Eclats de vers : Matemat : Équivalence
Table des matières
\( \newcommand{\parentheses}[1]{\left(#1\right)} \newcommand{\crochets}[1]{\left[#1\right]} \newcommand{\accolades}[1]{\left\{#1\right\}} \newcommand{\ensemble}[1]{\left\{#1\right\}} \newcommand{\identite}{\mathrm{Id}} \newcommand{\indicatrice}{\boldsymbol{\delta}} \newcommand{\dirac}{\delta} \newcommand{\moinsun}{{-1}} \newcommand{\inverse}{\ddagger} \newcommand{\pinverse}{\dagger} \newcommand{\topologie}{\mathfrak{T}} \newcommand{\ferme}{\mathfrak{F}} \newcommand{\img}{\mathbf{i}} \newcommand{\binome}[2]{ \left\{ \begin{array}{c} #1 \\ #2 \\ \end{array} \right\} } \newcommand{\canonique}{\mathfrak{c}} \newcommand{\tenseuridentite}{\boldsymbol{\mathcal{I}}} \newcommand{\permutation}{\boldsymbol{\epsilon}} \newcommand{\matriceZero}{\mathfrak{0}} \newcommand{\matriceUn}{\mathfrak{1}} \newcommand{\christoffel}[2]{ \left\{ \begin{array}{c} #1 \\ #2 \\ \end{array} \right\} } \newcommand{\lagrangien}{\mathfrak{L}} \newcommand{\sousens}{\mathfrak{P}} \newcommand{\partition}{\mathrm{Partition}} \newcommand{\tribu}{\mathrm{Tribu}} \newcommand{\topologies}{\mathrm{Topo}} \newcommand{\setB}{\mathbb{B}} \newcommand{\setN}{\mathbb{N}} \newcommand{\setZ}{\mathbb{Z}} \newcommand{\setQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\setR}{\mathbb{R}} \newcommand{\setC}{\mathbb{C}} \newcommand{\corps}{\mathbb{K}} \newcommand{\boule}{\mathfrak{B}} \newcommand{\intervalleouvert}[2]{\left] #1 , #2 \right[} \newcommand{\intervallesemiouvertgauche}[2]{ \left] #1 , #2 \right]} \newcommand{\intervallesemiouvertdroite}[2]{\left[ #1 , #2 \right[ } \newcommand{\fonction}{\mathbb{F}} \newcommand{\bijection}{\mathrm{Bij}} \newcommand{\polynome}{\mathrm{Poly}} \newcommand{\lineaire}{\mathrm{Lin}} \newcommand{\continue}{\mathrm{Cont}} \newcommand{\homeomorphisme}{\mathrm{Hom}} \newcommand{\etagee}{\mathrm{Etagee}} \newcommand{\lebesgue}{\mathrm{Leb}} \newcommand{\lipschitz}{\mathrm{Lip}} \newcommand{\suitek}{\mathrm{Suite}} \newcommand{\matrice}{\mathbb{M}} \newcommand{\krylov}{\mathrm{Krylov}} \newcommand{\tenseur}{\mathbb{T}} \newcommand{\essentiel}{\mathfrak{E}} \newcommand{\relation}{\mathrm{Rel}} \DeclareMathOperator*{\strictinferieur}{\ < \ } \DeclareMathOperator*{\strictsuperieur}{\ > \ } \DeclareMathOperator*{\ensinferieur}{\eqslantless} \DeclareMathOperator*{\enssuperieur}{\eqslantgtr} \DeclareMathOperator*{\esssuperieur}{\gtrsim} \DeclareMathOperator*{\essinferieur}{\lesssim} \newcommand{\essegal}{\eqsim} \newcommand{\union}{\ \cup \ } \newcommand{\intersection}{\ \cap \ } \newcommand{\opera}{\divideontimes} \newcommand{\autreaddition}{\boxplus} \newcommand{\autremultiplication}{\circledast} \newcommand{\commutateur}[2]{\left[ #1 , #2 \right]} \newcommand{\convolution}{\circledcirc} \newcommand{\correlation}{\ \natural \ } \newcommand{\diventiere}{\div} \newcommand{\modulo}{\bmod} \DeclareMathOperator*{\pgcd}{pgcd} \DeclareMathOperator*{\ppcm}{ppcm} \newcommand{\produitscalaire}[2]{\left\langle #1 \vert #2 \right\rangle} \newcommand{\scalaire}[2]{\left\langle #1 \| #2 \right\rangle} \newcommand{\braket}[3]{\left\langle #1 \vert #2 \vert #3 \right\rangle} \newcommand{\orthogonal}{\bot} \newcommand{\forme}[2]{\left\langle #1 , #2 \right\rangle} \newcommand{\biforme}[3]{\left\langle #1 , #2 , #3 \right\rangle} \newcommand{\contraction}[3]{\left\langle #1 \odot #3 \right\rangle_{#2}} \newcommand{\dblecont}[5]{\left\langle #1 \vert #3 \vert #5 \right\rangle_{#2,#4}} \DeclareMathOperator*{\major}{major} \DeclareMathOperator*{\minor}{minor} \DeclareMathOperator*{\maxim}{maxim} \DeclareMathOperator*{\minim}{minim} \DeclareMathOperator*{\argument}{arg} \DeclareMathOperator*{\argmin}{arg\ min} \DeclareMathOperator*{\argmax}{arg\ max} \DeclareMathOperator*{\supessentiel}{ess\ sup} \DeclareMathOperator*{\infessentiel}{ess\ inf} \newcommand{\dual}{\star} \newcommand{\distance}{\mathfrak{dist}} \newcommand{\norme}[1]{\left\| #1 \right\|} \newcommand{\normetrois}[1]{\left|\left\| #1 \right\|\right|} \DeclareMathOperator*{\adh}{adh} \DeclareMathOperator*{\interieur}{int} \newcommand{\frontiere}{\partial} \DeclareMathOperator*{\image}{im} \DeclareMathOperator*{\domaine}{dom} \DeclareMathOperator*{\noyau}{ker} \DeclareMathOperator*{\support}{supp} \DeclareMathOperator*{\signe}{sign} \newcommand{\abs}[1]{\left| #1 \right|} \newcommand{\unsur}[1]{\frac{1}{#1}} \newcommand{\arrondisup}[1]{\lceil #1 \rceil} \newcommand{\arrondiinf}[1]{\lfloor #1 \rfloor} \DeclareMathOperator*{\conjugue}{conj} \newcommand{\conjaccent}[1]{\overline{#1}} \DeclareMathOperator*{\division}{division} \newcommand{\difference}{\boldsymbol{\Delta}} \newcommand{\differentielle}[2]{\mathfrak{D}^{#1}_{#2}} \newcommand{\OD}[2]{\frac{d #1}{d #2}} \newcommand{\OOD}[2]{\frac{d^2 #1}{d #2^2}} \newcommand{\NOD}[3]{\frac{d^{#3} #1}{d #2^{#3}}} \newcommand{\deriveepartielle}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}} \newcommand{\PD}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}} \newcommand{\dblederiveepartielle}[2]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2 \partial #2}} \newcommand{\dfdxdy}[3]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2 \partial #3}} \newcommand{\dfdxdx}[2]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2^2}} \newcommand{\gradient}{\mathbf{\nabla}} \newcommand{\combilin}[1]{\mathrm{span}\{ #1 \}} \DeclareMathOperator*{\trace}{tr} \newcommand{\proba}{\mathbb{P}} \newcommand{\probaof}[1]{\mathbb{P}\left[#1\right]} \newcommand{\esperof}[1]{\mathbb{E}\left[#1\right]} \newcommand{\cov}[2]{\mathrm{cov} \left( #1 , #2 \right) } \newcommand{\var}[1]{\mathrm{var} \left( #1 \right) } \newcommand{\rand}{\mathrm{rand}} \newcommand{\variation}[1]{\left\langle #1 \right\rangle} \DeclareMathOperator*{\composante}{comp} \DeclareMathOperator*{\bloc}{bloc} \DeclareMathOperator*{\ligne}{ligne} \DeclareMathOperator*{\colonne}{colonne} \DeclareMathOperator*{\diagonale}{diag} \newcommand{\matelementaire}{\mathrm{Elem}} \DeclareMathOperator*{\matpermutation}{permut} \newcommand{\matunitaire}{\mathrm{Unitaire}} \newcommand{\gaussjordan}{\mathrm{GaussJordan}} \newcommand{\householder}{\mathrm{Householder}} \DeclareMathOperator*{\rang}{rang} \newcommand{\schur}{\mathrm{Schur}} \newcommand{\singuliere}{\mathrm{DVS}} \newcommand{\convexe}{\mathrm{Convexe}} \newcommand{\petito}[1]{o\left(#1\right)} \newcommand{\grando}[1]{O\left(#1\right)} \)
\( \newenvironment{Eqts} { \begin{equation*} \begin{gathered} } { \end{gathered} \end{equation*} } \newenvironment{Matrix} {\left[ \begin{array}} {\end{array} \right]} \)
\label{chap:equivalences}
1. Dépendances
- Chapitre \ref{chap:relations} : Les relations
2. Définition
Une équivalence \(\equiv\) sur un ensemble \(A\) est une relation permettant de regrouper les éléments ayant une caractéristique similaire. Choisissons \(x,y,z \in A\). Tout élément \(x\) étant égal à lui-même, il doit bien entendu être équivalent à lui-même. Notre équivalence doit donc respecter la propriété :
\[x \equiv x\]
Par ailleurs, si \(x\) est équivalent à \(y\), l'inverse doit aussi être vrai :
\[x \equiv y \quad \Rightarrow \quad y \equiv x\]
Il est également clair que si \(x\) est équivalent \(y\) et que \(y\) est équivalent à \(z\), notre \(x\) doit être équivalent à \(z\). Donc :
\[x \equiv y, \quad y \equiv z \quad \Rightarrow \quad x \equiv z\]
2.1. Relation
On peut associer une relation \(R\) à toute équivalence en posant :
\[R = \{ (x,y) \in A^2 : x \equiv y \}\]
On a alors \(x \equiv y\) si et seulement si \((x,y) \in R\).
2.2. Multiple
La notation \(x \equiv y \equiv z\) signifie que \(x \equiv y\) et que \(y \equiv z\).
3. Classe d'équivalence
Soit \(x \in A\). La classe d'équivalence associée à \(x\) est l'ensemble des éléments de \(A\) qui lui sont équivalents :
\[\mathcal{E}(x) = \{ y \in A : y \equiv x \}\]
4. Ensemble quotient
Soit la relation \(R \subseteq A^2\) associée à l'équivalence \(\equiv\) définie sur \(A\). L'ensemble quotient de \(A\) par \(R\) est la collection des classes d'équivalence :
\[A / R = \{ \mathcal{E}(x) \in \sousens(A) : x \in A \}\]
4.1. Intersection
Soit \(x,y \in A\).
- Supposons que \(x\) n'est pas équivalent à \(y\) et choisissons un \(z\) dans l'intersection :
\[z \in \mathcal{E}(x) \cap \mathcal{E}(y)\]
On doit donc avoir \(x \equiv z\) et \(z \equiv y\), alors que \(x\) n'est pas équivalent à \(y\), ce qui contredit la définition des équivalences. Par conséquent, un tel \(z\) ne peut pas exister et l'intersection est vide :
\[\mathcal{E}(x) \cap \mathcal{E}(y) = \emptyset\]
- A présent, supposons que \(x\) est équivalent à \(y\) et choisissons un \(z \in \mathcal{E}(x)\). On a donc \(z \equiv x\) et \(x \equiv y\). On en déduit que \(z \equiv y\), d'où \(z \in \mathcal{E}(y)\) et \(\mathcal{E}(x) \subseteq \mathcal{E}(y)\). Symétriquement, si \(w \in \mathcal{E}(y)\), on a \(w \equiv y\) et \(y \equiv x\), d'où \(w \in \mathcal{E}(x)\) et \(\mathcal{E}(y) \subseteq \mathcal{E}(x)\). On a donc :
\[\mathcal{E}(x) = \mathcal{E}(y)\]
4.2. Union
Quel que soit \(x \in A\), tous les éléments de \(\mathcal{E}(x)\) sont dans \(A\) par définition. L'union :
\[E = \bigcup_{x \in A} \mathcal{E}(x)\]
est donc également inclue dans \(A\). D'un autre coté, tout \(x \in A\) étant équivalent à lui-même, chaque \(\mathcal{E}(x)\) contient au moins \(x\). On en conclut que \(A\) est inclus dans \(E\). La double inclusion nous montre que :
\[A = \bigcup_{x \in A} \mathcal{E}(x)\]
4.3. Partition
On déduit de ce qui précède que la collection des classes d'équivalences :
\[\mathcal{P} = A / R\]
forme une partition de \(A\). Cette constation explique la terminologie de quotient, liée à celle de division et de partition.