Eclats de vers : Musica 01 : Monocorde

Si tout est lié dans le cosmos, et en particulier dans le monde des arts, la musique en est un exemple frappant : le chant nous amène à la poésie et à la littérature ; le rythme suggère la danse ; les mélodies qui dialoguent ou qui décorent se rapprochent du théâtre ; quant aux intervalles, leurs fréquences sont calibrées sur des proportions mathématiques, véritables clefs de voûte qui soutiennent le dessin et l’architecture musicale. Tracer un mandala, c’est un peu comme caresser un clavier invisible et subtil. Sculpter, c’est faire résonner un point d’orgue dans la crypte des siècles. Des troubadours à Hildegarde von Bingen, de Johannes Ockeghem à Claude Debussy, les compositeurs réchauffent l’âtre des châteaux et enchantent les cathédrales. Les salons intimes frissonnent sous leurs doigts, les fresques prennent vie, les jardins s’animent et les accords font vibrer le tréfonds de l’âme humaine. Car si le silence peut parfois nous paraître vertigineux, c’est parce qu’il contient en puissance les plus belles musiques imaginables.

Porte d’entrée vers cet univers merveilleux, la théorie musicale repose sur un arbre dont les racines sont aussi simples que les ramifications sont denses et complexes. Rien d’étonnant à ce qu’une variété aussi prodigieuse de styles puisse nidifier dans une arborescence aussi riche. Une des clés de voûte de toute polyphonie consiste en la dualité Mélodie — Harmonie, la première semant ses notes consécutivement et la seconde simultanément. Mais tout n’est pas aussi simple car les deux concepts se rejoignent : la mélodie forme une harmonie implicite en laissant s’accumuler dans la mémoire de l’auditeur des notes qui s’agrègent ; de son coté, l’harmonie suggère dans sa superposition une mélodie implicite qui peut se voir développée par la suite. Au croisement se situe l'Accord, groupe polyvalent de notes pouvant donner lieu de par ses nombreuses dispositions possibles à une foule de thèmes musicaux différents.

La richesse de cette tapisserie provient également des intéractions entre les cycles d’intervalles, où se mêlent à nouveau mélodie et harmonie. C’est aussi dans ces cycles, souvent partiellement implicites, que les accords s’enchaînent, formant une ronde perpétuelle. La tonalité ajoute son grain de sel via le concept de fonction tonale, concept qui permet de voyager via une autre dimension d’accord en accord, aussi facilement que l’on se transporte sur une autre planète dans la littérature fantastique. Partout en musique, nous sommes en présence d’un système que l’on pourrait qualifier de métamorphe, dans la mesure où chaque élément musical peut se présenter sous différentes formes, où chaque forme peut être interprétée comme provenant d’éléments distincts.

Avec le rythme s’ajoute à cet incroyable treillis la notion de fractale, un même motif rythmique pouvant être appliqué à des échelles temporelles différentes. La structure rythmique elle-même s’articule sur différents niveaux, chacun d’entre-eux étant décomposé en un nombre variable de subdivisions. Cette nouvelle dimension possède une identité propre, indépendante de la mélodie de laquelle elle se décale régulièrement, formant ainsi syncopes et anacrouses. Comme vous pouvez le constater, les trois facettes du triptyque formé par la Mélodie, l’Harmonie et le Rythme s’entremêlent, formant sous nos yeux ébahis ce miracle que l’on nomme Musique.

Vous ayant averti de l’univers vertigineux qui vous attend, il me reste à conclure cette introduction en vous souhaitant une bonne lecture.

Je tiens à remercier :

• Johann Joseph Fux, pour son précieux traité de contrepoint, le Gradus ad Parnassum, qui inspire les compositeurs depuis plus de deux siècles.
• Michel Baron, qui nous offre un cours d’harmonie, de contrepoint et de fugue.
• Sylvain Caron, pour son cours d’harmonie tonale.
• Luce Beaudet, qui nous fait partager une méthode simple et puissante permettant d’analyser le discours harmonique générique, ainsi que les marches.
• Alan Belkin, pour sa vision éclairante de la composition musicale. Vous trouverez sur son site de riches réflexions sur la forme musicale, l’orchestration, la composition, l’harmonie et le contrepoint.
• Christophe, auteur du site apprendrelesolfege, qoi contient de nombreux cours intéressants.

Mais il n’y a pas que les livres qui nous aident à composer. Remercions également Les équipes de développement des logiciels libres suivants :

• lilypond : vous écrivez vos partitions dans un langage texte, et lilypond génère un superbe fichier PDF qui contient les notes de musique, confortablement installées sur leurs portées respectives. La mise en page est automatique, mais configurable. Lilypond peut également génèrer un fichier MIDI, qui peut ensuite être joué par un séquenceur ou transformé en fichier audio.
• timidity : séquenceur MIDI, aussi nommé synthétiseur logiciel ou lecteur MIDI. Peut jouer un fichier MIDI ou le convertir en un fichier audio. Nécessite l’installation d’une banque de son.
• fluidsynth : séquenceur MIDI, similaire à timidity
• soundfont-fluid : banque de son. Peut être utilisée par fluidsynth, timidity, ou n’importe quel autre séquenceur.
• frescobaldi : éditeur de partition qui utilise lilypond, un lecteur PDF intégré et une interface de lecture MIDI (avec l’aide d’un séquenceur externe comme timidity ou fluidsynth). Idéal pour composer et écouter le résultat.
• musescore : logiciel libre d’édition de partition avec séquenceur intégré.

Le son étant la brique fondamentale sur laquelle repose tout l’édifice musical, il semble raisonnable d’entamer ce traité par son étude.

Un son est une onde acoustique, c’est-à-dire une onde de pression, simple ou complexe, perceptible par nos oreilles.

Une onde acoustique élémentaire, ou plus simplement onde élémentaire, est une onde acoustique au tracé sinusoïdal.

Ce type d’onde permet de rendre compte d’un grand nombre de phénomènes physiques, que ce soit sous sa forme simple (pendule, cercle en rotation, …) ou par superposition (corde vibrante, tuyau sonore, …).

Un son élémentaire est un son associé à une onde acoustique élémentaire.

La fréquence d’une onde élémentaire (et donc du son élémentaire associé) est égale au nombre de cycles qu’elle parcourt en une seconde. L’unité de fréquence est le Herz, symbolisé par Hz :

Si la plupart des sons utilisables musicalement sont trop complexes pour être étudiés en tant que tels, il est généralement possible de les considérer comme des superpositions de sons élémentaires, ce qui facilite grandement leur analyse.

On nomme son composé un tel son décomposable en sons élémentaires.

Nous étudions dans ce chapitre l’organisation interne (fréquences & amplitudes) des sons composés.

La fréquence fondamentale est la fréquence la plus grave présente dans un son composé.

Toutes les autres fréquences sont appelées fréquences harmoniques.

Dans de nombreux cas, les fréquences des sons élémentaires constitutifs d’un son composé sont des multiples entiers de la fréquence fondamentale F₀ :

1 F0

—

2 F0

—

3 F0

—

4 F0

—

5 F0

—

6 F0

—

7 F0

—

8 F0

—

9 F0

—

...

Ces fréquences sont appelées fréquences harmoniques naturelles.

Si les fréquences des harmoniques naturelles sont des multiples entiers de la fréquence fondamentale, les amplitudes relatives de ces harmoniques varient considérablement d’un instrument de musique à un autre. Une combinaison particulière de ces amplitudes produit ce qu’on appelle le timbre d’un son. C’est donc le timbre qui donne un caractère reconnaissable à chaque instrument.

Une note est un son dont la fréquence fondamentale est donnée. Cette fréquence détermine la hauteur du son obtenu :

• plus la fréquence fondamentale est élevée, plus la note est dite aiguë.
• plus la fréquence fondamentale est faible, plus la note est dite grave.

On utilise aussi une analogie basée sur la hauteur :

• une note est dite plus haute ou supérieure à une autre lorsqu’elle est plus aiguë
• une note est dite plus basse ou inférieure à une autre lorsqu’elle est plus grave

Suivant le même raisonnement, une suite de note sera dite :

• montante si elle évolue vers l’aigu
• descendante si elle évolue vers le grave

Une note correspond donc à une certaine fréquence fondamentale. Le timbre du son reste par contre libre et dépend de l’instrument utilisé pour jouer la note.

Le diapason est une note qui permet à tous les musiciens de synchroniser leurs instruments. Cette note est définie par sa fréquence fondamentale, fixée par convention à :

Un intervalle représente la distance qui sépare deux notes.

L’expérience nous montre que l’oreille mesure la distance entre deux notes par le ratio de leurs fréquences fondamentales.

L’intervalle qui sépare deux notes est donc formellement défini par le ratio de leurs fréquences fondamentales.

Une suite d’harmoniques naturelles est une suite de notes qui respecte les proportions des fréquences harmoniques naturelles.

Les ratios des fréquences fondamentales des notes sont donc les mêmes :

2 / 1

—

3 / 2

—

4 / 3

—

5 / 4

—

6 / 5

—

7 / 6

—

8 / 7

—

9 / 8

—

...

et les notes de la suite produisent les mêmes intervalles :

La note la plus grave est appelée fondamentale de la suite. C’est elle qui détermine la hauteur des notes suivantes.

Remarque : ne pas confondre la note fondamentale d’une suite d’harmoniques naturelle avec la fréquence fondamentale d’un son composé.

Les suites d’harmoniques naturelles sont très utilisées comme référence, car :

• elles sont construites en se basant sur un principe acoustique essentiel
• elles sonnent particulièrement bien

L’octave est le premier des intervalles apparaissant dans les harmoniques naturelles, ce qui lui confère un statut particulièrement important en musique.

À ce titre, l’octave est utilisée pour simplifier considérablement le problème de la répartition des notes de musique sur la plage des fréquences audibles.

On commence par définir un ensemble de notes incluses dans une octave de référence, c’est-à-dire dans une plage allant d’une fréquence donnée F₀ à son double 2 F₀. Les notes des octaves environnantes s’obtiennent ensuite facilement en multipliant ou en divisant par 2 la fréquence d’une des notes de l’octave de référence. En répétant ce processus de multiplication ou de division, on peut alors construire autant d’octaves qu’on le souhaite, du très grave au très aigu.

Le tableau suivant schématise cette construction, en partant d’une note de fréquence F dans l’octave de référence :

octave +N :			2N F
...	...	...	...	...	..
octave +3 :	2 × 2 × 2 F	=	23 F	=	8 F
octave +2 :	2 × 2 F	=	22 F	=	4 F
octave +1 :	2 F
octave de référence :	F
octave − 1 :	F / 2
octave − 2 :	F / 2 / 2	=	F / 22	=	F 4
octave − 3 :	F / 2 / 2 / 2	=	F / 23	=	F 8
...	...	...	...	...	...
octave − N :			F / 2N

Le système musical le plus répandu comporte sept notes par octave. Ces notes sont appelées notes naturelles, ou encore notes diatoniques. Elles sont nommées par convention comme suit, de la plus grave à la plus aiguë :

Le do est parfois appelé ut, ce qui nous donne les notes :

Lorsqu’il est nécessaire de préciser l’octave d’une note, on l’ajoute en exposant. Le tableau ci-dessus en reprend quelques unes, de la plus aiguë à la plus grave :

Surnoms	Octave	Notes
triple sommet	7	do7
double sommet	6	do6
sommet	5	do5 …
aigu	4	do4 ré4 mi4 fa4 sol4 la4 si4
milieu	3	do3 ré3 mi3 fa3 sol3 la3 si3
basse	2	do2 ré2 mi2 fa2 sol2 la2 si2
pédale	1	do1 ré1 mi1 fa1 sol1 la1 si1
double pédale	-1	do-1 …
triple pédale	-2	do-2 …

On a donc la suite de notes, de la plus grave à la plus aiguë :

La note du diapason de 440 Hz est le la³.

Une suite croissante est une série de notes triées de la plus grave à la plus aiguë.

Dans une suite croissante, la mention de l’octave peut être omise, car il est évident que chaque do franchi nous fait passer dans l’octave supérieure.

Nous allons illustrer le principe de déduction de l’octave au moyen de la suite croissante suivante :

Nous savons que le do doit être plus aigu que le si qui le précède. Ces deux notes ne peuvent donc pas faire partie d’une même octave, sans quoi le si serait plus aigu que le do. On en déduit que le do est situé dans une octave supérieure à celle du si. En conséquence, la fin de la suite :

est située dans une octave supérieure à celle du début :

Notons que le do n’a pas besoin d’être explicitement présent dans la suite pour provoquer la hausse d’une octave. Ainsi, dans :

le do est implicitement franchi :

En conséquence, la fin de la suite :

est située dans une octave supérieure à celle du début :

Pour être bien sûr d’y voir clair, le tableau suivant donne quelques exemples de suites croissantes avec octave implicite, puis leur version équivalente avec l’octave explicitée :

Implicite	Départ	Explicite
fa sol la si do ré mi fa	2	fa2 sol2 la2 si2 do3 ré3 mi3 fa3
fa la do mi sol si ré	1	fa1 la1 do2 mi2 sol2 si2 ré3
fa do sol ré la mi	1	fa1 do2 sol2 ré3 la3 mi4

Pour construire une suite d’harmoniques naturelles, il suffit de choisir une note de départ puis de respecter les mêmes intervalles que pour les fréquences harmoniques naturelles. Par exemple, si nous partons de do¹, nous obtenons :

do1

do2

sol2

do3

mi3

sol3

...

ou, en utilisant la simplification des suites croissantes :

do

do

sol

do

mi

sol

...

avec les intervalles :

Si nous continuons un peu plus loin dans les harmoniques naturelles, nous obtenons en première approximation :

do

do

sol

do

mi

sol

sib

do

ré

mi

fa#

sol

...

Comme aucune répartition de notes diatoniques n’est à même de former uniquement des intervalles purs, on est forcé de faire des approximations. Une répartition particulière de ces approximations, qui conditionne l’agencement précis des notes diatoniques, est appelé tempérament.

La suite des notes ainsi obtenues sera dite tempérée.

Ce chapitre présente quelques tempéraments fondamentaux.

Le tempérament de Pythagore, ou tempérament pythagoricien, est construit à partir de quintes pures.

On part d’une note de référence do de fréquence F₀ et on construit les autres notes via des intervalles de quintes pures. La fréquence est donc à chaque fois multipliée ou divisée par 3 / 2 :

Identifiant	Fréquence / F0
Q 1	2 / 3
Q 2	1
Q 3	3 / 2
Q 4	9 /4
Q 5	27 / 8
Q 6	81 / 16
Q 7	243 / 32

On ramène ensuite toutes les fréquences à l’intérieur de l’octave de référence [F₀, 2 F₀], en les multipliant ou en les divisant par la puissance de deux adéquate. On les trie ensuite de la plus grave à la plus aiguë, ce qui nous donne :

Identifiant	Fréquence / F0
Q 2	1
Q 4	9 / 8
Q 6	81 / 64
Q 1	4 / 3
Q 3	3 / 2
Q 5	27 /16
Q 7	243 / 128

Nous pouvons à présent nommer les notes définies par ces fréquences, suivant la convention usuelle do, ré, mi, fa, sol, la, si :

Notes	Identifiant	Fréquence / F0
do	Q 2	1
ré	Q 4	9 / 8
mi	Q 6	81 / 64
fa	Q 1	4 / 3
sol	Q 3	3 / 2
la	Q 5	27 / 16
si	Q 7	243 / 128

Il ne reste alors plus qu’à ajouter un do de fréquence 2 F₀ pour compléter l’octave, ce qui nous donne :

Notes	Fréquence / F0
do	1
ré	9 / 8
mi	81 / 64
fa	4 / 3
sol	3 / 2
la	27 / 16
si	243 / 128
do	2

Le tempérament de Zarlino, ou tempérament zarlinien, est construit à partir de quintes et de tierces majeures pures.

On part d’une note de référence do de fréquence F₀ et on construit les autres notes via des intervalles de quintes et de tierces majeures pures. On commence par construire les quintes pures autour de la note de référence :

Fréquence / F0
2 / 3
1
3 / 2

On multiplie ensuite chacune des fréquences déjà obtenues par le facteur 5 / 4, ce qui nous donne trois nouvelles notes situées une tierce majeure pure au-dessus des trois premières :

Fréquence / F0
2 / 3
10 / 12 = 5 / 6
1
5 / 4
3 / 2
15 / 8

On complète le tempérament en ajoutant une dernière note, située une quinte pure au-dessus de la fréquence 3 / 2 F₀, c’est-à-dire à 9 / 4 F₀ :

Identifiant	Fréquence / F0
T 1	2 / 3
T 2	5 / 6
T 3	1
T 4	5 / 4
T 5	3 / 2
T 6	15 / 8
T 7	9 / 4

On ramène ensuite toutes les fréquences à l’intérieur de l’octave de référence [F₀, 2 F₀], en les multipliant ou en les divisant par la puissance de deux adéquate. On les trie ensuite de la plus grave à la plus aiguë, ce qui nous donne, avec les plus graves en bas du tableau :

Identifiant	Fréquence / F0
T 3	1
T 7	9 / 8
T 4	5 / 4
T 1	4 / 3
T 5	3 / 2
T 2	5 / 3
T 6	15 / 8

Nous pouvons à présent nommer les notes définies par ces fréquences, suivant la convention usuelle do, ré, mi, fa, sol, la, si :

Notes	Identifiant	Fréquence / F0
do	T 3	1
ré	T 7	9 / 8
mi	T 4	5 / 4
fa	T 1	4 / 3
sol	T 5	3 / 2
la	T 2	5 / 3
si	T 6	15 / 8

Il ne reste alors plus qu’à ajouter un do de fréquence 2 F₀/ pour compléter l’octave, ce qui nous donne :

Notes	Fréquence / F0
do	1
ré	9 / 8
mi	5 / 4
fa	4 / 3
sol	3 / 2
la	5 / 3
si	15 / 8
do	2

Le tempérament égal est construite à partir de l’approximation qui consiste à considérer que :

• tous les demi-tons sont identiques
• chaque ton vaut exactement deux demi-tons

Une octave contient donc :

5 tons + 2 demi-tons	=	5 × 2 demi-tons	+	2 demi-tons
	=	10 demi-tons	+	2 demi-tons
	=	12 demi-tons

Le tempérament égal est donc construit en divisant l’octave en douze demi-tons identiques. Ce demi-ton est appelé demi-ton tempéré et noté DT.

On a les relations :

1 demi-ton	=	1 DT
1 ton	=	2 DT

Sauf indication contraire, nous utiliserons dans la suite le tempérament égal.

Le tableau suivant compare les différentes tempéraments. Les fréquences sont exprimées en multiples de F₀, fréquence du do :

Notes	Pythagore	Zarlino	Tempérament égal
do	1	1	1
ré	1.125	1.125	1.1225
mi	1.2656	1.25	1.26
fa	1.3333	1.3333	1.3348
sol	1.5	1.5	1.4983
la	1.6875	1.6667	1.6818
si	1.8984	1.875	1.8877

Dans la suite croissante suivante :

toutes les notes consécutives sont séparées par un ton, à l’exception des écarts :

mi	—	fa
si	—	do

qui valent chacun un demi-ton.

Que se passerait-il si nous voulions obtenir temporairement un écart d’un demi-ton entre deux notes habituellement séparées par un ton entier ? Il faudrait alors hausser ou abaisser d’un demi-ton un des notes impliquées.

Une altération haussière consiste à hausser une note d’un demi-ton.

Une altération baissière consiste à baisser une note d’un demi-ton.

Considérons pour illustrer les notes fa et sol, qui sont séparées par un ton. Si nous haussons le fa d’un demi-ton, ou si nous abaissons le sol d’un demi-ton, l’écart fa — sol se réduit à un demi-ton comme souhaité.

Une note naturelle peut être altérée :

• d’un demi-ton vers le haut par un dièse (symbolisé par un #)
• d’un demi-ton vers le bas par un bémol (symbolisé par un b)

Une note ainsi altérée est dite chromatique.

Les altérations d’une note X s’écrivent donc :

Altération	Nom	Notation
haussière : + 1 demi-ton	dièse	X#
baissière : − 1 demi-ton	bémol	Xb

Dans un tempérament égal, une enharmonie est constitutée de deux notes de même fréquence obtenues par des altérations différentes.

Deux notes liées par une enharmonie sont qualifiées d’*enharmoniques*.

Voici la liste des notes naturelles et chromatiques réunies et triées avec les plus graves en bas du tableau :

Notes		Écarts en demi-tons
		par rapport au do grave
do	si#	12
si	dob	11
la#	sib	10
la		9
sol#	lab	8
sol		7
fa#	solb	6
fa	mi#	5
mi	fab	4
ré#	mib	3
ré		2
do#	réb	1
do	si#	0

Un intervalle est nommé d’après le nombre de notes distinctes qu’il faut parcourir pour aller de la première note (la plus grave) à la deuxième (la plus aiguë). Les notes de départ et d’arrivée sont inclues dans le décompte.

L’intervalle entre deux notes identiques porte le nom particulier d’unisson, qui signifie « un seul son ».

Remarque : les intervalles étant présentés sous formes de suites croissantes, l’octave est implicite.

Voici la liste des principaux intervalles :

Nombre de notes	Intervalle
parcourues	Nom	Notes extrêmes	Notes parcourues
1	unisson	do — do	do
2	seconde	do — ré	do ré
3	tierce	do — mi	do ré mi
4	quarte	do — fa	do ré mi fa
5	quinte	do — sol	do ré mi fa sol
6	sixte	do — la	do ré mi fa sol la
7	septième	do — si	do ré mi fa sol la si
8	octave	do — do	do ré mi fa sol la si do
9	neuvième	do — ré	do ré mi fa sol la si do ré
10	dixième	do — mi	do ré mi fa sol la si do ré mi
11	onzième	do — fa	do ré mi fa sol la si do ré mi fa
12	douzième	do — sol	do ré mi fa sol la si do ré mi fa sol
13	treizième	do — la	do ré mi fa sol la si do ré mi fa sol la
14	quatorzième	do — si	do ré mi fa sol la si do ré mi fa sol la si
15	quinzième	do — do	do ré mi fa sol la si do ré mi fa sol la si do

Certains intervalles recouvrent un nombre de demi-tons qui reste fixe, et ce quelle que soit la note de départ choisie. Ces intervalles sont parfois qualifiés de justes, bien que ce qualificatif reste généralement implicite.

L’ unisson contient invariablement zéro demi-tons. C’est donc un intervalle juste.

L’ octave contient invariablement douze demi-tons. C’est donc un intervalle juste.

Les intervalles dont l’amplitude varie avec la note de départ choisie sont qualifiés de majeurs ou de mineurs suivant le nombre de demi-tons qui sépare les notes extrêmes. Les intervalles majeurs sont alors un demi-ton plus grand que les intervalles mineurs.

Dans le cadre des intervalles, on utilise les abréviations :

majeur	M
mineur	m

Le tableau suivant reprend les intervalles majeurs et mineurs contenus dans l’octave :

Intervalles	Abréviations	Écarts en	Exemple
		demi-tons	Notes extrêmes
seconde mineure	2de m	1	mi — fa
seconde majeure	2de M	2	do — ré
tierce mineure	3ce m	3	la — do
tierce majeure	3ce M	4	do — mi
sixte mineure	6te m	8	la — fa
sixte majeure	6te M	9	do — la
septième mineure	7e m	10	la — sol
septième majeure	7e M	11	do — si

Un intervalle augmenté est un intervalle juste ou majeur auquel on a ajouté un demi-ton, ou un intervalle mineur auquel on a ajouté deux demi-tons.

Un intervalle diminué est un intervalle juste ou mineur auquel on a retiré un demi-ton, ou un intervalle majeur auquel on a retiré deux demi-tons.

Dans le cadre des intervalles, on utilise les abréviations :

augmenté	aug
diminué	dim

Un intervalle sur-augmenté est un intervalle juste ou majeur auquel on a ajouté deux demi-tons.

Un intervalle sur-diminué est un intervalle juste ou mineur auquel on a retiré deux demi-tons.

Dans le cadre des intervalles, on utilise les abréviations :

sur-augmenté	suraug
sur-diminué	surdim

Lorsqu’on ajoute une octave à un intervalle, on obtient le redoublement de cet intervalle. On dit alors que l’intervalle original est redoublé.

Voici les redoublements des intervalles compris entre l’unisson et l’octave :

Intervalle	Redoublement	Écarts en demi-tons
unisson	octave	12
seconde mineure	neuvième mineure	13
seconde majeure	neuvième majeure	14
tierce mineure	dixième mineure	15
tierce majeure	dixième majeure	16
quarte	onzième	17
quarte augmentée	onzième augmentée	18
quinte diminuée	douzième diminuée	18
quinte	douzième	19
sixte mineure	treizième mineure	20
sixte majeure	treizième majeure	21
septième mineure	quatorzième mineure	22
septième majeure	quatorzième majeure	23
octave	quinzième	24

La simplification consiste à retirer autant d’octaves que nécessaire à un intervalle pour obtenir un intervalle simplifié compris entre l’unisson et l’octave.

Prenons par exemple la douzième do — sol :

Si nous lui retirons une octave, nous obtenons une quinte comme intervalle simplifié :

Le renversement d’un intervalle est l’intervalle que l’on obtient lorsqu’on inverse les notes de départ et d’arrivée.

Prenons par exemple la tierce do — mi :

Si on inverse le do et le mi, on obtient l’intervalle mi — do, qui est une sixte :

On remarque que si on fusionne l’intervalle d’origine avec son renversement, on obtient :

Le deuxième mi de la série est redondant et peut donc être supprimé. On se retrouve alors avec l’octave do — do :

Il en va de même pour chaque intervalle compris entre la seconde mineure et la septième majeure : son renversement le complète pour former une octave.

Afin de rester cohérent avec ce résultat, on convient que :

• l’octave est le renversement de l’unisson
• l’unisson est le renversement de l’octave

Lorsqu’on parcourt le tempérament égal en maintenant, à l’octave près, un intervalle constant entre les notes successives (naturelles ou chromatiques), on finit par revenir au point de départ, formant ainsi un cycle.

Si on fait abstraction des octaves :

• monter d’une quarte équivaut à descendre d’une quinte
• descendre d’une quarte équivaut à monter d’une quinte

Ce constat nous mène aux résultats suivants :

• le cycle des quartes ascendantes est identique au cycle des quintes descendantes
• le cycle des quartes descendantes est identique au cycle des quintes ascendantes

Si on décide d’utiliser des intervalles purs à la place d’intervalles intégrés dans un tempérament égal, on ne revient jamais tout à fait au point de départ. On parle alors de spirale.

La plus connue est la spirale des quintes.

Transposer un groupe de notes consiste à le déplacer d’un intervalle donné vers l’aigu ou vers le grave.

Au cours d’une transposition, chaque note est donc décalée d’un même intervalle vers le haut ou vers le bas.

Nous allons montrer que les intervalles internes d’un groupe de notes sont conservés lors d’une transposition.

Illustrons cette idée en prenant comme exemple la suite de notes suivante :

Si nous transposons cette suite d’une quinte vers le haut, nous obtenons :

On constate que les intervalles internes sont identiques avant et après transposition :

Notes originales	Notes transposées
do — mi	sol — si
mi — ré	si — la

L’octave est l’intervalle le plus important en musique. Il semble donc logique d’examiner en premier les transpositions par octave ascendante ou descendante.

Après l’octave, la quinte est l’intervalle le plus important en musique. Nous allons donc examiner les transpositions par quinte ascendante ou descendante.

Une gamme est une suite de notes parcourant une octave, ordonnées de la plus grave à la plus aiguë. La gamme sert de fondation au développement de la musique.

Synonyme : échelle.

Remarque : une gamme étant un cas particulier de suite croissante, leurs notes sont présentées avec octave implicite.

Les notes d’une gamme sont comptées à partir d’une note de référence qui devient le degré 1. Les notes suivantes correspondent aux degrés 2 à 7, de la note la plus grave à la plus aiguë.

Le tableau suivant nous montre un exemple de gamme construite en choisissant do comme premier degré :

degrés	1	2	3	4	5	6	7
notes	do	ré	mi	fa	sol	la	si

Pour ne pas se limiter à une seule octave, une gamme peut être répétée autant que nécessaire dans l’aigu et dans le grave.

L’exemple suivant nous montre une gamme étendue sur plusieurs octaves, avec un do comme premier degré et les notes les plus graves en bas du tableau :

Octave	Degré	Notes
...	...	...
2	7	si
2	6	la
2	5	sol
2	4	fa
2	3	mi
2	2	ré
2	1	do
1	7	si
1	6	la
1	5	sol
1	4	fa
1	3	mi
1	2	ré
1	1	do
...	...	...

On attribue un nom à chaque note de la gamme.

Les exemples de cette section utilisent une gamme construite en utilisant un la comme note de référence :

degrés	1	2	3	4	5	6	7
notes	la	si	do	ré	mi	fa	sol

Le tableau suivant met en évidence les intervalles de quintes (ligne par ligne) et de tierces (zig-zag) qui séparent les degrés de la gamme :

	4		1		5
2		6		3		7

Exemple avec la pour tonique :

	ré		la		mi
si		fa		do		sol

L’ensemble des intervalles qui séparent les notes d’une gamme de la tonique va produire une couleur musicale particulière : c’est ce qu’on appelle le mode.

Fixer les intervalles des notes par rapport à la tonique ou entre notes consécutives de la gamme est équivalent. C’est donc aussi le mode qui définit les écarts entre les notes consécutives.

Puisque le mode fixe les intervalles, une gamme est pleinement définie par la tonique et le mode qui la caractérisent.

Une gamme modèle est une gamme de référence qui permet de définir les intervalles d’un mode.

D’autres gammes du même mode peuvent alors être construites en partant d’une autre tonique et en respectant les mêmes intervalles.

Les gammes modèles des modes naturels sont obtenues en choisissant comme tonique une note naturelle quelconque et en n’altérant aucune note :

Mode	Nom médiéval	Gamme modèle
mode de si	locrien	si do ré mi fa sol la si
mode de mi	phrygien	mi fa sol la si do ré mi
mode de la	éolien	la si do ré mi fa sol la
mode de ré	dorien	ré mi fa sol la si do ré
mode de sol	mixolydien	sol la si do ré mi fa sol
mode de do	ionien	do ré mi fa sol la si do
mode de fa	lydien	fa sol la si do ré mi fa

Remarque : la nomenclature médiévale provient d’une interprétation erronée des modes grecs. Elle est toutefois fort pratique pour distinguer les modes naturels, et est encore largement utilisés aujourd’hui.

On nomme une gamme en écrivant la tonique puis le mode.

Par exemple, une gamme de tonique sol et de mode ionien se nommera sol ionien ou encore sol, mode de do. Pour respecter les intervalles internes de la gamme modèle du mode ionien, cette gamme devra comporter une altération :

Il est possible de transposer une gamme naturelle sur une autre tonique. Comme la transposition respecte les intervalles internes, le mode ne sera pas altéré.

Deux gammes construites à partir des mêmes notes et des mêmes altérations mais dont les toniques diffèrent sont dites gammes relatives ou relatifs. Trouver un relatif consiste donc à faire tourner une gamme pour changer de tonique. Par exemple, la gamme de fa lydien :

est le relatif lydien de la gamme de si locrien :

Autre exemple, la gamme de sol ionien :

est le relatif ionien de la gamme de mi éolien :

Dans le cas particulier d’un mode naturel, les gammes relatives se situent par conséquent sur une même ligne dans les tableaux des transpositions.

Une note de musique peut être représentée par un petit cercle dessiné sur un ensemble de lignes horizontales parallèles appelé portée. Le bas de la portée correspond aux notes les plus graves, et le haut aux notes les plus aiguës. Les notes s’écrivent chronologiquement de gauche à droite, en commençant par la portée en haut de la page, puis la deuxième en partant du haut, etc. Il s’agit donc d’une convention analogue à celle de l’écriture.

On numérote les lignes de bas en haut.

Sur une portée classique de 5 lignes :

• la première ligne est la plus basse
• la cinquième ligne est la plus haute

Les notes triées de la plus grave à la plus aiguë s’écriront :

1. sous la première ligne
2. sur la première ligne
3. entre la première et la deuxième ligne
4. sur la deuxième ligne
5. entre la deuxième et la troisième ligne
6. sur la troisième ligne
7. entre la troisième et la quatrième ligne
8. sur la quatrième ligne
9. entre la quatrième et la cinquième ligne
10. sur la cinquième ligne
11. au-dessus de la cinquième ligne

Il est possible d’ajouter des lignes temporaires en-dessous ou au-dessus de la portée pour étendre le registre vers l’aigu ou vers le grave. Les notes triées de la plus grave à la plus aiguë s’écrivent alors :

• …
• sous la deuxième ligne temporaire inférieure
• sur la deuxième ligne temporaire inférieure
• sous la première ligne temporaire inférieure
• sur la première ligne temporaire inférieure
• sous la première ligne
• sur la première ligne
• …
• sur la cinquième ligne
• au-dessus de la cinquième ligne
• sur la première ligne temporaire supérieure
• au-dessus de la première ligne temporaire supérieure
• sur la deuxième ligne temporaire supérieure
• au-dessus de la deuxième ligne temporaire supérieure
• …

On trace autant de lignes temporaires que nécessaire, mais pas plus.

Une clef est un symbole figurant au début de la portée et permettant de repérer une note de référence. Les autres notes de la portée s’en déduisent alors aisément. Voici les différents types de clés utilisées :

• une clé d’ut donne la position sur la portée du do³
• une clé de sol donne la position sur la portée du sol³, situé une quinte plus haut que la clef d’ut
• une clé de fa donne la position sur la portée du fa², situé une quinte plus bas que la clef d’ut

soit :

En considérant des intervalles purs, on a :

• le do une sixte majeure plus bas que le la, de fréquence 440 x 3 / 5 = 264 Hz
• le sol une quinte plus haut que le do, de fréquence 264 x 3 / 2 = 396 Hz
• le fa une quinte plus bas que le do, de fréquence 264 x 2 / 3 = 176 Hz