Eclats de vers : Matemat : Applications adjointes
Table des matières
- 1. Dépendances
- 2. Adjoint au sens des formes linéaires
- 3. Adjoint au sens du produit scalaire
- 4. Identité
- 5. Adjoint d'une combinaison linéaire
- 6. Bidual
- 7. Adjoint d'une composée
- 8. Construction d'applications auto-adjointes
- 9. Linéarité de l'adjoint
- 10. Norme de l'adjoint
- 11. Inverse
- 12. Noyau et image
- 13. Représentation matricielle
- 14. Adjoint d'un produit
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\( \newenvironment{Eqts} { \begin{equation*} \begin{gathered} } { \end{gathered} \end{equation*} } \newenvironment{Matrix} {\left[ \begin{array}} {\end{array} \right]} \)
\label{chap:dualite}
1. Dépendances
- Chapitre \ref{chap:forme} : Les formes linéaires
- Chapitre \ref{chap:ps} : Les produits scalaires
2. Adjoint au sens des formes linéaires
Soit les espaces vectoriels \(E\) et \(F\) sur \(\corps\) et l'application linéaire \(A : E \mapsto F\). Si \(A^\dual : F^\dual \mapsto E^\dual\) est l'unique fonction de \(E^F\) vérifiant :
\[\forme{\varphi}{A(u)} = \forme{A^\dual(\varphi)}{u}\]
pour tout \(\varphi \in F^\dual\) et \(u \in E\), on dit que \(A^\dual\) est l'application duale (ou adjointe) de \(A\) au sens des formes linéaires.
3. Adjoint au sens du produit scalaire
Soient \(E\) et \(F\) deux espaces vectoriels munis de produits scalaires et l'application linéaire \(A : E \mapsto F\). Si \(A^\dual : F \mapsto E\) est l'unique fonction de \(E^F\) vérifiant :
\[\scalaire{v}{A(u)} = \scalaire{A^\dual(v)}{u}\]
pour tout \((u,v) \in E \times F\), on dit que \(A^\dual\) est l'application duale (ou adjointe) de \(A\) au sens du produit scalaire. Nous supposons dans la suite que les applications rencontrées possèdent une application adjointe.
3.1. Applications auto-adjointes
Si \(E = F\) et \(A = A^\dual\), on dit que \(A\) est hermitienne ou auto-adjointe.
4. Identité
Comme :
\[\scalaire{v}{\identite(u)} = \scalaire{\identite(v)}{u} = \scalaire{v}{u}\]
on a bien évidemment \(\identite^\dual = \identite\).
5. Adjoint d'une combinaison linéaire
Soit deux applications linéaires \(A,B : E \mapsto F\) et \(\alpha,\beta \in \corps\). Si \((u,v) \in E \times F\), on a :
\begin{align} \scalaire{(\conjaccent{\alpha} \cdot A^\dual + \conjaccent{\beta} \cdot B^\dual)(v)}{u} &= \alpha \cdot \scalaire{A^\dual(v)}{u} + \beta \cdot \scalaire{B^\dual(v)}{u} \) \( &= \alpha \cdot \scalaire{v}{A(u)} + \beta \cdot \scalaire{v}{A(u)} \) \( &= \scalaire{v}{(\alpha \cdot A + \beta \cdot B)(u)} \end{align}On en conclut que :
\[(\alpha \cdot A + \beta \cdot B)^\dual = \conjaccent{\alpha} \cdot A^\dual + \conjaccent{\beta} \cdot B^\dual\]
L'opérateur \(^\dual : A \mapsto A^\dual\) est antilinéaire.
6. Bidual
On remarque que :
\[\scalaire{u}{A^\dual(v)} = \conjaccent{\scalaire{A^\dual(v)}{u}} = \conjaccent{\scalaire{v}{A(u)}} = \scalaire{A(u)}{v}\]
pour tout \((u,v) \in E \times F\). On a donc :
\[\left( A^\dual \right)^\dual = A\]
7. Adjoint d'une composée
Soit un troisième espace vectoriel \(G\). Si les applications adjointes des applications linéaires \(A : E \mapsto F\) et \(B : F \mapsto G\) existent, on a :
\[\scalaire{v}{(A \circ B)(u)} = \scalaire{A^\dual(v)}{B(u)} = \scalaire{(B^\dual \circ A^\dual)(v)}{u}\]
pour tout \((u,v) \in E \times G\). On en conclut que :
\[(A \circ B)^\dual = B^\dual \circ A^\dual\]
8. Construction d'applications auto-adjointes
Nous allons voir que nous pouvons construire deux applications auto-adjointes à partir de n'importe quelle application linéaire \(A : E \mapsto F\) admettant une application duale \(A^\dual : F \mapsto E\).
- L'application \(A^\dual \circ A : E \mapsto E\) vérifie :
\[\scalaire{A^\dual \circ A(v)}{u} = \scalaire{A(v)}{A(u)} = \scalaire{v}{A^\dual \circ A(u)}\]
pour tout \(u,v \in E\). On en déduit que :
\[(A^\dual \circ A)^\dual = A^\dual \circ A\]
- L'application \(A \circ A^\dual : F \mapsto F\) vérifie :
\[\scalaire{A \circ A^\dual(x)}{y} =\scalaire{A^\dual(x)}{A^\dual(y)} = \scalaire{x}{A \circ A^\dual(y)}\]
pour tout \(x,y \in F\). On en déduit que :
\[(A \circ A^\dual)^\dual = A \circ A^\dual\]
9. Linéarité de l'adjoint
Soit \(u,v \in E\), \(x,y \in F\) et \(\alpha, \beta \in \corps\). On a :
\begin{align} \scalaire{A^\dual(\alpha \cdot x + \beta \cdot y)}{u} &= \scalaire{\alpha \cdot x + \beta \cdot y}{A(u)} \) \( &= \conjaccent{\alpha} \cdot \scalaire{x}{A(u)} + \conjaccent{\beta} \cdot \scalaire{y}{A(u)} \) \( &= \conjaccent{\alpha} \cdot \scalaire{A^\dual(x)}{u} + \conjaccent{\beta} \cdot \scalaire{A^\dual(y)}{u} \) \( &=\scalaire{\alpha \cdot A^\dual(x) + \beta \cdot A^\dual(y)}{u} \end{align}Comme ce doit être valable pour tout \(u \in E\), on en conclut que l'application adjointe est linéaire :
\[A^\dual(\alpha \cdot x + \beta \cdot y) = \alpha \cdot A^\dual(x) + \beta \cdot A^\dual(y)\]
10. Norme de l'adjoint
Soit une application linéaire \(A : E \mapsto F\) de norme finie. Si \(x \in F\) est un vecteur non nul, on a :
\( \norme{A^\dual(x)}^2 = \scalaire{A^\dual(x)}{A^\dual(x)} = \scalaire{A \circ A^\dual(x)}{x} \le \norme{A \circ A^\dual(x)} \cdot \norme{x} \)
et donc :
\[\norme{A^\dual(x)}^2 \le \norme{A} \cdot \norme{A^\dual(x)} \cdot \norme{x}\]
Si \(\norme{A^\dual(x)} \ne 0\), on peut diviser par \(\norme{A^\dual(x)}\). On obtient alors :
\[\norme{A^\dual(x)} \le \norme{A} \cdot \norme{x}\]
Par positivité des normes, on remarque que cette relation est également valable lorsque \(\norme{A^\dual(x)} = 0 \le \norme{A} \cdot \norme{x}\). En divisant par la norme de \(x\), on obtient :
\[\frac{ \norme{A^\dual(x)} }{ \norme{x} } \le \norme{A}\]
Il ne nous reste plus qu'à passer au supremum sur \(x\) pour en conclure que :
\[\norme{A^\dual} \le \norme{A}\]
Mais comme \((A^\dual)^\dual = A\), on a aussi :
\[\norme{A} = \norme{(A^\dual)^\dual} \le \norme{A^\dual}\]
Ces deux inégalités nous montrent que :
\[\norme{A^\dual} = \norme{A}\]
11. Inverse
Supposons que \(A\) soit inversible. On a :
\( \identite = \identite^\dual = (A^{-1} \circ A)^\dual = A^\dual \circ (A^{-1})^\dual \)
\( \identite = \identite^\dual = (A \circ A^{-1})^\dual = (A^{-1})^\dual \circ A^\dual \)
On en conclut que \(A^\dual\) est également inversible et que :
\[(A^\dual)^{-1} = (A^{-1})^\dual\]
12. Noyau et image
Soit l'application linéaire \(A : E \mapsto F\). Soit \(u \in \noyau A\) et \(v \in \image A^\dual\). On peut donc trouver un \(x \in F\) tel que \(v = A^\dual(x)\). On a :
\[\scalaire{u}{v} = \scalaire{u}{A^\dual(x)} = \scalaire{A(u)}{x} = \scalaire{0}{x} = 0\]
d'où \(u \in (\image A^\dual)^\orthogonal\) et \(\noyau A \subseteq (\image A^\dual)^\orthogonal\). Inversément, si \(u \in (\image A^\dual)^\orthogonal\), on a :
\[\scalaire{A(u)}{x} = \scalaire{u}{A^\dual(x)} = 0\]
pour tout \(x \in E\). On en conclut que \(A(u) = 0\), c'est-à-dire \(u \in \noyau A\). On a donc aussi \((\image A^\dual)^\orthogonal \subseteq \noyau A\). Ces deux inclusions nous montrent finalement que :
\[\noyau A = (\image A^\dual)^\orthogonal\]
Comme le bidual revient à l'application d'origine, on a aussi :
\[\noyau A^\dual = (\image A)^\orthogonal\]
13. Représentation matricielle
Soit \(\corps \in \{ \setR , \setC \}\) et la matrice \(A \in \matrice(\corps,m,n)\) représentant l'application linéaire \(\mathcal{A} : \corps^n \mapsto \corps^m\). Soit \(A^\dual \in \matrice(\corps,n,m)\) représentant \(\mathcal{A}^\dual\). On a :
\[\scalaire{y}{ \mathcal{A}(x) } = \conjaccent{y^T} \cdot A \cdot x\]
ainsi que :
\[\scalaire{\mathcal{A}^\dual(y)}{ x } = \big( \conjaccent{A^\dual} \cdot \conjaccent{y} \big)^T \cdot x = \conjaccent{y^T} \cdot \big( \conjaccent{A^\dual} \big)^T \cdot x\]
Les deux produits scalaires devant être égaux par définition de la dualité, on doit clairement avoir :
\[\big( \conjaccent{A^\dual} \big)^T = A\]
c'est-à-dire :
\[A^\dual = \conjaccent{A^T} = \conjugue A^T\]
Ce résultat prouve l'existence et l'unicité de l'adjoint dans le cas d'espaces de dimension finie.
13.1. Cas particulier
Dans le cas d'une matrice réelle, on a \(\conjaccent{A} = A\) et :
\[A^\dual = A^T\]
14. Adjoint d'un produit
On peut vérifier que :
\[(A \cdot B)^\dual = B^\dual \cdot A^\dual\]
pour toutes matrices \(A \in \matrice(\corps,m,n)\) et \(B \in \matrice(\corps,n,p)\) de dimensions compatibles pour la multiplication.