Eclats de vers : Pictura 02 : Règle & Compas

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Table des matières

1 Introduction

Ce fichier présente pour chaque dessin :

  • un exemple de construction sur le site geogebra
  • un descriptif de la méthode de construction

Les conventions sont les suivantes :

  • l’exemple de construction numérote les éléments géométriques d’après l’ordre dans lequel ils sont tracés
  • le descriptif utilise des lettres pour les noms des points, segments, droites, cercles, etc

2 Techniques de base

2.1 Médiatrice

Une médiatrice est une perpendiculaire qui passe par le milieu d’un segment.

Exemple de construction sur geogebra

  1. tracer le segment [A,B]
    • on définit D = distance entre A et B
  2. tracer un cercle C1 de centre A et de rayon > D / 2
  3. tracer un cercle C2 de centre B et de rayon > D / 2
  4. soit I1 et I2 les deux intersections des cercles C1 et C2
  5. tracer une droite m qui passe par I1 et I2
  6. m est la médiatrice de [A,B]

2.2 Perpendiculaire passant par un point

Exemple de construction sur geogebra

  1. tracer la droite d
  2. tracer un point P n’appartenant pas à d
  3. tracer un cercle C de centre P et de rayon R
    • R est supérieur à la distance entre P et d
  4. soit I1 et I2 les intersections de C avec d
  5. construire M, la médiatrice de [I1, I2]
  6. M est la perpendiculaire à d passant par P

2.3 Perpendiculaire passant par le centre d’un cercle

Exemple de construction sur geogebra

  1. tracer une droite d
  2. choisir un point P sur d
  3. tracer un cercle C de centre P et de rayon R
  4. soit I1 et I2 les intersections de C avec d
  5. tracer un cercle L1 de centre I1 et de rayon R
    • soit J1 et K1 les intersections de C avec L1
  6. tracer un cercle L2 de centre I2 et de rayon R
    • soit J2 et K2 les intersections de C avec L2
  7. tracer la droite e1 qui passa par I1 et J2
  8. tracer la droite f1 qui passa par I1 et K2
  9. tracer la droite e2 qui passa par I2 et J1
  10. tracer la droite f2 qui passe par I2 et K1
  11. soit S l’intersection entre e1 et e2
  12. soit T l’intersection entre f1 et f2
  13. tracer la droite m qui passe par S et T
  14. m passe par le centre P et est perpendiculaire à d

2.4 Parallèle passant par un point

Exemple de construction sur geogebra

  1. tracer une droite d
  2. tracer un point P n’appartenant pas à d
  3. choisir un point A n’appartenant pas à d
  4. tracer un cercle C de centre A, passant par P
    • C doit avoir deux intersections avec d
  5. soit I1 et I2 les intersections de C avec d
    • avec i1 plus proche de P que I2
  6. tracer un cercle L1 de centre I1 et passant par P
    • on note R le rayon de L1
  7. tracer un cercle L2 de centre I2 et de rayon R
  8. soit J l’intersection de C avec L2
  9. on trace la droite e passant par P et J
  10. e est parallèle à d

2.5 Bissectrice

Exemple de construction sur geogebra

  1. tracer un angle de sommet O
  2. tracer un cercle C de centre O
  3. soit le point I1, intersection entre C et l’une des demi-droites de l’angle
  4. soit le point I2, intersection entre C et l’autre demi-droite de l’angle
  5. tracer un cercle L1 de centre I1 et de rayon R
  6. tracer un cercle L2 de centre I2 et de rayon R
  7. soit J1 et J2 les intersections entre L1 et L2
  8. tracer une droite b qui passe par 0, J1 et J2
  9. b est la bissectrice de l’angle

2.6 Tangente passant par un point

Exemple de construction sur geogebra

  1. tracer un cercle C de centre A et de rayon R
  2. choisir un point P n’appartenant pas à C
  3. tracer le segment [A, P]
  4. tracer m, la médiatrice de [A, P]
  5. soit M
    • intersection de m et [A, P]
    • point milieu de [A, P]
  6. tracer le cercle D de centre M et contenant P
  7. soit I et J les intersections de C et D
  8. la droite passant par P et I
    • forme un angle droit avec le rayon [A, I]
    • est tangente au cercle
  9. la droite passant par P et J
    • forme un angle droit avec le rayon [A, J]
    • est tangente au cercle

2.7 Cercle passant par trois points

Exemple de construction sur geogebra

  1. soit trois points A B C
  2. tracer M, la médiatrice de [A, B]
  3. tracer N, la médiatrice de [B, C]
  4. soit I l’intersection de M et N
  5. tracer Z, le cercle de centre I et passant par A
  6. Z passe aussi par B et C

2.8 Proportion

Trouver un point P qui soit à une fraction donnée de la distance entre les points A et B. Le point P doit être sur la droite passant par A et B.

Exemple de construction sur geogebra avec un rapport de 5/3

Construction d’un rapport de 7/3

  1. tracer la droite d passant par A et B
  2. tracer une demi-droite e qui
    • part de A
    • /e/T forme un angle aigu strictement positif avec le segment [A,B]
  3. ouvrir le compas, et choisir son écartement comme unité de référence
  4. compter 3 unités sur e en partant de A. Nous appelons S le point obtenu
  5. tracer la droite f passant par S et B
  6. compter 7 unités sur e en partant de A. Nous appelons T le point obtenu
  7. tracer la droite g passant par T et parallèle à f
  8. soit C l’intersection de g et d
  9. la distance entre A et C = 7 / 3 de la distance entre A et B

2.9 Racines

Exemple de construction sur geogebra

  1. tracer une droite d
  2. choisir deux points distincts A et B sur d
  3. tracer la droite e, perpendiculaire à d en A
  4. tracer la droite f, perpendiculaire à d en B
  5. ouvrir le compas avec une distance d’une unité
  6. placer S1 sur e à une distance d’une unité de A
  7. placer T1 sur f à une distance d’une unité de B
    • du même côté que S1 par rapport à d
  8. tracer le cercle C1 de centre A et passant par T1
    • C1 a un rayon de √2 unités
  9. tracer le cercle L1 de centre B et passant par S1
    • L1 a un rayon de √2 unités
  10. soit S2 l’intersection de C1 avec e
    • La distance entre A et S2 vaut √2
  11. soit T2 l’intersection de L1 avec f
    • La distance entre B et T2 vaut √2
  12. tracer le cercle C2 de centre A et passant par T2
    • C2 a un rayon de √3 unités
  13. tracer le cercle L2 de centre B et passant par S2
    • L2 a un rayon de √3 unités
  14. soit S3 l’intersection de C2 avec e
    • La distance entre A et S3 vaut √3
  15. soit T3 l’intersection de L2 avec f
    • La distance entre B et T3 vaut √3
  16. tracer le cercle C3 de centre A et passant par T3
    • C3 a un rayon de √4 = 2 unités
  17. tracer le cercle L3 de centre B et passant par S3
    • L3 a un rayon de √4 = 2 unités
  18. soit S4 l’intersection de C3 avec e
    • La distance entre A et S4 vaut √4 = 2
  19. soit T4 l’intersection de L3 avec f
    • La distance entre B et T4 vaut √4 = 2
  20. etc

2.10 Trisection de l’angle

2.10.1 Archimède   neusis

Méthode par ajustement

Exemple de construction sur geogebra

2.10.1.1 Angle inférieur à 135°
  1. tracer une droite d
  2. choisir deux points distincts A et B sur d
  3. tracer le cercle C de centre A et passant par B
    • on note R le rayon de C, égal à la distance entre A et B
  4. choisir un point S sur C
    • nous allons construire un angle valant le tiers de l’angle SAB
    • nous supposons que l’angle SAB est inférieur ou égal à 135°
  5. soit le point T sur C
    • T est du même côté de d que S
    • T est de l’autre côté que S par rapport à A
    • soit e la droite passant par S et T
    • soit I l’intersection de d et E
    • on ajuste T pour que la distance entre T et I soit égale à R
  6. l’angle TIA vaut le tiers de l’angle SAB
2.10.1.2 Angle supérieur à 135° mais inférieur à 180°
  1. tracer une droite d
  2. choisir deux points distincts A et B sur d
  3. tracer le cercle C de centre A et passant par B
    • on note R le rayon de C, égal à la distance entre A et B
  4. choisir un point S sur C
    • nous allons construire un angle valant le tiers de l’angle SAB
    • nous supposons que l’angle SAB est compris entre 135° et 180 °
  5. soit le point T sur C
    • T est du même côté de d que S
    • T est du même côté que S par rapport à A
    • soit e la droite passant par S et T
    • soit I l’intersection de d et E
    • on ajuste T pour que la distance entre S et T soit égale à R
  6. l’angle TIA vaut le tiers de l’angle SAB

2.10.2 Rayon triple   approximatif

Exemple de construction sur geogebra

  1. soit un point A
  2. tracer deux demi-droites d et e commençant en A
  3. tracer un cercle C1 de centre A et de rayon R
  4. soit I1 l’intersection de d avec C1
  5. soit J1 l’intersection de e avec C1
  6. on va diviser en trois l’angle I1 A J1
  7. tracer F la bissectrice de l’angle I1 A J1
  8. soit K1 l’intersection de F avec C1
  9. tracer le cercle L1 de centre K1 et passant par I1 et J1
    • on note Q le rayon de L1
  10. tracer le cercle C3 de centre A et de rayon 3 x R
  11. soit K3 l’intersection de F avec C3
  12. tracer le cercle L3 de centre K3 et de rayon Q
  13. soit I3 et J3 les intersections de C3 avec L3
  14. on note g la demi-droite passant par A et I3
  15. on note h la demi-droite passant par A et J3
  16. g et h divisent approximativement l’angle I1 A J1 en trois

3 Vesica piscis

3.1 Introduction

La vesica piscis est composée de deux cercles, chacun de ces cercles est centré sur un point de l’autre cercle.

Exemple de construction sur geogebra

3.2 Mesures

La vesica permet de tracer aisément plusieurs mesures, angles et proportions :

4 Triquetra

5 Rosace

5.1 Graine de vie

Exemple de construction sur geogebra

  1. tracer un cercle C0 de centre I0
  2. choisir I1 sur le cercle C0 et tracer un cercle C1 de centre I1
  3. choisir I2, une des deux intersections de C0 et C1, et tracer un cercle C2 de centre I2
  4. choisir I3, une des deux intersections de C0 et C2, et tracer un cercle C3 de centre I3
  5. choisir I4, une des deux intersections de C0 et C3, et tracer un cercle C4 de centre I4
  6. choisir I5, une des deux intersections de C0 et C4, et tracer un cercle C5 de centre I5
  7. choisir I6, une des deux intersections de C0 et C5, et tracer un cercle C6 de centre I6
  8. choisir I7, une des deux intersections de C0 et C6, et tracer un cercle C7 de centre I7

5.2 Fleur de vie

Même principe que pour la graine de vie, mais on ajoute une couche autour en traçant de nouveaux cercles dont les centres se situent aux intersections des cercles déjà tracés.

Exemple de construction sur geogebra

5.2.1 Cube de sphères

5.3 Fruit de vie

Même principe que pour la fleur de vie, mais on ajoute encore une couche autour en traçant de nouveaux cercles dont les centres se situent aux intersections des cercles déjà tracés. On retient particulièrement :

  • les diamètres du premier cercle qui relient les centres des cercles environnants
  • les cercles dont les centres sont placés sur le prolongement de ces diamètres

Exemple de construction sur geogebra

5.3.1 Metatron

  • on trace les cercles du fruit de vie
  • on relie leurs centres par des segments

Exemple de construction sur geogebra

6 Grilles

6.3 Triangle, hexagone, rectangle

7 Tore

8 Polygones

8.1 Triangle

8.1.1 Triangle rectangle

Exemple de construction sur geogebra

  • tracer un cercle
  • tracer un diamètre du cercle
    • ce sera l’hypothénuse du triangle
  • choisir le troisième point sur le cercle
    • mais pas sur l’hypothénuse
    • garantit la formation d’un angle droit

8.1.2 Triangle 3 4 5

8.1.2.2 Via cercles de rayons 3 & 4

8.2 Carré

8.2.1 Via vesica

  • on trace une vesica piscis
    • on appelle C1 et C2 les cercles de la vesica
  • on trace la droite d1 qui relie les deux centres
  • on trace la droite d2 qui relie les intersections entre les cercles
    • d2 est perpendiculaire à d1
    • on appelle I l’intersection entre d1 et d2
  • on trace un cercle L de centre I et contenant les centres de C1 et C2
  • les intersections de L avec d1 et d2 nous donnent les sommets du carré
  • on relie les 4 sommets

Exemple de construction sur geogebra

8.2.2 Via cinq cercles

  • on utilise cinq des cercles de la graine de vie
  • deux pétales sont formés
  • les sommets des pétales nous donnent les deux premiers sommets du carré
  • on trace les droites d1 et d2 entre ces sommets et les intersections opposées entre les cercles
  • les intersections entre d1, d2 et les cercles centrés sur les deux sommets connus nous donnent les deux autres sommets
  • on relie les 4 sommets

Exemple de construction sur geogebra

8.2.3 Quatre pétales, via perpendiculaire au centre du cercle

  • on utilise la méthode permettant de tracer la perpendiculaire à une droite au centre d’un cercle
  • on trace les cercle de même rayon dont les centres sont situés aux intersections entre le cercle central et la droite perpendiculaire
  • on obtient ainsi 4 pétales et quatre intersections entre les cercles environnants
  • ces intersections nous donnent les sommets du carré
  • on relie les 4 sommets

Exemple de construction sur geogebra

8.3 Triangle & carré

8.3.1 Via cinq cercles

8.4 Rectangle

8.4.1 Via triangle rectangle

On construit deux triangles rectangles inscrits dans un cercle, de telle sorte :

  • qu’ils partagent une même hypothènuse, qui est aussi une diagonale du rectangle
  • que les côtes opposés soient égaux

Exemple de construction sur geogebra

8.5 Hexagone

On se sert de la graine de vie, et on trace les côté de l’hexagone en reliant les intersections des cercles avec le cercle central.

Les diagonales forment :

  • trois diamètres du cercle central
  • un hexagramme composé de deux triangles équilatéraux

Exemple de construction sur geogebra

8.6 Pentagone

8.6.1 Via triangle équilatéral inscrit

  • on utilise la graine de vie pour tracer un triangle équilatéral inscrit dans un cercle
  • les diamètres partant des sommets du triangle forment des intersections avec les milieux des côtés opposés
  • le nombre d’or est obtenu par lle rapport entre
    • la longueur du segment S reliant deux milieux des côtés du triangle
    • la longueur du segment T partant d’un milieu et allant jusqu’au cercle
  • le pentagone régulier contient aussi le nombre d’or comme rapport entre la longueur de ses côtés et celle de ses diagonales
  • on se sert de cette propriété pour construire le pentagone autour de la diagonale T, et en se servant des longueurs de S et T
    • des cercles de rayon correspondant aux longueurs de S et de T sont tracés aux extrémités de T
    • leurs intersections fournissent les sommets du pentagone

Exemple de construction sur geogebra

8.6.2 Méthode de SGD

Voir cette vidéo de la chaîne SGD.

Exemple de construction sur geogebra

8.6.3 Méthode de Durer   approximatif

8.7 Hexagone & pentagone

8.7.1 Méthode de SGD

8.7.2 Méthode de Durer   approximatif

8.8 Heptagone

8.8.1 Méthode de Durer   approximatif

8.9 Octogone

8.9.1 Via la perpendiculaire au centre du cercle

  • on utilise la méthode permettant de tracer la perpendiculaire à une droite au centre d’un cercle
  • on trace les cercle de même rayon dont les centres sont situés aux intersections entre le cercle central et la droite perpendiculaire
  • on obtient ainsi 4 pétales et quatre intersections entre les cercles environnants
  • ces 4 intersections vont nous donner deux nouveaux diamètres situés à 45° avec les droites perpendiculaires
    • les intersections des droites perpendiculaires et des nouveaux diamètres avec le cercle central nous donnent les sommets de l’octogone
  • on relie les 8 sommets

Exemple de construction sur geogebra

8.10 Nonagone

8.10.1 Méthode de SGD   approximatif

Voir cette vidéo de la chaîne SGD.

Exemple de construction sur geogebra

8.11 Décagone

8.11.1 Via pentagone

  • on part d’un pentagone
  • on trace cinq cercles
    • le centre est un des sommets du pentagone
    • le rayon est égal à la longueur des côtés
  • on relie chaque sommet du pentagone à l’intersection opposée entre les cercles
    • on obtient ainsi les droites d1 à d5
  • l’intersection des droites d1d5 nous donne le centre du cercle circonscrit
  • on trace le cercle circonscrit
  • les intersections du cercle avec les droites d1d5 nous donnent les cinq sommets manquants du décagone
  • on relie les 10 sommets

Exemple de construction sur geogebra

8.12 Dodécagone

  • on trace l’hexagone et l’hexagramme
  • on se sert des intersections entre les cercles ou entre les triangles de l’hexagramme pour trouver trois diamêtres formant des angles de 30° avec les diamètres de l’hexagone
  • les intersections des nouveaux diamètres avec le cercle nous donne les six sommets manquants du dodécagone
  • on relie les 12 sommets

Exemple de construction sur geogebra

9 Polygrammes

9.1 Introduction

Étant donné un polygone, on a les définitions :

  • un segment de type N relie deux sommets séparés par N sommets
  • si N > 0, une diagonale de type N est identique à un segment de type N
  • un polygramme de type N est constitué de tous les segments de type N

En particulier :

  • un segment de type 0 relie deux sommets consécutif, et est donc identique à un côté du polygone
  • le polygramme de type 0 contient tous les côtés et est donc identique au polygone

Lorsqu’on ne précise pas le type, le polygramme par défaut est celui de type 1.

9.2 Pentagramme

Sur geogebra :

9.3 Hexagramme

9.4 Heptagramme

9.5 Octogramme

10 Polygrammes courbes

10.1 Tétragrammes courbes

10.2 Pentagrammes courbes

10.3 Hexagrammes courbes

10.6 Nonagrammes courbes

11 Polyèdres

11.1 Via la graine de vie

11.2 Via le fruit de vie

Sur geogebra :

12 Hyperespace

12.1 Tesseract

Représentation d’un hypercube de dimension 4.

Sur geogebra :

13 Flocons

14 Étoiles

14.1 3 branches

14.2 4 branches

14.3 5 branches

14.4 6 branches

14.5 7 branches

15 Croix

16 Arbre

17 Cercle de la connaissance

18 Sri Yantra

19 Fibonacci

19.1 Spirale

On trace une suite d’arcs de cercles de rayons croissants. Il existe deux méthodes :

  • le ratio de deux rayons consécutif est égal au nombre d’or
  • le ratio d’un rayon sur le rayon initial est égal au nombre correspondant de la suite de Fibonacci

Sur geogebra :

Auteur: chimay

Created: 2021-02-09 mar 11:38

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