Eclats de vers : Matemat 07 : Intégrales - 2

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1 Fonctions étagées

1.1 Dépendances

  • Chapitre \ref{chap:fonction} : Les fonctions
  • Chapitre \ref{chap:mesure} : Les mesures

1.2 Définition

Soit la mesure \(\mu : \mathcal{T} \mapsto \setR\), l'ensemble \(\Phi \in \mathcal{T}\) et \(A \in \mathcal{T}\) vérifiant \(A \subseteq \Phi\). On dit que la fonction \(w : \Phi \to \setR\) est étagée sur \(A\) si on peut trouver une collection finie \(\{ A_1, ..., A_n \} \subseteq \mathcal{T}\) formant une partition de \(A\) et des réels \(w_i \in \setR\) tels que :

\[w(x) = \sum_{i = 1}^n w_i \cdot \indicatrice_{A_i}(x)\]

pour tout \(x \in A\). On note \(\etagee(A)\) l'ensemble des fonctions étagées sur \(A\).

1.3 Mesurabilité

Soit \(a \in \setR\). Comme :

\[\{ x \in A : w(x) \strictsuperieur a \} = \bigcup \{ A_i : i \in \{1,...,n\}, \ w_i \strictsuperieur a \}\]

et que l'union s'opère sur un nombre fini d'ensembles, on a :

\[\{ x \in A : w(x) \strictsuperieur a \} \in \mathcal{T}\]

On a aussi :

\[\{ x \in A : w(x) \strictinferieur a \} = \bigcup \{ A_i : i \in \{1,...,n\}, \ w_i \strictinferieur a \} \in \mathcal{T}\]

Les fonctions étagées sont mesurables.

1.4 Multiplication par une fonction indicatrice

Soit \(B \subseteq A\). On a :

\begin{align} w(x) \cdot \indicatrice_B(x) &= \sum_{i = 1}^n w_i \cdot \indicatrice_{A_i}(x) \cdot \indicatrice_B(x) \\ &= \sum_{i = 1}^n w_i \cdot \indicatrice[A_i \cap B](x) \end{align}

Soit \(B_i = A_i \cap B\). La fonction \(u = w \cdot \indicatrice_B\) peut se définir par :

\[u(x) = w(x) \cdot \indicatrice_B(x) = \sum_{i = 1}^n w_i \cdot \indicatrice_{B_i}(x)\]

pour tout \(x \in A\). Si \(i \ne j\), on a :

\[B_i \cap B_j = (A_i \cap B) \cap (A_j \cap B) = (A_i \cap A_j) \cap B = \emptyset\]

L'union des \(B_i\) nous donne :

\[\bigcup_i B_i = \bigcup_i (A_i \cap B) = B \cap \bigcup_i A_i = B \cap A = B\]

On en conclut que les ensembles \(B_i\) forment une partition de \(B\). La fonction \(u\) est donc une fonction étagée sur \(B\). Comme \(u\) est nulle sur \(A \setminus B\), on a même :

\[u = 0 \cdot \indicatrice[A \setminus B] + \sum_{i = 1}^n w_i \cdot \indicatrice_{B_i}\]

ce qui montre que \(u\) est une fonction étagée sur \((A \setminus B) \cup B = A\).

1.5 Essentialité

1.5.1 Bornes

Soit l'ensemble \(M\) rassemblant les indices correspondant aux ensembles de mesure non nulle :

\[M = \{ i \in \{1,...,n\} : \mu(A_i) \strictsuperieur 0 \}\]

et l'ensemble \(N\) rassemblant les indices correspondant aux ensembles de mesure nulle :

\[N = \{ i \in \{1,...,n\} : \mu(A_i) = 0 \}\]

Par positivité de la mesure, on a clairement \(M \cup N = \{1,...,n\}\). Comme l'union d'ensembles de mesure nulle est également de mesure nulle, l'ensemble :

\[Z = \bigcup_{i \in N} A_i\]

vérifie \(\mu(Z) = 0\). L'ensemble :

\[A \setminus Z = A \setminus \bigcup_{i \in N} A_i = \bigcup_{i \in M} A_i\]

est donc un sous-ensemble essentiel de \(A\). Comme :

\[\min_{i \in M} w_i \le w(x) \in \{ w_i : i \in M \} \le \max_{i \in M} w_i\]

pour tout \(x \in A \setminus Z\), on a :

\[\min \{ w_i : i \in M \} \essinferieur w \essinferieur \max \{ w_i : i \in M \}\]

1.5.2 Extrema

Soit :

\( \alpha = \arg\max_{i \in M} w_i \in M \\ \beta = \arg\min_{i \in M} w_i \in M \)

On a alors :

\( \sigma = w_\alpha = \max \{ w_i : i \in M \} \\ \lambda = w_\beta = \min \{ w_i : i \in M \} \)

Comme \(w \essinferieur \sigma\), on doit avoir :

\[\supessentiel_{x \in A} w(x) \le \sigma\]

Mais on a aussi \(w = w_\alpha = \sigma\) sur \(A_\alpha\), et a fortiori \(w \ge \sigma\) sur \(A_\alpha\), avec \(\mu(A_\alpha) \strictsuperieur 0\), ce qui implique :

\[\supessentiel_{x \in A} w(x) \ge \sigma\]

Ces deux inégalités nous imposent que :

\[\supessentiel_{x \in A} w(x) = \sigma\]

Comme \(w \esssuperieur \lambda\), on a :

\[\infessentiel_{x \in A} w(x) \ge \lambda\]

Mais on a aussi \(w = w_\beta =\lambda\) sur \(A_\beta\), et a fortiori \(w \le \lambda\) sur \(A_\beta\), avec \(\mu(A_\beta) \strictsuperieur 0\), ce qui implique :

\[\infessentiel_{x \in A} w(x) \le \lambda\]

Ces deux inégalités nous imposent que :

\[\infessentiel_{x \in A} w(x) = \lambda\]

Les extrema essentiels d'une fonction étagée existent toujours et sont très simples à évaluer :

\( \supessentiel_{x \in A} w(x) = \max \{ w_i : i \in \{1,...,n\}, \ \mu(A_i) \strictsuperieur 0 \} \\ \\ \infessentiel_{x \in A} w(x) = \min \{ w_i : i \in \{1,...,n\}, \ \mu(A_i) \strictsuperieur 0 \} \)

1.6 Intégrale d'une mesure

L'intégrale d'une mesure \(\mu : \mathcal{T} \mapsto \setR\) sur \(A \in \mathcal{T}\) est simplement la mesure de \(A\) :

\[\int_A d\mu(x) = \mu(A)\]

1.7 Intégrale d'une constante

On étend la définition aux constantes \(c \in \setR\) par linéarité :

\[\int_A c \ d\mu(x) = c \cdot \int_A d\mu(x) = c \cdot \mu(A)\]

1.7.1 Fonction nulle

La fonction nulle peut être considérée comme la constante \(0\). On a donc :

\[\int_A 0 \ d\mu(x) = 0 \cdot \int_A d\mu(x) = 0\]

1.8 Intégrale d'une fonction étagée

Soit un ensemble \(A\) et une fonction \(w \in \etagee(A)\). On peut trouver des \(w_i \in \setR\) et des \(A_i \in \mathcal{T}\) formant une partition de \(A\) et tels que :

\[w(x) = \sum_{i = 1}^n w_i \cdot \indicatrice_{A_i}(x)\]

pour tout \(x \in A\). On étend la définition de l'intégrale en imposant la linéarité :

\[\int_A w(x) \ d\mu(x) = \sum_{i = 1}^n \int_{A_i} w(x) \ d\mu(x)\]

La fonction étagée \(w\) étant constante et valant \(w_i\) sur chaque \(A_i\), on a :

\[\int_{A_i} w(x) \ d\mu(x) = \int_{A_i} w_i \ d\mu(x) = w_i \cdot \mu(A_i)\]

et finalement :

\[\int_A w(x) \ d\mu(x) = \sum_{i = 1}^n w_i \cdot \mu(A_i)\]

1.9 Unicité

Nous allons vérifier que, pour une fonction étagée \(w\) donnée, l'intégrale ainsi définie ne dépend pas de la partition utilisée. Soit les collections finies d'ensembles \(A_i \in \mathcal{T}\) et \(B_j \in \mathcal{T}\) telles que \(\{A_1,A_2,...,A_m\}\) et \(\{B_1,B_2,...,B_n\}\) forment deux partitions de \(A\) et telles que l'on puisse trouver des \(a_i,b_j \in \setR\) vérifiant :

\[w(x) = \sum_{i = 1}^m a_i \cdot \indicatrice[A_i](x) = \sum_{j = 1}^n b_j \cdot \indicatrice[B_j](x)\]

pour tout \(x \in A\).

1.9.1 Intersection des partitions

Posons \(P = \{1,...,m\} \times \{1,...,n\}\) et \(C_{ij} = A_i \cup B_j \in \mathcal{T}\) pour tout \((i,j) \in P\). Si \(i \ne k\) ou si \(j \ne l\), on a :

\[C_{ij} \cap C_{kl} = A_i \cap B_j \cap A_k \cap B_l = (A_i \cap A_k) \cap (B_j \cap B_l) = \emptyset\]

On voit également que :

\( \bigcup_j C_{ij} = \bigcup_j (A_i \cap B_j) = A_i \cap \bigcup_j B_j = A_i \cap A = A_i \\ \bigcup_i C_{ij} = \bigcup_i (A_i \cap B_j) = B_j \cap \bigcup_i A_i = A \cap B_j = B_j \)

Leur union globale sur les \((i,j)\) s'écrit donc :

\[\bigcup_{i,j} C_{ij} = \bigcup_i A_i = A\]

Les \(C_{ij}\) forment également une partition de \(A\).

Nous savons que les \(C_{ij}\) ne se chevauchent pas et que leur union sur \(j\) permet de reformer les \(A_i\). De même, leur union sur \(i\) permet de reformer les \(B_j\). On en conclut que :

\( \mu(A_i) = \sum_j \mu(C_{ij}) \\ \mu(B_j) = \sum_i \mu(C_{ij}) \)

et :

\( \indicatrice[A_i] = \sum_j \indicatrice[C_{ij}] \\ \indicatrice[B_j] = \sum_i \indicatrice[C_{ij}] \)

1.9.2 Expression alternative

Utilisant les propriétés des \(C_{ij}\), la fonction \(w\) peut se réécrire comme suit :

\[w(x) = \sum_{(i,j) \in P} a_i \cdot \indicatrice[C_{ij}](x) = \sum_{(i,j) \in P} b_j \cdot \indicatrice[C_{ij}](x)\]

On en conclut que :

\[\sum_{(i,j) \in P} (a_i - b_j) \cdot \indicatrice[C_{ij}](x) = 0\]

1.9.3 Implication de l'égalité

Soit un couple \((i,j) \in P\) tel que \(\indicatrice[C_{ij}] \ne 0\), c'est-à-dire \(C_{ij} \ne \emptyset\). Soit \(x \in C_{ij}\). Pour tout \((k,l) \in P \setminus (i,j)\), on a \(C_{kl} \cap C_{ij} = \emptyset\) et donc \(\indicatrice[C_{kl}](x) = 0\). La somme :

\[\sum_{(k,l) \in P} (a_k - b_l) \cdot \indicatrice[C_{kl}](x) = 0\]

se réduit donc à :

\[(a_i - b_j) \cdot \indicatrice[C_{ij}](x) = 0\]

On doit donc avoir \(a_i - b_j = 0\), c'est-à-dire \(a_i = b_j\). On pose :

\[F = \{ (i,j) \in P : C_{ij} \ne \emptyset \}\]

1.9.4 Intégrales

L'intégrale évaluée sur le découpage des \(A_i\) s'écrit :

\[I = \sum_i a_i \cdot \mu(A_i) = \sum_{(i,j) \in P} a_i \cdot \mu(C_{ij})\]

Mais comme \(\mu(C_{ij}) = \mu(\emptyset) = 0\) pour tout \((i,j) \in P \setminus F\), on a finalement :

\[I = \sum_{(i,j) \in F} a_i \cdot \mu(C_{ij})\]

De même, l'intégrale évaluée sur le découpage des \(B_j\) s'écrit :

\[J = \sum_j b_j \cdot \mu(B_j) = \sum_{(i,j) \in P} b_j \cdot \mu(C_{ij}) = \sum_{(i,j) \in F} b_j \cdot \mu(C_{ij})\]

Comme \(a_i = b_j\) pour tous les couples \((i,j) \in F\), on en déduit que :

\[J = \sum_{(i,j) \in F} a_i \cdot \mu(C_{ij}) = I\]

L'intégrale d'une fonction étagée ne dépend donc pas du choix de la partition utilisée.

1.10 Ordre

Soit les fonctions étagées \(u,v \in \etagee(A)\) vérifiant \(u \essinferieur v\). Soit les partitions \(\{U_1,...,U_m\}\) et \(\{V_1,...,V_n\}\) et les réels \(u_i,v_j\) tels que :

\( u(x) = \sum_{i = 1}^m u_i \cdot \indicatrice_{U_i}(x) \\ v(x) = \sum_{j = 1}^n v_j \cdot \indicatrice_{V_j}(x) \)

pour tout \(x \in A\). Si \(W_{ij} = U_i \cap V_j\), on sait que :

\( u(x) = \sum_{i,j} u_i \cdot \indicatrice[W_{ij}](x) \\ v(x) = \sum_{i,j} v_j \cdot \indicatrice[W_{ij}](x) \)

Posons \(P = \{1,...,m\} \times \{1,...,n\}\) et :

\[M = \{ (i,j) \in P : \mu(W_{ij}) \strictsuperieur 0 \}\]

Considérons le choix \((i,j) \in P\) et \(x \in W_{ij}\). Comme \(u\) est essentiellement inférieure à \(v\), on doit avoir \(u_i \le v_j\) dès que \(\mu(W_{ij}) \strictsuperieur 0\), c'est-à-dire lorsque \((i,j) \in M\). Examinons à présent les intégrales. Les mesures des \(W_{ij}\) s'annulant pour tout \((i,j) \in P \setminus M\), on a :

\[\int_A u(x) \ d\mu(x) = \sum_{i,j} u_i \cdot \mu(W_{ij}) = \sum_{(i,j) \in M} u_i \cdot \mu(W_{ij})\]

et :

\[\int_A v(x) \ d\mu(x) = \sum_{i,j} v_j \cdot \mu(W_{ij}) = \sum_{(i,j) \in M} v_j \cdot \mu(W_{ij})\]

La propriété \(u_i \le v_j\) étant vérifiée pour tout \((i,j) \in M\), on en conclut que :

\[\int_A u(x) \ d\mu(x) \le \int_A v(x) \ d\mu(x)\]

L'intégrale conserve l'ordre essentiel entre fonctions étagées.

1.10.1 Signe

Comme la fonction constante \(0\) est un cas particulier de fonction étagée, l'intégrale d'une fonction étagée \(u\) essentiellement supérieure à zéro est positive. De même, l'intégrale d'un fonction étagée \(v\) essentiellement inférieure à zéro est négative.

1.10.2 Egalité

Soit deux fonctions étagées \(u,v\) essentiellement égales (\(u \essegal v\)). On a \(u \essinferieur v\) et l'intégrale de \(u\) est inférieure à l'intégrale de \(v\). Mais on a aussi \(u \esssuperieur v\) et l'intégrale de \(u\) est supérieure à l'intégrale de \(v\). On en conclut que :

\[\int_A u(x) \ d\mu(x) = \int_A v(x) \ d\mu(x)\]

1.11 Encadrement

Soit \(w \in \etagee(A)\). Comme les constantes sont des cas particuliers de fonctions étagées et que l'on a :

\[\infessentiel_{x \in A} w(x) \essinferieur w \essinferieur \supessentiel_{x \in A} w(x)\]

on en conclut en intégrant que :

\[\mu(A) \cdot \infessentiel_{x \in A} w(x) \le \int_A w(x) \ d\mu(x) \le \mu(A) \cdot \supessentiel_{x \in A} w(x)\]

1.12 Propriétés extrémales

Soit \(w \in \etagee(A)\). Si \(u\) est une fonction étagée vérifiant \(u \essinferieur w\), l'intégrale de \(u\) est inférieure à l'intégrale de \(w\). Par ailleurs, le choix \(u = w \essinferieur w\) reproduit bien entendu l'intégrale de \(w\). On en conclut que :

\[\int_A w(x) \ d\mu(x) = \sup \left\{ \int_A u(x) \ d\mu(x) : u \in \etagee(A), \ u \essinferieur w \right\}\]

On aboutit avec un raisonnement analogue à :

\[\int_A w(x) \ d\mu(x) = \inf \left\{ \int_A v(x) \ d\mu(x) : v \in \etagee(A), \ v \esssuperieur w \right\}\]

1.13 Additivité

Soit les ensembles \(A\) et \(B\) disjoints :

\[A \cap B = \emptyset\]

et une fonction \(w \in \etagee(A \cup B)\). On peut trouver des \(w_i \in \setR\) et des \(C_i \in \mathcal{T}\) formant une partition de \(A \cup B\) et tels que :

\[w(x) = \sum_i w_i \cdot \indicatrice_{C_i}(x)\]

pour tout \(x \in A\). On sait que les \(A_i = C_i \cap A\) forment une partition de \(A\) et que les \(B_i = C_i \cap B\) forment une partition de \(B\). On a aussi :

\[A_i \cap B_i = C_i \cap A \cap C_i \cap B = C_i \cap (A \cap B) = \emptyset\]

Comme :

\[C_i = C_i \cap (A \cup B) = (C_i \cap A) \cup (C_i \cap B) = A_i \cup B_i\]

on a \(\indicatrice[C_i] = \indicatrice[A_i] + \indicatrice[B_i]\) et :

\begin{align} w &= \sum_i w_i \cdot (\indicatrice[A_i] + \indicatrice[B_i]) \\ &= \sum_i w_i \cdot \indicatrice[A_i] + \sum_i w_i \cdot \indicatrice[B_i] \end{align}

Evaluons l'intégrale de \(w\) sur \(A \cup B\). Il vient :

\begin{align} \int_{A \cup B} w(x) \ d\mu(x) &= \sum_i w_i \cdot \mu(A_i) + \sum_i w_i \cdot \mu(B_i) \\ &= \int_A w(x) \ d\mu(x) + \int_B w(x) \ d\mu(x) \end{align}

L'intégrale des fonctions étagées est donc additive sur les ensembles concernés.

1.14 Propriétés diverses

Soit \(u,v \in \etagee(A)\). On peut trouver des \(u_i,v_j \in \setR\) et des \(U_i,V_i \in \mathcal{T}\) tels que \(\{U_1,...,U_n\}\) et \(\{V_1,...,V_m\}\) forment des partitions de \(A\) et vérifiant :

\( u(x) = \sum_{i = 1}^n u_i \cdot \indicatrice[U_i](x) \\ v(x) = \sum_{j = 1}^m v_j \cdot \indicatrice[V_j](x) \)

pour tout \(x \in A\). Nous avons vu que les intersections \(W_{ij} = U_i \cup V_j \in \mathcal{T}\) forment aussi une partition de \(A\) et qu'elles possèdent les propriétés :

\( \mu(U_i) = \sum_j \mu(W_{ij}) \\ \mu(V_j) = \sum_i \mu(W_{ij}) \)

et :

\( \indicatrice[U_i] = \sum_j \indicatrice[W_{ij}] \\ \indicatrice[V_j] = \sum_i \indicatrice[W_{ij}] \)

Les fonctions \(u,v\) peuvent donc également s'exprimer comme :

\( u(x) = \sum_{i,j} u_i \cdot \indicatrice[W_{ij}](x) \\ v(x) = \sum_{i,j} v_j \cdot \indicatrice[W_{ij}](x) \)

1.14.1 Espace vectoriel

Soit \(\alpha,\beta \in \setR\). On voit que la fonction \(w : A \mapsto \setR\) définie par :

\[w(x) = \alpha \cdot u(x) + \beta \cdot v(x)\]

est également une fonction étagée puisque :

\[w(x) = \sum_{i,j} (\alpha \cdot u_i + \beta \cdot v_j) \cdot \indicatrice[W_{ij}](x)\]

Nous venons de montrer que toute combinaison linéaire de fonctions étagées est une fonction étagée. L'ensemble \(\etagee(A)\) forme donc un espace vectoriel sur \(\setR\).

1.14.2 Intégrale

Evaluons l'intégrale de \(w\). On obtient :

\begin{align} \int_A w(x) \ d\mu(x) &= \sum_{i,j} (\alpha \cdot u_i + \beta \cdot v_j) \cdot \mu(W_{ij}) \\ &= \alpha \sum_i u_i \sum_j \mu(W_{ij}) + \beta \sum_j v_j \sum_i \mu(W_{ij}) \\ &= \alpha \sum_i u_i \cdot \mu(U_i) + \beta \sum_j v_j \cdot \mu(V_j) \\ &= \alpha \int_A u(x) \ d\mu(x) + \beta \int_A v(x) \ d\mu(x) \end{align}

On en conclut que :

\[\int_A (\alpha \cdot u(x) + \beta \cdot v(x)) \ d\mu(x) = \alpha \cdot \int_A u(x) \ d\mu(x) + \beta \cdot \int_A v(x) \ d\mu(x)\]

Nous venons de prouver la linéarité de l'intégrale des fonctions étagées.

1.14.3 Fonctions max et min

On voit que la fonction :

\[\max\{u,v\}(x) = \sum_{i,j} \max\{u_i,v_j\} \cdot \indicatrice[W_{ij}](x)\]

est également une fonction étagée. Il en va de même pour :

\[\min\{u,v\}(x) = \sum_{i,j} \min\{u_i,v_j\} \cdot \indicatrice[W_{ij}](x)\]

1.15 Mesure nulle

Soit un ensemble \(A\) vérifiant \(\mu(A) = 0\) et une fonction \(w\) étagée sur \(A\) définie par :

\[w(x) = \sum_{i = 1}^n w_i \cdot \indicatrice_{A_i}(x)\]

pour tout \(x \in A\). Les \(w_i\) sont bien entendu des réels et les \(A_i\) forment une partition de \(A\). Comme les \(A_i\) sont inclus dans l'ensemble \(A\) qui est de mesure nulle, on a \(\mu(A_i) = 0\). L'intégrale s'écrit donc :

\[\int_A w(x) \ d\mu(x) = \sum_{i = 1}^n w_i \cdot \mu(A_i) = \sum_{i = 1}^n w_i \cdot 0 = 0\]

L'intégrale d'une fonction étagée sur un ensemble de mesure nulle est nulle.

1.16 Mesurabilité et opérations

Soit la mesure \(\mu : \mathcal{T} \mapsto \setR\), l'ensemble \(A \in \mathcal{T}\), une fonction mesurable \(f : A \mapsto \setR\) et une fonction étagée \(w \in \etagee(A)\). Considérons un choix de \(w_i \in \setR\) et de \(A_i \in \mathcal{T}\) formant une partition de \(A\) et tels que :

\[w(x) = \sum_{i = 1}^n w_i \cdot \indicatrice_{A_i}(x)\]

pour tout \(x \in A\).

1.16.1 Addition

On a clairement :

\begin{align} \{ x \in A : f(x) + w(x) \strictsuperieur a \} &= \bigcup_{i = 1}^n \{ x \in A_i : f(x) + w(x) \strictsuperieur a \} \\ &= \bigcup_{i = 1}^n \{ x \in A_i : f(x) + w_i \strictsuperieur a \} \\ &= \bigcup_{i = 1}^n \{ x \in A_i : f(x) \strictsuperieur a - w_i \} \end{align}

Comme \(f\) est mesurable, les ensembles :

\[F_i = \{ x \in A_i : f(x) \strictsuperieur a - w_i \}\]

appartiennent à \(\mathcal{T}\). Comme l'union opère sur un nombre fini d'ensembles, on a :

\[\{ x \in A : f(x) + w(x) \strictsuperieur a \} = \bigcup_{i = 1}^n F_i \in \mathcal{T}\]

On conclut de même que :

\[\{ x \in A : f(x) + w(x) \strictinferieur a \} = \bigcup_{i = 1}^n \{ x \in A_i : f(x) \strictinferieur a - w_i \} \in \mathcal{T}\]

La fonction \(f + w\) est donc mesurable. Il en va de même pour \(-(f + w) = -f - w\).

1.16.2 Soustraction

Comme l'opposé d'une fonction étagée est une fonction étagée :

\[-w(x) = - \sum_{i = 1}^n w_i \cdot \indicatrice_{A_i}(x) = \sum_{i = 1}^n (-w_i) \cdot \indicatrice_{A_i}(x)\]

la fonction \(f - w = f + (-w)\) est également mesurable. Il en va de même pour \(-(f - w) = w - f\).

2 Décomposition en fonctions positives

2.1 Dépendances

  • Chapitre \ref{chap:ensemble} : Les ensembles
  • Chapitre \ref{chap:ordre} : Les ordres et extréma
  • Chapitre \ref{chap:fonction} : Les fonctions

2.2 Introduction

On considère une fonction mesurable \(f : A \mapsto \setR\) et les fonctions positives associées \(f^+,f^- : A \mapsto \setR\) définies par :

\begin{align} f^+(x) &= \max \{ f(x) , 0 \} \ge 0 \\ f^-(x) &= \max \{ -f(x) , 0 \} \ge 0 \end{align}

2.3 Mesurabilité

On constate que les ensembles suivant sont dans la tribu :

\begin{align} A^+ &= \{ x \in A : f(x) \strictsuperieur 0 \} \in \mathcal{T} \\ A^0 &= \{ x \in A : f(x) = 0 \} \in \mathcal{T} \\ A^- &= \{ x \in A : f(x) \strictinferieur 0 \} \in \mathcal{T} \end{align}

On a clairement \(A = A^+ \cup A^0 \cup A^-\). On voit que :

  • Sur \(A^+\), on a \(f^+ = f \strictsuperieur 0\) et \(f^- = 0\)
  • Sur \(A^0\), on a \(f^+ = f = 0\) et \(f^- = -f = 0\)
  • Sur \(A^-\) on a \(f^+ = 0\) et \(f^- = -f \strictsuperieur 0\)

2.3.1 Conditions \(\strictsuperieur a\)

Soit un réel \(a \strictinferieur 0\). La condition \(f^+(x) \ge 0 \strictsuperieur a\) implique que \(f^+(x) \strictsuperieur a\). Comme \(f^+\) est positive, cette condition est satisfaite pour tout \(x \in A\). Il en va de même pour \(f^-\). Donc :

\( \{ x \in A : f^+(x) \strictsuperieur a \} = \{ x \in A : f^+(x) \ge 0 \} = A \in \mathcal{T} \\ \{ x \in A : f^-(x) \strictsuperieur a \} = \{ x \in A : f^-(x) \ge 0 \} = A \in \mathcal{T} \)

Soit un réel \(a \ge 0\). La condition \(f^+(x) \strictsuperieur a\) implique que \(f^+(x) \strictsuperieur 0\). Un \(x\) vérifiant cette condition est donc forcément dans \(A^+\), où \(f^+ = f\). On peut alors faire sortir la condition \(x \in A^+\) en utilisant l'intersection. Comme l'intersection de deux ensembles d'une tribu est dans la tribu, on a finalement :

\begin{align} \{ x \in A : f^+(x) \strictsuperieur a \} &= \{ x \in A^+ : f^+(x) \strictsuperieur a \} \\ &= \{ x \in A^+ : f(x) \strictsuperieur a \} \\ &= \{ x \in A : f(x) \strictsuperieur a \} \cap A^+ \in \mathcal{T} \end{align}

La condition \(f^-(x) \strictsuperieur a\) implique que \(f^-(x) \strictsuperieur 0\). Un \(x\) vérifiant cette condition est donc forcément dans \(A^-\), où \(f^- = -f\). On peut alors faire sortir la condition \(x \in A^-\) en utilisant l'intersection. La fonction \(-f\) étant mesurable, on a finalement :

\begin{align} \{ x \in A : f^-(x) \strictsuperieur a \} &= \{ x \in A^- : f^-(x) \strictsuperieur a \} \\ &= \{ x \in A^- : -f(x) \strictsuperieur a \} \\ &= \{ x \in A : -f(x) \strictsuperieur a \} \cap A^- \in \mathcal{T} \end{align}

2.3.2 Conditions \(\strictinferieur a\)

Soit un réel \(a \le 0\). Comme \(f^+ \ge 0\), la condition \(f^+(x) \strictinferieur a \le 0\) n'est satisfaite pour aucun \(x \in A\). Il en va de même pour \(f^-\). Donc :

\( \{ x \in A : f^+(x) \strictinferieur a \} = \emptyset \in \mathcal{T} \\ \{ x \in A : f^-(x) \strictinferieur a \} = \emptyset \in \mathcal{T} \)

Soit un réel \(a \strictsuperieur 0\). Les \(x \in A\) vérifiant La condition \(f^+(x) \strictinferieur a\) sont de deux types :

  • Si \(x \in A^- \cup A^0\), on a \(f^+(x) = 0 \strictinferieur a\). La condition est alors a fortiori satisfaite.
  • Sinon, \(x \in A \setminus (A^- \cup A^0) = A^+\) et il faut toujours imposer \(f^+(x) \strictinferieur a\). Par contre, on a alors \(f = f^+\).

On a donc :

\begin{align} \{ x \in A : f^+(x) \strictinferieur a \} &= (A^- \cup A^0) \cup \{ x \in A^+ : f^+(x) \strictsuperieur a \} \\ &= A^- \cup A^0 \cup \{ x \in A^+ : f(x) \strictsuperieur a \} \in \mathcal{T} \end{align}

Les \(x \in A\) vérifiant La condition \(f^-(x) \strictinferieur a\) sont de deux types :

  • Si \(x \in A^+ \cup A^0\), on a \(f^-(x) = 0 \strictinferieur a\). La condition est alors a fortiori satisfaite.
  • Sinon, \(x \in A \setminus (A^+ \cup A^0) = A^-\) et il faut toujours imposer \(f^-(x) \strictinferieur a\). Par contre, on a alors \(f = -f^-\).

On a donc :

\begin{align} \{ x \in A : f^-(x) \strictinferieur a \} &= (A^+ \cup A^0) \cup \{ x \in A^- : f^-(x) \strictsuperieur a \} \\ &= A^- \cup A^0 \cup \{ x \in A^- : -f(x) \strictsuperieur a \} \in \mathcal{T} \end{align}

On conclut de ce qui précède que les fonctions \(f^+\) et \(f^-\) sont mesurables.

Auteur: chimay

Created: 2019-10-01 mar 12:34

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