Eclats de vers : Matemat 11 : Équations différentielles - 4

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1 Fonctions trigonométriques inverses

Les fonctions trigonométriques ne sont pas inversible. Soit \(y \in \setR\) et \(s \in \setR\) une solution du problème :

\[\sin(s) = y\]

alors, pour tout \(k \in \setN\), on a :

\[\sin(x + 2 \ k \ \pi) = \sin(x) = y\]

L'ensemble des solutions :

$$S(x) = \{ x ∈ \setR

De même pour la fonction \(\cos\). Par contre, elles sont localement inversible, et on peut définir les fonctions \(\arcsin\), \(\arccos\), \(\arctan\) par :

\( \arcsin(y) = x \\ \Leftrightarrow\\ y = \sin(x) \\ x \in [-\pi/2,\pi/2] \)

\( \arccos(y) = x \\ \Leftrightarrow\\ y = \cos(x) \\ x \in [0,\pi] \)

\( \arctan(y) = x \\ \Leftrightarrow\\ y = \tan(x) \\ x \in [-\pi/2,\pi/2] \)

2 Equations aux dérivées partielles

2.1 Courbes caractéristiques

Soit \(u \in F = \continue^1(\setR^2,\setR)\) et l'équation aux dérivées partielles à résoudre sur \(\Omega\subseteq\setR^2\) :

\[a(x,y,u) \ u_x(x,y) + b(x,y,u) \ u_y(x,y) = c(x,y,u)\]

où nous introduisons les notations :

\( u_x(x,y) = \deriveepartielle{u}{x}(x,y) \\ u_y(x,y) = \deriveepartielle{u}{y}(x,y) \)

Les coefficients \(a,b,c\) sont en général des fonctions de \(x,y,u\) mais ne peuvent pas dépendre de \(u_x\) ni de \(u_y\). Soit à présent la courbe \(\Gamma\) définie par :

\[\Gamma = \{ \left(w_x(t),w_y(t)\right) : t \in\setR \}\]

où \(w_x\) et \(w_y\) sont des fonctions dérivables. Définissons la restriction de \(u\) à \(\Gamma\) :

\[\varphi(t) = u\left(w_x(t),w_y(t)\right)\]

Si on s'arrange pour que :

\( \OD{w_x}{t}(t) = a(w_x(t),w_y(t),u(w_x(t),w_y(t))) \\ \OD{w_y}{t}(t) = b(w_x(t),w_y(t),u(w_x(t),w_y(t))) \)

On a alors :

\[\OD{\varphi}{t} = u_x \ a + u_y \ b = c\]

Définissons alors :

\[f : (t,u) \mapsto c\left(w_x(t),w_y(t),u\right)\]

On a :

\[\OD{\varphi}{t}(t) = f(t,u(t))\]

qui est une équation différentielle ordinaire en \(t\). On peut donc connaître \(\varphi\) et donc \(u\) sur \(\Gamma\) si on ajoute la condition initiale :

\[\varphi(0) = u_0\]

On dit alors que \(\Gamma\) est une courbe caractéristique de l'équation aux dérivées partielles.

2.2 Fonction de Green

Soit un espace fonctionnel \(F \subseteq \Leb^2(\setR^n,\setR)\) et une forme \(\forme{}{} : F^D \times F \mapsto \setR\) à laquelle on associe par abus de notation :

\[\int_A u(x) \cdot v(x) \ dx = \forme{u}{v}\]

où \(A \subseteq \setR^n\).

Soit un opérateur \(L : F \mapsto \Leb^2(\setR^n,\setR)\) qui vérifie :

\[\forme{u}{L(v)} = \forme{L(u)}{v}\]

pour tout \(u,v\in F\). On dit d'un tel opérateur qu'il est auto-adjoint.

Nous nous intéressons à l'équation différentielle :

\[L(u) = f\]

où \(f \in F\).

Introduisons la distribution \(\delta\) de Dirac :

\[\int_A \delta(x-a) \ f(x) \ dx = f(a)\]

et définissons la famille de solutions \(v_x\) telles que :

\[L(v_x)(y)=\delta(y-x)\]

On peut alors définir la fonction de Green \(G\) :

\[G(x,y)=v_x(y)\]

Mais les propriétés de \(L\) nous permettent d'écrire :

\[\forme{L(v_x)}{u} = \forme{v_x}{L(u)}\]

Si \(u\) est la solution de \(L(u) = f\), l'équation précédente peut se formeuler comme :

\[\int_A \delta(y-x) \ u(y) \ dy = \int_A v_x(y) \ f(y) \ dy\]

et finalement :

\[u(x) = \int_A G(x,y) \ f(y) \ dy\]

2.2.1 Exemple d'opérateur auto-adjoint

Comme exemple d'opérateur auto-adjoint, citons :

\[L : u \mapsto \lapl u = \sum_i \dfdxdx{u}{x_i}\]

3 Algorithmes de résolution d'EDO

\label{chap:algoedo}

3.1 Introduction

AFAIRE : ARRANGER LE CHAPITRE

Le but est de calculer une approximation de la solution \(y\) de

\( \OD{y}{x}(x) = f(x,y(x)) \\ y(0) = y_0 \)

Pour cela, on choisit \(n\) points \(x_i\), et on tente de progresser en évaluant les approximations successives \(y_{i+1} \approx y(x_{i+1})\) à partir de \(y_i\), pour $i=0,1,2,…$. On pose :

\[h_i = x_{i+1} - x_i\]

3.1.1 Euler

On se sert de la formulation intégrale correspondant à l'équation différentielle que l'on veut résoudre :

\[y_{i+1} = y_i + \int_{x_i}^{x_{i+1}} f(x,y(x)) \ dx\]

Si \(h_i\) est suffisamment petit, la fonction \(y\) sera plus ou moins constante sur l'intervalle \([x_i,x_{i+1}]\) et on peut approximer la formulation intégrale par :

\[y_{i+1} = y_i + h_i \cdot f(x_i,y_i)\]

Cette méthode se nomme Euler explicite.

\label{page:euler_expl}

3.1.2 Predicteur - Correcteur

On part de nouveau de :

\[y_{i+1} = y_i + \int_{x_i}^{x_{i+1}} f(x,y(x)) \ dx\]

On commence par calculer une première estimation de \(y(x_{i+1})\) en utilisant la méthode d'Euler explicite :

\[y_{i+1}^* = y_i + h_i \cdot f(x_i,y_i)\]

La valeur \(y_{i+1}^*\) ainsi obtenue est nommé prédicteur.

Une fois cette première estimation évaluée, on construit une meilleure approximation de l'intégrale en supposant que, pour \(t\in [0,1]\) :

\[f\left(x_i + t \cdot h_i,y(x_i + t h_i)\right) \approx f_i + t \cdot (f^*_{i+1} - f_i)\]

avec :

\( f_i = f(x_i,y_i) \\ f^*_{i+1} = f(x_{i+1},y^*_{i+1}) \)

On obtient :

\begin{align} \int_{x_i}^{x_{i+1}} f(x,y(x)) \ dx &\approx& h_i \int_0^1 \left[ f_i + t \cdot (f^*_{i+1} - f_i) \right] dt \\ &\approx& \frac{h_i}{2} \cdot \left( f_i + f^*_{i+1} \right) \end{align}

L'étape correctrice s'écrit donc :

\[y_{i+1} = y_i + \frac{h_i}{2} \cdot [f(x_i,y_i) + f(x_{i+1},y_{i+1}^*)]\]

3.1.3 Taylor

Partant des dérivées de la fonction \(y(x) = f(x,y(x))\) :

\begin{align} \OD{y}{x} &= f \\ \frac{d^2 y}{dx^2} &= \deriveepartielle{f}{x}+\deriveepartielle{f}{y}\OD{y}{x} = \deriveepartielle{f}{x}+\deriveepartielle{f}{y} f \\ \frac{d^3 y}{dx^3} &= ... \end{align}

on peut écrire le développement en série de Taylor de \(y\) autour de \(x_i\) :

\[y_{i+1} = y_i + f(x_i,h_i) \ h_i + \OD{f}{x}(x_i,y_i) \ \frac{h_i^2}{2} + ...\]

4 Algorithmes de résolution d'EDP

4.1 Résolution par les caractéristiques

AFAIRE : ARRANGER LE CHAPITRE

Soit une équation du premier ordre à résoudre :

\[a(x,y,u) \ u_x(x,y) + b(x,y,u) \ u_y(x,y) = c(x,y,u)\]

Supposons que l'on connaisse la valeur de la solution :

\[u_{i0} = u(x_{i0},y_{i0})\]

pour \(i = 1,2,...,n\). Les équations :

\[\OD{x}{t} = a \qquad \OD{y}{t} = b \qquad \OD{u}{t} = c\]

nous permettent de construire simultanément les courbes caractéristiques et la solution. Par exemple, si on utilise le schéma d'Euler explicite, on a :

\( x_{i,k+1} = x_{ik} + h_k \ a(x_{ik},y_{ik},u_{ik}) \\ y_{i,k+1} = y_{ik} + h_k \ b(x_{ik},y_{ik},u_{ik}) \\ u_{i,k+1} = u_{ik} + h_k \ c(x_{ik},y_{ik},u_{ik}) \)

4.2 Différences finies

On vérifie sur le développement de Taylor de \(u\) que :

\( u_x(x,y) \approx \frac{u(x+h,y) - u(x-h,y)}{2 h} \\ u_y(x,y) \approx \frac{u(x,y+h) - u(x,y-h)}{2 h} \)

pour les dérivées premières et :

\( u_{xx}(x,y) \approx \unsur{h^2} \ \left(u(x+h,y)-2 u(x,y) + u(x-h,y)\right) \\ u_{yy}(x,y) \approx \unsur{h^2} \ \left(u(x,y+h)-2 u(x,y) + u(x,y-h)\right) \\ u_{xy}(x,y) \approx \unsur{4h^2} \ \left(u(x+h,y+h) + u(x-h,y-h) \right\relax \\ \qquad\qquad \left\relax - u(x+h,y-h) - u(x-h,y+h)\right) \)

pour les dérivées secondes. L'erreur converge vers \(0\) aussi vite que \(h^2\). Posons :

\[U_{ij} = u(i h, j h)\]

Les dérivées approximatives s'écrivent :

\( u_x \approx \Delta_x U_{ij} = \unsur{2 h} \ (U_{i+1,j} - U_{i-1,j}) \\ u_y \approx \Delta_y U_{ij} = \unsur{2 h} \ (U_{i,j+1} - U_{i,j-1}) \)

et :

\( u_{xx} \approx \Delta_x^2 U_{ij} = \unsur{h^2} \ (U_{i+1,j} - 2 U_{ij} + U_{i-1,j}) \\ u_{yy} \approx \Delta_y^2 U_{ij} = \unsur{h^2} \ (U_{i,j+1} - 2 U_{ij} + U_{i,j-1}) \\ u_{xy} \approx \Delta_x\Delta_y U_{ij} = \unsur{4 h^2} \ (U_{i+1,j+1} - U_{i+1,j-1} - U_{i-1,j+1} + U_{i-1,j-1}) \)

On substitue alors ces expressions dans l'équation :

\[F(x,y,u,u_x,u_y,u_{xx},u_{xy},u_{yy}) = 0\]

et on obtient un système linéaire à résoudre en les \(U_{ij}\).

4.3 Eléments finis

\label{sec:elements_finis}

Soient des espaces fonctionnels \(F,H\subset\fonction(\Omega,\setR)\) et un opérateur linéaire :

\[L \in \lineaire(F,H)\]

Nous cherchons à résoudre de manière approchée l'équation différentielle associée :

\[L(u) = f\]

où \(f\) est une fonction de \(H\). La méthode des éléments finis consiste à imposer l'annulation de l'intégrale du résidu \(L(u)\), pondéré par des fonctions \(\psi_i\) :

\[\int_\Omega \left[L(u)(x)-f(x)] \ \psi_i(x) \ dx = 0\]

pour \(i = 1,2,...,n\). Afin de résoudre ce problème, on discrétise la solution approchée \(u\) :

\[u(x) = \sum_{i=1}^n U_i \ \varphi_i(x)\]

où les \(U_i\) sont des réels et les \(\varphi_i\) des fonctions de \(F\). On définit les grandeurs :

\( A_{ij} = \int_\Omega L(\varphi_i)(x) \ \psi_i(x) \ dx \\ F_i = \int_\Omega f(x) \ \psi_i(x) \ dx \)

et les matrices :

\( U = (U_i)_i \\ A = (A_{ij})_{i,j} \\ F = (F_i)_i \)

En utilisant la linéarité de \(L\), l'équation des résidus pondérés :

\[\int_\Omega L(u)(x) \ \psi_i(x) \ dx = \int_\Omega f(x) \ \psi_i(x) \ dx\]

devient :

\[A \ U = F\]

soit un système linéaire à résoudre en \(U\) :

\[U = A^{-1} \ F\]

ce qui nous donne une forme approchée \(u\) de la solution exacte.

Auteur: chimay

Created: 2019-10-01 mar 12:33

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