Eclats de vers : Matemat 07 : Intégrales - 4

Soit les mesures \(\gamma, \lambda\) et la mesure \(\mu\) définie par :

\[\mu = \gamma + \lambda\]

Soit un ensemble \(A\) et une fonction \(w \in \etagee(A)\). On peut trouver des \(w_i \in \setR\) et des \(A_i \in \mathcal{T}\) formant une partition de \(A\) et tels que :

\[w(x) = \sum_{i = 1}^n w_i \cdot \indicatrice_{A_i}(x)\]

On a alors :

\begin{align} \int_A w(x) \ d\mu(x) &= \sum_{i = 1}^n w_i \cdot \mu(A_i) \\ &= \sum_{i = 1}^n w_i \cdot (\gamma(A_i) + \lambda(A_i)) \\ &= \sum_{i = 1}^n w_i \cdot \gamma(A_i) + \sum_{i = 1}^n w_i \cdot \lambda(A_i) \\ &= \int_A w(x) \ d\gamma(x) + \int_A w(x) \ d\lambda(x) \end{align}

En passant au suprémum sur toutes les fonctions étagées \(w\) essentiellement inférieures à une fonction positive intégrable, puis en utilisant la définition d'une fonction intégrable \(f\) on en déduit que :

\[\int_A f(x) \ d(\gamma + \lambda)(x) = \int_A f(x) \ d\gamma(x) + \int_A f(x) \ d\lambda(x)\]

Soit \(A \subseteq \setR^n\) et \(\mu_L\) la mesure de Lebesgue. On note alors \(d\mu_L(x) = dx\) ou :

\[d\mu_L(x) = dx = dx_1 \ ... \ dx_n\]

et :

\[\int_A f(x) \ dx = \int_A f(x) \ d\mu_L(x)\]

Soit la fonction croissante \(\gamma : A \mapsto \setR\). L'intégrale de Stieltjes associée à \(\gamma\) se note :

\[\int_A f(x) \ d\gamma(x)\]

Elle se définit d'après la mesure de Stieltjes \(\mu_\gamma\) associée à \(\gamma\) :

\[\int_A f(x) \ d\gamma(x) = \int_A f(x) \ d\mu_\gamma(x)\]

Soit une fonction essentiellement positive \(\varphi\) telle que la fonction \(\mu\) associée définie par :

\[\mu(A) = \int_A \varphi(x) \ dx\]

soit une mesure. Considérons une fonction \(w \in \mathcal{E}_A(f)\), avec :

\[w = \sum_i w_i \cdot \indicatrice_{A_i}\]

où les \(A_i\) forment une partition de \(A\) et où les \(w_i \in \setR\). On a alors :

\[\int_A w(x) \ d\mu(x) = \sum_i w_i \cdot \int_{A_i} \varphi(x) \ dx\]

Par linéarité de l'intégrale, on voit aussi que :

\begin{align} \int_A w(x) \cdot \varphi(x) \ dx &= \sum_i w_i \cdot \int_A \varphi(x) \cdot \indicatrice_{A_i}(x) \ dx \\ &= \sum_i w_i \cdot \int_{A_i} \varphi(x) \ dx \end{align}

On en conclut que :

\[\int_A w(x) \ d\mu(x) = \int_A w(x) \cdot \varphi(x) \ dx\]

Comme \(\varphi\) est positive, on a l'équivalence entre \(w \essinferieur f\) et \(w \cdot \varphi \essinferieur f \cdot \varphi\). En passant au supremum, on obtient donc :

\[\int_A f(x) \ d\mu(x) = \int_A f(x) \cdot \varphi(x) \ dx\]

pour toute fonction intégrable \(f : A \to \setR\). On note symboliquement :

\[d\mu(x) = \varphi(x) \ dx\]

L'intégrale d'une fonction \(f : \setR \to \setR\) par rapport à une mesure de Dirac \(\mu_D^a\) est fort simple à calculer. En effet :

\[\int_A d\mu_D^a(x) = \mu_D^a(A) = \indicatrice_A(a)\]

par définition. Si \(a \notin A\), l'ensemble \(A\) est de mesure nulle et :

\[\int_A f(x) \ d\mu_D^a(x) = 0\]

Considérons à présent le cas où \(a \in A\). L'ensemble \(A \setminus \{a\}\) étant disjoint de \(\{a\}\) et de mesure nulle :

\[\int_{A \setminus \{a\}} d\mu_D^a(x) = \indicatrice_{A \setminus \{a\}}(a) = 0\]

on a :

\[\int_A f(x) \ d\mu_D^a(x) = \int_{\{a\}} f(x) \ d\mu_D^a(x)\]

La fonction \(f\) étant constante sur \(\{a\}\) et valant \(f(a)\), on a finalement :

\[\int_A f(x) \ d\mu_D^a(x) = f(a) \cdot \indicatrice_{\{a\}}(a) = f(a)\]

Dans le cas général, on a donc :

\[\int_A f(x) \ d\mu_D^a(x) = f(a) \cdot \indicatrice_A(a)\]

On note également :

\[\int_A f(x) \ \indicatrice(x - a) \ dx = f(a) \cdot \indicatrice_A(a)\]

Soit une mesure \(\mu\) définie par :

\[d\mu(x) = \left[ \varphi(x) + \sum_i \alpha_i \cdot \indicatrice(x - x_i) \right] \ dx\]

où les \(\alpha_i \in \setR\). Si les \(x_i\) appartiennent tous à \(A\), l'intégrale d'une fonction \(f\) par rapport à cette mesure s'écrit :

\[\int_A f(x) \ d\mu(x) = \int_A f(x) \cdot \varphi(x) \ dx + \sum_i \alpha_i \cdot f(x_i)\]

Soit une fonction \(f : \setR \mapsto \setR\) et \(a,b \in \setR\) tels que \(a \le b\).

Soit \(a,b,c,\alpha,\beta \in \setR\) avec \(\alpha \le a,b,c \le \beta\). Soit une fonction intégrable \(f : [\alpha,\beta] \mapsto \setR\). Posons :

\[I(x,y) = \int_x^y f(\xi) \ d\xi\]

où \(d\xi = d\mu_L(\xi)\) est la mesure de Lebesgue. Par définition, on a :

\[I(y,x) = - I(x,y)\]

Si \(a \le b \le c\), on a :

\[\mu_L( [a,b] \cap [b,c] ) = \mu_L( \{ b \} ) = 0\]

L'additivité nous donne alors :

\[I(a,c) = I(a,b) + I(b,c)\]

Si \(a \le c \le b\), on a :

\[\mu_L( [a,c] \cap [c, b] ) = \mu_L( \{ c \} ) = 0\]

et :

\[I(a,b) = I(a,c) + I(c,b)\]

On en déduit que :

\[I(a,c) = I(a,b) - I(c,b) = I(a,b) + I(b,c)\]

On vérifie pareillement, en considérant tous les cas, que \(I(a,b) = I(a,c) + I(c,b)\) quel que soit l'ordre des réels \(a,b,c\). On a donc :

\[\int_a^c f(x) \ dx = \int_a^b f(x) \ dx + \int_b^c f(x) \ dx\]

Soit la fonction intégrable et continue \(f : [a,b] \mapsto \setR\). Pour la mesure de Lebesgue, on a :

Les bornes d'une fonction continue sur un intervalle fermé étant atteintes, on peut trouver des réels \(\sigma,\lambda \in [a,b]\) tels que :

Les bornes de l'intégrales nous disent que :

\[f(\lambda) \le \unsur{b - a} \int_a^b f(s) ds \le f(\sigma)\]

Le théorème des valeurs intermédiaires nous permet alors de trouver un \(c\) compris entre \(\lambda\) et \(\sigma\) (et donc dans \([a,b]\)) tel que :

\[f(c) = \unsur{b - a} \int_a^b f(s) ds\]

• Chapitre \ref{chap:mesure} : Les normes
• Chapitre \ref{chap:ps} : Les produits scalaires
• Chapitre \ref{chap:integral} : Les intégrales

Soit une fonction \(f : A \mapsto \setR\) et sa décomposition en fonctions positives \(f = f^+ - f^-\). Soit \(\abs{f} : A \mapsto \setR\) définie par :

\[\abs{f}(x) = \abs{f(x)}\]

pour tout \(x \in A\). Si \(f(x) \ge 0\), on a \(f^-(x) = 0\) et :

\[\abs{f(x)} = f(x) = f^+(x) = f^+(x) + f^-(x)\]

Si \(f(x) \strictinferieur 0\), on a \(f^+(x) = 0\) et :

\[\abs{f(x)} = -f(x) = f^-(x) = f^+(x) + f^-(x)\]

On en conclut que \(\abs{f} = f^+ + f^-\). Si \(f\) est intégrable, \(f^+\) et \(f^-\) le sont aussi et :

\[\int_A \abs{f(x)} \ d\mu(x) = \int_A f^+(x) \ d\mu(x) + \int_A f^-(x) \ d\mu(x) \strictinferieur +\infty\]

La fonction \(\abs{f}\) est donc également intégrable. Inversément, si \(\abs{f}\) est intégrable, on a \(f^+ = \abs{f} - f^- \le \abs{f}\) et \(f^- = \abs{f} - f^+ \le \abs{f}\), d'où :

La fonction \(f\) est donc également intégrable. On en conclut que l'on peut représenter l'ensemble des fonctions intégrables par :

\[\lebesgue(A) = \left\{ f \in \setR^A : \int_A \abs{f(x)} \ d\mu(x) \strictinferieur +\infty \right\}\]

Soit une fonction à valeurs complexes \(u : A \mapsto \setC\). On définit les fonctions à valeurs réelles associées \(v,w : A \mapsto \setR\) par :

L'intégrale de la fonction \(u\) est alors définie par :

\[\int_A u(x) \ d\mu(x) = \int_A \phi(x) \ d\mu(x) + \img \int_A \psi(x) \ d\mu(x)\]

Par analogie avec le produit scalaire sur \(\corps^n\) :

\[\scalaire{x}{y} = \sum_i \conjaccent{x}_i \cdot y_i \equiv \sum_i \conjaccent{x}(i) \cdot y(i)\]

on définit le produit scalaire entre deux fonctions \(u,v : A \mapsto \setC\) par :

\[\scalaire{u}{v} = \int_A \conjaccent{u(x)} \cdot v(x) \ d\mu(x)\]

Cette application est clairement hermitienne et linéaire à droite. Comme l'intégrale d'une fonction positive est positive, on a aussi :

\[\scalaire{u}{u} = \int_A \abs{u(x)}^2 \ d\mu(x) \ge 0\]

Il ne s'agit cependant pas tout à fait d'un produit scalaire, car la condition :

\[\scalaire{u}{u} = \int_A \abs{u(x)}^2 \ d\mu(x) = 0\]

n'implique pas que \(u = 0\) partout sur \(A\). Par contre, l'annulation de cette intégrale implique que la fonction positive \(x \mapsto \abs{u(x)}^2\) soit essentiellement nulle. On aura donc également \(u \essegal 0\). L'application \(\scalaire{}{}\) est donc essentiellement un produit scalaire. On parlera aussi de produit scalaire au sens faible. La norme essentielle (ou norme faible) associée est :

\[\norme{u} = \sqrt{ \scalaire{u}{u} } = \sqrt{ \int_A \abs{u(x)}^2 \ d\mu(x) }\]

Sur quel espace ce « produit scalaire » est-il correctement défini ? Il faut que la norme associée soit finie :

\[\norme{u}^2 = \scalaire{u}{u} = \int_A \abs{u(x)}^2 \ d\mu(x) \strictinferieur +\infty\]

Si les normes de \(u\) et \(v\) sont finies, Cauchy-Schwartz nous garantit que :

\[\abs{\int_A \conjaccent{u(x)} \cdot v(x) \ d\mu(x)} \le \left[ \int_A \abs{u(x)}^2 \ d\mu(x) \right] \cdot \left[ \int_A \abs{v(x)}^2 \ d\mu(x) \right] \strictinferieur +\infty\]

Nous définissons donc notre produit scalaire fonctionnel sur l'espace :

\[\lebesgue^2(A) = \left\{ u \in \setC^A : \int_A \abs{u(x)}^2 \ d\mu(x) \strictinferieur +\infty \right\}\]

nommé espace de Lebesgue de degré \(2\).

L'espace de Lebesgue de degré \(k\) est l'ensemble des fonctions telles que l'intégrale de la puissance \(k\) existe (et ne soit donc pas infinie) :

\[\lebesgue^k(A,B) = \left\{ u \in \setC^A : \int_A \abs{u(x)}^k \ d\mu(x) \strictinferieur +\infty \right\}\]

Par analogie avec la norme « max », on définit l'espace des fonctions essentiellement bornées par :

\[\lebesgue^\infty(A,B) = \left\{ u \in \setR^A : \supessentiel \{ \abs{u(x)} : x \in A \} \strictinferieur +\infty \right\}\]

On peut généraliser le produit scalaire usuel de \(\lebesgue^2(A,B)\) en généralisant la notion de « matrice de produit scalaire ». On choisit une fonction \(K : A^2 \to B\) appelée « noyau » et on définit le produit scalaire associé :

\[\braket{u}{K}{v} = \scalaire{u}{v}_K = \int_{A^2} u(x) \cdot K(x,y) \cdot v(y) \ d\mu(x) \ d\mu(y)\]

Ce noyau doit bien entendu respecter certaines propriétés afin de s'assurer que \(\scalaire{}{}_K\) soit bien un produit scalaire.

Soit une suite de fonctions intégrables :

\[\{ u_n \in \setR^A : n \in \setR \}\]

Nous supposons que \(u_n \esssuperieur 0\) pour tout \(n \in \setN\) et que la suite soit essentiellement croissante :

\[u_0 \essinferieur u_1 \essinferieur u_2 \essinferieur u_3 \essinferieur ...\]

Nous supposons également que la fonction :

\[s = \sup \{ u_n : n \in \setN\}\]

est bien définie et intégrable :

\[S = \int_A s(x) \ d\mu(x) \strictinferieur +\infty\]

Soit une suite \(\{ f_n \in \setR^A : n \in \setN \}\) de fonctions intégrables essentiellement positives. Posons :

\[u_n = \sum_{i = 0}^n f_i\]

On voit que la suite des \(u_n\) est croissante et essentiellement positive. Si la somme converge, on a :

\[\lim_{n \to \infty} u_n(x) = \sum_{i = 0}^{+\infty} f_i(x) = s(x)\]

pour tout \(x \in A\). Si la fonction \(s\) ainsi définie est intégrable, on a donc :

\[\int_A \sum_{i = 0}^{+\infty} f_i(x) \ d\mu(x) = \lim_{n \to \infty} \int_A \sum_{i = 0}^n f_i(x) \ d\mu(x)\]

Soit une suite \(\{ f_n \in \setR^A : n \in \setN \}\) de fonctions intégrables essentiellement positives. Posons :

\[u_n = \inf \{ f_m : m \in \setN, \ m \ge n \}\]

et supposons que la fonction \(s = \sup_n u_n\) soit bien définie et intégrable. Par construction, la suite des \(u_n\) est croissante et essentiellement positive. On a donc \(\int_A \lim_n u_n = \lim_n \int_A u_n\), c'est-à-dire :

\[\int_A \liminf_{n \to \infty} f_n(x) \ d\mu(x) = \lim_{n \to \infty} \int_A u_n(x) \ d\mu(x)\]

Comme la limite des \(U_n = \int_A u_n\) existe, on a \(\liminf_n U_n = \lim_n U_n\) et :

\[\int_A \liminf_{n \to \infty} f_n(x) \ d\mu(x) = \liminf_{n \to \infty} \int_A u_n(x) \ d\mu(x)\]

Comme \(u_n \le f_n\), on a \(U_n \le F_n = \int_A f_n\). On en conclut que \(\liminf_n U_n \le \liminf_n F_n\) :

\[\liminf_{n \to \infty} \int_A u_n(x) \ d\mu(x) \le \liminf_{n \to \infty} \int_A f_n(x) \ d\mu(x)\]

Rassemblant ces résultats, il vient :

\[\int_A \liminf_{n \to \infty} f_n(x) \ d\mu(x) \le \liminf_{n \to \infty} \int_A f_n(x) \ d\mu(x)\]

Soit une suite de fonctions \(\{ f_n : n \in \setN \}\) intégrables sur \(\Omega\). Nous supposons qu'il existe un sous-ensemble essentiel \(A\) de \(\Omega\) et une fonction \(f : A \mapsto \setR\) telle que :

\[\lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x)\]

pour tout \(x \in A\). Nous supposons également qu'il existe une fonction intégrable \(\varphi : A \mapsto \setR\) telle que \(\abs{f_n} \le \varphi\) pour tout \(n \in \setN\).

Soit \(x \in A\). Puisque la suite \(\{ \abs{f_n(x)} : n \in \setN \}\) est inférieure à \(\varphi(x)\), sa limite \(\abs{f(x)}\) vérifie \(\abs{f(x)} \le \varphi(x)\). On a donc \(\abs{f} \le \varphi\) et \(\int_A \abs{f} \le \int_A \varphi \strictinferieur +\infty\), ce qui montre que \(f\) est intégrable. La majoration par \(\varphi\) nous montre également que \(\varphi - \max \{ f_n , -f_n \} \ge 0\), d'où :

On peut donc appliquer le lemme de Fatou à la suite de fonctions \(\psi_n = \varphi - f_n\). On obtient :

\[\int_A \liminf_{n \to \infty} [\varphi(x) - f_n(x)] \ d\mu(x) \le \liminf_{n \to \infty} \int_A [\varphi(x) - f_n(x)] \ d\mu(x)\]

On sait que la fonction \(\varphi\) ne dépend pas de \(n\) et que la limite de \(f_n\) existe. On a donc \(\liminf_n f_n = \limsup_n f_n = \lim f_n\). Comme \(\inf(-X) = -\sup(X)\), on a aussi :

\[\liminf_n (-f_n) = - \limsup_n f_n = - \lim_n f_n = -f\]

On en déduit que :

\[\int_A \liminf_n [\varphi - f_n] = \int_A \varphi - \int_A f\]

Pour le second membre, on a :

\[\liminf_n \int_A [\varphi - f_n] = \int_A \varphi + \liminf_n \left[ - \int_A f_n \right] = \int_A \varphi - \limsup_n \int_A f_n\]

On se retrouve donc avec l'inégalité :

\[\int_A \varphi - \int_A f \le \int_A \varphi - \limsup_n \int_A f_n\]

Eliminant l'intégrale de \(\varphi\), il vient :

\[\int_A f(x) \ d\mu(x) \ge \limsup_{n \to \infty} \int_A f_n(x) \ d\mu(x)\]

Appliquons à présent le lemme de Fatou à la suite de fonctions \(\omega_n = \varphi + f_n\). On obtient :

\[\int_A \liminf_{n \to \infty} [\varphi(x) + f_n(x)] \ d\mu(x) \le \liminf_{n \to \infty} \int_A [\varphi(x) + f_n(x)] \ d\mu(x)\]

Utilisant les mêmes remarques que précédemment et éliminant l'intégrale de \(\varphi\), il vient :

\[\int_A f(x) \ d\mu(x) \le \liminf_{n \to \infty} \int_A f_n(x) \ d\mu(x)\]

Rassemblant ces résultats, on en déduit que :

\[\limsup_{n \to \infty} \int_A f_n(x) \ d\mu(x) \le \liminf_{n \to \infty} \int_A f_n(x) \ d\mu(x)\]

Mais on sait que \(\liminf(X) \le \limsup(X)\). On conclut de ces deux inégalités que :

\[\limsup_{n \to \infty} \int_A f_n(x) \ d\mu(x) = \liminf_{n \to \infty} \int_A f_n(x) \ d\mu(x)\]

La limite de la suite d'intégrales existe donc et :

\[\lim_{n \to \infty} \int_A f_n(x) \ d\mu(x) = \limsup_{n \to \infty} \int_A f_n(x) \ d\mu(x) = \liminf_{n \to \infty} \int_A f_n(x) \ d\mu(x)\]

Les bornes faisant intervenir l'intégrale de \(f\) deviennent :

\[\lim_{n \to \infty} \int_A f_n(x) \ d\mu(x) \le \int_A f(x) \ d\mu(x) \le \lim_{n \to \infty} \int_A f_n(x) \ d\mu(x)\]

d'où :

\[\int_A f(x) \ d\mu(x) = \lim_{n \to \infty} \int_A f_n(x) \ d\mu(x)\]

Nous venons de prouver que :

\[\int_A \lim_{n \to \infty} f_n(x) \ d\mu(x) = \lim_{n \to \infty} \int_A f_n(x) \ d\mu(x)\]

L'intégrale étant invariante sous abstraction d'un ensemble de mesure nulle, on a même :

\[\int_\Omega f(x) \ d\mu(x) = \lim_{n \to \infty} \int_\Omega f_n(x) \ d\mu(x)\]

pour autant que \(f\) soit définie sur \(\Omega\).