Eclats de vers : Matemat 09 : Analyse - 4

Table des matières

1. Géométrie différentielle
2. L'espace vectoriel des polynômes

\( \newcommand{\parentheses}[1]{\left(#1\right)} \newcommand{\crochets}[1]{\left[#1\right]} \newcommand{\accolades}[1]{\left\{#1\right\}} \newcommand{\ensemble}[1]{\left\{#1\right\}} \newcommand{\identite}{\mathrm{Id}} \newcommand{\indicatrice}{\boldsymbol{\delta}} \newcommand{\dirac}{\delta} \newcommand{\moinsun}{{-1}} \newcommand{\inverse}{\ddagger} \newcommand{\pinverse}{\dagger} \newcommand{\topologie}{\mathfrak{T}} \newcommand{\ferme}{\mathfrak{F}} \newcommand{\img}{\mathbf{i}} \newcommand{\binome}[2]{ \left\{ \begin{array}{c} #1 \\ #2 \\ \end{array} \right\} } \newcommand{\canonique}{\mathfrak{c}} \newcommand{\tenseuridentite}{\boldsymbol{\mathcal{I}}} \newcommand{\permutation}{\boldsymbol{\epsilon}} \newcommand{\matriceZero}{\mathfrak{0}} \newcommand{\matriceUn}{\mathfrak{1}} \newcommand{\christoffel}[2]{ \left\{ \begin{array}{c} #1 \\ #2 \\ \end{array} \right\} } \newcommand{\lagrangien}{\mathfrak{L}} \newcommand{\sousens}{\mathfrak{P}} 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1. Géométrie différentielle

1.1. Dépendances
1.2. Indices covariants et contravariants
1.3. Coordonnées curvilignes
1.4. Changement de variable
1.5. Produit scalaire
1.6. Dérivées primales d'un vecteur
1.7. Dérivées duales d'un vecteur
1.8. Dérivées d'un tenseur
1.9. Produit scalaire et symboles de Christoffel
1.10. Bases biorthonormées
1.11. Dérivées des changements de variable

\label{chap:geometri}

1.1. Dépendances

Chapitre \ref{chap:vecteur} : Les vecteurs
Chapitre \ref{chap:ps} : Les produits scalaires
Chapitre \ref{chap:tenseur} : Les tenseurs

1.2. Indices covariants et contravariants

Les indices inférieurs (le \(i\) des vecteurs \(a_i^j\) par exemple) des tenseurs sont appelés indices covariants.

Les indices supérieurs (le \(j\) des vecteurs \(a_i^j\) par exemple) des tenseurs sont appelés indices contravariants.

Ne pas confondre ces indices supérieurs contravariants , très utilisés en calcul tensoriel, avec les puissances ! Dans le contexte des tenseurs, une éventuelle puissance d'un scalaire \(\theta_i^j\) serait notée au besoin par :

\[\big( \theta_j^i \big)^m = \theta_j^i \cdot ... \cdot \theta_j^i\]

1.3. Coordonnées curvilignes

Soit l'espace vectoriel \(E = \setR^n\) sur \(\setR\). Les coordonnées curvilignes sont basées sur la notion de position \(r\), exprimée comme une fonction de certains paramètres \(x \in \setR^n\) que nous appelons « coordonnées » de \(r\) :

\[r = \rho(x)\]

où \(\rho : \setR^n \to \setR^n\). Nous envisageons également le cas du changement de variable. La position dépend alors d'un autre jeu de coordonnées \(y \in \setR^n\) :

\[r = \sigma(y)\]

où \(\sigma : \setR^n \to \setR^n\). Nous définissons les vecteurs fondamentaux \(e_i\) et \(e^i\) au moyen de ces fonctions :

\( e_i(x) = \deriveepartielle{\rho}{x^i}(x) \\ e^i(y) = \deriveepartielle{\sigma}{y_i}(y) \)

de telle sorte que :

\[dr = \sum_i e_i \ dx^i = \sum_i e^i \ dy_i\]

Nous supposons que \((e_1, ..., e_n)\) et \((e^1, ..., e^n)\) sont des bases de \(E\).

1.3.1. Courbe

Dans le cas où \(x\) et \(y\) ne dépendent que d'un paramètre \(t \in \setR\), on a :

\[\OD{r}{t} = \sum_i e_i \ \OD{x^i}{t} = \sum_i e^i \ \OD{y_i}{t}\]

On dit alors que la position \(r\) décrit une courbe.

1.4. Changement de variable

Si les fonctions \(\rho\) et \(\sigma\) sont inversibles, on a :

\( x = \rho^{-1}(r) = (\rho^{-1} \circ \sigma)(y) = \phi(y) \\ y = \sigma^{-1}(r) = (\sigma^{-1} \circ \rho)(x) = \psi(x) \)

où nous avons implicitement défini \(\phi = \rho^{-1} \circ \sigma\) et \(\psi = \sigma^{-1} \circ \rho\). Nous notons \(\deriveepartielle{x^i}{y_j}\) et \(\deriveepartielle{y_i}{x^j}\) les coordonnées des dérivées de \(\phi\) et \(\psi\) suivant les bases formées par les \(e_i\) et les \(e^i\) :

\( \deriveepartielle{\phi}{y_j} = \sum_i \deriveepartielle{x^i}{y_j} \ e_i \\ \deriveepartielle{\psi}{x^j} = \sum_i \deriveepartielle{y_i}{x^j} \ e^i \)

La composition des dérivées nous donne les relations :

\( e_i = \sum_j \deriveepartielle{r}{y_j} \ \deriveepartielle{y_j}{x^i} = \sum_j \deriveepartielle{y_j}{x^i} \ e^j \\ e^i = \sum_j \deriveepartielle{r}{x^j} \ \deriveepartielle{x^j}{y_i} = \sum_j \deriveepartielle{x^j}{y_i} \ e_j \)

qui nous permettent de relier les \(e_i\) aux \(e^j\) et inversément.

1.5. Produit scalaire

Les produits intérieurs entre vecteurs de base se notent habituellement :

\( g_{ij} = \scalaire{e_i}{e_j} \\ g_i^j = \scalaire{e_i}{e^j} \\ g^{ij} = \scalaire{e^i}{e^j} \)

Il est clair d'après les propriétés de symétrie de ce produit que :

\( g_{ij} = g_{ji} \\ g^{ij} = g^{ji} \\ g_i^j = g_j^i \)

Le produit scalaire de deux vecteurs \(a,b\in E\) définis par :

\( a = \sum_i a^i \ e_i = \sum_i a_i \ e^i \\ b = \sum_i b^i \ e_i = \sum_i b_i \ e^i \)

peut s'écrire indifféremment comme :

\( \scalaire{a}{b} = \sum_{i,j} g_{ij} \ a^i \ b^j \\ \scalaire{a}{b} = \sum_{i,j} g^{ij} \ a_i \ b_j \\ \scalaire{a}{b} = \sum_{i,j} g_j^i \ a_i \ b^j \\ \scalaire{a}{b} = \sum_{i,j} g_i^j \ a^i \ b_j \)

Et en particulier, la longeur \(ds\) d'un changement de position \(dr\) vérifie :

\[(ds)^2 = \scalaire{dr}{dr} = \sum_{i,j} g_{ij} \ dx^i \ dx^j = \sum_{i,j} g^{ij} \ dy_i \ dy_j\]

De plus, les relations entre les vecteurs \(e_i\) et les vecteurs \(e^i\) permettent de déduire, en utilisant la linéarité du produit scalaire :

\( g_{ij} = \sum_k \deriveepartielle{y_k}{x^i} \ g_j^k = \sum_{k,l} \deriveepartielle{y_k}{x^i} \ \deriveepartielle{y_l}{x^j} \ g^{kl} \\ g^{ij} = \sum_k \deriveepartielle{x_k}{y^i} \ g_k^j = \sum_{k,l} \deriveepartielle{x^k}{y_i} \ \deriveepartielle{x^l}{y_j} \ g_{kl} \)

1.6. Dérivées primales d'un vecteur

Nous allons à présent voir comment évolue un vecteur \(a\in E\), que l'on note sous la forme :

\[a = \sum_i a^i \ e_i\]

où les coordonnées \(a^i\in\setR\) tout comme les vecteurs de base \(e_i\) dépendent des coordonnées \(x^i\). La règle de dérivation d'un produit nous donne :

\[da = \sum_i da^i \ e_i + \sum_k a^k \ de_k\]

La différentielle \(da^i\) s'obtient directement :

\[da^i = \sum_j \deriveepartielle{a^i}{x^j} \ dx^j\]

On peut suivre la même règle avec \(de_i\) :

\[de_k = \sum_j \deriveepartielle{e_k}{x^j} \ dx^j\]

Les symboles de Christoffel \(\christoffel{i}{kj}\) sont définis comme les coordonnées de \(\deriveepartielle{e_k}{x^j}\) suivant la base \((e_1, ..., e_n)\) :

\[\deriveepartielle{e_k}{x^j} = \sum_i \christoffel{i}{kj} \ e_i\]

Notons que comme :

\[\deriveepartielle{e_k}{x^j} = \dfdxdy{r}{x^j}{x^k} = \dfdxdy{r}{x^k}{x^j} = \deriveepartielle{e_j}{x^k}\]

on a la symétrie :

\[\christoffel{i}{kj} = \christoffel{i}{jk}\]

On peut évaluer ces symboles si on connait par exemple les valeurs des :

\begin{align} \scalaire{e^i}{ \deriveepartielle{e_k}{x^j} } &= \sum_m \christoffel{m}{kj} \ \scalaire{e^i}{e_m} \\ &= \sum_m \christoffel{m}{kj} \ g^i_m \end{align}

On a alors, pour chaque choix de \(k,j\) un système linéaire à résoudre. Il suffit d'inverser la matrice \(G = (g^i_m)_{i,m}\) pour obtenir les valeurs des symboles.

La dérivation d'un vecteur \(a\in E\) s'écrit alors :

\[da = \sum_{i,j} e_i \ dx^j \ \left[ \deriveepartielle{a^i}{x^j} + \sum_k \christoffel{i}{kj} \ a^k \right]\]

On définit les coordonnées :

\[\gradient_j a^i = \deriveepartielle{a^i}{x^j} + \sum_k \christoffel{i}{kj} \ a^k\]

Dans le cas où les coordonnées dépendent d'un paramètre \(t\in\setR\), on a :

\begin{align} \OD{a}{t} &= \sum_{i,j} e_i \ \OD{x^j}{t} \ \left[ \deriveepartielle{a^i}{x^j} + \sum_k \christoffel{i}{kj} \ a^k \right] \\ &= \sum_{i} e_i \ \left[ \OD{a^i}{t} + \sum_{j,k} \christoffel{i}{kj} \ a^k \ \OD{x^j}{t} \right] \end{align}

1.6.1. Dérivée seconde et géodésique

Considérons le cas :

\[a = \OD{r}{t} = \sum_i e_i \ \OD{x^i}{t}\]

Les coordonnées de \(a\) sont clairement \(a^i = \OD{x^i}{t}\) et la dérivée seconde :

\[\OOD{r}{t} = \OD{}{t}\OD{r}{t} = \OD{a}{t}\]

s'écrit :

\[\OOD{r}{t} = \sum_{i} e_i \ \left[ \OOD{x^i}{t} + \sum_{j,k} \christoffel{i}{kj} \ \OD{x^k}{t}\ \OD{x^j}{t} \right]\]

Les courbes \(x^i = x^i(t)\) vérifiant \(\OOD{r}{t} = 0\) sont appelées des géodésiques.

1.7. Dérivées duales d'un vecteur

Nous allons recommencer le même processus, écrivant cette fois \(a\in E\) sous la forme :

\[a = \sum_i a_i \ e^i\]

Les coordonnées \(a_i\in\setR\) tout comme les vecteurs de base \(e^i\) dépendent des coordonnées \(y_i\). En suivant la même méthode que ci-dessus, on obtient :

\[da = \sum_{i,j} e^i \ dy_j \left[ \deriveepartielle{a_i}{y_j} + \sum_k \christoffel{kj}{i} \ a_k \right]\]

où l'on a introduit de nouveaux symboles de Christoffel, définis par :

\[\deriveepartielle{e^k}{y_j} = \sum_i \christoffel{kj}{i} \ e^i\]

Ces nouveaux symboles présentent la symétrie :

\[\christoffel{kj}{i} = \christoffel{jk}{i}\]

1.8. Dérivées d'un tenseur

On étend simplement la notion de dérivée aux tenseurs en appliquant la formule :

\[d(a \otimes b) = da \otimes b + a \otimes db\]

où \(a\) et \(b\) sont deux tenseurs d'ordre quelconque. Par exemple, pour le tenseur :

\[T = \sum_{i,j} T^i_j \ e_i \otimes e^j\]

on a :

\[dT = \sum_{i,j} \left[ dT^i_j \ e_i \otimes e^j + T^i_j \ de_i \otimes e^j + T^i_j \ e_i \otimes de^j \right]\]

qui devient, en introduisant les symboles de Christoffel :

\[dT = \sum_{i,j} e_i \otimes e^j \left[ dT^i_j + \sum_{k,m} \christoffel{i}{mk} \ T^m_j \ dx^k + \sum_{k,m} \christoffel{mk}{j} \ T^i_m \ dy_k \right]\]

1.9. Produit scalaire et symboles de Christoffel

Lorsqu'on différentie les \(g_{ij}\), on obtient :

\begin{align} dg_{ij} &= \scalaire{de_i}{e_j} + \scalaire{e_i}{de_j} \\ &= \sum_{k,l} \christoffel{k}{il} \ g_{kj} \ dx^l + \sum_{k,l} \christoffel{k}{jl} \ g_{ik} \ dx^l \end{align}

On en déduit que :

\[\deriveepartielle{g_{ij}}{x^l} = \sum_k \christoffel{k}{il} \ g_{kj} + \sum_k \christoffel{k}{jl} \ g_{ik}\]

Définissons :

\[\gamma_{ijl} = \sum_k \christoffel{k}{il} \ g_{kj}\]

Les propriétés de symétrie des symboles de Christoffel nous montrent que :

\[\gamma_{ijl} = \gamma_{ilj}\]

Et comme (changement de l'indice \(l\) en \(k\)) :

\[\deriveepartielle{g_{ij}}{x^k} = \gamma_{ijk} + \gamma_{jik}\]

On en déduit :

\begin{align} \deriveepartielle{g_{ij}}{x^k} + \deriveepartielle{g_{jk}}{x^i} - \deriveepartielle{g_{ki}}{x^j} &= 2 \ \gamma_{jik} \\ &= 2 \sum_l \christoffel{l}{jk} \ g_{li} \end{align}

AFAIRE : LA FIN DU CHAPITRE EST A DÉBROUILLONNER

1.10. Bases biorthonormées

1.10.1. produit scalaire

Nous considérons tout au long de cette section le cas particulier où les bases sont biorthonormées, c'est-à-dire :

\[g_i^j = \indicatrice_i^j\]

On déduit des relations liant les \(g^{ij},g_{ij}\) aux \(g_i^j\) que :

\( g_{ik} g^{kj} = \sum_{k,l,m} \deriveepartielle{y_l}{x^i}\deriveepartielle{x^m}{y_k} g_k^l g_m^j \\ g_{ik} g^{kj} = \sum_{k,l,m} \deriveepartielle{y_l}{x^i}\deriveepartielle{x^m}{y_k} \indicatrice_k^l \indicatrice_m^j \\ g_{ik} g^{kj} = \sum_{k} \deriveepartielle{y_k}{x^i}\deriveepartielle{x^j}{y_k} \\ g_{ik} g^{kj} = \deriveepartielle{x^i}{x^j} = \indicatrice_i^j \)

On aurait de même :

\[g^{ik} g_{kj} = \indicatrice_j^i\]

1.10.2. Coordonnées

Les coordonnées d'un tenseur de la forme :

\[T = \sum_{i,j,k,l} T_{i...j}^{k...l} e^i \otimes ... \otimes e^j \otimes e_k \otimes ... \otimes e_l\]

où il y a \(m\) indices \(i...j\) et \(n\) indices \(k...l\) s'obtiennent facilement en utilisant la contraction double :

\[T_{i...j}^{k...l} = \dblecont{e_j \otimes ... \otimes e_i}{m}{T}{n}{e^l \otimes ... \otimes e^k}\]

1.11. Dérivées des changements de variable

\( \deriveepartielle{x^i}{y_j} = \scalaire{e_i}{ \deriveepartielle{\phi}{y_j} } \\ \deriveepartielle{y_i}{x^j} = \scalaire{e^i}{ \deriveepartielle{\psi}{x^j} } \)

1.11.1. Christoffel

Tenant compte de cette identité, l'équation reliant les symboles de Christoffel aux produits scalaires devient :

\[\christoffel{m}{jk} = \frac{1}{2}\sum_i g^{im}\left[\deriveepartielle{g_{ij}}{x^k} + \deriveepartielle{g_{jk}}{x^i} - \deriveepartielle{g_{ki}}{x^j}\right]\]

1.11.2. Dérivée d'un vecteur

La relation :

\[d\scalaire{e^i}{e_j} = d\indicatrice_i^j = 0\]

nous conduit à :

\( \scalaire{de^i}{e_j}+\scalaire{e^i}{de_j} = 0 \\ \sum_{k,l} \christoffel{ik}{l} \scalaire{e^l}{e_j} dy_k + \sum_{k,l} \christoffel{l}{jk} \scalaire{e^i}{e_l} dx^k = 0 \\ \sum_k \christoffel{ik}{l} dy_k = - \sum_k \christoffel{l}{jk} dx^m \)

Par ailleurs :

\[da_i = \deriveepartielle{a_i}{y_j} dy_j = \deriveepartielle{a_i}{x^j} dx^j\]

On peut donc réexprimer la dérivée duale comme :

\[da = \sum_{i,j} e^i dx^j \left[ \deriveepartielle{a_i}{x^j} - \sum_k \christoffel{k}{ij} a_k \right]\]

1.11.3. Gradient

On peut également définir le gradient d'un vecteur par :

\[\gradient a = \sum_{i,j} \gradient_j a^i e_i \otimes e^j\]

de telle sorte que l'on ait :

\[da = \scalaire{\gradient a}{dr} = \gradient a \cdot dr\]

1.11.4. Dérivée d'un tenseur

\[dT = \sum_{i,j,k} e_i \otimes e^j dx^k \left[ \deriveepartielle{T^i_j}{x^k} + \sum_m \christoffel{i}{mk} T^m_j - \sum_m \christoffel{m}{jk} T^i_m \right]\]

On définit alors les coordonnées :

\[\gradient_k T^i_j = \deriveepartielle{T^i_j}{x^k} + \sum_m \christoffel{i}{mk} T^m_j - \sum_m \christoffel{m}{jk} T^i_m\]

1.11.5. Tenseur de courbure

Appliquons la formule de dérivation des coordonnées d'un tenseur dans le cas particulier où :

\[T^i_j = \gradient_j a^i\]

On a :

\( \deriveepartielle{T^i_j}{x^k} = \dfdxdy{a^i}{x^j}{x^k}

∑_m \christoffel{i}{jm} \deriveepartielle{a^m}{x^k}
∑_m \deriveepartielle{}{x^k}\christoffel{i}{jm} a^m \\

∑_l \christoffel{i}{kl} T^l_j = ∑_l \christoffel{i}{kl} \deriveepartielle{a^i}{x^j} + ∑_l,m \christoffel{i}{kl} \christoffel{l}{jm} a^m \\

-∑_l \christoffel{l}{jk} Tⁱ_l = -∑_l \christoffel{l}{jk} \deriveepartielle{a^i}{x^l} - ∑_l,m \christoffel{l}{jk} \christoffel{i}{lm} a^m \)

La somme de tous ces termes vaut \(\gradient_k T^i_j = \gradient_k \gradient_j a^i\). En interchangeant les indices \(j\) et \(k\), on obtient \(\gradient_j \gradient_k a^i\). On en déduit, en utilisant les propriétés de symétrie que :

\[\gradient_k \gradient_j a^i - \gradient_j \gradient_k a^i = \sum_m R^i_{m,kj} a^m\]

où les \(R_{...}^{...}\) sont définis par :

\[R^i_{m,kj} = \deriveepartielle{}{x^k}\christoffel{i}{jm} - \deriveepartielle{}{x^j}\christoffel{i}{km} + \sum_l \christoffel{i}{kl}\christoffel{l}{jm} - \sum_l \christoffel{i}{jl}\christoffel{l}{km}\]

Ce sont les coordonnées du tenseur de courbure de Riemann-Christoffel.

\label{chap:vectpoly}

2.1. Introduction

AFAIRE : ARRANGER LE CHAPITRE

Il est clair d'après la définition des polynômes que les espaces \(\mathcal{P}_n\) sont des espaces vectoriels pour l'ensemble des scalaires \(S=\setR\) et que :

\[\mathcal{P}_n = \ev{\mu_0,\mu_1,...,\mu_n}\]

Nous allons montrer que \((\mu_0,\mu_1,...,\mu_n)\) forme une base de \(\mathcal{P}_n\). Pour cela, il nous reste à prouver l'indépendance linéaire des \(\mu_i\) :

\[\sum_{i=0}^n a_i \mu_i = 0 \quad\Rightarrow\quad a_0 = a_1 = ... = a_n = 0\]

c'est-à-dire :

\[\sum_{i=0}^n a_i x^i = 0 \quad\forall x \in\setR \quad\Rightarrow\quad a_0 = a_1 = ... = a_n = 0\]

Nous allons le montrer par récurrence.

Comme \(\mu_0=1\) on a évidemment :

\[a_0 1 = 0 \quad\Rightarrow\quad a_0 = 0\]

et la thèse est vraie pour \(n=0\). Supposons à présent qu'elle soit vraie pour \(n-1\). Choisissons \(p\in\mathcal{P}_n\) :

\[p(x) = \sum_{i=0}^n a_i x^i\]

et supposons que \(p(x) = 0\) pour tout \(x\in\setR\). Comme \(p(0)=0\), on a :

\[a_0 = 0\]

donc :

\[p(x) = \sum_{i=1}^n a_i x^i = x q(x) = 0\]

où l'on à définit \(q\in\mathcal{P}_{n-1}\) par :

\[q(x) = \sum_{i=1}^n a_i x^{i-1}\]

Il est clair que, pour tout \(x\ne 0\), \(q(x) = 0\). Mais comme les polynômes sont des fonctions continues, on a :

\[q(0) = \lim_{ \substack{ x \rightarrow 0 \\ x \ne 0 } } q(x) = 0\]

Donc \(q\) s'annule également en \(0\). On en conclut que \(q(x)\) est nul pour tout \(x\in\setR\). Par l'hypothèse de récurrence, les coefficients de ce polynôme sont tous nuls :

\[a_1 = a_2 = ... = a_n = 0\]

Rassemblant les résultats, il vient :

\[a_0 = a_1 = ... = a_n = 0\]

et \((\mu_0,\mu_1,...,\mu_n)\) forme bien une base de \(\mathcal{P}_n\).

2.2. Polynômes orthogonaux

Nous allons à présent voir comment construire des suites de polynômes orthogonaux pour le produit scalaire :

\[\scalaire{p}{q} = \int_a^b p(x) q(x) d\mu(x)\]

ou, lorsque c'est possible :

\[\scalaire{p}{q} = \int_a^b p(x) q(x) w(x) dx\]

2.2.1. Récurrence

On pourrait bien entendu partir de la suite de la base canonique de monômes \((1,x,x^2,...,x^n)\) et l'orthogonaliser en utilisant le procédé de Gram-Schmidt, mais on peut arriver à un algorithme plus rapide en utilisant les propriétés des polynômes. Soit \((\phi_n)_n\) une suite de polynômes orthonormés, où \(\phi_i\) est de degré \(i\). On a donc :

\[\scalaire{\phi_m}{\phi_n} = \int_A \phi_m(x) \phi_n(x) d\mu(x) = \delta_{mn}\]

Supposons que \((\phi_0,...,\phi_n)\) forme une base de \(\mathcal{P}_n\). On peut vérifier que \((\phi_0,...,\phi_n,x\phi_n)\) forme une base de \(\mathcal{P}_{n+1}\). On peut donc représenter \(\phi_{n+1}\) comme :

\[\phi_{n+1}(x) = a_n x\phi_n(x) + b_n \phi_n(x) + c_n \phi_{n-1}(x) + \sum_{i=0}^{n-2} d_i \phi_i(x)\]

Soit \(i \in \{0, ..., n-2\}\). La condition d'orthogonalité de \(\phi_{n+1}\) avec \(\phi_i\) s'écrit :

\[\scalaire{\phi_i}{\phi_{n+1}} = a_n \scalaire{\phi_i}{x\phi_n} + b_n \scalaire{\phi_i}{\phi_n} + c_n \scalaire{\phi_i}{\phi_{n-1}} + \sum_{j=0}^{n-2} d_j \scalaire{\phi_i}{\phi_j} = 0\]

L'orthogonalité implique que :

\( \scalaire{\phi_i}{\phi_n} = \scalaire{\phi_i}{\phi_{n-1}} = 0 \\ \scalaire{\phi_i}{\phi_j} = \delta_{ij} \)

On a aussi :

\[\scalaire{\phi_i}{x\phi_n} = \int_A x \phi_i(x) \phi_n(x) d\mu(x) = \scalaire{x\phi_i}{\phi_n}\]

Mais comme \(\phi_i\) est de degré \(i\), \(x\phi_i\) est de degré \(i+1\) et on peut l'exprimer comme :

\[x \phi_i = \sum_{j=0}^{i+1} \alpha_i \phi_j\]

Le produit scalaire devient alors :

\[\scalaire{\phi_i}{x\phi_n} = \sum_{j=0}^{i+1} \alpha_i \scalaire{\phi_j}{\phi_n} = 0\]

puisque \(j \le i+1 < n\). On en conclut que :

\[\scalaire{\phi_i}{\phi_{n+1}} = \sum_{j=0}^{n-2} d_j \delta_{ij} = d_i = 0\]

Les conditions :

\( \scalaire{\phi_{n+1}}{\phi_n} = 0 \\ \scalaire{\phi_{n+1}}{\phi_{n-1}} = 0 \)

impliquent respectivement que :

\( b_n = -a_n\scalaire{\phi_n}{x\phi_n} \\ c_n = -a_n\scalaire{\phi_{n-1}}{x\phi_n} \)

La condition de normalisation :

\[\scalaire{\phi_{n+1}}{\phi_{n+1}} = a_n \scalaire{x\phi_n}{\phi_{n+1}} = 1\]

nous donne alors la valeur de \(a_n\) :

\( a_n^2 \scalaire{x\phi_n}{x\phi_n}} - a_n^2 \scalaire{x\phi_n}{\phi_n}^2 - a_n^2 \scalaire{x\phi_n}{\phi_{n-1}}^2 = 1 \\ a_n = \left[\scalaire{x\phi_n}{x\phi_n} - \scalaire{x\phi_n}{\phi_n}^2 - \scalaire{x\phi_n}{\phi_{n-1}}^2\right]^{-1/2} \)

On voit donc que le choix du produit scalaire détermine :

\( \phi_0 = \unsur{\sqrt{\scalaire{1}{1}}} \\ \phi_1 = a_1 (x - \scalaire{\phi_0}{x} \phi_0) \)

ainsi que toute la suite de polynômes.

2.2.2. Approximation

Soit une suite de polynômes orthonormaux \((\phi_0,...\phi_n)\) pour le produit scalaire :

\[\scalaire{u}{v} = \int_A u(x) v(x) d\mu(x)\]

Nous cherchons l'approximation de \(u\) :

\[w(x) = \sum_{i=0}^n w_i \phi_i(x)\]

qui minimise l'erreur au sens intégral :

\[\scalaire{u-w}{u-w} = \int_A [u(x)-w(x)]^2 d\mu(x)\]

sur \(\mathcal{P}_n\). Imposant que la dérivée par rapport aux \(w_i\) soit nulle, on obtient :

\[2 \int_A \phi_i(x) [u(x)-w(x)] d\mu(x) = 0\]

Mais comme :

\[w_i = \int_A \phi_i(x) w(x) d\mu(x)\]

on obtient :

\[w_i = \int_A \phi_i(x) u(x) d\mu(x) = \scalaire{\phi_i}{u}\]

Ce qui n'a rien d'étonnant au vu des résultats du chapitre \ref{chap:vector}. On peut vérifier facilement que la hessienne de l'erreur par rapport aux \(w_i\) est bien positive. L'approximation ainsi définie :

\( w(x) = \sum_{i=0}^n \phi_i(x) \int_A \phi_i(y) u(y) d\mu(y) \\ w(x) = \sum_{i=0}^n \int_A \phi_i(x) \phi_i(y) u(y) d\mu(y) \)

minimise donc bien l'erreur sur l'ensemble des polynômes de degré \(n\).

2.2.3. Intégration de Gauss

Soit une suite de polynômes orthonormaux \((\phi_0,...\phi_n)\) pour le produit scalaire :

\[\scalaire{u}{v} = \int_A u(x) v(x) d\mu(x)\]

Considérons la formule d'intégration :

\[I(f) = \sum_{i=0}^n w_i f(x_i)\]

supposée approximer l'intégrale :

\[\langle f \rangle = \scalaire{f}{1} = \int_A f(x) d\mu(x)\]

Fixons les points \(x_0 < x_1 < ... < x_n\) et imposons que la formule soit exacte pour \(\phi_0,...,\phi_n\). On a :

\[\langle \phi_k \rangle = \sum_{i=0}^n w_i \phi_k(x_i)\]

où \(k = 0,1,...,n\). Définissant les matrices et vecteurs :

\( \varphi = (\langle \phi_k \rangle)_k \\ W = (w_i)_i \\ \Phi = \left(\phi_i(x_j)\right)_{i,j} \)

ces conditions se ramènent à :

\[\Phi W = \varphi\]

Si la matrice \(\Phi(n+1,n+1)\) est inversible, on a alors :

\[W = \Phi^{-1} \varphi\]

La formule est alors valable pour tout polynôme de \(\mathcal{P}_n\). Notons que

\[\langle \phi_k \rangle = \unsur{\phi_0} \scalaire{\phi_k}{\phi_0}\]

s'annule pour tout \(k\ne 0\). Si les racines de \(\phi_{n+1}\) sont toutes distinctes, on peut choisir les \(x_i\) tels que :

\[\phi_{n+1}(x_i) = 0\]

On a alors :

\[\langle \phi_{n+1} \rangle = I(\phi_{n+1}) = 0\]

et la formule devient valable sur \(\mathcal{P}_{n+1}\). Mieux, considérons un polynôme \(p\) de degré \(n+m+1\) où \(m \ge 0\) et sa division euclidienne par \(\phi_{n+1}\). On a :

\[p(x) = q(x) \phi_{n+1}(x) + r(x)\]

Comme \(q\) est de degré \(m\), on a :

\[q = \sum_{i=0}^m q_i \phi_i\]

Si \(m \le n\), on a donc :

\[\langle q \phi_{n+1} \rangle = \sum_{i=0}^n q_i \scalaire{\phi_i}{\phi_{n+1}} = 0\]

et :

\[\langle p \rangle = \langle r \rangle = I(r)\]

puisque \(r\) est de degré \(n\) au plus. Comme \(\phi_{n+1}\) s'annule en les \(x_i\), on a aussi ;

\[I(p) = I(r)\]

Rassemblant tout ces résultats, on obtient :

\[\int_A f(x) d\mu(x) = \sum_{i=0}^n w_i f(x_i)\]

pour tout polynôme \(f\in\mathcal{P}_{2n+1}\). En pratique, on utilise ces formules d'intégration pour des fonctions qui ne sont pas forcément des polynômes.

2.3. Legendre

Les polynômes de Legendre sont orthogonaux pour le produit scalaire :

\[\int_{-1}^1 P_n(x) P_m(x) dx = \frac{2}{2 n + 1} \delta_{mn}\]

Ils obéissent à la récurrence :

\( P_0(x) = 1 \\ P_1(x) = x \\ (n+1) P_{n+1}(x) = (2 n + 1) x P_n(x) - n P_{n-1}(x) \)

2.4. Interpolation

Un problème d'interpolation consiste à trouver les coefficients : \(a_i\in\setR\) tels que la fonction :

\[u = \sum_{i=1}^n a_i u_i\]

où les \(u_i\) sont des polynômes de degré \(n\), vérifie :

\[\form{\phi_i}{u} = y_i\]

pour tout \(i=1,2,...,n\), où les \(\phi_i\) sont des formes linéaires de \(\mathcal{P}_N^D\) et les \(y_i\) des réels donnés.

On utilise couramment des bases biorthogonales :

\[\form{\phi_i}{u_j} = \delta_{ij}\]

et on a alors simplement :

\[a_i = \form{\phi_i}{u}\]

L'exemple le plus courant est :

\( \form{\phi_i}{u} = u(x_i) \\ y_i = f(x_i) \)

pour une certaine fonction \(f\) à interpoler. Les conditions ci-dessus se résument alors à l'égalité de \(f\) et de \(u\) en un nombre fini de points :

\[u(x_i) = f(x_i)\]

On rencontre parfois aussi le cas :

\( \form{\phi_i}{u} = \OD{u}{x}(x_i) \\ y_i = \OD{f}{x}(x_i) \)

2.4.1. Lagrange

Les polynômes de Lagrange \(\Lambda_i\) sont biorthogonaux aux formes :

\[\form{\phi_i}{u} = u(x_i)\]

On a donc :

\[\form{\phi_j}{\Lambda_i} = \Lambda_i(x_j) = \delta_{ij}\]

Le polynôme \(\Lambda_i\) doit donc s'annuler en tout les points \(x_j\), où \(j \ne i\). On peut donc le factoriser comme :

\[\Lambda_i(x) = A_i \prod_{j \in E_i} (x-x_j) = A_i P_i(x)\]

où \(E_i = \{ 1,2,...,n \} \setminus \{i\}\). Mais comme \(\Lambda_i(x_i) = 1\), on a :

\[A_i = \unsur{P_i(x_i)}\]

et :

\[\Lambda_i(x) = \prod_{j \in E_i} \frac{(x-x_j)}{(x_i - x_j)}\]

Donc si on souhaite construire un polynôme :

\[w(x) = \sum_{i=1}^{n} u_i \Lambda_i(x)\]

qui interpole \(u\) en les \(x_i\) :

\[u(x_i) = w(x_i)\]

pour tout \(i = 1,2,...,n\), il faut et il suffit de prendre :

\[u_i = \form{\phi_i}{u} = u(x_i)\]

2.4.2. Newton

L'interpolation de Newton utilise des polynômes construit récursivement à partir des polynômes de degré inférieur. Soit \(f\) la fonction à interpoler, \(p_{i,j}\) le polynôme de degré \(j-i\) :

\[p_{ij}(x) = \sum_{j=0}^{j-i} a_k x^k\]

tels que :

\[p_{ij}(x_k) = f(x_k)\]

pour tous \(k\in\{i,i+1,...,j\}\). On voit que si \(i=j\), on a :

\[p_{ii} = f(x_i)\]

Pour \(i < j\), on peut construire les \(p_{i,j}\) par récurrence. On vérifie que :

\[p_{ij}(x) = \frac{(x-x_i)p_{i+1,j}(x)-(x-x_j)p_{i,j-1}(x)}{x_j-x_i}\]

satisfait bien aux conditions d'interpolation ci-dessus.