Eclats de vers : Matemat : Complexe
Table des matières
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\( \newenvironment{Eqts} { \begin{equation*} \begin{gathered} } { \end{gathered} \end{equation*} } \newenvironment{Matrix} {\left[ \begin{array}} {\end{array} \right]} \)
\label{chap:complexes}
1. Dépendances
- Chapitre \ref{chap:naturels} : Les nombres naturels
- Chapitre \ref{chap:entiers} : Les nombres entiers
- Chapitre \ref{chap:rationnels} : Les nombres rationnels
- Chapitre \ref{chap:reels} : Les nombres réels
2. Nombre imaginaire
Nous avons vu que le carré d'un nombre positif est forcément positif. Par conséquent, on ne peut pas trouver de \(x \in \setR\) tel que :
\[x^2 = -1\]
Il nous faut donc inventer un nouvel objet, que l'on nomme nombre imaginaire, et que l'on note \(\img\), tel que :
\( \img^2 = -1 \)
On peut dès lors étendre la définition de la racine carrée par :
\[\sqrt{-1} = \img\]
Soit \(x \in \setR\). Comme l'on veut conserver les propriétés des produits et puissances, on note que :
\[(x \cdot \img)^2 = x^2 \cdot \img^2 = x^2 \cdot (-1) = - x^2\]
On a par conséquent :
\[\sqrt{-x^2} = x \cdot \img\]
2.1. Notation
On note aussi :
\[x \img = \img x = x \cdot \img\]
2.2. Remarque
Attention à ne pas confondre les variables « \(i\) » avec le nombre imaginaire « \(\img\) ».
3. Définition
Nous allons à présent nous intéresser aux propriétés algébriques des couples nombre réel - nombre imaginaire. Pour tout \((a, b) \in \setR^2\), nous introduisons la notation complexe :
\[a + \img b\]
L'ensemble des nombres complexes est simplement l'ensemble des couples réel - imaginaire :
\[\setC = \{ a + \img b : \ a,b \in \setR \}\]
4. Parties réelles et imaginaires
Soit \(z \in \setC\) et \(a,b \in \setR\) tels que :
\[z = a + \img b\]
On nomme \(a\) la partie réelle de \(z\), et on la note :
\[\Re(z) = a\]
On nomme \(b\) la partie imaginaire de \(z\), et on la note :
\[\Im(z) = b\]
On a donc :
\[z = \Re(z) + \img \Im(z)\]
5. Complexe conjugué
Soit \(z \in \setC\) et \(a,b \in \setR\) tels que :
\[z = a + \img b\]
Le complexe conjugué de \(z\) est le nombre donné par :
\[\conjaccent{z} = \conjugue(z) = a + \img (-b) = a - \img b\]
On a donc :
\( \Re(\conjaccent{z}) = \Re(z) \)
\( \Im(\conjaccent{z}) = - \Im(z) \)
5.1. Conjugué carré
Il est clair d'après la définition que :
\[\conjugue \conjugue z = z\]
6. Addition
Soient \(x,y \in \setC\) et \(a,b,c,d \in \setR\) tels que :
\( x = a + \img b \)
\( y = c + \img d \)
Comme nous désirons conserver les propriétés de commutativité et d'associativité de l'addition, on a :
\[x + y = a + \img b + c + \img d = (a + c) + \img (b + d)\]
7. Soustraction
Soient \(x,y \in \setC\) et \(a,b,c,d \in \setR\) tels que :
\( x = a + \img b \)
\( y = c + \img d \)
Comme nous souhaitons conserver les propriétés de la soustraction, on a simplement :
\[x + y = a + \img b - (c + \img d) = a + \img b - c - \img d = (a - c) + \img (b - d)\]
8. Multiplication
Soient \(x,y \in \setC\) et \(a,b,c,d \in \setR\) tels que :
\( x = a + \img b \)
\( y = c + \img d \)
Comme nous voulons conserver les propriétés de la multiplication, nous écrivons :
\[x \cdot y = (a + \img b) \cdot (c + \img d) = a \cdot c + \img a \cdot d + \img b \cdot c + \img^2 b \cdot d\]
En tenant compte de la définition du nombre imaginaire, on a :
\[x \cdot y = a \cdot c + \img a \cdot d + \img b \cdot c - b \cdot d\]
et finalement :
\[x \cdot y = (a \cdot c - b \cdot d) + \img (a \cdot d + b \cdot c)\]
On a donc :
\( \Re(x \cdot y) = \Re(x) \cdot \Re(y) - \Im(x) \cdot \Im(y) \)
\( \Im(x \cdot y) = \Re(x) \cdot \Im(y) + \Im(x) \cdot \Re(y) \)
8.1. Mixte
On en déduit le cas particulier suivant :
\[(a + \img b) \cdot c = a \cdot c + \img b \cdot c\]
8.2. Multiplication par \(\img\)
Soit \(z \in \setC\) et \(a,b \in \setR\) tels que :
\[z = a + \img b\]
Comme :
\[\img z = \img a + \img^2 b = \img a - b\]
on a :
\( \Re(\img z) = -b = - \Im(z) \)
\( \Im(\img z) = a = \Re(z) \)
8.3. Conjugué
On a :
\[\conjugue(x) \cdot \conjugue(y) = (a \cdot c - b \cdot d) - \img (a \cdot d + b \cdot c) = \conjugue(x \cdot y)\]
9. Module
Soit \(z \in \setC\) et \(a,b \in \setR\) tels que :
\[z = a + \img b\]
On définit le module de \(z\) par :
\[\abs{z} = \sqrt{a^2 + b^2} \ge 0\]
On voit que le module est un réel positif. Dans le cas d'un réel, le module s'identifie à la valeur absolue, ce qui justifie la notation identique.
9.1. Conjugué
On voit que :
\[z \cdot \conjaccent{z} = (a + \img b) \cdot (a - \img b) = a^2 + b^2 + \img (a \cdot b - a \cdot b) = a^2 + b^2\]
c'est-à-dire :
\[z \cdot \conjaccent{z} = \abs{z}^2\]
10. Inverse
Soit \(z \in \setC\) et \(a,b \in \setR\) tels que :
\[z = a + \img b\]
Multiplions la relation \(z \cdot \conjaccent{z} = \abs{z}^2\) par :
\[\left( z \cdot \abs{z}^2 \right)^{-1} = \frac{1}{z \abs{z}^2}\]
Il vient :
\[\frac{ \conjaccent{z} }{ \abs{z}^2 } = \unsur{z}\]
Nous pouvons donc évaluer l'inverse d'un nombre complexe :
\[\unsur{z} = \frac{ a - \img b }{ a^2 + b^2 } = \frac{ a }{ a^2 + b^2 } - \img \frac{ b }{ a^2 + b^2 }\]
10.1. Inverse de \(\img\)
On a en particulier :
\[\unsur{\img} = -\img\]
11. Division
Soient \(x,y \in \setC\) et \(a,b,c,d \in \setR\) tels que :
\( x = a + \img b \)
\( y = c + \img d \)
On définit la division de deux nombres complexes par :
\[\frac{x}{y} = x \cdot \unsur{y} = \frac{ x \cdot \conjaccent{y} }{ \abs{y}^2 }\]
On a donc :
\[\frac{x}{y} = \frac{(a + \img b) \cdot (c - \img d)}{c^2 + d^2}\]
ou encore :
\[\frac{x}{y} = \frac{(a \cdot c + b \cdot d) + \img (b \cdot c - a \cdot d)}{c^2 + d^2}\]
12. Obtention des parties réelles et imaginaires
Soit \(z \in \setC\) et \(a,b \in \setR\) tels que :
\[z = a + \img b\]
En additionnant \(z\) et son conjugué, on obtient :
\[z + \conjaccent{z} = (a + \img b) + (a - \img b) = 2 a = 2 \Re(z)\]
ce qui permet d'obtenir une expression de la partie réelle :
\[\Re(z) = \unsur{2}(z + \conjaccent{z})\]
En soustrayant \(z\) et \(\conjaccent{z}\), on obtient :
\[z - \conjaccent{z} = (a + \img b) - (a - \img b) = 2 \img b = 2 \img \Im(z)\]
ce qui permet d'obtenir une expression de la partie imaginaire :
\[\Im(z) = \unsur{2\img}(z - \conjaccent{z})\]
12.1. Cas particuliers
On en déduit directement que si \(z = \conjaccent{z}\), on a \(\Im(z) = 0\) et \(z\in\setR\). Par contre, si \(z = -\conjaccent{z}\), on a \(\Re(z) = 0\) et \(z\) est purement imaginaire.
13. Puissance
Soit \(n \in \setN\) avec \(n \ne 0\), \(z \in \setC\) et \(a,b \in \setR\) tels que :
\[z = a + \img b\]
On définit la \(n^{ième}\) puissance d'un nombre complexe par :
\( z^0 = 1 \)
\( z^n = z \cdot z^{n-1} \)
13.1. Négatives
Les puissances négatives sont données par :
\[z^{-n} = \unsur{z^n}\]
13.2. Racines
La \(n^{ième}\) racine \(x \in \setC\) de \(z\) est définie par :
\[x^n = z\]
On a alors :
\[z = x^{1/n}\]
13.3. Fractionnaires
Soit \(m \in \setN\). on a simplement :
\[z^{m/n} = \left( z^{1/n} \right)^m\]
13.4. Réelles
Soit \(s \in \setR\) et une suite \(\{ r_i \in \setQ : i \in \setN \}\) qui converge vers \(s\). On définit :
\[z^s = \lim_{i \to \infty} z^{r_i}\]
14. Ordre partiel
Soit les complexes \(x,y \in \setC\) et les réels \(a,b,c,d \in \setR\) tels que :
\( x = a + \img b \)
\( y = c + \img d \)
On dit que \(x\) est plus petit que \(y\) au sens des composantes, et on le note \(x \le y\) si les deux conditions suivantes sont vérifiées :
\( a \le c \)
\( b \le d \)
15. Ordre total
Soit les complexes \(x,y \in \setC\) et les réels \(a,b,c,d \in \setR\) tels que :
\( x = a + \img b \)
\( y = c + \img d \)
On dit que \(x\) est plus petit que \(y\) et on le note \(x \preceq y\) si :
\[a \strictinferieur c\]
ou si les conditions suivantes sont vérifiées :
\( a = c \)
\( b \le d \)
16. Inclusion
Pour tout \(a \in \setR\), on a \(a = a + \img 0 \in \setC\). On considère donc que \(\setR \subseteq \setC\).