Eclats de vers : Matemat : Équations aux dérivées partitielles (EDP)
Table des matières
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\( \newenvironment{Eqts} { \begin{equation*} \begin{gathered} } { \end{gathered} \end{equation*} } \newenvironment{Matrix} {\left[ \begin{array}} {\end{array} \right]} \)
\label{chap:pde}
1. Courbes caractéristiques
Soit \(u \in F = \continue^1(\setR^2,\setR)\) et l'équation aux dérivées partielles à résoudre sur \(\Omega\subseteq\setR^2\) :
\[a(x,y,u) \ u_x(x,y) + b(x,y,u) \ u_y(x,y) = c(x,y,u)\]
où nous introduisons les notations :
\( u_x(x,y) = \deriveepartielle{u}{x}(x,y) \)
\( u_y(x,y) = \deriveepartielle{u}{y}(x,y) \)
Les coefficients \(a,b,c\) sont en général des fonctions de \(x,y,u\) mais ne peuvent pas dépendre de \(u_x\) ni de \(u_y\). Soit à présent la courbe \(\Gamma\) définie par :
\[\Gamma = \{ \left(w_x(t),w_y(t)\right) : t \in\setR \}\]
où \(w_x\) et \(w_y\) sont des fonctions dérivables. Définissons la restriction de \(u\) à \(\Gamma\) :
\[\varphi(t) = u\left(w_x(t),w_y(t)\right)\]
Si on s'arrange pour que :
\( \OD{w_x}{t}(t) = a(w_x(t),w_y(t),u(w_x(t),w_y(t))) \)
\( \OD{w_y}{t}(t) = b(w_x(t),w_y(t),u(w_x(t),w_y(t))) \)
On a alors :
\[\OD{\varphi}{t} = u_x \ a + u_y \ b = c\]
Définissons alors :
\[f : (t,u) \mapsto c\left(w_x(t),w_y(t),u\right)\]
On a :
\[\OD{\varphi}{t}(t) = f(t,u(t))\]
qui est une équation différentielle ordinaire en \(t\). On peut donc connaître \(\varphi\) et donc \(u\) sur \(\Gamma\) si on ajoute la condition initiale :
\[\varphi(0) = u_0\]
On dit alors que \(\Gamma\) est une courbe caractéristique de l'équation aux dérivées partielles.
2. Fonction de Green
Soit un espace fonctionnel \(F \subseteq \Leb^2(\setR^n,\setR)\) et une forme \(\forme{}{} : F^D \times F \mapsto \setR\) à laquelle on associe par abus de notation :
\[\int_A u(x) \cdot v(x) \ dx = \forme{u}{v}\]
où \(A \subseteq \setR^n\).
Soit un opérateur \(L : F \mapsto \Leb^2(\setR^n,\setR)\) qui vérifie :
\[\forme{u}{L(v)} = \forme{L(u)}{v}\]
pour tout \(u,v\in F\). On dit d'un tel opérateur qu'il est auto-adjoint.
Nous nous intéressons à l'équation différentielle :
\[L(u) = f\]
où \(f \in F\).
Introduisons la distribution \(\delta\) de Dirac :
\[\int_A \delta(x-a) \ f(x) \ dx = f(a)\]
et définissons la famille de solutions \(v_x\) telles que :
\[L(v_x)(y)=\delta(y-x)\]
On peut alors définir la fonction de Green \(G\) :
\[G(x,y)=v_x(y)\]
Mais les propriétés de \(L\) nous permettent d'écrire :
\[\forme{L(v_x)}{u} = \forme{v_x}{L(u)}\]
Si \(u\) est la solution de \(L(u) = f\), l'équation précédente peut se formeuler comme :
\[\int_A \delta(y-x) \ u(y) \ dy = \int_A v_x(y) \ f(y) \ dy\]
et finalement :
\[u(x) = \int_A G(x,y) \ f(y) \ dy\]
2.1. Exemple d'opérateur auto-adjoint
Comme exemple d'opérateur auto-adjoint, citons :
\[L : u \mapsto \lapl u = \sum_i \dfdxdx{u}{x_i}\]