Eclats de vers : Matemat : Aire dans le plan
Table des matières
1. Introduction
1.1. Carré unitaire
Un carré unitaire est un carré dont la longueur du coté vaut 1.
1.2. Définition
L’aire d’une figure géométrique \(\mathcal{F}\) est le nombre de carrés unitaires qu’elle peut contenir. On la note :
\[ \aire(\mathcal{F}) \]
2. Rectangle
2.1. Dimensions entières
Soit un rectangle mesurant \(m\) unités de longueur et \(n\) de largeur, où \(m\) et \(n\) sont des nombres naturels non nuls. Le schéma ci-dessous nous en donne un exemple avec \(m = 4\) et \(n = 3\) :
On voit que ce rectangle peut contenir un tableau de carrés unitaires comprenant \(m\) lignes et \(n\) colonnes. Son aire \(\mathcal{A}\) vaut donc :
\[ \mathcal{A} = m \cdot n \]
par définition de la multiplication dans les nombres naturels. L’aire d’un rectangle de mesures entières est donc égale au produit de sa longueur par sa largeur.
2.2. Dimensions rationnelles
Nous allons tenter de généraliser le résultat précédent à des mesures rationnelles, en utilisant une unité secondaire, définie comme une fraction de l’unité principale. Considérons un rectangle de longueur :
\[ L = \frac{m}{i} \]
et de largeur :
\[ l = \frac{n}{j} \]
où \(m,n,i,j\) sont des nombres naturels non nuls. Mettons ces deux fractions au même dénominateur :
\[ L = \frac{m \ j}{i \ j} \qquad \qquad \qquad l = \frac{n \ i}{j \ i} \]
Nous allons à présent scinder l’unité principale, de longueur \(1\), en \(i \cdot j\) unités secondaires. La longueur de cette unité secondaire vaut :
\[ \sigma = \unsur{i \ j} \]
Les dimensions du rectangle peuvent se réécrire :
\[ L = (m \ j) \ \sigma \]
\[ l = (n \ i) \ \sigma \]
Notre rectangle mesure donc \(m \cdot j\) unités secondaires en longueur et \(n \cdot i\) unités secondaires en largeur. Remarquons que ces dimensions sont des nombres naturels non nuls.
Nous appelons :
- carré unitaire principal : un carré dont le côté mesure 1 unité principal
- carré unitaire secondaire : un carré dont le côté mesure 1 unité secondaire
le schéma ci-dessous nous donne un exemple de carré unitaire principal, dont le côté mesure \(i \cdot j = 6\) unités secondaires :
On voit qu’un carré unitaire principal peut contenir :
\[ (i \cdot j) \cdot (i \cdot j) = (i \cdot j)^2 = i^2 \cdot j^2 \]
carrés unitaires secondaires. L’aire \(P\) d’un carré unitaire principal vaut donc \(i^2 \cdot j^2\) fois l’aire \(S\) d’un carré unitaire secondaire :
\[ P = (i^2 \ \ j^2) \ S \]
Isolons \(S\) :
\[ S = \frac{P}{i^2 \ \ j^2} \]
Comme \(P\) vaut \(1\) par définition de l’aire, on a finalement :
\[ S = \unsur{i^2 \ \ j^2} = \sigma^2 \]
Exprimées en unités secondaires, les dimensions de notre rectangle valent \(m \cdot j\) et \(n \cdot i\). Ce rectangle compte donc au total :
\[ m \ n \ i \ j = \frac{m \ n}{\sigma} \]
carrés unitaires secondaires. Comme l’aire de chaque carré unitaire secondaire vaut \(S = \sigma^2\), l’aire \(\mathcal{A}\) de notre rectangle vaut :
\[ \mathcal{A} = \frac{m \ n}{\sigma} \cdot \sigma^2 = m \ n \ \sigma = \frac{m \ n}{i \ j} \]
c’est-à-dire :
\[ \mathcal{A} = \frac{m}{i} \cdot \frac{n}{j} \]
Le membre de droite n’est rien d’autre que le produit des dimensions du rectangle, exprimées en unités principales :
\[ \mathcal{A} = L \cdot l \]
L’aire d’un rectangle de mesures rationnelles est aussi égale au produit de sa longueur par sa largeur.
2.3. Dimensions réelles
Soit un rectangle \(R\) de dimensions réelles :
- \(L\) en longueur
- \(l\) en largeur
On choisit des suites de rationnels \((L_n)_{n \in \setN}\) et \((l_n)_{n \in \setN}\) telles que :
\[ \lim_n L_n = L \qquad \qquad \qquad \lim_n l_n = l \]
On a alors une suite de rectangles \(R_n\), de dimensions \(L_n\) et \(l_n\) et d’aires :
\[ A_n = L_n \ l_n \]
Il est raisonnable de définir l’aire \(\mathcal{A}\) du rectangle \(R\) comme la limite de la suite des \(A_n\) :
\[ \mathcal{A} = \lim_n A_n = \lim_n (L_n \ l_n) \]
En utilisant les propriétés des limites, cette équation devient :
\[ \mathcal{A} = \left[ \lim_n L_n \right] \cdot \left[ \lim_n l_n \right] \]
et finalement :
\[ \mathcal{A} = L \cdot l \]
L’aire d’un rectangle de mesures réelles est aussi égale au produit de sa longueur par sa largeur.
3. Triangle
3.1. Triangle rectangle
3.1.1. Cathètes
Le schéma ci-dessous représente un rectangle \(ABCD\) découpé en deux triangles rectangles :
Que vaut l’aire \(\mathcal{A}\) du triangle rectangle \(ABC\) ? On sait que l’aire \(\mathcal{R}\) du rectangle \(ABCD\) vaut :
\[ \mathcal{R} = a \ b \]
Or, ce rectangle contient deux triangles rectangles qui ont la même aire par isométrie : \(ABC\) et \(ACD\). On a donc :
\[ \mathcal{R} = 2 \ \mathcal{A} \]
Isolons l’aire du triangle :
\[ \mathcal{A} = \frac{\mathcal{R}}{2} \]
Remplaçons \(\mathcal{R}\) par son expression :
\[ \mathcal{A} = \frac{a \ b}{2} \]
L’aire d’un triangle rectangle vaut la moitié du produit de ses cathètes.
3.1.2. Hypothénuse et hauteur
Le schéma ci-dessous représente un triangle rectangle \(BAC\) :
Le triangle \(BAC\) peut se décomposer en deux triangles rectangles :
- \(BDC\) à gauche
- \(DAC\) à droite
On définit :
\[ a = \abs{BC} \]
\[ b = \abs{CA} \]
\[ c = \abs{AB} \]
\[ u = \abs{BD} \]
\[ v = \abs{DA} \]
L’aire \(A_G\) du triangle rectangle \(BDC\) de gauche vaut :
\[ A_G = \frac{u \ h}{2} \]
L’aire \(A_D\) du triangle rectangle \(DAC\) de droite vaut :
\[ A_D = \frac{v \ h}{2} \]
L’aire \(\mathcal{A}\) du triangle \(BAC\) est égale à la somme des aires des deux triangles rectangles intérieurs :
\[ \mathcal{A} = A_G + A_D = \frac{u \ h}{2} + \frac{v \ h}{2} \]
Mettons \(h\) en évidence :
\[ \mathcal{A} = \frac{(u + v) \ h}{2} \]
Comme :
\[ c = u + v \]
on a finalement :
\[ \mathcal{A} = \frac{c \ h}{2} \]
L’aire d’un triangle rectangle vaut aussi la moitié du produit de l’hypothénuse par la hauteur qui lui est perpendiculaire.
3.1.3. Corollaire
L’aire \(\mathcal{A}\) d’un triangle rectangle vaut, au choix, la moitié du produit des cathètes ou la moitié du produit de l’hypothénuse par la hauteur qui lui est perpendiculaire. En utilisant les notations des sections précédentes, on a :
\[ \mathcal{A} = \frac{a \ b}{2} = \frac{c \ h}{2} \]
En multipliant la dernière équation par deux, on obtient :
\[ a \ b = c \ h \]
Dans un triangle rectangle, le produit des cathètes est égal au produit de l’hypothénuse par la hauteur qui lui est perpendiculaire.
3.2. Triangle acutangle
Soit le triangle acutangle \(ABC\) représenté ci-dessous :
Ce triangle peut se décomposer en deux triangles rectangles :
- \(ADC\) à gauche
- \(DBC\) à droite
L’aire \(A_G\) du triangle rectangle \(ADC\) de gauche vaut :
\[ A_G = \frac{u \ h}{2} \]
L’aire \(A_D\) du triangle rectangle \(DBC\) de droite vaut :
\[ A_D = \frac{v \ h}{2} \]
L’aire totale \(\mathcal{A}\) du triangle \(ABC\) est égale à la somme des aires des deux triangles rectangles :
\[ \mathcal{A} = A_G + A_D = \frac{u \ h}{2} + \frac{v \ h}{2} \]
ce qui nous donne :
\[ \mathcal{A} = \frac{u \ h + v \ h}{2} \]
Mettons la hauteur \(h\) en évidence :
\[ \mathcal{A} = \frac{(u + v) \ h}{2} \]
Comme la base \(b\) vaut :
\[ b = u + v \]
On a montré que l’aire du triangle \(ABC\) vaut :
\[ \mathcal{A} = \frac{b \ h}{2} \]
c’est-à-dire la moitié du produit de la base par la hauteur.
3.3. Triangle obtusangle
Un triangle obtusangle possède deux hauteurs intérieures au triangle. Nous pouvons bien entendu utiliser l’une d’entre-elles pour calculer l’aire du triangle. Le procédé est le même que celui utilisé pour le triangle acutangle, et nous obtenons le même résultat : l’aire vaut la moitié du produit de la base par la hauteur. Nous allons à présent examiner la relation entre la hauteur extérieure du triangle obtusangle et on aire.
Soit le triangle obtusangle \(ABC\) représenté ci-dessous :
Le rectangle \(ADCE\) est de longueur \(b + u\) et de largeur \(h\). Son aire vaut donc :
\[ \mathcal{R} = (b + u) \ h \]
Pour obtenir l’aire du triangle \(ABC\), il nous faut enlever les aires des triangles rectangles \(ACE\) et \(BDC\).
L’aire \(A_G\) du triangle rectangle \(ACE\) de gauche vaut :
\[ A_G = \frac{(b + u) \ h}{2} \]
L’aire \(A_D\) du triangle rectangle \(BDC\) de droite vaut :
\[ A_D = \frac{u \ h}{2} \]
L’aire \(\mathcal{A}\) du triangle \(ABC\) est donc égale à :
\[ \mathcal{A} = \mathcal{R} - A_G - A_D = (b + u) \ h - \frac{(b + u) \ h}{2} - \frac{u \ h}{2} \]
Mettons les termes du membre de droite au même dénominateur :
\[ \mathcal{A} = \frac{2 \ (b + u) \ h - (b + u) \ h - u \ h}{2} \]
Plaçons la hauteur \(h\) en évidence :
\[ \mathcal{A} = \frac{(2 \ b + 2 \ u - b - u - u) \ h}{2} \]
On obtient finalement :
\[ \mathcal{A} = \frac{b \ h}{2} \]
c’est-à-dire la moitié du produit de la base par la hauteur.
4. Trapèze
Soit un trapèze \(EFGH\) subdivisé en deux triangles :
Ce trapèze peut se décomposer en deux triangles :
- \(EFH\) à gauche
- \(HFG\) à droite
On pose :
\[ B = \abs{EF} \]
\[ b = \abs{GH} \]
Comme les bases \([E,F]\) et \([G,H]\) sont parallèles, les droites qui les prolongent le sont aussi :
\[ (EF) \parallel (GH) \]
La distance entre ces droites est donc constante et :
\[ h = \abs{HI} = \abs{FJ} \]
On remarque que \(h\) est une hauteur des triangles \(EFH\) et \(HFG\).
L’aire \(A_G\) du triangle \(EFH\) de gauche vaut :
\[ A_G = \frac{B \ h}{2} \]
L’aire \(A_D\) du triangle \(HFG\) de droite vaut :
\[ A_D = \frac{b \ h}{2} \]
L’aire \(\mathcal{A}\) du trapèze est égale à la somme des aires des deux triangles :
\[ \mathcal{A} = A_G + A_D = \frac{B \ h}{2} + \frac{b \ h}{2} \]
ou encore :
\[ \mathcal{A} = \frac{B \ h + b \ h}{2} \]
En mettant la hauteur \(h\) en évidence, on obtient la formule pour calculer l’aire d’un trapèze. :
\[ \mathcal{A} = \frac{(B + b) \ h}{2} \]
On voit que cette aire est égale au produit de la base moyenne :
\[ \mu = \frac{B + b}{2} \]
par la hauteur \(h\) :
\[ \mathcal{A} = \mu \ h \]
5. Parallélogramme
Soit un parallélogramme \(ABCD\) subdivisé en deux triangles :
Ce parallélogramme peut se décomposer en deux triangles :
- \(ABD\) à gauche
- \(DBC\) à droite
On pose :
\[ b = \abs{AB} = \abs{CD} \]
Comme les bases \([A,B]\) et \([C,D]\) sont parallèles, les droites qui les prolongent le sont aussi :
\[ (AB) \parallel (CD) \]
La distance entre ces droites est donc constante et :
\[ h = \abs{DE} = \abs{BF} \]
On remarque que \(h\) est une hauteur des triangles \(ABD\) et \(DBC\).
L’aire \(A_G\) du triangle \(ABD\) de gauche vaut :
\[ A_G = \frac{b \ h}{2} \]
L’aire \(A_D\) du triangle \(DBC\) de droite vaut :
\[ A_D = \frac{b \ h}{2} \]
L’aire \(\mathcal{A}\) du parallélogramme est égale à la somme des aires des deux triangles :
\[ \mathcal{A} = A_G + A_D = \frac{b \ h}{2} + \frac{b \ h}{2} \]
ou encore :
\[ \mathcal{A} = \frac{b \ h + b \ h}{2} \]
Mettons la hauteur \(h\) en évidence :
\[ \mathcal{A} = \frac{(b + b) \ h}{2} = \frac{2 \ b \ h}{2} \]
et simplifions :
\[ \mathcal{A} = b \ h \]
L’aire d’un parallélogramme est égale au produit de la base par la hauteur.
6. Cerf-volant
Soit un cerf-volant \(ABCD\) :
On définit les longueurs de segments :
\[ a = \abs{AI} \]
\[ b = \abs{IC} \]
et les diagonales :
\[ D = \abs{AC} \]
\[ d = \abs{BD} \]
Le cerf-volant se subdivise en deux triangles isocèles : \(ABD\) et \(CDB\).
Le triangle \(ABD\) de gauche a une base de longueur \(d\) et une hauteur de longueur \(a\). Son aire \(A_G\) vaut :
\[ A_G = \frac{a \ d}{2} \]
Le triangle \(CDB\) de droite a une base de longueur \(d\) et une hauteur de longueur \(b\). Son aire \(A_D\) vaut :
\[ A_D = \frac{b \ d}{2} \]
L’aire totale \(\mathcal{A}\) du cerf-volant \(ABCD\) est égale à la somme des aires des deux triangles isocèles :
\[ \mathcal{A} = A_G + A_D = \frac{a \ d}{2} + \frac{b \ d}{2} \]
Mettons les termes du membre de droite au même dénominateur :
\[ \mathcal{A} = \frac{a \ d + b \ d}{2} \]
Mettons la diagonale \(d\) en évidence :
\[ \mathcal{A} = \frac{(a + b) \ d}{2} \]
Comme :
\[ D = a + b \]
on a finalement :
\[ \mathcal{A} = \frac{D \ d}{2} \]
L’aire d’un cerf-volant est égale à la moitié du produit de ses diagonales.
7. Losange
Soit un losange \(ABCD\) :
On définit :
\[ D = \abs{AC} \]
\[ d = \abs{BD} \]
Comme un losange est un cas particulier de cerf-volant, son aire est égale à la moitié du produit de ses diagonales :
\[ \mathcal{A} = \frac{D \ d}{2} \]
8. Carré
On définit :
\[ d = \abs{AC} = \abs{BD} \]
Comme un carré est un cas particulier de rectangle, son aire est égale au produit de sa longueur par sa largeur, toutes deux égales à \(c\) :
\[ \mathcal{A} = c \cdot c \]
L’aire d’un carré est donc égale au carré de la longueur d’un côté :
\[ \mathcal{A} = c^2 \]
Comme un carré est un cas particulier de cerf-volant, son aire est aussi égale à la moitié du produit de ses diagonales :
\[ \mathcal{A} = \frac{d^2}{2} \]
En égalant les deux expressions de l’aire, on a :
\[ c^2 = \frac{d^2}{2} \]
Isolons \(d^2\) :
\[ d^2 = 2 \ c^2 \]
et prenons la racine de chaque membre :
\[ d = c \ \sqrt{2} \]
La longueur de la diagonale d’un carré est égale à la longueur d’un côté multipliée par la racine de deux.