Eclats de vers : Matemat 07 : Intégrales - 5

Index des Grimoires

Retour à l’accueil

Table des matières

\( \newcommand{\parentheses}[1]{\left(#1\right)} \newcommand{\crochets}[1]{\left[#1\right]} \newcommand{\accolades}[1]{\left\{#1\right\}} \newcommand{\ensemble}[1]{\left\{#1\right\}} \newcommand{\identite}{\mathrm{Id}} \newcommand{\indicatrice}{\boldsymbol{\delta}} \newcommand{\dirac}{\delta} \newcommand{\moinsun}{{-1}} \newcommand{\inverse}{\ddagger} \newcommand{\pinverse}{\dagger} \newcommand{\topologie}{\mathfrak{T}} \newcommand{\ferme}{\mathfrak{F}} \newcommand{\img}{\mathbf{i}} \newcommand{\binome}[2]{ \left\{ \begin{array}{c} #1 \\ #2 \\ \end{array} \right\} } \newcommand{\canonique}{\mathfrak{c}} \newcommand{\tenseuridentite}{\boldsymbol{\mathcal{I}}} \newcommand{\permutation}{\boldsymbol{\epsilon}} \newcommand{\matriceZero}{\mathfrak{0}} \newcommand{\matriceUn}{\mathfrak{1}} \newcommand{\christoffel}[2]{ \left\{ \begin{array}{c} #1 \\ #2 \\ \end{array} \right\} } \newcommand{\lagrangien}{\mathfrak{L}} \newcommand{\sousens}{\mathfrak{P}} \newcommand{\partition}{\mathrm{Partition}} \newcommand{\tribu}{\mathrm{Tribu}} \newcommand{\topologies}{\mathrm{Topo}} \newcommand{\setB}{\mathbb{B}} \newcommand{\setN}{\mathbb{N}} \newcommand{\setZ}{\mathbb{Z}} \newcommand{\setQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\setR}{\mathbb{R}} \newcommand{\setC}{\mathbb{C}} \newcommand{\corps}{\mathbb{K}} \newcommand{\boule}{\mathfrak{B}} \newcommand{\intervalleouvert}[2]{\relax \ ] #1 , #2 [ \ \relax} \newcommand{\intervallesemiouvertgauche}[2]{\relax \ ] #1 , #2 ]} \newcommand{\intervallesemiouvertdroite}[2]{[ #1 , #2 [ \ \relax} \newcommand{\fonction}{\mathbb{F}} \newcommand{\bijection}{\mathrm{Bij}} \newcommand{\polynome}{\mathrm{Poly}} \newcommand{\lineaire}{\mathrm{Lin}} \newcommand{\continue}{\mathrm{Cont}} \newcommand{\homeomorphisme}{\mathrm{Hom}} \newcommand{\etagee}{\mathrm{Etagee}} \newcommand{\lebesgue}{\mathrm{Leb}} \newcommand{\lipschitz}{\mathrm{Lip}} \newcommand{\suitek}{\mathrm{Suite}} \newcommand{\matrice}{\mathbb{M}} \newcommand{\krylov}{\mathrm{Krylov}} \newcommand{\tenseur}{\mathbb{T}} \newcommand{\essentiel}{\mathfrak{E}} \newcommand{\relation}{\mathrm{Rel}} \newcommand{\strictinferieur}{\ < \ } \newcommand{\strictsuperieur}{\ > \ } \newcommand{\ensinferieur}{\eqslantless} \newcommand{\enssuperieur}{\eqslantgtr} \newcommand{\esssuperieur}{\gtrsim} \newcommand{\essinferieur}{\lesssim} \newcommand{\essegal}{\eqsim} \newcommand{\union}{\ \cup \ } \newcommand{\intersection}{\ \cap \ } \newcommand{\opera}{\divideontimes} \newcommand{\autreaddition}{\boxplus} \newcommand{\autremultiplication}{\circledast} \newcommand{\commutateur}[2]{\left[ #1 , #2 \right]} \newcommand{\convolution}{\circledcirc} \newcommand{\correlation}{\ \natural \ } \newcommand{\diventiere}{\div} \newcommand{\modulo}{\bmod} \newcommand{\pgcd}{pgcd} \newcommand{\ppcm}{ppcm} \newcommand{\produitscalaire}[2]{\left\langle #1 \left|\right\relax #2 \right\rangle} \newcommand{\scalaire}[2]{\left\langle #1 \| #2 \right\rangle} \newcommand{\braket}[3]{\left\langle #1 \right| #2 \left| #3 \right\rangle} \newcommand{\orthogonal}{\bot} \newcommand{\forme}[2]{\left\langle #1 , #2 \right\rangle} \newcommand{\biforme}[3]{\left\langle #1 , #2 , #3 \right\rangle} \newcommand{\contraction}[3]{\left\langle #1 \odot #3 \right\rangle_{#2}} \newcommand{\dblecont}[5]{\left\langle #1 \right| #3 \left| #5 \right\rangle_{#2,#4}} \newcommand{\major}{major} \newcommand{\minor}{minor} \newcommand{\maxim}{maxim} \newcommand{\minim}{minim} \newcommand{\argument}{arg} \newcommand{\argmin}{arg\ min} \newcommand{\argmax}{arg\ max} \newcommand{\supessentiel}{ess\ sup} \newcommand{\infessentiel}{ess\ inf} \newcommand{\dual}{\star} \newcommand{\distance}{\mathfrak{dist}} \newcommand{\norme}[1]{\left\| #1 \right\|} \newcommand{\normetrois}[1]{\left|\left\| #1 \right\|\right|} \newcommand{\adh}{adh} \newcommand{\interieur}{int} \newcommand{\frontiere}{\partial} \newcommand{\image}{im} \newcommand{\domaine}{dom} \newcommand{\noyau}{ker} \newcommand{\support}{supp} \newcommand{\signe}{sign} \newcommand{\abs}[1]{\left| #1 \right|} \newcommand{\unsur}[1]{\frac{1}{#1}} \newcommand{\arrondisup}[1]{\lceil #1 \rceil} \newcommand{\arrondiinf}[1]{\lfloor #1 \rfloor} \newcommand{\conjugue}{conj} \newcommand{\conjaccent}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\division}{division} \newcommand{\difference}{\boldsymbol{\Delta}} \newcommand{\differentielle}[2]{\mathfrak{D}^{#1}_{#2}} \newcommand{\OD}[2]{\frac{d #1}{d #2}} \newcommand{\OOD}[2]{\frac{d^2 #1}{d #2^2}} \newcommand{\NOD}[3]{\frac{d^{#3} #1}{d #2^{#3}}} \newcommand{\deriveepartielle}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}} \newcommand{\dblederiveepartielle}[2]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2 \partial #2}} \newcommand{\dfdxdy}[3]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2 \partial #3}} \newcommand{\dfdxdx}[2]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2^2}} \newcommand{\gradient}{\mathbf{\nabla}} \newcommand{\combilin}[1]{\mathrm{span}\{ #1 \}} \newcommand{\trace}{tr} \newcommand{\proba}{\mathbb{P}} \newcommand{\probaof}[1]{\mathbb{P}\left[#1\right]} \newcommand{\esperof}[1]{\mathbb{E}\left[#1\right]} \newcommand{\cov}[2]{\mathrm{cov} \left( #1 , #2 \right) } \newcommand{\var}[1]{\mathrm{var} \left( #1 \right) } \newcommand{\rand}{\mathrm{rand}} \newcommand{\variation}[1]{\left\langle #1 \right\rangle} \newcommand{\composante}{comp} \newcommand{\bloc}{bloc} \newcommand{\ligne}{ligne} \newcommand{\colonne}{colonne} \newcommand{\diagonale}{diag} \newcommand{\matelementaire}{\mathrm{Elem}} \newcommand{\matpermutation}{permut} \newcommand{\matunitaire}{\mathrm{Unitaire}} \newcommand{\gaussjordan}{\mathrm{GaussJordan}} \newcommand{\householder}{\mathrm{Householder}} \newcommand{\rang}{rang} \newcommand{\schur}{\mathrm{Schur}} \newcommand{\singuliere}{\mathrm{DVS}} \newcommand{\convexe}{\mathrm{Convexe}} \newcommand{\petito}[1]{o\left(#1\right)} \newcommand{\grando}[1]{O\left(#1\right)} \)

1 Additivité généralisée

1.1 Dépendances

  • Chapitre \ref{chap:fonction} : Les fonctions
  • Chapitre \ref{chap:mesure} : Les mesures

1.2 Introduction

1.2.1 Mesure induite

Soit les ensembles \(\Omega\) et \(\Psi\), les tribus \(\mathcal{T} \subseteq \sousens(\Omega)\) et \(\mathcal{U} \subseteq \sousens(\Psi)\) et les mesures \(\mu : \mathcal{T} \mapsto \setR\) et \(\nu : \mathcal{U} \mapsto \setR\).

On considère un ensemble \(X \subseteq \Psi\) mesurable pour \(\nu\) et paramétrant la collection \(\mathcal{C} = \{ P(x) \in \sousens(\Omega) : x \in X \}\) formant une partition de \(\Omega\). Nous supposons également que chaque ensemble-élément de \(\mathcal{C}\) est mesurable pour \(\mu\). Choisissons un sous-ensemble quelconque \(A \subseteq \Omega\). Posons \(A(x) = P(x) \cap A\) et :

\[\mathcal{P}(A) = \{ A(x) : x \in X \} = \{ P(x) \cap A : x \in X \}\]

On a :

\[\bigcup_{x \in X} A(x) = A \cap \bigcup_{x \in X} P(x) = A \cap \Omega = A\]

Si \(x,y \in X\) vérifient \(x \ne y\), on a aussi :

\[A(x) \cap A(y) = P(x) \cap P(y) \cap A = \emptyset\]

On en déduit que \(\mathcal{P}(A)\) forme une partition de \(A\). Soit la collection \(\mathcal{M}\) des sous-ensembles \(A\) de \(\Omega\) tels que la fonction \(x \mapsto \mu(A(x))\) soit mesurable. Si \(\mathcal{M}\) forme une tribu, on peut définir une mesure \(\sigma : \mathcal{M} \mapsto \setR\) par la relation :

\[\sigma(A) = \int_X \mu(A(x)) \ d\nu(x)\]

1.2.2 Validité

Par positivité de \(\mu\) et de l'intégrale, on a clairement \(\sigma \ge 0\). L'ensemble vide étant de mesure nulle au sens de \(\mu\), on a :

\begin{align} \sigma(\emptyset) &= \int_X \mu(\emptyset \cap P(x)) \ d\nu(x) \\ &= \int_X \mu(\emptyset) \ d\nu(x) \\ &= \int_X 0 \ d\nu(x) \\ &= 0 \end{align}

Soit \(A,B \subseteq \Omega\) avec \(A \cap B = \emptyset\). On a :

\begin{align} A(x) \cup B(x) &= (A \cap P(x)) \cup (B \cap P(x)) \\ &= (A \cup B) \cap P(x) \\ &= (A \cup B)(x) \end{align}

Par additivité de \(\mu\) et linéarité de l'intégrale, on a :

\begin{align} \sigma(A \cup B) &= \int_X \mu((A \cup B)(x)) \ d\nu(x) \\ &= \int_X \mu(A(x) \cup B(x)) \ d\nu(x) \\ &= \int_X [\mu(A(x)) + \mu(B(x))] \ d\nu(x) \\ &= \int_X \mu(A(x)) \ d\nu(x) + \int_X \mu(B(x)) \ d\nu(x) \\ &= \sigma(A) + \sigma(B) \end{align}

La fonction \(\sigma\) est donc également additive et représente bien une mesure.

1.3 Notation

Soit une fonction \(f : A \mapsto \setR\) et la fonction \(I : X \mapsto \setR\) définie par :

\[I(x) = \int_{A(x)} f(y) \ d\mu(y)\]

pour tout \(x \in X\). On note dans la suite :

\[\int_X \int_{A(x)} f(y) \ d\mu(y) \ d\nu(x) = \int_X I(x) \ d\nu(x)\]

ou encore :

\[\int_X \ d\nu(x) \int_{A(x)} f(y) \ d\mu(y) = \int_X I(x) \ d\nu(x)\]

1.3.1 Fonctions étagées

Soit une fonction étagée \(w : A \mapsto \setR\). On dispose d'une partition \(\{A_1,...,A_n\}\) de \(A\) et de réels \(w_i\) tels que :

\[w = \sum_i w_i \cdot \indicatrice_{A_i}\]

Evaluons son intégrale :

\begin{align} \int_A w(z) \ d\sigma(z) &= \sum_i w_i \cdot \sigma(A_i) \\ &= \sum_i w_i \int_X \mu(A_i(x)) \ d\nu(x) \\ &= \int_X \sum_i w_i \cdot \mu(A_i(x)) \ d\nu(x) \\ &= \int_X \left[ \int_{A(x)} w(y) \ d\mu(y) \right] \ d\nu(x) \end{align}

On a donc :

\[\int_A w(z) \ d\sigma(z) = \int_X \ d\nu(x) \int_{A(x)} w(y) \ d\mu(y)\]

pour toute fonction étagée.

1.3.2 Ordre

Soit les fonctions mesurables \(f,g\) vérifiant \(f \essinferieur g\) au sens de la mesure \(\sigma\). Soit :

\[N = \{ z \in A : f(z) \strictsuperieur g(z) \}\]

Comme \(N \subseteq A\), on a \(N = N \cap A\) et :

\begin{align} N(x) = N \cap P(x) &= N \cap A \cap P(x) \\ &= N \cap A(x) \\ &= \{ z \in A(x) : f(z) \strictsuperieur g(z) \} \end{align}

La mesure de \(N\) étant $σ$-nulle, on a :

\[\sigma(N) = \int_X \mu(N(x)) \ d\nu(x) = 0\]

Comme \(\mu\) est positive, elle est essentiellement positive. On en conclut que la fonction \(x \mapsto \mu(N(x))\) est essentiellement nulle sur \(X\) (au sens de la mesure \(\nu\)). L'ensemble :

\[Z = \{ x \in X : \mu(N(x)) \strictsuperieur 0 \}\]

vérifie \(\nu(Z) = 0\). Le sous-ensemble :

\[E = X \setminus Z = \{ x \in X : \mu(N(x)) = 0 \}\]

est donc $ν$-essentiel dans \(X\). Soit les fonctions \(F,G : X \mapsto \setR\) définies par :

\( F(x) = \int_{A(x)} f(y) \ d\mu(y) \\ \\ G(x) = \int_{A(x)} g(y) \ d\mu(y) \)

Pour tout \(x \in E\), on a \(\mu(N(x)) = 0\). Le sous-ensemble :

\[C(x) = A(x) \setminus N(x) = \{ y \in A(x) : f(y) \le g(y) \}\]

est donc $μ$-essentiel dans \(A(x)\). On a donc \(w \essinferieur f\) au sens de \(\mu\) sur \(A(x)\) et :

\[F(x) = \int_{A(x)} f(y) \ d\mu(y) \le \int_{A(x)} g(y) \ d\mu(y) = G(x)\]

On a donc \(F \le G\) sur \(E\) qui est un sous-ensemble essentiel de \(X\). Donc, \(F \essinferieur G\) au sens de \(\nu\) sur \(X\) et :

\[\int_X F(x) \ d\nu(x) \le \int_X G(x) \ d\nu(x)\]

Autrement dit :

\[\int_X \ d\nu(x) \int_{A(x)} f(y) \ d\mu(y) \le \int_X \ d\nu(x) \int_{A(x)} g(y) \ d\mu(y)\]

1.3.3 Positives majorées

Soit une fonction intégrable \(f : A \mapsto \setR\) essentiellement positive et majorée au sens de \(\sigma\) :

\[\supessentiel_{x \in A}^\sigma f(x) \strictinferieur +\infty\]

Soit un réel \(\epsilon \strictsuperieur 0\).

  • Le supremum étant dans l'adhérence, on peut trouver une fonction étagée \(w\) essentiellement inférieure à \(f\) au sens de \(\sigma\) et telle que :

\[\int_A f(z) \ d\sigma(z) - \epsilon \le \int_A w(z) \ d\sigma(z)\]

On a aussi :

\begin{align} \int_A w(x) \ d\sigma(x) &= \int_X \ d\nu(x) \int_{A(x)} w(y) \ d\mu(y) \\ &\le \int_X \ d\nu(x) \int_{A(x)} f(y) \ d\mu(y) \end{align}

d'où finalement :

\[\int_A f(x) \ d\sigma(x) - \epsilon \le \int_X \ d\nu(x) \int_{A(x)} f(y) \ d\mu(y)\]

Comme cette relation est valable pour tout \(\epsilon \strictsuperieur 0\), on doit avoir :

\[\int_A f(x) \ d\sigma(x) \le \int_X \ d\nu(x) \int_{A(x)} f(y) \ d\mu(y)\]

  • Comme \(f\) est essentiellement majorée, on peut trouver une fonction étagée \(w\) essentiellement inférieure à \(f\) au sens de \(\sigma\) et telle que :

\[\supessentiel_{x \in A}^\sigma [f(x) - w(x)] \le \epsilon\]

On a donc \(f \essinferieur w + \epsilon\) au sens de \(\sigma\) et :

\[\int_X \ d\nu(x) \int_{A(x)} f(y) \ d\mu(y) \le \int_X \ d\nu(x) \int_{A(x)} [w(y) + \epsilon] \ d\mu(y)\]

On voit que :

\begin{align} \int_X \ d\nu(x) \int_{A(x)} [w(y) + \epsilon] \ d\mu(y) &= \int_X \ d\nu(x) \left[ \int_{A(x)} w(y) \ d\mu(y) + \epsilon \cdot \mu(A(x)) \right] \\ &= \int_X \ d\nu(x) \int_{A(x)} w(y) \ d\mu(y) + \epsilon \cdot \int_X \mu(A(x)) \ d\nu(x) \\ &= \int_X \ d\nu(x) \int_{A(x)} w(y) \ d\mu(y) + \epsilon \cdot \sigma(A) \end{align}

Or :

\[\int_X \ d\nu(x) \int_{A(x)} w(y) \ d\mu(y) = \int_A w(z) \ d\sigma(z) \le \int_A f(z) \ d\sigma(z)\]

par définition du supremum. Rassemblant tous ces résultats, il vient :

\[\int_X \ d\nu(x) \int_{A(x)} f(y) \ d\mu(y) \le \int_A f(z) \ d\sigma(z) + \epsilon \cdot \sigma(A)\]

Cette inégalité devant être satisfaite pour tout \(\epsilon \strictsuperieur 0\), on en conclut que :

\[\int_X \ d\nu(x) \int_{A(x)} f(y) \ d\mu(y) \le \int_A f(z) \ d\sigma(z)\]

L'intégrale double \(\int_X \int_{A(x)}\) devant être simultanément supérieure et inférieure à l'intégrale \(\int_A\), on a :

\[\int_A f(z) \ d\sigma(z) = \int_X \ d\nu(x) \int_{A(x)} f(y) \ d\mu(y)\]

1.3.4 Positives

Posons :

\( C(\alpha) = \{ x \in A : f(x) \le \alpha \} \\ Z(\alpha) = \{ x \in A : f(x) \strictsuperieur \alpha \} \)

et :

\( C(\alpha,x) = C(\alpha) \cap A(x) = \{ x \in A(x) : f(x) \le \alpha \} \\ Z(\alpha,x) = A(x) \setminus C(\alpha) = \{ x \in A(x) : f(x) \strictsuperieur \alpha \} \)

Comme \(f\) est essentiellement majorée sur \(C(\alpha)\), on a :

\[\int_{C(\alpha)} f(z) \ d\sigma(z) = \int_X \ d\nu(x) \int_{C(\alpha,x)} f(y) \ d\mu(y)\]

Les propriétés de \(Z(\alpha) = A \setminus C(\alpha)\) nous montrent que :

\[\lim_{\alpha \to +\infty} \int_{C(\alpha)} f(z) \ d\sigma(z) = \int_A f(z) \ d\sigma(z)\]

On obtient bien entendu le même résultat en se restreignant aux entiers \(n \in \setN\) :

\[\lim_{n \to \infty} \int_{C(n)} f(z) \ d\sigma(z) = \int_A f(z) \ d\sigma(z)\]

Comme \(Z(\alpha,x)\) vérifie les mêmes propriétés, on a :

\[\lim_{n \to \infty} \int_{C(n,x)} f(y) \ d\mu(y) = \int_{A(x)} f(y) \ d\mu(y)\]

Pour tout \(n \in \setN\), posons :

\[u_n(x) = \int_{C(n,x)} f(y) \ d\mu(y)\]

Il s'agit d'une suite de fonctions positives. Comme l'inégalité \(m \le n\) implique \(C(m,x) \subseteq C(n,x)\), on a \(u_m \le u_n\). La suite est donc croissante et converge vers :

\[\lim_{n \to \infty} u_n(x) = \int_{A(x)} f(y) \ d\mu(y)\]

La convergence monotone nous montre alors que :

\begin{align} \lim_{n \to \infty} \int_X u_n(x) \ d\nu(x) &= \int_X \lim_{n \to \infty} u_n(x) \ d\nu(x) \\ &= \int_X \ d\nu(x) \int_{A(x)} f(y) \ d\mu(y) \end{align}

D'un autre coté, on a :

\begin{align} \lim_{n \to \infty} \int_X u_n(x) \ d\nu(x) &= \lim_{n \to \infty} \int_X \ d\nu(x) \int_{C(n,x)} f(y) \ d\mu(y) \\ &= \lim_{n \to \infty} \int_{C(n)} f(z) \ d\sigma(z) \\ &= \int_A f(z) \ d\sigma(z) \end{align}

On en conclut finalement que :

\[\int_A f(z) \ d\sigma(z) = \int_X \ d\nu(x) \int_{A(x)} f(y) \ d\mu(y)\]

1.3.5 Signe quelconque

Soit une fonction intégrable \(f : A \mapsto \setR\) et sa décomposition en fonctions positives \(f = f^+ - f^-\). On a :

\begin{align} \int_A f(z) \ d\sigma(z) &= \int_A f^+(z) \ d\sigma(z) - \int_A f^-(z) \ d\sigma(z) \\ &= \int_X \ d\nu(x) \int_{A(x)} f^+(y) \ d\mu(y) - \int_X \ d\nu(x) \int_{A(x)} f^-(y) \ d\mu(y) \\ &= \int_X \left[ \int_{A(x)} f^+(y) \ d\mu(y) - \int_{A(x)} f^-(y) \ d\mu(y) \right] \ d\nu(x) \\ &= \int_X \ d\nu(x) \int_{A(x)} f(y) \ d\mu(y) \end{align}

1.4 Fubini

Sur \(\setR^2\), la mesure de Lebesgue, que nous notons ici \(\sigma\), est basée sur des ensembles de la forme :

\[P = [a,b] \times [c,d]\]

où \(a,b,c,d \in \setR\) et \(a \le b\), \(c \le d\). Si \(\mu\) est la mesure de Lebesgue sur \(\setR\), on a alors :

\[\sigma(P) = (\mu \otimes \mu)([a,b] \times [c,d]) = \mu([a,b]) \cdot \mu([c,d]) = (b - a) \cdot (d - c)\]

Considérons le partionnement formé des segments \([(x,c),(x,d)]\) pour tous les \(x\) compris entre \(a\) et \(b\) :

\[\mathcal{P} = \{ [(x,c),(x,d)] : x \in [a,b] \}\]

Comme :

\[[(x,c),(x,d)] = \{ (x,y) : y \in [c,d] \}\]

on définit la mesure \(\mu\) d'un tel segment par extension de la mesure de Lebesgue :

\[\mu([(x,c),(x,d)]) = d - c\]

La mesure \(\sigma_x\) qui en découle s'évalue :

\[\sigma_x(A) = \int_a^b (d - c) dx = (d - c) \int_a^b dx = (d - c) \cdot (b - a)\]

Considérons le partionnement alternatif :

\[\mathcal{Q} = \{ [(a,y),(b,y)] : y \in [c,d] \}\]

Comme :

\[[(a,y),(b,y)] = \{ (x,y) : x \in [a,b] \}\]

on définit la mesure \(\mu\) d'un tel segment par extension de la mesure de Lebesgue :

\[\mu([(a,y),(b,y)]) = b - a\]

La mesure \(\sigma_y\) qui en découle s'évalue :

\[\sigma_y(A) = \int_c^d (b - a) dy = (b - a) \int_c^d dy = (b - a) \cdot (d - c)\]

On en conclut que \(\sigma_x = \sigma_y = \sigma\). Si \(f\) est une fonction intégrable sur \(A = [\alpha,\beta] \times [\gamma,\delta] \subseteq \setR^2\), on a alors :

\[\int_A f(x,y) \ d\sigma(x,y) = \int_\alpha^\beta dx \int_\gamma^\delta f(x,y) \ dy = \int_\gamma^\delta dy \int_\alpha^\beta f(x,y) \ dx\]

On note souvent \(d\sigma(x,y) = dx \ dy\) et :

\[\int_A f(x,y) \ dx \ dy = \int_\alpha^\beta dx \int_\gamma^\delta f(x,y) \ dy = \int_\gamma^\delta dy \int_\alpha^\beta f(x,y) \ dx\]

1.4.1 Dimension \(n\)

Soit \(A = [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] ... \times [a_n,b_n] \subseteq \setR^n\). On a :

\[\int_A f(x) \ dx = \int_{a_1}^{b_1} dx_1 \ ... \int_{a_n}^{b_n} dx_n \ f(x_1,...x_n)\]

où \(dx\) correspond à la mesure de Lebesgue \(\sigma = \mu \otimes ... \otimes \mu\).

1.5 Produit cartésien

On peut généraliser Fubini dans certaines conditions. On a alors :

\[\int_{A \times B} f(x,y) \ d\mu(x) \ d\nu(y) = \int_B d\nu(y) \ \int_A f(x,y) \ d\mu(x)\]

et symétriquement :

\[\int_{A \times B} f(x,y) \ d\mu(x) \ d\nu(y) = \int_A \ d\mu(x) \int_B f(x,y) \ d\nu(y)\]

1.6 Domaine régulier

Soit les réels \(a,b\) et les fonctions \(S,I : [a,b] \mapsto \setR\) permettant de définir l'ensemble :

\[A = \{ (x,y) \in [a,b] \times \setR : I(x) \le y \le S(x) \}\]

Posons :

\[A(x) = \{ (x,y) : I(x) \le y \le S(x) \}\]

On voit que \(A(x) \cap A(z) = \emptyset\) si \(x \ne z\) et que :

\[A = \bigcup_{x \in [a,b]} A(x)\]

On a donc :

\[\int_A f(x,y) \ d\sigma(x,y) = \int_a^b d\nu(x) \ \int_{I(x)}^{S(x)} f(x,y) \ d\mu(y)\]

1.7 Lemme du triangle

Un petit lemme intéressant permettant de permuter l'intégration de deux variables. Soit le triangle \(\Delta\) :

\[\Delta = \{ (s,t) \in \setR^2 : 0 \le s,t \le T, \quad s \ge t \}\]

On peut redéfinir cet ensemble de deux manières équivalentes :

\( \Delta = \{ (s,t) \in \setR^2 : 0 \le s \le T, \quad 0 \le t \le s \} \\ \Delta = \{ (s,t) \in \setR^2 : 0 \le t \le T, \quad t \le s \le T \} \)

On a donc :

\[\int_\Delta f(x) \ dx = \int_0^T \ ds \int_0^s f(s,t) \ dt = \int_0^T \ dt \int_t^T f(s,t) \ ds\]

1.7.1 Cas particulier

En particulier, si la fonction à intégrer ne dépend que de \(t\), on a :

\[\int_0^T \ ds \int_0^s u(t) \ dt = \int_0^T u(t) \ dt \int_t^T \ ds = \int_0^T (T - t) \cdot u(t) \ dt\]

2 Sommes et intégrales

2.1 Introduction

Soit une fonction décroissante \(f : \setR \mapsto \setR\). Choisissons \(k \in \setZ\). Comme \(f(k)\) maximise \(f\) sur \([k,k+1]\), l'intégrale vérifie :

\[\int_k^{k + 1} f(x) \ dx \le \int_k^{k + 1} f(k) \ dx= f(k) \cdot 1\]

Comme \(f(k)\) minimise \(f\) sur \([k-1,k]\), l'intégrale vérifie :

\[f(k) = f(k) \cdot 1 = \int_{k - 1}^k f(k) \ dx \le \int_{k - 1}^k f(x) \ dx\]

On en déduit l'encadrement :

\[\int_k^{k + 1} f(x) \ dx \le f(k) \le \int_{k - 1}^k f(x) \ dx\]

Soit \(m, n \in \setZ\). On a :

\[\sum_{k = m}^n \int_k^{k + 1} f(x) \ dx = \int_m^{n + 1} f(x) \ dx\]

et :

\[\sum_{k = m}^n \int_{k - 1}^k f(x) \ dx = \int_{m - 1}^n f(x) \ dx\]

En sommant les inégalités sur \(k \in \setZ[m,n]\), on obtient :

\[\int_m^{n + 1} f(x) \ dx \le \sum_{k = m}^n f(k) \le \int_{m - 1}^n f(x) \ dx\]

2.2 Sommes infinies

Sous réserve de convergence des sommes et des intégrales, on a :

\[\int_0^{+\infty} f(x) \ dx \le \sum_{k = 0}^{+\infty} f(k) \le \int_{-1}^{+\infty} f(x) \ dx\]

Auteur: chimay

Created: 2019-10-01 mar 12:33

Validate