Eclats de vers : Matemat 07 : Intégrales

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Table des matières

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1 Mesures

1.1 Dépendances

  • Chapitre \ref{chap:ensemble} : Les ensembles
  • Chapitre \ref{chap:ordre} : Les ordres et extréma
  • Chapitre \ref{chap:fonction} : Les fonctions

1.2 Introduction

L'objectif des mesures est de « mesurer » des ensembles, ou plutôt des sous-ensembles d'un ensemble donné. Soit l'ensemble \(\Omega\) et une tribu de sous-ensembles \(\mathcal{T} \subseteq \sousens(\Omega)\). Une mesure sur \(\mathcal{T}\) est une fonction \(\mu : \mathcal{T} \mapsto \setR\) associant une valeur réelle à chaque ensemble de la tribu. On demande que cette mesure soit positive :

\[\mu(A) \ge 0\]

pour tout \(A \in \mathcal{T}\). Il semble également logique que la mesure d'un ensemble vide soit nulle :

\[\mu(\emptyset) = 0\]

Pour toute suite discrète (finie ou infinie) \(\{ A_1,A_2,... \} \subseteq \mathcal{T}\) d'ensembles disjoints deux à deux, on a :

\[A_i \cap A_j = \emptyset\]

pour tout \((i,j)\) tels que \(i \ne j\). On exige dans ce cas que la mesure vérifie la propriété d'additivité :

\[\mu\left( \bigcup_i A_i \right) = \sum_i \mu(A_i)\]

1.2.1 Inclusion

Soit \(A,B \in \mathcal{T}\) avec \(A \subseteq B\). Comme \(C = B \setminus A\) et \(A\) vérifient \(C \cup A = B\) et \(C \cap A = \emptyset\), on a :

\[\mu(B) = \mu(C) + \mu(A) \ge \mu(A)\]

La mesure d'un ensemble « plus petit » au sens de l'inclusion est donc plus petite :

\[\mu(A) \le \mu(B)\]

1.2.2 Union

Soit \(A,B \in \mathcal{T}\). Comme \(A \cup B = (A \setminus B) \cup B\) et \((A \setminus B) \cap B = \emptyset\), on a :

\[\mu(A \cup B) = \mu(A \setminus B) + \mu(B)\]

Comme \(A \setminus B \subseteq A\), on a aussi \(\mu(A \setminus B) \le \mu(A)\). On en déduit que :

\[\mu(A \cup B) \le \mu(A) + \mu(B)\]

On peut en conclure par récurrence que :

\[\mu\left( \bigcup_{i = 0}^n A_i \right) \le \sum_{i = 0}^n \mu(A_i)\]

Puis, par passage à la limite :

\[\mu\left( \bigcup_{i = 0}^{+\infty} A_i \right) \le \sum_{i = 0}^{+\infty} \mu(A_i)\]

1.2.3 Appellation

On dit qu'un ensemble \(A\) est mesurable (pour \(\mu\)) si \(A \in \mathcal{T}\). Dans la suite, nous considérons une mesure \(\mu : \mathcal{T} \mapsto \setR\) et un ensemble mesurable \(A \in \mathcal{T}\).

1.3 Lebesgue

La mesure de Lebesgue \(\mu_L\) est définie sur la tribu \(\mathcal{T}\) engendrée par les ensembles ouverts de \(\setR\). Elle exprime simplement la longueur d'un intervalle. Pour tout :

\[I \in \big\{ \ [a,b], \intervalleouvert{a}{b}, \intervallesemiouvertgauche{a}{b}, \intervallesemiouvertdroite{a}{b} \big\}\]

on a simplement :

\[\mu_L(I) = b - a\]

Soit \(\mathfrak{J}\) l'ensemble des collections au plus dénombrables d'intervalles ouverts disjoints. Pour tout \(A \in \mathcal{T}\), on définit :

\[\mu_I(A) = \inf \accolades{ \sum_{n \in N} \mu_L(I_n) : \{ I_n : n \in N \subseteq \setN \} \in \mathfrak{J} , \ A \subseteq \bigcup_{n \in N} I_n}\]

et :

\[\mu^S(A) = \sup \accolades{ \sum_{n \in N} \mu_L(I_n) : \{ I_n : n \in N \subseteq \setN \} \in \mathfrak{J} , \ \bigcup_{n \in N} I_n \subseteq A }\]

Si :

\[\mu_I(A) = \mu^S(A)\]

on dit que l'ensemble \(A\) est mesurable au sens de Lebesgue et on définit :

\[\mu_L(A) = \mu_I(A) = \mu^S(A)\]

1.3.1 Mesure nulle

Pour tout ensemble \(N\) inclus dans un ensemble \(A \in \mathcal{T}\) de mesure nulle :

\[\mu_L(A) = 0\]

on définit :

\[\mu_L(N) = 0\]

1.3.2 Singleton

On voit que les ensembles de la forme \(\{a\} = [a,a]\) sont de mesure nulle :

\[\mu_L(\{a\}) = a - a = 0\]

On en conclut que pour toute suite discrète de réels $a1,a2,…$, on a :

\[\mu_L(\{a_1,a_2,...\}) = \sum_i \mu_L(\{a_i\}) = 0\]

On a aussi :

\begin{align} b - a = \mu_L([a,b]) &= \mu_L([a,b] \setminus \{a_1,a_2,...\}) + \mu_L(\{a_1,a_2,...\}) \\ &= \mu_L([a,b] \setminus \{a_1,a_2,...\}) + 0 \end{align}

et donc :

\[\mu_L([a,b] \setminus \{a_1,a_2,...\}) = b - a\]

1.4 Mesure de Stieltjes

On associe à toute fonction croissante \(g : \setR \mapsto \setR\) une mesure de Stieltjes \(\mu_g\). Pour tout :

\[I \in \big\{ \ [a,b], \intervalleouvert{a}{b}, \intervallesemiouvertgauche{a}{b}, \intervallesemiouvertdroite{a}{b} \big\}\]

on définit :

\[\mu_g(I) = g(b) - g(a)\]

Soit \(\mathfrak{J}\) l'ensemble des collections au plus dénombrables d'intervalles ouverts disjoints. Pour tout \(A \in \mathcal{T}\), on définit :

\[\mu_g(A) = \inf \accolades{ \sum_{n \in N} \mu_L(I_n) : \{ I_n : n \in N \subseteq \setN \} \in \mathfrak{J} , \ A \subseteq \bigcup_{n \in N} I_n}\]

1.4.1 Mesure nulle

Pour tout ensemble \(N\) inclus dans un ensemble \(A \in \mathcal{T}\) de mesure nulle :

\[\mu_g(A) = 0\]

on définit :

\[\mu_g(N) = 0\]

1.5 Dirac

La mesure de Dirac \(\mu_D^a\) en \(a\) est définie sur \(\sousens(\Omega)\). Il s'agit d'une mesure permettant de détecter si un \(A \subseteq \Omega\) donné contient \(a\). Elle est donc basée sur les fonctions indicatrices :

\( μDa(A) = \indicatriceA(a) =

\begin{cases} 1 & \mbox{ si } a \in A \\ 0 & \mbox{ si } a \notin A \end{cases}

\)

1.6 Mesure produit

Soit les tribus \(\mathcal{T}_1\) et \(\mathcal{T}_2\) et la tribu produit :

\[\mathcal{P} = \{ A \times B : A \in \mathcal{T}_1, \ B \in \mathcal{T}_2 \}\]

A partir de mesures \(\mu : \mathcal{T}_1 \mapsto \setR\) et \(\nu : \mathcal{T}_2 \mapsto \setR\), on peut construire une mesure produit \(\mu \otimes \nu : \mathcal{P} \mapsto \setR\) par :

\[(\mu \otimes \nu)(A \times B) = \mu(A) \cdot \nu(B)\]

1.6.1 Dimension \(n\)

On généralise la mesure de Lebesgue sur \(\setR^n\) par :

\[\mu_L( \intervalleouvert{a_1}{b_1} \times \intervalleouvert{a_2}{b_2} ... \times \intervalleouvert{a_n}{b_n}) = \prod_{i = 1}^n (b_i - a_i)\]

et l'extension à la tribu engendrée par les ouverts de \(\setR^n\) au moyen des supremum et infimum.

1.7 Fonction mesurable

On dit qu'une fonction \(f : A \mapsto \setR\) est mesurable (au sens de la tribu \(\mathcal{T}\)) si la relation \(f^{-1}\) vérifie \(f^{-1}(]a,+\infty[) \in \mathcal{T}\) et \(f^{-1}(]-\infty,a[) \in \mathcal{T}\) pour tout \(a \in \setR\). On a donc :

\( \{ x \in A : f(x) \strictsuperieur a \} \in \mathcal{T} \\ \{ x \in A : f(x) \strictinferieur a \} \in \mathcal{T} \)

1.7.1 Corollaires

On a :

\( \{ x \in A : f(x) \ge a \} = A \setminus \{ x \in A : f(x) \strictinferieur a \} \in \mathcal{T} \\ \{ x \in A : f(x) \le a \} = A \setminus \{ x \in A : f(x) \strictsuperieur a \} \in \mathcal{T} \)

et :

\[\{ x \in A : f(x) = a \} = \{ x \in A : f(x) \ge a \} \cap \{ x \in A : f(x) \le a \} \in \mathcal{T}\]

Les mesures de tous ces ensembles sont donc bien définies pour tout \(a \in \setR\).

1.8 Opposé d'une fonction mesurable

Soit une fonction mesurable \(f : A \mapsto \setR\). On a :

\( \{ x \in A : -f(x) \strictsuperieur a \} = \{ x \in A : f(x) \strictinferieur -a \} \in \mathcal{T} \\ \{ x \in A : -f(x) \strictinferieur a \} = \{ x \in A : f(x) \strictsuperieur -a \} \in \mathcal{T} \)

On en déduit que la fonction opposée \(-f\) est mesurable.

1.9 Fonctions extrema

Soit la suite \(\{ f_n : n \in \setN \}\) de fonctions mesurables. Posons :

\( S = \sup \{ f_n : n \in \setN \} \\ I = \inf \{ f_n : n \in \setN \} \)

On a :

\( \{ x \in A : S(x) \strictsuperieur a \} = \bigcup_n \{ x \in A : f_n(x) \strictsuperieur a \} \in \mathcal{T} \\ \{ x \in A : S(x) \strictinferieur a \} = \bigcap_n \{ x \in A : f_n(x) \strictinferieur a \} \in \mathcal{T} \)

On en conclut que \(\sup_n f_n\) est mesurable. Symétriquement, on a :

\( \{ x \in A : I(x) \strictsuperieur a \} = \bigcap_n \{ x \in A : f_n(x) \strictsuperieur a \} \in \mathcal{T} \\ \{ x \in A : I(x) \strictinferieur a \} = \bigcup_n \{ x \in A : f_n(x) \strictinferieur a \} \in \mathcal{T} \)

On en conclut que \(\inf_n f_n\) est mesurable.

2 Essentialité

2.1 Dépendances

  • Chapitre \ref{chap:mesure} : Les mesures

2.2 Introduction

Soit la mesure \(\mu : \mathcal{T} \mapsto \setR\) et l'ensemble \(A \in \mathcal{T}\). On a envie de dire que tout sous-ensemble de mesure nulle de \(A\) est « négligeable ». L'essentiel de l'information demeurera donc si on s'abstrait d'un quelconque ensemble \(N \subseteq A\) vérifiant \(N \in \mathcal{T}\) et \(\mu(N) = 0\). Le résultat de cette abstraction, soit \(A \setminus N\), est appelé sous-ensemble essentiel de \(A\). On note :

\[\essentiel(A) = \{ A \setminus N : N \subseteq A, \ N \in \mathcal{T}, \ \mu(N) = 0 \}\]

l'ensemble des sous-ensembles essentiels de \(A\).

2.3 Ensembles de mesure nulle

2.3.1 Inclusion

Soit \(A,B \in \mathcal{T}\) avec \(A \subseteq B\) et \(\mu(B) = 0\). On a alors :

\[0 \le \mu(A) \le \mu(B) = 0\]

On en déduit que :

\[\mu(A) = 0\]

Un ensemble inclus dans un ensemble de mesure nulle est également de mesure nulle.

2.3.2 Union

Soit \(A,B \in \mathcal{T}\) avec \(\mu(A) = \mu(B) = 0\). On a alors :

\[0 \le \mu(A \cup B) \le \mu(A) + \mu(B) = 0 + 0 = 0\]

On en déduit que :

\[\mu(A \cup B) = 0\]

De même, la mesure d'une union d'une suite finie d'ensembles de mesure nulle est de mesure nulle :

\[\mu\left( \bigcup_{i = 1}^n A_i \right) = 0\]

On a le même résultat pour les suites infinies :

\[\mu\left( \bigcup_{i = 1}^{+\infty} A_i \right) = 0\]

2.4 Mesure d'un sous-ensemble essentiel

Soit \(E \in \essentiel(A)\). On peut alors trouver \(Z \in \mathcal{T}\) tel que \(Z \subseteq A\), \(E = A \setminus Z\) et vérifiant \(\mu(Z) = 0\). Comme les ensembles \(E\) et \(Z\) sont disjoints et d'union égale à \(A\), on a :

\[\mu(A) = \mu(E) + \mu(Z) = \mu(E) + 0 = \mu(E)\]

On a donc :

\[\mu(E) = \mu(A)\]

pour tout sous-ensemble essentiel \(E \in \essentiel(A)\).

2.5 Convergence de la mesure

Soit une suite d'ensembles \(\{ A_n \in \mathcal{T} : n \in \setN \}\) telle que \(A_m \subseteq A_n\) pour tout naturels \(m,n\) vérifiant \(m \le n\). Posons :

\[A = \bigcup_{n \in \setN} A_n \in \mathcal{T}\]

Considérons la suite d'ensemble \(\{D_n \subseteq A : n \in \setN \}\) définie par :

\begin{align} D_0 &= A_0 \\ D_n &= A_n \setminus A_{n - 1} \end{align}

pour tout \(n \ge 1\). Comme \(A_{n - 1}, D_n \subseteq A_n\), on a \(A_n = A_{n - 1} \cup D_n\). Nous allons montrer par récurrence que :

\[A_n = \bigcup_{k = 0}^n D_k\]

On sait que c'est vrai pour \(n = 0\). Supposons que ce soit vrai pour \(n - 1\). On a :

\[A_n = D_n \cup A_{n - 1} = D_n \cup \bigcup_{k = 0}^{n - 1} D_k = \bigcup_{k = 0}^n D_k\]

Si \(x\) appartient à au moins un des \(A_n\), il appartient à au moins un des \(D_k\) pour \(0 \le k \le n\), et inversément. On en déduit que :

\[A = \bigcup_{n \in \setN} A_n = \bigcup_{k \in \setN} D_k\]

Soit les naturels \(i,j\) avec \(i \ne j\). Soit \(m = \max \{ i, j \}\) et \(n = \min \{ i,j \}\). Si \(D_i = \emptyset\) ou si \(D_j = \emptyset\), on a forcément \(D_i \cap D_j = \emptyset\). Sinon, soit \(x \in D_m\). On a alors \(x \in A_m\) et \(x \notin A_{m - 1}\). Comme \(i \ne j\), on a \(m - 1 \ge n\) et \(A_n \subseteq A_{m - 1}\). On en déduit que :

\[x \notin A_n = \bigcup_{k = 0}^n D_k \subseteq A_{m - 1}\]

En particulier, \(x\) ne peut pas appartenir à \(D_n\). On en conclut que \(D_i \cap D_j = D_m \cap D_n = \emptyset\). Les propriétés de la mesure nous disent alors que :

\[\mu(A_n) = \sum_{k = 0}^n \mu(D_k)\]

et que :

\[\mu(A) = \sum_{n \in \setN} \mu(D_n)\]

Par définition de la somme infinie sur \(\setN\), on a :

\[\sum_{n \in \setN} \mu(D_n) = \lim_{n \to \infty} \sum_{k = 0}^n \mu(D_k)\]

et donc :

\[\lim_{n \to \infty} \mu(A_n) = \mu(A)\]

2.6 Convergence étendue

Soit une suite d'ensembles \(\{ A_n \in \mathcal{T} : n \in \setN \}\) telle que, pour tout \(n \in \setN\), on puisse trouver un sous-ensemble essentiel \(E_n \subseteq A_n\) vérifiant \(E_n \subseteq A_{n + 1}\). Posons :

\[A = \bigcup_{n \in \setN} A_n \in \mathcal{T}\]

Pour tout \(n \in \setN\), on peut donc trouver un \(Z_n \subseteq A_n\) vérifiant \(\mu(Z_n) = 0\) et \(E_n = A_n \setminus Z_n \subseteq A_{n + 1}\). Notons \(Z\) l'union de ces ensembles :

\[Z = \bigcup_{n \in \setN} Z_n\]

et analysons le comportement des \(C_n = A_n \setminus Z\). Notons \(C\) l'union de ces ensembles. On a :

\[C = \bigcup_{n \in \setN} C_n = \bigcup_{n \in \setN} A_n \setminus Z = A \setminus Z\]

Supposons que \(x \in C_n\). On a alors \(x \in A_n\) et \(x \notin Z_n\), d'où \(x \in A_{n + 1}\). Comme \(x \notin Z\), on a aussi \(x \in A_{n + 1} \setminus Z = C_{n + 1}\). On en conclut que \(C_n \subseteq C_{n + 1}\). La récurrence :

\[C_0 \subseteq C_1 \subseteq C_2 \subseteq C_3 \subseteq ...\]

nous montre alors que \(C_m \subseteq C_n\) pour tout \(m,n \in \setN\) vérifiant \(m \le n\). La mesure converge par conséquent vers la mesure de l'union :

\[\lim_{n \to \infty} \mu(C_n) = \mu(C) = \mu(A \setminus Z)\]

Mais comme \(C\) est un sous-ensemble essentiel de \(A\), on a \(\mu(C) = \mu(A)\). Pour la même raison, on a \(\mu(C_n) = \mu(A_n)\). On a donc finalement :

\[\lim_{n \to \infty} \mu(A_n) = \mu(A)\]

2.7 Ordre faible

2.7.1 Infériorité essentielle

Soit deux fonctions \(f,g : A \mapsto \setR\) telles que \(f - g\) soit mesurable. On dit que \(f\) est {\em essentiellement} inférieure à \(g\), et on le note :

\[f \essinferieur g\]

si on peut trouver un sous-ensemble essentiel \(S\) de \(A\) tel que \(f(x) \le g(x)\) en tout point \(x \in S\). On a donc :

\[\mu(\{ x \in A : f(x) \strictsuperieur g(x) \}) = 0\]

2.7.2 Supériorité essentielle

Soit deux fonctions \(f,g : A \mapsto \setR\) telles que \(f - g\) soit mesurable. On dit que \(f\) est {\em essentiellement} supérieure à \(g\), et on le note :

\[f \esssuperieur g\]

si on peut trouver un sous-ensemble essentiel \(S\) de \(A\) tel que \(f(x) \ge g(x)\) en tout point \(x \in S\). On a donc :

\[\mu(\{ x \in A : f(x) \strictinferieur g(x) \}) = 0\]

2.7.3 Validité

La définition de \(f \essinferieur g\) revient à imposer que :

\[\mu(\{ x \in A : f(x) - g(x) \strictsuperieur 0 \}) = 0\]

La définition de \(f \esssuperieur g\) revient à imposer que :

\[\mu(\{ x \in A : f(x) - g(x) \strictinferieur 0 \}) = 0\]

Comme \(f - g\) est mesurable, ces notions sont correctement définies.

2.8 Transitivité

Soit les fonctions \(f,g,h : A \mapsto \setR\) telles que :

\( f \essinferieur g \\ \\ g \essinferieur h \)

Si on pose :

\( Z = \{ x \in A : f(x) \strictsuperieur g(x)\} \\ N = \{ x \in A : g(x) \strictsuperieur h(x)\} \)

on a \(\mu(Z) = \mu(N) = 0\). Comme une union finie d'ensembles de mesure nulle est de mesure nulle, on a \(\mu(N \cup Z) = 0\). Pour tout \(A \setminus (N \cup Z)\), on a \(f(x) \le g(x)\) et \(g(x) \le h(x)\). On en déduit que \(f(x) \le h(x)\). Notre \(f\) est donc inférieure à \(h\) sur \(A\) sauf sur l'ensemble de mesure nulle \(N \cup Z\). On en conclut que la fonction étagée \(f\) est essentiellement inférieure à \(h\) :

\[f \essinferieur h\]

2.9 Conservation sous l'addition

Supposons que \(f \essinferieur g\) et que \(u \essinferieur v\). Les ensembles :

\( Z = \{ x \in A : f(x) \strictsuperieur g(x)\} \\ N = \{ x \in A : u(x) \strictsuperieur v(x)\} \)

sont de mesure nulle. Leur union est donc également de mesure nulle et on a bien entendu \(f(x) + u(x) \le g(x) + v(x)\) sur \(A \setminus (Z \cup N)\) c'est-à-dire sur une sous-ensemble essentiel de \(A\). On en conclut que :

\[f + u \essinferieur g + v\]

2.10 Conservation sous la soustraction

Supposons que \(f \essinferieur g\) et que \(u \esssuperieur v\). Les ensembles :

\( Z = \{ x \in A : f(x) \strictsuperieur g(x)\} \\ N = \{ x \in A : u(x) \strictinferieur v(x)\} \)

sont de mesure nulle. Leur union est donc également de mesure nulle et on a bien entendu \(f(x) - u(x) \le g(x) - v(x)\) sur \(A \setminus (Z \cup N)\) c'est-à-dire sur une sous-ensemble essentiel de \(A\). On en conclut que :

\[f - u \essinferieur g - v\]

2.11 Fonctions max et min

2.11.1 Max

Supposons que \(f,g \essinferieur h\). Les ensembles :

\( Z = \{ x \in A : f(x) \strictsuperieur h(x)\} \\ N = \{ x \in A : g(x) \strictsuperieur h(x)\} \)

sont de mesure nulle. Leur union est donc également de mesure nulle et on a bien entendu \(\max\{f(x) , g(x)\} \le h(x)\) sur \(A \setminus (Z \cup N)\) c'est-à-dire sur une sous-ensemble essentiel de \(A\). On en conclut que :

\[\max\{f,g\} \essinferieur h\]

2.11.2 Min

Supposons que \(f,g \esssuperieur h\). Les ensembles :

\( Z = \{ x \in A : f(x) \strictinferieur h(x)\} \\ N = \{ x \in A : g(x) \strictinferieur h(x)\} \)

sont de mesure nulle. Leur union est donc également de mesure nulle et on a bien entendu \(\min\{f(x) , g(x)\} \ge h(x)\) sur \(A \setminus (Z \cup N)\) c'est-à-dire sur une sous-ensemble essentiel de \(A\). On en conclut que :

\[\min\{f,g\} \esssuperieur h\]

2.12 Egalité

On dit que \(f\) est essentiellement égale à \(g\), et on le note :

\[f \essegal g\]

si et seulement si \(f \essinferieur g\) et \(f \esssuperieur g\). Les ensembles :

\( Z = \{ x \in A : f(x) \strictinferieur g(x)\} \\ N = \{ x \in A : f(x) \strictsuperieur g(x)\} \)

sont alors de mesure nulle. Donc, l'ensemble :

\[D = \{ x \in A : f(x) \ne g(x)\} = Z \cup N\]

est également de mesure nulle.

3 Extrema essentiels

3.1 Dépendances

  • Chapitre \ref{chap:mesure} : Les mesures

3.2 Bornes

Soit la fonction mesurable \(f : A \mapsto \setR\).

3.2.1 Supérieure

On dit que \(f\) est {\em essentiellement} inférieure au réel \(\sigma \in \setR\), et on le note :

\[f \essinferieur \sigma\]

si on peut trouver un sous-ensemble essentiel \(S\) de \(A\) tel que \(f(x) \le \sigma\) en tout point \(x \in S\). On a donc :

\[\mu(\{ x \in A : f(x) \strictsuperieur \sigma \}) = 0\]

On dit aussi que \(f\) est essentiellement majorée par \(\sigma\).

3.2.2 Inférieure

On dit que \(f\) est {\em essentiellement} supérieure au réel \(\lambda \in \setR\), et on le note :

\[f \esssuperieur \lambda\]

si on peut trouver un sous-ensemble essentiel \(S\) de \(A\) tel que \(f(x) \ge \lambda\) en tout point \(x \in S\). On a donc :

\[\mu(\{ x \in A : f(x) \strictinferieur \lambda \}) = 0\]

On dit aussi que \(f\) est essentiellement minorée par \(\lambda\).

3.3 Extrema essentiels

Soit une fonction mesurable \(f : A \mapsto \setR\). Pour tout \(\sigma \in \setR\), notons :

\[\Psi(\sigma) = \{ x \in A : f(x) \strictsuperieur \sigma \}\]

Comme on ne se soucie pas des ensembles de mesure nulle, on peut choisir (si elle existe) une borne supérieure \(\sigma \in \setR\) telle que \(f \essinferieur \sigma\), ce qui revient à imposer que \(\mu(\Psi(\sigma)) = 0\). Notons :

\[\Theta = \{ \sigma \in \setR : f \essinferieur \sigma \} = \{ \sigma \in \setR : \mu(\Psi(\sigma)) = 0 \}\]

La finalité des bornes étant d'encadrer au plus près un ensemble, nous considérons l'infimum (s'il existe) des réels \(\sigma\) possédant cette propriété, et nous l'appelons supremum essentiel :

\[\supessentiel_{x \in A} f(x) = \inf \Theta\]

Symétriquement, on note :

\[\Gamma(\lambda) = \{ x \in A : f(x) \strictinferieur \lambda \}\]

pour tout \(\lambda \in \setR\) et :

\[\Lambda = \{ \lambda \in \setR : f \esssuperieur \lambda \} = \{ \lambda \in \setR : \mu(\Gamma(\lambda)) = 0 \}\]

Si le supremum de \(\Lambda\) existe, on définit alors l'infimum essentiel par :

\[\infessentiel_{x \in A} f(x) = \sup \Lambda\]

Nous disposons donc des bornes :

\( \supessentiel_{x \in A} f(x) = \inf \{ \sigma \in \setR : f \essinferieur \sigma \} \\ \\ \infessentiel_{x \in A} f(x) = \sup \{ \lambda \in \setR : f \esssuperieur \lambda \} \)

3.3.1 Notation

On note aussi :

\( \supessentiel \{f(x) : x \in A\} = \supessentiel_{x \in A} f(x) \\ \infessentiel \{f(x) : x \in A\} = \infessentiel_{x \in A} f(x) \)

Au besoin, la mesure \(\mu\) utilisée est indiquée par :

\( \supessentiel_{x \in A}^\mu f(x) \\ \\ \infessentiel_{x \in A}^\mu f(x) \)

3.4 Existence et estimation

3.4.1 Supremum essentiel

Supposons que \(f\) soit essentiellement inférieure (sur \(A\)) à un certain \(\sigma \in \setR\) et que \(f\) soit essentiellement supérieure à un certain \(\lambda \in \setR\) sur un ensemble \(L \subseteq A\) de mesure strictement positive. On a \(\sigma \in \Theta \ne \emptyset\). Pour tout \(\alpha \in \setR\) tel que \(\alpha \ge \sigma\), on a \(\Psi(\alpha) \subseteq \Psi(\sigma)\). Comme \(\mu(\Psi(\sigma)) = 0\), l'ensemble \(\Psi(\alpha)\) est inclus dans un ensemble de mesure nulle. Il est donc lui-même de mesure nulle et \(\alpha \in \Theta\). On en conclut que :

\[[\sigma, +\infty[ \ \subseteq \Theta\]

pour tout \(\sigma \in \Theta\). Comme \(f\) est essentiellement supérieure à \(\lambda\) sur \(L\), on peut trouver un ensemble de mesure nulle \(Z \subseteq L\) tel que :

\[L \setminus Z = \{ x \in L : f(x) \ge \lambda \}\]

Comme \(L \setminus Z\) est un sous-ensemble essentiel de \(L\), on a \(\mu(L \setminus Z) = \mu(L) \strictsuperieur 0\). Posons :

\[C = \{ x \in A : f(x) \ge \lambda \}\]

Comme \(L \subseteq A\), on a \(L \setminus Z \subseteq C\) et \(\mu(C) \ge \mu(L \setminus Z) \strictsuperieur 0\). Soit \(\beta \in \setR\) vérifiant \(\beta \strictinferieur \lambda\). La condition \(f(x) \ge \lambda\) implique que \(f(x) \strictsuperieur \beta\). On en déduit que :

\[C \subseteq \{ x \in A : f(x) \strictsuperieur \beta \} = \Psi(\beta)\]

On a alors \(\mu(\Psi(\beta)) \ge \mu(C) \strictsuperieur 0\), ce qui implique que \(\beta\) ne peut pas appartenir à \(\Theta\). Tous les éléments \(\theta \in \Theta\) vérifient donc \(\theta \ge \lambda\) et :

\[\Theta \subseteq [\lambda, +\infty[\]

Comme \(\lambda \le \Theta\), l'ensemble de réels \(\Theta\) est non vide et minoré. Il admet donc un infimum :

\[\supessentiel_{x \in A} f(x) = \inf \Theta\]

On se rappelle que l'inclusion \(X \subseteq Y\) implique que \(\inf X \ge \inf Y\). Comme \(\lambda = \inf [\lambda, +\infty[\) et \(\sigma = \inf [\sigma, +\infty[\), les inclusions :

\[[\sigma, +\infty[ \ \subseteq \Theta \subseteq [\lambda, +\infty[\]

nous montrent que :

\[\lambda \le \supessentiel_{x \in A} f(x) \le \sigma\]

3.4.2 Infimum essentiel

Supposons que \(f\) soit essentiellement supérieure (sur \(A\)) à un certain \(\lambda \in \setR\) et que \(f\) soit essentiellement inférieure à un certain \(\sigma \in \setR\) sur un ensemble \(S \subseteq A\) de mesure strictement positive. On a \(\lambda \in \Lambda \ne \emptyset\). Pour tout \(\alpha \in \setR\) tel que \(\alpha \le \lambda\), on a \(\Gamma(\alpha) \subseteq \Gamma(\lambda)\). Comme \(\mu(\Gamma(\lambda)) = 0\), l'ensemble \(\Gamma(\alpha)\) est inclus dans un ensemble de mesure nulle. Il est donc lui-même de mesure nulle et \(\alpha \in \Lambda\). On en conclut que :

\[]-\infty, \lambda] \subseteq \Lambda\]

pour tout \(\lambda \in \Lambda\). Comme \(f\) est essentiellement inférieure à \(\sigma\) sur \(S\), on peut trouver un ensemble de mesure nulle \(Z \subseteq S\) tel que :

\[S \setminus Z = \{ x \in S : f(x) \le \sigma \}\]

Comme \(S \setminus Z\) est un sous-ensemble essentiel de \(S\), on a \(\mu(S \setminus Z) = \mu(S) \strictsuperieur 0\). Posons :

\[C = \{ x \in A : f(x) \le \sigma \}\]

Comme \(S \subseteq A\), on a \(S \setminus Z \subseteq C\) et \(\mu(C) \ge \mu(S \setminus Z) \strictsuperieur 0\). Soit \(\beta \in \setR\) vérifiant \(\beta \strictsuperieur \sigma\). La condition \(f(x) \le \sigma\) implique que \(f(x) \strictinferieur \beta\). On en déduit que :

\[C \subseteq \{ x \in A : f(x) \strictinferieur \beta \} = \Gamma(\beta)\]

On a alors \(\mu(\Gamma(\beta)) \ge \mu(C) \strictsuperieur 0\), ce qui implique que \(\beta\) ne peut pas appartenir à \(\Lambda\). Tous les éléments \(\gamma \in \Lambda\) vérifient donc \(\gamma \le \sigma\) et :

\[\Theta \subseteq \ ]-\infty, \sigma]\]

Comme \(\sigma \ge \Lambda\), l'ensemble de réels non vide \(\Lambda\) est majoré. Il admet donc un supremum :

\[\infessentiel_{x \in A} f(x) = \sup \Lambda\]

On se rappelle que l'inclusion \(X \subseteq Y\) implique que \(\sup X \le \sup Y\). Comme \(\lambda = \sup \ ]-\infty, \lambda]\) et \(\sigma = \sup \ ]-\infty, \sigma]\), les inclusions :

\[]-\infty, \lambda] \ \subseteq \Theta \subseteq \ ]-\infty, \sigma]\]

nous montrent que :

\[\lambda \le \infessentiel_{x \in A} f(x) \le \sigma\]

3.5 Intersection

Supposons que \(A\) soit de mesure strictement positive et que \(\Theta \cap \Lambda \ne \emptyset\). Pour tout \(\alpha \in \setR\), posons :

\[\Xi(\alpha) = \{ x \in A : f(x) = \alpha \}\]

et :

\[\Upsilon(\alpha) = \{ x \in A : f(x) \ne \alpha \}\]

Il est clair que :

\[A = \Xi(\alpha) \cup \Upsilon(\alpha)\]

Comme imposer la différence revient à imposer soit la supériorité soit l'infériorité stricte, on a :

\[\Upsilon(\alpha) = \Psi(\alpha) \cup \Gamma(\alpha)\]

Soit à présent \(\alpha \in \Theta \cap \Lambda\). Comme \(\mu(\Psi(\alpha)) = \mu(\Gamma(\alpha)) = 0\), leur union est également de mesure nulle :

\[\mu(\Upsilon(\alpha)) = 0\]

Si l'intersection \(\Theta \cap \Lambda\) n'est pas vide, la fonction \(f\) est donc essentiellement constante sur \(A\) et \(\Xi(\alpha) = A \setminus \Upsilon(\alpha)\) est un sous-ensemble essentiel de \(A\). On a donc \(\mu(\Xi(\alpha)) = \mu(A) \strictsuperieur 0\). Soit à présent \(\beta \in \setR\) et supposons que \(\beta \ne \alpha\). Si \(f(x) = \beta\), on a forcément \(f(x) \ne \alpha\), donc :

\[\Xi(\beta) = \{ x \in A : f(x) = \beta \} \subseteq \{ x \in A : f(x) \ne \alpha \}\]

L'ensemble \(\Xi(\beta)\) étant inclus dans un ensemble de mesure nulle, on doit avoir \(\mu(\Xi(\beta)) = 0\). Comme \(\mu(\Xi(\alpha)) \strictsuperieur 0\) pour tout \(\alpha \in \Theta \cap \Lambda\), \(\beta\) ne peut pas appartenir à \(\Theta \cap \Lambda\). On en conclut que l'intersection vérifie soit :

\[\Theta \cap \Lambda = \emptyset\]

soit :

\[\Theta \cap \Lambda = \{ \alpha \}\]

pour un certain \(\alpha \in \setR\).

3.5.1 Extrema

Supposons que \(f\) soit essentiellement inférieure à \(\sigma\) et essentiellement supérieure à \(\lambda\) sur \(A\) qui est de mesure strictement positive. On en déduit que les supremum et infimum essentiels existent :

\( S = \supessentiel \{ f(x) : x \in A \} \\ I = \infessentiel \{ f(x) : x \in A \} \)

et que \(\lambda \le \{ S,I \} \le \sigma\). Supposons que \(S \strictinferieur I\) et posons \(\delta = I - S \strictsuperieur 0\). Soit le réel strictement positif \(\epsilon = \delta / 4\). Comme l'infimum est dans l'adhérence, on peut trouver un \(\alpha \in \Theta\) tel que \(\abs{\alpha - S} \le \epsilon\), d'où \(\alpha \le S + \epsilon\). On a alors :

\[[\alpha, +\infty[ \ \subseteq \Theta\]

Comme le supremum est dans l'adhérence, on peut trouver un \(\beta \in \Lambda\) tel que \(\abs{I - \beta} \le \epsilon\), d'où \(\beta \ge I - \epsilon\). On a alors :

\[]-\infty, \beta] \subseteq \Lambda\]

On voit que :

\begin{align} S + \epsilon &= S + \frac{\delta}{4} \\ I - \epsilon &= S + \delta - \frac{\delta}{4} = S + \frac{3 \delta}{4} \end{align}

On a donc :

\[\alpha \le S + \epsilon \strictinferieur I - \epsilon \le \beta\]

et \(\alpha \strictinferieur \beta\). On a aussi :

\[[\alpha,\beta] = \ ]-\infty, \beta] \cap [\alpha, +\infty[ \ \subseteq \Theta \cap \Lambda\]

Donc \(\alpha,\beta \in \Theta \cap \Lambda\) avec \(\alpha \ne \beta\) ce qui impossible. Notre hypothèse est donc fausse et \(I \le S\), c'est-à-dire :

\[\infessentiel_{x \in A} f(x) \le \supessentiel_{x \in A} f(x)\]

3.6 Ordre

Soit les fonctions \(f,g : A \mapsto \setR\) telles que \(f \essinferieur g\).

3.6.1 Supremum essentiel

On a bien entendu :

\[f \essinferieur g \essinferieur \supessentiel_{x \in A} g(x)\]

On en déduit que :

\[\supessentiel_{x \in A} f(x) \le \supessentiel_{x \in A} g(x)\]

3.6.2 Infimum essentiel

On a bien entendu :

\[\infessentiel_{x \in A} f(x) \essinferieur f \essinferieur g\]

On en déduit que :

\[\infessentiel_{x \in A} f(x) \le \infessentiel_{x \in A} g(x)\]

3.7 Addition

Soit les fonctions \(f,g : A \mapsto \setR\).

3.7.1 Supremum essentiel

On sait que :

\( f \essinferieur \sigma = \supessentiel \{ f(x) : x \in A \} \\ g \essinferieur \tau = \supessentiel \{ g(x) : x \in A \} \)

On a donc :

\[f + g \essinferieur \sigma + \tau\]

On en conclut que :

\[\supessentiel_{x \in A} [f(x) + g(x)] \le \supessentiel_{x \in A} f(x) + \supessentiel_{x \in A} g(x)\]

3.7.2 Infimum essentiel

On sait que :

\( f \esssuperieur \lambda = \infessentiel \{ f(x) : x \in A \} \\ g \esssuperieur \gamma = \infessentiel \{ g(x) : x \in A \} \)

On a donc :

\[f + g \esssuperieur \lambda + \gamma\]

On en conclut que :

\[\infessentiel_{x \in A} [f(x) + g(x)] \ge \infessentiel_{x \in A} f(x) + \infessentiel_{x \in A} g(x)\]

4 Fonctions étagées

4.1 Dépendances

  • Chapitre \ref{chap:fonction} : Les fonctions
  • Chapitre \ref{chap:mesure} : Les mesures

4.2 Définition

Soit la mesure \(\mu : \mathcal{T} \mapsto \setR\), l'ensemble \(\Phi \in \mathcal{T}\) et \(A \in \mathcal{T}\) vérifiant \(A \subseteq \Phi\). On dit que la fonction \(w : \Phi \to \setR\) est étagée sur \(A\) si on peut trouver une collection finie \(\{ A_1, ..., A_n \} \subseteq \mathcal{T}\) formant une partition de \(A\) et des réels \(w_i \in \setR\) tels que :

\[w(x) = \sum_{i = 1}^n w_i \cdot \indicatrice_{A_i}(x)\]

pour tout \(x \in A\). On note \(\etagee(A)\) l'ensemble des fonctions étagées sur \(A\).

4.3 Mesurabilité

Soit \(a \in \setR\). Comme :

\[\{ x \in A : w(x) \strictsuperieur a \} = \bigcup \{ A_i : i \in \{1,...,n\}, \ w_i \strictsuperieur a \}\]

et que l'union s'opère sur un nombre fini d'ensembles, on a :

\[\{ x \in A : w(x) \strictsuperieur a \} \in \mathcal{T}\]

On a aussi :

\[\{ x \in A : w(x) \strictinferieur a \} = \bigcup \{ A_i : i \in \{1,...,n\}, \ w_i \strictinferieur a \} \in \mathcal{T}\]

Les fonctions étagées sont mesurables.

4.4 Multiplication par une fonction indicatrice

Soit \(B \subseteq A\). On a :

\begin{align} w(x) \cdot \indicatrice_B(x) &= \sum_{i = 1}^n w_i \cdot \indicatrice_{A_i}(x) \cdot \indicatrice_B(x) \\ &= \sum_{i = 1}^n w_i \cdot \indicatrice[A_i \cap B](x) \end{align}

Soit \(B_i = A_i \cap B\). La fonction \(u = w \cdot \indicatrice_B\) peut se définir par :

\[u(x) = w(x) \cdot \indicatrice_B(x) = \sum_{i = 1}^n w_i \cdot \indicatrice_{B_i}(x)\]

pour tout \(x \in A\). Si \(i \ne j\), on a :

\[B_i \cap B_j = (A_i \cap B) \cap (A_j \cap B) = (A_i \cap A_j) \cap B = \emptyset\]

L'union des \(B_i\) nous donne :

\[\bigcup_i B_i = \bigcup_i (A_i \cap B) = B \cap \bigcup_i A_i = B \cap A = B\]

On en conclut que les ensembles \(B_i\) forment une partition de \(B\). La fonction \(u\) est donc une fonction étagée sur \(B\). Comme \(u\) est nulle sur \(A \setminus B\), on a même :

\[u = 0 \cdot \indicatrice[A \setminus B] + \sum_{i = 1}^n w_i \cdot \indicatrice_{B_i}\]

ce qui montre que \(u\) est une fonction étagée sur \((A \setminus B) \cup B = A\).

4.5 Essentialité

4.5.1 Bornes

Soit l'ensemble \(M\) rassemblant les indices correspondant aux ensembles de mesure non nulle :

\[M = \{ i \in \{1,...,n\} : \mu(A_i) \strictsuperieur 0 \}\]

et l'ensemble \(N\) rassemblant les indices correspondant aux ensembles de mesure nulle :

\[N = \{ i \in \{1,...,n\} : \mu(A_i) = 0 \}\]

Par positivité de la mesure, on a clairement \(M \cup N = \{1,...,n\}\). Comme l'union d'ensembles de mesure nulle est également de mesure nulle, l'ensemble :

\[Z = \bigcup_{i \in N} A_i\]

vérifie \(\mu(Z) = 0\). L'ensemble :

\[A \setminus Z = A \setminus \bigcup_{i \in N} A_i = \bigcup_{i \in M} A_i\]

est donc un sous-ensemble essentiel de \(A\). Comme :

\[\min_{i \in M} w_i \le w(x) \in \{ w_i : i \in M \} \le \max_{i \in M} w_i\]

pour tout \(x \in A \setminus Z\), on a :

\[\min \{ w_i : i \in M \} \essinferieur w \essinferieur \max \{ w_i : i \in M \}\]

4.5.2 Extrema

Soit :

\( \alpha = \arg\max_{i \in M} w_i \in M \\ \beta = \arg\min_{i \in M} w_i \in M \)

On a alors :

\( \sigma = w_\alpha = \max \{ w_i : i \in M \} \\ \lambda = w_\beta = \min \{ w_i : i \in M \} \)

Comme \(w \essinferieur \sigma\), on doit avoir :

\[\supessentiel_{x \in A} w(x) \le \sigma\]

Mais on a aussi \(w = w_\alpha = \sigma\) sur \(A_\alpha\), et a fortiori \(w \ge \sigma\) sur \(A_\alpha\), avec \(\mu(A_\alpha) \strictsuperieur 0\), ce qui implique :

\[\supessentiel_{x \in A} w(x) \ge \sigma\]

Ces deux inégalités nous imposent que :

\[\supessentiel_{x \in A} w(x) = \sigma\]

Comme \(w \esssuperieur \lambda\), on a :

\[\infessentiel_{x \in A} w(x) \ge \lambda\]

Mais on a aussi \(w = w_\beta =\lambda\) sur \(A_\beta\), et a fortiori \(w \le \lambda\) sur \(A_\beta\), avec \(\mu(A_\beta) \strictsuperieur 0\), ce qui implique :

\[\infessentiel_{x \in A} w(x) \le \lambda\]

Ces deux inégalités nous imposent que :

\[\infessentiel_{x \in A} w(x) = \lambda\]

Les extrema essentiels d'une fonction étagée existent toujours et sont très simples à évaluer :

\( \supessentiel_{x \in A} w(x) = \max \{ w_i : i \in \{1,...,n\}, \ \mu(A_i) \strictsuperieur 0 \} \\ \\ \infessentiel_{x \in A} w(x) = \min \{ w_i : i \in \{1,...,n\}, \ \mu(A_i) \strictsuperieur 0 \} \)

4.6 Intégrale d'une mesure

L'intégrale d'une mesure \(\mu : \mathcal{T} \mapsto \setR\) sur \(A \in \mathcal{T}\) est simplement la mesure de \(A\) :

\[\int_A d\mu(x) = \mu(A)\]

4.7 Intégrale d'une constante

On étend la définition aux constantes \(c \in \setR\) par linéarité :

\[\int_A c \ d\mu(x) = c \cdot \int_A d\mu(x) = c \cdot \mu(A)\]

4.7.1 Fonction nulle

La fonction nulle peut être considérée comme la constante \(0\). On a donc :

\[\int_A 0 \ d\mu(x) = 0 \cdot \int_A d\mu(x) = 0\]

4.8 Intégrale d'une fonction étagée

Soit un ensemble \(A\) et une fonction \(w \in \etagee(A)\). On peut trouver des \(w_i \in \setR\) et des \(A_i \in \mathcal{T}\) formant une partition de \(A\) et tels que :

\[w(x) = \sum_{i = 1}^n w_i \cdot \indicatrice_{A_i}(x)\]

pour tout \(x \in A\). On étend la définition de l'intégrale en imposant la linéarité :

\[\int_A w(x) \ d\mu(x) = \sum_{i = 1}^n \int_{A_i} w(x) \ d\mu(x)\]

La fonction étagée \(w\) étant constante et valant \(w_i\) sur chaque \(A_i\), on a :

\[\int_{A_i} w(x) \ d\mu(x) = \int_{A_i} w_i \ d\mu(x) = w_i \cdot \mu(A_i)\]

et finalement :

\[\int_A w(x) \ d\mu(x) = \sum_{i = 1}^n w_i \cdot \mu(A_i)\]

4.9 Unicité

Nous allons vérifier que, pour une fonction étagée \(w\) donnée, l'intégrale ainsi définie ne dépend pas de la partition utilisée. Soit les collections finies d'ensembles \(A_i \in \mathcal{T}\) et \(B_j \in \mathcal{T}\) telles que \(\{A_1,A_2,...,A_m\}\) et \(\{B_1,B_2,...,B_n\}\) forment deux partitions de \(A\) et telles que l'on puisse trouver des \(a_i,b_j \in \setR\) vérifiant :

\[w(x) = \sum_{i = 1}^m a_i \cdot \indicatrice[A_i](x) = \sum_{j = 1}^n b_j \cdot \indicatrice[B_j](x)\]

pour tout \(x \in A\).

4.9.1 Intersection des partitions

Posons \(P = \{1,...,m\} \times \{1,...,n\}\) et \(C_{ij} = A_i \cup B_j \in \mathcal{T}\) pour tout \((i,j) \in P\). Si \(i \ne k\) ou si \(j \ne l\), on a :

\[C_{ij} \cap C_{kl} = A_i \cap B_j \cap A_k \cap B_l = (A_i \cap A_k) \cap (B_j \cap B_l) = \emptyset\]

On voit également que :

\( \bigcup_j C_{ij} = \bigcup_j (A_i \cap B_j) = A_i \cap \bigcup_j B_j = A_i \cap A = A_i \\ \bigcup_i C_{ij} = \bigcup_i (A_i \cap B_j) = B_j \cap \bigcup_i A_i = A \cap B_j = B_j \)

Leur union globale sur les \((i,j)\) s'écrit donc :

\[\bigcup_{i,j} C_{ij} = \bigcup_i A_i = A\]

Les \(C_{ij}\) forment également une partition de \(A\).

Nous savons que les \(C_{ij}\) ne se chevauchent pas et que leur union sur \(j\) permet de reformer les \(A_i\). De même, leur union sur \(i\) permet de reformer les \(B_j\). On en conclut que :

\( \mu(A_i) = \sum_j \mu(C_{ij}) \\ \mu(B_j) = \sum_i \mu(C_{ij}) \)

et :

\( \indicatrice[A_i] = \sum_j \indicatrice[C_{ij}] \\ \indicatrice[B_j] = \sum_i \indicatrice[C_{ij}] \)

4.9.2 Expression alternative

Utilisant les propriétés des \(C_{ij}\), la fonction \(w\) peut se réécrire comme suit :

\[w(x) = \sum_{(i,j) \in P} a_i \cdot \indicatrice[C_{ij}](x) = \sum_{(i,j) \in P} b_j \cdot \indicatrice[C_{ij}](x)\]

On en conclut que :

\[\sum_{(i,j) \in P} (a_i - b_j) \cdot \indicatrice[C_{ij}](x) = 0\]

4.9.3 Implication de l'égalité

Soit un couple \((i,j) \in P\) tel que \(\indicatrice[C_{ij}] \ne 0\), c'est-à-dire \(C_{ij} \ne \emptyset\). Soit \(x \in C_{ij}\). Pour tout \((k,l) \in P \setminus (i,j)\), on a \(C_{kl} \cap C_{ij} = \emptyset\) et donc \(\indicatrice[C_{kl}](x) = 0\). La somme :

\[\sum_{(k,l) \in P} (a_k - b_l) \cdot \indicatrice[C_{kl}](x) = 0\]

se réduit donc à :

\[(a_i - b_j) \cdot \indicatrice[C_{ij}](x) = 0\]

On doit donc avoir \(a_i - b_j = 0\), c'est-à-dire \(a_i = b_j\). On pose :

\[F = \{ (i,j) \in P : C_{ij} \ne \emptyset \}\]

4.9.4 Intégrales

L'intégrale évaluée sur le découpage des \(A_i\) s'écrit :

\[I = \sum_i a_i \cdot \mu(A_i) = \sum_{(i,j) \in P} a_i \cdot \mu(C_{ij})\]

Mais comme \(\mu(C_{ij}) = \mu(\emptyset) = 0\) pour tout \((i,j) \in P \setminus F\), on a finalement :

\[I = \sum_{(i,j) \in F} a_i \cdot \mu(C_{ij})\]

De même, l'intégrale évaluée sur le découpage des \(B_j\) s'écrit :

\[J = \sum_j b_j \cdot \mu(B_j) = \sum_{(i,j) \in P} b_j \cdot \mu(C_{ij}) = \sum_{(i,j) \in F} b_j \cdot \mu(C_{ij})\]

Comme \(a_i = b_j\) pour tous les couples \((i,j) \in F\), on en déduit que :

\[J = \sum_{(i,j) \in F} a_i \cdot \mu(C_{ij}) = I\]

L'intégrale d'une fonction étagée ne dépend donc pas du choix de la partition utilisée.

4.10 Ordre

Soit les fonctions étagées \(u,v \in \etagee(A)\) vérifiant \(u \essinferieur v\). Soit les partitions \(\{U_1,...,U_m\}\) et \(\{V_1,...,V_n\}\) et les réels \(u_i,v_j\) tels que :

\( u(x) = \sum_{i = 1}^m u_i \cdot \indicatrice_{U_i}(x) \\ v(x) = \sum_{j = 1}^n v_j \cdot \indicatrice_{V_j}(x) \)

pour tout \(x \in A\). Si \(W_{ij} = U_i \cap V_j\), on sait que :

\( u(x) = \sum_{i,j} u_i \cdot \indicatrice[W_{ij}](x) \\ v(x) = \sum_{i,j} v_j \cdot \indicatrice[W_{ij}](x) \)

Posons \(P = \{1,...,m\} \times \{1,...,n\}\) et :

\[M = \{ (i,j) \in P : \mu(W_{ij}) \strictsuperieur 0 \}\]

Considérons le choix \((i,j) \in P\) et \(x \in W_{ij}\). Comme \(u\) est essentiellement inférieure à \(v\), on doit avoir \(u_i \le v_j\) dès que \(\mu(W_{ij}) \strictsuperieur 0\), c'est-à-dire lorsque \((i,j) \in M\). Examinons à présent les intégrales. Les mesures des \(W_{ij}\) s'annulant pour tout \((i,j) \in P \setminus M\), on a :

\[\int_A u(x) \ d\mu(x) = \sum_{i,j} u_i \cdot \mu(W_{ij}) = \sum_{(i,j) \in M} u_i \cdot \mu(W_{ij})\]

et :

\[\int_A v(x) \ d\mu(x) = \sum_{i,j} v_j \cdot \mu(W_{ij}) = \sum_{(i,j) \in M} v_j \cdot \mu(W_{ij})\]

La propriété \(u_i \le v_j\) étant vérifiée pour tout \((i,j) \in M\), on en conclut que :

\[\int_A u(x) \ d\mu(x) \le \int_A v(x) \ d\mu(x)\]

L'intégrale conserve l'ordre essentiel entre fonctions étagées.

4.10.1 Signe

Comme la fonction constante \(0\) est un cas particulier de fonction étagée, l'intégrale d'une fonction étagée \(u\) essentiellement supérieure à zéro est positive. De même, l'intégrale d'un fonction étagée \(v\) essentiellement inférieure à zéro est négative.

4.10.2 Egalité

Soit deux fonctions étagées \(u,v\) essentiellement égales (\(u \essegal v\)). On a \(u \essinferieur v\) et l'intégrale de \(u\) est inférieure à l'intégrale de \(v\). Mais on a aussi \(u \esssuperieur v\) et l'intégrale de \(u\) est supérieure à l'intégrale de \(v\). On en conclut que :

\[\int_A u(x) \ d\mu(x) = \int_A v(x) \ d\mu(x)\]

4.11 Encadrement

Soit \(w \in \etagee(A)\). Comme les constantes sont des cas particuliers de fonctions étagées et que l'on a :

\[\infessentiel_{x \in A} w(x) \essinferieur w \essinferieur \supessentiel_{x \in A} w(x)\]

on en conclut en intégrant que :

\[\mu(A) \cdot \infessentiel_{x \in A} w(x) \le \int_A w(x) \ d\mu(x) \le \mu(A) \cdot \supessentiel_{x \in A} w(x)\]

4.12 Propriétés extrémales

Soit \(w \in \etagee(A)\). Si \(u\) est une fonction étagée vérifiant \(u \essinferieur w\), l'intégrale de \(u\) est inférieure à l'intégrale de \(w\). Par ailleurs, le choix \(u = w \essinferieur w\) reproduit bien entendu l'intégrale de \(w\). On en conclut que :

\[\int_A w(x) \ d\mu(x) = \sup \left\{ \int_A u(x) \ d\mu(x) : u \in \etagee(A), \ u \essinferieur w \right\}\]

On aboutit avec un raisonnement analogue à :

\[\int_A w(x) \ d\mu(x) = \inf \left\{ \int_A v(x) \ d\mu(x) : v \in \etagee(A), \ v \esssuperieur w \right\}\]

4.13 Additivité

Soit les ensembles \(A\) et \(B\) disjoints :

\[A \cap B = \emptyset\]

et une fonction \(w \in \etagee(A \cup B)\). On peut trouver des \(w_i \in \setR\) et des \(C_i \in \mathcal{T}\) formant une partition de \(A \cup B\) et tels que :

\[w(x) = \sum_i w_i \cdot \indicatrice_{C_i}(x)\]

pour tout \(x \in A\). On sait que les \(A_i = C_i \cap A\) forment une partition de \(A\) et que les \(B_i = C_i \cap B\) forment une partition de \(B\). On a aussi :

\[A_i \cap B_i = C_i \cap A \cap C_i \cap B = C_i \cap (A \cap B) = \emptyset\]

Comme :

\[C_i = C_i \cap (A \cup B) = (C_i \cap A) \cup (C_i \cap B) = A_i \cup B_i\]

on a \(\indicatrice[C_i] = \indicatrice[A_i] + \indicatrice[B_i]\) et :

\begin{align} w &= \sum_i w_i \cdot (\indicatrice[A_i] + \indicatrice[B_i]) \\ &= \sum_i w_i \cdot \indicatrice[A_i] + \sum_i w_i \cdot \indicatrice[B_i] \end{align}

Evaluons l'intégrale de \(w\) sur \(A \cup B\). Il vient :

\begin{align} \int_{A \cup B} w(x) \ d\mu(x) &= \sum_i w_i \cdot \mu(A_i) + \sum_i w_i \cdot \mu(B_i) \\ &= \int_A w(x) \ d\mu(x) + \int_B w(x) \ d\mu(x) \end{align}

L'intégrale des fonctions étagées est donc additive sur les ensembles concernés.

4.14 Propriétés diverses

Soit \(u,v \in \etagee(A)\). On peut trouver des \(u_i,v_j \in \setR\) et des \(U_i,V_i \in \mathcal{T}\) tels que \(\{U_1,...,U_n\}\) et \(\{V_1,...,V_m\}\) forment des partitions de \(A\) et vérifiant :

\( u(x) = \sum_{i = 1}^n u_i \cdot \indicatrice[U_i](x) \\ v(x) = \sum_{j = 1}^m v_j \cdot \indicatrice[V_j](x) \)

pour tout \(x \in A\). Nous avons vu que les intersections \(W_{ij} = U_i \cup V_j \in \mathcal{T}\) forment aussi une partition de \(A\) et qu'elles possèdent les propriétés :

\( \mu(U_i) = \sum_j \mu(W_{ij}) \\ \mu(V_j) = \sum_i \mu(W_{ij}) \)

et :

\( \indicatrice[U_i] = \sum_j \indicatrice[W_{ij}] \\ \indicatrice[V_j] = \sum_i \indicatrice[W_{ij}] \)

Les fonctions \(u,v\) peuvent donc également s'exprimer comme :

\( u(x) = \sum_{i,j} u_i \cdot \indicatrice[W_{ij}](x) \\ v(x) = \sum_{i,j} v_j \cdot \indicatrice[W_{ij}](x) \)

4.14.1 Espace vectoriel

Soit \(\alpha,\beta \in \setR\). On voit que la fonction \(w : A \mapsto \setR\) définie par :

\[w(x) = \alpha \cdot u(x) + \beta \cdot v(x)\]

est également une fonction étagée puisque :

\[w(x) = \sum_{i,j} (\alpha \cdot u_i + \beta \cdot v_j) \cdot \indicatrice[W_{ij}](x)\]

Nous venons de montrer que toute combinaison linéaire de fonctions étagées est une fonction étagée. L'ensemble \(\etagee(A)\) forme donc un espace vectoriel sur \(\setR\).

4.14.2 Intégrale

Evaluons l'intégrale de \(w\). On obtient :

\begin{align} \int_A w(x) \ d\mu(x) &= \sum_{i,j} (\alpha \cdot u_i + \beta \cdot v_j) \cdot \mu(W_{ij}) \\ &= \alpha \sum_i u_i \sum_j \mu(W_{ij}) + \beta \sum_j v_j \sum_i \mu(W_{ij}) \\ &= \alpha \sum_i u_i \cdot \mu(U_i) + \beta \sum_j v_j \cdot \mu(V_j) \\ &= \alpha \int_A u(x) \ d\mu(x) + \beta \int_A v(x) \ d\mu(x) \end{align}

On en conclut que :

\[\int_A (\alpha \cdot u(x) + \beta \cdot v(x)) \ d\mu(x) = \alpha \cdot \int_A u(x) \ d\mu(x) + \beta \cdot \int_A v(x) \ d\mu(x)\]

Nous venons de prouver la linéarité de l'intégrale des fonctions étagées.

4.14.3 Fonctions max et min

On voit que la fonction :

\[\max\{u,v\}(x) = \sum_{i,j} \max\{u_i,v_j\} \cdot \indicatrice[W_{ij}](x)\]

est également une fonction étagée. Il en va de même pour :

\[\min\{u,v\}(x) = \sum_{i,j} \min\{u_i,v_j\} \cdot \indicatrice[W_{ij}](x)\]

4.15 Mesure nulle

Soit un ensemble \(A\) vérifiant \(\mu(A) = 0\) et une fonction \(w\) étagée sur \(A\) définie par :

\[w(x) = \sum_{i = 1}^n w_i \cdot \indicatrice_{A_i}(x)\]

pour tout \(x \in A\). Les \(w_i\) sont bien entendu des réels et les \(A_i\) forment une partition de \(A\). Comme les \(A_i\) sont inclus dans l'ensemble \(A\) qui est de mesure nulle, on a \(\mu(A_i) = 0\). L'intégrale s'écrit donc :

\[\int_A w(x) \ d\mu(x) = \sum_{i = 1}^n w_i \cdot \mu(A_i) = \sum_{i = 1}^n w_i \cdot 0 = 0\]

L'intégrale d'une fonction étagée sur un ensemble de mesure nulle est nulle.

4.16 Mesurabilité et opérations

Soit la mesure \(\mu : \mathcal{T} \mapsto \setR\), l'ensemble \(A \in \mathcal{T}\), une fonction mesurable \(f : A \mapsto \setR\) et une fonction étagée \(w \in \etagee(A)\). Considérons un choix de \(w_i \in \setR\) et de \(A_i \in \mathcal{T}\) formant une partition de \(A\) et tels que :

\[w(x) = \sum_{i = 1}^n w_i \cdot \indicatrice_{A_i}(x)\]

pour tout \(x \in A\).

4.16.1 Addition

On a clairement :

\begin{align} \{ x \in A : f(x) + w(x) \strictsuperieur a \} &= \bigcup_{i = 1}^n \{ x \in A_i : f(x) + w(x) \strictsuperieur a \} \\ &= \bigcup_{i = 1}^n \{ x \in A_i : f(x) + w_i \strictsuperieur a \} \\ &= \bigcup_{i = 1}^n \{ x \in A_i : f(x) \strictsuperieur a - w_i \} \end{align}

Comme \(f\) est mesurable, les ensembles :

\[F_i = \{ x \in A_i : f(x) \strictsuperieur a - w_i \}\]

appartiennent à \(\mathcal{T}\). Comme l'union opère sur un nombre fini d'ensembles, on a :

\[\{ x \in A : f(x) + w(x) \strictsuperieur a \} = \bigcup_{i = 1}^n F_i \in \mathcal{T}\]

On conclut de même que :

\[\{ x \in A : f(x) + w(x) \strictinferieur a \} = \bigcup_{i = 1}^n \{ x \in A_i : f(x) \strictinferieur a - w_i \} \in \mathcal{T}\]

La fonction \(f + w\) est donc mesurable. Il en va de même pour \(-(f + w) = -f - w\).

4.16.2 Soustraction

Comme l'opposé d'une fonction étagée est une fonction étagée :

\[-w(x) = - \sum_{i = 1}^n w_i \cdot \indicatrice_{A_i}(x) = \sum_{i = 1}^n (-w_i) \cdot \indicatrice_{A_i}(x)\]

la fonction \(f - w = f + (-w)\) est également mesurable. Il en va de même pour \(-(f - w) = w - f\).

5 Décomposition en fonctions positives

5.1 Dépendances

  • Chapitre \ref{chap:ensemble} : Les ensembles
  • Chapitre \ref{chap:ordre} : Les ordres et extréma
  • Chapitre \ref{chap:fonction} : Les fonctions

5.2 Introduction

On considère une fonction mesurable \(f : A \mapsto \setR\) et les fonctions positives associées \(f^+,f^- : A \mapsto \setR\) définies par :

\begin{align} f^+(x) &= \max \{ f(x) , 0 \} \ge 0 \\ f^-(x) &= \max \{ -f(x) , 0 \} \ge 0 \end{align}

5.3 Mesurabilité

On constate que les ensembles suivant sont dans la tribu :

\begin{align} A^+ &= \{ x \in A : f(x) \strictsuperieur 0 \} \in \mathcal{T} \\ A^0 &= \{ x \in A : f(x) = 0 \} \in \mathcal{T} \\ A^- &= \{ x \in A : f(x) \strictinferieur 0 \} \in \mathcal{T} \end{align}

On a clairement \(A = A^+ \cup A^0 \cup A^-\). On voit que :

  • Sur \(A^+\), on a \(f^+ = f \strictsuperieur 0\) et \(f^- = 0\)
  • Sur \(A^0\), on a \(f^+ = f = 0\) et \(f^- = -f = 0\)
  • Sur \(A^-\) on a \(f^+ = 0\) et \(f^- = -f \strictsuperieur 0\)

5.3.1 Conditions \(\strictsuperieur a\)

Soit un réel \(a \strictinferieur 0\). La condition \(f^+(x) \ge 0 \strictsuperieur a\) implique que \(f^+(x) \strictsuperieur a\). Comme \(f^+\) est positive, cette condition est satisfaite pour tout \(x \in A\). Il en va de même pour \(f^-\). Donc :

\( \{ x \in A : f^+(x) \strictsuperieur a \} = \{ x \in A : f^+(x) \ge 0 \} = A \in \mathcal{T} \\ \{ x \in A : f^-(x) \strictsuperieur a \} = \{ x \in A : f^-(x) \ge 0 \} = A \in \mathcal{T} \)

Soit un réel \(a \ge 0\). La condition \(f^+(x) \strictsuperieur a\) implique que \(f^+(x) \strictsuperieur 0\). Un \(x\) vérifiant cette condition est donc forcément dans \(A^+\), où \(f^+ = f\). On peut alors faire sortir la condition \(x \in A^+\) en utilisant l'intersection. Comme l'intersection de deux ensembles d'une tribu est dans la tribu, on a finalement :

\begin{align} \{ x \in A : f^+(x) \strictsuperieur a \} &= \{ x \in A^+ : f^+(x) \strictsuperieur a \} \\ &= \{ x \in A^+ : f(x) \strictsuperieur a \} \\ &= \{ x \in A : f(x) \strictsuperieur a \} \cap A^+ \in \mathcal{T} \end{align}

La condition \(f^-(x) \strictsuperieur a\) implique que \(f^-(x) \strictsuperieur 0\). Un \(x\) vérifiant cette condition est donc forcément dans \(A^-\), où \(f^- = -f\). On peut alors faire sortir la condition \(x \in A^-\) en utilisant l'intersection. La fonction \(-f\) étant mesurable, on a finalement :

\begin{align} \{ x \in A : f^-(x) \strictsuperieur a \} &= \{ x \in A^- : f^-(x) \strictsuperieur a \} \\ &= \{ x \in A^- : -f(x) \strictsuperieur a \} \\ &= \{ x \in A : -f(x) \strictsuperieur a \} \cap A^- \in \mathcal{T} \end{align}

5.3.2 Conditions \(\strictinferieur a\)

Soit un réel \(a \le 0\). Comme \(f^+ \ge 0\), la condition \(f^+(x) \strictinferieur a \le 0\) n'est satisfaite pour aucun \(x \in A\). Il en va de même pour \(f^-\). Donc :

\( \{ x \in A : f^+(x) \strictinferieur a \} = \emptyset \in \mathcal{T} \\ \{ x \in A : f^-(x) \strictinferieur a \} = \emptyset \in \mathcal{T} \)

Soit un réel \(a \strictsuperieur 0\). Les \(x \in A\) vérifiant La condition \(f^+(x) \strictinferieur a\) sont de deux types :

  • Si \(x \in A^- \cup A^0\), on a \(f^+(x) = 0 \strictinferieur a\). La condition est alors a fortiori satisfaite.
  • Sinon, \(x \in A \setminus (A^- \cup A^0) = A^+\) et il faut toujours imposer \(f^+(x) \strictinferieur a\). Par contre, on a alors \(f = f^+\).

On a donc :

\begin{align} \{ x \in A : f^+(x) \strictinferieur a \} &= (A^- \cup A^0) \cup \{ x \in A^+ : f^+(x) \strictsuperieur a \} \\ &= A^- \cup A^0 \cup \{ x \in A^+ : f(x) \strictsuperieur a \} \in \mathcal{T} \end{align}

Les \(x \in A\) vérifiant La condition \(f^-(x) \strictinferieur a\) sont de deux types :

  • Si \(x \in A^+ \cup A^0\), on a \(f^-(x) = 0 \strictinferieur a\). La condition est alors a fortiori satisfaite.
  • Sinon, \(x \in A \setminus (A^+ \cup A^0) = A^-\) et il faut toujours imposer \(f^-(x) \strictinferieur a\). Par contre, on a alors \(f = -f^-\).

On a donc :

\begin{align} \{ x \in A : f^-(x) \strictinferieur a \} &= (A^+ \cup A^0) \cup \{ x \in A^- : f^-(x) \strictsuperieur a \} \\ &= A^- \cup A^0 \cup \{ x \in A^- : -f(x) \strictsuperieur a \} \in \mathcal{T} \end{align}

On conclut de ce qui précède que les fonctions \(f^+\) et \(f^-\) sont mesurables.

6 Intégrales

6.1 Dépendances

  • Chapitre \ref{chap:fonction} : Les fonctions
  • Chapitre \ref{chap:mesure} : Les mesures

6.2 Introduction

Soit une fonction \(f : A \mapsto \setR\) mesurable et essentiellement positive (\(f \esssuperieur 0\)) :

\[\mu(\{x : f(x) \strictinferieur 0\}) = 0\]

Pour toute fonction étagée \(w : A \mapsto \setR\), on sait que la fonction \(w - f\) est mesurable. Le réel :

\[\mu(\{ x \in A : w(x) \strictsuperieur f(x) \}) = \mu(\{ x \in A : w(x) - f(x) \strictsuperieur 0 \})\]

est donc bien défini. On peut dès lors introduire l'ensemble des fonctions étagées \(w\) essentiellement inférieures à \(f\) :

\[\mathcal{E}_A(f) = \{ w \in \etagee(A) : w \essinferieur f \}\]

Evaluant les intégrales des fonctions étagées appartenant à \(\mathcal{E}_A(f)\), on obtient l'ensemble de réels associé :

\[\mathcal{I}_A(f) = \left\{ \int_A w(x) \ d\mu(x) \ : w \in \mathcal{E}_A(f) \right\}\]

Cet ensemble est non vide car \(0 \in \mathcal{E}_A(f)\) produit une intégrale \(0 \in \mathcal{I}_A(f)\). Deux cas peuvent se présenter :

  • L'ensemble de réels \(\mathcal{I}_A(f)\) est majoré. Il admet donc un supremum. Nous pouvons alors définir l'intégrale de \(f\) sur \(A\) par :

\[\int_A f(x) \ d\mu(x) = \sup \left\{ \int_A w(x) \ d\mu(x) \ : w \in \mathcal{E}_A(f) \right\}\]

On dit alors que \(f\) est intégrable sur \(A\). On le note parfois :

\[\int_A f(x) \ d\mu(x) \strictinferieur +\infty\]

  • Dans le cas contraire, on a \(\sup \mathcal{I}_A(f) = +\infty\). On définit par analogie :

\[\int_A f(x) \ d\mu(x) = +\infty\]

6.2.1 Consistance

Les propriétés extrémales des intégrales des fonctions étagées nous montrent que, dans le cas particulier où \(f \in \etagee(A)\), l'intégrale obtenue par le supremum est identique à l'intégrale au sens des fonctions étagées.

6.3 Signe quelconque

Soit une fonction mesurable \(f : A \mapsto \setR\). On peut décomposer \(f\) en fonctions positives \(f^+,f^- : A \mapsto \setR\) définies par :

\begin{align} f^+(x) &= \max \{ f(x) , 0 \} \ge 0 \\ f^-(x) &= \max \{ -f(x) , 0 \} \ge 0 \end{align}

pour tout \(x \in A\). On a alors :

\[f = f^+ - f^-\]

Les fonctions \(f^+\) et \(f^-\) étant également mesurables, leurs intégrales sont bien définies (finies ou infinies). Plusieurs cas peuvent se présenter :

  • Les fonctions \(f^+\) et \(f^-\) sont intégrables sur \(A\). On étend alors la définition de l'intégrale par :

\[\int_A f(x) \ d\mu(x) = \int_A f^+(x) \ d\mu(x) - \int_A f^-(x) \ d\mu(x)\]

On dit alors que \(f\) est intégrable.

  • La fonction \(f^+\) produit une intégrale infinie, mais \(f^-\) est intégrable sur \(A\). On définit alors :

\[\int_A f(x) \ d\mu(x) = +\infty\]

  • La fonction \(f^-\) produit une intégrale infinie, mais \(f^+\) est intégrable sur \(A\). On définit alors :

\[\int_A f(x) \ d\mu(x) = -\infty\]

  • Si aucune des fonction \(f^+,f^-\) n'est intégrable, l'intégrale de \(f\) n'est pas définie.

6.4 Intégrale de Riemann

Soit une fonction \(f\) mesurable et essentiellement positive. Posons :

\[\mathcal{F}_A(f) = \{ w \in \etagee(A) : w \esssuperieur f \}\]

et :

\[\mathcal{J}_A(f) = \left\{ \int_A w(x) \ d\mu(x) \ : w \in \mathcal{F}_A(f) \right\}\]

Si \(f\) est intégrable et que son intégrale vérifie la dualité :

\[\int_A f(x) \ d\mu(x) = \sup \mathcal{I}_A(f) = \inf \mathcal{J}_A(f)\]

on dit que \(f\) est intégrable au sens de Riemann.

6.5 Fonctions essentiellement positives

Soit une fonction \(f\) mesurable et essentiellement positive.

6.5.1 Signe de l'intégrale

Comme la fonction étagée nulle \(0 \in \mathcal{E}_A(f)\), on a :

\[\int_A f(x) \ d\mu(x) \ge \int_A 0 \ d\mu(x) = 0\]

par définition du supremum. L'intégrale d'une fonction essentiellement positive est positive.

6.5.2 Intégrale nulle

Supposons que :

\[\int_A f(x) \ d\mu(x) = 0\]

Soit le réel \(\epsilon \strictsuperieur 0\). Si il existait un ensemble \(C \subseteq A\) de mesure non nulle tel que \(f \strictsuperieur \epsilon\) sur \(C\), la fonction étagée \(w = \epsilon \cdot \indicatrice_C\) vérifierait \(w \essinferieur f\) et appartiendrait donc à \(\mathcal{E}_A(f)\). On aurait alors par définition du supremum :

\[\int_A f(x) \ d\mu(x) \ge \int_A \epsilon \cdot \indicatrice_C(x) \ d\mu(x) = \epsilon \cdot \mu(C) \strictsuperieur 0\]

ce qui contredit l'hypothèse. On doit donc avoir \(f \essinferieur \epsilon\) quel que soit \(\epsilon \strictsuperieur 0\). On en conclut que \(f \essinferieur 0\). Mais comme on a également \(f \esssuperieur 0\), on en déduit que \(f \essegal 0\). Une fonction essentiellement positive présentant une intégrale nulle est essentiellement nulle.

6.6 Ordre

6.6.1 Fonctions positives

Soit les fonctions essentiellement positives et intégrables \(f,g : A \to \setR\) telles que \(f \essinferieur g\). Soit \(w \in \mathcal{E}_A(f)\). Comme on a \(w \essinferieur f\) et \(f \essinferieur g\), on en conclut que \(w \essinferieur g\), c'est-à-dire que \(w \in \mathcal{E}_A(g)\). On a donc \(\mathcal{E}_A(f) \subseteq \mathcal{E}_A(g)\). On en déduit que \(\mathcal{I}_A(f) \subseteq \mathcal{I}_A(g)\), d'où :

\[\sup \mathcal{I}_A(f) \le \sup \mathcal{I}_A(g)\]

Comme ces supremums sont par définition égaux aux intégrales correspondantes, on a :

\[\int_A f(x) \ d\mu(x) \le \int_A g(x) \ d\mu(x)\]

6.6.2 Généralisation

On considère à présent le cas de fonctions \(f,g\) de signe quelconque, toujours avec \(f \essinferieur g\). On définit les fonctions positives :

\begin{align} f^+(x) &= \max \{ f(x) , 0 \} \\ f^-(x) &= \max \{ -f(x) , 0 \} \\ g^+(x) &= \max \{ g(x) , 0 \} \\ g^-(x) &= \max \{ -g(x) , 0 \} \end{align}

On a donc \(f^+ \essinferieur g^+\) et \(g^- \essinferieur f^-\). On en conclut que :

\[\int_A f^+(x) \ d\mu(x) - \int_A f^-(x) \ d\mu(x) \le \int_A g^+(x) \ d\mu(x) - \int_A g^-(x) \ d\mu(x)\]

d'où, par définition :

\[\int_A f(x) \ d\mu(x) \le \int_A g(x) \ d\mu(x)\]

L'ordre des intégrales correspond à l'ordre essentiel sur les fonctions.

6.6.3 Egalité

Soit deux fonctions intégrables \(f,g\) vérifiant \(f \essegal g\). On a \(f \essinferieur g\) et l'intégrale de \(f\) est inférieure à l'intégrale de \(g\). Mais on a aussi \(f \esssuperieur g\) et l'intégrale de \(f\) est supérieure à l'intégrale de \(g\). On en conclut que :

\[\int_A f(x) \ d\mu(x) = \int_A g(x) \ d\mu(x)\]

6.7 Valeur moyenne

La valeur moyenne d'une fonction \(f\) sur \(A\) est définie par :

\[M = \unsur{\mu(A)} \int_A f(x) \ d\mu(x)\]

6.8 Bornes

Soit une fonction intégrable \(f : A \mapsto \setR\).

  • Si \(f\) est essentiellement majorée, on a :

\[f \essinferieur \supessentiel \{ f(x) : x \in A \}\]

En intégrant sur \(A\), il vient :

\[\int_A f(x) \ d\mu(x) \le \mu(A) \cdot \supessentiel_{x \in A} f(x)\]

  • Si \(f\) est essentiellement minorée, on a :

\[f \esssuperieur \infessentiel \{ f(x) : x \in A \}\]

En intégrant sur \(A\), il vient :

\[\int_A f(x) \ d\mu(x) \ge \mu(A) \cdot \infessentiel_{x \in A} f(x)\]

  • Si \(f\) est majorée et minorée, et si \(A\) est de mesure non nulle, on peut réexprimer ces bornes en terme de valeur moyenne de \(f\) :

\[\infessentiel_{x \in A} f(x) \le \unsur{\mu(A)} \int_A f(x) \ d\mu(x) \le \supessentiel_{x \in A} f(x)\]

6.8.1 Corollaires

Si \(f\) est essentiellement nulle, les supremum et infimum essentiels s'annulent, et :

\[0 \le \int_A f(x) \ d\mu(x) \le 0\]

On en conclut que :

\[\int_A f(x) \ d\mu(x) = 0\]

Il en va de même si \(\mu(A) = 0\).

6.9 Opposé

Soit une fonction intégrable \(f\) et \(g = -f\). On a :

\begin{align} g^+(x) &= \max \{ g(x) , 0 \} = \max \{ -f(x) , 0 \} = f^-(x) \\ g^-(x) &= \max \{ -g(x) , 0 \} = \max \{ f(x) , 0 \} = f^+(x) \end{align}

et :

\[\int_A g(x) \ d\mu(x) = \int_A f^-(x) \ d\mu(x) - \int_A f^+(x) \ d\mu(x) = - \int_A f(x) \ d\mu(x)\]

L'intégrale de la fonction opposée est donc l'opposé de l'intégrale :

\[\int_A (-f(x)) \ d\mu(x) = - \int_A f(x) \ d\mu(x)\]

6.10 Multiplication par une fonction indicatrice

6.10.1 Fonctions positives

Soit une fonction \(f\) essentiellement positive et intégrable sur \(A\) et l'ensemble \(C \in \mathcal{T}\) vérifiant \(C \subseteq A\). Soit le réel \(\epsilon \strictsuperieur 0\).

  • Comme le supremum est dans l'adhérence, on peut trouver une fonction \(u \in \mathcal{E}_A(f \cdot \indicatrice_C)\) telle que :

\[\abs{\int_A f(x) \cdot \indicatrice_C(x) \ d\mu(x) - \int_A u(x) \ d\mu(x)} \le \epsilon\]

On a donc :

\[\int_A f(x) \cdot \indicatrice_C(x) \ d\mu(x) - \epsilon \le \int_A u(x) \ d\mu(x)\]

Les ensembles \(A \setminus C\) et \(C\) étant disjoints et d'union égale à \(A\), on a aussi :

\[\int_A u(x) \ d\mu(x) = \int_{A \setminus C} u(x) \ d\mu(x) + \int_C u(x) \ d\mu(x)\]

Sur \(A \setminus C\), on a \(u \essinferieur f \cdot \indicatrice_C = 0\). La fonction \(u\) y est donc essentiellement négative. Son intégrale y est donc négative et :

\[\int_A u(x) \ d\mu(x) \le \int_C u(x) \ d\mu(x)\]

La fonction étagée \(u\) étant essentiellement inférieure à \(f\) sur \(C\), on a aussi :

\[\int_C u(x) \ d\mu(x) \le \int_C f(x) \ d\mu(x)\]

Rassemblant ces résultats, on obtient :

\[\int_A f(x) \cdot \indicatrice_C(x) \ d\mu(x) - \epsilon \le \int_C f(x) \ d\mu(x)\]

Cette inégalité étant satisfaite quel que soit \(\epsilon \strictsuperieur 0\), on a :

\[\int_C f(x) \ d\mu(x) \ge \int_A f(x) \cdot \indicatrice_C(x) \ d\mu(x)\]

  • Comme le supremum est dans l'adhérence, on peut trouver un \(w \in \mathcal{E}_C(f)\) tel que :

\[\int_C f(x) \ d\mu(x) - \epsilon \le \int_C w(x) \ d\mu(x)\]

Considérons l'extension de \(w\) sur \(A\) définie par :

\( u =

\begin{cases} w & \text{ sur } C \\ 0 & \text{ sur } A \setminus C \end{cases}

\)

On voit que \(u\) est une fonction étagée. On a :

\[\int_A u(x) \ d\mu(x) = \int_{A \setminus C} u(x) \ d\mu(x) + \int_C u(x) \ d\mu(x)\]

Sur \(A \setminus C\), \(u\) est nulle et l'intégrale correspondante l'est aussi. Sur \(C\), on a \(u = w\). Donc :

\[\int_A u(x) \ d\mu(x) = 0 + \int_C u(x) \ d\mu(x) = \int_C w(x) \ d\mu(x)\]

Comme :

\( u \essinferieur

\begin{cases} f & \text{ sur } C \\ 0 & \text{ sur } A \setminus C \end{cases}

\)

on voit que \(u \in \mathcal{E}_A(f \cdot \indicatrice_C)\) et que :

\[\int_A u(x) \ d\mu(x) \le \int_A f(x) \cdot \indicatrice_C(x) \ d\mu(x)\]

par définition du supremum. En rassemblant ces résultats, on obtient :

\[\int_C f(x) \ d\mu(x) - \epsilon \le \int_A f(x) \cdot \indicatrice_C(x) \ d\mu(x)\]

Ce résultat étant vérifié pour tout \(\epsilon \strictsuperieur 0\), on a finalement :

\[\int_C f(x) \ d\mu(x) \le \int_A f(x) \cdot \indicatrice_C(x) \ d\mu(x)\]

L'intégrale de \(f\) sur \(C\) étant à la fois inférieure et supérieure à l'intégrale de \(f \cdot \indicatrice_C\) sur \(A\), elle doit lui être égale :

\[\int_A f(x) \cdot \indicatrice_C(x) \ d\mu(x) = \int_C f(x) \ d\mu(x)\]

6.10.2 Généralisation

Soit une fonction \(f\) mesurable et sa décomposition en fonctions positives \(f = f^+ - f^-\). On voit que :

\[(f^+ - f^-) \cdot \indicatrice_C = f^+ \cdot \indicatrice_C - f^- \cdot \indicatrice_C\]

Comme on a aussi :

\( (f \cdot \indicatrice_C)^+ = f^+ \cdot \indicatrice_C \\ (f \cdot \indicatrice_C)^- = f^- \cdot \indicatrice_C \)

on en conclut que :

\begin{align} \int_A f(x) \cdot \indicatrice_C(x) \ d\mu(x) &= \int_A f^+(x) \cdot \indicatrice_C(x) \ d\mu(x) - \int_A f^-(x) \cdot \indicatrice_C(x) \ d\mu(x) \\ &= \int_C f^+(x) \ d\mu(x) - \int_C f^-(x) \ d\mu(x) \\ &= \int_C f(x) \ d\mu(x) \end{align}

6.11 Additivité

6.11.1 Fonctions positives

Soit deux ensembles \(A\) et \(B\) disjoints (\(A \cap B = \emptyset\)) et une fonction \(f\) essentiellement positive et mesurable sur \(A \cup B\). Comme \(A\) et \(B\) sont disjoints, on a \(\indicatrice[A \cap B] = 0\) et :

\[1 = \indicatrice[A \cup B](x) = \indicatrice_A(x) + \indicatrice_B(x)\]

pour tout \(x \in A \cup B\). Soit le réel \(\epsilon \strictsuperieur 0\).

  • Comme le supremum est dans l'adhérence, on peut trouver des fonctions \(u \in \mathcal{E}_{A \cup B}(f \cdot \indicatrice_A)\) et \(v \in \mathcal{E}_{A \cup B}(f \cdot \indicatrice_B)\) telles que leurs intégrales soit situées à une distance inférieure à \(\epsilon\) des intégrales de \(f \cdot \indicatrice_A\) et \(f \cdot \indicatrice_B\). Comme \(A,B \subseteq A \cup B\), on a :
\begin{align} \int_{A \cup B} u(x) \ d\mu(x) &\ge \int_{A \cup B} f(x) \cdot \indicatrice_A(x) \ d\mu(x) - \epsilon \\ &\ge \int_A f(x) \ d\mu(x) - \epsilon \\ \int_{A \cup B} v(x) \ d\mu(x) &\ge \int_{A \cup B} f(x) \cdot \indicatrice_B(x) \ d\mu(x) - \epsilon \\ &\ge \int_B f(x) \ d\mu(x) - \epsilon \end{align}

Par linéarité des intégrales des fonctions étagées, on a :

\begin{align} \int_{A \cup B} [u(x) + v(x)] \ d\mu(x) &= \int_{A \cup B} u(x) \ d\mu(x) + \int_{A \cup B} v(x) \ d\mu(x) \\ &\ge \int_A f(x) \ d\mu(x) + \int_B f(x) \ d\mu(x) - 2 \epsilon \end{align}

On voit que :

\[u + v \essinferieur f \cdot \indicatrice_A + f \cdot \indicatrice_B = f \cdot (\indicatrice_A + \indicatrice_B) = f\]

La fonction \(u + v\) est donc essentiellement inférieure à \(f\) et on a \(u + v \in \mathcal{E}_{A \cup B}(f)\). La définition du supremum nous montre alors que :

\[\int_{A \cup B} f(x) \ d\mu(x) \ge \int_{A \cup B} [u(x) + v(x)] \ d\mu(x)\]

En rassemblant ces résultats, on arrive à :

\[\int_{A \cup B} f(x) \ d\mu(x) \ge \int_A f(x) \ d\mu(x) + \int_B f(x) \ d\mu(x) - 2 \epsilon\]

Ce résultat étant valable pour tout \(\epsilon \strictsuperieur 0\) et aucune grandeur ne dépendant de \(\epsilon\), on a finalement :

\[\int_{A \cup B} f(x) \ d\mu(x) \ge \int_A f(x) \ d\mu(x) + \int_B f(x) \ d\mu(x)\]

  • Le supremum étant dans l'adhérence, on peut trouver une fonction \(w \in \mathcal{E}_{A \cup B}(f)\) telle que :

\[\int_{A \cup B} f(x) \ d\mu(x) - \epsilon \le \int_{A \cup B} w(x) \ d\mu(x)\]

Posons \(u = w \cdot \indicatrice_A\) et \(v = w \cdot \indicatrice_B\). On a :

\[w = w \cdot (\indicatrice_A + \indicatrice_B) = w \cdot \indicatrice_A + w \cdot \indicatrice_B = u + v\]

La multiplication par une fonction indicatrice conservant le caractère étagé d'une fonction, \(u\) et \(v\) sont étagées. On a :

\( u =

\begin{cases} w & \text{ sur } A \\ 0 & \text{ sur } B \end{cases}

\essinferieur

\begin{cases} f & \text{ sur } A \\ 0 & \text{ sur } B \end{cases}

\)

et :

\( v =

\begin{cases} 0 & \text{ sur } A \\ w & \text{ sur } B \end{cases}

\essinferieur

\begin{cases} 0 & \text{ sur } A \\ f & \text{ sur } B \end{cases}

\)

On en conclut que \(u\) est essentiellement inférieure à \(f \cdot \indicatrice_A\) et que \(v\) est essentiellement inférieure à \(f \cdot \indicatrice_B\). On a \(u \in \mathcal{E}_{A \cup B}(f \cdot \indicatrice_A)\) et \(v \in \mathcal{E}_{A \cup B}(f \cdot \indicatrice_B)\). On peut donc écrire :

\( \int_{A \cup B} u(x) \ d\mu(x) \le \int_{A \cup B} f(x) \cdot \indicatrice_A(x) \ d\mu(x) \\ \int_{A \cup B} v(x) \ d\mu(x) \le \int_{A \cup B} f(x) \cdot \indicatrice_B(x) \ d\mu(x) \)

inégalités que l'on peut réécrire sous la forme :

\( \int_{A \cup B} u(x) \ d\mu(x) \le \int_A f(x) \ d\mu(x) \\ \int_{A \cup B} v(x) \ d\mu(x) \le \int_B f(x) \ d\mu(x) \)

En utilisant la linéarité des intégrales des fonctions étagées, on a :

\begin{align} \int_{A \cup B} f(x) \ d\mu(x) - \epsilon &\le \int_{A \cup B} w(x) \ d\mu(x) \\ &\le \int_{A \cup B} [u(x) + v(x)] \ d\mu(x) \\ &\le \int_{A \cup B} u(x) \ d\mu(x) + \int_{A \cup B} v(x) \ d\mu(x) \\ &\le \int_A f(x) \ d\mu(x) + \int_B f(x) \ d\mu(x) \end{align}

Comme cette inégalité doit être valable pour tout \(\epsilon \strictsuperieur 0\), on a finalement :

\[\int_{A \cup B} f(x) \ d\mu(x) \le \int_A f(x) \ d\mu(x) + \int_B f(x) \ d\mu(x)\]

L'intégrale sur \(A \cup B\) devant être à la fois supérieure et inférieure à la somme de l'intégrale sur \(A\) et de l'intégrale sur \(B\), on en conclut que :

\[\int_{A \cup B} f(x) \ d\mu(x) = \int_A f(x) \ d\mu(x) + \int_B f(x) \ d\mu(x)\]

6.11.2 Généralisation

Nous allons étendre le résultat précédent aux fonctions mesurables quelconques. Soit la fonction mesurable \(f\). En utilisant la décomposition en fonctions positives \(f = f^+ - f^-\), on obtient :

\begin{align} \int_{A \cup B} f(x) \ d\mu(x) &= \int_{A \cup B} f^+(x) - \int_{A \cup B} f^-(x) \ d\mu(x) \\ &= \int_A f^+ + \int_B f^+ - \int_A f^- - \int_B f^- \\ &= \int_A f(x) \ d\mu(x) + \int_B f(x) \ d\mu(x) \end{align}

6.11.3 Corollaire

Si \(C \subseteq A\), les ensembles \(A \setminus C\) et \(C\) sont disjoints et d'union égale à \(A\). On a donc :

\[\int_A f(x) \ d\mu(x) = \int_{A \setminus C} f(x) \ d\mu(x) + \int_C f(x) \ d\mu(x) \ge \int_C f(x) \ d\mu(x)\]

6.11.4 Invariance

Soit un sous-ensemble essentiel \(C\) de \(A\). On a alors \(C = A \setminus Z\) avec \(Z \subseteq A\) et \(\mu(Z) = 0\). Les ensembles \(C\) et \(Z = A \setminus C\) sont disjoints et d'union égale à \(A\). Comme l'intégrale de \(f\) sur l'ensemble de mesure nulle \(Z\) est nulle, on a :

\begin{align} \int_A f(x) \ d\mu(x) &= \int_C f(x) \ d\mu(x) + \int_Z f(x) \ d\mu(x) \\ &= \int_C f(x) \ d\mu(x) + 0 \\ &= \int_C f(x) \ d\mu(x) \end{align}

L'intégrale est invariante lorsqu'on ajoute ou s'abstrait d'un ensemble de mesure nulle.

6.12 Union

Soit à présent \(A,B \in \mathcal{T}\) quelconques et une fonction intégrable \(f : A \cup B \mapsto \setR\). Comme \(A \setminus B\) et \(B\) sont disjoints et d'union égale à \(A \cup B\), on a :

\[\int_{A \cup B} f(x) \ d\mu(x) = \int_{A \setminus B} f(x) \ d\mu(x) + \int_B f(x) \ d\mu(x)\]

On peut également décomposer \(A\) en les ensembles disjoints \(A \setminus B\) et \(A \cap B\). Donc :

\[\int_A f(x) \ d\mu(x) = \int_{A \setminus B} f(x) \ d\mu(x) + \int_{A \cap B} f(x) \ d\mu(x)\]

et :

\[\int_{A \setminus B} f(x) \ d\mu(x) = \int_A f(x) \ d\mu(x) - \int_{A \cap B} f(x) \ d\mu(x)\]

En injectant cette relation dans l'expression de l'intégrale sur \(A \cup B\), on obtient :

\[\int_{A \cup B} f(x) \ d\mu(x) = \int_A f(x) \ d\mu(x) + \int_B f(x) \ d\mu(x) - \int_{A \cap B} f(x) \ d\mu(x)\]

6.12.1 Corollaire

Si l'ensemble \(A \cap B\) vérifie \(\mu(A \cap B) = 0\), l'intégrale correspondante est nulle et :

\[\int_{A \cup B} f(x) \ d\mu(x) = \int_A f(x) \ d\mu(x) + \int_B f(x) \ d\mu(x)\]

Il suffit donc d'avoir une intersection de mesure nulle (et pas forcément vide) pour vérifier l'additivité.

6.13 Convergence des mesures

Soit une fonction \(f : A \mapsto \setR\) essentiellement positive et intégrable. On a :

\[I = \int_A f(x) \ d\mu(x) \strictinferieur +\infty\]

Posons :

\( C(\alpha) = \{ x \in A : f(x) \le \alpha \} \\ Z(\alpha) = \{ x \in A : f(x) \strictsuperieur \alpha \} \)

pour tout \(\alpha \in \setR\). Il est clair que \(A = C(\alpha) \cup Z(\alpha)\). On a :

\[\int_{Z(\alpha)} f(x) \ d\mu(x) \le \int_{C(\alpha)} f(x) \ d\mu(x) + \int_{Z(\alpha)} f(x) \ d\mu(x) = I\]

Mais comme \(f \esssuperieur \alpha\) sur \(Z(\alpha)\), on a :

\[\infessentiel_{x \in Z(\alpha)} f(x) \ge \alpha\]

et :

\[\mu(Z(\alpha)) \cdot \alpha \le \mu(Z(\alpha)) \cdot \infessentiel_{x \in Z(\alpha)} f(x) \le \int_{Z(\alpha)} f(x) \ d\mu(x)\]

Rassemblant ces résultats, il vient :

\[\mu(Z(\alpha)) \cdot \alpha \le I\]

Soit \(\epsilon \strictsuperieur 0\). Si on choisit \(\alpha \ge I / \epsilon\), on a :

\[\mu(Z(\alpha)) \le \frac{I}{\alpha} \le \epsilon\]

On en déduit que :

\[\lim_{\alpha \to +\infty} \mu(Z(\alpha)) = \lim_{\alpha \to +\infty} \mu(\{ x \in A : f(x) \strictsuperieur \alpha \}) = 0\]

6.14 Convergence des intégrales

Soit une fonction \(f : A \mapsto \setR\) essentiellement positive et intégrable. On a :

\[I = \int_A f(x) \ d\mu(x) \strictinferieur +\infty\]

Soit la collection \(\{ C(\alpha) \in \sousens(A) : \alpha \in \setR \}\) et la collection associée \(\{ Z(\alpha) \in \sousens(A) : \alpha \in \setR \}\) définie par :

\[Z(\alpha) = A \setminus C(\alpha)\]

Nous supposons que :

\[\lim_{\alpha \to \infty} \mu(Z(\alpha)) = 0\]

et que \(Z(\alpha) \subseteq Z(\beta)\) pour tout \(\alpha,\beta \in \setR\) vérifiant \(\alpha \ge \beta\).

Soit le réel \(\epsilon \strictsuperieur 0\). Comme le supremum est dans l'adhérence, on peut trouver un \(w \in \mathcal{E}_A(f)\) tel que :

\[\int_A f(x) \ d\mu(x) \le \int_A w(x) \ d\mu(x) + \epsilon\]

Comme \(A = C(\alpha) \cup Z(\alpha)\), on a :

\( \int_A f(x) \ d\mu(x) = \int_{C(\alpha)} f(x) \ d\mu(x) + \int_{Z(\alpha)} f(x) \ d\mu(x) \\ \\ \int_A w(x) \ d\mu(x) = \int_{C(\alpha)} w(x) \ d\mu(x) + \int_{Z(\alpha)} w(x) \ d\mu(x) \)

pour tout \(\alpha \in \setR\). On en déduit que :

\[\int_{Z(\alpha)} f(x) \ d\mu(x) \le \int_{C(\alpha)} w(x) \ d\mu(x) - \int_{C(\alpha)} f(x) \ d\mu(x) + \int_{Z(\alpha)} w(x) \ d\mu(x) + \epsilon\]

Soit la fonction \(I : \setR \mapsto \setR\) définie par :

\[I(\alpha) = \int_{Z(\alpha)} f(x) \ d\mu(x) \ge 0\]

On sait que \(w \essinferieur f\). Par conséquent, \(\int w \le \int f\) sur \(C(\alpha)\) et :

\[I(\alpha) \le \int_{Z(\alpha)} w(x) \ d\mu(x) + \epsilon\]

Comme \(w\) est une fonction étagée, son supremum existe :

\[M = \supessentiel_{x \in A} w(x)\]

De plus, on a \(C(\alpha) \subseteq A\) pour tout \(\alpha \in \setR\), d'où :

\[S(\alpha) = \supessentiel_{x \in C(\alpha)} w(x) \le M\]

On a donc :

\[\int_{Z(\alpha)} w(x) \ d\mu(x) \le \mu(Z(\alpha)) \cdot S(\alpha) \le \mu(Z(\alpha)) \cdot M\]

et :

\[I(\alpha) \le \mu(Z(\alpha)) \cdot M + \epsilon\]

pour tout \(\alpha \in \setR\). Si \(\alpha \ge \beta\), on a \(Z(\alpha) \subseteq Z(\beta)\), d'où \(I(\alpha) \le I(\beta)\). La fonction \(I\) est décroissante et minorée par zéro. Elle admet donc une limite à l'infini. Comme \(M\) ne dépend pas de \(\alpha\), on a :

\[\lim_{\alpha \to +\infty} [\mu(Z(\alpha)) \cdot M + \epsilon] = 0 \cdot M + \epsilon = \epsilon\]

La limite de cette expression existe donc, et \(\limsup = \lim\). On en conclut que :

\[0 \le \lim_{\alpha \to +\infty} I(\alpha) \le \epsilon\]

Ce résultat devant être satisfait pour tout \(\epsilon \strictsuperieur 0\), on a :

\[\lim_{\alpha \to +\infty} I(\alpha) = 0\]

c'est-à-dire :

\[\lim_{\alpha \to +\infty} \int_{Z(\alpha)} f(x) \ d\mu(x) = 0\]

6.14.1 Corollaire

On en déduit que :

\begin{align} \int_A f(x) \ d\mu(x) &= \lim_{\alpha \to +\infty} \int_{C(\alpha)} f(x) \ d\mu(x) + \lim_{\alpha \to +\infty} \int_{Z(\alpha)} f(x) \ d\mu(x) \\ &= \lim_{\alpha \to +\infty} \int_{C(\alpha)} f(x) \ d\mu(x) + 0 \end{align}

d'où :

\[\lim_{\alpha \to +\infty} \int_{C(\alpha)} f(x) \ d\mu(x) = \int_A f(x) \ d\mu(x)\]

6.14.2 Généralisation

Soit \(f\) est une fonction intégrable de signe quelconque et sa décomposition en fonctions positives \(f = f^+ - f^-\). On a :

\( \lim_{\alpha \to +\infty} \int_{C(\alpha)} f^+(x) \ d\mu(x) = \int_A f^+(x) \ d\mu(x) \\ \\ \lim_{\alpha \to +\infty} \int_{C(\alpha)} f^-(x) \ d\mu(x) = \int_A f^-(x) \ d\mu(x) \)

On en déduit que :

\begin{align} \lim_{\alpha \to +\infty} \int_{C(\alpha)} f(x) \ d\mu(x) &= \lim_{\alpha \to +\infty} \int_{C(\alpha)} f^+ - \lim_{\alpha \to +\infty} \int_{C(\alpha)} f^- \\ &= \int_A f^+ - \int_A f^- \\ &= \int_A f(x) \ d\mu(x) \end{align}

6.15 Adhérence

Soit un ensemble \(A\) vérifiant \(\mu(A) \strictsuperieur 0\) et une fonction \(f : A \mapsto \setR\) mesurable, essentiellement positive et majorée :

\[M = \supessentiel_{x \in A} f(x) \strictinferieur +\infty\]

Comme \(\mu(A) \strictsuperieur 0\) et \(f \esssuperieur 0\), on a :

\[M \ge \infessentiel_{x \in A} f(x) \ge 0\]

Soit :

\[\Theta = \left\{ \supessentiel_{x \in A} [f(x) - w(x)] : w \in \mathcal{E}_A(f) \right\}\]

et :

\[\lambda = \inf_{w \in \mathcal{E}_A(f)} \supessentiel_{x \in A} [f(x) - w(x)]\]

Comme la fonction nulle \(0 \in \mathcal{E}_A(f)\), on a :

\[\lambda \le \supessentiel_{x \in A} [f(x) - 0] = M\]

Choisissons \(w \in \mathcal{E}_A(f)\). On a \(w \essinferieur f\), d'où \(f - w \esssuperieur 0\) et :

\[\supessentiel_{x \in A} [f(x) - w(x)] \ge \infessentiel_{x \in A} [f(x) - w(x)] \ge 0\]

Donc \(\Theta \ge 0\) et \(\lambda = \inf \Theta \ge 0\).

Si \(M = 0\), on a également \(\lambda \le 0\), d'où \(\lambda = 0\). Supposons à présent que \(M \strictsuperieur 0\). Nous allons construire une suite \(\{ w_n : n \in \setN \} \subseteq \mathcal{E}_A(f)\) convergeant vers \(f\) au sens du supremum essentiel. Posons \(w_0 = 0 \in \mathcal{E}_A(f)\), le réel \(\Delta_0 = M / 2\) et l'ensemble :

\[A_0 = \{ x \in A : f(x) - w_0(x) \strictsuperieur \Delta_0 \}\]

On construit ensuite la fonction \(w_1\) par :

\( w1 = w0 + Δ0 ⋅ \indicatrice[A_0] =

\begin{cases} w_0 + \Delta_0 & \text{ sur } A_0 \\ w_0 & \text{ sur } A \setminus A_0 \end{cases}

\)

La fonction \(\Delta_0 \cdot \indicatrice[A_0]\) étant étagée, \(w_1\) l'est aussi. En utilisant \(w_0 \essinferieur f\) sur \(A\) et \(w_0 + \Delta_0 \strictinferieur f\) sur \(A_0\), on obtient :

\( w1 =

\begin{cases} w_0 + \Delta_0 & \text{ sur } A_0 \\ w_0 & \text{ sur } A \setminus A_0 \end{cases}

\essinferieur

\begin{cases} f & \text{ sur } A_0 \\ f & \text{ sur } A \setminus A_0 \end{cases}

\)

On en conclut que \(w_1 \essinferieur f\) et que \(w_1 \in \mathcal{E}_A(f)\). Sur \(A \setminus A_0\), on a par définition \(f - w_1 = f - w_0 \le \Delta_0\). Sur \(A_0\), on a :

\[f - w_1 = f - w_0 - \Delta_0 \le M - \frac{M}{2} = \frac{M}{2}\]

On en conclut que :

\[\supessentiel_{x \in A} [f(x) - w_1(x)] \le \frac{M}{2} = \Delta_0\]

Supposons à présent être arrivé à l'étape \(n - 1\) avec la fonction étagée \(w_{n - 1}\) vérifiant \(w_{n - 1} \essinferieur f\) et :

\[\supessentiel_{x \in A} [f(x) - w_{n - 1}(x)] \le \Delta_{n - 1}\]

On construit l'étape \(n\) par :

\begin{align} \Delta_n &= \Delta_{n - 1} / 2 \\ A_n &= \{ x \in A : f(x) - w_{n - 1}(x) \strictsuperieur \Delta_n \} \\ w_n &= w_{n - 1} + \Delta_n \cdot \indicatrice[A_n] \end{align}

La fonction \(\Delta_n \cdot \indicatrice[A_n]\) étant étagée, \(w_n\) l'est aussi. En utilisant \(w_{n - 1} \essinferieur f\) sur \(A\) et \(w_{n - 1} + \Delta_n \strictinferieur f\) sur \(A_n\), on obtient :

\( wn =

\begin{cases} w_{n - 1} + \Delta_n & \text{ sur } A_n \\ w_{n - 1} & \text{ sur } A \setminus A_n \end{cases}

\essinferieur

\begin{cases} f & \text{ sur } A_n \\ f & \text{ sur } A \setminus A_n \end{cases}

\)

On en conclut que \(w_n \essinferieur f\) et que \(w_n \in \mathcal{E}_A(f)\). Sur \(A \setminus A_n\), on a \(f - w_n = f - w_{n - 1} \le \Delta_n\). Sur \(A_n\), on a :

\[f - w_n = f - w_{n - 1} - \Delta_n \le \Delta_{n - 1} - \Delta_n = 2 \Delta_n - \Delta_n = \Delta_n\]

On a donc :

\[\supessentiel_{x \in A} [f(x) - w_n(x)] \le \Delta_n\]

Comme :

\[\Delta_n = \frac{\Delta_{n - 1}}{2} = ... = \frac{\Delta_0}{2^{n - 1}} = \frac{M}{2^n}\]

On voit que :

\[0 \le \supessentiel_{x \in A} [f(x) - w_n(x)] \le \frac{M}{2^n}\]

Comme :

\[\limsup_{n \to \infty} \frac{M}{2^n} = \liminf_{n \to \infty} 0 = 0\]

la limite de \(\supessentiel_{x \in A} [f(x) - w_n(x)]\) existe et :

\[\lim_{n \to \infty} \supessentiel_{x \in A} [f(x) - w_n(x)] = 0\]

Pour tout réel \(\epsilon \strictsuperieur 0\), on peut donc trouver un \(n\) tel que :

\[\supessentiel_{x \in A} [f(x) - w_m(x)] \le \epsilon\]

pour tout \(m \in \setN\) vérifiant \(m \ge n\). Par conséquent, \(\lambda\) ne peut pas être strictement positif et :

\[\inf_{w \in \mathcal{E}_A(f)} \supessentiel_{x \in A} [f(x) - w(x)] = 0\]

6.16 Multiplication par un réel

Soit une fonction intégrable \(f\) essentiellement positive et le réel \(\lambda \strictsuperieur 0\). Si \(w\) est une fonction étagée, on voit que \(w \le f \Leftrightarrow \lambda \cdot w \le \lambda \cdot f\). On peut donc associer une fonction \(\lambda \cdot w \in \mathcal{E}_A(\lambda \cdot f)\) à toute fonction \(w \in \mathcal{E}_A(f)\), et réciproquement. Par linéarité de l'intégrale des fonctions étagées, on en conclut que :

\[\int_A \lambda \cdot w(x) \ d\mu(x) = \lambda \cdot \int_A w(x) \ d\mu(x)\]

En passant au supremum sur \(w \in \mathcal{E}_A(f) \Leftrightarrow \lambda \cdot w \in \mathcal{E}_A(\lambda \cdot f)\), on obtient donc :

\[\int_A \lambda \cdot f(x) \ d\mu(x) = \lambda \cdot \int_A f(x) \ d\mu(x)\]

Le même résultat est bien évidemment vérifié lorsque \(\lambda = 0\). Lorsque \(\lambda \strictinferieur 0\), on pose \(\alpha = - \lambda \strictsuperieur 0\). On a alors :

\begin{align} \int_A \lambda \cdot f(x) \ d\mu(x) &= \int_A - \alpha \cdot f(x) \ d\mu(x) \\ &= - \int_A \alpha \cdot f(x) \ d\mu(x) \\ &= - \alpha \int_A f(x) \ d\mu(x) \\ &= \lambda \int_A f(x) \ d\mu(x) \end{align}

Nous avons donc prouvé la relation pour tout \(\lambda \in \setR\).

6.17 Addition

6.17.1 Positives et majorées

Soit deux fonctions \(f,g : A \mapsto \setR\) intégrables, essentiellement positives et majorées :

\( \supessentiel \{ f(x) : x \in A \} \strictinferieur +\infty \\ \supessentiel \{ g(x) : x \in A \} \strictinferieur +\infty \)

Soit le réel \(\epsilon \strictsuperieur 0\).

  • Le supremum étant dans l'adhérence, on peut trouver un \(u \in \mathcal{E}_A(f)\) tel que :

\[\int_A u(x) \ d\mu(x) \ge \int_A f(x) \ d\mu(x) - \epsilon\]

et un \(v \in \mathcal{E}_A(g)\) tel que :

\[\int_A v(x) \ d\mu(x) \ge \int_A g(x) \ d\mu(x) - \epsilon\]

On sait que \(u + v\) est une fonction étagée. Les conditions \(u \essinferieur f\) et \(v \essinferieur g\) impliquent que \(u + v \essinferieur f + g\). On a donc \(u + v \in \mathcal{E}_A(f + g)\). En utilisant la linéarité des intégrales de fonctions étagées et la définition du supremum, il vient :

\begin{align} \int_A u(x) \ d\mu(x) + \int_A v(x) \ d\mu(x) &= \int_A [u(x) + v(x)] \ d\mu(x) \\ &\le \int_A [f(x) + g(x)] \ d\mu(x) \end{align}

En rassemblant ces résultats, on obtient :

\[\int_A f(x) \ d\mu(x) + \int_A g(x) \ d\mu(x) - 2 \epsilon \le \int_A [f(x) + g(x)] \ d\mu(x)\]

Cette relation étant valable quel que soit \(\epsilon \strictsuperieur 0\), on a  :

\[\int_A f(x) \ d\mu(x) + \int_A g(x) \ d\mu(x) \le \int_A [f(x) + g(x)] \ d\mu(x)\]

  • Comme \(f\) et \(g\) sont essentiellement majorées, on peut trouver un \(u \in \mathcal{E}_A(f)\) et un \(v \in \mathcal{E}_A(g)\) vérifiant :

\( \supessentiel \{ f(x) - u(x) : x \in A \} \le \epsilon \\ \supessentiel \{ g(x) - v(x) : x \in A) \} \le \epsilon \)

Donc \(f \essinferieur u + \epsilon\) et \(g \essinferieur v + \epsilon\). On en conclut que \(f + g \essinferieur u + v + 2 \epsilon\), d'où :

\begin{align} \int_A [f(x) + g(x)] \ d\mu(x) &\le \int_A [u(x) + v(x) + 2 \epsilon] \ d\mu(x) \\ &\le \int_A u(x) \ d\mu(x) + \int_A v(x) \ d\mu(x) + 2 \epsilon \cdot \mu(A) \end{align}

par linéarité des intégrales de fonctions étagées. On a aussi, par définition du supremum :

\( \int_A u(x) \ d\mu(x) \le \int_A f(x) \ d\mu(x) \\ \\ \int_A v(x) \ d\mu(x) \le \int_A g(x) \ d\mu(x) \)

On a finalement la borne :

\[\int_A [f(x) + g(x)] \ d\mu(x) \le \int_A f(x) \ d\mu(x) + \int_A g(x) \ d\mu(x) + 2 \epsilon \cdot \mu(A)\]

Cette inégalité devant être satisfaite pour tout \(\epsilon \strictsuperieur 0\), on en déduit que :

\[\int_A [f(x) + g(x)] \ d\mu(x) \le \int_A f(x) \ d\mu(x) + \int_A g(x) \ d\mu(x)\]

L'intégrale de \(f + g\) devant être simultanément supérieure et inférieure à la somme de l'intégrale de \(f\) et de l'intégrale de \(g\), on en conclut que :

\[\int_A [f(x) + g(x)] \ d\mu(x) = \int_A f(x) \ d\mu(x) + \int_A g(x) \ d\mu(x)\]

6.17.2 Positives

Soit deux fonctions \(f,g\) intégrables et essentiellement positives. Posons :

\( F(\alpha) = \{ x \in A : f(x) \le \alpha \} \\ G(\alpha) = \{ x \in A : g(x) \le \alpha \} \)

et :

\( N(\alpha) = \{ x \in A : f(x) \strictsuperieur \alpha \} = A \setminus F(\alpha) \\ T(\alpha) = \{ x \in A : g(x) \strictsuperieur \alpha \} = A \setminus G(\alpha) \)

pour tout \(\alpha \in \setR\). Pour tous réels \(\alpha,\beta\) vérifiant \(\alpha \ge \beta\), il est clair que \(N(\alpha) \subseteq N(\beta)\) et \(T(\alpha) \subseteq T(\beta)\). Soit :

\[C(\alpha) = F(\alpha) \cap G(\alpha) = A \setminus (N(\alpha) \cup T(\alpha))\]

et :

\[Z(\alpha) = A \setminus C(\alpha) = N(\alpha) \cup T(\alpha)\]

Choisissons des réels \(\alpha,\beta\) tels que \(\alpha \ge \beta\) et un \(x \in Z(\alpha)\). On a soit \(x \in N(\alpha)\), d'où \(x \in N(\beta)\) et \(x \in Z(\beta)\), soit \(x \in T(\alpha)\), d'où \(x \in T(\beta)\) et \(x \in Z(\beta)\). On en conclut que \(Z(\alpha) \subseteq Z(\beta)\). On voit que :

\[0 \le \mu(Z(\alpha)) \le \mu(N(\alpha)) + \mu(T(\alpha))\]

Comme :

\[\limsup_{\alpha \to +\infty} [\mu(N(\alpha)) + \mu(T(\alpha))] = \liminf_{\alpha \to +\infty} 0 = 0\]

la fonction \(\alpha \mapsto \mu(Z(\alpha))\) converge et :

\[\lim_{\alpha \to +\infty} \mu(Z(\alpha)) = 0\]

Si \(\varphi\) est intégrable, par exemple \(\varphi \in \{f, g, f + g\}\), on a donc :

\[\lim_{\alpha \to +\infty} \int_{C(\alpha)} \varphi(x) \ d\mu(x) = \int_A \varphi(x) \ d\mu(x)\]

Sur \(C(\alpha) \subseteq F(\alpha)\), on a \(0 \essinferieur f \essinferieur \alpha\). Le supremum essentiel existe par conséquent sur \(C(\alpha)\) et :

\[0 \le \supessentiel \{ f(x) : x \in C(\alpha) \} \le \alpha\]

On conclut de même que :

\[0 \le \supessentiel \{ g(x) : x \in C(\alpha) \} \le \alpha\]

Les fonctions \(f\) et \(g\) sont donc essentiellement majorées sur \(C(\alpha)\) et on a :

\[\int_{C(\alpha)} [f(x) + g(x)] \ d\mu(x) = \int_{C(\alpha)} f(x) \ d\mu(x) + \int_{C(\alpha)} g(x) \ d\mu(x)\]

Passant à la limite pour \(\alpha \to +\infty\), on obtient alors :

\[\int_A [f(x) + g(x)] \ d\mu(x) = \int_A f(x) \ d\mu(x) + \int_A g(x) \ d\mu(x)\]

6.17.3 Soustraction

Soit \(f,g\) deux fonctions intégrables essentiellement positives vérifiant \(h = f - g \esssuperieur 0\). Comme \(f = g + h\), on a :

\[\int_A f(x) \ d\mu(x) = \int_A g(x) \ d\mu(x) + \int_A h(x) \ d\mu(x)\]

On en déduit que :

\[\int_A h(x) \ d\mu(x) = \int_A f(x) \ d\mu(x) - \int_A g(x) \ d\mu(x)\]

c'est-à-dire :

\[\int_A [f(x) - g(x)] \ d\mu(x) = \int_A f(x) \ d\mu(x) - \int_A g(x) \ d\mu(x)\]

6.17.4 Généralisation

Soit deux fonctions intégrables \(f,g\) et leurs décompositions en fonctions positives \(f = f^+ - f^-\) et \(g = g^+ - g^-\). Posons :

\( s^+ = f^+ + g^+ \\ s^- = f^- + g^- \)

On a :

\[f + g = f^+ - f^- + g^+ - g^- = (f^+ + g^+) - (f^- + g^-) = s^+ - s^-\]

Décomposons \(A\) en les ensembles :

\( P = \{ x \in A : s^+(x) - s^-(x) \ge 0 \} \\ M = \{ x \in A : s^+(x) - s^-(x) \strictinferieur 0 \} \)

Comme \(s^+ - s^- \esssuperieur 0\) sur \(P\), on a :

\[\int_P [s^+(x) - s^-(x)] \ d\mu(x) = \int_P s^+(x) \ d\mu(x) - \int_P s^-(x) \ d\mu(x)\]

Comme \(s^+ - s^- \essinferieur 0\) sur \(M\), on y a \(s^- - s^+ \esssuperieur 0\) et :

\begin{align} \int_M [s^+(x) - s^-(x)] \ d\mu(x) &= - \int_M [s^-(x) - s^+(x)] \ d\mu(x) \\ &= - \left[ \int_M s^-(x) \ d\mu(x) - \int_M s^+(x) \ d\mu(x) \right] \\ &= \int_M s^+(x) \ d\mu(x) - \int_M s^-(x) \ d\mu(x) \end{align}

Rassemblant ces résultats, il vient :

\begin{align} \int_A [f(x) + g(x)] \ d\mu(x) &= \int_A [s^+(x) - s^-(x)] \ d\mu(x) \\ &= \int_P [s^+(x) - s^-(x)] \ d\mu(x) + \int_M [s^+(x) - s^-(x)] \ d\mu(x) \\ &= \int_P s^+ - \int_P s^- + \int_M s^+ - \int_M s^- \\ &= \int_A s^+ - \int_A s^- \\ &= \int_A [f^+(x) + g^+(x)] \ d\mu(x) - \int_A [f^-(x) + g^-(x)] \ d\mu(x) \\ &= \int_A f^+ + \int_A g^+ - \int_A f^- - \int_A g^- \\ &= \int_A f(x) \ d\mu(x) + \int_A g(x) \ d\mu(x) \end{align}

L'intégrale d'une somme est la somme des intégrales.

6.18 Linéarité

Soit les réels \(\alpha,\beta\) et les fonctions intégrables \(f,g : A \mapsto \setR\). On a :

\begin{align} \int_A [\alpha \cdot f(x) + \beta \cdot g(x)] \ d\mu(x) &= \int_A \alpha \cdot f(x) \ d\mu(x) + \int_A \beta \cdot g(x) \ d\mu(x) \\ &= \alpha \cdot \int_A f(x) \ d\mu(x) + \beta \cdot \int_A g(x) \ d\mu(x) \end{align}

L'intégrale est linéaire.

7 Intégrales et mesures

7.1 Addition de mesure

Soit les mesures \(\gamma, \lambda\) et la mesure \(\mu\) définie par :

\[\mu = \gamma + \lambda\]

Soit un ensemble \(A\) et une fonction \(w \in \etagee(A)\). On peut trouver des \(w_i \in \setR\) et des \(A_i \in \mathcal{T}\) formant une partition de \(A\) et tels que :

\[w(x) = \sum_{i = 1}^n w_i \cdot \indicatrice_{A_i}(x)\]

On a alors :

\begin{align} \int_A w(x) \ d\mu(x) &= \sum_{i = 1}^n w_i \cdot \mu(A_i) \\ &= \sum_{i = 1}^n w_i \cdot (\gamma(A_i) + \lambda(A_i)) \\ &= \sum_{i = 1}^n w_i \cdot \gamma(A_i) + \sum_{i = 1}^n w_i \cdot \lambda(A_i) \\ &= \int_A w(x) \ d\gamma(x) + \int_A w(x) \ d\lambda(x) \end{align}

En passant au suprémum sur toutes les fonctions étagées \(w\) essentiellement inférieures à une fonction positive intégrable, puis en utilisant la définition d'une fonction intégrable \(f\) on en déduit que :

\[\int_A f(x) \ d(\gamma + \lambda)(x) = \int_A f(x) \ d\gamma(x) + \int_A f(x) \ d\lambda(x)\]

7.2 Mesure de Lebesgue

Soit \(A \subseteq \setR^n\) et \(\mu_L\) la mesure de Lebesgue. On note alors \(d\mu_L(x) = dx\) ou :

\[d\mu_L(x) = dx = dx_1 \ ... \ dx_n\]

et :

\[\int_A f(x) \ dx = \int_A f(x) \ d\mu_L(x)\]

7.3 Intégrale de Stieltjes

Soit la fonction croissante \(\gamma : A \mapsto \setR\). L'intégrale de Stieltjes associée à \(\gamma\) se note :

\[\int_A f(x) \ d\gamma(x)\]

Elle se définit d'après la mesure de Stieltjes \(\mu_\gamma\) associée à \(\gamma\) :

\[\int_A f(x) \ d\gamma(x) = \int_A f(x) \ d\mu_\gamma(x)\]

7.3.1 Fonction à variation bornée

Nous allons étendre la définition à des fonctions non nécessairement croissantes. Soit une fonction \(g : [\alpha,\beta] \mapsto \setR\) et \(S[a,b]\) l'ensemble des suites réelles croissantes inclues dans \([a,b]\) :

\[S[a,b] = \Big\{ \{x_0, x_1, x_2, ..., x_n \} : a \le x_0 \le x_1 \le x_2 \le ... \le b, \ n \in \setN \Big\}\]

Nous supposons que la fonction \(g\) nous permet de définir les fonctions \(\sigma,\lambda\) associées par :

\[\sigma(x) = \sup \accolades{ \sum_{i = 0}^n \max\{g(x_{i + 1}) - g(x_i), 0\} : \{x_0, x_1, ..., x_n \} \in S[\alpha,x] }\]

et :

\[\lambda(x) = - \inf \accolades{ \sum_{i = 0}^n \min\{g(x_{i + 1}) - g(x_i), 0\} : \{x_0, x_1, ..., x_n \} \in S[\alpha,x] }\]

pour tout \(x \in [\alpha,\beta]\). Il est clair que les fonctions \(\sigma, \lambda\) sont croissantes. On peut donc définir l'intégrale de Stieltjes associée à \(g\) par :

\[\int_A f(x) \ dg(x) = \int_A f(x) \ d\sigma(x) - \int_A f(x) \ d\lambda(x)\]

7.3.2 Positivité

L'intégrale de Stieltjes d'une fonction essentiellement positive n'est généralement pas positive.

7.4 Mesure pondérée

Soit une fonction essentiellement positive \(\varphi\) telle que la fonction \(\mu\) associée définie par :

\[\mu(A) = \int_A \varphi(x) \ dx\]

soit une mesure. Considérons une fonction \(w \in \mathcal{E}_A(f)\), avec :

\[w = \sum_i w_i \cdot \indicatrice_{A_i}\]

où les \(A_i\) forment une partition de \(A\) et où les \(w_i \in \setR\). On a alors :

\[\int_A w(x) \ d\mu(x) = \sum_i w_i \cdot \int_{A_i} \varphi(x) \ dx\]

Par linéarité de l'intégrale, on voit aussi que :

\begin{align} \int_A w(x) \cdot \varphi(x) \ dx &= \sum_i w_i \cdot \int_A \varphi(x) \cdot \indicatrice_{A_i}(x) \ dx \\ &= \sum_i w_i \cdot \int_{A_i} \varphi(x) \ dx \end{align}

On en conclut que :

\[\int_A w(x) \ d\mu(x) = \int_A w(x) \cdot \varphi(x) \ dx\]

Comme \(\varphi\) est positive, on a l'équivalence entre \(w \essinferieur f\) et \(w \cdot \varphi \essinferieur f \cdot \varphi\). En passant au supremum, on obtient donc :

\[\int_A f(x) \ d\mu(x) = \int_A f(x) \cdot \varphi(x) \ dx\]

pour toute fonction intégrable \(f : A \to \setR\). On note symboliquement :

\[d\mu(x) = \varphi(x) \ dx\]

7.4.1 Problème inverse

Remarquons qu'on ne sait généralement pas faire correspondre une fonction \(\varphi\) à une mesure \(\mu\) donnée.

7.5 Mesure de Dirac

L'intégrale d'une fonction \(f : \setR \to \setR\) par rapport à une mesure de Dirac \(\mu_D^a\) est fort simple à calculer. En effet :

\[\int_A d\mu_D^a(x) = \mu_D^a(A) = \indicatrice_A(a)\]

par définition. Si \(a \notin A\), l'ensemble \(A\) est de mesure nulle et :

\[\int_A f(x) \ d\mu_D^a(x) = 0\]

Considérons à présent le cas où \(a \in A\). L'ensemble \(A \setminus \{a\}\) étant disjoint de \(\{a\}\) et de mesure nulle :

\[\int_{A \setminus \{a\}} d\mu_D^a(x) = \indicatrice_{A \setminus \{a\}}(a) = 0\]

on a :

\[\int_A f(x) \ d\mu_D^a(x) = \int_{\{a\}} f(x) \ d\mu_D^a(x)\]

La fonction \(f\) étant constante sur \(\{a\}\) et valant \(f(a)\), on a finalement :

\[\int_A f(x) \ d\mu_D^a(x) = f(a) \cdot \indicatrice_{\{a\}}(a) = f(a)\]

Dans le cas général, on a donc :

\[\int_A f(x) \ d\mu_D^a(x) = f(a) \cdot \indicatrice_A(a)\]

On note également :

\[\int_A f(x) \ \indicatrice(x - a) \ dx = f(a) \cdot \indicatrice_A(a)\]

7.6 Pondérée - Dirac

Soit une mesure \(\mu\) définie par :

\[d\mu(x) = \left[ \varphi(x) + \sum_i \alpha_i \cdot \indicatrice(x - x_i) \right] \ dx\]

où les \(\alpha_i \in \setR\). Si les \(x_i\) appartiennent tous à \(A\), l'intégrale d'une fonction \(f\) par rapport à cette mesure s'écrit :

\[\int_A f(x) \ d\mu(x) = \int_A f(x) \cdot \varphi(x) \ dx + \sum_i \alpha_i \cdot f(x_i)\]

8 Intégrales unidimensionnelles

8.1 Intreduction

Soit une fonction \(f : \setR \mapsto \setR\) et \(a,b \in \setR\) tels que \(a \le b\).

8.1.1 Intervalle

On définit la notation particulière :

\[\int_a^b f(x) \ d\mu(x) = \int_{[a,b]} f(x) \ d\mu(x)\]

8.1.2 Intervalle inversé

On étend la notation à des « intervalles » inversés par :

\[\int_b^a f(x) \ d\mu(x) = - \int_a^b f(x) \ d\mu(x)\]

8.1.3 Intervalle ouvert

Pour les intervalles ouverts, on considère la limite :

\[\int_{]a,b[} f(x) \ d\mu(x) = \lim_{(s,t) \to (a,b)} \int_s^t f(x) \ d\mu(x)\]

8.1.4 Infini

Quand une des bornes de l'intervalle tend vers l'infini, on définit l'intégrale par :

\( \int_a^{+\infty} f(x) \ d\mu(x) = \lim_{b \to +\infty} \int_a^b f(x) \ d\mu(x) \\ \int_{-\infty}^b f(x) \ d\mu(x) = \lim_{a \to -\infty} \int_a^b f(x) \ d\mu(x) \)

8.1.5 Sur l'ensemble des réels

Enfin, l'intégrale sur \(\setR\) entier est définie par :

\[\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \ d\mu(x) = \int_\setR f(x) \ d\mu(x) = \lim_{a \to -\infty} \int_{-a}^a f(x) \ d\mu(x)\]

8.2 Additivité d'intervalles

Soit \(a,b,c,\alpha,\beta \in \setR\) avec \(\alpha \le a,b,c \le \beta\). Soit une fonction intégrable \(f : [\alpha,\beta] \mapsto \setR\). Posons :

\[I(x,y) = \int_x^y f(\xi) \ d\xi\]

où \(d\xi = d\mu_L(\xi)\) est la mesure de Lebesgue. Par définition, on a :

\[I(y,x) = - I(x,y)\]

Si \(a \le b \le c\), on a :

\[\mu_L( [a,b] \cap [b,c] ) = \mu_L( \{ b \} ) = 0\]

L'additivité nous donne alors :

\[I(a,c) = I(a,b) + I(b,c)\]

Si \(a \le c \le b\), on a :

\[\mu_L( [a,c] \cap [c, b] ) = \mu_L( \{ c \} ) = 0\]

et :

\[I(a,b) = I(a,c) + I(c,b)\]

On en déduit que :

\[I(a,c) = I(a,b) - I(c,b) = I(a,b) + I(b,c)\]

On vérifie pareillement, en considérant tous les cas, que \(I(a,b) = I(a,c) + I(c,b)\) quel que soit l'ordre des réels \(a,b,c\). On a donc :

\[\int_a^c f(x) \ dx = \int_a^b f(x) \ dx + \int_b^c f(x) \ dx\]

8.3 Valeur moyenne d'une intégrale

Soit la fonction intégrable et continue \(f : [a,b] \mapsto \setR\). Pour la mesure de Lebesgue, on a :

\( \supessentiel \{ f(x) : x \in [a,b] \} = \max f([a,b]) \\ \infessentiel \{ f(x) : x \in [a,b] \} = \min f([a,b]) \)

Les bornes d'une fonction continue sur un intervalle fermé étant atteintes, on peut trouver des réels \(\sigma,\lambda \in [a,b]\) tels que :

\( f(\sigma) = \max f([a,b]) \\ f(\lambda) = \min f([a,b]) \)

Les bornes de l'intégrales nous disent que :

\[f(\lambda) \le \unsur{b - a} \int_a^b f(s) ds \le f(\sigma)\]

Le théorème des valeurs intermédiaires nous permet alors de trouver un \(c\) compris entre \(\lambda\) et \(\sigma\) (et donc dans \([a,b]\)) tel que :

\[f(c) = \unsur{b - a} \int_a^b f(s) ds\]

9 Les espaces fonctionnels

9.1 Dépendances

  • Chapitre \ref{chap:mesure} : Les normes
  • Chapitre \ref{chap:ps} : Les produits scalaires
  • Chapitre \ref{chap:integral} : Les intégrales

9.2 Fonctions intégrables

Soit une fonction \(f : A \mapsto \setR\) et sa décomposition en fonctions positives \(f = f^+ - f^-\). Soit \(\abs{f} : A \mapsto \setR\) définie par :

\[\abs{f}(x) = \abs{f(x)}\]

pour tout \(x \in A\). Si \(f(x) \ge 0\), on a \(f^-(x) = 0\) et :

\[\abs{f(x)} = f(x) = f^+(x) = f^+(x) + f^-(x)\]

Si \(f(x) \strictinferieur 0\), on a \(f^+(x) = 0\) et :

\[\abs{f(x)} = -f(x) = f^-(x) = f^+(x) + f^-(x)\]

On en conclut que \(\abs{f} = f^+ + f^-\). Si \(f\) est intégrable, \(f^+\) et \(f^-\) le sont aussi et :

\[\int_A \abs{f(x)} \ d\mu(x) = \int_A f^+(x) \ d\mu(x) + \int_A f^-(x) \ d\mu(x) \strictinferieur +\infty\]

La fonction \(\abs{f}\) est donc également intégrable. Inversément, si \(\abs{f}\) est intégrable, on a \(f^+ = \abs{f} - f^- \le \abs{f}\) et \(f^- = \abs{f} - f^+ \le \abs{f}\), d'où :

\( \int_A f^+(x) \ d\mu(x) \le \int_A \abs{f(x)} \ d\mu(x) \strictinferieur +\infty \\ \\ \int_A f^-(x) \ d\mu(x) \le \int_A \abs{f(x)} \ d\mu(x) \strictinferieur +\infty \)

La fonction \(f\) est donc également intégrable. On en conclut que l'on peut représenter l'ensemble des fonctions intégrables par :

\[\lebesgue(A) = \left\{ f \in \setR^A : \int_A \abs{f(x)} \ d\mu(x) \strictinferieur +\infty \right\}\]

9.3 Intégrale complexe

Soit une fonction à valeurs complexes \(u : A \mapsto \setC\). On définit les fonctions à valeurs réelles associées \(v,w : A \mapsto \setR\) par :

\( \phi(x) = \Re(u(x)) \\ \psi(x) = \Im(u(x)) \\ \)

L'intégrale de la fonction \(u\) est alors définie par :

\[\int_A u(x) \ d\mu(x) = \int_A \phi(x) \ d\mu(x) + \img \int_A \psi(x) \ d\mu(x)\]

9.4 Produit scalaire

Par analogie avec le produit scalaire sur \(\corps^n\) :

\[\scalaire{x}{y} = \sum_i \conjaccent{x}_i \cdot y_i \equiv \sum_i \conjaccent{x}(i) \cdot y(i)\]

on définit le produit scalaire entre deux fonctions \(u,v : A \mapsto \setC\) par :

\[\scalaire{u}{v} = \int_A \conjaccent{u(x)} \cdot v(x) \ d\mu(x)\]

Cette application est clairement hermitienne et linéaire à droite. Comme l'intégrale d'une fonction positive est positive, on a aussi :

\[\scalaire{u}{u} = \int_A \abs{u(x)}^2 \ d\mu(x) \ge 0\]

Il ne s'agit cependant pas tout à fait d'un produit scalaire, car la condition :

\[\scalaire{u}{u} = \int_A \abs{u(x)}^2 \ d\mu(x) = 0\]

n'implique pas que \(u = 0\) partout sur \(A\). Par contre, l'annulation de cette intégrale implique que la fonction positive \(x \mapsto \abs{u(x)}^2\) soit essentiellement nulle. On aura donc également \(u \essegal 0\). L'application \(\scalaire{}{}\) est donc essentiellement un produit scalaire. On parlera aussi de produit scalaire au sens faible. La norme essentielle (ou norme faible) associée est :

\[\norme{u} = \sqrt{ \scalaire{u}{u} } = \sqrt{ \int_A \abs{u(x)}^2 \ d\mu(x) }\]

Sur quel espace ce « produit scalaire » est-il correctement défini ? Il faut que la norme associée soit finie :

\[\norme{u}^2 = \scalaire{u}{u} = \int_A \abs{u(x)}^2 \ d\mu(x) \strictinferieur +\infty\]

Si les normes de \(u\) et \(v\) sont finies, Cauchy-Schwartz nous garantit que :

\[\abs{\int_A \conjaccent{u(x)} \cdot v(x) \ d\mu(x)} \le \left[ \int_A \abs{u(x)}^2 \ d\mu(x) \right] \cdot \left[ \int_A \abs{v(x)}^2 \ d\mu(x) \right] \strictinferieur +\infty\]

Nous définissons donc notre produit scalaire fonctionnel sur l'espace :

\[\lebesgue^2(A) = \left\{ u \in \setC^A : \int_A \abs{u(x)}^2 \ d\mu(x) \strictinferieur +\infty \right\}\]

nommé espace de Lebesgue de degré \(2\).

9.5 Espaces de Lebesgue

L'espace de Lebesgue de degré \(k\) est l'ensemble des fonctions telles que l'intégrale de la puissance \(k\) existe (et ne soit donc pas infinie) :

\[\lebesgue^k(A,B) = \left\{ u \in \setC^A : \int_A \abs{u(x)}^k \ d\mu(x) \strictinferieur +\infty \right\}\]

9.5.1 Norme

La norme usuelle sur cet espace est définie par :

\[\norme{u}_k = \left[ \int_A \abs{u(x)}^k \ dx \right]^{1/k}\]

Il s'agit d'une norme faible.

9.6 Espace de fonctions essentiellement bornées

Par analogie avec la norme « max », on définit l'espace des fonctions essentiellement bornées par :

\[\lebesgue^\infty(A,B) = \left\{ u \in \setR^A : \supessentiel \{ \abs{u(x)} : x \in A \} \strictinferieur +\infty \right\}\]

9.7 Noyau

On peut généraliser le produit scalaire usuel de \(\lebesgue^2(A,B)\) en généralisant la notion de « matrice de produit scalaire ». On choisit une fonction \(K : A^2 \to B\) appelée « noyau » et on définit le produit scalaire associé :

\[\braket{u}{K}{v} = \scalaire{u}{v}_K = \int_{A^2} u(x) \cdot K(x,y) \cdot v(y) \ d\mu(x) \ d\mu(y)\]

Ce noyau doit bien entendu respecter certaines propriétés afin de s'assurer que \(\scalaire{}{}_K\) soit bien un produit scalaire.

10 Convergence et intégration

10.1 Convergence monotone

Soit une suite de fonctions intégrables :

\[\{ u_n \in \setR^A : n \in \setR \}\]

Nous supposons que \(u_n \esssuperieur 0\) pour tout \(n \in \setN\) et que la suite soit essentiellement croissante :

\[u_0 \essinferieur u_1 \essinferieur u_2 \essinferieur u_3 \essinferieur ...\]

Nous supposons également que la fonction :

\[s = \sup \{ u_n : n \in \setN\}\]

est bien définie et intégrable :

\[S = \int_A s(x) \ d\mu(x) \strictinferieur +\infty\]

10.1.1 Convergence des fonctions

Pour tout \(n \in \setN\), on a \(u_n \essinferieur u_{n + 1}\) et l'ensemble :

\[Z_n = \{ x \in A : u_n(x) \strictsuperieur u_{n + 1}(x) \}\]

est de mesure nulle. Il en va donc de même pour leur union :

\[Z = \bigcup_n Z_n\]

L'ensemble \(\Phi = A \setminus Z\) est donc un sous-ensemble essentiel de \(A\). Soit \(x \in \Phi\). On a alors :

\[u_0(x) \le u_1(x) \le u_2(x) \le ...\]

La suite \(\{ u_n(x) : n \in \setN \}\) est donc croissante et majorée par \(s(x) = \sup_n u_n(x)\). Elle converge dès lors vers son supremum :

\[\lim_{n \to \infty} u_n(x) = s(x)\]

10.1.2 Suite d'intégrales

On définit la suite \(\{ I_n : n \in \setN \}\) par :

\[I_n = \int_A u_n(x) \ d\mu(x)\]

pour tout \(n \in \setN\). Comme \(u_n\) croît essentiellement avec \(n\), on a \(I_m \le I_n\) pour tout \(m,n \in \setN\) vérifiant \(m \le n\). Comme \(u_n \le s\), on a aussi \(I_n \le S\). On en conclut que la suite des \(I_n\) converge vers son supremum et que :

\[L = \lim_{n \to \infty} I_n \le S = \int_A s(x) \ d\mu(x)\]

10.1.3 Fonction étagée

Soit le réel \(\epsilon \strictsuperieur 0\). Choisissons \(w \in \mathcal{E}_A(s)\) telle que :

\[\int_A s(x) \ d\mu(x) \le \int_A w(x) \ d\mu(x) + \epsilon\]

Comme \(w \essinferieur s\) l'ensemble :

\[N = \{ x \in A : w(x) \strictsuperieur s(x) \}\]

est de mesure nulle. Posons \(\Psi = \Phi \setminus N\). La fonction \(w\) étant étagée, on dispose d'une partition \(\{A_1,...,A_N\}\) de \(A\) et de réels \(w_i\) tels que :

\[w = \sum_i w_i \cdot \indicatrice[A_i]\]

Posons \(\Psi_i = A_i \cap \Psi\). Comme \(\Psi \subseteq A\), les \(\Psi_i\) forment une partition de \(\Psi\) et on a :

\[w \cdot \indicatrice[\Psi] = \sum_i w_i \cdot \indicatrice[A_i] \cdot \indicatrice[\Psi] = \sum_i w_i \cdot \indicatrice[\Psi_i]\]

On en déduit que :

\[\int_\Psi w(x) \ d\mu(x) = \int_A w(x) \cdot \indicatrice_\Psi(x) \ d\mu(x) = \sum_i w_i \cdot \mu(\Psi_i)\]

L'intégrale étant invariante par abstraction d'un ensemble de mesure nulle, on a :

\[\int_\Psi w(x) \ d\mu(x) = \int_\Phi w(x) \ d\mu(x) = \int_A w(x) \ d\mu(x)\]

et finalement :

\[\int_A w(x) \ d\mu(x) = \sum_i w_i \cdot \mu(\Psi_i)\]

10.1.4 Mesures convergentes

Choisissons un réel \(\alpha\) vérifiant \(0 \strictinferieur \alpha \strictinferieur 1\) et posons :

\[C_n = \{ x \in \Psi : \alpha \cdot w(x) \le u_n(x) \}\]

Soit :

\begin{align} W_n^i &= C_n \cap \Psi_i = \{ x \in \Psi_i : \alpha \cdot w(x) \le u_n(x) \} \\ X_n^i &= Z_n \cap \Psi_i = \{ x \in \Psi_i : u_n(x) \strictsuperieur u_{n + 1}(x) \} \end{align}

Comme \(X_n^i \subseteq Z_n\), on a \(\mu(X_n^i) = 0\). Si \(x \in W_n^i \setminus X_n^i\), on a :

\[\alpha \cdot w(x) \le u_n(x) \le u_{n + 1}(x)\]

On en déduit que \(x \in W_{n + 1}^i\). Donc \(W_n^i \setminus X_n^i \subseteq W_{n + 1}^i\) et :

\[\lim_{n \to \infty} \mu(W_n^i) = \mu\left( \bigcup_n W_n^i \right)\]

Comme les \(W_n^i \subseteq \Psi_i\), il est clair que leur union sur \(n\) est inclue dans \(\Psi_i\). Soit \(x \in \Psi_i\).

  • Si \(s(x) = 0\), on a \(0 \le u_n(x) \le s(x) = 0\) pour tout \(n \in \setN\) et \(u_n(x) = 0\). On a aussi \(w(x) \le s(x) = 0\), d'où \(\alpha \cdot w(x) \le 0 = u_n(x)\) et \(x \in W_n^i\).
  • Considérons à présent le cas où \(s(x) \strictsuperieur 0\). On se rappelle que \(\Psi_i \subseteq \Psi = \Phi \setminus N\). Donc \(x \notin N\) et on a \(w(x) \le s(x)\). Multipliant cette relation par \(\alpha \strictsuperieur 0\), on obtient \(\alpha \cdot w(x) \le \alpha \cdot s(x)\). Soit le réel :

\[\delta = (1 - \alpha) \cdot s(x) \strictsuperieur 0\]

Sur \(\Psi_i \subseteq \Psi \subseteq \Phi\), la suite des \(\{ u_n(x) : n \in \setN \}\) converge vers \(s(x)\). On peut donc trouver un \(K \in \setN\) tel que \(\abs{u_n(x) - s(x)} \le \delta\) pour tout naturel \(n\) vérifiant \(n \ge K\). On a alors :

\[u_n(x) \ge s(x) - \delta = s(x) - (1 - \alpha) \cdot s(x) = \alpha \cdot s(x) \ge \alpha \cdot w(x)\]

Il existe donc un naturel \(n\) tel que \(x \in C_n\), d'où \(x \in C_n \cap \Psi_i = W_n^i\).

Notre \(x\) appartient donc à l'union sur \(n\) des \(W_n^i\). On en conclut que \(\Psi_i\) est inclu dans l'union sur \(n\) des \(W_n^i\). La réciproque étant également vraie, on a :

\[\bigcup_n W_n^i = \Psi_i\]

et :

\[\lim_{n \to \infty} \mu(W_n^i) = \mu(\Psi_i)\]

10.1.5 Convergence des intégrales

Fixons \(n \in \setN\). Comme \(C_n \subseteq A\), les \(W_n^i = C_n \cap \Psi_i\) forment une partition de \(C_n\) et on a :

\[w \cdot \indicatrice[C_n] = \sum_i w_i \cdot \indicatrice[C_n] \cdot \indicatrice[\Psi_i] = \sum_i w_i \cdot \indicatrice[W_n^i]\]

On en déduit que :

\[\int_{C_n} w(x) \ d\mu(x) = \int_A w(x) \cdot \indicatrice_{C_n}(x) \ d\mu(x) = \sum_i w_i \cdot \mu(W_n^i)\]

En passant à la limite sur \(n\), on obtient donc :

\begin{align} \lim_{n \to \infty} \int_{C_n} w(x) \ d\mu(x) &= \sum_i w_i \cdot \lim_{n \to \infty} \mu(W_n^i) \\ &= \sum_i w_i \cdot \mu(\Psi_i) \\ &= \int_A w(x) \ d\mu(x) \end{align}

Comme \(\alpha \cdot w \le u_n\) sur \(C_n\), on a a fortiori l'infériorité essentielle et :

\[\int_{C_n} \alpha \cdot w(x) \ d\mu(x) = \alpha \int_{C_n} w(x) \ d\mu(x) \le \int_A u_n(x) \ d\mu(x) = I_n\]

En passant à la limite sur \(n\) et en multipliant par \(1/\alpha\), on en déduit que :

\[\int_A w(x) \ d\mu(x) \le \unsur{\alpha} \lim_{n \to \infty} I_n = \frac{L}{\alpha}\]

Se rappelant la propriété de \(w\) par rapport à \(s\), on a :

\[\int_A s(x) \ d\mu(x) - \epsilon \le \int_A w(x) \ d\mu(x) \le \frac{L}{\alpha}\]

Donc :

\[S - \epsilon = \int_A s(x) \ d\mu(x) - \epsilon \le \frac{L}{\alpha}\]

Ce résultat devant être satisfait pour tout \(\epsilon \strictsuperieur 0\) et pour tout \(0 \strictsuperieur \alpha \strictsuperieur 1\), on a finalement \(S \le L\). Mais nous avons vu précédemment que \(L \le S\). On en conclut que \(S = L\), c'est-à-dire :

\[\int_A \lim_{n \to \infty} u_n(x) \ d\mu(x) = \lim_{n \to \infty} \int_A u_n(x) \ d\mu(x)\]

10.2 Convergence des sommes

Soit une suite \(\{ f_n \in \setR^A : n \in \setN \}\) de fonctions intégrables essentiellement positives. Posons :

\[u_n = \sum_{i = 0}^n f_i\]

On voit que la suite des \(u_n\) est croissante et essentiellement positive. Si la somme converge, on a :

\[\lim_{n \to \infty} u_n(x) = \sum_{i = 0}^{+\infty} f_i(x) = s(x)\]

pour tout \(x \in A\). Si la fonction \(s\) ainsi définie est intégrable, on a donc :

\[\int_A \sum_{i = 0}^{+\infty} f_i(x) \ d\mu(x) = \lim_{n \to \infty} \int_A \sum_{i = 0}^n f_i(x) \ d\mu(x)\]

10.3 Lemme de Fatou

Soit une suite \(\{ f_n \in \setR^A : n \in \setN \}\) de fonctions intégrables essentiellement positives. Posons :

\[u_n = \inf \{ f_m : m \in \setN, \ m \ge n \}\]

et supposons que la fonction \(s = \sup_n u_n\) soit bien définie et intégrable. Par construction, la suite des \(u_n\) est croissante et essentiellement positive. On a donc \(\int_A \lim_n u_n = \lim_n \int_A u_n\), c'est-à-dire :

\[\int_A \liminf_{n \to \infty} f_n(x) \ d\mu(x) = \lim_{n \to \infty} \int_A u_n(x) \ d\mu(x)\]

Comme la limite des \(U_n = \int_A u_n\) existe, on a \(\liminf_n U_n = \lim_n U_n\) et :

\[\int_A \liminf_{n \to \infty} f_n(x) \ d\mu(x) = \liminf_{n \to \infty} \int_A u_n(x) \ d\mu(x)\]

Comme \(u_n \le f_n\), on a \(U_n \le F_n = \int_A f_n\). On en conclut que \(\liminf_n U_n \le \liminf_n F_n\) :

\[\liminf_{n \to \infty} \int_A u_n(x) \ d\mu(x) \le \liminf_{n \to \infty} \int_A f_n(x) \ d\mu(x)\]

Rassemblant ces résultats, il vient :

\[\int_A \liminf_{n \to \infty} f_n(x) \ d\mu(x) \le \liminf_{n \to \infty} \int_A f_n(x) \ d\mu(x)\]

10.4 Convergence dominée

Soit une suite de fonctions \(\{ f_n : n \in \setN \}\) intégrables sur \(\Omega\). Nous supposons qu'il existe un sous-ensemble essentiel \(A\) de \(\Omega\) et une fonction \(f : A \mapsto \setR\) telle que :

\[\lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x)\]

pour tout \(x \in A\). Nous supposons également qu'il existe une fonction intégrable \(\varphi : A \mapsto \setR\) telle que \(\abs{f_n} \le \varphi\) pour tout \(n \in \setN\).

Soit \(x \in A\). Puisque la suite \(\{ \abs{f_n(x)} : n \in \setN \}\) est inférieure à \(\varphi(x)\), sa limite \(\abs{f(x)}\) vérifie \(\abs{f(x)} \le \varphi(x)\). On a donc \(\abs{f} \le \varphi\) et \(\int_A \abs{f} \le \int_A \varphi \strictinferieur +\infty\), ce qui montre que \(f\) est intégrable. La majoration par \(\varphi\) nous montre également que \(\varphi - \max \{ f_n , -f_n \} \ge 0\), d'où :

\( \varphi - f_n \ge 0 \\ \varphi + f_n \ge 0 \)

On peut donc appliquer le lemme de Fatou à la suite de fonctions \(\psi_n = \varphi - f_n\). On obtient :

\[\int_A \liminf_{n \to \infty} [\varphi(x) - f_n(x)] \ d\mu(x) \le \liminf_{n \to \infty} \int_A [\varphi(x) - f_n(x)] \ d\mu(x)\]

On sait que la fonction \(\varphi\) ne dépend pas de \(n\) et que la limite de \(f_n\) existe. On a donc \(\liminf_n f_n = \limsup_n f_n = \lim f_n\). Comme \(\inf(-X) = -\sup(X)\), on a aussi :

\[\liminf_n (-f_n) = - \limsup_n f_n = - \lim_n f_n = -f\]

On en déduit que :

\[\int_A \liminf_n [\varphi - f_n] = \int_A \varphi - \int_A f\]

Pour le second membre, on a :

\[\liminf_n \int_A [\varphi - f_n] = \int_A \varphi + \liminf_n \left[ - \int_A f_n \right] = \int_A \varphi - \limsup_n \int_A f_n\]

On se retrouve donc avec l'inégalité :

\[\int_A \varphi - \int_A f \le \int_A \varphi - \limsup_n \int_A f_n\]

Eliminant l'intégrale de \(\varphi\), il vient :

\[\int_A f(x) \ d\mu(x) \ge \limsup_{n \to \infty} \int_A f_n(x) \ d\mu(x)\]

Appliquons à présent le lemme de Fatou à la suite de fonctions \(\omega_n = \varphi + f_n\). On obtient :

\[\int_A \liminf_{n \to \infty} [\varphi(x) + f_n(x)] \ d\mu(x) \le \liminf_{n \to \infty} \int_A [\varphi(x) + f_n(x)] \ d\mu(x)\]

Utilisant les mêmes remarques que précédemment et éliminant l'intégrale de \(\varphi\), il vient :

\[\int_A f(x) \ d\mu(x) \le \liminf_{n \to \infty} \int_A f_n(x) \ d\mu(x)\]

Rassemblant ces résultats, on en déduit que :

\[\limsup_{n \to \infty} \int_A f_n(x) \ d\mu(x) \le \liminf_{n \to \infty} \int_A f_n(x) \ d\mu(x)\]

Mais on sait que \(\liminf(X) \le \limsup(X)\). On conclut de ces deux inégalités que :

\[\limsup_{n \to \infty} \int_A f_n(x) \ d\mu(x) = \liminf_{n \to \infty} \int_A f_n(x) \ d\mu(x)\]

La limite de la suite d'intégrales existe donc et :

\[\lim_{n \to \infty} \int_A f_n(x) \ d\mu(x) = \limsup_{n \to \infty} \int_A f_n(x) \ d\mu(x) = \liminf_{n \to \infty} \int_A f_n(x) \ d\mu(x)\]

Les bornes faisant intervenir l'intégrale de \(f\) deviennent :

\[\lim_{n \to \infty} \int_A f_n(x) \ d\mu(x) \le \int_A f(x) \ d\mu(x) \le \lim_{n \to \infty} \int_A f_n(x) \ d\mu(x)\]

d'où :

\[\int_A f(x) \ d\mu(x) = \lim_{n \to \infty} \int_A f_n(x) \ d\mu(x)\]

Nous venons de prouver que :

\[\int_A \lim_{n \to \infty} f_n(x) \ d\mu(x) = \lim_{n \to \infty} \int_A f_n(x) \ d\mu(x)\]

L'intégrale étant invariante sous abstraction d'un ensemble de mesure nulle, on a même :

\[\int_\Omega f(x) \ d\mu(x) = \lim_{n \to \infty} \int_\Omega f_n(x) \ d\mu(x)\]

pour autant que \(f\) soit définie sur \(\Omega\).

11 Additivité généralisée

11.1 Dépendances

  • Chapitre \ref{chap:fonction} : Les fonctions
  • Chapitre \ref{chap:mesure} : Les mesures

11.2 Introduction

11.2.1 Mesure induite

Soit les ensembles \(\Omega\) et \(\Psi\), les tribus \(\mathcal{T} \subseteq \sousens(\Omega)\) et \(\mathcal{U} \subseteq \sousens(\Psi)\) et les mesures \(\mu : \mathcal{T} \mapsto \setR\) et \(\nu : \mathcal{U} \mapsto \setR\).

On considère un ensemble \(X \subseteq \Psi\) mesurable pour \(\nu\) et paramétrant la collection \(\mathcal{C} = \{ P(x) \in \sousens(\Omega) : x \in X \}\) formant une partition de \(\Omega\). Nous supposons également que chaque ensemble-élément de \(\mathcal{C}\) est mesurable pour \(\mu\). Choisissons un sous-ensemble quelconque \(A \subseteq \Omega\). Posons \(A(x) = P(x) \cap A\) et :

\[\mathcal{P}(A) = \{ A(x) : x \in X \} = \{ P(x) \cap A : x \in X \}\]

On a :

\[\bigcup_{x \in X} A(x) = A \cap \bigcup_{x \in X} P(x) = A \cap \Omega = A\]

Si \(x,y \in X\) vérifient \(x \ne y\), on a aussi :

\[A(x) \cap A(y) = P(x) \cap P(y) \cap A = \emptyset\]

On en déduit que \(\mathcal{P}(A)\) forme une partition de \(A\). Soit la collection \(\mathcal{M}\) des sous-ensembles \(A\) de \(\Omega\) tels que la fonction \(x \mapsto \mu(A(x))\) soit mesurable. Si \(\mathcal{M}\) forme une tribu, on peut définir une mesure \(\sigma : \mathcal{M} \mapsto \setR\) par la relation :

\[\sigma(A) = \int_X \mu(A(x)) \ d\nu(x)\]

11.2.2 Validité

Par positivité de \(\mu\) et de l'intégrale, on a clairement \(\sigma \ge 0\). L'ensemble vide étant de mesure nulle au sens de \(\mu\), on a :

\begin{align} \sigma(\emptyset) &= \int_X \mu(\emptyset \cap P(x)) \ d\nu(x) \\ &= \int_X \mu(\emptyset) \ d\nu(x) \\ &= \int_X 0 \ d\nu(x) \\ &= 0 \end{align}

Soit \(A,B \subseteq \Omega\) avec \(A \cap B = \emptyset\). On a :

\begin{align} A(x) \cup B(x) &= (A \cap P(x)) \cup (B \cap P(x)) \\ &= (A \cup B) \cap P(x) \\ &= (A \cup B)(x) \end{align}

Par additivité de \(\mu\) et linéarité de l'intégrale, on a :

\begin{align} \sigma(A \cup B) &= \int_X \mu((A \cup B)(x)) \ d\nu(x) \\ &= \int_X \mu(A(x) \cup B(x)) \ d\nu(x) \\ &= \int_X [\mu(A(x)) + \mu(B(x))] \ d\nu(x) \\ &= \int_X \mu(A(x)) \ d\nu(x) + \int_X \mu(B(x)) \ d\nu(x) \\ &= \sigma(A) + \sigma(B) \end{align}

La fonction \(\sigma\) est donc également additive et représente bien une mesure.

11.3 Notation

Soit une fonction \(f : A \mapsto \setR\) et la fonction \(I : X \mapsto \setR\) définie par :

\[I(x) = \int_{A(x)} f(y) \ d\mu(y)\]

pour tout \(x \in X\). On note dans la suite :

\[\int_X \int_{A(x)} f(y) \ d\mu(y) \ d\nu(x) = \int_X I(x) \ d\nu(x)\]

ou encore :

\[\int_X \ d\nu(x) \int_{A(x)} f(y) \ d\mu(y) = \int_X I(x) \ d\nu(x)\]

11.3.1 Fonctions étagées

Soit une fonction étagée \(w : A \mapsto \setR\). On dispose d'une partition \(\{A_1,...,A_n\}\) de \(A\) et de réels \(w_i\) tels que :

\[w = \sum_i w_i \cdot \indicatrice_{A_i}\]

Evaluons son intégrale :

\begin{align} \int_A w(z) \ d\sigma(z) &= \sum_i w_i \cdot \sigma(A_i) \\ &= \sum_i w_i \int_X \mu(A_i(x)) \ d\nu(x) \\ &= \int_X \sum_i w_i \cdot \mu(A_i(x)) \ d\nu(x) \\ &= \int_X \left[ \int_{A(x)} w(y) \ d\mu(y) \right] \ d\nu(x) \end{align}

On a donc :

\[\int_A w(z) \ d\sigma(z) = \int_X \ d\nu(x) \int_{A(x)} w(y) \ d\mu(y)\]

pour toute fonction étagée.

11.3.2 Ordre

Soit les fonctions mesurables \(f,g\) vérifiant \(f \essinferieur g\) au sens de la mesure \(\sigma\). Soit :

\[N = \{ z \in A : f(z) \strictsuperieur g(z) \}\]

Comme \(N \subseteq A\), on a \(N = N \cap A\) et :

\begin{align} N(x) = N \cap P(x) &= N \cap A \cap P(x) \\ &= N \cap A(x) \\ &= \{ z \in A(x) : f(z) \strictsuperieur g(z) \} \end{align}

La mesure de \(N\) étant $σ$-nulle, on a :

\[\sigma(N) = \int_X \mu(N(x)) \ d\nu(x) = 0\]

Comme \(\mu\) est positive, elle est essentiellement positive. On en conclut que la fonction \(x \mapsto \mu(N(x))\) est essentiellement nulle sur \(X\) (au sens de la mesure \(\nu\)). L'ensemble :

\[Z = \{ x \in X : \mu(N(x)) \strictsuperieur 0 \}\]

vérifie \(\nu(Z) = 0\). Le sous-ensemble :

\[E = X \setminus Z = \{ x \in X : \mu(N(x)) = 0 \}\]

est donc $ν$-essentiel dans \(X\). Soit les fonctions \(F,G : X \mapsto \setR\) définies par :

\( F(x) = \int_{A(x)} f(y) \ d\mu(y) \\ \\ G(x) = \int_{A(x)} g(y) \ d\mu(y) \)

Pour tout \(x \in E\), on a \(\mu(N(x)) = 0\). Le sous-ensemble :

\[C(x) = A(x) \setminus N(x) = \{ y \in A(x) : f(y) \le g(y) \}\]

est donc $μ$-essentiel dans \(A(x)\). On a donc \(w \essinferieur f\) au sens de \(\mu\) sur \(A(x)\) et :

\[F(x) = \int_{A(x)} f(y) \ d\mu(y) \le \int_{A(x)} g(y) \ d\mu(y) = G(x)\]

On a donc \(F \le G\) sur \(E\) qui est un sous-ensemble essentiel de \(X\). Donc, \(F \essinferieur G\) au sens de \(\nu\) sur \(X\) et :

\[\int_X F(x) \ d\nu(x) \le \int_X G(x) \ d\nu(x)\]

Autrement dit :

\[\int_X \ d\nu(x) \int_{A(x)} f(y) \ d\mu(y) \le \int_X \ d\nu(x) \int_{A(x)} g(y) \ d\mu(y)\]

11.3.3 Positives majorées

Soit une fonction intégrable \(f : A \mapsto \setR\) essentiellement positive et majorée au sens de \(\sigma\) :

\[\supessentiel_{x \in A}^\sigma f(x) \strictinferieur +\infty\]

Soit un réel \(\epsilon \strictsuperieur 0\).

  • Le supremum étant dans l'adhérence, on peut trouver une fonction étagée \(w\) essentiellement inférieure à \(f\) au sens de \(\sigma\) et telle que :

\[\int_A f(z) \ d\sigma(z) - \epsilon \le \int_A w(z) \ d\sigma(z)\]

On a aussi :

\begin{align} \int_A w(x) \ d\sigma(x) &= \int_X \ d\nu(x) \int_{A(x)} w(y) \ d\mu(y) \\ &\le \int_X \ d\nu(x) \int_{A(x)} f(y) \ d\mu(y) \end{align}

d'où finalement :

\[\int_A f(x) \ d\sigma(x) - \epsilon \le \int_X \ d\nu(x) \int_{A(x)} f(y) \ d\mu(y)\]

Comme cette relation est valable pour tout \(\epsilon \strictsuperieur 0\), on doit avoir :

\[\int_A f(x) \ d\sigma(x) \le \int_X \ d\nu(x) \int_{A(x)} f(y) \ d\mu(y)\]

  • Comme \(f\) est essentiellement majorée, on peut trouver une fonction étagée \(w\) essentiellement inférieure à \(f\) au sens de \(\sigma\) et telle que :

\[\supessentiel_{x \in A}^\sigma [f(x) - w(x)] \le \epsilon\]

On a donc \(f \essinferieur w + \epsilon\) au sens de \(\sigma\) et :

\[\int_X \ d\nu(x) \int_{A(x)} f(y) \ d\mu(y) \le \int_X \ d\nu(x) \int_{A(x)} [w(y) + \epsilon] \ d\mu(y)\]

On voit que :

\begin{align} \int_X \ d\nu(x) \int_{A(x)} [w(y) + \epsilon] \ d\mu(y) &= \int_X \ d\nu(x) \left[ \int_{A(x)} w(y) \ d\mu(y) + \epsilon \cdot \mu(A(x)) \right] \\ &= \int_X \ d\nu(x) \int_{A(x)} w(y) \ d\mu(y) + \epsilon \cdot \int_X \mu(A(x)) \ d\nu(x) \\ &= \int_X \ d\nu(x) \int_{A(x)} w(y) \ d\mu(y) + \epsilon \cdot \sigma(A) \end{align}

Or :

\[\int_X \ d\nu(x) \int_{A(x)} w(y) \ d\mu(y) = \int_A w(z) \ d\sigma(z) \le \int_A f(z) \ d\sigma(z)\]

par définition du supremum. Rassemblant tous ces résultats, il vient :

\[\int_X \ d\nu(x) \int_{A(x)} f(y) \ d\mu(y) \le \int_A f(z) \ d\sigma(z) + \epsilon \cdot \sigma(A)\]

Cette inégalité devant être satisfaite pour tout \(\epsilon \strictsuperieur 0\), on en conclut que :

\[\int_X \ d\nu(x) \int_{A(x)} f(y) \ d\mu(y) \le \int_A f(z) \ d\sigma(z)\]

L'intégrale double \(\int_X \int_{A(x)}\) devant être simultanément supérieure et inférieure à l'intégrale \(\int_A\), on a :

\[\int_A f(z) \ d\sigma(z) = \int_X \ d\nu(x) \int_{A(x)} f(y) \ d\mu(y)\]

11.3.4 Positives

Posons :

\( C(\alpha) = \{ x \in A : f(x) \le \alpha \} \\ Z(\alpha) = \{ x \in A : f(x) \strictsuperieur \alpha \} \)

et :

\( C(\alpha,x) = C(\alpha) \cap A(x) = \{ x \in A(x) : f(x) \le \alpha \} \\ Z(\alpha,x) = A(x) \setminus C(\alpha) = \{ x \in A(x) : f(x) \strictsuperieur \alpha \} \)

Comme \(f\) est essentiellement majorée sur \(C(\alpha)\), on a :

\[\int_{C(\alpha)} f(z) \ d\sigma(z) = \int_X \ d\nu(x) \int_{C(\alpha,x)} f(y) \ d\mu(y)\]

Les propriétés de \(Z(\alpha) = A \setminus C(\alpha)\) nous montrent que :

\[\lim_{\alpha \to +\infty} \int_{C(\alpha)} f(z) \ d\sigma(z) = \int_A f(z) \ d\sigma(z)\]

On obtient bien entendu le même résultat en se restreignant aux entiers \(n \in \setN\) :

\[\lim_{n \to \infty} \int_{C(n)} f(z) \ d\sigma(z) = \int_A f(z) \ d\sigma(z)\]

Comme \(Z(\alpha,x)\) vérifie les mêmes propriétés, on a :

\[\lim_{n \to \infty} \int_{C(n,x)} f(y) \ d\mu(y) = \int_{A(x)} f(y) \ d\mu(y)\]

Pour tout \(n \in \setN\), posons :

\[u_n(x) = \int_{C(n,x)} f(y) \ d\mu(y)\]

Il s'agit d'une suite de fonctions positives. Comme l'inégalité \(m \le n\) implique \(C(m,x) \subseteq C(n,x)\), on a \(u_m \le u_n\). La suite est donc croissante et converge vers :

\[\lim_{n \to \infty} u_n(x) = \int_{A(x)} f(y) \ d\mu(y)\]

La convergence monotone nous montre alors que :

\begin{align} \lim_{n \to \infty} \int_X u_n(x) \ d\nu(x) &= \int_X \lim_{n \to \infty} u_n(x) \ d\nu(x) \\ &= \int_X \ d\nu(x) \int_{A(x)} f(y) \ d\mu(y) \end{align}

D'un autre coté, on a :

\begin{align} \lim_{n \to \infty} \int_X u_n(x) \ d\nu(x) &= \lim_{n \to \infty} \int_X \ d\nu(x) \int_{C(n,x)} f(y) \ d\mu(y) \\ &= \lim_{n \to \infty} \int_{C(n)} f(z) \ d\sigma(z) \\ &= \int_A f(z) \ d\sigma(z) \end{align}

On en conclut finalement que :

\[\int_A f(z) \ d\sigma(z) = \int_X \ d\nu(x) \int_{A(x)} f(y) \ d\mu(y)\]

11.3.5 Signe quelconque

Soit une fonction intégrable \(f : A \mapsto \setR\) et sa décomposition en fonctions positives \(f = f^+ - f^-\). On a :

\begin{align} \int_A f(z) \ d\sigma(z) &= \int_A f^+(z) \ d\sigma(z) - \int_A f^-(z) \ d\sigma(z) \\ &= \int_X \ d\nu(x) \int_{A(x)} f^+(y) \ d\mu(y) - \int_X \ d\nu(x) \int_{A(x)} f^-(y) \ d\mu(y) \\ &= \int_X \left[ \int_{A(x)} f^+(y) \ d\mu(y) - \int_{A(x)} f^-(y) \ d\mu(y) \right] \ d\nu(x) \\ &= \int_X \ d\nu(x) \int_{A(x)} f(y) \ d\mu(y) \end{align}

11.4 Fubini

Sur \(\setR^2\), la mesure de Lebesgue, que nous notons ici \(\sigma\), est basée sur des ensembles de la forme :

\[P = [a,b] \times [c,d]\]

où \(a,b,c,d \in \setR\) et \(a \le b\), \(c \le d\). Si \(\mu\) est la mesure de Lebesgue sur \(\setR\), on a alors :

\[\sigma(P) = (\mu \otimes \mu)([a,b] \times [c,d]) = \mu([a,b]) \cdot \mu([c,d]) = (b - a) \cdot (d - c)\]

Considérons le partionnement formé des segments \([(x,c),(x,d)]\) pour tous les \(x\) compris entre \(a\) et \(b\) :

\[\mathcal{P} = \{ [(x,c),(x,d)] : x \in [a,b] \}\]

Comme :

\[[(x,c),(x,d)] = \{ (x,y) : y \in [c,d] \}\]

on définit la mesure \(\mu\) d'un tel segment par extension de la mesure de Lebesgue :

\[\mu([(x,c),(x,d)]) = d - c\]

La mesure \(\sigma_x\) qui en découle s'évalue :

\[\sigma_x(A) = \int_a^b (d - c) dx = (d - c) \int_a^b dx = (d - c) \cdot (b - a)\]

Considérons le partionnement alternatif :

\[\mathcal{Q} = \{ [(a,y),(b,y)] : y \in [c,d] \}\]

Comme :

\[[(a,y),(b,y)] = \{ (x,y) : x \in [a,b] \}\]

on définit la mesure \(\mu\) d'un tel segment par extension de la mesure de Lebesgue :

\[\mu([(a,y),(b,y)]) = b - a\]

La mesure \(\sigma_y\) qui en découle s'évalue :

\[\sigma_y(A) = \int_c^d (b - a) dy = (b - a) \int_c^d dy = (b - a) \cdot (d - c)\]

On en conclut que \(\sigma_x = \sigma_y = \sigma\). Si \(f\) est une fonction intégrable sur \(A = [\alpha,\beta] \times [\gamma,\delta] \subseteq \setR^2\), on a alors :

\[\int_A f(x,y) \ d\sigma(x,y) = \int_\alpha^\beta dx \int_\gamma^\delta f(x,y) \ dy = \int_\gamma^\delta dy \int_\alpha^\beta f(x,y) \ dx\]

On note souvent \(d\sigma(x,y) = dx \ dy\) et :

\[\int_A f(x,y) \ dx \ dy = \int_\alpha^\beta dx \int_\gamma^\delta f(x,y) \ dy = \int_\gamma^\delta dy \int_\alpha^\beta f(x,y) \ dx\]

11.4.1 Dimension \(n\)

Soit \(A = [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] ... \times [a_n,b_n] \subseteq \setR^n\). On a :

\[\int_A f(x) \ dx = \int_{a_1}^{b_1} dx_1 \ ... \int_{a_n}^{b_n} dx_n \ f(x_1,...x_n)\]

où \(dx\) correspond à la mesure de Lebesgue \(\sigma = \mu \otimes ... \otimes \mu\).

11.5 Produit cartésien

On peut généraliser Fubini dans certaines conditions. On a alors :

\[\int_{A \times B} f(x,y) \ d\mu(x) \ d\nu(y) = \int_B d\nu(y) \ \int_A f(x,y) \ d\mu(x)\]

et symétriquement :

\[\int_{A \times B} f(x,y) \ d\mu(x) \ d\nu(y) = \int_A \ d\mu(x) \int_B f(x,y) \ d\nu(y)\]

11.6 Domaine régulier

Soit les réels \(a,b\) et les fonctions \(S,I : [a,b] \mapsto \setR\) permettant de définir l'ensemble :

\[A = \{ (x,y) \in [a,b] \times \setR : I(x) \le y \le S(x) \}\]

Posons :

\[A(x) = \{ (x,y) : I(x) \le y \le S(x) \}\]

On voit que \(A(x) \cap A(z) = \emptyset\) si \(x \ne z\) et que :

\[A = \bigcup_{x \in [a,b]} A(x)\]

On a donc :

\[\int_A f(x,y) \ d\sigma(x,y) = \int_a^b d\nu(x) \ \int_{I(x)}^{S(x)} f(x,y) \ d\mu(y)\]

11.7 Lemme du triangle

Un petit lemme intéressant permettant de permuter l'intégration de deux variables. Soit le triangle \(\Delta\) :

\[\Delta = \{ (s,t) \in \setR^2 : 0 \le s,t \le T, \quad s \ge t \}\]

On peut redéfinir cet ensemble de deux manières équivalentes :

\( \Delta = \{ (s,t) \in \setR^2 : 0 \le s \le T, \quad 0 \le t \le s \} \\ \Delta = \{ (s,t) \in \setR^2 : 0 \le t \le T, \quad t \le s \le T \} \)

On a donc :

\[\int_\Delta f(x) \ dx = \int_0^T \ ds \int_0^s f(s,t) \ dt = \int_0^T \ dt \int_t^T f(s,t) \ ds\]

11.7.1 Cas particulier

En particulier, si la fonction à intégrer ne dépend que de \(t\), on a :

\[\int_0^T \ ds \int_0^s u(t) \ dt = \int_0^T u(t) \ dt \int_t^T \ ds = \int_0^T (T - t) \cdot u(t) \ dt\]

12 Sommes et intégrales

12.1 Introduction

Soit une fonction décroissante \(f : \setR \mapsto \setR\). Choisissons \(k \in \setZ\). Comme \(f(k)\) maximise \(f\) sur \([k,k+1]\), l'intégrale vérifie :

\[\int_k^{k + 1} f(x) \ dx \le \int_k^{k + 1} f(k) \ dx= f(k) \cdot 1\]

Comme \(f(k)\) minimise \(f\) sur \([k-1,k]\), l'intégrale vérifie :

\[f(k) = f(k) \cdot 1 = \int_{k - 1}^k f(k) \ dx \le \int_{k - 1}^k f(x) \ dx\]

On en déduit l'encadrement :

\[\int_k^{k + 1} f(x) \ dx \le f(k) \le \int_{k - 1}^k f(x) \ dx\]

Soit \(m, n \in \setZ\). On a :

\[\sum_{k = m}^n \int_k^{k + 1} f(x) \ dx = \int_m^{n + 1} f(x) \ dx\]

et :

\[\sum_{k = m}^n \int_{k - 1}^k f(x) \ dx = \int_{m - 1}^n f(x) \ dx\]

En sommant les inégalités sur \(k \in \setZ[m,n]\), on obtient :

\[\int_m^{n + 1} f(x) \ dx \le \sum_{k = m}^n f(k) \le \int_{m - 1}^n f(x) \ dx\]

12.2 Sommes infinies

Sous réserve de convergence des sommes et des intégrales, on a :

\[\int_0^{+\infty} f(x) \ dx \le \sum_{k = 0}^{+\infty} f(k) \le \int_{-1}^{+\infty} f(x) \ dx\]

Auteur: chimay

Created: 2019-10-01 mar 12:34

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