Eclats de vers : Matemat : Applications linéaires

• Chapitre \ref{chap:fonction} : Les fonctions

Soit les espaces vectoriels \(E\) et \(F\) sur \(\corps\) et la fonction \(f : E \mapsto F\). On dit que \(f\) est linéaire si, pour tout \(x,y \in E\) et \(\alpha, \beta \in \corps\), on a :

\[f(\alpha \cdot x + \beta \cdot y) = \alpha \cdot f(x) + \beta \cdot f(y)\]

On note \(\lineaire(E,F)\) l'ensemble des fonctions linéaires de \(E\) vers \(F\).

L'application identité est clairement linéaire.

Soit \(u = f(x)\) et \(v = f(y)\). Si l'application inverse existe, on a \(x = f^{-1}(u)\) et \(y = f^{-1}(v)\). En composant à gauche par \(f^{-1}\) la définition de la linéarité, on obtient :

\[\alpha \cdot f^{-1}(u) + \beta \cdot f^{-1}(v) = f^{-1}(\alpha \cdot u + \beta \cdot v)\]

ce qui montre que l'inverse est également linéaire.

Choisissons un \(x \in E\). on voit que :

\[f(0) = f(0 \cdot x) = 0 \cdot f(x) = 0\]

La valeur d'une application linéaire s'annule au vecteur nul.

La norme d'une application linéaire est définie comme étant l'extension maximale qu'elle produit :

\[\norme{f} = \sup \left\{ \frac{ \norme{f(x)} }{ \norme{x} } : x \in E, \ x \ne 0 \right\}\]

On a donc :

\[\norme{f(x)} \le \norme{f} \cdot \norme{x}\]

pour tout \(x \in E \setminus \{ 0 \}\).

Soit \(f : E \mapsto F\) et \(g : F \mapsto G\) deux applications linéaires de normes finies. Si \(x \in E\) avec \(x \ne 0\) on a \(f(x) \in F\) et :

\[\norme{g \circ f(x)} \le \norme{g} \cdot \norme{f(x)} \le \norme{g} \cdot \norme{f} \cdot \norme{x}\]

En divisant par \(\norme{x} \ne 0\) :

\[\frac{ \norme{g \circ f(x)} }{ \norme{x} } \le \norme{g} \cdot \norme{f}\]

et en passant au supremum sur \(x \ne 0\), on en conclut que :

\[\norme{g \circ f} \le \norme{g} \cdot \norme{f}\]

On a clairement :

\[\norme{f^n} = \norme{f \circ ... \circ f} \le \norme{f}^n\]

Nous allons montrer que, pour tout \(f \in \lineaire(A,B)\), on a l'équivalence entre l'hypothèse d'une norme de \(f\) finie et l'hypothèse de \(f\) continue.

Si la norme est finie, on a :

\[\norme{f(x) - f(a)} = \norme{f(x - a)} \le \norme{f} \cdot \norme{x-a}\]

qui tend bien vers \(0\) lorsque \(x\) tend vers \(a\). Inversément, si \(f\) est continue, on peut trouver un \(\delta \strictsuperieur 0\) tel que :

\[\norme{f(x) - f(0)} \le 1\]

pour tout \(x\) vérifiant \(\distance(x,0) = \norme{x} \le \delta\). Posons \(B = \{ x \in A : \norme{x} = \delta \}\). On a alors :

\[\sup_{x \in B} \frac{\norme{f(x)}}{\norme{x}} = \unsur{\delta} \sup_{x \in B} \norme{f(x) - f(0)} \le \unsur{\delta}\]

La norme est donc finie :

\[\norme{f} = \sup_{x \in B} \frac{\norme{f(x)}}{\norme{x}} \le \unsur{\delta} \strictinferieur +\infty\]

On dit que la fonction \(f : E_1 \times ... \times E_n \mapsto F\) est $n$-linéaire si elle est linéaire par rapport à chacune des composantes de son argument, les autres composantes restant inchangées :

\[f(...,\alpha x + \beta y,...) = \alpha \cdot f(...,x,...) + \beta \cdot f(...,y,...)\]

pour tout \(\alpha,\beta \in \corps\) et \(x,y \in E\). On note \(\lineaire_n(E_1,...,E_n,F)\) l'ensemble des fonctions $n$-linéaires de \(E_1 \times ... \times E_n\) vers \(F\).

Soit une application linéaire \(\mathcal{A} : E \to F\). Choisissons \(x \in E\) et posons :

\[y = \mathcal{A}(x)\]

Si on dispose d'une base \((e_1,...,e_n)\) de \(E\) et d'une base \((f_1,...,f_m)\) de \(F\), on a :

pour certains \(x_i,y_i \in \corps\). La linéarité de \(\mathcal{A}\) implique que :

\[y = \sum_{j = 1}^n \mathcal{A}(e_j) \cdot x_j\]

Si les \(a_{ij} \in \corps\) sont les coordonnées de \(\mathcal{A}(e_j)\) dans la base des \(f_i\), on a :

\[\mathcal{A}(e_j) = \sum_{i = 1}^m a_{ij} \cdot f_i\]

En substituant cette expression, on obtient :

\[y = \sum_{i = 1}^m f_i \sum_{j = 1}^n a_{ij} \cdot x_j\]

La \(i^{ème}\) coordonnée de \(y\) est donc donnée par :

\[y_i = \sum_{j = 1}^n a_{ij} \cdot x_j\]

On définit la matrice \(A \in \matrice(\corps,m,n)\) associée à \(\mathcal{A}\) en posant :

\[A = ( a_{ij} )_{i,j}\]

Nous définissons ensuite le produit d'une matrice avec le « vecteur » \(x\) équivalent de \(\corps^n\) :

\[A \cdot x = \left( \sum_j a_{ij} \cdot x_j \right)_i\]

de telle sorte que :

\[A \cdot x = \mathcal{A}(x)\]

Soit à présent les matrices \(A \in \matrice(\corps,m,n)\) et \(B \in \matrice(\corps,n,p)\) données par :

où les \(a_{ij},b_{ij} \in K\). Soit les applications linéaires \(\mathcal{B} : \corps^p \to \corps^n\) et \(\mathcal{A} : \corps^n \to \corps^m\) définies par :

pour tout \(x \in \corps^p\), \(y \in \corps^n\). Choisissons \(z \in \corps^m\) et relions \(x,y,z\) par :

Examinons les composantes de \(z\) en fonction de celles de \(x\) :

\[z_i = \sum_k a_{ik} \cdot y_k = \sum_k a_{ik} \sum_j b_{kj} \cdot x_j = \sum_{k,j} a_{ik} \cdot b_{kj} \cdot x_j\]

On en déduit que la composée \(\mathcal{C} = \mathcal{A} \circ \mathcal{B}\) est représentée par la matrice \(C \in \matrice(\corps,m,p)\) de composantes :

\[\composante_{ij} C = c_{ij} = \sum_k a_{ik} \cdot b_{kj}\]

Il suffit donc de définir le produit matriciel \(A \cdot B\) par :

\[A \cdot B = \left(\sum_{k=1}^n a_{ik} \cdot b_{kj}\right)_{i,j}\]

pour avoir :

\[(A \cdot B) \cdot x = \big( \mathcal{A} \circ \mathcal{B} \big)(x)\]

Le produit matriciel représente donc une composée d'applications linéaires. Pour que ce produit soit bien défini, il est nécessaire que le nombre de colonnes \(n\) de \(A\) et le nombre de lignes de \(B\) soient identiques.

On voit également que le produit matrice - vecteur défini précédemment en est un cas particulier lorsque \(p = 1\).

En utilisant l'associativité de l'addition, on peut facilement vérifier que la formule de multiplication reste valable lorsqu'on considère des blocs de matrices au lieu des éléments, à condition de respecter l'ordre de multiplication. Un exemple fréquemment utilisé :

La matrice identité \(I \in \matrice(\corps,n,n)\) correspond à la fonction \(\identité\). On a donc :

\[I \cdot x = x\]

pour tout \(x \in \corps^n\). Si \((\canonique_1,...\canonique_n)\) est la base canonique de \(\corps^n\), on a donc :

\[I \cdot \canonique_i = \canonique_i\]

ce qui entraîne directement :

\[I = ( \indicatrice_{ij} )_{i,j}\]

On remarque que :

\[I = [\canonique_1 \ \hdots \ \canonique_n]\]

Lorsqu'elle existe, la matrice inverse de \(A\), notée \(A^{-1}\), reflète l'application linéaire inverse sous-jacente. Elle est donc l'unique matrice telle que :

\[A^{-1} \cdot A = A \cdot A^{-1} = I\]

Soit \(A\) et \(B\) deux matrices inversibles. Les relations \(C \cdot (A \cdot B) = I\) et \((A \cdot B) \cdot D = I\) nous donnent :

\[C = D = B^{-1} \cdot A^{-1}\]

et donc :

\[(A \cdot B)^{-1} = B^{-1} \cdot A^{-1}\]

Il est possible de multiplier une matrice carrée \(A\) avec elle-même. On peut donc définir l'exposant par :

Ici, \(\corps\) n'est plus un corps mais l'anneau des matrices \(X\) de taille \((N,N)\). On dit que \(p : \matrice(\corps,N,N) \mapsto \matrice(\corps,N,N)\) est un polynôme matriciel si il existe \(a_0,...,a_n \in \corps\) tels que :

\[p(X) = \sum_{i = 0}^n a_i \cdot X^i\]

pour tout \(X \in \matrice(\corps,N,N)\).