Eclats de vers : Matemat : Distributions
Table des matières
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\( \newenvironment{Eqts} { \begin{equation*} \begin{gathered} } { \end{gathered} \end{equation*} } \newenvironment{Matrix} {\left[ \begin{array}} {\end{array} \right]} \)
\label{chap:distribu}
1. Dépendances
- Chapitre \ref{chap:relation} : Les fonctions
- Chapitre \ref{chap:lineaire} : Les fonctions linéaires
2. Formes et fonctions
On peut toujours associer une forme linéaire \(\varphi\) à une fonction intégrable quelconque \(\hat{\varphi}\) en définissant :
\[\forme{\varphi}{u} = \int_A u(x) \cdot \hat{\varphi}(x) \ dx\]
Inversément, on ne pourra pas toujours trouver une fonction \(\hat{\varphi}\) correspondant à une forme linéaire \(\varphi\) donnée. On définira malgré tout l'intégrale généralisée en notant :
\[\int_A u(x) \cdot \varphi(x) \ dx = \forme{\varphi}{u}\]
où il ne faut pas perdre de vue que \(\varphi\) n'est pas nécessairement une fonction.
3. Formes et mesures
Soit \(u : A \mapsto \setR\). A toute mesure \(\mu\), on peut associer une forme linéaire \(\hat{\mu}\) par :
\[\forme{ \hat{\mu} }{u} = \int_A u(x) \ d\mu(x)\]
Inversément, à toute forme linéaire \(\hat{\mu}\), on peut associer une fonction \(\mu : \sousens(\setR) \mapsto \setR\) par :
\[\mu(A) = \forme{ \hat{\mu} }{\indicatrice_A}\]
Toutefois, rien ne garantit que la fonction \(\mu\) ainsi définie est une mesure. En particulier, rien ne garantit qu'elle soit positive.
4. Fonction et forme bilinéaire
A toute fonction \(\hat{K} : A \times B \mapsto F\), on peut associer une forme bilinéaire \(K\) par :
\[\biforme{u}{K}{v} = \int_{A \times B} u(x) \cdot K(x,y) \cdot v(y) \ d\mu(x) \ d\nu(y)\]
pour toutes fonctions \(u,v : A \mapsto B\). Inversément, à toute forme bilinéaire \(K\), on peut associer une intégrale généralisée en notant :
\[\int_{A \times B} u(x) \cdot K(x,y) \cdot v(y) \ d\mu(x) \ d\nu(y) = \biforme{u}{K}{v}\]
5. Définition
Nous nous intéressons ici au cas où l'espace vectoriel \(E\) est un ensemble de fonctions intégrables : \(E = \mathcal{F} \subseteq \lebesgue^2(\setR,\setR)\). Les limites à l'infini doivent alors forcément s'annuler
\[\lim_{x \to +\infty} u(x) = \lim_{x \to -\infty} u(x) = 0\]
pour tout \(u \in \mathcal{F}\).
6. Delta de Dirac
La distribution \(\dirac \in F^\dual\) de Dirac est définie par :
\[\forme{\dirac}{u} = u(0)\]
pour tout \(u \in F\). Elle correspond bien sûr à l'intégrale :
\[\int_\setR \dirac(x) \cdot u(x) \ dx = u(0)\]
On remarque que :
\[\int_{A^2} \dirac(\xi - x) \cdot K(\xi,\eta) \cdot \dirac(\eta - y) \ d\mu(\xi) \ d\nu(\eta) = K(x,y)\]
7. Dérivée
En intégrant par parties, on a :
\( ∫\setR \OD{u}{x}(x) ⋅ v(x) \ dx = lima → +∞ \left[ u(a) \cdot v(a) - u(-a) \cdot v(-a) \right]
- ∫\setR u(x) ⋅ \OD{v}{x}(x) \ dx
\)
mais comme les limites à l'infini s'annulent, cette expression se réduit à :
\[\int_{\setR} \OD{u}{x}(x) \cdot v(x) \ dx = - \int_{\setR} u(x) \cdot \OD{v}{x}(x) \ dx\]
Par extension, on définit la dérivée \(\OD{u}{x}\) d'une distribution \(u\) par :
\[\forme{\OD{u}{x}}{v} = - \forme{u}{\OD{v}{x}}\]
pour tout \(v\in F\).
7.1. Échelon
Comme application, considérons la fonction échelon \(e_+\) :
\( e_+(x) = \indicatrice[0,+∞) =
\begin{cases} 1 & \mbox{si } t \ge 0 \) \( 0 & \mbox{si } t < 0 \end{cases}\)
Pour tout \(v\in F\), on a :
\begin{align} \forme{\OD{e_+}{x}}{v} &= - \forme{e_+}{\OD{v}{x}} \) \( &= - \int_0^{+\infty} \OD{v}{x}(x) dx \end{align}Appliquons à présent le théorème fondamental. Il vient :
\[\forme{\OD{e_+}{x}}{v} = - \left[\lim_{x \to +\infty} v(x) - v(0)\right] = v(0)\]
On en déduit que :
\[\OD{e_+}{x} = \dirac\]
au sens des distributions.
8. Dilatation
Soit \(d_a\) l'opérateur de dilatation :
\[d_a(u)(x) = u(a \cdot x)\]
où \(a > 0\) est un réel strictement positif.
Le changement de variable \(\xi = a \cdot x\) nous donne \(d\xi = a \ dx\) et donc :
\[\int_{\setR} \hat{u}(a \ x) \ v(x) \ dx = \unsur{a} \int_{\setR} \hat{u}(\xi) \ v\left( \xi/a \right) \ d\xi\]
On définit donc l'extension de cet opérateur aux distributions par :
\[\forme{d_a(u)}{v} = \unsur{a} \forme{u}{d_{1/a}(v)}\]
9. Réflexion
L'opérateur de réflexion \(r\) se définit par :
\[r(u)(x) = u(-x)\]
Le changement de variable \(\xi = -x\) nous donne \(d\xi = -dx\) et donc :
\begin{align} \int_{\setR} \hat{u}(-x) \ v(x) \ dx &= \lim_{a \to +\infty}\int_{-a}^a \hat{u}(-x) \ v(x) \ dx \) \( &= \lim_{a \to +\infty} - \int_a^{-a} \hat{u}(\xi) \ v(-\xi) \ d\xi \) \( &= \lim_{a \to +\infty} \int^{-a}_a \hat{u}(\xi) \ v(-\xi) \ d\xi \end{align}On définit donc l'extension de cet opérateur aux distributions par :
\[\forme{r(u)}{v} = \forme{u}{r(v)}\]
10. Translation
L'opérateur de translation \(t_a\) est défini par :
\[t_a(u)(x) = u(x - a)\]
Le changement de variable \(\xi = x - a\) nous donne \(d\xi = dx\) et donc :
\[\int_{\setR} \hat{u}(x-a) v(x) dx = \int_{\setR} \hat{u}(\xi) v(\xi+a) d\xi\]
On définit donc les extensions de cet opérateur aux distributions par :
\[\forme{t_a(u)}{v} = \forme{u}{t_{-a}(v)}\]
11. Convolution
Les intégrales unidimensionnelles permettent de définir l'opérateur de convolution \(\convolution\). Soit deux fonctions \(u, v : \setR \mapsto \setR\), leur convolution est une fonction \(u \convolution v : \setR \mapsto \setR\) définie par :
\[(u \convolution v)(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} u(t-s) \ v(s) \ ds\]
pour tout \(t \in \setR\).
11.1. Dirac
En utilisant les résultats ci-dessus, on arrive facilement à :
\[\int_{\setR} u(x) \ \dirac(x-a) \ dx = u(a)\]
Comme :
\[\int_{\setR} u(x) \ \dirac(-x) \ dx = \int_{\setR} u(-x) \ \dirac(x) \ dx = u(0)\]
on en déduit que \(\dirac(-x) = \dirac(x)\) et :
\[\int_{\setR} \dirac(x-y) \ u(y) \ dy = u(x)\]
c'est-à-dire :
\[\dirac \convolution u = u\]
La distribution de Dirac est neutre pour le produit de convolution. On peut montrer que ce neutre est unique.
12. Corrélation
Les intégrales unidimensionnelles permettent de définir l'opérateur de corrélation \(\correlation\). Soit deux fonctions \(u, v : \setR \mapsto \setR\), leur corrélation est une fonction \(u \correlation v : \setR \mapsto \setR\) définie par :
\[(u \correlation v)(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} u(s+t) \ v(s) \ ds\]
pour tout \(t \in \setR\).