Eclats de vers : Matemat 09 : Analyse

• Chapitre \ref{chap:differ} : Les différentielles
• Chapitre \ref{chap:integral} : Les intégrales

Soit \(f : A \mapsto \setR\) avec \(A \subseteq \setR^n\). Supposons que \(f\) soit différentiable et atteigne un minimum local en \(a \in \interieur A\). On a :

Fixons \(\epsilon \strictsuperieur 0\). On peut trouver \(\delta_1 \strictsuperieur 0\) tel que :

\[\abs{E(h)} \le \epsilon \cdot \abs{h}\]

pour tout \(h \in \boule(0,\delta_1)\). On peut aussi trouver \(\delta_2 \strictsuperieur 0\) tel que :

\[f(a) \le f(a + h)\]

pour tout \(h \in \boule(0,\delta_2)\). Posons \(\delta = \min \{ \delta_1,\delta_2 \}\) et choisissons \(h \in \boule(0,\delta)\). On a également \(-h \in \boule(0,\delta)\). Donc :

On en conclut que :

\[\abs{\differentielle{f}{a}(h)} \le \epsilon \cdot \norme{h}\]

Posons \(\gamma = \delta / 2\) et remarquons que l'ensemble de norme fixe \(N = \{ h \in \setR^n : \norme{h} = \gamma \}\) est inclus dans \(\boule(0,\delta)\). Les propriétés des applications linéaires nous disent que :

\[\norme{\differentielle{f}{a}} = \sup \left\{ \unsur{\gamma} \norme{\differentielle{f}{a}(h)} : h \in N \right\}\]

Or, la borne nous dit que :

\[\unsur{\gamma} \abs{\differentielle{f}{a}(h)} \le \epsilon\]

quel que soit \(\epsilon \strictsuperieur 0\) et \(h \in N\). Donc :

\[\norme{\differentielle{f}{a}} = 0\]

ce qui implique que :

\[\differentielle{f}{a} = 0\]

La différentielle s'annule donc en un minimum local. On montre de la même manière que la différentielle s'annule en un maximum local.

Soit \(f \in \continue^1([a,b],\setR)\) avec \(f(a) = f(b)\). Comme \(f\) est continue, il existe \(\lambda,\sigma \in [a,b]\) tels que :

Soit \(f \in \continue^1([a,b],\setR)\) et la fonction \(g\) associée définie par :

\[g(x) = f(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \cdot (x - a)\]

pour tout \(x \in [a,b]\). Comme \(g(a) = g(b) = f(a)\), on peut trouver un \(c \in \intervalleouvert{a}{b}\) tel que :

\[0 = \partial g(c) = \partial f(c) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}\]

On a donc :

\[\partial f(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\]

On vient ainsi de démontrer le théorème des accroissements finis.

Le théorème des accroissements finis nous donne un résultat sous la forme symbolique :

\[\OD{f}{x} = \frac{\difference f}{\difference x}\]

Nous allons maintenant généraliser ce théorème, et obtenir le résultat :

\[\frac{df}{dg} = \frac{\difference f}{\difference g}\]

où \(f,g \in \continue^1([a,b],\setR)\) et \(a,b \in \setR\). Considérons à cette fin la fonction \(h\) définie par :

\[h(x) = [f(b) - f(a)] \cdot g(x) - f(x) \cdot [ g(b) - g(a) ]\]

On remarque que :

\begin{align} h(a) &= f(b) \cdot g(a) - f(a) \cdot g(a) - f(a)\cdot g(b) + f(a)\cdot g(a) \\ &= f(b) \cdot g(a) - f(a) \cdot g(b) \\ \\ h(b) &= f(b) \cdot g(b) - f(a) \cdot g(b) - f(b)\cdot g(b) + f(b)\cdot g(a) \\ &= f(b) \cdot g(a) - f(a) \cdot g(b) \end{align}

Donc :

\[h(a) = h(b)\]

Appliquant le théorème de Rolle à \(h\), on peut donc trouver un \(c \in \intervalleouvert{a}{b}\) tel que :

\[0 = \partial h(c) = [f(b) - f(a)] \cdot \partial g(c) - \partial f(c) \cdot [ g(b) - g(a) ]\]

On a donc :

\[\left[ f(b) - f(a) \right] \cdot \partial g(c) = \partial f(c) \cdot \left[ g(b) - g(a) \right]\]

Si \(\partial f(c) \ne 0\) et \(f(b) \ne f(a)\), on peut le mettre sous la forme :

\[\frac{\partial g(c)}{\partial f(c)} = \frac{g(b) - g(a)}{f(b) - f(a)}\]

Soient \(F,G\) deux fonctions continues sur \(I=[\alpha,\beta]\) et dérivables \(I\setminus \{a\}\), avec \(a \in \interieur\ I\). Supposons que les deux fonctions s'annulent en \(a\) :

\[F(a) = G(a) = 0\]

Soit alors \(h \ne 0\) tel que \(b = a+h\in I\setminus \{a\}\). En appliquant le théorème de Cauchy à \(F\) et \(G\), on trouve un \(t \in \intervalleouvert{0}{1}\) tel que :

\[[F(b) - F(a)] \cdot \partial G(a + t \cdot h) = [G(b) - G(a)] \cdot \partial F(a + t \cdot h)\]

Mais comme \(F\) et \(G\) s'annulent en \(a\), on a :

\[F(b) \cdot \partial G(a + t \cdot h) = G(b) \cdot \partial F(a + t \cdot h)\]

Si de plus \(\partial G\) ne s'annule pas sur \(I\), on peut écrire :

\[\frac{ \partial F(a + t \cdot h) }{ \partial G(a + t \cdot h) } = \frac{F(b)}{F(a)}\]

On voit en faisant tendre \(h\) vers \(0\) que les limites, si elles existent, doivent être identiques. On a donc :

\[\lim_{x \to a} \frac{F(x)}{G(x)} = \lim_{x \to a} \frac{\partial F(a)}{\partial G(a)}\]

Nous allons à présent montrer que toute fonction continument différentiable sur un intervalle de la forme \([\alpha,\beta]\) y est uniformément différentiable.

Soit une fonction \(f \in \continue^1([\alpha,\beta],\setR)\). Comme la dérivée \(\partial f\) est continue sur \([\alpha,\beta]\), elle y est uniformément continue. Fixons \(\epsilon \strictsuperieur 0\). On peut donc trouver un \(\delta \strictsuperieur 0\) tel que :

\[\abs{\partial f(s) - \partial f(t)} \le \epsilon\]

pour tout \(s,t \in [\alpha,\beta]\) vérifiant \(\abs{s - t} \le \delta\). Si \(s = t\), on a bien évidemment :

\[\abs{f(t) - f(t) - \partial f(t) \cdot (t - t)} = 0 \le \epsilon \cdot (t - t) = 0\]

Considérons à présent le cas \(s \ne t\). Nous pouvons supposer sans perte de généralité que \(s \strictinferieur t\). Le théorème des accroissements finis nous dit qu'on peut trouver un \(\gamma \in ]s,t[\) tel que :

\[\partial f(\gamma) = \frac{f(t) - f(s)}{t - s}\]

On a donc :

\[\frac{f(t) - f(s)}{t - s} - \partial f(s) = \partial f(\gamma) - \partial f(s)\]

Mais comme \(\abs{\gamma - s} \le \abs{t - s} \le \delta\), on a \(\abs{\partial f(\gamma) - \partial f(s)} \le \epsilon\) et :

\[\abs{\frac{f(t) - f(s)}{t - s} - \partial f(s)} \le \epsilon\]

On a donc bien :

\[\abs{f(t) - f(s) - \partial f(s) \cdot (t - s)} \le \epsilon \cdot \abs{t - s}\]

pour tout \(s,t \in [\alpha,\beta]\) vérifiant \(\abs{s - t} \le \delta\).

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\label{sec:derivee_integrale}

Soit une fonction \(f \in \continue([\alpha,\beta],\setR)\), un réel \(a \in [\alpha,\beta]\) et la fonction intégrale associée \(I : [\alpha,\beta] \mapsto \setR\) définie par :

\[I(x) = \int_a^x f(s) \ ds\]

pour tout \(x \in [\alpha,\beta]\). On constate que :

\[I(a) = \int_a^a f(s) \ ds = \int_{ \{a\} } f(s) \ ds\]

La mesure de Lebesgue du singleton \(\{a\}\) étant nulle, l'intégrale s'annule et on a :

\[I(a) = 0\]

Nous allons chercher à évaluer la dérivée de la fonction intégrale \(I\) en un point quelconque \(b \in [\alpha,\beta]\).

Nous utilisons dans la suite la notation abrégée :

\[\int_x^y = \int_x^y f(s) \ ds\]

Par additivité, on a :

\[\int_a^{b + h} = \int_a^b + \int_b^{b + h}\]

c'est-à-dire :

\[I(b + h) = I(b) + \int_b^{b + h}\]

pour tout réel \(h\) tel que \(b + h \in [\alpha,\beta]\). Quelle est la valeur de l'intégrale sur \([b, b + h]\) ? Fixons \(\epsilon \strictsuperieur 0\). Par continuité de \(f\), on peut choisir \(\delta > 0\) tel que :

\[\abs{f(b + s) - f(b)} \le \epsilon\]

pour tout \(s\) vérifiant \(\abs{s} \le \delta\). Cela n'est possible que si :

\[f(b) - \epsilon \le f(b + s) \le f(b) + \epsilon\]

On a donc :

Si nous choisissons \(h \in (0,\delta)\), l'intégrale peut donc être majorée et minorée par :

\[\int_b^{b + h} \le (f(b) + \epsilon) \cdot \mu_L([a, a + h]) = (f(b) + \epsilon) \cdot h\]

et :

\[\int_b^{b + h} \ge (f(b) - \epsilon) \cdot \mu_L([a, a + h]) = (f(b) - \epsilon) \cdot h\]

Nous disposons donc des inégalités :

\[(f(b) - \epsilon) \cdot h \le \int_b^{b + h} \le (f(b) + \epsilon) \cdot h\]

Autrement dit :

\[f(b) - \epsilon \le \unsur{h} \int_b^{b + h} \le f(b) + \epsilon\]

D'un autre coté, on a :

\[\unsur{h} \int_b^{b + h} f(s) \ ds = \frac{I(b + h) - I(b)}{h}\]

Passons à la limite \(\delta \to 0\). On a alors \(h \to 0\) et :

\[f(b) - \epsilon \le \lim_{h \to 0} \unsur{h} \int_b^{b + h} \le f(b) + \epsilon\]

Ces inégalités devant être valables pour tout \(\epsilon \strictsuperieur 0\), on a forcément :

\[\lim_{h \to 0} \frac{I(b + h) - I(b)}{h} = f(b)\]

On en conclut que \(I\) est dérivable et que :

\[\OD{I}{x}(b) = \lim_{h \to 0} \frac{I(b + h) - I(b)}{h} = f(b)\]

Autrement dit :

\[\OD{}{x} \int_a^x f(s) \ ds = f(x)\]

\label{sec:integrale_derivee}

Soit \(\alpha,\beta \in \setR\) avec \(\alpha \le \beta\). Soit la fonction \(F \in \continue^1([\alpha,\beta],\setR)\) et sa dérivée continue :

\[f = \partial F = \OD{F}{s}\]

Comme \(F\) est continument différentiable sur \([\alpha,\beta]\), elle y est uniformément différentiable. De même, \(f\) est continue sur \([\alpha,\beta]\). Elle y est donc uniformément continue. Nous allons tenter d'évaluer l'intégrale :

\[\int_a^b f(s) \ ds = \int_a^b \OD{F}{x}(s) \ ds\]

avec \(a,b \in [\alpha,\beta]\) et \(a \le b\).

Nous utilisons dans la suite la notation abrégée :

\[\int_x^y = \int_x^y f(s) \ ds\]

On sait que :

\[\OD{}{t}\big(t^n\big) = n \cdot t^{n - 1}\]

Comme \(n\) est constante, on peut le réécrire :

\[\OD{}{t}\left( \frac{t^n}{n} \right) = t^{n - 1}\]

ou, en posant \(m = n - 1\) :

\[\OD{}{t}\left( \frac{t^{m + 1}}{m + 1} \right) = t^m\]

L'intégrale s'écrit donc :

\[\int_a^b t^m \ dt = \frac{ b^{m + 1} - a^{m + 1} }{m + 1}\]

On a en particulier :

\[\int_0^x t^m \ dt = \frac{ x^{m + 1} }{m + 1}\]

Soient \(f,g \in \continue^1(\setR,\setR)\). On se rappelle que :

\[\partial (f \cdot g) = \partial f \cdot g + f \cdot \partial g\]

et comme on a :

\[\int_a^b \partial (f \cdot g) \ dx = f(b) \cdot g(b) - f(a) \cdot g(a)\]

on obtient la formule d'intégration par parties :

\[\int_a^b f(x) \cdot \partial g(x) \ dx = (f \cdot g)(b) - (f \cdot g)(a) - \int_a^b \partial f(x) \cdot g(x) \ dx\]

Considérons une fonction \(f \in \continue(\setR,\setR)\) et un changement de variable \(x = \varphi(s)\) où \(\varphi \in \homeomorphisme^1(\setR,\setR)\). Soit la mesure de lebesgue \(\mu([\alpha,\beta]) = \beta - \alpha\).

Considérons un polynôme \(p : \setR \mapsto \setR\) de degré \(n\) défini par :

\[p(x) = \sum_{i = 0}^n \gamma_i \cdot x^i\]

pour tout \(x \in \setR\). Calculons ses dérivées :

\begin{align} \partial p(x) &= \sum_{i = 1}^n \gamma_i \cdot i \cdot x^{i - 1} \\ \partial^2 p(x) &= \sum_{i = 2}^n \gamma_i \cdot i \cdot (i - 1) \cdot x^{i - 2} \\ \vdots \\ \partial^k p(x) &= \sum_{i = k}^n \gamma_i \cdot \frac{i !}{(i - k) !} \cdot x^{i - k} \\ \vdots \\ \partial^n p(x) &= n! \cdot \gamma_n \end{align}

Lorsqu'on évalue ces dérivées en \(0\), seuls les termes en \(x^{k - k} = 1\) ne s'annulent pas. On obtient donc :

\[\partial^k p(0) = \frac{k !}{0 !} \cdot \gamma_k = k ! \cdot \gamma_k\]

ce qui nous donne l'expression des coefficients de \(p\) en fonction de ses dérivées en \(0\) :

\[\gamma_k = \unsur{k !} \cdot \partial^k p(0)\]

Le polynôme peut donc se réécrire :

\[p(x) = \sum_{i = 0}^n \unsur{i !} \cdot \partial^i p(0) \cdot x^i\]

Cette expression est appelée développement de Taylor de \(p\) autour de \(0\).

Soit \(\alpha, \beta \in \setR\) avec \(\alpha \strictinferieur \beta\), une fonction \(f \in \continue^N([\alpha,\beta],\setR)\) et \(a \in [\alpha,\beta]\). Par analogie avec le développement de Taylor des polynômes, on définit l'opérateur de Taylor \(T_a^N\) par :

\[T_a^N(f)(x) = \sum_{k = 0}^N \unsur{k !} \cdot \partial^k f(a) \cdot (x - a)^k\]

pour tout \(x \in [\alpha,\beta]\).

On a :

\[E_a^N(f)(x) = f(x) - T_a^N(f)(x) = \unsur{N !} \int_a^x (x - t)^N \ \partial^{N + 1} f(t) \ dt\]

En appliquant le théorème de Cauchy entre \(a\) et \(x\) aux fonctions \(F,G\) définies par :

\begin{align} F(z) &= \int_a^z (x - t)^N \ \partial^{N + 1} f(t) \ dt \\ G(z) &= \int_a^z (x - t)^N \ dt \end{align}

pour tout \(z \in [\alpha,\beta]\), on voit que l'on peut trouver un \(c \in \intervalleouvert{a}{x}\) si \(a \strictinferieur x\) ou un \(c \in \intervalleouvert{x}{a}\) si \(x \strictinferieur a\) tel que :

\[(x - c)^N \ F(x) = (x - c)^N \ \partial^{N + 1} f(c) \ G(x)\]

ou encore :

\[\partial^{N + 1} f(c) \ G(x) = F(x)\]

Comme :

\begin{align} G(x) = \int_a^x (x - t)^N \ dt &= - \big[ (x - x)^{N + 1} - (x - a)^{N + 1} \big] / (N + 1) \\ &= - \big[ 0 - (x - a)^{N + 1} \big] / (N + 1) \\ &= (x - a)^{N + 1} / (N + 1) \end{align}

on a :

\[\partial^{N + 1} f(c) \ \frac{ (x - a)^{N + 1} }{N + 1} = F(x) = \int_a^x (x - t)^N \ \partial^{N + 1} f(t) \ dt\]

On en déduit que :

\[E_a^N(f)(x) = \partial^{N + 1} f(c) \ \frac{ (x - a)^{N + 1} }{(N + 1) !}\]

Soit une fonction \(f \in \continue^{N+1}([\alpha,\beta],\setR)\) et \(a,x \in [\alpha,\beta]\). On définit la fonction \(F : [\alpha,\beta] \mapsto \setR\) par :

\begin{align} F(t) &= \sum_{k = 0}^N \unsur{k !} \cdot \partial^k f(t) \cdot (x - t)^k \\ &= f(t) + \partial f(t) \ (x - t) + \partial^2 f(t) \ \frac{(x - t)^2}{2} + ... \end{align}

pour tout \(t \in [\alpha,\beta]\). On a :

\[F(x) = f(x) + \partial f(x) \ (x - x) + \partial^2 f(x) \frac{(x - x)^2}{2} + ... = f(x) + 0 = f(x)\]

et :

\[F(a) = f(a) + \partial f(a) \ (x - a) + \partial^2 f(a) \frac{(x - a)^2}{2} + ... = T_a^N(f)(x)\]

La dérivée de \(F\) s'écrit :

On voit que tous les termes s'annulent sauf le dernier, et :

\[\partial F(t) = \partial^{N + 1} f(t) \ \frac{(x-t)^N}{N !}\]

Soit \(G \in \continue^1([\alpha,\beta],\setR)\). On peut appliquer le théorème de Cauchy à \(F\) et \(G\) entre \(a\) et \(x\). On dispose alors d'un \(c \in \intervalleouver{a}{x}\) si \(a \strictinferieur x\) ou d'un \(c \in \intervalleouvert{x}{a}\) si \(x \strictinferieur a\) tel que :

\[\partial F(c) \ \big[G(x) - G(a)\big] = \big[F(x) - F(a)\big] \ \partial G(c)\]

On a :

\[F(x) - F(a) = f(x) - T_a^N(f)(x) = E_a^N(f)(x)\]

On en conclut que :

\[E_a^N(f)(x) \ \partial G(c) = \partial^{N + 1} f(c) \ \frac{(x-c)^N}{N !} \ \big[G(x) - G(a)\big]\]

Soit \(f \in \continue^{N + 1}([\alpha,\beta],\setR)\). Comme \(\partial^{N+1} f\) est continue, sa norme \(\norme{.}_\infty\) sur \([\alpha,\beta]\) est finie et on a :

\[\abs{E_a^N(f)(x)} \le \norme{\partial^{N + 1} f}_\infty \ \frac{ \abs{x - a}^{N + 1} }{(N + 1) !}\]

On peut majorer cette expression en constatant que :

\[\abs{x - a} \le \abs{\beta - \alpha}\]

La borne de l'erreur devient alors :

\[\abs{E_a^N(f)(x)} \le \norme{\partial^{N + 1} f}_\infty \ \frac{ \abs{\beta - \alpha}^{N + 1} }{(N + 1) !}\]

Le membre de droite ne dépendant pas de \(x\), on a :

\[\norme{E_a^N(f)}_\infty \le \norme{\partial^{N + 1} f}_\infty \ \frac{ \abs{\beta - \alpha}^{N + 1} }{(N + 1) !}\]

Soit \(f \in \continue^\infty([\alpha,\beta],\setR)\). Si on peut trouver un \(\sigma \in \setR\) tel que :

\[\norme{\partial^n f}_\infty \le \sigma\]

pour tout \(n \in \setN\), on a :

\[\norme{E_a^N(f)}_\infty \le \sigma \ \frac{ \abs{\beta - \alpha}^{N + 1} }{(N + 1) !}\]

On en conclut que :

\[0 \le \lim_{N \to \infty} \norme{E_a^N(f)}_\infty \le \sigma \ \lim_{N \to \infty} \frac{ \abs{\beta - \alpha}^{N + 1} }{(N + 1) !} = 0\]

L'erreur converge vers zéro quand \(N\) tend vers l'infini :

\[\lim_{N \to \infty} \norme{E_a^N(f)}_\infty = 0\]

Soit la fonction \(E : \Omega \subseteq \setR^m \mapsto \setR^n\), la fonction \(b : \setR \mapsto \setR\) et le vecteur \(h \in \Omega\). On note \(E \sim \petito{b(h)}\), ou on dit que \(E\) est en \(\petito{b(h)}\), pour signifier que :

\[\lim_{h \to 0} \frac{ \norme{E(h)} }{b(\norme{h})} = 0\]

On note \(E \sim \grando{b(h)}\), ou on dit que \(E\) est en \(\grando{b(h)}\), pour signifier qu'il existe \(M \in \setR\) tel que :

\[\norme{E(h)} \le M \cdot b(\norme{h})\]

pour tout \(h \in \Omega\).

Supposons qu'une fonction \(v\) nous donne une approximation de \(V\) respectant :

\[v(h) \approx V + C \cdot h^m + O(h^{m+1})\]

pour un certain \(C \in \setR\) et pour tout \(h \in [0,R] \subseteq \setR\). L'entier \(m\) est appelé l'ordre de l'approximation. Supposons que l'on dispose de deux estimations de \(V_1 = v(h)\) et \(V_2 = v(h/k)\). On a alors :

On se sert de la première équation pour obtenir une expression de \(C \cdot h^m\) :

\[C \cdot h^m = V_1 - V + O(h^{m+1})\]

Posons :

\[r = \unsur{k^m}\]

On a alors :

\[V_2 = V + r \cdot C \cdot h^m + O(h^{m+1}) = V + r \cdot (V_1 - V) + O(h^{m+1})\]

On en conclut que :

\[(1 - r) \cdot V = V_2 - r \cdot V_1 + O(h^{m+1})\]

Ce qui nous donne l'approximation :

\[V = \frac{V_2 - r \cdot V_1}{1 - r} + O(h^{m+1})\]

Cette approximation est plus précise, car l'erreur n'est plus en \(O(h^m)\) mais en \(O(h^{m + 1})\). On appelle cette technique l'extrapolation de Richardson.

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• Chapitre \ref{chap:integral} : Les intégrales

Soit la fonction \(f : \setR^m \to \setR^n\) et les vecteurs \(u,v \in \setR^m\). On définit la fonction \(\lambda : [0,1] \mapsto \setR^m\) associée au segment \([u,v] \subseteq \setR^m\) par :

\[\lambda(s) = u + s \cdot (v - u)\]

pour tout \(s \in [0,1]\). On a bien entendu \(\lambda(0) = u\) et \(\lambda(1) = v\). On définit également la fonction \(\varphi = f \circ \lambda\) qui vérifie :

\[\varphi(s) = (f \circ \lambda)(s) = f(u + s \cdot (v - u))\]

pour tout \(t \in [0,1]\). On voit que \(\varphi(0) = f(u)\) et \(\varphi(1) = f(v)\). Donc, en termes de composantes dans \(\setR^n\), on a :

\[f_i(v) - f_i(u) = \varphi_i(1) - \varphi_i(0) = \int_0^1 \OD{\varphi_i}{s}(s) \ ds\]

où \(i \in \{1,2,...,n\}\).

Voyons quelle est la forme de la dérivée :

\begin{align} \OD{\varphi_i}{s}(s) &= \sum_j \partial_j f_i(u + s \cdot (v - u)) \cdot \partial \lambda_j(s) \\ &= \sum_j \partial_j f_i(u + s \cdot (v - u)) \cdot (v_j - u_j) \end{align}

où \(j \in \{1,2,...,m\}\). Si nous définissons :

\[G_{ij}(u,v) = \int_0^1 \partial_j f_i(u + s \cdot (v - u)) \ ds\]

nous obtenons alors l'expression de la variation :

\[f_i(v) - f_i(u) = \sum_j G_{ij}(u,v) \cdot (v_j - u_j)\]

En termes matriciels :

$$G(u,v) = \big[G_ij(u,v)\big]_i,j = \left[ \int_0^1 \partial_j f_i(u + s \cdot (v - u)) \ ds \right]_i,j

est donc l'intégrale de la Jacobienne :

\[G(u,v) = \int_0^1 \partial f(u + s \cdot (v - u)) \ ds\]

et :

\[f(v) - f(u) = G(u,v) \cdot (v - u)\]

Soit la fonction \(f \in \continue^2(\setR^n,\setR)\) et les vecteurs \(a,h \in \setR^n\). On définit la fonction \(\lambda : [0,1] \mapsto \setR^n\) associée au segment \([a, a + h]\) :

\[\lambda(s) = a + s \cdot h\]

pour tout \(s \in [0,1]\). Le lemme de Hadamard nous dit que :

\[f(a + h) - f(a) = \int_0^1 \partial f(a + s \cdot h) \cdot h \ ds\]

Par définition de la dérivée seconde, on a :

\[\partial_i f(a + s \cdot h) = \partial_i f(a) + \sum_j \partial_{ji}^2 f(a) \cdot h_j \cdot s + e_i(s \cdot h)\]

où l'erreur \(e\) vérifie :

\[\lim_{h \to 0} \frac{ \norme{e(h)} }{ \norme{h} } = 0\]

L'intégrale s'écrit alors :

\[f(a + h) - f(a) = \sum_i \int_0^1 \left[ \partial_i f(a) + \sum_j \partial_{ji}^2 f(a) \cdot h_j \cdot s + e_i(s \cdot h) \right] \cdot h_i \ ds\]

La grandeur \(\partial_i f(a) \cdot h_i\) ne dépendant pas de \(s\), on a :

\[\int_0^1 \partial_i f(a) \cdot h_i \ ds = \partial_i f(a) \cdot h_i \cdot (1 - 0) = \partial_i f(a) \cdot h_i\]

D'un autre coté, comme \(s^2/2\) est une primitive de \(s\), on a :

\[\int_0^1 s \ ds = \unsur{2} \cdot (1^2 - 0^2) = \unsur{2}\]

et donc :

\[\int_0^1 \partial_{ji}^2 f(a) \cdot h_j \cdot h_i \cdot s \ ds = \unsur{2} \partial_{ji}^2 f(a) \cdot h_j \cdot h_i\]

Posons :

\[\mathcal{E}_2(h) = \sum_i \int_0^1 e_i(s \cdot h) \cdot h_i \ ds\]

On a alors :

\[f(a + h) - f(a) = \sum_i \partial_i f(a) \cdot h_i + \unsur{2} \sum_{i,j} h_j \cdot \partial_{ji}^2 f(a) \cdot h_i + \mathcal{E}_2(h)\]

En termes matriciels, cette expression fait intervenir la Jacobienne et la Hessienne :

\[f(a + h) - f(a) = \partial f(a) \cdot h + \unsur{2} \ h^\dual \cdot \partial^2 f(a) \cdot h + \mathcal{E}_2(h)\]

Soit la fonction \(f \in \continue^3(\setR^n,\setR)\) et les vecteurs \(a,h \in \setR^n\). En évaluant le développement du second ordre de chaque \(\partial_i f\), on a :

\[\partial_i f(a + s \cdot h) = \partial_i f(a) + \sum_j \partial_{ji} f(a) \cdot h_j \cdot s + \sum_{j,k} h_k \cdot \partial_{kji}^3 f(a) \cdot h_j \cdot \frac{s^2}{2} + e_i(h)\]

où \(e \sim \petito{h^2}\). En intégrant, nous obtenons une estimation de la variation de \(f\) :

\[f(a + h) - f(a) = \sum_i \int_0^1 \partial_i f(a + s \cdot h) \cdot h_i \ ds\]

Posons :

\begin{align} I_1(h) &= \sum_i \int_0^1 \partial_i f(a) \cdot h_i \ ds \\ I_2(h) &= \sum_{i,j} \int_0^1 h_j \cdot \partial_{ji} f(a) \cdot h_i \cdot s \ ds \\ I_3(h) &= \unsur{2} \sum_{i,j,k} \int_0^1 h_k \cdot \partial_{kji}^3 f(a) \cdot h_j \cdot h_i \cdot s^2 \ ds \\ \mathcal{E}_3(h) &= \sum_i \int_0^1 e_i(h) \cdot h_i \ ds \end{align}

Comme \(s^3/3\) est une primitive de \(s^2\), on a :

\[\int_0^1 s^2 \ ds = \unsur{3} \cdot (1^3 - 0^3) = \unsur{3}\]

Les intégrales s'écrivent donc :

\begin{align} I_1(h) &= \sum_i \partial_i f(a) \cdot h_i \\ I_2(h) &= \unsur{2} \sum_{i,j} h_i \cdot \partial_{ji} f(a) \cdot h_j \\ I_3(h) &= \unsur{6} \sum_{i,j,k} \partial_{kji}^3 f(a) \cdot h_i \cdot h_j \cdot h_k \end{align}

et la variation de \(f\) est donnée par :

\[f(a + h) - f(a) = I_1(h) + I_2(h) + I_3(h) + \mathcal{E}_3(h)\]

En terme de notations tensorielles, on peut l'écrire symboliquement :

\[f(a + h) - f(a) = \partial f(a) \cdot h + \unsur{2} h^\dual \cdot \partial^2 f(a) \cdot h + \unsur{6} \contraction{\partial^3 f(a)}{3}{h \otimes h \otimes h}\]

On peut bien entendu généraliser à une fonction \(f \in \continue^2(\setR^n,\setR)\). On a alors :

\[\partial_{ij} f = \partial_{ji} f\]

où \(i,j \in \{1,2,...,n\}\). Si \(H = \partial^2 f\), on écrit aussi ce résultat sous la forme :

\[H^\dual = H\]

Nous allons a présent examiner ce qu'il se passe lorsque les bornes de l'intervalle d'intégration (\(a,b : \setR \mapsto \setR\)) et la fonction à intégrer (\(f : \setR \times \setR \mapsto \setR\)) varient par rapport à un paramètre. Soit la fonction \(I : \setR \mapsto \setR\) définie par :

\[I(t) = \int_{a(t)}^{b(t)} f(s,t) \ ds\]

Pour une valeur donnée de \(t\), posons :

\[\phi_t(s) = f(s,t)\]

L'intégrale de \(\phi_t\) peut s'évaluer si nous connaissons une primitive \(\psi_t\) telle que :

\[\OD{\psi_t}{s}(s) = \phi_t(s)\]

Mais cette expression consiste à évaluer la variation de \(\psi\) lorsque \(s\) varie, \(t\) étant fixé. Cela revient donc à une dérivée partielle par rapport à \(s\). Donc, si nous connaissons une fonction \(F\) telle que :

\[\deriveepartielle{F}{s}(s,t) = f(s,t)\]

nous pouvons réécrire l'intégrale :

\[\int_{a(t)}^{b(t)} f(s,t) \ ds = F(b(t),t) - F(a(t),t)\]

Il ne nous reste plus alors qu'à évaluer la dérivée de \(I\) par rapport à \(t\) en utilisant la règle des compositions de fonctions :

\[\OD{I}{t}(t) = \deriveepartielle{F}{s}(b(t),t) \cdot \OD{b}{t}(t) + \deriveepartielle{F}{t}(b(t),t) - \deriveepartielle{F}{s}(a(t),t) \cdot \OD{b}{t}(t) - \deriveepartielle{F}{t}(a(t),t)\]

Si \(F \in \continue^2(\setR^2,\setR)\), la symétrie des dérivées secondes nous permet d'écrire :

\[\deriveepartielle{F}{t} = \deriveepartielle{}{t} \left[ \deriveepartielle{f}{s} \right] = \deriveepartielle{}{s} \left[ \deriveepartielle{f}{t} \right]\]

La dérivée partielle de \(F\) par rapport à \(t\) est donc une primitive de la dérivée partielle de \(f\) par rapport à \(t\). On en déduit que :

\[\int_\alpha^\beta \deriveepartielle{f}{t}(s,t) \ ds = \deriveepartielle{F}{t}(\beta,t) - \deriveepartielle{F}{t}(\alpha,t)\]

pour tout \(\alpha,\beta \in \setR\). Pour un \(t\) fixé quelconque, on peut poser \(\alpha = a(t)\) et \(\beta = b(t)\). Il vient alors :

\[\OD{I}{t}(t) = \deriveepartielle{F}{s}(b(t),t) \cdot \OD{b}{t}(t) - \deriveepartielle{F}{s}(a(t),t) \cdot \OD{b}{t}(t) + \int_{a(t)}^{b(t)} \deriveepartielle{f}{t}(s,t) \ ds\]

Soit une fonction \(f : \setR^2 \mapsto \setR^m\) deux fois continument dérivable. Nous allons voir comment évaluer des approximations des dérivées premières et secondes de \(f\). On note \(\partial_x = \partial_1\) et \(\partial_y = \partial_2\). On choisit les réels \(x,y\) et la variation non nulle \(h \in \setR\).

• Chapitre \ref{chap:relation} : Les fonctions
• Chapitre \ref{chap:lineaire} : Les fonctions linéaires

On peut toujours associer une forme linéaire \(\varphi\) à une fonction intégrable quelconque \(\hat{\varphi}\) en définissant :

\[\forme{\varphi}{u} = \int_A u(x) \cdot \hat{\varphi}(x) \ dx\]

Inversément, on ne pourra pas toujours trouver une fonction \(\hat{\varphi}\) correspondant à une forme linéaire \(\varphi\) donnée. On définira malgré tout l'intégrale généralisée en notant :

\[\int_A u(x) \cdot \varphi(x) \ dx = \forme{\varphi}{u}\]

où il ne faut pas perdre de vue que \(\varphi\) n'est pas nécessairement une fonction.

Soit \(u : A \mapsto \setR\). A toute mesure \(\mu\), on peut associer une forme linéaire \(\hat{\mu}\) par :

\[\forme{ \hat{\mu} }{u} = \int_A u(x) \ d\mu(x)\]

Inversément, à toute forme linéaire \(\hat{\mu}\), on peut associer une fonction \(\mu : \sousens(\setR) \mapsto \setR\) par :

\[\mu(A) = \forme{ \hat{\mu} }{\indicatrice_A}\]

Toutefois, rien ne garantit que la fonction \(\mu\) ainsi définie est une mesure. En particulier, rien ne garantit qu'elle soit positive.

A toute fonction \(\hat{K} : A \times B \mapsto F\), on peut associer une forme bilinéaire \(K\) par :

\[\biforme{u}{K}{v} = \int_{A \times B} u(x) \cdot K(x,y) \cdot v(y) \ d\mu(x) \ d\nu(y)\]

pour toutes fonctions \(u,v : A \mapsto B\). Inversément, à toute forme bilinéaire \(K\), on peut associer une intégrale généralisée en notant :

\[\int_{A \times B} u(x) \cdot K(x,y) \cdot v(y) \ d\mu(x) \ d\nu(y) = \biforme{u}{K}{v}\]

Nous nous intéressons ici au cas où l'espace vectoriel \(E\) est un ensemble de fonctions intégrables : \(E = \mathcal{F} \subseteq \lebesgue^2(\setR,\setR)\). Les limites à l'infini doivent alors forcément s'annuler

\[\lim_{x \to +\infty} u(x) = \lim_{x \to -\infty} u(x) = 0\]

pour tout \(u \in \mathcal{F}\).

La distribution \(\dirac \in F^\dual\) de Dirac est définie par :

\[\forme{\dirac}{u} = u(0)\]

pour tout \(u \in F\). Elle correspond bien sûr à l'intégrale :

\[\int_\setR \dirac(x) \cdot u(x) \ dx = u(0)\]

On remarque que :

\[\int_{A^2} \dirac(\xi - x) \cdot K(\xi,\eta) \cdot \dirac(\eta - y) \ d\mu(\xi) \ d\nu(\eta) = K(x,y)\]

En intégrant par parties, on a :

mais comme les limites à l'infini s'annulent, cette expression se réduit à :

\[\int_{\setR} \OD{u}{x}(x) \cdot v(x) \ dx = - \int_{\setR} u(x) \cdot \OD{v}{x}(x) \ dx\]

Par extension, on définit la dérivée \(\OD{u}{x}\) d'une distribution \(u\) par :

\[\forme{\OD{u}{x}}{v} = - \forme{u}{\OD{v}{x}}\]

pour tout \(v\in F\).

Soit \(d_a\) l'opérateur de dilatation :

\[d_a(u)(x) = u(a \cdot x)\]

où \(a > 0\) est un réel strictement positif.

Le changement de variable \(\xi = a \cdot x\) nous donne \(d\xi = a \ dx\) et donc :

\[\int_{\setR} \hat{u}(a \ x) \ v(x) \ dx = \unsur{a} \int_{\setR} \hat{u}(\xi) \ v\left( \xi/a \right) \ d\xi\]

On définit donc l'extension de cet opérateur aux distributions par :

\[\forme{d_a(u)}{v} = \unsur{a} \forme{u}{d_{1/a}(v)}\]

L'opérateur de réflexion \(r\) se définit par :

\[r(u)(x) = u(-x)\]

Le changement de variable \(\xi = -x\) nous donne \(d\xi = -dx\) et donc :

\begin{align} \int_{\setR} \hat{u}(-x) \ v(x) \ dx &= \lim_{a \to +\infty}\int_{-a}^a \hat{u}(-x) \ v(x) \ dx \\ &= \lim_{a \to +\infty} - \int_a^{-a} \hat{u}(\xi) \ v(-\xi) \ d\xi \\ &= \lim_{a \to +\infty} \int^{-a}_a \hat{u}(\xi) \ v(-\xi) \ d\xi \end{align}

On définit donc l'extension de cet opérateur aux distributions par :

\[\forme{r(u)}{v} = \forme{u}{r(v)}\]

L'opérateur de translation \(t_a\) est défini par :

\[t_a(u)(x) = u(x - a)\]

Le changement de variable \(\xi = x - a\) nous donne \(d\xi = dx\) et donc :

\[\int_{\setR} \hat{u}(x-a) v(x) dx = \int_{\setR} \hat{u}(\xi) v(\xi+a) d\xi\]

On définit donc les extensions de cet opérateur aux distributions par :

\[\forme{t_a(u)}{v} = \forme{u}{t_{-a}(v)}\]

Les intégrales unidimensionnelles permettent de définir l'opérateur de convolution \(\convolution\). Soit deux fonctions \(u, v : \setR \mapsto \setR\), leur convolution est une fonction \(u \convolution v : \setR \mapsto \setR\) définie par :

\[(u \convolution v)(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} u(t-s) \ v(s) \ ds\]

pour tout \(t \in \setR\).

Les intégrales unidimensionnelles permettent de définir l'opérateur de corrélation \(\correlation\). Soit deux fonctions \(u, v : \setR \mapsto \setR\), leur corrélation est une fonction \(u \correlation v : \setR \mapsto \setR\) définie par :

\[(u \correlation v)(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} u(s+t) \ v(s) \ ds\]

pour tout \(t \in \setR\).

• Chapitre \ref{chap:differ} : Les différentielles
• Chapitre \ref{chap:integral} : Les intégrales

Soit \((\canonique_1,\canonique_2,...,\canonique_n)\) la bace canonique de \(\setR^n\) et la fonction tensorielle \(T : A \mapsto \tenseur_m(\setR^n)\) qui, à chaque \(x \in A\) associe un tenseur \(T(x)\) de la forme :

\[T(x) = \sum_{i,j,...,p} t_{ij...p}(x) \cdot \canonique_i \otimes \canonique_j \otimes ... \otimes \canonique_p\]

L'intégrale de cette fonction est définie par :

\[\int_A T(x) \ d\mu(x) = \sum_{i,j,...,p} I_{ij...p} \cdot \canonique_i \otimes \canonique_j \otimes ... \otimes \canonique_p\]

où chaque coordonnée \(I_{ij...p}\) est l'intégrale de la coordonnée correspondante de \(T\) :

\[I_{ij...p} = \int_A t_{ij...p}(x) \ d\mu(x)\]

Soit \(d\mu = dx = dx_1 \ ... \ dx_n\) la mesure de Lebesgue sur \(\setR^n\). On sait que \(dx\) représente la mesure de l'élément de volume \([x_1,x_1 + dx_1] \times ... \times [x_n,x_n + dx_N]\). Etant donné que nous avons construit le produit extérieur pour représenter (au signe près) des mesures de surfaces et de volumes, il est tout à fait naturel de le faire intervenir dans une mesure de Lebesgue. Soit la base canonique \((e_1,e_2,...,e_n)\) de \(\setR^n\) et les vecteurs :

\[\delta_i = dx_i \cdot e_i\]

où les \(dx_i\) sont bien évidemment des scalaires. Si nous évaluons le produit extérieur des ces vecteurs, nous obtenons :

\[\delta_1 \wedge \delta_2 \wedge ... \wedge \delta_n = \sum_{i,j,...,k} \permutation_{ij...k} \cdot dx_1 \cdot \delta_{1i} \cdot dx_2 \cdot \delta_{2j} \hdots \cdot dx_n \cdot \delta_{nk}\]

Le seul terme ne s'annulant pas étant \(\permutation_{1,2,...,n} = 1\), on a finalement :

\[\delta_1 \wedge \delta_2 \wedge ... \wedge \delta_n = dx_1 \cdot dx_2 \cdot ... \cdot dx_n = dx\]

Cette constatation nous amène à définir une mesure plus générale. Considérons à présent des vecteurs infinitésimaux \(\upsilon_1,\upsilon_2,...,\upsilon_n \in \setR^n\), c'est à dire des vecteurs dont la norme tendra vers zéro dans l'intégrale. Afin de garantir la positivité de la mesure, nous définissons :

\[du = \abs{\upsilon_1 \wedge \upsilon_2 \wedge ... \wedge \upsilon_n}\]

Il est même possible de définir des tenseurs différentiels \(dU\) en choisissant \(m \le n\) et en posant :

\[dU = \upsilon_1 \wedge \upsilon_2 \wedge ... \wedge \upsilon_m\]

Il est clair que \(dU \in \tenseur_{n - m}(\setR^n)\). On nomme ce type de tenseur une forme différentielle.

Soit \(m,n \in \setN\) avec \(m \le n\) et la fonction \(\phi : U \subseteq \setR^m \mapsto \setR^n\), dérivable et inversible. Le but est de paramétrer \(x\) sur \(\phi(U)\) par la relation \(x = \phi(u)\) pour tout \(u \in U\). Nous utilisons la base canonique \((e_1,e_2,...,e_m)\) de \(\setR^m\) et nous posons :

\[\delta_i = \phi(u + du_i \ e_i) - \phi(u) = \partial_i \phi(u) \ du_i\]

Sur \(\phi(U)\), on utilise le tenseur différentiel :

\[dX = \delta_1 \wedge \delta_2 \wedge ... \wedge \delta_m\]

La linéarité du produit extérieur nous permet d'ecrire :

\begin{align} dX &= \partial_1 \phi(u) \wedge \partial_2 \phi(u) \wedge ... \wedge \partial_m \phi(u) \ du_1 \ du_2 \ ... \ du_m \\ &= \partial_1 \phi(u) \wedge \partial_2 \phi(u) \wedge ... \wedge \partial_m \phi(u) \ du \end{align}

On définit le tenseur \(W \in \tenseur_{n - m}(\setR^n)\) associé à \(dX\) par :

\[W(u) = \partial_1 \phi(u) \wedge \partial_2 \phi(u) \wedge ... \wedge \partial_m \phi(u)\]

Deux cas peuvent alors se présenter.

Nous considérons à présent le cas où \(m = n\). Nous utilisons la base canonique \((e_1,e_2,...,e_n)\) de \(\setR^n\) et nous posons de nouveau :

\[\delta_i = \phi(u + du_i \ e_i) - \phi(u) = \partial_i \phi(u) \ du_i\]

On utilise la mesure :

\[dx = \abs{\delta_1 \wedge \delta_2 \wedge ... \wedge \delta_n}\]

On a alors :

\begin{align} dx &= \abs{\partial_1 \phi(u) \wedge \partial_2 \phi(u) \wedge ... \wedge \partial_n \phi(u) \ du} \\ &= \abs{\sum_{i,j,...,k} \permutation_{ij...k} \cdot \partial_1 \phi_i(u) \cdot \partial_2 \phi_j(u) \cdot \ \hdots \ \cdot \partial_n \phi_k(u)} \ du \\ &= \abs{\det \partial \phi(u)} \ du \end{align}

On voit donc apparaître le déterminant de la Jacobienne de \(\phi\). Comme on a l'équivalence \(x \in A \leftrightarrow u \in \phi^{-1}(A)\), le changement de variable peut s'écrire :

\[\int_A f(x) \ dx = \int_{\phi^{-1}(A)} (f\circ\phi)(u) \cdot \abs{ \det \partial \phi(u) } \ du\]

Soit une fonction continue \(\gamma : [a,b] \to \setR^n\) définissant la courbe \(\Lambda = \gamma([a,b])\). L'intégrale de ligne d'une fonction \(f : \setR^n \mapsto \setR^n\) sur cette courbe est l'intégrale de la contraction d'ordre \(1\) de \(f\) avec \(d\gamma\), qui revient ici au produit scalaire du vecteur \(f(x) \in \Lambda\) par le vecteur \(\partial \gamma(t)\). On a donc :

\[\int_\Lambda f\cdot d\Lambda = \int_a^b \scalaire{(f \circ \gamma)(t)}{\partial \gamma(t) } dt\]

Dans le cas d'une fonction \(g : \setR^n \mapsto \setR\), on utilise comme mesure la longueur \(\norme{\partial \gamma(t)}\) de chaque petit segment \(d\Lambda\). On a alors :

\[\int_\Lambda g \ d\Lambda = \int_a^b (g \circ \gamma)(t) \cdot \norme{\partial \gamma(t)} \ dt\]

Si \(\gamma(a) = \gamma(b)\), on dit que le contour fermé, et on note en général :

\[\oint_\Lambda = \int_\Lambda\]

Soit \(f : \setR^n \mapsto \setR^n\), \(\sigma : A \subseteq \setR^{n - 1} \mapsto \setR^n\) et la surface \(\Theta = \sigma(A)\). On définit les vecteurs :

\[\delta_i = \deriveepartielle{\sigma}{u_i} du_i\]

pour \(i = 1, ..., n - 1\). L'intégrale de surface est simplement la contraction d'ordre \(1\) :

\[\int_\Theta f \cdot d\Theta = \int_A \scalaire{(f \circ \sigma)(u)}{ \delta_1 \wedge ... \wedge \delta_{n-1} }\]

qui nous donne un scalaire. Dans le cas particulier où \(n = 3\) et où \(A = [U_1,U_2] \times [V_1,V_2]\), on a :

\[\int_\Theta f \cdot d\Theta = \int_{U_1}^{U_2} du \ \int_{V_1}^{V_2} (f \circ \sigma)(u,v) \cdot \left( \deriveepartielle{\sigma}{u}(u,v) \wedge \deriveepartielle{\sigma}{v}(u,v) \right) \ dv\]

Soit \(f : \setR^n \mapsto \setR^n\), \(\sigma : A \subseteq \setR^{n - 1} \mapsto \setR^n\) et la surface \(\Theta = \sigma(A)\). On définit les vecteurs :

\[\delta_i = \deriveepartielle{\sigma}{u_i} du_i\]

pour \(i = 1, ..., n - 1\). Utilisant comme mesure la norme du produit extérieur des \(\delta_i\), on obtient :

\[\int_\Theta f \ d\Theta = \int_A (f \circ \sigma)(u) \cdot \norme{ \delta_1 \wedge ... \wedge \delta_{n-1} }\]

Dans le cas particulier où \(n = 3\) et où \(A = [U_1,U_2] \times [V_1,V_2]\), on a :

\[\int_\Theta f \ d\Theta = \int_{U_1}^{U_2} du \ \int_{V_1}^{V_2} (f \circ \sigma)(u,v) \cdot \norme{ \deriveepartielle{\sigma}{u}(u,v) \wedge \deriveepartielle{\sigma}{v}(u,v) } \ dv\]

Soit \(A \subseteq \setR^n\) et la fonction \(a : \setR^n \to \setR\) telle que :

\[A = \{ x \in \setR^n : a(x) \le 0 \}\]

On s'arrange de plus pour avoir \(a\) constante sur la frontière :

\[\partial A = \{ x \in \setR^n : a(x) = 0 \}\]

On introduit le vecteur normal :

\[n = \unsur{\norme{\deriveepartielle{a}{x}}} \cdot \deriveepartielle{a}{x}\]

L'intégrale du flux sortant de la fonction \(f : \setR^n \to \setR^n\) est alors donnée par :

\[\int_{\partial A} \scalaire{f}{n} \ d\mu\]

Soit une fonction \(f : \setR^n \mapsto \setR\), les vecteurs infinitésimaux \(\delta_1,...,\delta_{n - 1} \in \setR^n\) et la forme différentielle :

\[\omega = f \cdot \delta_1 \wedge \delta_2 \wedge ... \wedge \delta_{n-1}\]

Si \(f\) est différentiable, on définit la différentielle de \(\omega\) par :

\[d\omega = \sum_i \deriveepartielle{f}{x_i} \cdot \kappa_i \wedge \delta_1 \wedge \delta_2 \wedge ... \wedge \delta_{n-1}\]

où :

\[\kappa_i = dx_i \cdot e_i\]

On note aussi symboliquement :

\[d\omega = df \wedge dx_1 \wedge ... \wedge dx_{n-1}\]

On peut montrer sous certaines conditions que l'intégrale sur la frontière de \(A\) est alors donnée par :

\[\int_{\partial A} \omega = \int_A d\omega\]

Soit \(f,g : \setR^2 \mapsto \setR\) et les vecteurs infinitésimaux :

Considérons la forme différentielle :

\[\omega = f \delta x + g \delta y\]

Si les fonctions sont différentiables, on a alors :

\[d\omega = \deriveepartielle{f}{x} \delta x \wedge \delta x + \deriveepartielle{f}{y} \delta y \wedge \delta x + \deriveepartielle{g}{x} \delta x \wedge \delta y + \deriveepartielle{g}{y} \delta y \wedge \delta y\]

Mais comme :

il vient :

\[d\omega = \left( \deriveepartielle{g}{x} - \deriveepartielle{f}{y} \right) \delta x \wedge \delta y\]

En intégrant, on obtient alors :

\[\int_{\partial A} (f \ \delta x + g \ \delta y) = \int_A \left( \deriveepartielle{g}{x} - \deriveepartielle{f}{y} \right) dx \wedge dy\]

Mais comme nous somme dans la base canonique, on a \(\delta x \wedge \delta y = dx \ dy\) et :

\[\int_{\partial A} (f \ \delta x + g \ \delta y) = \int_A \left( \deriveepartielle{g}{x} - \deriveepartielle{f}{y} \right) \ dx \ dy\]

• Chapitre \ref{chap:vecteur} : Les vecteurs
• Chapitre \ref{chap:ps} : Les produits scalaires
• Chapitre \ref{chap:tenseur} : Les tenseurs

Les indices inférieurs (le \(i\) des vecteurs \(a_i^j\) par exemple) des tenseurs sont appelés indices covariants.

Les indices supérieurs (le \(j\) des vecteurs \(a_i^j\) par exemple) des tenseurs sont appelés indices contravariants.

Ne pas confondre ces indices supérieurs contravariants , très utilisés en calcul tensoriel, avec les puissances ! Dans le contexte des tenseurs, une éventuelle puissance d'un scalaire \(\theta_i^j\) serait notée au besoin par :

\[\big( \theta_j^i \big)^m = \theta_j^i \cdot ... \cdot \theta_j^i\]

Soit l'espace vectoriel \(E = \setR^n\) sur \(\setR\). Les coordonnées curvilignes sont basées sur la notion de position \(r\), exprimée comme une fonction de certains paramètres \(x \in \setR^n\) que nous appelons « coordonnées » de \(r\) :

\[r = \rho(x)\]

où \(\rho : \setR^n \to \setR^n\). Nous envisageons également le cas du changement de variable. La position dépend alors d'un autre jeu de coordonnées \(y \in \setR^n\) :

\[r = \sigma(y)\]

où \(\sigma : \setR^n \to \setR^n\). Nous définissons les vecteurs fondamentaux \(e_i\) et \(e^i\) au moyen de ces fonctions :

de telle sorte que :

\[dr = \sum_i e_i \ dx^i = \sum_i e^i \ dy_i\]

Nous supposons que \((e_1, ..., e_n)\) et \((e^1, ..., e^n)\) sont des bases de \(E\).

Si les fonctions \(\rho\) et \(\sigma\) sont inversibles, on a :

où nous avons implicitement défini \(\phi = \rho^{-1} \circ \sigma\) et \(\psi = \sigma^{-1} \circ \rho\). Nous notons \(\deriveepartielle{x^i}{y_j}\) et \(\deriveepartielle{y_i}{x^j}\) les coordonnées des dérivées de \(\phi\) et \(\psi\) suivant les bases formées par les \(e_i\) et les \(e^i\) :

La composition des dérivées nous donne les relations :

qui nous permettent de relier les \(e_i\) aux \(e^j\) et inversément.

Les produits intérieurs entre vecteurs de base se notent habituellement :

Il est clair d'après les propriétés de symétrie de ce produit que :

Le produit scalaire de deux vecteurs \(a,b\in E\) définis par :

peut s'écrire indifféremment comme :

Et en particulier, la longeur \(ds\) d'un changement de position \(dr\) vérifie :

\[(ds)^2 = \scalaire{dr}{dr} = \sum_{i,j} g_{ij} \ dx^i \ dx^j = \sum_{i,j} g^{ij} \ dy_i \ dy_j\]

De plus, les relations entre les vecteurs \(e_i\) et les vecteurs \(e^i\) permettent de déduire, en utilisant la linéarité du produit scalaire :

Nous allons à présent voir comment évolue un vecteur \(a\in E\), que l'on note sous la forme :

\[a = \sum_i a^i \ e_i\]

où les coordonnées \(a^i\in\setR\) tout comme les vecteurs de base \(e_i\) dépendent des coordonnées \(x^i\). La règle de dérivation d'un produit nous donne :

\[da = \sum_i da^i \ e_i + \sum_k a^k \ de_k\]

La différentielle \(da^i\) s'obtient directement :

\[da^i = \sum_j \deriveepartielle{a^i}{x^j} \ dx^j\]

On peut suivre la même règle avec \(de_i\) :

\[de_k = \sum_j \deriveepartielle{e_k}{x^j} \ dx^j\]

Les symboles de Christoffel \(\christoffel{i}{kj}\) sont définis comme les coordonnées de \(\deriveepartielle{e_k}{x^j}\) suivant la base \((e_1, ..., e_n)\) :

\[\deriveepartielle{e_k}{x^j} = \sum_i \christoffel{i}{kj} \ e_i\]

Notons que comme :

\[\deriveepartielle{e_k}{x^j} = \dfdxdy{r}{x^j}{x^k} = \dfdxdy{r}{x^k}{x^j} = \deriveepartielle{e_j}{x^k}\]

on a la symétrie :

\[\christoffel{i}{kj} = \christoffel{i}{jk}\]

On peut évaluer ces symboles si on connait par exemple les valeurs des :

\begin{align} \scalaire{e^i}{ \deriveepartielle{e_k}{x^j} } &= \sum_m \christoffel{m}{kj} \ \scalaire{e^i}{e_m} \\ &= \sum_m \christoffel{m}{kj} \ g^i_m \end{align}

On a alors, pour chaque choix de \(k,j\) un système linéaire à résoudre. Il suffit d'inverser la matrice \(G = (g^i_m)_{i,m}\) pour obtenir les valeurs des symboles.

La dérivation d'un vecteur \(a\in E\) s'écrit alors :

\[da = \sum_{i,j} e_i \ dx^j \ \left[ \deriveepartielle{a^i}{x^j} + \sum_k \christoffel{i}{kj} \ a^k \right]\]

On définit les coordonnées :

\[\gradient_j a^i = \deriveepartielle{a^i}{x^j} + \sum_k \christoffel{i}{kj} \ a^k\]

Dans le cas où les coordonnées dépendent d'un paramètre \(t\in\setR\), on a :

\begin{align} \OD{a}{t} &= \sum_{i,j} e_i \ \OD{x^j}{t} \ \left[ \deriveepartielle{a^i}{x^j} + \sum_k \christoffel{i}{kj} \ a^k \right] \\ &= \sum_{i} e_i \ \left[ \OD{a^i}{t} + \sum_{j,k} \christoffel{i}{kj} \ a^k \ \OD{x^j}{t} \right] \end{align}

Nous allons recommencer le même processus, écrivant cette fois \(a\in E\) sous la forme :

\[a = \sum_i a_i \ e^i\]

Les coordonnées \(a_i\in\setR\) tout comme les vecteurs de base \(e^i\) dépendent des coordonnées \(y_i\). En suivant la même méthode que ci-dessus, on obtient :

\[da = \sum_{i,j} e^i \ dy_j \left[ \deriveepartielle{a_i}{y_j} + \sum_k \christoffel{kj}{i} \ a_k \right]\]

où l'on a introduit de nouveaux symboles de Christoffel, définis par :

\[\deriveepartielle{e^k}{y_j} = \sum_i \christoffel{kj}{i} \ e^i\]

Ces nouveaux symboles présentent la symétrie :

\[\christoffel{kj}{i} = \christoffel{jk}{i}\]

On étend simplement la notion de dérivée aux tenseurs en appliquant la formule :

\[d(a \otimes b) = da \otimes b + a \otimes db\]

où \(a\) et \(b\) sont deux tenseurs d'ordre quelconque. Par exemple, pour le tenseur :

\[T = \sum_{i,j} T^i_j \ e_i \otimes e^j\]

on a :

\[dT = \sum_{i,j} \left[ dT^i_j \ e_i \otimes e^j + T^i_j \ de_i \otimes e^j + T^i_j \ e_i \otimes de^j \right]\]

qui devient, en introduisant les symboles de Christoffel :

\[dT = \sum_{i,j} e_i \otimes e^j \left[ dT^i_j + \sum_{k,m} \christoffel{i}{mk} \ T^m_j \ dx^k + \sum_{k,m} \christoffel{mk}{j} \ T^i_m \ dy_k \right]\]

Lorsqu'on différentie les \(g_{ij}\), on obtient :

\begin{align} dg_{ij} &= \scalaire{de_i}{e_j} + \scalaire{e_i}{de_j} \\ &= \sum_{k,l} \christoffel{k}{il} \ g_{kj} \ dx^l + \sum_{k,l} \christoffel{k}{jl} \ g_{ik} \ dx^l \end{align}

On en déduit que :

\[\deriveepartielle{g_{ij}}{x^l} = \sum_k \christoffel{k}{il} \ g_{kj} + \sum_k \christoffel{k}{jl} \ g_{ik}\]

Définissons :

\[\gamma_{ijl} = \sum_k \christoffel{k}{il} \ g_{kj}\]

Les propriétés de symétrie des symboles de Christoffel nous montrent que :

\[\gamma_{ijl} = \gamma_{ilj}\]

Et comme (changement de l'indice \(l\) en \(k\)) :

\[\deriveepartielle{g_{ij}}{x^k} = \gamma_{ijk} + \gamma_{jik}\]

On en déduit :

\begin{align} \deriveepartielle{g_{ij}}{x^k} + \deriveepartielle{g_{jk}}{x^i} - \deriveepartielle{g_{ki}}{x^j} &= 2 \ \gamma_{jik} \\ &= 2 \sum_l \christoffel{l}{jk} \ g_{li} \end{align}

AFAIRE : LA FIN DU CHAPITRE EST A DÉBROUILLONNER

AFAIRE : ARRANGER LE CHAPITRE

Il est clair d'après la définition des polynômes que les espaces \(\mathcal{P}_n\) sont des espaces vectoriels pour l'ensemble des scalaires \(S=\setR\) et que :

\[\mathcal{P}_n = \ev{\mu_0,\mu_1,...,\mu_n}\]

Nous allons montrer que \((\mu_0,\mu_1,...,\mu_n)\) forme une base de \(\mathcal{P}_n\). Pour cela, il nous reste à prouver l'indépendance linéaire des \(\mu_i\) :

\[\sum_{i=0}^n a_i \mu_i = 0 \quad\Rightarrow\quad a_0 = a_1 = ... = a_n = 0\]

c'est-à-dire :

\[\sum_{i=0}^n a_i x^i = 0 \quad\forall x \in\setR \quad\Rightarrow\quad a_0 = a_1 = ... = a_n = 0\]

Nous allons le montrer par récurrence.

Comme \(\mu_0=1\) on a évidemment :

\[a_0 1 = 0 \quad\Rightarrow\quad a_0 = 0\]

et la thèse est vraie pour \(n=0\). Supposons à présent qu'elle soit vraie pour \(n-1\). Choisissons \(p\in\mathcal{P}_n\) :

\[p(x) = \sum_{i=0}^n a_i x^i\]

et supposons que \(p(x) = 0\) pour tout \(x\in\setR\). Comme \(p(0)=0\), on a :

\[a_0 = 0\]

donc :

\[p(x) = \sum_{i=1}^n a_i x^i = x q(x) = 0\]

où l'on à définit \(q\in\mathcal{P}_{n-1}\) par :

\[q(x) = \sum_{i=1}^n a_i x^{i-1}\]

Il est clair que, pour tout \(x\ne 0\), \(q(x) = 0\). Mais comme les polynômes sont des fonctions continues, on a :

\[q(0) = \lim_{ \substack{ x \rightarrow 0 \\ x \ne 0 } } q(x) = 0\]

Donc \(q\) s'annule également en \(0\). On en conclut que \(q(x)\) est nul pour tout \(x\in\setR\). Par l'hypothèse de récurrence, les coefficients de ce polynôme sont tous nuls :

\[a_1 = a_2 = ... = a_n = 0\]

Rassemblant les résultats, il vient :

\[a_0 = a_1 = ... = a_n = 0\]

et \((\mu_0,\mu_1,...,\mu_n)\) forme bien une base de \(\mathcal{P}_n\).

Nous allons à présent voir comment construire des suites de polynômes orthogonaux pour le produit scalaire :

\[\scalaire{p}{q} = \int_a^b p(x) q(x) d\mu(x)\]

ou, lorsque c'est possible :

\[\scalaire{p}{q} = \int_a^b p(x) q(x) w(x) dx\]

Les polynômes de Legendre sont orthogonaux pour le produit scalaire :

\[\int_{-1}^1 P_n(x) P_m(x) dx = \frac{2}{2 n + 1} \delta_{mn}\]

Ils obéissent à la récurrence :

Un problème d'interpolation consiste à trouver les coefficients : \(a_i\in\setR\) tels que la fonction :

\[u = \sum_{i=1}^n a_i u_i\]

où les \(u_i\) sont des polynômes de degré \(n\), vérifie :

\[\form{\phi_i}{u} = y_i\]

pour tout \(i=1,2,...,n\), où les \(\phi_i\) sont des formes linéaires de \(\mathcal{P}_N^D\) et les \(y_i\) des réels donnés.

On utilise couramment des bases biorthogonales :

\[\form{\phi_i}{u_j} = \delta_{ij}\]

et on a alors simplement :

\[a_i = \form{\phi_i}{u}\]

L'exemple le plus courant est :

pour une certaine fonction \(f\) à interpoler. Les conditions ci-dessus se résument alors à l'égalité de \(f\) et de \(u\) en un nombre fini de points :

\[u(x_i) = f(x_i)\]

On rencontre parfois aussi le cas :