Eclats de vers : Matemat 09 : Analyse - 4

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Table des matières

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1 Géométrie différentielle

1.1 Dépendances

  • Chapitre \ref{chap:vecteur} : Les vecteurs
  • Chapitre \ref{chap:ps} : Les produits scalaires
  • Chapitre \ref{chap:tenseur} : Les tenseurs

1.2 Indices covariants et contravariants

Les indices inférieurs (le \(i\) des vecteurs \(a_i^j\) par exemple) des tenseurs sont appelés indices covariants.

Les indices supérieurs (le \(j\) des vecteurs \(a_i^j\) par exemple) des tenseurs sont appelés indices contravariants.

Ne pas confondre ces indices supérieurs contravariants , très utilisés en calcul tensoriel, avec les puissances ! Dans le contexte des tenseurs, une éventuelle puissance d'un scalaire \(\theta_i^j\) serait notée au besoin par :

\[\big( \theta_j^i \big)^m = \theta_j^i \cdot ... \cdot \theta_j^i\]

1.3 Coordonnées curvilignes

Soit l'espace vectoriel \(E = \setR^n\) sur \(\setR\). Les coordonnées curvilignes sont basées sur la notion de position \(r\), exprimée comme une fonction de certains paramètres \(x \in \setR^n\) que nous appelons « coordonnées » de \(r\) :

\[r = \rho(x)\]

où \(\rho : \setR^n \to \setR^n\). Nous envisageons également le cas du changement de variable. La position dépend alors d'un autre jeu de coordonnées \(y \in \setR^n\) :

\[r = \sigma(y)\]

où \(\sigma : \setR^n \to \setR^n\). Nous définissons les vecteurs fondamentaux \(e_i\) et \(e^i\) au moyen de ces fonctions :

\( e_i(x) = \deriveepartielle{\rho}{x^i}(x) \\ e^i(y) = \deriveepartielle{\sigma}{y_i}(y) \)

de telle sorte que :

\[dr = \sum_i e_i \ dx^i = \sum_i e^i \ dy_i\]

Nous supposons que \((e_1, ..., e_n)\) et \((e^1, ..., e^n)\) sont des bases de \(E\).

1.3.1 Courbe

Dans le cas où \(x\) et \(y\) ne dépendent que d'un paramètre \(t \in \setR\), on a :

\[\OD{r}{t} = \sum_i e_i \ \OD{x^i}{t} = \sum_i e^i \ \OD{y_i}{t}\]

On dit alors que la position \(r\) décrit une courbe.

1.4 Changement de variable

Si les fonctions \(\rho\) et \(\sigma\) sont inversibles, on a :

\( x = \rho^{-1}(r) = (\rho^{-1} \circ \sigma)(y) = \phi(y) \\ y = \sigma^{-1}(r) = (\sigma^{-1} \circ \rho)(x) = \psi(x) \)

où nous avons implicitement défini \(\phi = \rho^{-1} \circ \sigma\) et \(\psi = \sigma^{-1} \circ \rho\). Nous notons \(\deriveepartielle{x^i}{y_j}\) et \(\deriveepartielle{y_i}{x^j}\) les coordonnées des dérivées de \(\phi\) et \(\psi\) suivant les bases formées par les \(e_i\) et les \(e^i\) :

\( \deriveepartielle{\phi}{y_j} = \sum_i \deriveepartielle{x^i}{y_j} \ e_i \\ \deriveepartielle{\psi}{x^j} = \sum_i \deriveepartielle{y_i}{x^j} \ e^i \)

La composition des dérivées nous donne les relations :

\( e_i = \sum_j \deriveepartielle{r}{y_j} \ \deriveepartielle{y_j}{x^i} = \sum_j \deriveepartielle{y_j}{x^i} \ e^j \\ e^i = \sum_j \deriveepartielle{r}{x^j} \ \deriveepartielle{x^j}{y_i} = \sum_j \deriveepartielle{x^j}{y_i} \ e_j \)

qui nous permettent de relier les \(e_i\) aux \(e^j\) et inversément.

1.5 Produit scalaire

Les produits intérieurs entre vecteurs de base se notent habituellement :

\( g_{ij} = \scalaire{e_i}{e_j} \\ g_i^j = \scalaire{e_i}{e^j} \\ g^{ij} = \scalaire{e^i}{e^j} \)

Il est clair d'après les propriétés de symétrie de ce produit que :

\( g_{ij} = g_{ji} \\ g^{ij} = g^{ji} \\ g_i^j = g_j^i \)

Le produit scalaire de deux vecteurs \(a,b\in E\) définis par :

\( a = \sum_i a^i \ e_i = \sum_i a_i \ e^i \\ b = \sum_i b^i \ e_i = \sum_i b_i \ e^i \)

peut s'écrire indifféremment comme :

\( \scalaire{a}{b} = \sum_{i,j} g_{ij} \ a^i \ b^j \\ \scalaire{a}{b} = \sum_{i,j} g^{ij} \ a_i \ b_j \\ \scalaire{a}{b} = \sum_{i,j} g_j^i \ a_i \ b^j \\ \scalaire{a}{b} = \sum_{i,j} g_i^j \ a^i \ b_j \)

Et en particulier, la longeur \(ds\) d'un changement de position \(dr\) vérifie :

\[(ds)^2 = \scalaire{dr}{dr} = \sum_{i,j} g_{ij} \ dx^i \ dx^j = \sum_{i,j} g^{ij} \ dy_i \ dy_j\]

De plus, les relations entre les vecteurs \(e_i\) et les vecteurs \(e^i\) permettent de déduire, en utilisant la linéarité du produit scalaire :

\( g_{ij} = \sum_k \deriveepartielle{y_k}{x^i} \ g_j^k = \sum_{k,l} \deriveepartielle{y_k}{x^i} \ \deriveepartielle{y_l}{x^j} \ g^{kl} \\ g^{ij} = \sum_k \deriveepartielle{x_k}{y^i} \ g_k^j = \sum_{k,l} \deriveepartielle{x^k}{y_i} \ \deriveepartielle{x^l}{y_j} \ g_{kl} \)

1.6 Dérivées primales d'un vecteur

Nous allons à présent voir comment évolue un vecteur \(a\in E\), que l'on note sous la forme :

\[a = \sum_i a^i \ e_i\]

où les coordonnées \(a^i\in\setR\) tout comme les vecteurs de base \(e_i\) dépendent des coordonnées \(x^i\). La règle de dérivation d'un produit nous donne :

\[da = \sum_i da^i \ e_i + \sum_k a^k \ de_k\]

La différentielle \(da^i\) s'obtient directement :

\[da^i = \sum_j \deriveepartielle{a^i}{x^j} \ dx^j\]

On peut suivre la même règle avec \(de_i\) :

\[de_k = \sum_j \deriveepartielle{e_k}{x^j} \ dx^j\]

Les symboles de Christoffel \(\christoffel{i}{kj}\) sont définis comme les coordonnées de \(\deriveepartielle{e_k}{x^j}\) suivant la base \((e_1, ..., e_n)\) :

\[\deriveepartielle{e_k}{x^j} = \sum_i \christoffel{i}{kj} \ e_i\]

Notons que comme :

\[\deriveepartielle{e_k}{x^j} = \dfdxdy{r}{x^j}{x^k} = \dfdxdy{r}{x^k}{x^j} = \deriveepartielle{e_j}{x^k}\]

on a la symétrie :

\[\christoffel{i}{kj} = \christoffel{i}{jk}\]

On peut évaluer ces symboles si on connait par exemple les valeurs des :

\begin{align} \scalaire{e^i}{ \deriveepartielle{e_k}{x^j} } &= \sum_m \christoffel{m}{kj} \ \scalaire{e^i}{e_m} \\ &= \sum_m \christoffel{m}{kj} \ g^i_m \end{align}

On a alors, pour chaque choix de \(k,j\) un système linéaire à résoudre. Il suffit d'inverser la matrice \(G = (g^i_m)_{i,m}\) pour obtenir les valeurs des symboles.

La dérivation d'un vecteur \(a\in E\) s'écrit alors :

\[da = \sum_{i,j} e_i \ dx^j \ \left[ \deriveepartielle{a^i}{x^j} + \sum_k \christoffel{i}{kj} \ a^k \right]\]

On définit les coordonnées :

\[\gradient_j a^i = \deriveepartielle{a^i}{x^j} + \sum_k \christoffel{i}{kj} \ a^k\]

Dans le cas où les coordonnées dépendent d'un paramètre \(t\in\setR\), on a :

\begin{align} \OD{a}{t} &= \sum_{i,j} e_i \ \OD{x^j}{t} \ \left[ \deriveepartielle{a^i}{x^j} + \sum_k \christoffel{i}{kj} \ a^k \right] \\ &= \sum_{i} e_i \ \left[ \OD{a^i}{t} + \sum_{j,k} \christoffel{i}{kj} \ a^k \ \OD{x^j}{t} \right] \end{align}

1.6.1 Dérivée seconde et géodésique

Considérons le cas :

\[a = \OD{r}{t} = \sum_i e_i \ \OD{x^i}{t}\]

Les coordonnées de \(a\) sont clairement \(a^i = \OD{x^i}{t}\) et la dérivée seconde :

\[\OOD{r}{t} = \OD{}{t}\OD{r}{t} = \OD{a}{t}\]

s'écrit :

\[\OOD{r}{t} = \sum_{i} e_i \ \left[ \OOD{x^i}{t} + \sum_{j,k} \christoffel{i}{kj} \ \OD{x^k}{t}\ \OD{x^j}{t} \right]\]

Les courbes \(x^i = x^i(t)\) vérifiant \(\OOD{r}{t} = 0\) sont appelées des géodésiques.

1.7 Dérivées duales d'un vecteur

Nous allons recommencer le même processus, écrivant cette fois \(a\in E\) sous la forme :

\[a = \sum_i a_i \ e^i\]

Les coordonnées \(a_i\in\setR\) tout comme les vecteurs de base \(e^i\) dépendent des coordonnées \(y_i\). En suivant la même méthode que ci-dessus, on obtient :

\[da = \sum_{i,j} e^i \ dy_j \left[ \deriveepartielle{a_i}{y_j} + \sum_k \christoffel{kj}{i} \ a_k \right]\]

où l'on a introduit de nouveaux symboles de Christoffel, définis par :

\[\deriveepartielle{e^k}{y_j} = \sum_i \christoffel{kj}{i} \ e^i\]

Ces nouveaux symboles présentent la symétrie :

\[\christoffel{kj}{i} = \christoffel{jk}{i}\]

1.8 Dérivées d'un tenseur

On étend simplement la notion de dérivée aux tenseurs en appliquant la formule :

\[d(a \otimes b) = da \otimes b + a \otimes db\]

où \(a\) et \(b\) sont deux tenseurs d'ordre quelconque. Par exemple, pour le tenseur :

\[T = \sum_{i,j} T^i_j \ e_i \otimes e^j\]

on a :

\[dT = \sum_{i,j} \left[ dT^i_j \ e_i \otimes e^j + T^i_j \ de_i \otimes e^j + T^i_j \ e_i \otimes de^j \right]\]

qui devient, en introduisant les symboles de Christoffel :

\[dT = \sum_{i,j} e_i \otimes e^j \left[ dT^i_j + \sum_{k,m} \christoffel{i}{mk} \ T^m_j \ dx^k + \sum_{k,m} \christoffel{mk}{j} \ T^i_m \ dy_k \right]\]

1.9 Produit scalaire et symboles de Christoffel

Lorsqu'on différentie les \(g_{ij}\), on obtient :

\begin{align} dg_{ij} &= \scalaire{de_i}{e_j} + \scalaire{e_i}{de_j} \\ &= \sum_{k,l} \christoffel{k}{il} \ g_{kj} \ dx^l + \sum_{k,l} \christoffel{k}{jl} \ g_{ik} \ dx^l \end{align}

On en déduit que :

\[\deriveepartielle{g_{ij}}{x^l} = \sum_k \christoffel{k}{il} \ g_{kj} + \sum_k \christoffel{k}{jl} \ g_{ik}\]

Définissons :

\[\gamma_{ijl} = \sum_k \christoffel{k}{il} \ g_{kj}\]

Les propriétés de symétrie des symboles de Christoffel nous montrent que :

\[\gamma_{ijl} = \gamma_{ilj}\]

Et comme (changement de l'indice \(l\) en \(k\)) :

\[\deriveepartielle{g_{ij}}{x^k} = \gamma_{ijk} + \gamma_{jik}\]

On en déduit :

\begin{align} \deriveepartielle{g_{ij}}{x^k} + \deriveepartielle{g_{jk}}{x^i} - \deriveepartielle{g_{ki}}{x^j} &= 2 \ \gamma_{jik} \\ &= 2 \sum_l \christoffel{l}{jk} \ g_{li} \end{align}

AFAIRE : LA FIN DU CHAPITRE EST A DÉBROUILLONNER

1.10 Bases biorthonormées

1.10.1 produit scalaire

Nous considérons tout au long de cette section le cas particulier où les bases sont biorthonormées, c'est-à-dire :

\[g_i^j = \indicatrice_i^j\]

On déduit des relations liant les \(g^{ij},g_{ij}\) aux \(g_i^j\) que :

\( g_{ik} g^{kj} = \sum_{k,l,m} \deriveepartielle{y_l}{x^i}\deriveepartielle{x^m}{y_k} g_k^l g_m^j \\ g_{ik} g^{kj} = \sum_{k,l,m} \deriveepartielle{y_l}{x^i}\deriveepartielle{x^m}{y_k} \indicatrice_k^l \indicatrice_m^j \\ g_{ik} g^{kj} = \sum_{k} \deriveepartielle{y_k}{x^i}\deriveepartielle{x^j}{y_k} \\ g_{ik} g^{kj} = \deriveepartielle{x^i}{x^j} = \indicatrice_i^j \)

On aurait de même :

\[g^{ik} g_{kj} = \indicatrice_j^i\]

1.10.2 Coordonnées

Les coordonnées d'un tenseur de la forme :

\[T = \sum_{i,j,k,l} T_{i...j}^{k...l} e^i \otimes ... \otimes e^j \otimes e_k \otimes ... \otimes e_l\]

où il y a \(m\) indices \(i...j\) et \(n\) indices \(k...l\) s'obtiennent facilement en utilisant la contraction double :

\[T_{i...j}^{k...l} = \dblecont{e_j \otimes ... \otimes e_i}{m}{T}{n}{e^l \otimes ... \otimes e^k}\]

1.11 Dérivées des changements de variable

\( \deriveepartielle{x^i}{y_j} = \scalaire{e_i}{ \deriveepartielle{\phi}{y_j} } \\ \deriveepartielle{y_i}{x^j} = \scalaire{e^i}{ \deriveepartielle{\psi}{x^j} } \)

1.11.1 Christoffel

Tenant compte de cette identité, l'équation reliant les symboles de Christoffel aux produits scalaires devient :

\[\christoffel{m}{jk} = \frac{1}{2}\sum_i g^{im}\left[\deriveepartielle{g_{ij}}{x^k} + \deriveepartielle{g_{jk}}{x^i} - \deriveepartielle{g_{ki}}{x^j}\right]\]

1.11.2 Dérivée d'un vecteur

La relation :

\[d\scalaire{e^i}{e_j} = d\indicatrice_i^j = 0\]

nous conduit à :

\( \scalaire{de^i}{e_j}+\scalaire{e^i}{de_j} = 0 \\ \sum_{k,l} \christoffel{ik}{l} \scalaire{e^l}{e_j} dy_k + \sum_{k,l} \christoffel{l}{jk} \scalaire{e^i}{e_l} dx^k = 0 \\ \sum_k \christoffel{ik}{l} dy_k = - \sum_k \christoffel{l}{jk} dx^m \)

Par ailleurs :

\[da_i = \deriveepartielle{a_i}{y_j} dy_j = \deriveepartielle{a_i}{x^j} dx^j\]

On peut donc réexprimer la dérivée duale comme :

\[da = \sum_{i,j} e^i dx^j \left[ \deriveepartielle{a_i}{x^j} - \sum_k \christoffel{k}{ij} a_k \right]\]

1.11.3 Gradient

On peut également définir le gradient d'un vecteur par :

\[\gradient a = \sum_{i,j} \gradient_j a^i e_i \otimes e^j\]

de telle sorte que l'on ait :

\[da = \scalaire{\gradient a}{dr} = \gradient a \cdot dr\]

1.11.4 Dérivée d'un tenseur

\[dT = \sum_{i,j,k} e_i \otimes e^j dx^k \left[ \deriveepartielle{T^i_j}{x^k} + \sum_m \christoffel{i}{mk} T^m_j - \sum_m \christoffel{m}{jk} T^i_m \right]\]

On définit alors les coordonnées :

\[\gradient_k T^i_j = \deriveepartielle{T^i_j}{x^k} + \sum_m \christoffel{i}{mk} T^m_j - \sum_m \christoffel{m}{jk} T^i_m\]

1.11.5 Tenseur de courbure

Appliquons la formule de dérivation des coordonnées d'un tenseur dans le cas particulier où :

\[T^i_j = \gradient_j a^i\]

On a :

\( \deriveepartielle{T^i_j}{x^k} = \dfdxdy{a^i}{x^j}{x^k}

  • m \christoffel{i}{jm} \deriveepartielle{a^m}{x^k}
  • m \deriveepartielle{}{x^k}\christoffel{i}{jm} am \\

l \christoffel{i}{kl} Tlj = ∑l \christoffel{i}{kl} \deriveepartielle{a^i}{x^j} + ∑l,m \christoffel{i}{kl} \christoffel{l}{jm} am \\

-∑l \christoffel{l}{jk} Til = -∑l \christoffel{l}{jk} \deriveepartielle{a^i}{x^l} - ∑l,m \christoffel{l}{jk} \christoffel{i}{lm} am \)

La somme de tous ces termes vaut \(\gradient_k T^i_j = \gradient_k \gradient_j a^i\). En interchangeant les indices \(j\) et \(k\), on obtient \(\gradient_j \gradient_k a^i\). On en déduit, en utilisant les propriétés de symétrie que :

\[\gradient_k \gradient_j a^i - \gradient_j \gradient_k a^i = \sum_m R^i_{m,kj} a^m\]

où les \(R_{...}^{...}\) sont définis par :

\[R^i_{m,kj} = \deriveepartielle{}{x^k}\christoffel{i}{jm} - \deriveepartielle{}{x^j}\christoffel{i}{km} + \sum_l \christoffel{i}{kl}\christoffel{l}{jm} - \sum_l \christoffel{i}{jl}\christoffel{l}{km}\]

Ce sont les coordonnées du tenseur de courbure de Riemann-Christoffel.

2 L'espace vectoriel des polynômes

2.1 Introduction

AFAIRE : ARRANGER LE CHAPITRE

Il est clair d'après la définition des polynômes que les espaces \(\mathcal{P}_n\) sont des espaces vectoriels pour l'ensemble des scalaires \(S=\setR\) et que :

\[\mathcal{P}_n = \ev{\mu_0,\mu_1,...,\mu_n}\]

Nous allons montrer que \((\mu_0,\mu_1,...,\mu_n)\) forme une base de \(\mathcal{P}_n\). Pour cela, il nous reste à prouver l'indépendance linéaire des \(\mu_i\) :

\[\sum_{i=0}^n a_i \mu_i = 0 \quad\Rightarrow\quad a_0 = a_1 = ... = a_n = 0\]

c'est-à-dire :

\[\sum_{i=0}^n a_i x^i = 0 \quad\forall x \in\setR \quad\Rightarrow\quad a_0 = a_1 = ... = a_n = 0\]

Nous allons le montrer par récurrence.

Comme \(\mu_0=1\) on a évidemment :

\[a_0 1 = 0 \quad\Rightarrow\quad a_0 = 0\]

et la thèse est vraie pour \(n=0\). Supposons à présent qu'elle soit vraie pour \(n-1\). Choisissons \(p\in\mathcal{P}_n\) :

\[p(x) = \sum_{i=0}^n a_i x^i\]

et supposons que \(p(x) = 0\) pour tout \(x\in\setR\). Comme \(p(0)=0\), on a :

\[a_0 = 0\]

donc :

\[p(x) = \sum_{i=1}^n a_i x^i = x q(x) = 0\]

où l'on à définit \(q\in\mathcal{P}_{n-1}\) par :

\[q(x) = \sum_{i=1}^n a_i x^{i-1}\]

Il est clair que, pour tout \(x\ne 0\), \(q(x) = 0\). Mais comme les polynômes sont des fonctions continues, on a :

\[q(0) = \lim_{ \substack{ x \rightarrow 0 \\ x \ne 0 } } q(x) = 0\]

Donc \(q\) s'annule également en \(0\). On en conclut que \(q(x)\) est nul pour tout \(x\in\setR\). Par l'hypothèse de récurrence, les coefficients de ce polynôme sont tous nuls :

\[a_1 = a_2 = ... = a_n = 0\]

Rassemblant les résultats, il vient :

\[a_0 = a_1 = ... = a_n = 0\]

et \((\mu_0,\mu_1,...,\mu_n)\) forme bien une base de \(\mathcal{P}_n\).

2.2 Polynômes orthogonaux

Nous allons à présent voir comment construire des suites de polynômes orthogonaux pour le produit scalaire :

\[\scalaire{p}{q} = \int_a^b p(x) q(x) d\mu(x)\]

ou, lorsque c'est possible :

\[\scalaire{p}{q} = \int_a^b p(x) q(x) w(x) dx\]

2.2.1 Récurrence

On pourrait bien entendu partir de la suite de la base canonique de monômes \((1,x,x^2,...,x^n)\) et l'orthogonaliser en utilisant le procédé de Gram-Schmidt, mais on peut arriver à un algorithme plus rapide en utilisant les propriétés des polynômes. Soit \((\phi_n)_n\) une suite de polynômes orthonormés, où \(\phi_i\) est de degré \(i\). On a donc :

\[\scalaire{\phi_m}{\phi_n} = \int_A \phi_m(x) \phi_n(x) d\mu(x) = \delta_{mn}\]

Supposons que \((\phi_0,...,\phi_n)\) forme une base de \(\mathcal{P}_n\). On peut vérifier que \((\phi_0,...,\phi_n,x\phi_n)\) forme une base de \(\mathcal{P}_{n+1}\). On peut donc représenter \(\phi_{n+1}\) comme :

\[\phi_{n+1}(x) = a_n x\phi_n(x) + b_n \phi_n(x) + c_n \phi_{n-1}(x) + \sum_{i=0}^{n-2} d_i \phi_i(x)\]

Soit \(i \in \{0, ..., n-2\}\). La condition d'orthogonalité de \(\phi_{n+1}\) avec \(\phi_i\) s'écrit :

\[\scalaire{\phi_i}{\phi_{n+1}} = a_n \scalaire{\phi_i}{x\phi_n} + b_n \scalaire{\phi_i}{\phi_n} + c_n \scalaire{\phi_i}{\phi_{n-1}} + \sum_{j=0}^{n-2} d_j \scalaire{\phi_i}{\phi_j} = 0\]

L'orthogonalité implique que :

\( \scalaire{\phi_i}{\phi_n} = \scalaire{\phi_i}{\phi_{n-1}} = 0 \\ \scalaire{\phi_i}{\phi_j} = \delta_{ij} \)

On a aussi :

\[\scalaire{\phi_i}{x\phi_n} = \int_A x \phi_i(x) \phi_n(x) d\mu(x) = \scalaire{x\phi_i}{\phi_n}\]

Mais comme \(\phi_i\) est de degré \(i\), \(x\phi_i\) est de degré \(i+1\) et on peut l'exprimer comme :

\[x \phi_i = \sum_{j=0}^{i+1} \alpha_i \phi_j\]

Le produit scalaire devient alors :

\[\scalaire{\phi_i}{x\phi_n} = \sum_{j=0}^{i+1} \alpha_i \scalaire{\phi_j}{\phi_n} = 0\]

puisque \(j \le i+1 < n\). On en conclut que :

\[\scalaire{\phi_i}{\phi_{n+1}} = \sum_{j=0}^{n-2} d_j \delta_{ij} = d_i = 0\]

Les conditions :

\( \scalaire{\phi_{n+1}}{\phi_n} = 0 \\ \scalaire{\phi_{n+1}}{\phi_{n-1}} = 0 \)

impliquent respectivement que :

\( b_n = -a_n\scalaire{\phi_n}{x\phi_n} \\ c_n = -a_n\scalaire{\phi_{n-1}}{x\phi_n} \)

La condition de normalisation :

\[\scalaire{\phi_{n+1}}{\phi_{n+1}} = a_n \scalaire{x\phi_n}{\phi_{n+1}} = 1\]

nous donne alors la valeur de \(a_n\) :

\( a_n^2 \scalaire{x\phi_n}{x\phi_n}} - a_n^2 \scalaire{x\phi_n}{\phi_n}^2 - a_n^2 \scalaire{x\phi_n}{\phi_{n-1}}^2 = 1 \\ a_n = \left[\scalaire{x\phi_n}{x\phi_n} - \scalaire{x\phi_n}{\phi_n}^2 - \scalaire{x\phi_n}{\phi_{n-1}}^2\right]^{-1/2} \)

On voit donc que le choix du produit scalaire détermine :

\( \phi_0 = \unsur{\sqrt{\scalaire{1}{1}}} \\ \phi_1 = a_1 (x - \scalaire{\phi_0}{x} \phi_0) \)

ainsi que toute la suite de polynômes.

2.2.2 Approximation

Soit une suite de polynômes orthonormaux \((\phi_0,...\phi_n)\) pour le produit scalaire :

\[\scalaire{u}{v} = \int_A u(x) v(x) d\mu(x)\]

Nous cherchons l'approximation de \(u\) :

\[w(x) = \sum_{i=0}^n w_i \phi_i(x)\]

qui minimise l'erreur au sens intégral :

\[\scalaire{u-w}{u-w} = \int_A [u(x)-w(x)]^2 d\mu(x)\]

sur \(\mathcal{P}_n\). Imposant que la dérivée par rapport aux \(w_i\) soit nulle, on obtient :

\[2 \int_A \phi_i(x) [u(x)-w(x)] d\mu(x) = 0\]

Mais comme :

\[w_i = \int_A \phi_i(x) w(x) d\mu(x)\]

on obtient :

\[w_i = \int_A \phi_i(x) u(x) d\mu(x) = \scalaire{\phi_i}{u}\]

Ce qui n'a rien d'étonnant au vu des résultats du chapitre \ref{chap:vector}. On peut vérifier facilement que la hessienne de l'erreur par rapport aux \(w_i\) est bien positive. L'approximation ainsi définie :

\( w(x) = \sum_{i=0}^n \phi_i(x) \int_A \phi_i(y) u(y) d\mu(y) \\ w(x) = \sum_{i=0}^n \int_A \phi_i(x) \phi_i(y) u(y) d\mu(y) \)

minimise donc bien l'erreur sur l'ensemble des polynômes de degré \(n\).

2.2.3 Intégration de Gauss

Soit une suite de polynômes orthonormaux \((\phi_0,...\phi_n)\) pour le produit scalaire :

\[\scalaire{u}{v} = \int_A u(x) v(x) d\mu(x)\]

Considérons la formule d'intégration :

\[I(f) = \sum_{i=0}^n w_i f(x_i)\]

supposée approximer l'intégrale :

\[\langle f \rangle = \scalaire{f}{1} = \int_A f(x) d\mu(x)\]

Fixons les points \(x_0 < x_1 < ... < x_n\) et imposons que la formule soit exacte pour \(\phi_0,...,\phi_n\). On a :

\[\langle \phi_k \rangle = \sum_{i=0}^n w_i \phi_k(x_i)\]

où \(k = 0,1,...,n\). Définissant les matrices et vecteurs :

\( \varphi = (\langle \phi_k \rangle)_k \\ W = (w_i)_i \\ \Phi = \left(\phi_i(x_j)\right)_{i,j} \)

ces conditions se ramènent à :

\[\Phi W = \varphi\]

Si la matrice \(\Phi(n+1,n+1)\) est inversible, on a alors :

\[W = \Phi^{-1} \varphi\]

La formule est alors valable pour tout polynôme de \(\mathcal{P}_n\). Notons que

\[\langle \phi_k \rangle = \unsur{\phi_0} \scalaire{\phi_k}{\phi_0}\]

s'annule pour tout \(k\ne 0\). Si les racines de \(\phi_{n+1}\) sont toutes distinctes, on peut choisir les \(x_i\) tels que :

\[\phi_{n+1}(x_i) = 0\]

On a alors :

\[\langle \phi_{n+1} \rangle = I(\phi_{n+1}) = 0\]

et la formule devient valable sur \(\mathcal{P}_{n+1}\). Mieux, considérons un polynôme \(p\) de degré \(n+m+1\) où \(m \ge 0\) et sa division euclidienne par \(\phi_{n+1}\). On a :

\[p(x) = q(x) \phi_{n+1}(x) + r(x)\]

Comme \(q\) est de degré \(m\), on a :

\[q = \sum_{i=0}^m q_i \phi_i\]

Si \(m \le n\), on a donc :

\[\langle q \phi_{n+1} \rangle = \sum_{i=0}^n q_i \scalaire{\phi_i}{\phi_{n+1}} = 0\]

et :

\[\langle p \rangle = \langle r \rangle = I(r)\]

puisque \(r\) est de degré \(n\) au plus. Comme \(\phi_{n+1}\) s'annule en les \(x_i\), on a aussi ;

\[I(p) = I(r)\]

Rassemblant tout ces résultats, on obtient :

\[\int_A f(x) d\mu(x) = \sum_{i=0}^n w_i f(x_i)\]

pour tout polynôme \(f\in\mathcal{P}_{2n+1}\). En pratique, on utilise ces formules d'intégration pour des fonctions qui ne sont pas forcément des polynômes.

2.3 Legendre

Les polynômes de Legendre sont orthogonaux pour le produit scalaire :

\[\int_{-1}^1 P_n(x) P_m(x) dx = \frac{2}{2 n + 1} \delta_{mn}\]

Ils obéissent à la récurrence :

\( P_0(x) = 1 \\ P_1(x) = x \\ (n+1) P_{n+1}(x) = (2 n + 1) x P_n(x) - n P_{n-1}(x) \)

2.4 Interpolation

Un problème d'interpolation consiste à trouver les coefficients : \(a_i\in\setR\) tels que la fonction :

\[u = \sum_{i=1}^n a_i u_i\]

où les \(u_i\) sont des polynômes de degré \(n\), vérifie :

\[\form{\phi_i}{u} = y_i\]

pour tout \(i=1,2,...,n\), où les \(\phi_i\) sont des formes linéaires de \(\mathcal{P}_N^D\) et les \(y_i\) des réels donnés.

On utilise couramment des bases biorthogonales :

\[\form{\phi_i}{u_j} = \delta_{ij}\]

et on a alors simplement :

\[a_i = \form{\phi_i}{u}\]

L'exemple le plus courant est :

\( \form{\phi_i}{u} = u(x_i) \\ y_i = f(x_i) \)

pour une certaine fonction \(f\) à interpoler. Les conditions ci-dessus se résument alors à l'égalité de \(f\) et de \(u\) en un nombre fini de points :

\[u(x_i) = f(x_i)\]

On rencontre parfois aussi le cas :

\( \form{\phi_i}{u} = \OD{u}{x}(x_i) \\ y_i = \OD{f}{x}(x_i) \)

2.4.1 Lagrange

Les polynômes de Lagrange \(\Lambda_i\) sont biorthogonaux aux formes :

\[\form{\phi_i}{u} = u(x_i)\]

On a donc :

\[\form{\phi_j}{\Lambda_i} = \Lambda_i(x_j) = \delta_{ij}\]

Le polynôme \(\Lambda_i\) doit donc s'annuler en tout les points \(x_j\), où \(j \ne i\). On peut donc le factoriser comme :

\[\Lambda_i(x) = A_i \prod_{j \in E_i} (x-x_j) = A_i P_i(x)\]

où \(E_i = \{ 1,2,...,n \} \setminus \{i\}\). Mais comme \(\Lambda_i(x_i) = 1\), on a :

\[A_i = \unsur{P_i(x_i)}\]

et :

\[\Lambda_i(x) = \prod_{j \in E_i} \frac{(x-x_j)}{(x_i - x_j)}\]

Donc si on souhaite construire un polynôme :

\[w(x) = \sum_{i=1}^{n} u_i \Lambda_i(x)\]

qui interpole \(u\) en les \(x_i\) :

\[u(x_i) = w(x_i)\]

pour tout \(i = 1,2,...,n\), il faut et il suffit de prendre :

\[u_i = \form{\phi_i}{u} = u(x_i)\]

2.4.2 Newton

L'interpolation de Newton utilise des polynômes construit récursivement à partir des polynômes de degré inférieur. Soit \(f\) la fonction à interpoler, \(p_{i,j}\) le polynôme de degré \(j-i\) :

\[p_{ij}(x) = \sum_{j=0}^{j-i} a_k x^k\]

tels que :

\[p_{ij}(x_k) = f(x_k)\]

pour tous \(k\in\{i,i+1,...,j\}\). On voit que si \(i=j\), on a :

\[p_{ii} = f(x_i)\]

Pour \(i < j\), on peut construire les \(p_{i,j}\) par récurrence. On vérifie que :

\[p_{ij}(x) = \frac{(x-x_i)p_{i+1,j}(x)-(x-x_j)p_{i,j-1}(x)}{x_j-x_i}\]

satisfait bien aux conditions d'interpolation ci-dessus.

Auteur: chimay

Created: 2019-10-01 mar 12:33

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