Eclats de vers : Matemat 12 : Analyse complexe - 1

• Chapitre \ref{chap:complexe} : Les complexes

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Considérons l'unique solution \(x\) de l'équation différentielle :

où \(z \in \setC\). On définit alors l'exponentielle d'un nombre complexe par :

\[\exp( z \cdot t ) = x(t)\]

On a donc simplement :

\[\exp(z) = x(1)\]

Comme les fonctions :

vérifient la même équation différentielle :

on a \(s(t) = p(t)\) pour tout \(t\). En considérant le cas \(t=1\), on arrive à la propriété d'additivité des exponentielles :

\[\exp(z_1 + z_2) = \exp(z_1) \cdot \exp(z_2)\]

Considérons maintenant le cas particulier où \(u(t) = \exp(\img t)\) :

On a alors :

\[\frac{d^2 u}{dt^2}(t) = - u(t) \qquad u(0) = 1 \qquad \OD{u}{t}(0) = \img\]

Soit la fonction \(u : \setR \mapsto \setR\) définie pour tout réel \(t\) par :

\[u(t) = \cos(t) + \img \sin(t)\]

On voit que :

\[\OD{u}{t} = -\sin(t) + \img \cos(t)\]

vérifie la même équation. Par unicité de la solution, on a :

\[\exp(\img t) = \cos(t) + \img \sin(t)\]

On en déduit directement que :

ainsi que la périodicité :

\[\exp(t+2\pi) = \exp(t)\]

pour tout \(t\in\setR\).

En utilisant l'additivité, on note que :

\[\exp(z) = \exp(a) \cdot \exp(\img b) = \exp(a) \cdot (\cos(b) + \img \sin(b))\]

De la même façon, si nous prenons \(u(t) = \exp(-i.t)\), nous en déduisons :

Donc :

\[\exp(-\img t) = \cos(t) - \img \sin(t)\]

En additionnant, puis en soustrayant les relations :

on obtient :

Choisissant un angle \(\theta\in\setR\) tel que :

on peut réexprimer \(z\) comme :

\[z = \abs{z}(\cos(\theta)+\img\sin(\theta)) = \abs{z}\exp(\img\theta)\]

Comme les fonctions \(\cos\) sont \(2\pi\) périodiques, il existe une infinité d'angles \(\theta\) vérifiant cette propriété. On définit l'argument de \(z\) comme l'unique \(\theta\) vérifiant cette propriété et se trouvant dans l'intervalle \([0,2\pi)\).

Inspiré par relation :

\[z = \abs{z}\exp(\img\arg(z))\]

et cherchant à étendre la propriété :

\[\ln(x \cdot y) = \ln(x) + \ln(y)\]

du logarithme sur \(\setR\), on définit le logarithme d'un complexe par :

Pour un \(z \in \setC\) donné, l'ensemble des \(y \in \setC\) tels que :

\[\exp(y) = z\]

peut s'écrire :

\[\mathcal{Y} = \{ y_k = \ln(\abs{z}) + \img \arg(z) + 2 \pi \img k : k \in \setZ \}\]

Les complexes permettent de retrouver aisément les propriétés fondamentales des fonctions trigonométriques \(\cos\), \(\sin\). En se rappelant que :

\[\exp(-\img t) \cdot \exp(i t) = \exp(i t - i t) = \exp(0) = 1\]

on retombe sur :

En dérivant la relation reliant l'exponentielle aux fonctions trigonométriques, on obtient :

on a bien :

On a aussi :

ce qui donne, tous calculs faits :

• Chapitre \ref{chap:differ} : Les différentielles
• Chapitre \ref{chap:integ} : Les intégrales

On définit la dérivée d'une fonction \(f : \setC \mapsto \setC\) par analogie avec la dérivée des fonctions réelles :

\[\OD{f}{z}(z) = \lim_{ \substack{ h \to 0 \\ h \in\setC } } \frac{f(z+h) - f(z)}{h}\]

Si \(f\) est dérivable sur \(A\subseteq\setC\), on dit qu'elle est analytique sur \(A\).

On définit les fonctions \(u,v : \setR^2 \mapsto \setR\) associées à \(f\) par :

On a alors \(f(z) = u(x,y) + \img v(x,y)\). Si \(f\) est dérivable, la limite ne peut pas dépendre du chemin suivi pour arriver en \((x,y)\). On peut donc choisir \(h\) de la forme \(\Delta x\) ou \(\img \Delta y\) avec \(\Delta x,\Delta y\in\setR\). Cela donne :

et par comparaison :

En dérivant de nouveau ces équations, on obtient :

Les puissances de \(z\) sont dérivables. On vérifie que :

\[\OD{z^n}{z}=n z^{n-1}\]

Soit une fonction \(f : A \mapsto \setC\). Comme \(u = \Re(f)\) et \(v = \Im(f)\) sont des fonctions à valeurs réelles :

\[u,v : A \mapsto \setR\]

leur intégrale est bien définie. On définit alors l'intégrale de \(f\) par :

\[\int_A f d\mu = \int_A u d\mu + \img \int_A v d\mu\]

Soit une fonction \(\gamma : [a,b] \mapsto \setC\) et la courbe :

\[l = \{ \gamma(t) : t \in [a,b] \} \subset \setC\]

On définit l'intégrale de ligne de \(f\) sur \(l\) par :

\[\int_l f(z) dz = \int_a^b (f \circ \gamma)(t) \OD{\gamma}{t}(t) dt\]

On peut également écrire :

où les intégrales des membres de droites sont des intégrales de ligne classiques de fonctions \(\setR^2 \mapsto \setR\).

Les polynômes de Chebyshev \(T_n\) sont défini par :

Il est clair que :

Les propriétés des fonctions trigonométriques :

nous montrent que :

\[T_{n+m}(x) + T_{n-m}(x) = 2 T_n(x) T_m(x)\]

On en déduit entre autre que :

\[T_{n+1}(x) + T_{n-1}(x) = 2 x T_n(x)\]

Les fonctions \(T_n\) sont donc des polynômes. Comme :

\[T_n \left[ \cos\left(\frac{2k+1}{2n}\right) \right] = 0\]

les racines sont données par :

\[x_k = \cos\left(\frac{2k+1}{2n}\right)\]

pour \(k=0,1,...,n-1\). On déduit aussi la propriété suivante de la définition :

\[(T_n \circ T_m)(x) = T_{m \cdot n}(x) = (T_m \circ T_n)(x)\]

Nous allons voir que les \(T_n\) sont orthogonaux moyennant un certain poids. Si \(m = n = 0\), il est clair que :

\[\int_0^\pi T_0(\cos(\theta)) T_0(\cos(\theta)) d\theta = \int_0^\pi d\theta = \pi\]

Si \(m, n \ne 0\), on a :

Si \(m = n\), on a alors :

\[\int_0^\pi T_m(\cos(\theta)) T_n(\cos(\theta)) d\theta = \unsur{2n} [\sin(2 n \pi) - \sin(0)] + \frac{\pi}{2}\]

La première intégrale s'annule donc par périodicité de la fonction \(\sin\). A présent, si \(m \ne n\), on a :

Rassemblant ces résultats, on obtient :

Le changement de variable \(x = \cos(\theta)\),

nous donne :

\[\int_0^\pi T_m(\cos\theta) T_n(\cos\theta) d\theta = \int_{-1}^1 \frac{T_m(x) T_n(x)}{\sqrt{1-x^2}}dx\]

On en déduit que :

\[\int_{-1}^1 \frac{T_m(x) T_n(x)}{\sqrt{1-x^2}} dx = \delta_{mn} \frac{\pi}{2} (1+\delta_{m,0})\]

pour tout \(m,n\in\setN\).

Les polynômes de Hermite sont orthogonaux pour le produit scalaire :

\[\int_{-\infty}^{+\infty} H_n(x) H_m(x) \exp(-x^2) dx = 2^n n ! \sqrt{\pi} \delta_{mn}\]

Ils obéissent à la récurrence :

Les polynômes de Laguerre sont orthogonaux pour le produit scalaire :

\[\int_{0}^{+\infty} L_n(x) L_m(x) \exp(-x) dx = \delta_{mn}\]

Ils obéissent à la récurrence :