Eclats de vers : Matemat 09 : Analyse

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1 Théorème de Rolle

1.1 Dépendances

  • Chapitre \ref{chap:differ} : Les différentielles
  • Chapitre \ref{chap:integral} : Les intégrales

1.2 Extrema locaux

Soit \(f : A \mapsto \setR\) avec \(A \subseteq \setR^n\). Supposons que \(f\) soit différentiable et atteigne un minimum local en \(a \in \interieur A\). On a :

\( f(a + h) - f(a) = \differentielle{f}{a}(h) + E(h) \\ f(a - h) - f(a) = - \differentielle{f}{a}(h) + E(-h) \)

Fixons \(\epsilon \strictsuperieur 0\). On peut trouver \(\delta_1 \strictsuperieur 0\) tel que :

\[\abs{E(h)} \le \epsilon \cdot \abs{h}\]

pour tout \(h \in \boule(0,\delta_1)\). On peut aussi trouver \(\delta_2 \strictsuperieur 0\) tel que :

\[f(a) \le f(a + h)\]

pour tout \(h \in \boule(0,\delta_2)\). Posons \(\delta = \min \{ \delta_1,\delta_2 \}\) et choisissons \(h \in \boule(0,\delta)\). On a également \(-h \in \boule(0,\delta)\). Donc :

\( \differentielle{f}{a}(h) = f(a + h) - f(a) - E(h) \ge - E(h) \ge - \epsilon \cdot \norme{-h} \\ \differentielle{f}{a}(h) = f(a) - f(a - h) + E(-h) \le E(-h) \le \epsilon \cdot \norme{h} \)

On en conclut que :

\[\abs{\differentielle{f}{a}(h)} \le \epsilon \cdot \norme{h}\]

Posons \(\gamma = \delta / 2\) et remarquons que l'ensemble de norme fixe \(N = \{ h \in \setR^n : \norme{h} = \gamma \}\) est inclus dans \(\boule(0,\delta)\). Les propriétés des applications linéaires nous disent que :

\[\norme{\differentielle{f}{a}} = \sup \left\{ \unsur{\gamma} \norme{\differentielle{f}{a}(h)} : h \in N \right\}\]

Or, la borne nous dit que :

\[\unsur{\gamma} \abs{\differentielle{f}{a}(h)} \le \epsilon\]

quel que soit \(\epsilon \strictsuperieur 0\) et \(h \in N\). Donc :

\[\norme{\differentielle{f}{a}} = 0\]

ce qui implique que :

\[\differentielle{f}{a} = 0\]

La différentielle s'annule donc en un minimum local. On montre de la même manière que la différentielle s'annule en un maximum local.

1.2.1 La Jacobienne

La Jacobienne étant la représentation matricielle de la différentielle, elle s'annule également aux extrema locaux.

1.3 Théorème de Rolle

Soit \(f \in \continue^1([a,b],\setR)\) avec \(f(a) = f(b)\). Comme \(f\) est continue, il existe \(\lambda,\sigma \in [a,b]\) tels que :

\( f(\lambda) = \min f([a,b]) \\ f(\sigma) = \max f([a,b]) \)

1.3.1 Configurations

Plusieurs cas peuvent se présenter :

  • \(\lambda \strictinferieur f(a) = f(b) \strictinferieur \sigma\) : dans ce cas, la fonction atteint ses deux bornes à l'intérieur de l'intervalle :

\[\{\lambda,\sigma\} \subseteq \intervalleouvert{a}{b}\]

Comme les extrema sont aussi des extrema locaux, on a :

\[\partial f(\lambda) = \partial f(\sigma) = 0\]

  • \(\lambda \strictinferieur f(a) = f(b) = \sigma\) : dans ce cas, la fonction atteint son minimum à l'intérieur de l'intervalle :

\[\lambda \in \intervalleouvert{a}{b}\]

et on a :

\[\partial f(\lambda) = 0\]

  • \(\lambda = f(a) = f(b) \strictinferieur \sigma\) : dans ce cas, la fonction atteint son maximum à l'intérieur de l'intervalle :

\[\sigma \in \intervalleouvert{a}{b}\]

et on a :

\[\partial f(\sigma) = 0\]

  • \(\lambda = f(a) = f(b) = \sigma\) : dans ce cas, on a :

\[\lambda \le f(x) \le \sigma = \lambda\]

pour tout \(x \in [a,b]\), et donc :

\[f(x) = \lambda\]

La fonction \(f\) est constante et \(\partial f = 0\). On peut donc prendre n'importe quel \(c \in \intervalleouvert{a}{b}\), on aura :

\[\partial f(c) = 0\]

1.3.2 Conclusion

Dans tous les cas, on a au moins un \(c \in \intervalleouvert{a}{b}\) tel que :

\[\partial f(c) = 0\]

1.4 Théorème des accroissements finis

Soit \(f \in \continue^1([a,b],\setR)\) et la fonction \(g\) associée définie par :

\[g(x) = f(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \cdot (x - a)\]

pour tout \(x \in [a,b]\). Comme \(g(a) = g(b) = f(a)\), on peut trouver un \(c \in \intervalleouvert{a}{b}\) tel que :

\[0 = \partial g(c) = \partial f(c) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}\]

On a donc :

\[\partial f(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\]

On vient ainsi de démontrer le théorème des accroissements finis.

1.4.1 Dimension \(n\)

On peut généraliser ce théorème à une fonction \(f \in \continue^1(\setR^m,\setR^n)\). Soit \(u,v \in \setR^m\). On considére le segment \([u,v]\) et la fonction associée \(\phi : [0,1] \mapsto \setR^m\) définie par :

\[\phi(t) = u + t \cdot (v - u)\]

pour tout \(t \in [0,1]\). On pose alors :

\[g(t) = (f \circ \phi)(t) = f( u + t \cdot (v - u))\]

pour tout \(t \in [0,1]\). En appliquant le résultat précédent aux composantes \(g_i\) sur l'intervalle \([0,1]\), on obtient un \(s \in \intervalleouvert{0}{1}\) tel que :

\[\partial g_i(s) = \frac{g_i(1) - g_i(0)}{1 - 0} = g_i(1) - g_i(0) = f_i(v) - f_i(u)\]

En appliquant la formule permettant d'évaluer la dérivée d'une composition de fonctions, on obtient :

\[\partial g_i(s) = \sum_j \partial_j f_i(u + s \cdot (v - u)) \cdot (v_j - u_j)\]

Utilisant la notation matricielle, on a donc :

\[f(v) - f(u) = \partial f(u + s \cdot (v - u)) \cdot (v - u)\]

Ce qui revient à dire qu'il existe un \(w \in [u,v] \subseteq \setR^n\) tel que :

\[f(v) - f(u) = \partial f(w) \cdot (v - u)\]

1.5 Théorème de Cauchy

Le théorème des accroissements finis nous donne un résultat sous la forme symbolique :

\[\OD{f}{x} = \frac{\difference f}{\difference x}\]

Nous allons maintenant généraliser ce théorème, et obtenir le résultat :

\[\frac{df}{dg} = \frac{\difference f}{\difference g}\]

où \(f,g \in \continue^1([a,b],\setR)\) et \(a,b \in \setR\). Considérons à cette fin la fonction \(h\) définie par :

\[h(x) = [f(b) - f(a)] \cdot g(x) - f(x) \cdot [ g(b) - g(a) ]\]

On remarque que :

\begin{align} h(a) &= f(b) \cdot g(a) - f(a) \cdot g(a) - f(a)\cdot g(b) + f(a)\cdot g(a) \\ &= f(b) \cdot g(a) - f(a) \cdot g(b) \\ \\ h(b) &= f(b) \cdot g(b) - f(a) \cdot g(b) - f(b)\cdot g(b) + f(b)\cdot g(a) \\ &= f(b) \cdot g(a) - f(a) \cdot g(b) \end{align}

Donc :

\[h(a) = h(b)\]

Appliquant le théorème de Rolle à \(h\), on peut donc trouver un \(c \in \intervalleouvert{a}{b}\) tel que :

\[0 = \partial h(c) = [f(b) - f(a)] \cdot \partial g(c) - \partial f(c) \cdot [ g(b) - g(a) ]\]

On a donc :

\[\left[ f(b) - f(a) \right] \cdot \partial g(c) = \partial f(c) \cdot \left[ g(b) - g(a) \right]\]

Si \(\partial f(c) \ne 0\) et \(f(b) \ne f(a)\), on peut le mettre sous la forme :

\[\frac{\partial g(c)}{\partial f(c)} = \frac{g(b) - g(a)}{f(b) - f(a)}\]

1.6 Théorème de l'Hospital

Soient \(F,G\) deux fonctions continues sur \(I=[\alpha,\beta]\) et dérivables \(I\setminus \{a\}\), avec \(a \in \interieur\ I\). Supposons que les deux fonctions s'annulent en \(a\) :

\[F(a) = G(a) = 0\]

Soit alors \(h \ne 0\) tel que \(b = a+h\in I\setminus \{a\}\). En appliquant le théorème de Cauchy à \(F\) et \(G\), on trouve un \(t \in \intervalleouvert{0}{1}\) tel que :

\[[F(b) - F(a)] \cdot \partial G(a + t \cdot h) = [G(b) - G(a)] \cdot \partial F(a + t \cdot h)\]

Mais comme \(F\) et \(G\) s'annulent en \(a\), on a :

\[F(b) \cdot \partial G(a + t \cdot h) = G(b) \cdot \partial F(a + t \cdot h)\]

Si de plus \(\partial G\) ne s'annule pas sur \(I\), on peut écrire :

\[\frac{ \partial F(a + t \cdot h) }{ \partial G(a + t \cdot h) } = \frac{F(b)}{F(a)}\]

On voit en faisant tendre \(h\) vers \(0\) que les limites, si elles existent, doivent être identiques. On a donc :

\[\lim_{x \to a} \frac{F(x)}{G(x)} = \lim_{x \to a} \frac{\partial F(a)}{\partial G(a)}\]

1.7 Uniformité

Nous allons à présent montrer que toute fonction continument différentiable sur un intervalle de la forme \([\alpha,\beta]\) y est uniformément différentiable.

Soit une fonction \(f \in \continue^1([\alpha,\beta],\setR)\). Comme la dérivée \(\partial f\) est continue sur \([\alpha,\beta]\), elle y est uniformément continue. Fixons \(\epsilon \strictsuperieur 0\). On peut donc trouver un \(\delta \strictsuperieur 0\) tel que :

\[\abs{\partial f(s) - \partial f(t)} \le \epsilon\]

pour tout \(s,t \in [\alpha,\beta]\) vérifiant \(\abs{s - t} \le \delta\). Si \(s = t\), on a bien évidemment :

\[\abs{f(t) - f(t) - \partial f(t) \cdot (t - t)} = 0 \le \epsilon \cdot (t - t) = 0\]

Considérons à présent le cas \(s \ne t\). Nous pouvons supposer sans perte de généralité que \(s \strictinferieur t\). Le théorème des accroissements finis nous dit qu'on peut trouver un \(\gamma \in ]s,t[\) tel que :

\[\partial f(\gamma) = \frac{f(t) - f(s)}{t - s}\]

On a donc :

\[\frac{f(t) - f(s)}{t - s} - \partial f(s) = \partial f(\gamma) - \partial f(s)\]

Mais comme \(\abs{\gamma - s} \le \abs{t - s} \le \delta\), on a \(\abs{\partial f(\gamma) - \partial f(s)} \le \epsilon\) et :

\[\abs{\frac{f(t) - f(s)}{t - s} - \partial f(s)} \le \epsilon\]

On a donc bien :

\[\abs{f(t) - f(s) - \partial f(s) \cdot (t - s)} \le \epsilon \cdot \abs{t - s}\]

pour tout \(s,t \in [\alpha,\beta]\) vérifiant \(\abs{s - t} \le \delta\).

1.7.1 Remarque

Le théorème {\em n'est pas} applicable aux autres types d'intervalles. Cela ne marche pas sur \(]\alpha,\beta[\) par exemple.

2 Théorème fondamental

2.1 Dépendances

  • Chapitre \ref{chap:differ} : Les différentielles
  • Chapitre \ref{chap:integral} : Les intégrales

2.2 Dérivée de l'intégrale

\label{sec:derivee_integrale}

Soit une fonction \(f \in \continue([\alpha,\beta],\setR)\), un réel \(a \in [\alpha,\beta]\) et la fonction intégrale associée \(I : [\alpha,\beta] \mapsto \setR\) définie par :

\[I(x) = \int_a^x f(s) \ ds\]

pour tout \(x \in [\alpha,\beta]\). On constate que :

\[I(a) = \int_a^a f(s) \ ds = \int_{ \{a\} } f(s) \ ds\]

La mesure de Lebesgue du singleton \(\{a\}\) étant nulle, l'intégrale s'annule et on a :

\[I(a) = 0\]

Nous allons chercher à évaluer la dérivée de la fonction intégrale \(I\) en un point quelconque \(b \in [\alpha,\beta]\).

Nous utilisons dans la suite la notation abrégée :

\[\int_x^y = \int_x^y f(s) \ ds\]

Par additivité, on a :

\[\int_a^{b + h} = \int_a^b + \int_b^{b + h}\]

c'est-à-dire :

\[I(b + h) = I(b) + \int_b^{b + h}\]

pour tout réel \(h\) tel que \(b + h \in [\alpha,\beta]\). Quelle est la valeur de l'intégrale sur \([b, b + h]\) ? Fixons \(\epsilon \strictsuperieur 0\). Par continuité de \(f\), on peut choisir \(\delta > 0\) tel que :

\[\abs{f(b + s) - f(b)} \le \epsilon\]

pour tout \(s\) vérifiant \(\abs{s} \le \delta\). Cela n'est possible que si :

\[f(b) - \epsilon \le f(b + s) \le f(b) + \epsilon\]

On a donc :

\( \sup \Big\{ f(b + s) : \abs{s} \le \delta \Big\} \le f(b) + \epsilon \\ \inf \Big\{ f(b + s) : \abs{s} \le \delta \Big\} \ge f(b) - \epsilon \)

Si nous choisissons \(h \in (0,\delta)\), l'intégrale peut donc être majorée et minorée par :

\[\int_b^{b + h} \le (f(b) + \epsilon) \cdot \mu_L([a, a + h]) = (f(b) + \epsilon) \cdot h\]

et :

\[\int_b^{b + h} \ge (f(b) - \epsilon) \cdot \mu_L([a, a + h]) = (f(b) - \epsilon) \cdot h\]

Nous disposons donc des inégalités :

\[(f(b) - \epsilon) \cdot h \le \int_b^{b + h} \le (f(b) + \epsilon) \cdot h\]

Autrement dit :

\[f(b) - \epsilon \le \unsur{h} \int_b^{b + h} \le f(b) + \epsilon\]

D'un autre coté, on a :

\[\unsur{h} \int_b^{b + h} f(s) \ ds = \frac{I(b + h) - I(b)}{h}\]

Passons à la limite \(\delta \to 0\). On a alors \(h \to 0\) et :

\[f(b) - \epsilon \le \lim_{h \to 0} \unsur{h} \int_b^{b + h} \le f(b) + \epsilon\]

Ces inégalités devant être valables pour tout \(\epsilon \strictsuperieur 0\), on a forcément :

\[\lim_{h \to 0} \frac{I(b + h) - I(b)}{h} = f(b)\]

On en conclut que \(I\) est dérivable et que :

\[\OD{I}{x}(b) = \lim_{h \to 0} \frac{I(b + h) - I(b)}{h} = f(b)\]

Autrement dit :

\[\OD{}{x} \int_a^x f(s) \ ds = f(x)\]

2.3 Intégrale de la dérivée

\label{sec:integrale_derivee}

Soit \(\alpha,\beta \in \setR\) avec \(\alpha \le \beta\). Soit la fonction \(F \in \continue^1([\alpha,\beta],\setR)\) et sa dérivée continue :

\[f = \partial F = \OD{F}{s}\]

Comme \(F\) est continument différentiable sur \([\alpha,\beta]\), elle y est uniformément différentiable. De même, \(f\) est continue sur \([\alpha,\beta]\). Elle y est donc uniformément continue. Nous allons tenter d'évaluer l'intégrale :

\[\int_a^b f(s) \ ds = \int_a^b \OD{F}{x}(s) \ ds\]

avec \(a,b \in [\alpha,\beta]\) et \(a \le b\).

Nous utilisons dans la suite la notation abrégée :

\[\int_x^y = \int_x^y f(s) \ ds\]

2.3.1 L'idée

L'idée intuitive est que :

\[\difference F = \sum_i \difference F_i = \sum_i \frac{ \difference F_i }{ \difference x_i } \cdot \difference x_i\]

En passant à la limite \(\difference x_i \to 0\), on soupçonne alors le résultat suivant :

\[\difference F = \int_a^b \OD{F}{x} \ dx\]

2.3.2 La réalisation

Fixons \(\epsilon \strictsuperieur 0\). Comme \(f\) est uniformément continue, nous savons qu'il existe \(\vartheta \strictsuperieur 0\) tel que :

\[\abs{f(x + h) - f(x)} \le \epsilon\]

pour tout \(x,h\) vérifiant \(x,x + h \in [\alpha,\beta]\) et \(\abs{h} \le \vartheta\). On en déduit que :

\( \sup_{\xi \in [x - \vartheta , x + \vartheta]} f(\xi) \le f(x) + \epsilon \\ \inf_{\xi \in [x - \vartheta , x + \vartheta]} f(\xi) \ge f(x) - \epsilon \)

On a donc les bornes pour l'intégrale :

\[(f(x) - \epsilon) \cdot h \le \int_x^{x + h} \le (f(x) + \epsilon) \cdot h\]

Comme \(F\) est uniformément différentiable, nous pouvons trouver \(\varpi \strictsuperieur 0\) tel que :

\[\abs{F(x + h) - F(x) - f(x) \cdot h} \le \epsilon \cdot h\]

pour tout \(x,h\) vérifiant \(x,x + h \in [\alpha,\beta]\) et \(\abs{h} \le \varpi\). On en déduit que :

\( F(x + h) - F(x) - f(x) \cdot h \le \epsilon \cdot h \\ f(x) \cdot h - (F(x + h) - F(x)) \le \epsilon \cdot h \)

En considérant ces deux inégalités par rapport au centre \(f(x) \cdot h\), on obtient :

\[F(x + h) - F(x) - \epsilon \cdot h \le f(x) \cdot h \le F(x + h) - F(x) + \epsilon \cdot h\]

En soustrayant ou en ajoutant \(\epsilon \cdot h\) à ces inégalités, on a :

\begin{align} F(x + h) - F(x) - 2 \epsilon \cdot h &\le f(x) \cdot h - \epsilon \cdot h \le& F(x + h) - F(x) \\ F(x + h) - F(x) &\le f(x) \cdot h + \epsilon \cdot h \le& F(x + h) - F(x) + 2 \epsilon \cdot h \end{align}

Si \(\abs{h} \le \min \{ \vartheta , \varpi \}\), nous avons de nouvelles bornes pour l'intégrale :

\[F(x + h) - F(x) - 2 \epsilon \cdot h \le \int_x^{x + h} \le F(x + h) - F(x) + 2 \epsilon \cdot h\]

Choisissons à présent \(n \in \setN\) tel que :

\[\abs{ \frac{b - a}{n} } \le \min \{ \vartheta , \varpi \}\]

Posons \(h = (b - a)/n\) et définissons la série :

\[x_i = a + i \cdot h\]

On a alors \(a = x_0 \le x_1 \le ... \le x_n = b\). Les propriétés des sommes nous disent que :

\[\sum_{i = 1}^n (F(x_i) - F(x_{i - 1})) = F(x_n) - F(x_0) = F(b) - F(a)\]

D'un autre coté, on a clairement :

\[\sum_{i = 1}^n \int_{ x_{i - 1} }^{x_i} = \int_a^b\]

Si nous appliquons les bornes précédentes avec \(x = x_{i - 1}\), nous avons \(x + h = x_i\) et :

\[F(x_i) - F(x_{i - 1}) - 2 \epsilon \cdot h \le \int_{ x_{i - 1} }^{x_i} \le F(x_i) - F(x_{i - 1}) + 2 \epsilon \cdot h\]

En sommant sur \(i = 1,2,...,n\), nous obtenons par conséquent :

\[F(b) - F(a) - 2 \epsilon \cdot h \cdot n \le \int_a^b \le F(b) - F(a) + 2 \epsilon \cdot h \cdot n\]

Mais comme \(h \cdot n = b - a\), cela devient :

\[F(b) - F(a) - 2 \epsilon \cdot (b - a) \le \int_a^b \le F(b) - F(a) + 2 \epsilon \cdot (b - a)\]

Ces bornes devant être satisfaites pour tout \(\epsilon \strictsuperieur 0\), on en déduit que :

\[\int_a^b = F(b) - F(a)\]

On a donc finalement :

\[\int_a^b f(s) \ ds = \int_a^b \OD{F}{s}(s) \ ds = F(b) - F(a)\]

2.3.3 Primitive

Cette relation permet de calculer l'intégrale d'une fonction continue \(f : t \mapsto f(t)\) lorsqu'on connaît une fonction \(F\) vérifiant :

\[\OD{F}{t} = f\]

On appelle « primitive » de \(f\) une telle fonction \(F\).

2.3.4 Notation

On note aussi :

\[\difference F = \int dF\]

2.4 Polynômes

On sait que :

\[\OD{}{t}\big(t^n\big) = n \cdot t^{n - 1}\]

Comme \(n\) est constante, on peut le réécrire :

\[\OD{}{t}\left( \frac{t^n}{n} \right) = t^{n - 1}\]

ou, en posant \(m = n - 1\) :

\[\OD{}{t}\left( \frac{t^{m + 1}}{m + 1} \right) = t^m\]

L'intégrale s'écrit donc :

\[\int_a^b t^m \ dt = \frac{ b^{m + 1} - a^{m + 1} }{m + 1}\]

On a en particulier :

\[\int_0^x t^m \ dt = \frac{ x^{m + 1} }{m + 1}\]

2.4.1 Exemples

\[\int_0^x t \ dt = \frac{ x^2 }{2}\]

\[\int_0^x t^2 \ dt = \frac{ x^3 }{3}\]

2.5 Valeur moyenne

2.5.1 Accroissements finis

Soit des réels distincts \(a,b\) vérifiant \(a \strictinferieur b\), la fonction \(f \in \continue([a,b],\setR)\) et la fonction \(F : [a,b] \mapsto \setR\) définie par :

\[F(x) = \int_a^x f(t) \ dt\]

pour tout \(x \in [a,b]\). Comme \(F \in \continue^1([a,b],\setR)\), le théorème des accroissements finis nous dit qu'on peut trouver un \(c \in \intervalleouvert{a}{b}\) tel que :

\[\partial F(c) = \frac{F(b) - F(a)}{b - a}\]

On sait que :

\[\partial F(c) = f(c)\]

On a aussi :

\[F(b) = \int_a^b f(t) \ dt\]

et :

\[F(a) = \int_a^a f(t) \ dt = \int_{ \{ a \} } f(t) \ dt\]

La mesure de Lebesgue du singleton \(\{a\}\) étant nulle, l'intégrale s'annule et on a :

\[F(a) = 0\]

On a donc \(F(b) - F(a) = F(b)\) et :

\[f(c) = \unsur{b - a} \int_a^b f(t) \ dt\]

2.5.2 Théorème de Cauchy

Soit des réels distincts \(a,b\) vérifiant \(a \strictinferieur b\), les fonctions \(f,g \in \continue([a,b],\setR)\) et les fonction \(F,G : [a,b] \mapsto \setR\) définies par :

\begin{align} F(x) &= \int_a^x f(t) \ dt \\ G(x) &= \int_a^x g(t) \ dt \end{align}

pour tout \(x \in [a,b]\). Comme \(F,G \in \continue^1([a,b],\setR)\), le théorème de Cauchy nous dit qu'on peut trouver un \(c \in \intervalleouvert{a}{b}\) tel que :

\[\partial F(c) \cdot \big[G(b) - G(a)\big] = \big[F(b) - F(a)\big] \cdot \partial G(c)\]

On sait que :

\( \partial F(c) = f(c) \\ \partial G(c) = g(c) \)

On a aussi :

\begin{align} F(b) &= \int_a^b f(t) \ dt \\ G(b) &= \int_a^b g(t) \ dt \end{align}

et :

\begin{align} F(a) &= \int_a^a f(t) \ dt = 0 \\ G(a) &= \int_a^a g(t) \ dt = 0 \end{align}

On en conclut que :

\[f(c) \ \int_a^b g(t) \ dt = g(c) \ \int_a^b f(t) \ dt\]

Si l'intégrale de \(g\) et \(g(c)\) sont non nuls, on peut mettre cette relation sous la forme :

\[\frac{f(c)}{g(c)} = \frac{ \int_a^b f(t) \ dt }{ \int_a^b g(t) \ dt }\]

2.6 Intégration par parties

Soient \(f,g \in \continue^1(\setR,\setR)\). On se rappelle que :

\[\partial (f \cdot g) = \partial f \cdot g + f \cdot \partial g\]

et comme on a :

\[\int_a^b \partial (f \cdot g) \ dx = f(b) \cdot g(b) - f(a) \cdot g(a)\]

on obtient la formule d'intégration par parties :

\[\int_a^b f(x) \cdot \partial g(x) \ dx = (f \cdot g)(b) - (f \cdot g)(a) - \int_a^b \partial f(x) \cdot g(x) \ dx\]

2.6.1 Stieltjes

Le résultat est également valable lorsqu'on utilise les mesures de Stieltjes associées à \(f\) et \(g\) :

\[\int_a^b f(x) \cdot dg(x) = \difference (f \cdot g) - \int_a^b g(x) \cdot df(x)\]

2.6.2 Dérivée constante

On considère le cas particulier où \(\partial g = 1\). Une exemple de fonction \(g\) vérifiant cette propriété est simplement \(g = \identite\). On a donc \(g(x) = x\) et :

\[\int_a^b f(x) \ dx = \int_a^b f(x) \cdot 1 \ dx = \int_a^b f(x) \cdot \partial g(x) \ dx\]

L'intégration par parties nous donne :

\[\int_a^b f(x) \ dx = f(b) \cdot b - f(a) \cdot a - \int_a^b \partial f(x) \cdot x \ dx\]

2.7 Changement de variable

Considérons une fonction \(f \in \continue(\setR,\setR)\) et un changement de variable \(x = \varphi(s)\) où \(\varphi \in \homeomorphisme^1(\setR,\setR)\). Soit la mesure de lebesgue \(\mu([\alpha,\beta]) = \beta - \alpha\).

2.7.1 L'idée

\[\sum_i f_i \cdot \difference x_i = \sum_i f_i \cdot \frac{\difference x_i}{\difference s_i} \cdot \difference s_i\]

On devrait donc avoir par passage à la limite :

\[\int f \ dx = \int f \ \OD{x}{s} \ ds\]

2.7.2 La réalisation

On applique le même procédé qu'à la section \ref{sec:integrale_derivee}. Si \(x\) est proche de \(y\), on a :

\[\int_x^y \approx f(x) \cdot (y - x)\]

Posant \(s = \varphi^{-1}(x)\) et \(t = \varphi^{-1}(y)\), on a aussi :

\[y - x = \varphi(t) - \varphi(s) = \OD{\varphi}{s}(s) \cdot (t - s) + e(\abs{s - t})\]

où \(e\) converge plus vite que \(s - t\) vers \(0\). On en conclut que :

\[\int_x^y \approx (f \circ \varphi)(s) \cdot \OD{\varphi}{s}(s) \cdot (t - s)\]

On remarque que le second membre est une approximation de l'intégrale de la fonction :

\[F(s) = (f \circ \varphi)(s) \cdot \OD{\varphi}{s}(s)\]

sur l'intervalle \([s,t] = [\varphi^{-1}(x),\varphi^{-1}(y)]\). Il ne nous reste plus qu'à sommer sur tous les petits intervalles \([x_{i - 1},x_i]\) et à passer à la limite \(h = x_i - x_{i - 1} \to 0\) pour obtenir :

\[\int_a^b f(x) \ dx = \int_{\varphi^{-1}(a)}^{\varphi^{-1}(b)} (f \circ \varphi)(s) \cdot \OD{\varphi}{s}(s) \ ds\]

3 Développements de Taylor

3.1 Polynômes de Taylor

Considérons un polynôme \(p : \setR \mapsto \setR\) de degré \(n\) défini par :

\[p(x) = \sum_{i = 0}^n \gamma_i \cdot x^i\]

pour tout \(x \in \setR\). Calculons ses dérivées :

\begin{align} \partial p(x) &= \sum_{i = 1}^n \gamma_i \cdot i \cdot x^{i - 1} \\ \partial^2 p(x) &= \sum_{i = 2}^n \gamma_i \cdot i \cdot (i - 1) \cdot x^{i - 2} \\ \vdots \\ \partial^k p(x) &= \sum_{i = k}^n \gamma_i \cdot \frac{i !}{(i - k) !} \cdot x^{i - k} \\ \vdots \\ \partial^n p(x) &= n! \cdot \gamma_n \end{align}

Lorsqu'on évalue ces dérivées en \(0\), seuls les termes en \(x^{k - k} = 1\) ne s'annulent pas. On obtient donc :

\[\partial^k p(0) = \frac{k !}{0 !} \cdot \gamma_k = k ! \cdot \gamma_k\]

ce qui nous donne l'expression des coefficients de \(p\) en fonction de ses dérivées en \(0\) :

\[\gamma_k = \unsur{k !} \cdot \partial^k p(0)\]

Le polynôme peut donc se réécrire :

\[p(x) = \sum_{i = 0}^n \unsur{i !} \cdot \partial^i p(0) \cdot x^i\]

Cette expression est appelée développement de Taylor de \(p\) autour de \(0\).

3.1.1 Généralisation

Soit \(a \in \setR\). La fonction \(r\) définie par :

\[r(t) = p(t + a) = \sum_{i = 0}^n \gamma_i \cdot (t + a)^i\]

pour tout \(t \in \setR\) est clairement un polynôme de degré \(n\). On a \(r(0) = p(a)\) et plus généralement :

\[\partial^i r(0) = \partial^i p(a)\]

pout tout \(i \ge 0\). Le développement de Taylor de \(r\) autour de \(0\) s'écrit :

\[r(t) = \sum_{i = 0}^n \unsur{i !} \cdot \partial^i r(0) \cdot t^i\]

ou encore :

\[r(t) = \sum_{i = 0}^n \unsur{i !} \cdot \partial^i p(a) \cdot t^i\]

En posant \(x = t + a\), on a \(t = x - a\) et :

\[p(x) = p(t + a) = r(t)\]

Le développement devient :

\[p(x) = \sum_{i = 0}^n \unsur{i !} \cdot \partial^i p(a) \cdot (x - a)^i\]

Cette expression est nommée développement de Taylor de \(p\) autour de \(a\).

3.2 Opérateur de Taylor

Soit \(\alpha, \beta \in \setR\) avec \(\alpha \strictinferieur \beta\), une fonction \(f \in \continue^N([\alpha,\beta],\setR)\) et \(a \in [\alpha,\beta]\). Par analogie avec le développement de Taylor des polynômes, on définit l'opérateur de Taylor \(T_a^N\) par :

\[T_a^N(f)(x) = \sum_{k = 0}^N \unsur{k !} \cdot \partial^k f(a) \cdot (x - a)^k\]

pour tout \(x \in [\alpha,\beta]\).

3.2.1 Erreur

L'erreur \(E_a^N\) de l'opérateur \(T_a^N\) est donnée par :

\[E_a^N(f)(x) = f(x) - T_a^N(f)(x)\]

pour tout \(x \in [\alpha,\beta]\).

3.2.2 Polynômes

Si \(p\) est un polynôme de degré \(N\), on a bien entendu \(T_a^N(p) = p\) pour tout \(a \in \setR\) et \(E_a^N(p) = 0\).

3.3 Forme intégrale

3.3.1 Premier ordre

Soit \(\alpha, \beta \in \setR\) avec \(\alpha \strictinferieur \beta\) et la fonction \(f \in \continue^2([\alpha,\beta],\setR)\). Le théorème fondamental nous dit que :

\[\int_a^x \partial f(t) \ dt = f(x) - f(a)\]

pour tout \(a,x \in [\alpha,\beta]\). Appliquant le même théorème à la dérivée \(\partial f\), on a aussi :

\[\int_a^x \partial^2 f(t) \ dt = \partial f(x) - \partial f(a)\]

3.3.1.1 Intégration par parties

Soit \(u = \partial f\) et \(v = \identite\). on a :

\[\int_a^x u(x) \ \partial v(x) \ dx = \int_a^x \partial f(t) \cdot 1 \ dt = \int_a^x \partial f(t) \ dt\]

L'intégration par parties nous donne :

\[\int_a^x u(x) \ \partial v(x) \ dx = v(x) \ u(x) - v(a) \ u(a) - \int_a^x v(t) \ \partial u(t) \ dt\]

En tenant compte des définitions de \(u\) et \(v\), on obtient :

\[\int_a^x \partial f(t) \ dt = x \ \partial f(x) - a \ \partial f(a) - \int_a^x t \ \partial^2 f(t) \ dt\]

Appliquons le théorème fondamental au membre de gauche :

\[f(x) - f(a) = x \ \partial f(x) - a \ \partial f(a) - \int_a^x t \ \partial^2 f(t) \ dt\]

ou encore :

\[f(x) = f(a) + x \ \partial f(x) - a \ \partial f(a) - \int_a^x t \ \partial^2 f(t) \ dt\]

En multipliant la relation :

\[\partial f(x) - \partial f(a) = \int_a^x \partial^2 f(t) \ dt\]

par \(x\), on arrive au résultat :

\[x \ \partial f(x) = x \ \partial f(a) + \int_a^x x \ \partial^2 f(t) \ dt\]

L'expression de \(f(x)\) devient alors :

\[f(x) = f(a) + x \ \partial f(a) + \int_a^x x \ \partial^2 f(t) \ dt - a \ \partial f(a) - \int_a^x t \ \partial^2 f(t) \ dt\]

et finalement :

\[f(x) = f(a) + (x - a) \cdot \partial f(a) + \int_a^x (x - t) \cdot \partial^2 f(t) \ dt\]

Le membre de droite est appelé développement de Taylor du premier ordre de \(f\) sous forme intégrale.

3.3.2 Second ordre

Soit \(f \in \continue^3([\alpha,\beta],\setR)\). Comme \(\continue^3 \subseteq \continue^2\), \(f\) admet un développement de Taylor du premier ordre sous forme intégrale. Nous allons intégrer par parties le terme :

\[\int_a^x (x - t) \cdot \partial^2 f(t) \ dt\]

On sait que :

\[\OD{}{ŧ} \left[ \unsur{2} (x - t)^2 \right] = (x - t) \cdot (-1) = - (x - t)\]

Posons \(u = \partial^2 f\) et :

\[v : t \mapsto \unsur{2} (x - t)^2\]

On a :

\[\int_a^x \partial v(t) \ u(t) \ dt = - \int_a^x (x - t) \ \partial^2 f(t) \ dt\]

et :

\[\int_a^x v(t) \ \partial u(t) \ dt = \unsur{2} \int_a^x (x - t)^2 \ \partial^3 f(t) \ dt\]

Enfin :

\begin{align} \int_a^x \partial (v \cdot u)(t) \ dt &= \unsur{2} \ (x - x)^2 \ \partial^2 f(x) - \unsur{2} \ (x - a)^2 \ \partial^2 f(a) \\ &= 0 - \unsur{2} \ (x - a)^2 \ \partial^2 f(a) \\ &= - \unsur{2} \ (x - a)^2 \ \partial^2 f(a) \end{align}

On en conclut que :

\[- \int_a^x (x - t) \ \partial^2 f(t) \ dt = - \unsur{2} \ (x - a)^2 \ \partial^2 f(a) - \unsur{2} \int_a^x (x - t)^2 \ \partial^3 f(t) \ dt\]

ou encore :

\[\int_a^x (x - t) \ \partial^2 f(t) \ dt = \unsur{2} \ (x - a)^2 \ \partial^2 f(a) + \unsur{2} \int_a^x (x - t)^2 \ \partial^3 f(t) \ dt\]

Le développement du premier ordre peut dont se réécrire :

\[f(x) = f(a) + (x - a) \ \partial f(a) + \unsur{2} \ (x - a)^2 \ \partial^2 f(a) + \unsur{2} \int_a^x (x - t)^2 \ \partial^3 f(t) \ dt\]

Le membre de droite est appelé développement du second ordre de \(f\) sous forme intégrale.

3.3.3 Ordre \(N\)

Soit \(f \in \continue^{N + 1}([\alpha,\beta],\setR)\). On montre en intégrant par parties que :

\[\int_a^x (x - t)^{k - 1} \ \partial^k f(t) \ dt = \unsur{k} \ (x - a)^k \ \partial^k f(a) + \unsur{k} \int_a^x (x - t)^k \ \partial^{k + 1} f(t) \ dt\]

pour tout \(k \in \setZ[2,N]\). On en déduit par récurrence le développement de Taylor d'ordre \(N\) de \(f\) sous forme intégrale :

\[f(x) = \sum_{k = 0}^N \unsur{k !} \cdot \partial^k f(a) \cdot (x - a)^k + \unsur{N !} \int_a^x (x - t)^N \ \partial^{N + 1} f(t) \ dt\]

3.4 Erreur

On a :

\[E_a^N(f)(x) = f(x) - T_a^N(f)(x) = \unsur{N !} \int_a^x (x - t)^N \ \partial^{N + 1} f(t) \ dt\]

En appliquant le théorème de Cauchy entre \(a\) et \(x\) aux fonctions \(F,G\) définies par :

\begin{align} F(z) &= \int_a^z (x - t)^N \ \partial^{N + 1} f(t) \ dt \\ G(z) &= \int_a^z (x - t)^N \ dt \end{align}

pour tout \(z \in [\alpha,\beta]\), on voit que l'on peut trouver un \(c \in \intervalleouvert{a}{x}\) si \(a \strictinferieur x\) ou un \(c \in \intervalleouvert{x}{a}\) si \(x \strictinferieur a\) tel que :

\[(x - c)^N \ F(x) = (x - c)^N \ \partial^{N + 1} f(c) \ G(x)\]

ou encore :

\[\partial^{N + 1} f(c) \ G(x) = F(x)\]

Comme :

\begin{align} G(x) = \int_a^x (x - t)^N \ dt &= - \big[ (x - x)^{N + 1} - (x - a)^{N + 1} \big] / (N + 1) \\ &= - \big[ 0 - (x - a)^{N + 1} \big] / (N + 1) \\ &= (x - a)^{N + 1} / (N + 1) \end{align}

on a :

\[\partial^{N + 1} f(c) \ \frac{ (x - a)^{N + 1} }{N + 1} = F(x) = \int_a^x (x - t)^N \ \partial^{N + 1} f(t) \ dt\]

On en déduit que :

\[E_a^N(f)(x) = \partial^{N + 1} f(c) \ \frac{ (x - a)^{N + 1} }{(N + 1) !}\]

3.5 Forme différentielle

Soit une fonction \(f \in \continue^{N+1}([\alpha,\beta],\setR)\) et \(a,x \in [\alpha,\beta]\). On définit la fonction \(F : [\alpha,\beta] \mapsto \setR\) par :

\begin{align} F(t) &= \sum_{k = 0}^N \unsur{k !} \cdot \partial^k f(t) \cdot (x - t)^k \\ &= f(t) + \partial f(t) \ (x - t) + \partial^2 f(t) \ \frac{(x - t)^2}{2} + ... \end{align}

pour tout \(t \in [\alpha,\beta]\). On a :

\[F(x) = f(x) + \partial f(x) \ (x - x) + \partial^2 f(x) \frac{(x - x)^2}{2} + ... = f(x) + 0 = f(x)\]

et :

\[F(a) = f(a) + \partial f(a) \ (x - a) + \partial^2 f(a) \frac{(x - a)^2}{2} + ... = T_a^N(f)(x)\]

La dérivée de \(F\) s'écrit :

\( ∂ F(t) = ∂ f(t) + \big[ \partial f(t) \ (-1) + \partial^2 f(t) \ (x - t) \big]

  • \left[ - ∂2 f(t) \ (x - t) + ∂3 f(t) \ \frac{(x-t)^2}{2} \right]


  • \left[ - ∂N - 1 f(t) \ \frac{(x - t)N - 2}{(N - 2) !} + ∂N f(t) \ \frac{(x-t)N - 1}{(N - 1) !} \right]
  • \left[ - ∂N f(t) \ \frac{(x-t)N - 1}{(N - 1) !} + ∂N + 1 f(t) \ \frac{(x-t)^N}{N !} \right]

\)

On voit que tous les termes s'annulent sauf le dernier, et :

\[\partial F(t) = \partial^{N + 1} f(t) \ \frac{(x-t)^N}{N !}\]

Soit \(G \in \continue^1([\alpha,\beta],\setR)\). On peut appliquer le théorème de Cauchy à \(F\) et \(G\) entre \(a\) et \(x\). On dispose alors d'un \(c \in \intervalleouver{a}{x}\) si \(a \strictinferieur x\) ou d'un \(c \in \intervalleouvert{x}{a}\) si \(x \strictinferieur a\) tel que :

\[\partial F(c) \ \big[G(x) - G(a)\big] = \big[F(x) - F(a)\big] \ \partial G(c)\]

On a :

\[F(x) - F(a) = f(x) - T_a^N(f)(x) = E_a^N(f)(x)\]

On en conclut que :

\[E_a^N(f)(x) \ \partial G(c) = \partial^{N + 1} f(c) \ \frac{(x-c)^N}{N !} \ \big[G(x) - G(a)\big]\]

3.5.1 Forme de Lagrange

Soit le choix :

\[G : t \mapsto (x - t)^{N + 1}\]

on a :

\[G(x) = (x - x)^{N + 1} = 0\]

et :

\[G(a) = (x - a)^{N + 1}\]

La dérivée s'écrit :

\[\partial G(t) = - (N + 1) \ (x - t)^N\]

La relation de Cauchy devient :

\[- E_a^N(f)(x) \ (N + 1) \ (x - c)^N = - \partial^{N + 1} f(c) \ \frac{(x-c)^N}{N !} \ (x - a)^{N + 1}\]

On a donc l'expression de l'erreur :

\[E_a^N(f)(x) = \partial^{N + 1} f(c) \ \frac{(x - a)^{N + 1}}{(N + 1) !}\]

3.5.2 Forme de Cauchy

Soit le choix :

\[G : t \mapsto t - a\]

on a :

\[G(x) = x - a\]

et :

\[G(a) = a - a = 0\]

La dérivée s'écrit :

\[\partial G(t) = 1\]

La relation de Cauchy devient :

\[E_a^N(f)(x) = \partial^{N + 1} f(c) \ \frac{(x-c)^N}{N !} \ (x - a)\]

3.6 Borne

Soit \(f \in \continue^{N + 1}([\alpha,\beta],\setR)\). Comme \(\partial^{N+1} f\) est continue, sa norme \(\norme{.}_\infty\) sur \([\alpha,\beta]\) est finie et on a :

\[\abs{E_a^N(f)(x)} \le \norme{\partial^{N + 1} f}_\infty \ \frac{ \abs{x - a}^{N + 1} }{(N + 1) !}\]

On peut majorer cette expression en constatant que :

\[\abs{x - a} \le \abs{\beta - \alpha}\]

La borne de l'erreur devient alors :

\[\abs{E_a^N(f)(x)} \le \norme{\partial^{N + 1} f}_\infty \ \frac{ \abs{\beta - \alpha}^{N + 1} }{(N + 1) !}\]

Le membre de droite ne dépendant pas de \(x\), on a :

\[\norme{E_a^N(f)}_\infty \le \norme{\partial^{N + 1} f}_\infty \ \frac{ \abs{\beta - \alpha}^{N + 1} }{(N + 1) !}\]

3.7 Convergence

Soit \(f \in \continue^\infty([\alpha,\beta],\setR)\). Si on peut trouver un \(\sigma \in \setR\) tel que :

\[\norme{\partial^n f}_\infty \le \sigma\]

pour tout \(n \in \setN\), on a :

\[\norme{E_a^N(f)}_\infty \le \sigma \ \frac{ \abs{\beta - \alpha}^{N + 1} }{(N + 1) !}\]

On en conclut que :

\[0 \le \lim_{N \to \infty} \norme{E_a^N(f)}_\infty \le \sigma \ \lim_{N \to \infty} \frac{ \abs{\beta - \alpha}^{N + 1} }{(N + 1) !} = 0\]

L'erreur converge vers zéro quand \(N\) tend vers l'infini :

\[\lim_{N \to \infty} \norme{E_a^N(f)}_\infty = 0\]

3.8 Dimension \(n\)

3.8.1 Premier ordre

Soit \(\Omega \subseteq \setR^n\), la fonction \(f \in \continue^1(\Omega,\setR)\) et les vecteurs \(u,v \in \setR^n\) tels que le segment \([u,v]\) est inclus dans \(\Omega\). On définit la fonction \(\lambda : [0,1] \mapsto \setR^n\) associée au segment \([u,v]\) par :

\[\lambda(s) = u + s \cdot (v - u)\]

pour tout \(s \in [0,1]\), ainsi que la fonction \(\varphi = f \circ \lambda\) qui vérifie :

\[\varphi(s) = (f \circ \lambda)(s) = f(u + s \cdot (v - u))\]

pour tout \(s \in [0,1]\). On pose :

\[h = v - u\]

On a :

\[\varphi(0) = f(u)\]

La dérivée s'écrit :

\[\partial \varphi(s) = \sum_i \partial_i f(u + s \cdot h) \cdot h_i\]

ou, en utilisant la notation matricielle :

\[\partial \varphi(s) = \partial f(u + s \cdot h) \cdot h\]

On a la valeur particulière :

\[\partial \varphi(0) = \partial f(u) \cdot h\]

La dérivée seconde s'écrit :

\[\partial^2 \varphi(s) = \sum_{i,j} h_j \cdot \partial^2_{ji} f(u + s \cdot h) \cdot h_i\]

ou, en utilisant la notation matricielle :

\[\partial^2 \varphi(s) = h^\dual \cdot \partial^2 f(u + s \cdot h) \cdot h\]

Le développement du premier ordre de \(\varphi\) autour de \(0\) s'écrit donc :

\[\varphi(s) = f(u) + s \cdot \partial f(u) \cdot h + E_u^1(s,h)\]

avec :

\[E_u^1(s,h) = h^\dual \cdot \partial^2 f(u + c \cdot h) \cdot h \cdot \frac{(c - 0)^2}{2} = h^\dual \cdot \partial^2 f(u + c \cdot h) \cdot h \cdot \frac{c^2}{2}\]

pour un certain \(c \in \intervalleouvert{0}{s}\). Mais comme :

\[\varphi(1) = f(u + h) = f(v)\]

on en déduit le développement de \(f\) :

\[f(v) = f(u) + \partial f(u) \cdot (v - u) + \mathcal{E}_u^1(h)\]

avec :

\[\mathcal{E}_u^1(h) = h^\dual \cdot \partial^2 f(u + c \cdot h) \cdot h \cdot \frac{c^2}{2}\]

pour un certain \(c \in \intervalleouvert{0}{1}\).

3.8.1.1 Borne

Soit :

\[M^2 = \max_{i,j} \norme{\partial^2_{ij} f}_\infty\]

On a :

\[\abs{\mathcal{E}_u^1(h)} \le \unsur{2} \cdot n^2 \cdot M^2 \cdot \norme{h}^2\]

3.8.2 Second ordre

Soit \(f \in \continue^3(\Omega,\setR)\). Avec les mêmes notations que précédemment, on a :

\[\partial^2 \varphi(0) = h^\dual \cdot \partial^2 f(u) \cdot h\]

La dérivée tierce de \(\varphi\) s'écrit :

\[\partial^3 \varphi(s) = \sum_{i,j,k} \partial^3_{kji} f(u + s \cdot h) \cdot h_i \cdot h_j \cdot h_k\]

ou, en utilisant la notation tensorielle :

\[\partial^3 \varphi(s) = \partial^3 f(u + s \cdot h) : h \otimes h \otimes h\]

Le développement du second ordre de \(\varphi\) autour de \(0\) s'écrit :

\[\varphi(s) = f(u) + s \ \partial f(u) \cdot h + \frac{s^2}{2} \ h^\dual \cdot \partial^2 f(u) \cdot h + E_u^2(s,h)\]

avec :

\[E_u^2(s,h) = \partial^3 f(u + c \cdot h) : h \otimes h \otimes h \cdot \frac{c^3}{6}\]

pour un certain \(c \in \intervalleouvert{0}{s}\). Mais comme :

\[\varphi(1) = f(u + h) = f(v)\]

on en déduit le développement de \(f\) :

\[f(v) = f(u) + \partial f(u) \cdot h + h^\dual \cdot \partial^2 f(u) \cdot h + \mathcal{E}_u^2(h)\]

avec :

\[\mathcal{E}_u^2(h) = \partial^3 f(u + c \cdot h) : h \otimes h \otimes h \cdot \frac{c^3}{6}\]

pour un certain \(c \in \intervalleouvert{0}{1}\).

3.8.2.1 Borne

Soit :

\[M^3 = \max_{i,j,k} \norme{\partial^3_{ijk} f}_\infty\]

On a :

\[\abs{\mathcal{E}_u^2(h)} \le \unsur{6} \cdot n^3 \cdot M^3 \cdot \norme{h}^3\]

3.9 Notation

Soit la fonction \(E : \Omega \subseteq \setR^m \mapsto \setR^n\), la fonction \(b : \setR \mapsto \setR\) et le vecteur \(h \in \Omega\). On note \(E \sim \petito{b(h)}\), ou on dit que \(E\) est en \(\petito{b(h)}\), pour signifier que :

\[\lim_{h \to 0} \frac{ \norme{E(h)} }{b(\norme{h})} = 0\]

On note \(E \sim \grando{b(h)}\), ou on dit que \(E\) est en \(\grando{b(h)}\), pour signifier qu'il existe \(M \in \setR\) tel que :

\[\norme{E(h)} \le M \cdot b(\norme{h})\]

pour tout \(h \in \Omega\).

3.9.1 Puissance

Une famille de fonction souvent employée est la puissance :

\[b_k : x \mapsto x^k\]

pour un certain \(k \in \setN\). On a alors \(\petito{h^k}\) si :

\[\lim_{h \to 0} \frac{ \norme{E(h)} }{\norme{h}^k} = 0\]

et \(\grando{h^k}\) si :

\[\norme{E(h)} \le M \cdot \norme{h}^k\]

3.9.2 Relation

Si \(E \sim \grando{h^k}\), on a :

\[0 \le \lim_{h \to 0} \frac{\norme{E(h)}}{\norme{h}^{k - 1}} \le \lim_{h \to 0} \frac{M \ \norme{h}^k}{\norme{h}^{k - 1}} = 0\]

d'où :

\[\lim_{h \to 0} \frac{\norme{E(h)}}{\norme{h}^{k - 1}} = 0\]

et \(E \sim \petito{h^{k - 1}}\).

3.9.3 Cas particulier

Le \(\grando{1}\) implique une erreur bornée en valeur absolue, le \(\petito{1}\) implique la continuité et le \(\petito{h}\) la différentiabilité.

3.9.4 Développement de Taylor

Pour toute fonction \(f \in \continue^{N + 1}(\Omega, \setR^n)\), l'erreur \(E_a^N(f)\) du développement de Taylor d'ordre \(N\) est en \(\grando{h^{N+1}}\).

3.10 Extrapolation de Richardson

Supposons qu'une fonction \(v\) nous donne une approximation de \(V\) respectant :

\[v(h) \approx V + C \cdot h^m + O(h^{m+1})\]

pour un certain \(C \in \setR\) et pour tout \(h \in [0,R] \subseteq \setR\). L'entier \(m\) est appelé l'ordre de l'approximation. Supposons que l'on dispose de deux estimations de \(V_1 = v(h)\) et \(V_2 = v(h/k)\). On a alors :

\( V1 = v(h) = V + C ⋅ hm + O(hm+1)
V2 = v\left(h/k\right) = V + C ⋅ \left(\frac{h}{k}\right)m

  • O(hm+1)

\)

On se sert de la première équation pour obtenir une expression de \(C \cdot h^m\) :

\[C \cdot h^m = V_1 - V + O(h^{m+1})\]

Posons :

\[r = \unsur{k^m}\]

On a alors :

\[V_2 = V + r \cdot C \cdot h^m + O(h^{m+1}) = V + r \cdot (V_1 - V) + O(h^{m+1})\]

On en conclut que :

\[(1 - r) \cdot V = V_2 - r \cdot V_1 + O(h^{m+1})\]

Ce qui nous donne l'approximation :

\[V = \frac{V_2 - r \cdot V_1}{1 - r} + O(h^{m+1})\]

Cette approximation est plus précise, car l'erreur n'est plus en \(O(h^m)\) mais en \(O(h^{m + 1})\). On appelle cette technique l'extrapolation de Richardson.

3.10.1 Cas particulier

Un cas particulier intéressant est celui où l'approximation est d'ordre \(1\) et où \(k = 2\). On a alors :

\[V = 2 V_2 - V_1 + O(h^2) = V_2 + (V_2 - V_1) + O(h^2)\]

ce qui revient à faire l'approximation \(V - V_2 \approx V_2 - V_1\).

4 Développements d'Hadamard

4.1 Dépendances

  • Chapitre \ref{chap:differ} : Les différentielles
  • Chapitre \ref{chap:integral} : Les intégrales

4.2 Lemme de Hadamard

Soit la fonction \(f : \setR^m \to \setR^n\) et les vecteurs \(u,v \in \setR^m\). On définit la fonction \(\lambda : [0,1] \mapsto \setR^m\) associée au segment \([u,v] \subseteq \setR^m\) par :

\[\lambda(s) = u + s \cdot (v - u)\]

pour tout \(s \in [0,1]\). On a bien entendu \(\lambda(0) = u\) et \(\lambda(1) = v\). On définit également la fonction \(\varphi = f \circ \lambda\) qui vérifie :

\[\varphi(s) = (f \circ \lambda)(s) = f(u + s \cdot (v - u))\]

pour tout \(t \in [0,1]\). On voit que \(\varphi(0) = f(u)\) et \(\varphi(1) = f(v)\). Donc, en termes de composantes dans \(\setR^n\), on a :

\[f_i(v) - f_i(u) = \varphi_i(1) - \varphi_i(0) = \int_0^1 \OD{\varphi_i}{s}(s) \ ds\]

où \(i \in \{1,2,...,n\}\).

Voyons quelle est la forme de la dérivée :

\begin{align} \OD{\varphi_i}{s}(s) &= \sum_j \partial_j f_i(u + s \cdot (v - u)) \cdot \partial \lambda_j(s) \\ &= \sum_j \partial_j f_i(u + s \cdot (v - u)) \cdot (v_j - u_j) \end{align}

où \(j \in \{1,2,...,m\}\). Si nous définissons :

\[G_{ij}(u,v) = \int_0^1 \partial_j f_i(u + s \cdot (v - u)) \ ds\]

nous obtenons alors l'expression de la variation :

\[f_i(v) - f_i(u) = \sum_j G_{ij}(u,v) \cdot (v_j - u_j)\]

En termes matriciels :

$$G(u,v) = \big[Gij(u,v)\big]i,j = \left[ \int_0^1 \partial_j f_i(u + s \cdot (v - u)) \ ds \right]i,j

est donc l'intégrale de la Jacobienne :

\[G(u,v) = \int_0^1 \partial f(u + s \cdot (v - u)) \ ds\]

et :

\[f(v) - f(u) = G(u,v) \cdot (v - u)\]

4.3 Développement du second ordre

Soit la fonction \(f \in \continue^2(\setR^n,\setR)\) et les vecteurs \(a,h \in \setR^n\). On définit la fonction \(\lambda : [0,1] \mapsto \setR^n\) associée au segment \([a, a + h]\) :

\[\lambda(s) = a + s \cdot h\]

pour tout \(s \in [0,1]\). Le lemme de Hadamard nous dit que :

\[f(a + h) - f(a) = \int_0^1 \partial f(a + s \cdot h) \cdot h \ ds\]

Par définition de la dérivée seconde, on a :

\[\partial_i f(a + s \cdot h) = \partial_i f(a) + \sum_j \partial_{ji}^2 f(a) \cdot h_j \cdot s + e_i(s \cdot h)\]

où l'erreur \(e\) vérifie :

\[\lim_{h \to 0} \frac{ \norme{e(h)} }{ \norme{h} } = 0\]

L'intégrale s'écrit alors :

\[f(a + h) - f(a) = \sum_i \int_0^1 \left[ \partial_i f(a) + \sum_j \partial_{ji}^2 f(a) \cdot h_j \cdot s + e_i(s \cdot h) \right] \cdot h_i \ ds\]

La grandeur \(\partial_i f(a) \cdot h_i\) ne dépendant pas de \(s\), on a :

\[\int_0^1 \partial_i f(a) \cdot h_i \ ds = \partial_i f(a) \cdot h_i \cdot (1 - 0) = \partial_i f(a) \cdot h_i\]

D'un autre coté, comme \(s^2/2\) est une primitive de \(s\), on a :

\[\int_0^1 s \ ds = \unsur{2} \cdot (1^2 - 0^2) = \unsur{2}\]

et donc :

\[\int_0^1 \partial_{ji}^2 f(a) \cdot h_j \cdot h_i \cdot s \ ds = \unsur{2} \partial_{ji}^2 f(a) \cdot h_j \cdot h_i\]

Posons :

\[\mathcal{E}_2(h) = \sum_i \int_0^1 e_i(s \cdot h) \cdot h_i \ ds\]

On a alors :

\[f(a + h) - f(a) = \sum_i \partial_i f(a) \cdot h_i + \unsur{2} \sum_{i,j} h_j \cdot \partial_{ji}^2 f(a) \cdot h_i + \mathcal{E}_2(h)\]

En termes matriciels, cette expression fait intervenir la Jacobienne et la Hessienne :

\[f(a + h) - f(a) = \partial f(a) \cdot h + \unsur{2} \ h^\dual \cdot \partial^2 f(a) \cdot h + \mathcal{E}_2(h)\]

4.3.1 Comportement de l'erreur

Nous savons que, pour toute précision \(\epsilon \strictsuperieur 0\), nous pouvons trouver un \(\delta \strictsuperieur 0\) tel que :

\[\frac{\norme{e(h)}}{\norme{h}} \le \epsilon\]

pour tout \(h\) vérifiant \(\norme{h} \le \delta\). Comme \(\abs{e_i} \le \norme{e}\) et \(\abs{h_i} \le \norme{h}\), on a alors :

\begin{align} \abs{\mathcal{E}_2(h)} &\le \sum_i \abs{\int_0^1 e_i(s \cdot h) \cdot h_i \ ds} \\ &\le n \cdot \epsilon \cdot \norme{h}^2 \end{align}

L'erreur décroît donc plus vite que \(\norme{h}^2\) :

\[\lim_{h \to 0} \frac{ \abs{\mathcal{E}_2(h)} }{ \norme{h}^2 } = 0\]

4.3.2 Dérivées ordinaires

Lorsque \(n = 1\), le développement est simplement :

\[f(a + h) = f(a) + \OD{f}{x}(a) \cdot h + \OOD{f}{x}(a) \cdot \frac{h^2}{2} + \mathcal{E}_2(h)\]

On constate qu'il est analogue au développement de Taylor d'ordre deux autour de \(a\).

4.4 Développement du troisième ordre

Soit la fonction \(f \in \continue^3(\setR^n,\setR)\) et les vecteurs \(a,h \in \setR^n\). En évaluant le développement du second ordre de chaque \(\partial_i f\), on a :

\[\partial_i f(a + s \cdot h) = \partial_i f(a) + \sum_j \partial_{ji} f(a) \cdot h_j \cdot s + \sum_{j,k} h_k \cdot \partial_{kji}^3 f(a) \cdot h_j \cdot \frac{s^2}{2} + e_i(h)\]

où \(e \sim \petito{h^2}\). En intégrant, nous obtenons une estimation de la variation de \(f\) :

\[f(a + h) - f(a) = \sum_i \int_0^1 \partial_i f(a + s \cdot h) \cdot h_i \ ds\]

Posons :

\begin{align} I_1(h) &= \sum_i \int_0^1 \partial_i f(a) \cdot h_i \ ds \\ I_2(h) &= \sum_{i,j} \int_0^1 h_j \cdot \partial_{ji} f(a) \cdot h_i \cdot s \ ds \\ I_3(h) &= \unsur{2} \sum_{i,j,k} \int_0^1 h_k \cdot \partial_{kji}^3 f(a) \cdot h_j \cdot h_i \cdot s^2 \ ds \\ \mathcal{E}_3(h) &= \sum_i \int_0^1 e_i(h) \cdot h_i \ ds \end{align}

Comme \(s^3/3\) est une primitive de \(s^2\), on a :

\[\int_0^1 s^2 \ ds = \unsur{3} \cdot (1^3 - 0^3) = \unsur{3}\]

Les intégrales s'écrivent donc :

\begin{align} I_1(h) &= \sum_i \partial_i f(a) \cdot h_i \\ I_2(h) &= \unsur{2} \sum_{i,j} h_i \cdot \partial_{ji} f(a) \cdot h_j \\ I_3(h) &= \unsur{6} \sum_{i,j,k} \partial_{kji}^3 f(a) \cdot h_i \cdot h_j \cdot h_k \end{align}

et la variation de \(f\) est donnée par :

\[f(a + h) - f(a) = I_1(h) + I_2(h) + I_3(h) + \mathcal{E}_3(h)\]

En terme de notations tensorielles, on peut l'écrire symboliquement :

\[f(a + h) - f(a) = \partial f(a) \cdot h + \unsur{2} h^\dual \cdot \partial^2 f(a) \cdot h + \unsur{6} \contraction{\partial^3 f(a)}{3}{h \otimes h \otimes h}\]

4.4.1 Comportement de l'erreur

Nous savons que, pour toute précision \(\epsilon \strictsuperieur 0\), nous pouvons trouver un \(\delta \strictsuperieur 0\) tel que :

\[\frac{\norme{e(h)}}{\norme{h}^2} \le \epsilon\]

pour tout \(h\) vérifiant \(\norme{h} \le \delta\). Comme \(\abs{e_i(h)} \le \norme{e(h)}\) et \(\abs{h_i} \le \norme{h}\), on a :

\begin{align} \abs{\mathcal{E}_3(h)} &\le \sum_i \abs{\int_0^1 e_i(h) \cdot h_i \ ds} \\ &\le n \cdot \epsilon \cdot \norme{h}^3 \end{align}

L'erreur \(\abs{\mathcal{E}_3(h)}\) est donc en \(\petito{h^3}\).

4.4.2 Dérivées ordinaires

Lorsque \(n = 1\), le développement est simplement :

\[f(a + h) = f(a) + \OD{f}{x}(a) \cdot h + \OOD{f}{x}(a) \cdot \frac{h^2}{2} + \NOD{f}{x}{3} \cdot \frac{h^3}{6} + \mathcal{E}_3(h)\]

On constate qu'il est analogue au développement de Taylor d'ordre trois autour de \(a\).

5 Symétrie

Soit la fonction \(f \in \continue^2(\setR^2,\setR)\). Posons \(\partial_x = \partial_1\) et \(\partial_y = \partial_2\). Nous allons tenter d'évaluer les dérivées secondes \(\partial_{xy} = \partial_{12}\) et \(\partial_{yx} = \partial_{21}\). On note :

\begin{align} \varphi_{11} &= \varphi(x,y) \\ \varphi_{21} &= \varphi(x + h, y) \\ \varphi_{12} &= \varphi(x, y + h) \\ \varphi_{22} &= \varphi(x + h, y + h) \end{align}

où \(\varphi = f\) ou une de ses dérivées. Comme \(\partial_{xy} = \partial_x \partial_y\) et \(\partial_{yx} = \partial_y \partial_x\), on a par définition :

\( \Delta_{xy} = \partial_y f_{21} - \partial_y f_{11} = \partial_{xy} f_{11} \cdot h + o(h) \\ \Delta_{yx} = \partial_x f_{12} - \partial_x f_{11} = \partial_{yx} f_{11} \cdot h + o(h) \)

Multiplié par \(h\), cela devient :

\( \Delta_{xy} \cdot h = \partial_{xy} f_{11} \cdot h^2 + o(h^2) \\ \Delta_{yx} \cdot h = \partial_{yx} f_{11} \cdot h^2 + o(h^2) \)

On dispose également des développements d'ordre deux :

\( f_{22} - f_{21} = \partial_y f_{21} \cdot h + \partial_{yy} f_{21} \cdot \frac{h^2}{2} + o(h^2) \\ f_{12} - f_{11} = \partial_y f_{11} \cdot h + \partial_{yy} f_{11} \cdot \frac{h^2}{2} + o(h^2) \\ f_{22} - f_{12} = \partial_x f_{12} \cdot h + \partial_{xx} f_{12} \cdot \frac{h^2}{2} + o(h^2) \\ f_{12} - f_{11} = \partial_x f_{11} \cdot h + \partial_{xx} f_{11} \cdot \frac{h^2}{2} + o(h^2) \)

On en conclut que :

\( \Delta_{xy} \cdot h = D + \Delta_{yy} + o(h^2) \\ \Delta_{yx} \cdot h = D + \Delta_{xx} + o(h^2) \)

où l'on a posé :

\( D = f_{22} - f_{21} - f_{12} + f_{11} \\ \Delta_{yy} = (\partial_{yy} f_{11} - \partial_{yy} f_{21}) \cdot h^2 \\ \Delta_{xx} = (\partial_{xx} f_{11} - \partial_{xx} f_{12}) \cdot h^2 \)

Par continuité de \(\partial_{xx} f\) et de \(\partial_{yy} f\), on a :

\( \lim_{h \to 0} \frac{\Delta_{yy}}{h^2} = \lim_{h \to 0} (\partial_{yy} f_{11} - \partial_{yy} f_{21}) = 0 \\ \lim_{h \to 0} \frac{\Delta_{xx}}{h^2} = \lim_{h \to 0} (\partial_{xx} f_{11} - \partial_{xx} f_{12}) = 0 \)

On en conclut que \(\Delta_{xx}, \Delta_{yy} \sim o(h^2)\). Comme la somme de deux erreurs en \(o(h^2)\) donne également une erreur en \(o(h^2)\), on a :

\( \Delta_{xy} \cdot h = D + o(h^2) + o(h^2) = D + o(h^2) \\ \Delta_{yx} \cdot h = D + o(h^2) + o(h^2) = D + o(h^2) \)

et :

\( \partial_{xy} f_{11} \cdot h^2 = D + o(h^2) \\ \partial_{yx} f_{11} \cdot h^2 = D + o(h^2) \)

On en conclut que la différence \(\partial_{xy} f_{11} - \partial_{yx} f_{11} \sim o(1)\) tend vers \(0\) avec \(h\), ce qui n'est possible que si :

\[\partial_{xy} f_{11} = \partial_{yx} f_{11}\]

Nous avons donc prouvé que :

\[\partial_{xy} f(x,y) = \partial_{yx} f(x,y)\]

5.0.1 Généralisation

On peut bien entendu généraliser à une fonction \(f \in \continue^2(\setR^n,\setR)\). On a alors :

\[\partial_{ij} f = \partial_{ji} f\]

où \(i,j \in \{1,2,...,n\}\). Si \(H = \partial^2 f\), on écrit aussi ce résultat sous la forme :

\[H^\dual = H\]

5.1 Dérivation par rapport à un paramètre

Nous allons a présent examiner ce qu'il se passe lorsque les bornes de l'intervalle d'intégration (\(a,b : \setR \mapsto \setR\)) et la fonction à intégrer (\(f : \setR \times \setR \mapsto \setR\)) varient par rapport à un paramètre. Soit la fonction \(I : \setR \mapsto \setR\) définie par :

\[I(t) = \int_{a(t)}^{b(t)} f(s,t) \ ds\]

Pour une valeur donnée de \(t\), posons :

\[\phi_t(s) = f(s,t)\]

L'intégrale de \(\phi_t\) peut s'évaluer si nous connaissons une primitive \(\psi_t\) telle que :

\[\OD{\psi_t}{s}(s) = \phi_t(s)\]

Mais cette expression consiste à évaluer la variation de \(\psi\) lorsque \(s\) varie, \(t\) étant fixé. Cela revient donc à une dérivée partielle par rapport à \(s\). Donc, si nous connaissons une fonction \(F\) telle que :

\[\deriveepartielle{F}{s}(s,t) = f(s,t)\]

nous pouvons réécrire l'intégrale :

\[\int_{a(t)}^{b(t)} f(s,t) \ ds = F(b(t),t) - F(a(t),t)\]

Il ne nous reste plus alors qu'à évaluer la dérivée de \(I\) par rapport à \(t\) en utilisant la règle des compositions de fonctions :

\[\OD{I}{t}(t) = \deriveepartielle{F}{s}(b(t),t) \cdot \OD{b}{t}(t) + \deriveepartielle{F}{t}(b(t),t) - \deriveepartielle{F}{s}(a(t),t) \cdot \OD{b}{t}(t) - \deriveepartielle{F}{t}(a(t),t)\]

Si \(F \in \continue^2(\setR^2,\setR)\), la symétrie des dérivées secondes nous permet d'écrire :

\[\deriveepartielle{F}{t} = \deriveepartielle{}{t} \left[ \deriveepartielle{f}{s} \right] = \deriveepartielle{}{s} \left[ \deriveepartielle{f}{t} \right]\]

La dérivée partielle de \(F\) par rapport à \(t\) est donc une primitive de la dérivée partielle de \(f\) par rapport à \(t\). On en déduit que :

\[\int_\alpha^\beta \deriveepartielle{f}{t}(s,t) \ ds = \deriveepartielle{F}{t}(\beta,t) - \deriveepartielle{F}{t}(\alpha,t)\]

pour tout \(\alpha,\beta \in \setR\). Pour un \(t\) fixé quelconque, on peut poser \(\alpha = a(t)\) et \(\beta = b(t)\). Il vient alors :

\[\OD{I}{t}(t) = \deriveepartielle{F}{s}(b(t),t) \cdot \OD{b}{t}(t) - \deriveepartielle{F}{s}(a(t),t) \cdot \OD{b}{t}(t) + \int_{a(t)}^{b(t)} \deriveepartielle{f}{t}(s,t) \ ds\]

5.2 Différences finies

Soit une fonction \(f : \setR^2 \mapsto \setR^m\) deux fois continument dérivable. Nous allons voir comment évaluer des approximations des dérivées premières et secondes de \(f\). On note \(\partial_x = \partial_1\) et \(\partial_y = \partial_2\). On choisit les réels \(x,y\) et la variation non nulle \(h \in \setR\).

5.2.1 Dérivées premières

Soustrayons les développements d'ordre deux :

\( f(x + h,y) \approx f(x,y) + h \cdot \partial_x f(x,y) + \frac{h^2}{2} \cdot \partial^2 f(x,y) \\ f(x - h,y) \approx f(x,y) - h \cdot \partial_x f(x,y) + \frac{h^2}{2} \cdot \partial^2 f(x,y) \)

On obtient :

\[f(x + h,y) - f(x - h,y) \approx 2 h \cdot \partial_x f(x,y)\]

et donc :

\[\partial_x f(x,y) \approx \frac{f(x + h, y) - f(x - h, y)}{2 h}\]

L'erreur est en \(o(h) = o(h^2)/h\). En procédant de même avec \(y\), on obtient :

\[\partial_y f(x,y) \approx \frac{f(x, y + h) - f(x, y - h)}{2 h}\]

5.2.2 Dérivées secondes

On additionne cette fois les mêmes développements et on obtient :

\[f(x + h,y) + f(x - h,y) \approx 2 f(x,y) + \frac{h^2}{2} \cdot \partial^2 f(x,y) + o(h^2)\]

et donc :

\[\partial_{xx}^2 f(x,y) \approx \frac{f(x + h, y) - 2 f(x,y) + f(x - h, y)}{h^2}\]

L'erreur est en \(o(1) = o(h^2)/h^2\), et donc aussi petite que l'on veut pourvu que \(h \ne 0\) soit suffisamment petit. En procédant de même avec \(y\), on obtient :

\[\partial_{yy}^2 f(x,y) \approx \frac{f(x, y + h) - 2 f(x,y) + f(x, y - h)}{h^2}\]

On vérifie également en évaluant les développements en \((x \pm h, y \pm h)\) que :

\[\partial_{xy}^2 f(x,y) \approx \frac{f(x + h, y + h) - f(x + h, y - h) - f(x - h, y + h) + f(x - h, y - h)}{h^2}\]

La dernière dérivée seconde s'évalue approximativement par \(\partial_{yx}^2 f(x,y) = \partial_{xy}^2 f(x,y)\).

5.2.3 Généralisation

Nous allons voir comment généraliser ces résultats aux dérivées \(\partial_{ij}\) d'une fonction \(F : \setR^n \mapsto \setR^m\). Soit \(u \in \setR^n\) et les vecteurs de la base canonique \(\canonique_i \in \setR^n\). On définit les fonctions \(f_{ij} : \setR^n \mapsto \setR^m\) par :

\[f_{ij}(x,y) = F(u + x \cdot \canonique_i + y \cdot \canonique_j)\]

On a clairement :

\begin{align} \partial_i F(u) &= \partial_x f_{ij}(0,0) \\ \partial_{ii} F(u) &= \partial_{xx} f_{ij}(0,0) \\ \partial_{ij} F(u) &= \partial_{xy} f_{ij}(0,0) \\ \partial_{jj} F(u) &= \partial_{yy} f_{ij}(0,0) \end{align}

Il suffit donc d'utiliser les méthodes d'approximations des dérivées de \(f_{ij}\) pour approximer les dérivées de \(F\).

6 Distributions

6.1 Dépendances

  • Chapitre \ref{chap:relation} : Les fonctions
  • Chapitre \ref{chap:lineaire} : Les fonctions linéaires

6.2 Formes et fonctions

On peut toujours associer une forme linéaire \(\varphi\) à une fonction intégrable quelconque \(\hat{\varphi}\) en définissant :

\[\forme{\varphi}{u} = \int_A u(x) \cdot \hat{\varphi}(x) \ dx\]

Inversément, on ne pourra pas toujours trouver une fonction \(\hat{\varphi}\) correspondant à une forme linéaire \(\varphi\) donnée. On définira malgré tout l'intégrale généralisée en notant :

\[\int_A u(x) \cdot \varphi(x) \ dx = \forme{\varphi}{u}\]

où il ne faut pas perdre de vue que \(\varphi\) n'est pas nécessairement une fonction.

6.3 Formes et mesures

Soit \(u : A \mapsto \setR\). A toute mesure \(\mu\), on peut associer une forme linéaire \(\hat{\mu}\) par :

\[\forme{ \hat{\mu} }{u} = \int_A u(x) \ d\mu(x)\]

Inversément, à toute forme linéaire \(\hat{\mu}\), on peut associer une fonction \(\mu : \sousens(\setR) \mapsto \setR\) par :

\[\mu(A) = \forme{ \hat{\mu} }{\indicatrice_A}\]

Toutefois, rien ne garantit que la fonction \(\mu\) ainsi définie est une mesure. En particulier, rien ne garantit qu'elle soit positive.

6.4 Fonction et forme bilinéaire

A toute fonction \(\hat{K} : A \times B \mapsto F\), on peut associer une forme bilinéaire \(K\) par :

\[\biforme{u}{K}{v} = \int_{A \times B} u(x) \cdot K(x,y) \cdot v(y) \ d\mu(x) \ d\nu(y)\]

pour toutes fonctions \(u,v : A \mapsto B\). Inversément, à toute forme bilinéaire \(K\), on peut associer une intégrale généralisée en notant :

\[\int_{A \times B} u(x) \cdot K(x,y) \cdot v(y) \ d\mu(x) \ d\nu(y) = \biforme{u}{K}{v}\]

6.5 Définition

Nous nous intéressons ici au cas où l'espace vectoriel \(E\) est un ensemble de fonctions intégrables : \(E = \mathcal{F} \subseteq \lebesgue^2(\setR,\setR)\). Les limites à l'infini doivent alors forcément s'annuler

\[\lim_{x \to +\infty} u(x) = \lim_{x \to -\infty} u(x) = 0\]

pour tout \(u \in \mathcal{F}\).

6.6 Delta de Dirac

La distribution \(\dirac \in F^\dual\) de Dirac est définie par :

\[\forme{\dirac}{u} = u(0)\]

pour tout \(u \in F\). Elle correspond bien sûr à l'intégrale :

\[\int_\setR \dirac(x) \cdot u(x) \ dx = u(0)\]

On remarque que :

\[\int_{A^2} \dirac(\xi - x) \cdot K(\xi,\eta) \cdot \dirac(\eta - y) \ d\mu(\xi) \ d\nu(\eta) = K(x,y)\]

6.7 Dérivée

En intégrant par parties, on a :

\( ∫\setR \OD{u}{x}(x) ⋅ v(x) \ dx = lima → +∞ \left[ u(a) \cdot v(a) - u(-a) \cdot v(-a) \right]

  • \setR u(x) ⋅ \OD{v}{x}(x) \ dx

\)

mais comme les limites à l'infini s'annulent, cette expression se réduit à :

\[\int_{\setR} \OD{u}{x}(x) \cdot v(x) \ dx = - \int_{\setR} u(x) \cdot \OD{v}{x}(x) \ dx\]

Par extension, on définit la dérivée \(\OD{u}{x}\) d'une distribution \(u\) par :

\[\forme{\OD{u}{x}}{v} = - \forme{u}{\OD{v}{x}}\]

pour tout \(v\in F\).

6.7.1 Échelon

Comme application, considérons la fonction échelon \(e_+\) :

\( e_+(x) = \indicatrice[0,+∞) =

\begin{cases} 1 & \mbox{si } t \ge 0 \\ 0 & \mbox{si } t < 0 \end{cases}

\)

Pour tout \(v\in F\), on a :

\begin{align} \forme{\OD{e_+}{x}}{v} &= - \forme{e_+}{\OD{v}{x}} \\ &= - \int_0^{+\infty} \OD{v}{x}(x) dx \end{align}

Appliquons à présent le théorème fondamental. Il vient :

\[\forme{\OD{e_+}{x}}{v} = - \left[\lim_{x \to +\infty} v(x) - v(0)\right] = v(0)\]

On en déduit que :

\[\OD{e_+}{x} = \dirac\]

au sens des distributions.

6.8 Dilatation

Soit \(d_a\) l'opérateur de dilatation :

\[d_a(u)(x) = u(a \cdot x)\]

où \(a > 0\) est un réel strictement positif.

Le changement de variable \(\xi = a \cdot x\) nous donne \(d\xi = a \ dx\) et donc :

\[\int_{\setR} \hat{u}(a \ x) \ v(x) \ dx = \unsur{a} \int_{\setR} \hat{u}(\xi) \ v\left( \xi/a \right) \ d\xi\]

On définit donc l'extension de cet opérateur aux distributions par :

\[\forme{d_a(u)}{v} = \unsur{a} \forme{u}{d_{1/a}(v)}\]

6.9 Réflexion

L'opérateur de réflexion \(r\) se définit par :

\[r(u)(x) = u(-x)\]

Le changement de variable \(\xi = -x\) nous donne \(d\xi = -dx\) et donc :

\begin{align} \int_{\setR} \hat{u}(-x) \ v(x) \ dx &= \lim_{a \to +\infty}\int_{-a}^a \hat{u}(-x) \ v(x) \ dx \\ &= \lim_{a \to +\infty} - \int_a^{-a} \hat{u}(\xi) \ v(-\xi) \ d\xi \\ &= \lim_{a \to +\infty} \int^{-a}_a \hat{u}(\xi) \ v(-\xi) \ d\xi \end{align}

On définit donc l'extension de cet opérateur aux distributions par :

\[\forme{r(u)}{v} = \forme{u}{r(v)}\]

6.10 Translation

L'opérateur de translation \(t_a\) est défini par :

\[t_a(u)(x) = u(x - a)\]

Le changement de variable \(\xi = x - a\) nous donne \(d\xi = dx\) et donc :

\[\int_{\setR} \hat{u}(x-a) v(x) dx = \int_{\setR} \hat{u}(\xi) v(\xi+a) d\xi\]

On définit donc les extensions de cet opérateur aux distributions par :

\[\forme{t_a(u)}{v} = \forme{u}{t_{-a}(v)}\]

6.11 Convolution

Les intégrales unidimensionnelles permettent de définir l'opérateur de convolution \(\convolution\). Soit deux fonctions \(u, v : \setR \mapsto \setR\), leur convolution est une fonction \(u \convolution v : \setR \mapsto \setR\) définie par :

\[(u \convolution v)(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} u(t-s) \ v(s) \ ds\]

pour tout \(t \in \setR\).

6.11.1 Dirac

En utilisant les résultats ci-dessus, on arrive facilement à :

\[\int_{\setR} u(x) \ \dirac(x-a) \ dx = u(a)\]

Comme :

\[\int_{\setR} u(x) \ \dirac(-x) \ dx = \int_{\setR} u(-x) \ \dirac(x) \ dx = u(0)\]

on en déduit que \(\dirac(-x) = \dirac(x)\) et :

\[\int_{\setR} \dirac(x-y) \ u(y) \ dy = u(x)\]

c'est-à-dire :

\[\dirac \convolution u = u\]

La distribution de Dirac est neutre pour le produit de convolution. On peut montrer que ce neutre est unique.

6.12 Corrélation

Les intégrales unidimensionnelles permettent de définir l'opérateur de corrélation \(\correlation\). Soit deux fonctions \(u, v : \setR \mapsto \setR\), leur corrélation est une fonction \(u \correlation v : \setR \mapsto \setR\) définie par :

\[(u \correlation v)(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} u(s+t) \ v(s) \ ds\]

pour tout \(t \in \setR\).

7 Formes différentielles

7.1 Dépendances

  • Chapitre \ref{chap:differ} : Les différentielles
  • Chapitre \ref{chap:integral} : Les intégrales

7.2 Intégrale d'un tenseur

Soit \((\canonique_1,\canonique_2,...,\canonique_n)\) la bace canonique de \(\setR^n\) et la fonction tensorielle \(T : A \mapsto \tenseur_m(\setR^n)\) qui, à chaque \(x \in A\) associe un tenseur \(T(x)\) de la forme :

\[T(x) = \sum_{i,j,...,p} t_{ij...p}(x) \cdot \canonique_i \otimes \canonique_j \otimes ... \otimes \canonique_p\]

L'intégrale de cette fonction est définie par :

\[\int_A T(x) \ d\mu(x) = \sum_{i,j,...,p} I_{ij...p} \cdot \canonique_i \otimes \canonique_j \otimes ... \otimes \canonique_p\]

où chaque coordonnée \(I_{ij...p}\) est l'intégrale de la coordonnée correspondante de \(T\) :

\[I_{ij...p} = \int_A t_{ij...p}(x) \ d\mu(x)\]

7.3 Produit extérieur

Soit \(d\mu = dx = dx_1 \ ... \ dx_n\) la mesure de Lebesgue sur \(\setR^n\). On sait que \(dx\) représente la mesure de l'élément de volume \([x_1,x_1 + dx_1] \times ... \times [x_n,x_n + dx_N]\). Etant donné que nous avons construit le produit extérieur pour représenter (au signe près) des mesures de surfaces et de volumes, il est tout à fait naturel de le faire intervenir dans une mesure de Lebesgue. Soit la base canonique \((e_1,e_2,...,e_n)\) de \(\setR^n\) et les vecteurs :

\[\delta_i = dx_i \cdot e_i\]

où les \(dx_i\) sont bien évidemment des scalaires. Si nous évaluons le produit extérieur des ces vecteurs, nous obtenons :

\[\delta_1 \wedge \delta_2 \wedge ... \wedge \delta_n = \sum_{i,j,...,k} \permutation_{ij...k} \cdot dx_1 \cdot \delta_{1i} \cdot dx_2 \cdot \delta_{2j} \hdots \cdot dx_n \cdot \delta_{nk}\]

Le seul terme ne s'annulant pas étant \(\permutation_{1,2,...,n} = 1\), on a finalement :

\[\delta_1 \wedge \delta_2 \wedge ... \wedge \delta_n = dx_1 \cdot dx_2 \cdot ... \cdot dx_n = dx\]

Cette constatation nous amène à définir une mesure plus générale. Considérons à présent des vecteurs infinitésimaux \(\upsilon_1,\upsilon_2,...,\upsilon_n \in \setR^n\), c'est à dire des vecteurs dont la norme tendra vers zéro dans l'intégrale. Afin de garantir la positivité de la mesure, nous définissons :

\[du = \abs{\upsilon_1 \wedge \upsilon_2 \wedge ... \wedge \upsilon_n}\]

7.4 Tenseur différentiel

Il est même possible de définir des tenseurs différentiels \(dU\) en choisissant \(m \le n\) et en posant :

\[dU = \upsilon_1 \wedge \upsilon_2 \wedge ... \wedge \upsilon_m\]

Il est clair que \(dU \in \tenseur_{n - m}(\setR^n)\). On nomme ce type de tenseur une forme différentielle.

7.5 Paramétrisation

Soit \(m,n \in \setN\) avec \(m \le n\) et la fonction \(\phi : U \subseteq \setR^m \mapsto \setR^n\), dérivable et inversible. Le but est de paramétrer \(x\) sur \(\phi(U)\) par la relation \(x = \phi(u)\) pour tout \(u \in U\). Nous utilisons la base canonique \((e_1,e_2,...,e_m)\) de \(\setR^m\) et nous posons :

\[\delta_i = \phi(u + du_i \ e_i) - \phi(u) = \partial_i \phi(u) \ du_i\]

Sur \(\phi(U)\), on utilise le tenseur différentiel :

\[dX = \delta_1 \wedge \delta_2 \wedge ... \wedge \delta_m\]

La linéarité du produit extérieur nous permet d'ecrire :

\begin{align} dX &= \partial_1 \phi(u) \wedge \partial_2 \phi(u) \wedge ... \wedge \partial_m \phi(u) \ du_1 \ du_2 \ ... \ du_m \\ &= \partial_1 \phi(u) \wedge \partial_2 \phi(u) \wedge ... \wedge \partial_m \phi(u) \ du \end{align}

On définit le tenseur \(W \in \tenseur_{n - m}(\setR^n)\) associé à \(dX\) par :

\[W(u) = \partial_1 \phi(u) \wedge \partial_2 \phi(u) \wedge ... \wedge \partial_m \phi(u)\]

Deux cas peuvent alors se présenter.

7.5.1 Fonction tensorielle

On peut évaluer l'intégrale d'une fonction tensorielle \(f : \setR^n \mapsto \tenseur_p(\setR^n)\) en utilisant la contraction maximale avec \(dX\). Comme on a l'équivalence \(x \in \phi(U) \leftrightarrow u \in U\), on a alors :

\[\int_{\phi(U)} f(x) : dX = \int_U (f\circ\phi)(u) : W(u) \ du\]

Dans le cas particulier où \(p = n - m\), on obtiendra un scalaire.

7.5.2 Fonction scalaire

On peut évaluer l'intégrale d'une fonction scalaire \(f : \setR^n \mapsto \setR\) en utilisant la norme de \(dX\). On a alors \(dx = \norme{dX}\) et :

\[\int_{\phi(U)} f(x) dx = \int_U (f\circ\phi)(u) \cdot \norme{W(u)} \ du\]

7.5.3 Pavé

Un cas particulier important est celui où \(U = [\alpha_1,\beta_1] \times .. \times [\alpha_m,\beta_m]\) pour certains \(\alpha_i,\beta_i \in \setR\). On a alors :

\[\int_{\phi(U)} \sim \int_{\alpha_1}^{\beta_1} du_1 \int_{\alpha_2}^{\beta_2} du_2 \ ... \int_{\alpha_m}^{\beta_m} du_m\]

7.6 Changement de variable

Nous considérons à présent le cas où \(m = n\). Nous utilisons la base canonique \((e_1,e_2,...,e_n)\) de \(\setR^n\) et nous posons de nouveau :

\[\delta_i = \phi(u + du_i \ e_i) - \phi(u) = \partial_i \phi(u) \ du_i\]

On utilise la mesure :

\[dx = \abs{\delta_1 \wedge \delta_2 \wedge ... \wedge \delta_n}\]

On a alors :

\begin{align} dx &= \abs{\partial_1 \phi(u) \wedge \partial_2 \phi(u) \wedge ... \wedge \partial_n \phi(u) \ du} \\ &= \abs{\sum_{i,j,...,k} \permutation_{ij...k} \cdot \partial_1 \phi_i(u) \cdot \partial_2 \phi_j(u) \cdot \ \hdots \ \cdot \partial_n \phi_k(u)} \ du \\ &= \abs{\det \partial \phi(u)} \ du \end{align}

On voit donc apparaître le déterminant de la Jacobienne de \(\phi\). Comme on a l'équivalence \(x \in A \leftrightarrow u \in \phi^{-1}(A)\), le changement de variable peut s'écrire :

\[\int_A f(x) \ dx = \int_{\phi^{-1}(A)} (f\circ\phi)(u) \cdot \abs{ \det \partial \phi(u) } \ du\]

7.6.1 Pavé

Un cas particulier important est celui où \(\phi^{-1}(A) = [\alpha_1,\beta_1] \times .. \times [\alpha_n,\beta_n]\) pour certains \(\alpha_i,\beta_i \in \setR\). On a alors :

\[\int_A \sim \int_{\alpha_1}^{\beta_1} du_1 \int_{\alpha_2}^{\beta_2} du_2 \ ... \int_{\alpha_n}^{\beta_n} du_n\]

7.7 Intégrales de ligne vectorielles

Soit une fonction continue \(\gamma : [a,b] \to \setR^n\) définissant la courbe \(\Lambda = \gamma([a,b])\). L'intégrale de ligne d'une fonction \(f : \setR^n \mapsto \setR^n\) sur cette courbe est l'intégrale de la contraction d'ordre \(1\) de \(f\) avec \(d\gamma\), qui revient ici au produit scalaire du vecteur \(f(x) \in \Lambda\) par le vecteur \(\partial \gamma(t)\). On a donc :

\[\int_\Lambda f\cdot d\Lambda = \int_a^b \scalaire{(f \circ \gamma)(t)}{\partial \gamma(t) } dt\]

7.8 Intégrales de ligne scalaires

Dans le cas d'une fonction \(g : \setR^n \mapsto \setR\), on utilise comme mesure la longueur \(\norme{\partial \gamma(t)}\) de chaque petit segment \(d\Lambda\). On a alors :

\[\int_\Lambda g \ d\Lambda = \int_a^b (g \circ \gamma)(t) \cdot \norme{\partial \gamma(t)} \ dt\]

7.9 Contour fermé

Si \(\gamma(a) = \gamma(b)\), on dit que le contour fermé, et on note en général :

\[\oint_\Lambda = \int_\Lambda\]

7.10 Intégrales de surface vectorielles

Soit \(f : \setR^n \mapsto \setR^n\), \(\sigma : A \subseteq \setR^{n - 1} \mapsto \setR^n\) et la surface \(\Theta = \sigma(A)\). On définit les vecteurs :

\[\delta_i = \deriveepartielle{\sigma}{u_i} du_i\]

pour \(i = 1, ..., n - 1\). L'intégrale de surface est simplement la contraction d'ordre \(1\) :

\[\int_\Theta f \cdot d\Theta = \int_A \scalaire{(f \circ \sigma)(u)}{ \delta_1 \wedge ... \wedge \delta_{n-1} }\]

qui nous donne un scalaire. Dans le cas particulier où \(n = 3\) et où \(A = [U_1,U_2] \times [V_1,V_2]\), on a :

\[\int_\Theta f \cdot d\Theta = \int_{U_1}^{U_2} du \ \int_{V_1}^{V_2} (f \circ \sigma)(u,v) \cdot \left( \deriveepartielle{\sigma}{u}(u,v) \wedge \deriveepartielle{\sigma}{v}(u,v) \right) \ dv\]

7.11 Intégrales de surface scalaires

Soit \(f : \setR^n \mapsto \setR^n\), \(\sigma : A \subseteq \setR^{n - 1} \mapsto \setR^n\) et la surface \(\Theta = \sigma(A)\). On définit les vecteurs :

\[\delta_i = \deriveepartielle{\sigma}{u_i} du_i\]

pour \(i = 1, ..., n - 1\). Utilisant comme mesure la norme du produit extérieur des \(\delta_i\), on obtient :

\[\int_\Theta f \ d\Theta = \int_A (f \circ \sigma)(u) \cdot \norme{ \delta_1 \wedge ... \wedge \delta_{n-1} }\]

Dans le cas particulier où \(n = 3\) et où \(A = [U_1,U_2] \times [V_1,V_2]\), on a :

\[\int_\Theta f \ d\Theta = \int_{U_1}^{U_2} du \ \int_{V_1}^{V_2} (f \circ \sigma)(u,v) \cdot \norme{ \deriveepartielle{\sigma}{u}(u,v) \wedge \deriveepartielle{\sigma}{v}(u,v) } \ dv\]

7.12 Intégrale de flux

Soit \(A \subseteq \setR^n\) et la fonction \(a : \setR^n \to \setR\) telle que :

\[A = \{ x \in \setR^n : a(x) \le 0 \}\]

On s'arrange de plus pour avoir \(a\) constante sur la frontière :

\[\partial A = \{ x \in \setR^n : a(x) = 0 \}\]

On introduit le vecteur normal :

\[n = \unsur{\norme{\deriveepartielle{a}{x}}} \cdot \deriveepartielle{a}{x}\]

L'intégrale du flux sortant de la fonction \(f : \setR^n \to \setR^n\) est alors donnée par :

\[\int_{\partial A} \scalaire{f}{n} \ d\mu\]

7.13 Différentielle

Soit une fonction \(f : \setR^n \mapsto \setR\), les vecteurs infinitésimaux \(\delta_1,...,\delta_{n - 1} \in \setR^n\) et la forme différentielle :

\[\omega = f \cdot \delta_1 \wedge \delta_2 \wedge ... \wedge \delta_{n-1}\]

Si \(f\) est différentiable, on définit la différentielle de \(\omega\) par :

\[d\omega = \sum_i \deriveepartielle{f}{x_i} \cdot \kappa_i \wedge \delta_1 \wedge \delta_2 \wedge ... \wedge \delta_{n-1}\]

où :

\[\kappa_i = dx_i \cdot e_i\]

On note aussi symboliquement :

\[d\omega = df \wedge dx_1 \wedge ... \wedge dx_{n-1}\]

On peut montrer sous certaines conditions que l'intégrale sur la frontière de \(A\) est alors donnée par :

\[\int_{\partial A} \omega = \int_A d\omega\]

7.14 Théorème de Stokes

Soit \(f,g : \setR^2 \mapsto \setR\) et les vecteurs infinitésimaux :

\( \delta x = e_1 \ dx \\ \delta y = e_2 \ dy \)

Considérons la forme différentielle :

\[\omega = f \delta x + g \delta y\]

Si les fonctions sont différentiables, on a alors :

\[d\omega = \deriveepartielle{f}{x} \delta x \wedge \delta x + \deriveepartielle{f}{y} \delta y \wedge \delta x + \deriveepartielle{g}{x} \delta x \wedge \delta y + \deriveepartielle{g}{y} \delta y \wedge \delta y\]

Mais comme :

\( \delta x \wedge \delta x = \delta y \wedge \delta y = 0 \\ \delta y \wedge \delta x = - \delta x \wedge \delta y \)

il vient :

\[d\omega = \left( \deriveepartielle{g}{x} - \deriveepartielle{f}{y} \right) \delta x \wedge \delta y\]

En intégrant, on obtient alors :

\[\int_{\partial A} (f \ \delta x + g \ \delta y) = \int_A \left( \deriveepartielle{g}{x} - \deriveepartielle{f}{y} \right) dx \wedge dy\]

Mais comme nous somme dans la base canonique, on a \(\delta x \wedge \delta y = dx \ dy\) et :

\[\int_{\partial A} (f \ \delta x + g \ \delta y) = \int_A \left( \deriveepartielle{g}{x} - \deriveepartielle{f}{y} \right) \ dx \ dy\]

8 Géométrie différentielle

8.1 Dépendances

  • Chapitre \ref{chap:vecteur} : Les vecteurs
  • Chapitre \ref{chap:ps} : Les produits scalaires
  • Chapitre \ref{chap:tenseur} : Les tenseurs

8.2 Indices covariants et contravariants

Les indices inférieurs (le \(i\) des vecteurs \(a_i^j\) par exemple) des tenseurs sont appelés indices covariants.

Les indices supérieurs (le \(j\) des vecteurs \(a_i^j\) par exemple) des tenseurs sont appelés indices contravariants.

Ne pas confondre ces indices supérieurs contravariants , très utilisés en calcul tensoriel, avec les puissances ! Dans le contexte des tenseurs, une éventuelle puissance d'un scalaire \(\theta_i^j\) serait notée au besoin par :

\[\big( \theta_j^i \big)^m = \theta_j^i \cdot ... \cdot \theta_j^i\]

8.3 Coordonnées curvilignes

Soit l'espace vectoriel \(E = \setR^n\) sur \(\setR\). Les coordonnées curvilignes sont basées sur la notion de position \(r\), exprimée comme une fonction de certains paramètres \(x \in \setR^n\) que nous appelons « coordonnées » de \(r\) :

\[r = \rho(x)\]

où \(\rho : \setR^n \to \setR^n\). Nous envisageons également le cas du changement de variable. La position dépend alors d'un autre jeu de coordonnées \(y \in \setR^n\) :

\[r = \sigma(y)\]

où \(\sigma : \setR^n \to \setR^n\). Nous définissons les vecteurs fondamentaux \(e_i\) et \(e^i\) au moyen de ces fonctions :

\( e_i(x) = \deriveepartielle{\rho}{x^i}(x) \\ e^i(y) = \deriveepartielle{\sigma}{y_i}(y) \)

de telle sorte que :

\[dr = \sum_i e_i \ dx^i = \sum_i e^i \ dy_i\]

Nous supposons que \((e_1, ..., e_n)\) et \((e^1, ..., e^n)\) sont des bases de \(E\).

8.3.1 Courbe

Dans le cas où \(x\) et \(y\) ne dépendent que d'un paramètre \(t \in \setR\), on a :

\[\OD{r}{t} = \sum_i e_i \ \OD{x^i}{t} = \sum_i e^i \ \OD{y_i}{t}\]

On dit alors que la position \(r\) décrit une courbe.

8.4 Changement de variable

Si les fonctions \(\rho\) et \(\sigma\) sont inversibles, on a :

\( x = \rho^{-1}(r) = (\rho^{-1} \circ \sigma)(y) = \phi(y) \\ y = \sigma^{-1}(r) = (\sigma^{-1} \circ \rho)(x) = \psi(x) \)

où nous avons implicitement défini \(\phi = \rho^{-1} \circ \sigma\) et \(\psi = \sigma^{-1} \circ \rho\). Nous notons \(\deriveepartielle{x^i}{y_j}\) et \(\deriveepartielle{y_i}{x^j}\) les coordonnées des dérivées de \(\phi\) et \(\psi\) suivant les bases formées par les \(e_i\) et les \(e^i\) :

\( \deriveepartielle{\phi}{y_j} = \sum_i \deriveepartielle{x^i}{y_j} \ e_i \\ \deriveepartielle{\psi}{x^j} = \sum_i \deriveepartielle{y_i}{x^j} \ e^i \)

La composition des dérivées nous donne les relations :

\( e_i = \sum_j \deriveepartielle{r}{y_j} \ \deriveepartielle{y_j}{x^i} = \sum_j \deriveepartielle{y_j}{x^i} \ e^j \\ e^i = \sum_j \deriveepartielle{r}{x^j} \ \deriveepartielle{x^j}{y_i} = \sum_j \deriveepartielle{x^j}{y_i} \ e_j \)

qui nous permettent de relier les \(e_i\) aux \(e^j\) et inversément.

8.5 Produit scalaire

Les produits intérieurs entre vecteurs de base se notent habituellement :

\( g_{ij} = \scalaire{e_i}{e_j} \\ g_i^j = \scalaire{e_i}{e^j} \\ g^{ij} = \scalaire{e^i}{e^j} \)

Il est clair d'après les propriétés de symétrie de ce produit que :

\( g_{ij} = g_{ji} \\ g^{ij} = g^{ji} \\ g_i^j = g_j^i \)

Le produit scalaire de deux vecteurs \(a,b\in E\) définis par :

\( a = \sum_i a^i \ e_i = \sum_i a_i \ e^i \\ b = \sum_i b^i \ e_i = \sum_i b_i \ e^i \)

peut s'écrire indifféremment comme :

\( \scalaire{a}{b} = \sum_{i,j} g_{ij} \ a^i \ b^j \\ \scalaire{a}{b} = \sum_{i,j} g^{ij} \ a_i \ b_j \\ \scalaire{a}{b} = \sum_{i,j} g_j^i \ a_i \ b^j \\ \scalaire{a}{b} = \sum_{i,j} g_i^j \ a^i \ b_j \)

Et en particulier, la longeur \(ds\) d'un changement de position \(dr\) vérifie :

\[(ds)^2 = \scalaire{dr}{dr} = \sum_{i,j} g_{ij} \ dx^i \ dx^j = \sum_{i,j} g^{ij} \ dy_i \ dy_j\]

De plus, les relations entre les vecteurs \(e_i\) et les vecteurs \(e^i\) permettent de déduire, en utilisant la linéarité du produit scalaire :

\( g_{ij} = \sum_k \deriveepartielle{y_k}{x^i} \ g_j^k = \sum_{k,l} \deriveepartielle{y_k}{x^i} \ \deriveepartielle{y_l}{x^j} \ g^{kl} \\ g^{ij} = \sum_k \deriveepartielle{x_k}{y^i} \ g_k^j = \sum_{k,l} \deriveepartielle{x^k}{y_i} \ \deriveepartielle{x^l}{y_j} \ g_{kl} \)

8.6 Dérivées primales d'un vecteur

Nous allons à présent voir comment évolue un vecteur \(a\in E\), que l'on note sous la forme :

\[a = \sum_i a^i \ e_i\]

où les coordonnées \(a^i\in\setR\) tout comme les vecteurs de base \(e_i\) dépendent des coordonnées \(x^i\). La règle de dérivation d'un produit nous donne :

\[da = \sum_i da^i \ e_i + \sum_k a^k \ de_k\]

La différentielle \(da^i\) s'obtient directement :

\[da^i = \sum_j \deriveepartielle{a^i}{x^j} \ dx^j\]

On peut suivre la même règle avec \(de_i\) :

\[de_k = \sum_j \deriveepartielle{e_k}{x^j} \ dx^j\]

Les symboles de Christoffel \(\christoffel{i}{kj}\) sont définis comme les coordonnées de \(\deriveepartielle{e_k}{x^j}\) suivant la base \((e_1, ..., e_n)\) :

\[\deriveepartielle{e_k}{x^j} = \sum_i \christoffel{i}{kj} \ e_i\]

Notons que comme :

\[\deriveepartielle{e_k}{x^j} = \dfdxdy{r}{x^j}{x^k} = \dfdxdy{r}{x^k}{x^j} = \deriveepartielle{e_j}{x^k}\]

on a la symétrie :

\[\christoffel{i}{kj} = \christoffel{i}{jk}\]

On peut évaluer ces symboles si on connait par exemple les valeurs des :

\begin{align} \scalaire{e^i}{ \deriveepartielle{e_k}{x^j} } &= \sum_m \christoffel{m}{kj} \ \scalaire{e^i}{e_m} \\ &= \sum_m \christoffel{m}{kj} \ g^i_m \end{align}

On a alors, pour chaque choix de \(k,j\) un système linéaire à résoudre. Il suffit d'inverser la matrice \(G = (g^i_m)_{i,m}\) pour obtenir les valeurs des symboles.

La dérivation d'un vecteur \(a\in E\) s'écrit alors :

\[da = \sum_{i,j} e_i \ dx^j \ \left[ \deriveepartielle{a^i}{x^j} + \sum_k \christoffel{i}{kj} \ a^k \right]\]

On définit les coordonnées :

\[\gradient_j a^i = \deriveepartielle{a^i}{x^j} + \sum_k \christoffel{i}{kj} \ a^k\]

Dans le cas où les coordonnées dépendent d'un paramètre \(t\in\setR\), on a :

\begin{align} \OD{a}{t} &= \sum_{i,j} e_i \ \OD{x^j}{t} \ \left[ \deriveepartielle{a^i}{x^j} + \sum_k \christoffel{i}{kj} \ a^k \right] \\ &= \sum_{i} e_i \ \left[ \OD{a^i}{t} + \sum_{j,k} \christoffel{i}{kj} \ a^k \ \OD{x^j}{t} \right] \end{align}

8.6.1 Dérivée seconde et géodésique

Considérons le cas :

\[a = \OD{r}{t} = \sum_i e_i \ \OD{x^i}{t}\]

Les coordonnées de \(a\) sont clairement \(a^i = \OD{x^i}{t}\) et la dérivée seconde :

\[\OOD{r}{t} = \OD{}{t}\OD{r}{t} = \OD{a}{t}\]

s'écrit :

\[\OOD{r}{t} = \sum_{i} e_i \ \left[ \OOD{x^i}{t} + \sum_{j,k} \christoffel{i}{kj} \ \OD{x^k}{t}\ \OD{x^j}{t} \right]\]

Les courbes \(x^i = x^i(t)\) vérifiant \(\OOD{r}{t} = 0\) sont appelées des géodésiques.

8.7 Dérivées duales d'un vecteur

Nous allons recommencer le même processus, écrivant cette fois \(a\in E\) sous la forme :

\[a = \sum_i a_i \ e^i\]

Les coordonnées \(a_i\in\setR\) tout comme les vecteurs de base \(e^i\) dépendent des coordonnées \(y_i\). En suivant la même méthode que ci-dessus, on obtient :

\[da = \sum_{i,j} e^i \ dy_j \left[ \deriveepartielle{a_i}{y_j} + \sum_k \christoffel{kj}{i} \ a_k \right]\]

où l'on a introduit de nouveaux symboles de Christoffel, définis par :

\[\deriveepartielle{e^k}{y_j} = \sum_i \christoffel{kj}{i} \ e^i\]

Ces nouveaux symboles présentent la symétrie :

\[\christoffel{kj}{i} = \christoffel{jk}{i}\]

8.8 Dérivées d'un tenseur

On étend simplement la notion de dérivée aux tenseurs en appliquant la formule :

\[d(a \otimes b) = da \otimes b + a \otimes db\]

où \(a\) et \(b\) sont deux tenseurs d'ordre quelconque. Par exemple, pour le tenseur :

\[T = \sum_{i,j} T^i_j \ e_i \otimes e^j\]

on a :

\[dT = \sum_{i,j} \left[ dT^i_j \ e_i \otimes e^j + T^i_j \ de_i \otimes e^j + T^i_j \ e_i \otimes de^j \right]\]

qui devient, en introduisant les symboles de Christoffel :

\[dT = \sum_{i,j} e_i \otimes e^j \left[ dT^i_j + \sum_{k,m} \christoffel{i}{mk} \ T^m_j \ dx^k + \sum_{k,m} \christoffel{mk}{j} \ T^i_m \ dy_k \right]\]

8.9 Produit scalaire et symboles de Christoffel

Lorsqu'on différentie les \(g_{ij}\), on obtient :

\begin{align} dg_{ij} &= \scalaire{de_i}{e_j} + \scalaire{e_i}{de_j} \\ &= \sum_{k,l} \christoffel{k}{il} \ g_{kj} \ dx^l + \sum_{k,l} \christoffel{k}{jl} \ g_{ik} \ dx^l \end{align}

On en déduit que :

\[\deriveepartielle{g_{ij}}{x^l} = \sum_k \christoffel{k}{il} \ g_{kj} + \sum_k \christoffel{k}{jl} \ g_{ik}\]

Définissons :

\[\gamma_{ijl} = \sum_k \christoffel{k}{il} \ g_{kj}\]

Les propriétés de symétrie des symboles de Christoffel nous montrent que :

\[\gamma_{ijl} = \gamma_{ilj}\]

Et comme (changement de l'indice \(l\) en \(k\)) :

\[\deriveepartielle{g_{ij}}{x^k} = \gamma_{ijk} + \gamma_{jik}\]

On en déduit :

\begin{align} \deriveepartielle{g_{ij}}{x^k} + \deriveepartielle{g_{jk}}{x^i} - \deriveepartielle{g_{ki}}{x^j} &= 2 \ \gamma_{jik} \\ &= 2 \sum_l \christoffel{l}{jk} \ g_{li} \end{align}

AFAIRE : LA FIN DU CHAPITRE EST A DÉBROUILLONNER

8.10 Bases biorthonormées

8.10.1 produit scalaire

Nous considérons tout au long de cette section le cas particulier où les bases sont biorthonormées, c'est-à-dire :

\[g_i^j = \indicatrice_i^j\]

On déduit des relations liant les \(g^{ij},g_{ij}\) aux \(g_i^j\) que :

\( g_{ik} g^{kj} = \sum_{k,l,m} \deriveepartielle{y_l}{x^i}\deriveepartielle{x^m}{y_k} g_k^l g_m^j \\ g_{ik} g^{kj} = \sum_{k,l,m} \deriveepartielle{y_l}{x^i}\deriveepartielle{x^m}{y_k} \indicatrice_k^l \indicatrice_m^j \\ g_{ik} g^{kj} = \sum_{k} \deriveepartielle{y_k}{x^i}\deriveepartielle{x^j}{y_k} \\ g_{ik} g^{kj} = \deriveepartielle{x^i}{x^j} = \indicatrice_i^j \)

On aurait de même :

\[g^{ik} g_{kj} = \indicatrice_j^i\]

8.10.2 Coordonnées

Les coordonnées d'un tenseur de la forme :

\[T = \sum_{i,j,k,l} T_{i...j}^{k...l} e^i \otimes ... \otimes e^j \otimes e_k \otimes ... \otimes e_l\]

où il y a \(m\) indices \(i...j\) et \(n\) indices \(k...l\) s'obtiennent facilement en utilisant la contraction double :

\[T_{i...j}^{k...l} = \dblecont{e_j \otimes ... \otimes e_i}{m}{T}{n}{e^l \otimes ... \otimes e^k}\]

8.11 Dérivées des changements de variable

\( \deriveepartielle{x^i}{y_j} = \scalaire{e_i}{ \deriveepartielle{\phi}{y_j} } \\ \deriveepartielle{y_i}{x^j} = \scalaire{e^i}{ \deriveepartielle{\psi}{x^j} } \)

8.11.1 Christoffel

Tenant compte de cette identité, l'équation reliant les symboles de Christoffel aux produits scalaires devient :

\[\christoffel{m}{jk} = \frac{1}{2}\sum_i g^{im}\left[\deriveepartielle{g_{ij}}{x^k} + \deriveepartielle{g_{jk}}{x^i} - \deriveepartielle{g_{ki}}{x^j}\right]\]

8.11.2 Dérivée d'un vecteur

La relation :

\[d\scalaire{e^i}{e_j} = d\indicatrice_i^j = 0\]

nous conduit à :

\( \scalaire{de^i}{e_j}+\scalaire{e^i}{de_j} = 0 \\ \sum_{k,l} \christoffel{ik}{l} \scalaire{e^l}{e_j} dy_k + \sum_{k,l} \christoffel{l}{jk} \scalaire{e^i}{e_l} dx^k = 0 \\ \sum_k \christoffel{ik}{l} dy_k = - \sum_k \christoffel{l}{jk} dx^m \)

Par ailleurs :

\[da_i = \deriveepartielle{a_i}{y_j} dy_j = \deriveepartielle{a_i}{x^j} dx^j\]

On peut donc réexprimer la dérivée duale comme :

\[da = \sum_{i,j} e^i dx^j \left[ \deriveepartielle{a_i}{x^j} - \sum_k \christoffel{k}{ij} a_k \right]\]

8.11.3 Gradient

On peut également définir le gradient d'un vecteur par :

\[\gradient a = \sum_{i,j} \gradient_j a^i e_i \otimes e^j\]

de telle sorte que l'on ait :

\[da = \scalaire{\gradient a}{dr} = \gradient a \cdot dr\]

8.11.4 Dérivée d'un tenseur

\[dT = \sum_{i,j,k} e_i \otimes e^j dx^k \left[ \deriveepartielle{T^i_j}{x^k} + \sum_m \christoffel{i}{mk} T^m_j - \sum_m \christoffel{m}{jk} T^i_m \right]\]

On définit alors les coordonnées :

\[\gradient_k T^i_j = \deriveepartielle{T^i_j}{x^k} + \sum_m \christoffel{i}{mk} T^m_j - \sum_m \christoffel{m}{jk} T^i_m\]

8.11.5 Tenseur de courbure

Appliquons la formule de dérivation des coordonnées d'un tenseur dans le cas particulier où :

\[T^i_j = \gradient_j a^i\]

On a :

\( \deriveepartielle{T^i_j}{x^k} = \dfdxdy{a^i}{x^j}{x^k}

  • m \christoffel{i}{jm} \deriveepartielle{a^m}{x^k}
  • m \deriveepartielle{}{x^k}\christoffel{i}{jm} am \\

l \christoffel{i}{kl} Tlj = ∑l \christoffel{i}{kl} \deriveepartielle{a^i}{x^j} + ∑l,m \christoffel{i}{kl} \christoffel{l}{jm} am \\

-∑l \christoffel{l}{jk} Til = -∑l \christoffel{l}{jk} \deriveepartielle{a^i}{x^l} - ∑l,m \christoffel{l}{jk} \christoffel{i}{lm} am \)

La somme de tous ces termes vaut \(\gradient_k T^i_j = \gradient_k \gradient_j a^i\). En interchangeant les indices \(j\) et \(k\), on obtient \(\gradient_j \gradient_k a^i\). On en déduit, en utilisant les propriétés de symétrie que :

\[\gradient_k \gradient_j a^i - \gradient_j \gradient_k a^i = \sum_m R^i_{m,kj} a^m\]

où les \(R_{...}^{...}\) sont définis par :

\[R^i_{m,kj} = \deriveepartielle{}{x^k}\christoffel{i}{jm} - \deriveepartielle{}{x^j}\christoffel{i}{km} + \sum_l \christoffel{i}{kl}\christoffel{l}{jm} - \sum_l \christoffel{i}{jl}\christoffel{l}{km}\]

Ce sont les coordonnées du tenseur de courbure de Riemann-Christoffel.

9 L'espace vectoriel des polynômes

9.1 Introduction

AFAIRE : ARRANGER LE CHAPITRE

Il est clair d'après la définition des polynômes que les espaces \(\mathcal{P}_n\) sont des espaces vectoriels pour l'ensemble des scalaires \(S=\setR\) et que :

\[\mathcal{P}_n = \ev{\mu_0,\mu_1,...,\mu_n}\]

Nous allons montrer que \((\mu_0,\mu_1,...,\mu_n)\) forme une base de \(\mathcal{P}_n\). Pour cela, il nous reste à prouver l'indépendance linéaire des \(\mu_i\) :

\[\sum_{i=0}^n a_i \mu_i = 0 \quad\Rightarrow\quad a_0 = a_1 = ... = a_n = 0\]

c'est-à-dire :

\[\sum_{i=0}^n a_i x^i = 0 \quad\forall x \in\setR \quad\Rightarrow\quad a_0 = a_1 = ... = a_n = 0\]

Nous allons le montrer par récurrence.

Comme \(\mu_0=1\) on a évidemment :

\[a_0 1 = 0 \quad\Rightarrow\quad a_0 = 0\]

et la thèse est vraie pour \(n=0\). Supposons à présent qu'elle soit vraie pour \(n-1\). Choisissons \(p\in\mathcal{P}_n\) :

\[p(x) = \sum_{i=0}^n a_i x^i\]

et supposons que \(p(x) = 0\) pour tout \(x\in\setR\). Comme \(p(0)=0\), on a :

\[a_0 = 0\]

donc :

\[p(x) = \sum_{i=1}^n a_i x^i = x q(x) = 0\]

où l'on à définit \(q\in\mathcal{P}_{n-1}\) par :

\[q(x) = \sum_{i=1}^n a_i x^{i-1}\]

Il est clair que, pour tout \(x\ne 0\), \(q(x) = 0\). Mais comme les polynômes sont des fonctions continues, on a :

\[q(0) = \lim_{ \substack{ x \rightarrow 0 \\ x \ne 0 } } q(x) = 0\]

Donc \(q\) s'annule également en \(0\). On en conclut que \(q(x)\) est nul pour tout \(x\in\setR\). Par l'hypothèse de récurrence, les coefficients de ce polynôme sont tous nuls :

\[a_1 = a_2 = ... = a_n = 0\]

Rassemblant les résultats, il vient :

\[a_0 = a_1 = ... = a_n = 0\]

et \((\mu_0,\mu_1,...,\mu_n)\) forme bien une base de \(\mathcal{P}_n\).

9.2 Polynômes orthogonaux

Nous allons à présent voir comment construire des suites de polynômes orthogonaux pour le produit scalaire :

\[\scalaire{p}{q} = \int_a^b p(x) q(x) d\mu(x)\]

ou, lorsque c'est possible :

\[\scalaire{p}{q} = \int_a^b p(x) q(x) w(x) dx\]

9.2.1 Récurrence

On pourrait bien entendu partir de la suite de la base canonique de monômes \((1,x,x^2,...,x^n)\) et l'orthogonaliser en utilisant le procédé de Gram-Schmidt, mais on peut arriver à un algorithme plus rapide en utilisant les propriétés des polynômes. Soit \((\phi_n)_n\) une suite de polynômes orthonormés, où \(\phi_i\) est de degré \(i\). On a donc :

\[\scalaire{\phi_m}{\phi_n} = \int_A \phi_m(x) \phi_n(x) d\mu(x) = \delta_{mn}\]

Supposons que \((\phi_0,...,\phi_n)\) forme une base de \(\mathcal{P}_n\). On peut vérifier que \((\phi_0,...,\phi_n,x\phi_n)\) forme une base de \(\mathcal{P}_{n+1}\). On peut donc représenter \(\phi_{n+1}\) comme :

\[\phi_{n+1}(x) = a_n x\phi_n(x) + b_n \phi_n(x) + c_n \phi_{n-1}(x) + \sum_{i=0}^{n-2} d_i \phi_i(x)\]

Soit \(i \in \{0, ..., n-2\}\). La condition d'orthogonalité de \(\phi_{n+1}\) avec \(\phi_i\) s'écrit :

\[\scalaire{\phi_i}{\phi_{n+1}} = a_n \scalaire{\phi_i}{x\phi_n} + b_n \scalaire{\phi_i}{\phi_n} + c_n \scalaire{\phi_i}{\phi_{n-1}} + \sum_{j=0}^{n-2} d_j \scalaire{\phi_i}{\phi_j} = 0\]

L'orthogonalité implique que :

\( \scalaire{\phi_i}{\phi_n} = \scalaire{\phi_i}{\phi_{n-1}} = 0 \\ \scalaire{\phi_i}{\phi_j} = \delta_{ij} \)

On a aussi :

\[\scalaire{\phi_i}{x\phi_n} = \int_A x \phi_i(x) \phi_n(x) d\mu(x) = \scalaire{x\phi_i}{\phi_n}\]

Mais comme \(\phi_i\) est de degré \(i\), \(x\phi_i\) est de degré \(i+1\) et on peut l'exprimer comme :

\[x \phi_i = \sum_{j=0}^{i+1} \alpha_i \phi_j\]

Le produit scalaire devient alors :

\[\scalaire{\phi_i}{x\phi_n} = \sum_{j=0}^{i+1} \alpha_i \scalaire{\phi_j}{\phi_n} = 0\]

puisque \(j \le i+1 < n\). On en conclut que :

\[\scalaire{\phi_i}{\phi_{n+1}} = \sum_{j=0}^{n-2} d_j \delta_{ij} = d_i = 0\]

Les conditions :

\( \scalaire{\phi_{n+1}}{\phi_n} = 0 \\ \scalaire{\phi_{n+1}}{\phi_{n-1}} = 0 \)

impliquent respectivement que :

\( b_n = -a_n\scalaire{\phi_n}{x\phi_n} \\ c_n = -a_n\scalaire{\phi_{n-1}}{x\phi_n} \)

La condition de normalisation :

\[\scalaire{\phi_{n+1}}{\phi_{n+1}} = a_n \scalaire{x\phi_n}{\phi_{n+1}} = 1\]

nous donne alors la valeur de \(a_n\) :

\( a_n^2 \scalaire{x\phi_n}{x\phi_n}} - a_n^2 \scalaire{x\phi_n}{\phi_n}^2 - a_n^2 \scalaire{x\phi_n}{\phi_{n-1}}^2 = 1 \\ a_n = \left[\scalaire{x\phi_n}{x\phi_n} - \scalaire{x\phi_n}{\phi_n}^2 - \scalaire{x\phi_n}{\phi_{n-1}}^2\right]^{-1/2} \)

On voit donc que le choix du produit scalaire détermine :

\( \phi_0 = \unsur{\sqrt{\scalaire{1}{1}}} \\ \phi_1 = a_1 (x - \scalaire{\phi_0}{x} \phi_0) \)

ainsi que toute la suite de polynômes.

9.2.2 Approximation

Soit une suite de polynômes orthonormaux \((\phi_0,...\phi_n)\) pour le produit scalaire :

\[\scalaire{u}{v} = \int_A u(x) v(x) d\mu(x)\]

Nous cherchons l'approximation de \(u\) :

\[w(x) = \sum_{i=0}^n w_i \phi_i(x)\]

qui minimise l'erreur au sens intégral :

\[\scalaire{u-w}{u-w} = \int_A [u(x)-w(x)]^2 d\mu(x)\]

sur \(\mathcal{P}_n\). Imposant que la dérivée par rapport aux \(w_i\) soit nulle, on obtient :

\[2 \int_A \phi_i(x) [u(x)-w(x)] d\mu(x) = 0\]

Mais comme :

\[w_i = \int_A \phi_i(x) w(x) d\mu(x)\]

on obtient :

\[w_i = \int_A \phi_i(x) u(x) d\mu(x) = \scalaire{\phi_i}{u}\]

Ce qui n'a rien d'étonnant au vu des résultats du chapitre \ref{chap:vector}. On peut vérifier facilement que la hessienne de l'erreur par rapport aux \(w_i\) est bien positive. L'approximation ainsi définie :

\( w(x) = \sum_{i=0}^n \phi_i(x) \int_A \phi_i(y) u(y) d\mu(y) \\ w(x) = \sum_{i=0}^n \int_A \phi_i(x) \phi_i(y) u(y) d\mu(y) \)

minimise donc bien l'erreur sur l'ensemble des polynômes de degré \(n\).

9.2.3 Intégration de Gauss

Soit une suite de polynômes orthonormaux \((\phi_0,...\phi_n)\) pour le produit scalaire :

\[\scalaire{u}{v} = \int_A u(x) v(x) d\mu(x)\]

Considérons la formule d'intégration :

\[I(f) = \sum_{i=0}^n w_i f(x_i)\]

supposée approximer l'intégrale :

\[\langle f \rangle = \scalaire{f}{1} = \int_A f(x) d\mu(x)\]

Fixons les points \(x_0 < x_1 < ... < x_n\) et imposons que la formule soit exacte pour \(\phi_0,...,\phi_n\). On a :

\[\langle \phi_k \rangle = \sum_{i=0}^n w_i \phi_k(x_i)\]

où \(k = 0,1,...,n\). Définissant les matrices et vecteurs :

\( \varphi = (\langle \phi_k \rangle)_k \\ W = (w_i)_i \\ \Phi = \left(\phi_i(x_j)\right)_{i,j} \)

ces conditions se ramènent à :

\[\Phi W = \varphi\]

Si la matrice \(\Phi(n+1,n+1)\) est inversible, on a alors :

\[W = \Phi^{-1} \varphi\]

La formule est alors valable pour tout polynôme de \(\mathcal{P}_n\). Notons que

\[\langle \phi_k \rangle = \unsur{\phi_0} \scalaire{\phi_k}{\phi_0}\]

s'annule pour tout \(k\ne 0\). Si les racines de \(\phi_{n+1}\) sont toutes distinctes, on peut choisir les \(x_i\) tels que :

\[\phi_{n+1}(x_i) = 0\]

On a alors :

\[\langle \phi_{n+1} \rangle = I(\phi_{n+1}) = 0\]

et la formule devient valable sur \(\mathcal{P}_{n+1}\). Mieux, considérons un polynôme \(p\) de degré \(n+m+1\) où \(m \ge 0\) et sa division euclidienne par \(\phi_{n+1}\). On a :

\[p(x) = q(x) \phi_{n+1}(x) + r(x)\]

Comme \(q\) est de degré \(m\), on a :

\[q = \sum_{i=0}^m q_i \phi_i\]

Si \(m \le n\), on a donc :

\[\langle q \phi_{n+1} \rangle = \sum_{i=0}^n q_i \scalaire{\phi_i}{\phi_{n+1}} = 0\]

et :

\[\langle p \rangle = \langle r \rangle = I(r)\]

puisque \(r\) est de degré \(n\) au plus. Comme \(\phi_{n+1}\) s'annule en les \(x_i\), on a aussi ;

\[I(p) = I(r)\]

Rassemblant tout ces résultats, on obtient :

\[\int_A f(x) d\mu(x) = \sum_{i=0}^n w_i f(x_i)\]

pour tout polynôme \(f\in\mathcal{P}_{2n+1}\). En pratique, on utilise ces formules d'intégration pour des fonctions qui ne sont pas forcément des polynômes.

9.3 Legendre

Les polynômes de Legendre sont orthogonaux pour le produit scalaire :

\[\int_{-1}^1 P_n(x) P_m(x) dx = \frac{2}{2 n + 1} \delta_{mn}\]

Ils obéissent à la récurrence :

\( P_0(x) = 1 \\ P_1(x) = x \\ (n+1) P_{n+1}(x) = (2 n + 1) x P_n(x) - n P_{n-1}(x) \)

9.4 Interpolation

Un problème d'interpolation consiste à trouver les coefficients : \(a_i\in\setR\) tels que la fonction :

\[u = \sum_{i=1}^n a_i u_i\]

où les \(u_i\) sont des polynômes de degré \(n\), vérifie :

\[\form{\phi_i}{u} = y_i\]

pour tout \(i=1,2,...,n\), où les \(\phi_i\) sont des formes linéaires de \(\mathcal{P}_N^D\) et les \(y_i\) des réels donnés.

On utilise couramment des bases biorthogonales :

\[\form{\phi_i}{u_j} = \delta_{ij}\]

et on a alors simplement :

\[a_i = \form{\phi_i}{u}\]

L'exemple le plus courant est :

\( \form{\phi_i}{u} = u(x_i) \\ y_i = f(x_i) \)

pour une certaine fonction \(f\) à interpoler. Les conditions ci-dessus se résument alors à l'égalité de \(f\) et de \(u\) en un nombre fini de points :

\[u(x_i) = f(x_i)\]

On rencontre parfois aussi le cas :

\( \form{\phi_i}{u} = \OD{u}{x}(x_i) \\ y_i = \OD{f}{x}(x_i) \)

9.4.1 Lagrange

Les polynômes de Lagrange \(\Lambda_i\) sont biorthogonaux aux formes :

\[\form{\phi_i}{u} = u(x_i)\]

On a donc :

\[\form{\phi_j}{\Lambda_i} = \Lambda_i(x_j) = \delta_{ij}\]

Le polynôme \(\Lambda_i\) doit donc s'annuler en tout les points \(x_j\), où \(j \ne i\). On peut donc le factoriser comme :

\[\Lambda_i(x) = A_i \prod_{j \in E_i} (x-x_j) = A_i P_i(x)\]

où \(E_i = \{ 1,2,...,n \} \setminus \{i\}\). Mais comme \(\Lambda_i(x_i) = 1\), on a :

\[A_i = \unsur{P_i(x_i)}\]

et :

\[\Lambda_i(x) = \prod_{j \in E_i} \frac{(x-x_j)}{(x_i - x_j)}\]

Donc si on souhaite construire un polynôme :

\[w(x) = \sum_{i=1}^{n} u_i \Lambda_i(x)\]

qui interpole \(u\) en les \(x_i\) :

\[u(x_i) = w(x_i)\]

pour tout \(i = 1,2,...,n\), il faut et il suffit de prendre :

\[u_i = \form{\phi_i}{u} = u(x_i)\]

9.4.2 Newton

L'interpolation de Newton utilise des polynômes construit récursivement à partir des polynômes de degré inférieur. Soit \(f\) la fonction à interpoler, \(p_{i,j}\) le polynôme de degré \(j-i\) :

\[p_{ij}(x) = \sum_{j=0}^{j-i} a_k x^k\]

tels que :

\[p_{ij}(x_k) = f(x_k)\]

pour tous \(k\in\{i,i+1,...,j\}\). On voit que si \(i=j\), on a :

\[p_{ii} = f(x_i)\]

Pour \(i < j\), on peut construire les \(p_{i,j}\) par récurrence. On vérifie que :

\[p_{ij}(x) = \frac{(x-x_i)p_{i+1,j}(x)-(x-x_j)p_{i,j-1}(x)}{x_j-x_i}\]

satisfait bien aux conditions d'interpolation ci-dessus.

Auteur: chimay

Created: 2019-10-01 mar 12:33

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