Eclats de vers : Matemat 09 : Analyse - 2

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1 Développements de Taylor

1.1 Polynômes de Taylor

Considérons un polynôme \(p : \setR \mapsto \setR\) de degré \(n\) défini par :

\[p(x) = \sum_{i = 0}^n \gamma_i \cdot x^i\]

pour tout \(x \in \setR\). Calculons ses dérivées :

\begin{align} \partial p(x) &= \sum_{i = 1}^n \gamma_i \cdot i \cdot x^{i - 1} \\ \partial^2 p(x) &= \sum_{i = 2}^n \gamma_i \cdot i \cdot (i - 1) \cdot x^{i - 2} \\ \vdots \\ \partial^k p(x) &= \sum_{i = k}^n \gamma_i \cdot \frac{i !}{(i - k) !} \cdot x^{i - k} \\ \vdots \\ \partial^n p(x) &= n! \cdot \gamma_n \end{align}

Lorsqu'on évalue ces dérivées en \(0\), seuls les termes en \(x^{k - k} = 1\) ne s'annulent pas. On obtient donc :

\[\partial^k p(0) = \frac{k !}{0 !} \cdot \gamma_k = k ! \cdot \gamma_k\]

ce qui nous donne l'expression des coefficients de \(p\) en fonction de ses dérivées en \(0\) :

\[\gamma_k = \unsur{k !} \cdot \partial^k p(0)\]

Le polynôme peut donc se réécrire :

\[p(x) = \sum_{i = 0}^n \unsur{i !} \cdot \partial^i p(0) \cdot x^i\]

Cette expression est appelée développement de Taylor de \(p\) autour de \(0\).

1.1.1 Généralisation

Soit \(a \in \setR\). La fonction \(r\) définie par :

\[r(t) = p(t + a) = \sum_{i = 0}^n \gamma_i \cdot (t + a)^i\]

pour tout \(t \in \setR\) est clairement un polynôme de degré \(n\). On a \(r(0) = p(a)\) et plus généralement :

\[\partial^i r(0) = \partial^i p(a)\]

pout tout \(i \ge 0\). Le développement de Taylor de \(r\) autour de \(0\) s'écrit :

\[r(t) = \sum_{i = 0}^n \unsur{i !} \cdot \partial^i r(0) \cdot t^i\]

ou encore :

\[r(t) = \sum_{i = 0}^n \unsur{i !} \cdot \partial^i p(a) \cdot t^i\]

En posant \(x = t + a\), on a \(t = x - a\) et :

\[p(x) = p(t + a) = r(t)\]

Le développement devient :

\[p(x) = \sum_{i = 0}^n \unsur{i !} \cdot \partial^i p(a) \cdot (x - a)^i\]

Cette expression est nommée développement de Taylor de \(p\) autour de \(a\).

1.2 Opérateur de Taylor

Soit \(\alpha, \beta \in \setR\) avec \(\alpha \strictinferieur \beta\), une fonction \(f \in \continue^N([\alpha,\beta],\setR)\) et \(a \in [\alpha,\beta]\). Par analogie avec le développement de Taylor des polynômes, on définit l'opérateur de Taylor \(T_a^N\) par :

\[T_a^N(f)(x) = \sum_{k = 0}^N \unsur{k !} \cdot \partial^k f(a) \cdot (x - a)^k\]

pour tout \(x \in [\alpha,\beta]\).

1.2.1 Erreur

L'erreur \(E_a^N\) de l'opérateur \(T_a^N\) est donnée par :

\[E_a^N(f)(x) = f(x) - T_a^N(f)(x)\]

pour tout \(x \in [\alpha,\beta]\).

1.2.2 Polynômes

Si \(p\) est un polynôme de degré \(N\), on a bien entendu \(T_a^N(p) = p\) pour tout \(a \in \setR\) et \(E_a^N(p) = 0\).

1.3 Forme intégrale

1.3.1 Premier ordre

Soit \(\alpha, \beta \in \setR\) avec \(\alpha \strictinferieur \beta\) et la fonction \(f \in \continue^2([\alpha,\beta],\setR)\). Le théorème fondamental nous dit que :

\[\int_a^x \partial f(t) \ dt = f(x) - f(a)\]

pour tout \(a,x \in [\alpha,\beta]\). Appliquant le même théorème à la dérivée \(\partial f\), on a aussi :

\[\int_a^x \partial^2 f(t) \ dt = \partial f(x) - \partial f(a)\]

1.3.1.1 Intégration par parties

Soit \(u = \partial f\) et \(v = \identite\). on a :

\[\int_a^x u(x) \ \partial v(x) \ dx = \int_a^x \partial f(t) \cdot 1 \ dt = \int_a^x \partial f(t) \ dt\]

L'intégration par parties nous donne :

\[\int_a^x u(x) \ \partial v(x) \ dx = v(x) \ u(x) - v(a) \ u(a) - \int_a^x v(t) \ \partial u(t) \ dt\]

En tenant compte des définitions de \(u\) et \(v\), on obtient :

\[\int_a^x \partial f(t) \ dt = x \ \partial f(x) - a \ \partial f(a) - \int_a^x t \ \partial^2 f(t) \ dt\]

Appliquons le théorème fondamental au membre de gauche :

\[f(x) - f(a) = x \ \partial f(x) - a \ \partial f(a) - \int_a^x t \ \partial^2 f(t) \ dt\]

ou encore :

\[f(x) = f(a) + x \ \partial f(x) - a \ \partial f(a) - \int_a^x t \ \partial^2 f(t) \ dt\]

En multipliant la relation :

\[\partial f(x) - \partial f(a) = \int_a^x \partial^2 f(t) \ dt\]

par \(x\), on arrive au résultat :

\[x \ \partial f(x) = x \ \partial f(a) + \int_a^x x \ \partial^2 f(t) \ dt\]

L'expression de \(f(x)\) devient alors :

\[f(x) = f(a) + x \ \partial f(a) + \int_a^x x \ \partial^2 f(t) \ dt - a \ \partial f(a) - \int_a^x t \ \partial^2 f(t) \ dt\]

et finalement :

\[f(x) = f(a) + (x - a) \cdot \partial f(a) + \int_a^x (x - t) \cdot \partial^2 f(t) \ dt\]

Le membre de droite est appelé développement de Taylor du premier ordre de \(f\) sous forme intégrale.

1.3.2 Second ordre

Soit \(f \in \continue^3([\alpha,\beta],\setR)\). Comme \(\continue^3 \subseteq \continue^2\), \(f\) admet un développement de Taylor du premier ordre sous forme intégrale. Nous allons intégrer par parties le terme :

\[\int_a^x (x - t) \cdot \partial^2 f(t) \ dt\]

On sait que :

\[\OD{}{ŧ} \left[ \unsur{2} (x - t)^2 \right] = (x - t) \cdot (-1) = - (x - t)\]

Posons \(u = \partial^2 f\) et :

\[v : t \mapsto \unsur{2} (x - t)^2\]

On a :

\[\int_a^x \partial v(t) \ u(t) \ dt = - \int_a^x (x - t) \ \partial^2 f(t) \ dt\]

et :

\[\int_a^x v(t) \ \partial u(t) \ dt = \unsur{2} \int_a^x (x - t)^2 \ \partial^3 f(t) \ dt\]

Enfin :

\begin{align} \int_a^x \partial (v \cdot u)(t) \ dt &= \unsur{2} \ (x - x)^2 \ \partial^2 f(x) - \unsur{2} \ (x - a)^2 \ \partial^2 f(a) \\ &= 0 - \unsur{2} \ (x - a)^2 \ \partial^2 f(a) \\ &= - \unsur{2} \ (x - a)^2 \ \partial^2 f(a) \end{align}

On en conclut que :

\[- \int_a^x (x - t) \ \partial^2 f(t) \ dt = - \unsur{2} \ (x - a)^2 \ \partial^2 f(a) - \unsur{2} \int_a^x (x - t)^2 \ \partial^3 f(t) \ dt\]

ou encore :

\[\int_a^x (x - t) \ \partial^2 f(t) \ dt = \unsur{2} \ (x - a)^2 \ \partial^2 f(a) + \unsur{2} \int_a^x (x - t)^2 \ \partial^3 f(t) \ dt\]

Le développement du premier ordre peut dont se réécrire :

\[f(x) = f(a) + (x - a) \ \partial f(a) + \unsur{2} \ (x - a)^2 \ \partial^2 f(a) + \unsur{2} \int_a^x (x - t)^2 \ \partial^3 f(t) \ dt\]

Le membre de droite est appelé développement du second ordre de \(f\) sous forme intégrale.

1.3.3 Ordre \(N\)

Soit \(f \in \continue^{N + 1}([\alpha,\beta],\setR)\). On montre en intégrant par parties que :

\[\int_a^x (x - t)^{k - 1} \ \partial^k f(t) \ dt = \unsur{k} \ (x - a)^k \ \partial^k f(a) + \unsur{k} \int_a^x (x - t)^k \ \partial^{k + 1} f(t) \ dt\]

pour tout \(k \in \setZ[2,N]\). On en déduit par récurrence le développement de Taylor d'ordre \(N\) de \(f\) sous forme intégrale :

\[f(x) = \sum_{k = 0}^N \unsur{k !} \cdot \partial^k f(a) \cdot (x - a)^k + \unsur{N !} \int_a^x (x - t)^N \ \partial^{N + 1} f(t) \ dt\]

1.4 Erreur

On a :

\[E_a^N(f)(x) = f(x) - T_a^N(f)(x) = \unsur{N !} \int_a^x (x - t)^N \ \partial^{N + 1} f(t) \ dt\]

En appliquant le théorème de Cauchy entre \(a\) et \(x\) aux fonctions \(F,G\) définies par :

\begin{align} F(z) &= \int_a^z (x - t)^N \ \partial^{N + 1} f(t) \ dt \\ G(z) &= \int_a^z (x - t)^N \ dt \end{align}

pour tout \(z \in [\alpha,\beta]\), on voit que l'on peut trouver un \(c \in \intervalleouvert{a}{x}\) si \(a \strictinferieur x\) ou un \(c \in \intervalleouvert{x}{a}\) si \(x \strictinferieur a\) tel que :

\[(x - c)^N \ F(x) = (x - c)^N \ \partial^{N + 1} f(c) \ G(x)\]

ou encore :

\[\partial^{N + 1} f(c) \ G(x) = F(x)\]

Comme :

\begin{align} G(x) = \int_a^x (x - t)^N \ dt &= - \big[ (x - x)^{N + 1} - (x - a)^{N + 1} \big] / (N + 1) \\ &= - \big[ 0 - (x - a)^{N + 1} \big] / (N + 1) \\ &= (x - a)^{N + 1} / (N + 1) \end{align}

on a :

\[\partial^{N + 1} f(c) \ \frac{ (x - a)^{N + 1} }{N + 1} = F(x) = \int_a^x (x - t)^N \ \partial^{N + 1} f(t) \ dt\]

On en déduit que :

\[E_a^N(f)(x) = \partial^{N + 1} f(c) \ \frac{ (x - a)^{N + 1} }{(N + 1) !}\]

1.5 Forme différentielle

Soit une fonction \(f \in \continue^{N+1}([\alpha,\beta],\setR)\) et \(a,x \in [\alpha,\beta]\). On définit la fonction \(F : [\alpha,\beta] \mapsto \setR\) par :

\begin{align} F(t) &= \sum_{k = 0}^N \unsur{k !} \cdot \partial^k f(t) \cdot (x - t)^k \\ &= f(t) + \partial f(t) \ (x - t) + \partial^2 f(t) \ \frac{(x - t)^2}{2} + ... \end{align}

pour tout \(t \in [\alpha,\beta]\). On a :

\[F(x) = f(x) + \partial f(x) \ (x - x) + \partial^2 f(x) \frac{(x - x)^2}{2} + ... = f(x) + 0 = f(x)\]

et :

\[F(a) = f(a) + \partial f(a) \ (x - a) + \partial^2 f(a) \frac{(x - a)^2}{2} + ... = T_a^N(f)(x)\]

La dérivée de \(F\) s'écrit :

\( ∂ F(t) = ∂ f(t) + \big[ \partial f(t) \ (-1) + \partial^2 f(t) \ (x - t) \big]

  • \left[ - ∂2 f(t) \ (x - t) + ∂3 f(t) \ \frac{(x-t)^2}{2} \right]


  • \left[ - ∂N - 1 f(t) \ \frac{(x - t)N - 2}{(N - 2) !} + ∂N f(t) \ \frac{(x-t)N - 1}{(N - 1) !} \right]
  • \left[ - ∂N f(t) \ \frac{(x-t)N - 1}{(N - 1) !} + ∂N + 1 f(t) \ \frac{(x-t)^N}{N !} \right]

\)

On voit que tous les termes s'annulent sauf le dernier, et :

\[\partial F(t) = \partial^{N + 1} f(t) \ \frac{(x-t)^N}{N !}\]

Soit \(G \in \continue^1([\alpha,\beta],\setR)\). On peut appliquer le théorème de Cauchy à \(F\) et \(G\) entre \(a\) et \(x\). On dispose alors d'un \(c \in \intervalleouver{a}{x}\) si \(a \strictinferieur x\) ou d'un \(c \in \intervalleouvert{x}{a}\) si \(x \strictinferieur a\) tel que :

\[\partial F(c) \ \big[G(x) - G(a)\big] = \big[F(x) - F(a)\big] \ \partial G(c)\]

On a :

\[F(x) - F(a) = f(x) - T_a^N(f)(x) = E_a^N(f)(x)\]

On en conclut que :

\[E_a^N(f)(x) \ \partial G(c) = \partial^{N + 1} f(c) \ \frac{(x-c)^N}{N !} \ \big[G(x) - G(a)\big]\]

1.5.1 Forme de Lagrange

Soit le choix :

\[G : t \mapsto (x - t)^{N + 1}\]

on a :

\[G(x) = (x - x)^{N + 1} = 0\]

et :

\[G(a) = (x - a)^{N + 1}\]

La dérivée s'écrit :

\[\partial G(t) = - (N + 1) \ (x - t)^N\]

La relation de Cauchy devient :

\[- E_a^N(f)(x) \ (N + 1) \ (x - c)^N = - \partial^{N + 1} f(c) \ \frac{(x-c)^N}{N !} \ (x - a)^{N + 1}\]

On a donc l'expression de l'erreur :

\[E_a^N(f)(x) = \partial^{N + 1} f(c) \ \frac{(x - a)^{N + 1}}{(N + 1) !}\]

1.5.2 Forme de Cauchy

Soit le choix :

\[G : t \mapsto t - a\]

on a :

\[G(x) = x - a\]

et :

\[G(a) = a - a = 0\]

La dérivée s'écrit :

\[\partial G(t) = 1\]

La relation de Cauchy devient :

\[E_a^N(f)(x) = \partial^{N + 1} f(c) \ \frac{(x-c)^N}{N !} \ (x - a)\]

1.6 Borne

Soit \(f \in \continue^{N + 1}([\alpha,\beta],\setR)\). Comme \(\partial^{N+1} f\) est continue, sa norme \(\norme{.}_\infty\) sur \([\alpha,\beta]\) est finie et on a :

\[\abs{E_a^N(f)(x)} \le \norme{\partial^{N + 1} f}_\infty \ \frac{ \abs{x - a}^{N + 1} }{(N + 1) !}\]

On peut majorer cette expression en constatant que :

\[\abs{x - a} \le \abs{\beta - \alpha}\]

La borne de l'erreur devient alors :

\[\abs{E_a^N(f)(x)} \le \norme{\partial^{N + 1} f}_\infty \ \frac{ \abs{\beta - \alpha}^{N + 1} }{(N + 1) !}\]

Le membre de droite ne dépendant pas de \(x\), on a :

\[\norme{E_a^N(f)}_\infty \le \norme{\partial^{N + 1} f}_\infty \ \frac{ \abs{\beta - \alpha}^{N + 1} }{(N + 1) !}\]

1.7 Convergence

Soit \(f \in \continue^\infty([\alpha,\beta],\setR)\). Si on peut trouver un \(\sigma \in \setR\) tel que :

\[\norme{\partial^n f}_\infty \le \sigma\]

pour tout \(n \in \setN\), on a :

\[\norme{E_a^N(f)}_\infty \le \sigma \ \frac{ \abs{\beta - \alpha}^{N + 1} }{(N + 1) !}\]

On en conclut que :

\[0 \le \lim_{N \to \infty} \norme{E_a^N(f)}_\infty \le \sigma \ \lim_{N \to \infty} \frac{ \abs{\beta - \alpha}^{N + 1} }{(N + 1) !} = 0\]

L'erreur converge vers zéro quand \(N\) tend vers l'infini :

\[\lim_{N \to \infty} \norme{E_a^N(f)}_\infty = 0\]

1.8 Dimension \(n\)

1.8.1 Premier ordre

Soit \(\Omega \subseteq \setR^n\), la fonction \(f \in \continue^1(\Omega,\setR)\) et les vecteurs \(u,v \in \setR^n\) tels que le segment \([u,v]\) est inclus dans \(\Omega\). On définit la fonction \(\lambda : [0,1] \mapsto \setR^n\) associée au segment \([u,v]\) par :

\[\lambda(s) = u + s \cdot (v - u)\]

pour tout \(s \in [0,1]\), ainsi que la fonction \(\varphi = f \circ \lambda\) qui vérifie :

\[\varphi(s) = (f \circ \lambda)(s) = f(u + s \cdot (v - u))\]

pour tout \(s \in [0,1]\). On pose :

\[h = v - u\]

On a :

\[\varphi(0) = f(u)\]

La dérivée s'écrit :

\[\partial \varphi(s) = \sum_i \partial_i f(u + s \cdot h) \cdot h_i\]

ou, en utilisant la notation matricielle :

\[\partial \varphi(s) = \partial f(u + s \cdot h) \cdot h\]

On a la valeur particulière :

\[\partial \varphi(0) = \partial f(u) \cdot h\]

La dérivée seconde s'écrit :

\[\partial^2 \varphi(s) = \sum_{i,j} h_j \cdot \partial^2_{ji} f(u + s \cdot h) \cdot h_i\]

ou, en utilisant la notation matricielle :

\[\partial^2 \varphi(s) = h^\dual \cdot \partial^2 f(u + s \cdot h) \cdot h\]

Le développement du premier ordre de \(\varphi\) autour de \(0\) s'écrit donc :

\[\varphi(s) = f(u) + s \cdot \partial f(u) \cdot h + E_u^1(s,h)\]

avec :

\[E_u^1(s,h) = h^\dual \cdot \partial^2 f(u + c \cdot h) \cdot h \cdot \frac{(c - 0)^2}{2} = h^\dual \cdot \partial^2 f(u + c \cdot h) \cdot h \cdot \frac{c^2}{2}\]

pour un certain \(c \in \intervalleouvert{0}{s}\). Mais comme :

\[\varphi(1) = f(u + h) = f(v)\]

on en déduit le développement de \(f\) :

\[f(v) = f(u) + \partial f(u) \cdot (v - u) + \mathcal{E}_u^1(h)\]

avec :

\[\mathcal{E}_u^1(h) = h^\dual \cdot \partial^2 f(u + c \cdot h) \cdot h \cdot \frac{c^2}{2}\]

pour un certain \(c \in \intervalleouvert{0}{1}\).

1.8.1.1 Borne

Soit :

\[M^2 = \max_{i,j} \norme{\partial^2_{ij} f}_\infty\]

On a :

\[\abs{\mathcal{E}_u^1(h)} \le \unsur{2} \cdot n^2 \cdot M^2 \cdot \norme{h}^2\]

1.8.2 Second ordre

Soit \(f \in \continue^3(\Omega,\setR)\). Avec les mêmes notations que précédemment, on a :

\[\partial^2 \varphi(0) = h^\dual \cdot \partial^2 f(u) \cdot h\]

La dérivée tierce de \(\varphi\) s'écrit :

\[\partial^3 \varphi(s) = \sum_{i,j,k} \partial^3_{kji} f(u + s \cdot h) \cdot h_i \cdot h_j \cdot h_k\]

ou, en utilisant la notation tensorielle :

\[\partial^3 \varphi(s) = \partial^3 f(u + s \cdot h) : h \otimes h \otimes h\]

Le développement du second ordre de \(\varphi\) autour de \(0\) s'écrit :

\[\varphi(s) = f(u) + s \ \partial f(u) \cdot h + \frac{s^2}{2} \ h^\dual \cdot \partial^2 f(u) \cdot h + E_u^2(s,h)\]

avec :

\[E_u^2(s,h) = \partial^3 f(u + c \cdot h) : h \otimes h \otimes h \cdot \frac{c^3}{6}\]

pour un certain \(c \in \intervalleouvert{0}{s}\). Mais comme :

\[\varphi(1) = f(u + h) = f(v)\]

on en déduit le développement de \(f\) :

\[f(v) = f(u) + \partial f(u) \cdot h + h^\dual \cdot \partial^2 f(u) \cdot h + \mathcal{E}_u^2(h)\]

avec :

\[\mathcal{E}_u^2(h) = \partial^3 f(u + c \cdot h) : h \otimes h \otimes h \cdot \frac{c^3}{6}\]

pour un certain \(c \in \intervalleouvert{0}{1}\).

1.8.2.1 Borne

Soit :

\[M^3 = \max_{i,j,k} \norme{\partial^3_{ijk} f}_\infty\]

On a :

\[\abs{\mathcal{E}_u^2(h)} \le \unsur{6} \cdot n^3 \cdot M^3 \cdot \norme{h}^3\]

1.9 Notation

Soit la fonction \(E : \Omega \subseteq \setR^m \mapsto \setR^n\), la fonction \(b : \setR \mapsto \setR\) et le vecteur \(h \in \Omega\). On note \(E \sim \petito{b(h)}\), ou on dit que \(E\) est en \(\petito{b(h)}\), pour signifier que :

\[\lim_{h \to 0} \frac{ \norme{E(h)} }{b(\norme{h})} = 0\]

On note \(E \sim \grando{b(h)}\), ou on dit que \(E\) est en \(\grando{b(h)}\), pour signifier qu'il existe \(M \in \setR\) tel que :

\[\norme{E(h)} \le M \cdot b(\norme{h})\]

pour tout \(h \in \Omega\).

1.9.1 Puissance

Une famille de fonction souvent employée est la puissance :

\[b_k : x \mapsto x^k\]

pour un certain \(k \in \setN\). On a alors \(\petito{h^k}\) si :

\[\lim_{h \to 0} \frac{ \norme{E(h)} }{\norme{h}^k} = 0\]

et \(\grando{h^k}\) si :

\[\norme{E(h)} \le M \cdot \norme{h}^k\]

1.9.2 Relation

Si \(E \sim \grando{h^k}\), on a :

\[0 \le \lim_{h \to 0} \frac{\norme{E(h)}}{\norme{h}^{k - 1}} \le \lim_{h \to 0} \frac{M \ \norme{h}^k}{\norme{h}^{k - 1}} = 0\]

d'où :

\[\lim_{h \to 0} \frac{\norme{E(h)}}{\norme{h}^{k - 1}} = 0\]

et \(E \sim \petito{h^{k - 1}}\).

1.9.3 Cas particulier

Le \(\grando{1}\) implique une erreur bornée en valeur absolue, le \(\petito{1}\) implique la continuité et le \(\petito{h}\) la différentiabilité.

1.9.4 Développement de Taylor

Pour toute fonction \(f \in \continue^{N + 1}(\Omega, \setR^n)\), l'erreur \(E_a^N(f)\) du développement de Taylor d'ordre \(N\) est en \(\grando{h^{N+1}}\).

1.10 Extrapolation de Richardson

Supposons qu'une fonction \(v\) nous donne une approximation de \(V\) respectant :

\[v(h) \approx V + C \cdot h^m + O(h^{m+1})\]

pour un certain \(C \in \setR\) et pour tout \(h \in [0,R] \subseteq \setR\). L'entier \(m\) est appelé l'ordre de l'approximation. Supposons que l'on dispose de deux estimations de \(V_1 = v(h)\) et \(V_2 = v(h/k)\). On a alors :

\( V1 = v(h) = V + C ⋅ hm + O(hm+1)
V2 = v\left(h/k\right) = V + C ⋅ \left(\frac{h}{k}\right)m

  • O(hm+1)

\)

On se sert de la première équation pour obtenir une expression de \(C \cdot h^m\) :

\[C \cdot h^m = V_1 - V + O(h^{m+1})\]

Posons :

\[r = \unsur{k^m}\]

On a alors :

\[V_2 = V + r \cdot C \cdot h^m + O(h^{m+1}) = V + r \cdot (V_1 - V) + O(h^{m+1})\]

On en conclut que :

\[(1 - r) \cdot V = V_2 - r \cdot V_1 + O(h^{m+1})\]

Ce qui nous donne l'approximation :

\[V = \frac{V_2 - r \cdot V_1}{1 - r} + O(h^{m+1})\]

Cette approximation est plus précise, car l'erreur n'est plus en \(O(h^m)\) mais en \(O(h^{m + 1})\). On appelle cette technique l'extrapolation de Richardson.

1.10.1 Cas particulier

Un cas particulier intéressant est celui où l'approximation est d'ordre \(1\) et où \(k = 2\). On a alors :

\[V = 2 V_2 - V_1 + O(h^2) = V_2 + (V_2 - V_1) + O(h^2)\]

ce qui revient à faire l'approximation \(V - V_2 \approx V_2 - V_1\).

2 Développements d'Hadamard

2.1 Dépendances

  • Chapitre \ref{chap:differ} : Les différentielles
  • Chapitre \ref{chap:integral} : Les intégrales

2.2 Lemme de Hadamard

Soit la fonction \(f : \setR^m \to \setR^n\) et les vecteurs \(u,v \in \setR^m\). On définit la fonction \(\lambda : [0,1] \mapsto \setR^m\) associée au segment \([u,v] \subseteq \setR^m\) par :

\[\lambda(s) = u + s \cdot (v - u)\]

pour tout \(s \in [0,1]\). On a bien entendu \(\lambda(0) = u\) et \(\lambda(1) = v\). On définit également la fonction \(\varphi = f \circ \lambda\) qui vérifie :

\[\varphi(s) = (f \circ \lambda)(s) = f(u + s \cdot (v - u))\]

pour tout \(t \in [0,1]\). On voit que \(\varphi(0) = f(u)\) et \(\varphi(1) = f(v)\). Donc, en termes de composantes dans \(\setR^n\), on a :

\[f_i(v) - f_i(u) = \varphi_i(1) - \varphi_i(0) = \int_0^1 \OD{\varphi_i}{s}(s) \ ds\]

où \(i \in \{1,2,...,n\}\).

Voyons quelle est la forme de la dérivée :

\begin{align} \OD{\varphi_i}{s}(s) &= \sum_j \partial_j f_i(u + s \cdot (v - u)) \cdot \partial \lambda_j(s) \\ &= \sum_j \partial_j f_i(u + s \cdot (v - u)) \cdot (v_j - u_j) \end{align}

où \(j \in \{1,2,...,m\}\). Si nous définissons :

\[G_{ij}(u,v) = \int_0^1 \partial_j f_i(u + s \cdot (v - u)) \ ds\]

nous obtenons alors l'expression de la variation :

\[f_i(v) - f_i(u) = \sum_j G_{ij}(u,v) \cdot (v_j - u_j)\]

En termes matriciels :

$$G(u,v) = \big[Gij(u,v)\big]i,j = \left[ \int_0^1 \partial_j f_i(u + s \cdot (v - u)) \ ds \right]i,j

est donc l'intégrale de la Jacobienne :

\[G(u,v) = \int_0^1 \partial f(u + s \cdot (v - u)) \ ds\]

et :

\[f(v) - f(u) = G(u,v) \cdot (v - u)\]

2.3 Développement du second ordre

Soit la fonction \(f \in \continue^2(\setR^n,\setR)\) et les vecteurs \(a,h \in \setR^n\). On définit la fonction \(\lambda : [0,1] \mapsto \setR^n\) associée au segment \([a, a + h]\) :

\[\lambda(s) = a + s \cdot h\]

pour tout \(s \in [0,1]\). Le lemme de Hadamard nous dit que :

\[f(a + h) - f(a) = \int_0^1 \partial f(a + s \cdot h) \cdot h \ ds\]

Par définition de la dérivée seconde, on a :

\[\partial_i f(a + s \cdot h) = \partial_i f(a) + \sum_j \partial_{ji}^2 f(a) \cdot h_j \cdot s + e_i(s \cdot h)\]

où l'erreur \(e\) vérifie :

\[\lim_{h \to 0} \frac{ \norme{e(h)} }{ \norme{h} } = 0\]

L'intégrale s'écrit alors :

\[f(a + h) - f(a) = \sum_i \int_0^1 \left[ \partial_i f(a) + \sum_j \partial_{ji}^2 f(a) \cdot h_j \cdot s + e_i(s \cdot h) \right] \cdot h_i \ ds\]

La grandeur \(\partial_i f(a) \cdot h_i\) ne dépendant pas de \(s\), on a :

\[\int_0^1 \partial_i f(a) \cdot h_i \ ds = \partial_i f(a) \cdot h_i \cdot (1 - 0) = \partial_i f(a) \cdot h_i\]

D'un autre coté, comme \(s^2/2\) est une primitive de \(s\), on a :

\[\int_0^1 s \ ds = \unsur{2} \cdot (1^2 - 0^2) = \unsur{2}\]

et donc :

\[\int_0^1 \partial_{ji}^2 f(a) \cdot h_j \cdot h_i \cdot s \ ds = \unsur{2} \partial_{ji}^2 f(a) \cdot h_j \cdot h_i\]

Posons :

\[\mathcal{E}_2(h) = \sum_i \int_0^1 e_i(s \cdot h) \cdot h_i \ ds\]

On a alors :

\[f(a + h) - f(a) = \sum_i \partial_i f(a) \cdot h_i + \unsur{2} \sum_{i,j} h_j \cdot \partial_{ji}^2 f(a) \cdot h_i + \mathcal{E}_2(h)\]

En termes matriciels, cette expression fait intervenir la Jacobienne et la Hessienne :

\[f(a + h) - f(a) = \partial f(a) \cdot h + \unsur{2} \ h^\dual \cdot \partial^2 f(a) \cdot h + \mathcal{E}_2(h)\]

2.3.1 Comportement de l'erreur

Nous savons que, pour toute précision \(\epsilon \strictsuperieur 0\), nous pouvons trouver un \(\delta \strictsuperieur 0\) tel que :

\[\frac{\norme{e(h)}}{\norme{h}} \le \epsilon\]

pour tout \(h\) vérifiant \(\norme{h} \le \delta\). Comme \(\abs{e_i} \le \norme{e}\) et \(\abs{h_i} \le \norme{h}\), on a alors :

\begin{align} \abs{\mathcal{E}_2(h)} &\le \sum_i \abs{\int_0^1 e_i(s \cdot h) \cdot h_i \ ds} \\ &\le n \cdot \epsilon \cdot \norme{h}^2 \end{align}

L'erreur décroît donc plus vite que \(\norme{h}^2\) :

\[\lim_{h \to 0} \frac{ \abs{\mathcal{E}_2(h)} }{ \norme{h}^2 } = 0\]

2.3.2 Dérivées ordinaires

Lorsque \(n = 1\), le développement est simplement :

\[f(a + h) = f(a) + \OD{f}{x}(a) \cdot h + \OOD{f}{x}(a) \cdot \frac{h^2}{2} + \mathcal{E}_2(h)\]

On constate qu'il est analogue au développement de Taylor d'ordre deux autour de \(a\).

2.4 Développement du troisième ordre

Soit la fonction \(f \in \continue^3(\setR^n,\setR)\) et les vecteurs \(a,h \in \setR^n\). En évaluant le développement du second ordre de chaque \(\partial_i f\), on a :

\[\partial_i f(a + s \cdot h) = \partial_i f(a) + \sum_j \partial_{ji} f(a) \cdot h_j \cdot s + \sum_{j,k} h_k \cdot \partial_{kji}^3 f(a) \cdot h_j \cdot \frac{s^2}{2} + e_i(h)\]

où \(e \sim \petito{h^2}\). En intégrant, nous obtenons une estimation de la variation de \(f\) :

\[f(a + h) - f(a) = \sum_i \int_0^1 \partial_i f(a + s \cdot h) \cdot h_i \ ds\]

Posons :

\begin{align} I_1(h) &= \sum_i \int_0^1 \partial_i f(a) \cdot h_i \ ds \\ I_2(h) &= \sum_{i,j} \int_0^1 h_j \cdot \partial_{ji} f(a) \cdot h_i \cdot s \ ds \\ I_3(h) &= \unsur{2} \sum_{i,j,k} \int_0^1 h_k \cdot \partial_{kji}^3 f(a) \cdot h_j \cdot h_i \cdot s^2 \ ds \\ \mathcal{E}_3(h) &= \sum_i \int_0^1 e_i(h) \cdot h_i \ ds \end{align}

Comme \(s^3/3\) est une primitive de \(s^2\), on a :

\[\int_0^1 s^2 \ ds = \unsur{3} \cdot (1^3 - 0^3) = \unsur{3}\]

Les intégrales s'écrivent donc :

\begin{align} I_1(h) &= \sum_i \partial_i f(a) \cdot h_i \\ I_2(h) &= \unsur{2} \sum_{i,j} h_i \cdot \partial_{ji} f(a) \cdot h_j \\ I_3(h) &= \unsur{6} \sum_{i,j,k} \partial_{kji}^3 f(a) \cdot h_i \cdot h_j \cdot h_k \end{align}

et la variation de \(f\) est donnée par :

\[f(a + h) - f(a) = I_1(h) + I_2(h) + I_3(h) + \mathcal{E}_3(h)\]

En terme de notations tensorielles, on peut l'écrire symboliquement :

\[f(a + h) - f(a) = \partial f(a) \cdot h + \unsur{2} h^\dual \cdot \partial^2 f(a) \cdot h + \unsur{6} \contraction{\partial^3 f(a)}{3}{h \otimes h \otimes h}\]

2.4.1 Comportement de l'erreur

Nous savons que, pour toute précision \(\epsilon \strictsuperieur 0\), nous pouvons trouver un \(\delta \strictsuperieur 0\) tel que :

\[\frac{\norme{e(h)}}{\norme{h}^2} \le \epsilon\]

pour tout \(h\) vérifiant \(\norme{h} \le \delta\). Comme \(\abs{e_i(h)} \le \norme{e(h)}\) et \(\abs{h_i} \le \norme{h}\), on a :

\begin{align} \abs{\mathcal{E}_3(h)} &\le \sum_i \abs{\int_0^1 e_i(h) \cdot h_i \ ds} \\ &\le n \cdot \epsilon \cdot \norme{h}^3 \end{align}

L'erreur \(\abs{\mathcal{E}_3(h)}\) est donc en \(\petito{h^3}\).

2.4.2 Dérivées ordinaires

Lorsque \(n = 1\), le développement est simplement :

\[f(a + h) = f(a) + \OD{f}{x}(a) \cdot h + \OOD{f}{x}(a) \cdot \frac{h^2}{2} + \NOD{f}{x}{3} \cdot \frac{h^3}{6} + \mathcal{E}_3(h)\]

On constate qu'il est analogue au développement de Taylor d'ordre trois autour de \(a\).

Auteur: chimay

Created: 2019-10-01 mar 12:33

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