Eclats de vers : Matemat 07 : Intégrales - 1

Index des Grimoires

Retour à l’accueil

Table des matières

\( \newcommand{\parentheses}[1]{\left(#1\right)} \newcommand{\crochets}[1]{\left[#1\right]} \newcommand{\accolades}[1]{\left\{#1\right\}} \newcommand{\ensemble}[1]{\left\{#1\right\}} \newcommand{\identite}{\mathrm{Id}} \newcommand{\indicatrice}{\boldsymbol{\delta}} \newcommand{\dirac}{\delta} \newcommand{\moinsun}{{-1}} \newcommand{\inverse}{\ddagger} \newcommand{\pinverse}{\dagger} \newcommand{\topologie}{\mathfrak{T}} \newcommand{\ferme}{\mathfrak{F}} \newcommand{\img}{\mathbf{i}} \newcommand{\binome}[2]{ \left\{ \begin{array}{c} #1 \\ #2 \\ \end{array} \right\} } \newcommand{\canonique}{\mathfrak{c}} \newcommand{\tenseuridentite}{\boldsymbol{\mathcal{I}}} \newcommand{\permutation}{\boldsymbol{\epsilon}} \newcommand{\matriceZero}{\mathfrak{0}} \newcommand{\matriceUn}{\mathfrak{1}} \newcommand{\christoffel}[2]{ \left\{ \begin{array}{c} #1 \\ #2 \\ \end{array} \right\} } \newcommand{\lagrangien}{\mathfrak{L}} \newcommand{\sousens}{\mathfrak{P}} \newcommand{\partition}{\mathrm{Partition}} \newcommand{\tribu}{\mathrm{Tribu}} \newcommand{\topologies}{\mathrm{Topo}} \newcommand{\setB}{\mathbb{B}} \newcommand{\setN}{\mathbb{N}} \newcommand{\setZ}{\mathbb{Z}} \newcommand{\setQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\setR}{\mathbb{R}} \newcommand{\setC}{\mathbb{C}} \newcommand{\corps}{\mathbb{K}} \newcommand{\boule}{\mathfrak{B}} \newcommand{\intervalleouvert}[2]{\relax \ ] #1 , #2 [ \ \relax} \newcommand{\intervallesemiouvertgauche}[2]{\relax \ ] #1 , #2 ]} \newcommand{\intervallesemiouvertdroite}[2]{[ #1 , #2 [ \ \relax} \newcommand{\fonction}{\mathbb{F}} \newcommand{\bijection}{\mathrm{Bij}} \newcommand{\polynome}{\mathrm{Poly}} \newcommand{\lineaire}{\mathrm{Lin}} \newcommand{\continue}{\mathrm{Cont}} \newcommand{\homeomorphisme}{\mathrm{Hom}} \newcommand{\etagee}{\mathrm{Etagee}} \newcommand{\lebesgue}{\mathrm{Leb}} \newcommand{\lipschitz}{\mathrm{Lip}} \newcommand{\suitek}{\mathrm{Suite}} \newcommand{\matrice}{\mathbb{M}} \newcommand{\krylov}{\mathrm{Krylov}} \newcommand{\tenseur}{\mathbb{T}} \newcommand{\essentiel}{\mathfrak{E}} \newcommand{\relation}{\mathrm{Rel}} \newcommand{\strictinferieur}{\ < \ } \newcommand{\strictsuperieur}{\ > \ } \newcommand{\ensinferieur}{\eqslantless} \newcommand{\enssuperieur}{\eqslantgtr} \newcommand{\esssuperieur}{\gtrsim} \newcommand{\essinferieur}{\lesssim} \newcommand{\essegal}{\eqsim} \newcommand{\union}{\ \cup \ } \newcommand{\intersection}{\ \cap \ } \newcommand{\opera}{\divideontimes} \newcommand{\autreaddition}{\boxplus} \newcommand{\autremultiplication}{\circledast} \newcommand{\commutateur}[2]{\left[ #1 , #2 \right]} \newcommand{\convolution}{\circledcirc} \newcommand{\correlation}{\ \natural \ } \newcommand{\diventiere}{\div} \newcommand{\modulo}{\bmod} \newcommand{\pgcd}{pgcd} \newcommand{\ppcm}{ppcm} \newcommand{\produitscalaire}[2]{\left\langle #1 \left|\right\relax #2 \right\rangle} \newcommand{\scalaire}[2]{\left\langle #1 \| #2 \right\rangle} \newcommand{\braket}[3]{\left\langle #1 \right| #2 \left| #3 \right\rangle} \newcommand{\orthogonal}{\bot} \newcommand{\forme}[2]{\left\langle #1 , #2 \right\rangle} \newcommand{\biforme}[3]{\left\langle #1 , #2 , #3 \right\rangle} \newcommand{\contraction}[3]{\left\langle #1 \odot #3 \right\rangle_{#2}} \newcommand{\dblecont}[5]{\left\langle #1 \right| #3 \left| #5 \right\rangle_{#2,#4}} \newcommand{\major}{major} \newcommand{\minor}{minor} \newcommand{\maxim}{maxim} \newcommand{\minim}{minim} \newcommand{\argument}{arg} \newcommand{\argmin}{arg\ min} \newcommand{\argmax}{arg\ max} \newcommand{\supessentiel}{ess\ sup} \newcommand{\infessentiel}{ess\ inf} \newcommand{\dual}{\star} \newcommand{\distance}{\mathfrak{dist}} \newcommand{\norme}[1]{\left\| #1 \right\|} \newcommand{\normetrois}[1]{\left|\left\| #1 \right\|\right|} \newcommand{\adh}{adh} \newcommand{\interieur}{int} \newcommand{\frontiere}{\partial} \newcommand{\image}{im} \newcommand{\domaine}{dom} \newcommand{\noyau}{ker} \newcommand{\support}{supp} \newcommand{\signe}{sign} \newcommand{\abs}[1]{\left| #1 \right|} \newcommand{\unsur}[1]{\frac{1}{#1}} \newcommand{\arrondisup}[1]{\lceil #1 \rceil} \newcommand{\arrondiinf}[1]{\lfloor #1 \rfloor} \newcommand{\conjugue}{conj} \newcommand{\conjaccent}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\division}{division} \newcommand{\difference}{\boldsymbol{\Delta}} \newcommand{\differentielle}[2]{\mathfrak{D}^{#1}_{#2}} \newcommand{\OD}[2]{\frac{d #1}{d #2}} \newcommand{\OOD}[2]{\frac{d^2 #1}{d #2^2}} \newcommand{\NOD}[3]{\frac{d^{#3} #1}{d #2^{#3}}} \newcommand{\deriveepartielle}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}} \newcommand{\dblederiveepartielle}[2]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2 \partial #2}} \newcommand{\dfdxdy}[3]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2 \partial #3}} \newcommand{\dfdxdx}[2]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2^2}} \newcommand{\gradient}{\mathbf{\nabla}} \newcommand{\combilin}[1]{\mathrm{span}\{ #1 \}} \newcommand{\trace}{tr} \newcommand{\proba}{\mathbb{P}} \newcommand{\probaof}[1]{\mathbb{P}\left[#1\right]} \newcommand{\esperof}[1]{\mathbb{E}\left[#1\right]} \newcommand{\cov}[2]{\mathrm{cov} \left( #1 , #2 \right) } \newcommand{\var}[1]{\mathrm{var} \left( #1 \right) } \newcommand{\rand}{\mathrm{rand}} \newcommand{\variation}[1]{\left\langle #1 \right\rangle} \newcommand{\composante}{comp} \newcommand{\bloc}{bloc} \newcommand{\ligne}{ligne} \newcommand{\colonne}{colonne} \newcommand{\diagonale}{diag} \newcommand{\matelementaire}{\mathrm{Elem}} \newcommand{\matpermutation}{permut} \newcommand{\matunitaire}{\mathrm{Unitaire}} \newcommand{\gaussjordan}{\mathrm{GaussJordan}} \newcommand{\householder}{\mathrm{Householder}} \newcommand{\rang}{rang} \newcommand{\schur}{\mathrm{Schur}} \newcommand{\singuliere}{\mathrm{DVS}} \newcommand{\convexe}{\mathrm{Convexe}} \newcommand{\petito}[1]{o\left(#1\right)} \newcommand{\grando}[1]{O\left(#1\right)} \)

1 Mesures

1.1 Dépendances

  • Chapitre \ref{chap:ensemble} : Les ensembles
  • Chapitre \ref{chap:ordre} : Les ordres et extréma
  • Chapitre \ref{chap:fonction} : Les fonctions

1.2 Introduction

L'objectif des mesures est de « mesurer » des ensembles, ou plutôt des sous-ensembles d'un ensemble donné. Soit l'ensemble \(\Omega\) et une tribu de sous-ensembles \(\mathcal{T} \subseteq \sousens(\Omega)\). Une mesure sur \(\mathcal{T}\) est une fonction \(\mu : \mathcal{T} \mapsto \setR\) associant une valeur réelle à chaque ensemble de la tribu. On demande que cette mesure soit positive :

\[\mu(A) \ge 0\]

pour tout \(A \in \mathcal{T}\). Il semble également logique que la mesure d'un ensemble vide soit nulle :

\[\mu(\emptyset) = 0\]

Pour toute suite discrète (finie ou infinie) \(\{ A_1,A_2,... \} \subseteq \mathcal{T}\) d'ensembles disjoints deux à deux, on a :

\[A_i \cap A_j = \emptyset\]

pour tout \((i,j)\) tels que \(i \ne j\). On exige dans ce cas que la mesure vérifie la propriété d'additivité :

\[\mu\left( \bigcup_i A_i \right) = \sum_i \mu(A_i)\]

1.2.1 Inclusion

Soit \(A,B \in \mathcal{T}\) avec \(A \subseteq B\). Comme \(C = B \setminus A\) et \(A\) vérifient \(C \cup A = B\) et \(C \cap A = \emptyset\), on a :

\[\mu(B) = \mu(C) + \mu(A) \ge \mu(A)\]

La mesure d'un ensemble « plus petit » au sens de l'inclusion est donc plus petite :

\[\mu(A) \le \mu(B)\]

1.2.2 Union

Soit \(A,B \in \mathcal{T}\). Comme \(A \cup B = (A \setminus B) \cup B\) et \((A \setminus B) \cap B = \emptyset\), on a :

\[\mu(A \cup B) = \mu(A \setminus B) + \mu(B)\]

Comme \(A \setminus B \subseteq A\), on a aussi \(\mu(A \setminus B) \le \mu(A)\). On en déduit que :

\[\mu(A \cup B) \le \mu(A) + \mu(B)\]

On peut en conclure par récurrence que :

\[\mu\left( \bigcup_{i = 0}^n A_i \right) \le \sum_{i = 0}^n \mu(A_i)\]

Puis, par passage à la limite :

\[\mu\left( \bigcup_{i = 0}^{+\infty} A_i \right) \le \sum_{i = 0}^{+\infty} \mu(A_i)\]

1.2.3 Appellation

On dit qu'un ensemble \(A\) est mesurable (pour \(\mu\)) si \(A \in \mathcal{T}\). Dans la suite, nous considérons une mesure \(\mu : \mathcal{T} \mapsto \setR\) et un ensemble mesurable \(A \in \mathcal{T}\).

1.3 Lebesgue

La mesure de Lebesgue \(\mu_L\) est définie sur la tribu \(\mathcal{T}\) engendrée par les ensembles ouverts de \(\setR\). Elle exprime simplement la longueur d'un intervalle. Pour tout :

\[I \in \big\{ \ [a,b], \intervalleouvert{a}{b}, \intervallesemiouvertgauche{a}{b}, \intervallesemiouvertdroite{a}{b} \big\}\]

on a simplement :

\[\mu_L(I) = b - a\]

Soit \(\mathfrak{J}\) l'ensemble des collections au plus dénombrables d'intervalles ouverts disjoints. Pour tout \(A \in \mathcal{T}\), on définit :

\[\mu_I(A) = \inf \accolades{ \sum_{n \in N} \mu_L(I_n) : \{ I_n : n \in N \subseteq \setN \} \in \mathfrak{J} , \ A \subseteq \bigcup_{n \in N} I_n}\]

et :

\[\mu^S(A) = \sup \accolades{ \sum_{n \in N} \mu_L(I_n) : \{ I_n : n \in N \subseteq \setN \} \in \mathfrak{J} , \ \bigcup_{n \in N} I_n \subseteq A }\]

Si :

\[\mu_I(A) = \mu^S(A)\]

on dit que l'ensemble \(A\) est mesurable au sens de Lebesgue et on définit :

\[\mu_L(A) = \mu_I(A) = \mu^S(A)\]

1.3.1 Mesure nulle

Pour tout ensemble \(N\) inclus dans un ensemble \(A \in \mathcal{T}\) de mesure nulle :

\[\mu_L(A) = 0\]

on définit :

\[\mu_L(N) = 0\]

1.3.2 Singleton

On voit que les ensembles de la forme \(\{a\} = [a,a]\) sont de mesure nulle :

\[\mu_L(\{a\}) = a - a = 0\]

On en conclut que pour toute suite discrète de réels $a1,a2,…$, on a :

\[\mu_L(\{a_1,a_2,...\}) = \sum_i \mu_L(\{a_i\}) = 0\]

On a aussi :

\begin{align} b - a = \mu_L([a,b]) &= \mu_L([a,b] \setminus \{a_1,a_2,...\}) + \mu_L(\{a_1,a_2,...\}) \\ &= \mu_L([a,b] \setminus \{a_1,a_2,...\}) + 0 \end{align}

et donc :

\[\mu_L([a,b] \setminus \{a_1,a_2,...\}) = b - a\]

1.4 Mesure de Stieltjes

On associe à toute fonction croissante \(g : \setR \mapsto \setR\) une mesure de Stieltjes \(\mu_g\). Pour tout :

\[I \in \big\{ \ [a,b], \intervalleouvert{a}{b}, \intervallesemiouvertgauche{a}{b}, \intervallesemiouvertdroite{a}{b} \big\}\]

on définit :

\[\mu_g(I) = g(b) - g(a)\]

Soit \(\mathfrak{J}\) l'ensemble des collections au plus dénombrables d'intervalles ouverts disjoints. Pour tout \(A \in \mathcal{T}\), on définit :

\[\mu_g(A) = \inf \accolades{ \sum_{n \in N} \mu_L(I_n) : \{ I_n : n \in N \subseteq \setN \} \in \mathfrak{J} , \ A \subseteq \bigcup_{n \in N} I_n}\]

1.4.1 Mesure nulle

Pour tout ensemble \(N\) inclus dans un ensemble \(A \in \mathcal{T}\) de mesure nulle :

\[\mu_g(A) = 0\]

on définit :

\[\mu_g(N) = 0\]

1.5 Dirac

La mesure de Dirac \(\mu_D^a\) en \(a\) est définie sur \(\sousens(\Omega)\). Il s'agit d'une mesure permettant de détecter si un \(A \subseteq \Omega\) donné contient \(a\). Elle est donc basée sur les fonctions indicatrices :

\( μDa(A) = \indicatriceA(a) =

\begin{cases} 1 & \mbox{ si } a \in A \\ 0 & \mbox{ si } a \notin A \end{cases}

\)

1.6 Mesure produit

Soit les tribus \(\mathcal{T}_1\) et \(\mathcal{T}_2\) et la tribu produit :

\[\mathcal{P} = \{ A \times B : A \in \mathcal{T}_1, \ B \in \mathcal{T}_2 \}\]

A partir de mesures \(\mu : \mathcal{T}_1 \mapsto \setR\) et \(\nu : \mathcal{T}_2 \mapsto \setR\), on peut construire une mesure produit \(\mu \otimes \nu : \mathcal{P} \mapsto \setR\) par :

\[(\mu \otimes \nu)(A \times B) = \mu(A) \cdot \nu(B)\]

1.6.1 Dimension \(n\)

On généralise la mesure de Lebesgue sur \(\setR^n\) par :

\[\mu_L( \intervalleouvert{a_1}{b_1} \times \intervalleouvert{a_2}{b_2} ... \times \intervalleouvert{a_n}{b_n}) = \prod_{i = 1}^n (b_i - a_i)\]

et l'extension à la tribu engendrée par les ouverts de \(\setR^n\) au moyen des supremum et infimum.

1.7 Fonction mesurable

On dit qu'une fonction \(f : A \mapsto \setR\) est mesurable (au sens de la tribu \(\mathcal{T}\)) si la relation \(f^{-1}\) vérifie \(f^{-1}(]a,+\infty[) \in \mathcal{T}\) et \(f^{-1}(]-\infty,a[) \in \mathcal{T}\) pour tout \(a \in \setR\). On a donc :

\( \{ x \in A : f(x) \strictsuperieur a \} \in \mathcal{T} \\ \{ x \in A : f(x) \strictinferieur a \} \in \mathcal{T} \)

1.7.1 Corollaires

On a :

\( \{ x \in A : f(x) \ge a \} = A \setminus \{ x \in A : f(x) \strictinferieur a \} \in \mathcal{T} \\ \{ x \in A : f(x) \le a \} = A \setminus \{ x \in A : f(x) \strictsuperieur a \} \in \mathcal{T} \)

et :

\[\{ x \in A : f(x) = a \} = \{ x \in A : f(x) \ge a \} \cap \{ x \in A : f(x) \le a \} \in \mathcal{T}\]

Les mesures de tous ces ensembles sont donc bien définies pour tout \(a \in \setR\).

1.8 Opposé d'une fonction mesurable

Soit une fonction mesurable \(f : A \mapsto \setR\). On a :

\( \{ x \in A : -f(x) \strictsuperieur a \} = \{ x \in A : f(x) \strictinferieur -a \} \in \mathcal{T} \\ \{ x \in A : -f(x) \strictinferieur a \} = \{ x \in A : f(x) \strictsuperieur -a \} \in \mathcal{T} \)

On en déduit que la fonction opposée \(-f\) est mesurable.

1.9 Fonctions extrema

Soit la suite \(\{ f_n : n \in \setN \}\) de fonctions mesurables. Posons :

\( S = \sup \{ f_n : n \in \setN \} \\ I = \inf \{ f_n : n \in \setN \} \)

On a :

\( \{ x \in A : S(x) \strictsuperieur a \} = \bigcup_n \{ x \in A : f_n(x) \strictsuperieur a \} \in \mathcal{T} \\ \{ x \in A : S(x) \strictinferieur a \} = \bigcap_n \{ x \in A : f_n(x) \strictinferieur a \} \in \mathcal{T} \)

On en conclut que \(\sup_n f_n\) est mesurable. Symétriquement, on a :

\( \{ x \in A : I(x) \strictsuperieur a \} = \bigcap_n \{ x \in A : f_n(x) \strictsuperieur a \} \in \mathcal{T} \\ \{ x \in A : I(x) \strictinferieur a \} = \bigcup_n \{ x \in A : f_n(x) \strictinferieur a \} \in \mathcal{T} \)

On en conclut que \(\inf_n f_n\) est mesurable.

2 Essentialité

2.1 Dépendances

  • Chapitre \ref{chap:mesure} : Les mesures

2.2 Introduction

Soit la mesure \(\mu : \mathcal{T} \mapsto \setR\) et l'ensemble \(A \in \mathcal{T}\). On a envie de dire que tout sous-ensemble de mesure nulle de \(A\) est « négligeable ». L'essentiel de l'information demeurera donc si on s'abstrait d'un quelconque ensemble \(N \subseteq A\) vérifiant \(N \in \mathcal{T}\) et \(\mu(N) = 0\). Le résultat de cette abstraction, soit \(A \setminus N\), est appelé sous-ensemble essentiel de \(A\). On note :

\[\essentiel(A) = \{ A \setminus N : N \subseteq A, \ N \in \mathcal{T}, \ \mu(N) = 0 \}\]

l'ensemble des sous-ensembles essentiels de \(A\).

2.3 Ensembles de mesure nulle

2.3.1 Inclusion

Soit \(A,B \in \mathcal{T}\) avec \(A \subseteq B\) et \(\mu(B) = 0\). On a alors :

\[0 \le \mu(A) \le \mu(B) = 0\]

On en déduit que :

\[\mu(A) = 0\]

Un ensemble inclus dans un ensemble de mesure nulle est également de mesure nulle.

2.3.2 Union

Soit \(A,B \in \mathcal{T}\) avec \(\mu(A) = \mu(B) = 0\). On a alors :

\[0 \le \mu(A \cup B) \le \mu(A) + \mu(B) = 0 + 0 = 0\]

On en déduit que :

\[\mu(A \cup B) = 0\]

De même, la mesure d'une union d'une suite finie d'ensembles de mesure nulle est de mesure nulle :

\[\mu\left( \bigcup_{i = 1}^n A_i \right) = 0\]

On a le même résultat pour les suites infinies :

\[\mu\left( \bigcup_{i = 1}^{+\infty} A_i \right) = 0\]

2.4 Mesure d'un sous-ensemble essentiel

Soit \(E \in \essentiel(A)\). On peut alors trouver \(Z \in \mathcal{T}\) tel que \(Z \subseteq A\), \(E = A \setminus Z\) et vérifiant \(\mu(Z) = 0\). Comme les ensembles \(E\) et \(Z\) sont disjoints et d'union égale à \(A\), on a :

\[\mu(A) = \mu(E) + \mu(Z) = \mu(E) + 0 = \mu(E)\]

On a donc :

\[\mu(E) = \mu(A)\]

pour tout sous-ensemble essentiel \(E \in \essentiel(A)\).

2.5 Convergence de la mesure

Soit une suite d'ensembles \(\{ A_n \in \mathcal{T} : n \in \setN \}\) telle que \(A_m \subseteq A_n\) pour tout naturels \(m,n\) vérifiant \(m \le n\). Posons :

\[A = \bigcup_{n \in \setN} A_n \in \mathcal{T}\]

Considérons la suite d'ensemble \(\{D_n \subseteq A : n \in \setN \}\) définie par :

\begin{align} D_0 &= A_0 \\ D_n &= A_n \setminus A_{n - 1} \end{align}

pour tout \(n \ge 1\). Comme \(A_{n - 1}, D_n \subseteq A_n\), on a \(A_n = A_{n - 1} \cup D_n\). Nous allons montrer par récurrence que :

\[A_n = \bigcup_{k = 0}^n D_k\]

On sait que c'est vrai pour \(n = 0\). Supposons que ce soit vrai pour \(n - 1\). On a :

\[A_n = D_n \cup A_{n - 1} = D_n \cup \bigcup_{k = 0}^{n - 1} D_k = \bigcup_{k = 0}^n D_k\]

Si \(x\) appartient à au moins un des \(A_n\), il appartient à au moins un des \(D_k\) pour \(0 \le k \le n\), et inversément. On en déduit que :

\[A = \bigcup_{n \in \setN} A_n = \bigcup_{k \in \setN} D_k\]

Soit les naturels \(i,j\) avec \(i \ne j\). Soit \(m = \max \{ i, j \}\) et \(n = \min \{ i,j \}\). Si \(D_i = \emptyset\) ou si \(D_j = \emptyset\), on a forcément \(D_i \cap D_j = \emptyset\). Sinon, soit \(x \in D_m\). On a alors \(x \in A_m\) et \(x \notin A_{m - 1}\). Comme \(i \ne j\), on a \(m - 1 \ge n\) et \(A_n \subseteq A_{m - 1}\). On en déduit que :

\[x \notin A_n = \bigcup_{k = 0}^n D_k \subseteq A_{m - 1}\]

En particulier, \(x\) ne peut pas appartenir à \(D_n\). On en conclut que \(D_i \cap D_j = D_m \cap D_n = \emptyset\). Les propriétés de la mesure nous disent alors que :

\[\mu(A_n) = \sum_{k = 0}^n \mu(D_k)\]

et que :

\[\mu(A) = \sum_{n \in \setN} \mu(D_n)\]

Par définition de la somme infinie sur \(\setN\), on a :

\[\sum_{n \in \setN} \mu(D_n) = \lim_{n \to \infty} \sum_{k = 0}^n \mu(D_k)\]

et donc :

\[\lim_{n \to \infty} \mu(A_n) = \mu(A)\]

2.6 Convergence étendue

Soit une suite d'ensembles \(\{ A_n \in \mathcal{T} : n \in \setN \}\) telle que, pour tout \(n \in \setN\), on puisse trouver un sous-ensemble essentiel \(E_n \subseteq A_n\) vérifiant \(E_n \subseteq A_{n + 1}\). Posons :

\[A = \bigcup_{n \in \setN} A_n \in \mathcal{T}\]

Pour tout \(n \in \setN\), on peut donc trouver un \(Z_n \subseteq A_n\) vérifiant \(\mu(Z_n) = 0\) et \(E_n = A_n \setminus Z_n \subseteq A_{n + 1}\). Notons \(Z\) l'union de ces ensembles :

\[Z = \bigcup_{n \in \setN} Z_n\]

et analysons le comportement des \(C_n = A_n \setminus Z\). Notons \(C\) l'union de ces ensembles. On a :

\[C = \bigcup_{n \in \setN} C_n = \bigcup_{n \in \setN} A_n \setminus Z = A \setminus Z\]

Supposons que \(x \in C_n\). On a alors \(x \in A_n\) et \(x \notin Z_n\), d'où \(x \in A_{n + 1}\). Comme \(x \notin Z\), on a aussi \(x \in A_{n + 1} \setminus Z = C_{n + 1}\). On en conclut que \(C_n \subseteq C_{n + 1}\). La récurrence :

\[C_0 \subseteq C_1 \subseteq C_2 \subseteq C_3 \subseteq ...\]

nous montre alors que \(C_m \subseteq C_n\) pour tout \(m,n \in \setN\) vérifiant \(m \le n\). La mesure converge par conséquent vers la mesure de l'union :

\[\lim_{n \to \infty} \mu(C_n) = \mu(C) = \mu(A \setminus Z)\]

Mais comme \(C\) est un sous-ensemble essentiel de \(A\), on a \(\mu(C) = \mu(A)\). Pour la même raison, on a \(\mu(C_n) = \mu(A_n)\). On a donc finalement :

\[\lim_{n \to \infty} \mu(A_n) = \mu(A)\]

2.7 Ordre faible

2.7.1 Infériorité essentielle

Soit deux fonctions \(f,g : A \mapsto \setR\) telles que \(f - g\) soit mesurable. On dit que \(f\) est {\em essentiellement} inférieure à \(g\), et on le note :

\[f \essinferieur g\]

si on peut trouver un sous-ensemble essentiel \(S\) de \(A\) tel que \(f(x) \le g(x)\) en tout point \(x \in S\). On a donc :

\[\mu(\{ x \in A : f(x) \strictsuperieur g(x) \}) = 0\]

2.7.2 Supériorité essentielle

Soit deux fonctions \(f,g : A \mapsto \setR\) telles que \(f - g\) soit mesurable. On dit que \(f\) est {\em essentiellement} supérieure à \(g\), et on le note :

\[f \esssuperieur g\]

si on peut trouver un sous-ensemble essentiel \(S\) de \(A\) tel que \(f(x) \ge g(x)\) en tout point \(x \in S\). On a donc :

\[\mu(\{ x \in A : f(x) \strictinferieur g(x) \}) = 0\]

2.7.3 Validité

La définition de \(f \essinferieur g\) revient à imposer que :

\[\mu(\{ x \in A : f(x) - g(x) \strictsuperieur 0 \}) = 0\]

La définition de \(f \esssuperieur g\) revient à imposer que :

\[\mu(\{ x \in A : f(x) - g(x) \strictinferieur 0 \}) = 0\]

Comme \(f - g\) est mesurable, ces notions sont correctement définies.

2.8 Transitivité

Soit les fonctions \(f,g,h : A \mapsto \setR\) telles que :

\( f \essinferieur g \\ \\ g \essinferieur h \)

Si on pose :

\( Z = \{ x \in A : f(x) \strictsuperieur g(x)\} \\ N = \{ x \in A : g(x) \strictsuperieur h(x)\} \)

on a \(\mu(Z) = \mu(N) = 0\). Comme une union finie d'ensembles de mesure nulle est de mesure nulle, on a \(\mu(N \cup Z) = 0\). Pour tout \(A \setminus (N \cup Z)\), on a \(f(x) \le g(x)\) et \(g(x) \le h(x)\). On en déduit que \(f(x) \le h(x)\). Notre \(f\) est donc inférieure à \(h\) sur \(A\) sauf sur l'ensemble de mesure nulle \(N \cup Z\). On en conclut que la fonction étagée \(f\) est essentiellement inférieure à \(h\) :

\[f \essinferieur h\]

2.9 Conservation sous l'addition

Supposons que \(f \essinferieur g\) et que \(u \essinferieur v\). Les ensembles :

\( Z = \{ x \in A : f(x) \strictsuperieur g(x)\} \\ N = \{ x \in A : u(x) \strictsuperieur v(x)\} \)

sont de mesure nulle. Leur union est donc également de mesure nulle et on a bien entendu \(f(x) + u(x) \le g(x) + v(x)\) sur \(A \setminus (Z \cup N)\) c'est-à-dire sur une sous-ensemble essentiel de \(A\). On en conclut que :

\[f + u \essinferieur g + v\]

2.10 Conservation sous la soustraction

Supposons que \(f \essinferieur g\) et que \(u \esssuperieur v\). Les ensembles :

\( Z = \{ x \in A : f(x) \strictsuperieur g(x)\} \\ N = \{ x \in A : u(x) \strictinferieur v(x)\} \)

sont de mesure nulle. Leur union est donc également de mesure nulle et on a bien entendu \(f(x) - u(x) \le g(x) - v(x)\) sur \(A \setminus (Z \cup N)\) c'est-à-dire sur une sous-ensemble essentiel de \(A\). On en conclut que :

\[f - u \essinferieur g - v\]

2.11 Fonctions max et min

2.11.1 Max

Supposons que \(f,g \essinferieur h\). Les ensembles :

\( Z = \{ x \in A : f(x) \strictsuperieur h(x)\} \\ N = \{ x \in A : g(x) \strictsuperieur h(x)\} \)

sont de mesure nulle. Leur union est donc également de mesure nulle et on a bien entendu \(\max\{f(x) , g(x)\} \le h(x)\) sur \(A \setminus (Z \cup N)\) c'est-à-dire sur une sous-ensemble essentiel de \(A\). On en conclut que :

\[\max\{f,g\} \essinferieur h\]

2.11.2 Min

Supposons que \(f,g \esssuperieur h\). Les ensembles :

\( Z = \{ x \in A : f(x) \strictinferieur h(x)\} \\ N = \{ x \in A : g(x) \strictinferieur h(x)\} \)

sont de mesure nulle. Leur union est donc également de mesure nulle et on a bien entendu \(\min\{f(x) , g(x)\} \ge h(x)\) sur \(A \setminus (Z \cup N)\) c'est-à-dire sur une sous-ensemble essentiel de \(A\). On en conclut que :

\[\min\{f,g\} \esssuperieur h\]

2.12 Egalité

On dit que \(f\) est essentiellement égale à \(g\), et on le note :

\[f \essegal g\]

si et seulement si \(f \essinferieur g\) et \(f \esssuperieur g\). Les ensembles :

\( Z = \{ x \in A : f(x) \strictinferieur g(x)\} \\ N = \{ x \in A : f(x) \strictsuperieur g(x)\} \)

sont alors de mesure nulle. Donc, l'ensemble :

\[D = \{ x \in A : f(x) \ne g(x)\} = Z \cup N\]

est également de mesure nulle.

3 Extrema essentiels

3.1 Dépendances

  • Chapitre \ref{chap:mesure} : Les mesures

3.2 Bornes

Soit la fonction mesurable \(f : A \mapsto \setR\).

3.2.1 Supérieure

On dit que \(f\) est {\em essentiellement} inférieure au réel \(\sigma \in \setR\), et on le note :

\[f \essinferieur \sigma\]

si on peut trouver un sous-ensemble essentiel \(S\) de \(A\) tel que \(f(x) \le \sigma\) en tout point \(x \in S\). On a donc :

\[\mu(\{ x \in A : f(x) \strictsuperieur \sigma \}) = 0\]

On dit aussi que \(f\) est essentiellement majorée par \(\sigma\).

3.2.2 Inférieure

On dit que \(f\) est {\em essentiellement} supérieure au réel \(\lambda \in \setR\), et on le note :

\[f \esssuperieur \lambda\]

si on peut trouver un sous-ensemble essentiel \(S\) de \(A\) tel que \(f(x) \ge \lambda\) en tout point \(x \in S\). On a donc :

\[\mu(\{ x \in A : f(x) \strictinferieur \lambda \}) = 0\]

On dit aussi que \(f\) est essentiellement minorée par \(\lambda\).

3.3 Extrema essentiels

Soit une fonction mesurable \(f : A \mapsto \setR\). Pour tout \(\sigma \in \setR\), notons :

\[\Psi(\sigma) = \{ x \in A : f(x) \strictsuperieur \sigma \}\]

Comme on ne se soucie pas des ensembles de mesure nulle, on peut choisir (si elle existe) une borne supérieure \(\sigma \in \setR\) telle que \(f \essinferieur \sigma\), ce qui revient à imposer que \(\mu(\Psi(\sigma)) = 0\). Notons :

\[\Theta = \{ \sigma \in \setR : f \essinferieur \sigma \} = \{ \sigma \in \setR : \mu(\Psi(\sigma)) = 0 \}\]

La finalité des bornes étant d'encadrer au plus près un ensemble, nous considérons l'infimum (s'il existe) des réels \(\sigma\) possédant cette propriété, et nous l'appelons supremum essentiel :

\[\supessentiel_{x \in A} f(x) = \inf \Theta\]

Symétriquement, on note :

\[\Gamma(\lambda) = \{ x \in A : f(x) \strictinferieur \lambda \}\]

pour tout \(\lambda \in \setR\) et :

\[\Lambda = \{ \lambda \in \setR : f \esssuperieur \lambda \} = \{ \lambda \in \setR : \mu(\Gamma(\lambda)) = 0 \}\]

Si le supremum de \(\Lambda\) existe, on définit alors l'infimum essentiel par :

\[\infessentiel_{x \in A} f(x) = \sup \Lambda\]

Nous disposons donc des bornes :

\( \supessentiel_{x \in A} f(x) = \inf \{ \sigma \in \setR : f \essinferieur \sigma \} \\ \\ \infessentiel_{x \in A} f(x) = \sup \{ \lambda \in \setR : f \esssuperieur \lambda \} \)

3.3.1 Notation

On note aussi :

\( \supessentiel \{f(x) : x \in A\} = \supessentiel_{x \in A} f(x) \\ \infessentiel \{f(x) : x \in A\} = \infessentiel_{x \in A} f(x) \)

Au besoin, la mesure \(\mu\) utilisée est indiquée par :

\( \supessentiel_{x \in A}^\mu f(x) \\ \\ \infessentiel_{x \in A}^\mu f(x) \)

3.4 Existence et estimation

3.4.1 Supremum essentiel

Supposons que \(f\) soit essentiellement inférieure (sur \(A\)) à un certain \(\sigma \in \setR\) et que \(f\) soit essentiellement supérieure à un certain \(\lambda \in \setR\) sur un ensemble \(L \subseteq A\) de mesure strictement positive. On a \(\sigma \in \Theta \ne \emptyset\). Pour tout \(\alpha \in \setR\) tel que \(\alpha \ge \sigma\), on a \(\Psi(\alpha) \subseteq \Psi(\sigma)\). Comme \(\mu(\Psi(\sigma)) = 0\), l'ensemble \(\Psi(\alpha)\) est inclus dans un ensemble de mesure nulle. Il est donc lui-même de mesure nulle et \(\alpha \in \Theta\). On en conclut que :

\[[\sigma, +\infty[ \ \subseteq \Theta\]

pour tout \(\sigma \in \Theta\). Comme \(f\) est essentiellement supérieure à \(\lambda\) sur \(L\), on peut trouver un ensemble de mesure nulle \(Z \subseteq L\) tel que :

\[L \setminus Z = \{ x \in L : f(x) \ge \lambda \}\]

Comme \(L \setminus Z\) est un sous-ensemble essentiel de \(L\), on a \(\mu(L \setminus Z) = \mu(L) \strictsuperieur 0\). Posons :

\[C = \{ x \in A : f(x) \ge \lambda \}\]

Comme \(L \subseteq A\), on a \(L \setminus Z \subseteq C\) et \(\mu(C) \ge \mu(L \setminus Z) \strictsuperieur 0\). Soit \(\beta \in \setR\) vérifiant \(\beta \strictinferieur \lambda\). La condition \(f(x) \ge \lambda\) implique que \(f(x) \strictsuperieur \beta\). On en déduit que :

\[C \subseteq \{ x \in A : f(x) \strictsuperieur \beta \} = \Psi(\beta)\]

On a alors \(\mu(\Psi(\beta)) \ge \mu(C) \strictsuperieur 0\), ce qui implique que \(\beta\) ne peut pas appartenir à \(\Theta\). Tous les éléments \(\theta \in \Theta\) vérifient donc \(\theta \ge \lambda\) et :

\[\Theta \subseteq [\lambda, +\infty[\]

Comme \(\lambda \le \Theta\), l'ensemble de réels \(\Theta\) est non vide et minoré. Il admet donc un infimum :

\[\supessentiel_{x \in A} f(x) = \inf \Theta\]

On se rappelle que l'inclusion \(X \subseteq Y\) implique que \(\inf X \ge \inf Y\). Comme \(\lambda = \inf [\lambda, +\infty[\) et \(\sigma = \inf [\sigma, +\infty[\), les inclusions :

\[[\sigma, +\infty[ \ \subseteq \Theta \subseteq [\lambda, +\infty[\]

nous montrent que :

\[\lambda \le \supessentiel_{x \in A} f(x) \le \sigma\]

3.4.2 Infimum essentiel

Supposons que \(f\) soit essentiellement supérieure (sur \(A\)) à un certain \(\lambda \in \setR\) et que \(f\) soit essentiellement inférieure à un certain \(\sigma \in \setR\) sur un ensemble \(S \subseteq A\) de mesure strictement positive. On a \(\lambda \in \Lambda \ne \emptyset\). Pour tout \(\alpha \in \setR\) tel que \(\alpha \le \lambda\), on a \(\Gamma(\alpha) \subseteq \Gamma(\lambda)\). Comme \(\mu(\Gamma(\lambda)) = 0\), l'ensemble \(\Gamma(\alpha)\) est inclus dans un ensemble de mesure nulle. Il est donc lui-même de mesure nulle et \(\alpha \in \Lambda\). On en conclut que :

\[]-\infty, \lambda] \subseteq \Lambda\]

pour tout \(\lambda \in \Lambda\). Comme \(f\) est essentiellement inférieure à \(\sigma\) sur \(S\), on peut trouver un ensemble de mesure nulle \(Z \subseteq S\) tel que :

\[S \setminus Z = \{ x \in S : f(x) \le \sigma \}\]

Comme \(S \setminus Z\) est un sous-ensemble essentiel de \(S\), on a \(\mu(S \setminus Z) = \mu(S) \strictsuperieur 0\). Posons :

\[C = \{ x \in A : f(x) \le \sigma \}\]

Comme \(S \subseteq A\), on a \(S \setminus Z \subseteq C\) et \(\mu(C) \ge \mu(S \setminus Z) \strictsuperieur 0\). Soit \(\beta \in \setR\) vérifiant \(\beta \strictsuperieur \sigma\). La condition \(f(x) \le \sigma\) implique que \(f(x) \strictinferieur \beta\). On en déduit que :

\[C \subseteq \{ x \in A : f(x) \strictinferieur \beta \} = \Gamma(\beta)\]

On a alors \(\mu(\Gamma(\beta)) \ge \mu(C) \strictsuperieur 0\), ce qui implique que \(\beta\) ne peut pas appartenir à \(\Lambda\). Tous les éléments \(\gamma \in \Lambda\) vérifient donc \(\gamma \le \sigma\) et :

\[\Theta \subseteq \ ]-\infty, \sigma]\]

Comme \(\sigma \ge \Lambda\), l'ensemble de réels non vide \(\Lambda\) est majoré. Il admet donc un supremum :

\[\infessentiel_{x \in A} f(x) = \sup \Lambda\]

On se rappelle que l'inclusion \(X \subseteq Y\) implique que \(\sup X \le \sup Y\). Comme \(\lambda = \sup \ ]-\infty, \lambda]\) et \(\sigma = \sup \ ]-\infty, \sigma]\), les inclusions :

\[]-\infty, \lambda] \ \subseteq \Theta \subseteq \ ]-\infty, \sigma]\]

nous montrent que :

\[\lambda \le \infessentiel_{x \in A} f(x) \le \sigma\]

3.5 Intersection

Supposons que \(A\) soit de mesure strictement positive et que \(\Theta \cap \Lambda \ne \emptyset\). Pour tout \(\alpha \in \setR\), posons :

\[\Xi(\alpha) = \{ x \in A : f(x) = \alpha \}\]

et :

\[\Upsilon(\alpha) = \{ x \in A : f(x) \ne \alpha \}\]

Il est clair que :

\[A = \Xi(\alpha) \cup \Upsilon(\alpha)\]

Comme imposer la différence revient à imposer soit la supériorité soit l'infériorité stricte, on a :

\[\Upsilon(\alpha) = \Psi(\alpha) \cup \Gamma(\alpha)\]

Soit à présent \(\alpha \in \Theta \cap \Lambda\). Comme \(\mu(\Psi(\alpha)) = \mu(\Gamma(\alpha)) = 0\), leur union est également de mesure nulle :

\[\mu(\Upsilon(\alpha)) = 0\]

Si l'intersection \(\Theta \cap \Lambda\) n'est pas vide, la fonction \(f\) est donc essentiellement constante sur \(A\) et \(\Xi(\alpha) = A \setminus \Upsilon(\alpha)\) est un sous-ensemble essentiel de \(A\). On a donc \(\mu(\Xi(\alpha)) = \mu(A) \strictsuperieur 0\). Soit à présent \(\beta \in \setR\) et supposons que \(\beta \ne \alpha\). Si \(f(x) = \beta\), on a forcément \(f(x) \ne \alpha\), donc :

\[\Xi(\beta) = \{ x \in A : f(x) = \beta \} \subseteq \{ x \in A : f(x) \ne \alpha \}\]

L'ensemble \(\Xi(\beta)\) étant inclus dans un ensemble de mesure nulle, on doit avoir \(\mu(\Xi(\beta)) = 0\). Comme \(\mu(\Xi(\alpha)) \strictsuperieur 0\) pour tout \(\alpha \in \Theta \cap \Lambda\), \(\beta\) ne peut pas appartenir à \(\Theta \cap \Lambda\). On en conclut que l'intersection vérifie soit :

\[\Theta \cap \Lambda = \emptyset\]

soit :

\[\Theta \cap \Lambda = \{ \alpha \}\]

pour un certain \(\alpha \in \setR\).

3.5.1 Extrema

Supposons que \(f\) soit essentiellement inférieure à \(\sigma\) et essentiellement supérieure à \(\lambda\) sur \(A\) qui est de mesure strictement positive. On en déduit que les supremum et infimum essentiels existent :

\( S = \supessentiel \{ f(x) : x \in A \} \\ I = \infessentiel \{ f(x) : x \in A \} \)

et que \(\lambda \le \{ S,I \} \le \sigma\). Supposons que \(S \strictinferieur I\) et posons \(\delta = I - S \strictsuperieur 0\). Soit le réel strictement positif \(\epsilon = \delta / 4\). Comme l'infimum est dans l'adhérence, on peut trouver un \(\alpha \in \Theta\) tel que \(\abs{\alpha - S} \le \epsilon\), d'où \(\alpha \le S + \epsilon\). On a alors :

\[[\alpha, +\infty[ \ \subseteq \Theta\]

Comme le supremum est dans l'adhérence, on peut trouver un \(\beta \in \Lambda\) tel que \(\abs{I - \beta} \le \epsilon\), d'où \(\beta \ge I - \epsilon\). On a alors :

\[]-\infty, \beta] \subseteq \Lambda\]

On voit que :

\begin{align} S + \epsilon &= S + \frac{\delta}{4} \\ I - \epsilon &= S + \delta - \frac{\delta}{4} = S + \frac{3 \delta}{4} \end{align}

On a donc :

\[\alpha \le S + \epsilon \strictinferieur I - \epsilon \le \beta\]

et \(\alpha \strictinferieur \beta\). On a aussi :

\[[\alpha,\beta] = \ ]-\infty, \beta] \cap [\alpha, +\infty[ \ \subseteq \Theta \cap \Lambda\]

Donc \(\alpha,\beta \in \Theta \cap \Lambda\) avec \(\alpha \ne \beta\) ce qui impossible. Notre hypothèse est donc fausse et \(I \le S\), c'est-à-dire :

\[\infessentiel_{x \in A} f(x) \le \supessentiel_{x \in A} f(x)\]

3.6 Ordre

Soit les fonctions \(f,g : A \mapsto \setR\) telles que \(f \essinferieur g\).

3.6.1 Supremum essentiel

On a bien entendu :

\[f \essinferieur g \essinferieur \supessentiel_{x \in A} g(x)\]

On en déduit que :

\[\supessentiel_{x \in A} f(x) \le \supessentiel_{x \in A} g(x)\]

3.6.2 Infimum essentiel

On a bien entendu :

\[\infessentiel_{x \in A} f(x) \essinferieur f \essinferieur g\]

On en déduit que :

\[\infessentiel_{x \in A} f(x) \le \infessentiel_{x \in A} g(x)\]

3.7 Addition

Soit les fonctions \(f,g : A \mapsto \setR\).

3.7.1 Supremum essentiel

On sait que :

\( f \essinferieur \sigma = \supessentiel \{ f(x) : x \in A \} \\ g \essinferieur \tau = \supessentiel \{ g(x) : x \in A \} \)

On a donc :

\[f + g \essinferieur \sigma + \tau\]

On en conclut que :

\[\supessentiel_{x \in A} [f(x) + g(x)] \le \supessentiel_{x \in A} f(x) + \supessentiel_{x \in A} g(x)\]

3.7.2 Infimum essentiel

On sait que :

\( f \esssuperieur \lambda = \infessentiel \{ f(x) : x \in A \} \\ g \esssuperieur \gamma = \infessentiel \{ g(x) : x \in A \} \)

On a donc :

\[f + g \esssuperieur \lambda + \gamma\]

On en conclut que :

\[\infessentiel_{x \in A} [f(x) + g(x)] \ge \infessentiel_{x \in A} f(x) + \infessentiel_{x \in A} g(x)\]

Auteur: chimay

Created: 2019-10-01 mar 12:32

Validate