nombre de permutations de couples d'indices nécessaires pour obtenir \((i,j,k,...,s)\) à partir de \((1,2,3,...,N)\), on a :

\[\permutation_{i j k ... l} = (-1)^p\]

Soit \((e_1,e_2,...,e_N)\) une base orthonormée d'un espace vectoriel \(E\) sur \(S\). Nous définissons le tenseur de permutation \(\mathcal{E} \in \tenseur_N(E)\) par :

\[\mathcal{E} = \sum_{i_1,i_2,...,i_N} \permutation_{i_1,i_2,...,i_N} \cdot e_{i_1} \otimes e_{i_2} \otimes ... \otimes e_{i_N}\]

Soit \((e_1,e_2,...,e_N)\) une base orthonormée d'un espace vectoriel \(E\) sur \(\corps\), \(M \le N\) et les vecteurs \(u_1,u_2,...u_M \in E\) de coordonnées \(u_k^i\) :

\[u_k = \sum_{i = 1}^N u_k^i e_i\]

Nous définissons leur produit extérieur par une contraction d'ordre \(M\) :

\[u_1 \wedge u_2 \wedge ... \wedge u_M = \contraction{ \mathcal{E} }{M}{ u_M \otimes ... \otimes u_1 }\]

Par orthonormalité de la base, on a :

\[\scalaire{e_j}{u_k} = u_k^j\]

Le produit extérieur s'écrit donc :

\[\mathcal{U} = u_1 \wedge u_2 \wedge ... \wedge u_M = \sum_{i_1,i_2,...i_N} \permutation_{i_1,i_2,...i_N} \cdot e_{i_1} \otimes ... \otimes e_{ i_{N - M} } \cdot u_M^{i_N} \cdot \hdots \cdot u_1^{ i_{N - M + 1} }\]

ce qui nous donne les coordonnées du tenseur \(\mathcal{U} \in \tenseur_{N-M}(E)\) par rapport à la base \((e_1,...,e_N)\) :

\[U_{ i_1,...,i_{N - M} } = \sum_{i_{N - M + 1},...,i_N} \permutation_{i_1,i_2,...i_N} \cdot u_1^{ i_{N - M + 1} } \cdot \hdots \cdot u_M^{i_N}\]

On vérifie les propriétés suivantes :

pour tout \(u,v,w,... \in E\) et \(\alpha,\beta \in S\).

Soit une matrice \(A \in \matrice(K,N,N)\) :

\[A = \left( a_{ij} \right)_{i,j}\]

et les vecteurs correspondants :

\[a_i = \sum_j a_{ij} e_j\]

On définit alors simplement :

• Chapitre \ref{chap:matrice} : Les matrices
• Chapitre \ref{chap:tenseur} : Les tenseurs

Les matrices élémentaires constituent une classe importante de matrice. Elles permettent d'obtenir d'importants résultats utiles tant sur le plan théorique que pour les applications numériques. Une matrice élémentaire de taille \((n,n)\) est déterminée par un scalaire \(\alpha \in \corps\) et le produit tensoriel de deux vecteurs \(u,v \in \corps^n\) :

\[\matelementaire(\alpha,u,v) = I + \alpha \cdot u \otimes v = I + \alpha \cdot u \cdot v^\dual\]

Considérons le produit :

On voit que si on peut trouver un scalaire \(\beta\) tel que :

\[\alpha + \beta + \alpha \cdot \beta \cdot (v^\dual \cdot u) = 0\]

le produit des deux matrices sera égal à la matrice identité. Ce sera possible si \(1 + \alpha \cdot v^\dual \cdot u \ne 0\). On a alors :

\[\beta = - \frac{\alpha}{1 + \alpha \cdot (v^\dual \cdot u)}\]

et :

\[\matelementaire(\alpha,u,v) \cdot \matelementaire(\beta,u,v) = I\]

Par symétrie, il est clair que le produit des deux matrices ne change pas lorsqu'on intervertit \(\alpha\) et \(\beta\). On a donc aussi :

\[\matelementaire(\beta,u,v) \cdot \matelementaire(\alpha,u,v) = I\]

Ces deux conditions étant remplies, on a :

\[\matelementaire(\beta,u,v) = \matelementaire(\alpha,u,v)^{-1}\]

Les matrices élémentaires sont donc très faciles à inverser.

Nous allons construire une matrice élémentaire qui transforme un vecteur donné \(x \in \matrice(\corps,n,1)\) non nul en un autre vecteur donné \(y \in \matrice(\corps,n,1)\) de même taille.

Les matrices élémentaires de permutations permettent de permuter deux lignes ou deux colonnes d'une matrice. Soit \(\canonique_1,...,\canonique_n\) les vecteurs de la base canonique de \(\corps^n\). La matrice de permutation élémentaire de taille \((n,n)\) et de paramètres \(i,j\) est définie par :

\[\matpermutation_{n,i,j} = I - (\canonique_i - \canonique_j) \cdot (\canonique_i - \canonique_j)^\dual\]

Dans la suite, nous considérons \(A \in \matrice(\corps,m,n)\) et \(P = \matpermutation_{n,i,j}\).

Une matrice de permutation \(P\) est une matrice de la forme :

\[P = P_1 \cdot ... \cdot P_n\]

où les \(P_i\) sont des matrices élémentaires de permutation.

Nous allons tenter de diagonaliser une matrice \(A \in \matrice(\corps,m,n)\) en une matrice diagonale aussi proche que possible de la matrice identité. Soit les \(\canonique_i\), vecteurs de la base canonique de \(\corps^m\) ou \(\corps^n\) suivant le contexte. Si \(A\) est non nulle, on peut trouver un \(i\) et un \(j\) tels que :

\[a = \composante_{ij} A \ne 0\]

On considère les matrices élémentaires de permutation \(P_0 = \matpermutation_{n,i,1}\) et \(Q_0 = \matpermutation_{n,j,1}\), et on évalue \(P_0 \cdot A \cdot Q_0\) pour inverser les lignes \(1\) et \(i\) et les colonnes \(1\) et \(j\) de \(A\). On se retrouve alors avec une matrice de la forme :

\[Q_0 \cdot A \cdot P_0 = [x \ c_2 \ ... \ c_n ]\]

où \(x\) est la première colonne et où \(x^\dual \cdot \canonique_1 = a \ne 0\). On utilise ensuite une première matrice élémentaire :

\[E_0 = I + \unsur{x^\dual \cdot x} \cdot (\canonique_1 - x) \cdot x^\dual\]

pour transformer la première colonne \(x\) en \(y = \canonique_1\). Partitionnant à part la première ligne et la première colonne du résultat, on a :

Posons \(u^\dual = [1 \ z^\dual]\) pour la première ligne. On a \(\canonique_1^\dual \cdot u = 1 \ne 0\). On utilise une seconde matrice élémentaire :

\[F_0 = I + \unsur{u^\dual \cdot u} \cdot u \cdot (\canonique_1 - u)^\dual\]

pour transformer la première ligne \(u^\dual\) en \(v^\dual = \canonique_1^\dual\). Mais comme \((\canonique_1 - u)^\dual = [0 \ -z^\dual]\), on a :

On voit aussi que \(u^\dual \cdot u = 1 + z^\dual \cdot z\). La matrice élémentaire \(F_0\) est donc de la forme :

On obtient alors une matrice modifiée de la forme :

et finalement :

Recommençons le même procédé pour transformer, au moyen des matrices de permutation \(P^{(n-1)},Q^{(n-1)}\) et élémentaires \(E^{(n-1)},F^{(n-1)}\), la première colonne et la première ligne de \(A^{(n - 1)}\) en \(e_1\) et \(e_1^\dual\). Si on pose :

il vient :

Soit \(p = \min\{m, n\}\). On peut répéter le même processus \(r\) fois en utilisant à l'étape \(k\) :

jusqu'à ce que la matrice \(A^{(n - r)}\) soit nulle, ou jusqu'à ce qu'on ait atteint \(r = p\). Posons :

On a alors schématiquement :

\[E \cdot A \cdot F = C\]

où :

suivant que \(r = p = m = n\), \(r = p = n\), \(r = p = m\) ou \(r \strictinferieur p\).

Nous allons à présent utiliser la décomposition de Gauss-Jordan pour analyser les espaces de solutions :

\[S(y) = \{ x \in \corps^n : A \cdot x = y \}\]

pour tout \(y \in \corps^m\). On a :

\[A \cdot x = L \cdot C \cdot R \cdot x = y\]

Multiplions cette équation par \(L^{-1}\). Il vient :

\[C \cdot R \cdot x = L^{-1} \cdot y\]

On pose :

Le système linéaire s'écrit alors :

\[C \cdot z = b\]

Soit une matrice \(A \in \matrice(\corps,m,n)\) strictement haute (\(m \strictsuperieur n\)). Un inverse à droite \(R\) vérifiant \(A \cdot B = I\) ne peut pas exister, car sinon il suffirait de prendre \(x = B \cdot y\) pour avoir :

\[A \cdot x = A \cdot B \cdot y = I \cdot y = y\]

Le système \(A \cdot x = y\) admettrait toujours au moins une solution, ce qui contredit les résultats précédents.

Soit une matrice \(A \in \matrice(\corps,m,n)\) strictement longue (\(n \strictsuperieur m\)). Un inverse à gauche \(B\) vérifiant \(B \cdot A = I\) ne peut pas exister, car sinon on aurait :

\[(B \cdot A)^\dual = A^\dual \cdot B^\dual = I^\dual = I\]

La matrice \(B^\dual\) serait donc un inverse à droite de la matrice \(A^\dual\). Or, \(A^\dual\) est de taille \((n,m)\), donc strictement haute, et ne peut pas admettre d'inverse à droite. On en conclut qu'une matrice strictement longue ne peut pas admettre d'inverse à gauche.

Supposons que \(m = n\) et considérons deux matrices carrées \(A,B \in \matrice(\corps,n,n)\) telles que :

\[A \cdot B = I\]

Il existe au moins une solution du système \(A \cdot x = y\) quel que soit \(y\), car il suffit de prendre \(x = B \cdot y\) pour avoir \(A \cdot x = A \cdot B \cdot y = y\). On a donc forcément \(r = m \le n\). Mais comme \(m = n\), cette solution est unique. On en déduit que l'application linéaire associée à \(A\) est inversible, donc \(A\) aussi et :

\[A \cdot (B - A^{-1}) = I - I = 0\]

En multipliant à gauche par \(A^{-1}\), il vient simplement \(B - A^{-1} = 0\), c'est-à-dire \(B = A^{-1}\). On a donc également :

\[B \cdot A = A^{-1} \cdot A = I\]

Soit le système suivant :

où \(A,B,C,D,F,G\) et \(x,y\) sont respectivement des matrices et des vecteurs matriciels de tailles compatibles. On a :

Si \(A\) est carrée et inversible, la première relation nous permet d'éliminer \(x\) :

\[x = A^{-1} \cdot F - A^{-1} \cdot B \cdot y\]

On substitue alors dans la seconde relation, et on obtient :

\[C \cdot A^{-1} \cdot F - C \cdot A^{-1} \cdot B \cdot y + D \cdot y = G\]

En plaçant \(y\) en évidence, on obtient :

\[(D - C \cdot A^{-1} \cdot B) \cdot y = G - C \cdot A^{-1} \cdot F\]

Sous réserve d'inversibilité, il ne nous reste alors plus qu'à résoudre par rapport à \(y\) :

\[y = (D - C \cdot A^{-1} \cdot B)^{-1} \cdot (G - C \cdot A^{-1} \cdot F)\]

qui nous donne ensuite :

\[x = A^{-1} \cdot [ F - B \cdot (D - C \cdot A^{-1} \cdot B)^{-1} \cdot (G - C \cdot A^{-1} \cdot F) ]\]

Si \(A\) est facilement inversible, et si \(D - C \cdot A^{-1} \cdot B\) est de taille réduite comparativement à la taille de \(A\), il peut être avantageux de résoudre le système global en \((x,y)\) de cette façon.

Soit un espace vectoriel \(E\) sur \(\corps\) possédant deux bases \((e_1,e_2,...,e_n)\) et \((f_1,f_2,...,f_m)\). Comme les \(f_i \in E\), on a :

\[f_i = \sum_{k = 1}^n a_{ik} \cdot e_k\]

pour certains \(a_{ij} \in \corps\). Comme les \(e_k \in E\), on a également :

\[e_k = \sum_{j = 1}^m b_{kj} \cdot f_j\]

pour certains \(b_{kj} \in \corps\). On en conclut que :

\[f_i = \sum_{j = 1}^m \sum_{k = 1}^n a_{ik} \cdot b_{kj} \cdot f_j\]

Par indépendance linéaire des \(f_i\), on doit donc avoir :

\[\sum_{k = 1}^m a_{ik} \cdot b_{kj} = \indicatrice_{ij}\]

Si nous introduisons les matrices \(A \in \matrice(\corps,m,n)\) et \(B \in \matrice(\corps,n,m)\) de composantes \(a_{ij}\) et \(b_{ij}\) respectivement, on a donc \(A \cdot B = I_m\). La matrice \(A\) admettant un inverse à droite, elle ne peut pas être strictement haute et on a \(m \le n\). Mais on a aussi :

\[e_k = \sum_{k = 1}^n \sum_{j = 1}^m b_{kj} \cdot a_{ji} \cdot e_i\]

d'où l'on conclut que \(B \cdot A = I_n\). La matrice \(A\) admettant un inverse à gauche, elle ne peut pas être strictement longue et on a également \(n \le m\). On conclut de ces deux inégalités que \(m = n\). Si on possède une base de \(E\) comptant \(n\) vecteurs, on peut-être sûr que toute autre base de \(E\) comptera également \(n\) vecteurs. On dit que \(m = n\) est la dimension de \(E\) et on le note :

\[\dim E = n\]

Soit un espace vectoriel \(E\) de dimension \(m\) et une suite de vecteurs linéairement indépendants \((u_1,...,u_n)\) de \(E\). Si \((e_1,...,e_m)\) est une base de \(E\), on peut trouver des coordonnées \(a_{ki} \in \corps\) telles que :

\[u_i = \sum_{k = 1}^m a_{ki} \cdot e_k\]

Pour tout \(w \in E\), on sait aussi que l'on peut trouver des coordonnées \(y_k \in \corps\) telles que :

\[w = \sum_{k = 1}^m y_k \cdot e_k\]

Nous allons à présent examiner si on peut également trouver des coordonnées \(x_i \in \corps\) de \(w\) par rapport aux \(u_i\) :

\[w = \sum_{i = 1}^n x_i \cdot u_i\]

Si cette hypothèse est vérifiée, on doit avoir :

\[\sum_{k = 1}^m y_k \cdot e_k = w = \sum_{k = 1}^m \sum_{i = 1}^n a_{ki} \cdot x_i \cdot e_k\]

L'indépendance linéaire des \(e_k\) implique alors que :

\[y_k = \sum_{i = 1}^n a_{ki} \cdot x_i\]

Utilisant les vecteurs matriciels associés \(x = [x_1 \ ... \ x_n]^\dual\) et \(y = [y_1 \ ... \ y_m]^\dual\) ainsi que la matrice \(A = (a_{ki})_{k,i}\) de taille \((m,n)\), on se retrouve avec le système :

\[y = A \cdot x\]

Soit \(r\) le rang de \(A\). On sait déjà que \(r \le \min \{m,n\}\). Examinons les différents cas :

• Si on avait \(r \strictinferieur n\), on pourrait trouver un \(y\) tel qu'il existe une infinité de solution en \(x\), ce qui contredit l'unicité des coordonnées de \(w\) par rapport à la suite de vecteurs linéairement indépendant \((u_1,...,u_n)\). On doit donc avoir \(r = n \le m\).
• Dans le cas où \(r = n \strictinferieur m\), on peut trouver un \(y\) tel que la solution n'existe pas : la suite de \(u_i\) ne forme donc pas une base de \(E\).
• Dans le cas où \(r = n = m\), il existe toujours une unique solution, la suite des \(u_i\) forme alors une base de \(E\). Il suffit donc de trouver une suite de \(m\) vecteurs indépendants dans un espace de dimension \(m\) pour former une base de cet espace.

Les matrices unitaires sont une généralisation des rotations. Or, la propriété essentielle d'une rotation est qu'elle conserve les distances. Comme les distances usuelles découlent des normes usuelles, elles-mêmes dérivées du produit scalaire, on impose que ce soit le produit scalaire qui soit conservé. On veut donc que :

\[\scalaire{U \cdot x}{U \cdot y} = x^\dual \cdot U^\dual \cdot U \cdot y = \scalaire{x}{y} = x^\dual \cdot y\]

pour toute matrice unitaire \(U\) de taille \((m,n)\) et tout \(x,y \in \corps^n\). Comme cette relation doit être valable pour tout \(x,y\), elle doit l'être pour les vecteurs de la base canonique :

\[\composante_{ij} U = \canonique_i^\dual \cdot U^\dual \cdot U \cdot \canonique_j = \canonique_i^\dual \cdot \canonique_j = \indicatrice_{ij}\]

On en conclut que :

\[U^\dual \cdot U = I\]

Si cette condition est vérifiée, on dit que \(U\) est une matrice unitaire.

Soit la matrice élémentaire :

\[U = \matelementaire(\alpha,u,u) = I + \alpha \cdot u \cdot u^\dual\]

où \(\alpha \in \setR\). Si on veut que \(U\) soit unitaire, il faut que :

Il suffit donc que \(\alpha\) vérifie la condition :

\[2 \cdot \alpha + \alpha^2 \cdot (u^\dual \cdot u) = \alpha \cdot [2 + \alpha \cdot (u^\dual \cdot u)] = 0\]

Si on choisit \(\alpha = 0\), on a \(U = I\) qui est bien une matrice unitaire. Dans le cas où \(\alpha \ne 0\), on doit avoir :

\[2 + \alpha \cdot (u^\dual \cdot u) = 0\]

Si \(u\) est un vecteur non nul, on aura bien sûr \(u^\dual \cdot u \strictsuperieur 0\). Il suffit alors de prendre :

\[\alpha = - \frac{2}{u^\dual \cdot u}\]

On se retrouve donc avec des matrices élémentaires unitaires du type :

\[U = I - \frac{2}{u^\dual \cdot u} \cdot u \cdot u^\dual\]

On les note :

\[\matunitaire(u) = I - \frac{2}{u^\dual \cdot u} \cdot u \cdot u^\dual\]

Soit deux vecteurs \(x,y \in \corps^n\). On aimerait bien trouver une matrice élémentaire unitaire \(U\) telle que \(U \cdot x \approx y\). Par analogie avec les matrices de transformation élémentaire, on pose \(u = x - y\) et \(U = \matunitaire(u)\). On a alors :

Développons le coefficient de \(x\) :

\[u^\dual \cdot u^\dual - 2 u^\dual \cdot x = (x^\dual \cdot x - x^\dual \cdot y - y^\dual \cdot x + y^\dual \cdot y) - (2 x^\dual \cdot x - 2 y^\dual \cdot x)\]

Comme il s'agit d'une transformation unitaire, il est logique de demander que le produit scalaire soit conservé. On a donc \(x^\dual \cdot x = y^\dual \cdot y\). Si on impose de plus que \(x^\dual \cdot y\) soit réel, on a :

\[x^\dual \cdot y = \conjugue(x^\dual \cdot y) = y^\dual \cdot x\]

et :

\[u^\dual \cdot u^\dual - 2 u^\dual \cdot x = (2 x^\dual \cdot x - 2 y^\dual \cdot x) - (2 x^\dual \cdot x - 2 y^\dual \cdot x) = 0\]

On a alors :

\[U \cdot x = \gamma \cdot y\]

où :

\[\gamma = \frac{2 u^\dual \cdot x}{u^\dual \cdot u^\dual} \in \setC\]

Le vecteur \(U \cdot x\) est donc identique à \(y\) à un scalaire près.

Soit une matrice \(A\) de taille \((m,n)\) et le partitionnement en colonnes :

\[A = [x \ x_2 \ ... \ x_n]\]

Soit \(H_1\) la matrice de Householder qui permet de transformer \(x\) en \(\gamma \cdot \canonique_1\), pour un certain \(\gamma_1 \in \setC\). On a alors :

On peut répéter le même processus avec \(A^{(n-1)}\) et la matrice de Householder \(H^{(n-1)}\) correspondante. Si on pose alors :

il vient :

On peut répéter le processus \(p = \min\{m,n\}\) fois en utilisant à l'étape \(k + 1\) :

Posons :

\[H = H_p \cdot ... \cdot H_1\]

Si \(m \strictinferieur n\), on obtient à la fin du processus :

Si \(m = n\), on obtient à la fin du processus :

Si \(m \strictsuperieur n\), on obtient à la fin du processus :

On voit que dans tous les cas la matrice \(R\) est triangulaire supérieure. Posons :

\[Q = H^{-1} = H_1 \cdot ... \cdot H_p = H^\dual\]

On a alors la décomposition :

\[A = Q \cdot R\]

où \(Q\) est une matrice unitaire et \(R\) une matrice triangulaire supérieure. On note cette décomposition :

\[(Q,R) = \householder(A)\]