Eclats de vers : Matemat : Espaces vectoriels

Table des matières

1. Dépendances
2. Introduction
3. Définition
4. Sous-espace
5. Espace engendré
6. Indépendance linéaire
7. Coordonnées
8. Absence de redondance
9. Base canonique sur $\corps^n$
10. Représentation matricielle

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$ \newenvironment{Eqts} { \begin{equation*} \begin{gathered} } { \end{gathered} \end{equation*} } \newenvironment{Matrix} {\left[ \begin{array}} {\end{array} \right]} $

\label{chap:vecteur}

1. Dépendances

Chapitre \ref{chap:algebre} : Les structures algébriques
Chapitre \ref{chap:somme} : Les sommes

2. Introduction

Soit un corps $\corps$, un ensemble quelconque $A$ et $n \in \setN$. Le but des espaces vectoriels est de fournir un cadre général aux $n$-tuples de $\corps^n$ et aux fonctions de $\corps^A$. Nous avons vu la correspondance $\corps^n \leftrightarrow \corps^A$ dans le cas particulier où $A$ possède un nombre fini d'éléments. Mais le lien entre les deux types d'objets ne s'arrête pas là : la comparaison de deux fonctions se base sur le même principe (étendu) que la comparaison de deux $n$-tuples. Nous avons également défini des produits mixtes $\cdot : \corps \times \corps^n \to \corps^n$ et $\cdot : \corps \times \corps^A \to \corps^A$ semblables. Les matrices représentant des applications linéaires, nous pouvons également les ajouter dans la liste. Si $u,v \in E$, avec $E \in \{ \corps^n , \corps^A , \matrice(\corps,m,n) \}$, on a :

$ \label{eq:mixte} (\alpha \cdot \beta) \cdot u = \alpha \cdot (\beta \cdot u) $

$ (\alpha + \beta) \cdot x = \alpha \cdot x + \beta \cdot x $

$ \alpha \cdot (u + v) = \alpha \cdot u + \alpha \cdot v $

$ 1 \cdot u = 1 $

pour tout $\alpha, \beta \in \corps$. De plus l'addition induite sur $E$ par l'addition de $\corps$ transforme $E$ en groupe commutatif. On ne peut toutefois pas parler de corps pour $E$, car la multiplication matricielle n'est pas une multiplication induite, et est non commutative.

2.1. Attention

Ne pas confondre les additions définies sur $E$ et $\corps$, ni la multiplication de $\corps$ avec la multiplication mixte, ni le neutre de $E$ avec celui de $\corps$. Lorsqu'il y a un risque d'ambiguité, on parle du vecteur nul $0 \in E$ et du scalaire nul $0 \in \corps$.

3. Définition

Soit un groupe commutatif pour l'addition $E$, ainsi qu'un corps $\corps$. Si il existe une opération de multiplication mixte $\cdot : \corps \times E \mapsto E$ vérifiant les propriétés \ref{eq:mixte} ci-dessus, on dit que $E$ est un espace vectoriel sur $\corps$. On nomme alors « vecteurs » les éléments de $E$ et « scalaires » les éléments de $\corps$.

3.1. Notation

On note aussi :

$ x - y = x + (-1) \cdot y $

$ x \cdot \alpha = \alpha \cdot x $

$ \alpha \cdot \beta \cdot x = (\alpha \cdot \beta) \cdot x $

$ \alpha x = \alpha \cdot x $

$ \frac{x}{\alpha} = \alpha^{-1} \cdot x $

Lorsque $\alpha$ a un inverse dans $\corps$, on a même les « fractions » :

\[\frac{x}{\alpha} = \unsur{\alpha} \cdot x\]

3.2. Corollaires

Les propriétés de la multiplication mixte nous montrent directement que :

$ 0 \cdot u = (1 - 1) \cdot u = u - u = 0 $

$ \alpha \cdot 0 = \alpha \cdot (u - u) = \alpha - \alpha = 0 $

3.3. Remarque

Le corps $\corps$ est souvent $\setR$ ou $\setC$.

4. Sous-espace

On dit que $F \subseteq E$ est un sous-espace vectoriel de $E$ si $0 \in F$ et si :

\[z = \alpha \cdot x + \beta \cdot y\]

appartient à $F$ quels que soient les vecteurs $x,y \in F$ et les scalaires $\alpha,\beta \in \corps$.

On vérifie par exemple que $E$ est un sous-espace vectoriel de lui-même.

5. Espace engendré

L'espace engendré par les vecteurs $e_1,e_2,...,e_n \in E$ est l'ensemble des combinaisons linéaires formées à partir des $e_i$ :

\[\combilin{e_1,...,e_n} = \left\{ \sum_{i=1}^{n} \alpha_i \cdot e_i : \alpha_i \in \corps \right\}\]

On vérifie que $\combilin{e_1,...,e_n}$ est un sous-espace vectoriel de $E$.

5.1. Remarque

Les espaces vectoriels ne pouvant pas s'exprimer comme ci-dessus sont dit de dimension infinie.

6. Indépendance linéaire

On dit qu'une série de vecteurs $e_1,...,e_n$ est linéairement indépendante si pour toute suite de scalaires $\alpha_i$, la condition :

\[\sum_{i=1}^{n} \alpha_i \cdot e_i = 0\]

implique que tous les scalaires soient nuls :

\[\alpha_i = 0\]

pour tout $i \in \{1,2,...,n\}$.

7. Coordonnées

Soit les vecteurs linéairement indépendants $(e_1,...,e_n)$ et $x \in \combilin{e_1,...,e_n}$. On peut trouver une suite de scalaire $\alpha_i$ tels que :

\[x = \sum_{i = 1}^n \alpha_i \cdot e_i\]

Supposons que l'on ait également :

\[x = \sum_{i=1}^n \beta_i \cdot e_i\]

pour une autre suite de scalaires $\beta_i$. En soustrayant les deux équations, on obtient :

\[\sum_{i=1}^n (\alpha_i - \beta_i) \cdot e_i = 0\]

L'indépendance linéaire des $e_i$ implique alors que $\alpha_i - \beta_i = 0$, c'est-à-dire :

\[\alpha_i = \beta_i\]

pour tout $i \in \{1,2,...,n\}$.

On a donc unicité des coefficients scalaire de la combinaison linéaire. On dit que les $\alpha_i$ sont les coordonnées de $x$ par rapport aux $(e_1,...,e_n)$.

7.1. Base

Par contre, l'existence de telles coordonnées n'est pas garantie pour tout $x \in E$. Ce ne sera le cas que si :

\[E \subseteq \combilin{e_1,...,e_n}\]

On dit alors que $(e_1,...,e_n)$ forme une base de $E$.

7.2. Dimension finie

On dit qu'un espace vectoriel $E$ est de dimension finie s'il posséde au moins une base de la forme $(e_1,...,e_n)$, où $n \in \setN$ est fini. Dans le cas où $E$ {\em ne possède pas} une telle base, il est dit de dimension infinie.

7.3. Equivalence

On voit qu'étant donné une base de $E$, il y a équivalence entre un vecteur $x \in E$ et un élément $(x_1,x_2,...,x_n) \in \corps^n$ formé par ses coordonnées.

Nous noterons donc également (et abusivement) $x = (x_1,x_2,...,x_n)$, mais attention : il ne faut jamais perdre de vue que les $x_i$ dépendent de la base utilisée. Le vecteur $x$ est lui invariant sous changement de base.

8. Absence de redondance

Soit $e_1,...,e_n \in E$ une suite de vecteurs linéairement indépendants. Soit $i \in \{ 1,2,...,n \}$ et :

\[J(i) = \setZ(0,n) \setminus \{ i \}\]

Supposons que le vecteur $e_i$ soit une combinaison des autres vecteurs :

\[e_i = \sum_{ j \in J(i) } \alpha_j \cdot e_j\]

On a donc :

\[e_i - \sum_{ j \in J(i) } \alpha_j \cdot e_j = 0\]

L'hypothèse d'indépendance linéaire voudrait que tous les $\alpha_j$ et le $\alpha_i$ soient nuls. Ce qui n'est manifestement pas le cas puisque $\alpha_i = 1 \ne 0$ !

Aucun des vecteurs de la suite n'est donc combinaison des autres. On dit qu'aucun vecteur n'est redondant dans la suite.

9. Base canonique sur $\corps^n$

Soit $\corps \in \{ \setR, \setC \}$. On note $\canonique_i$ l'élément de $\corps^n$ ayant un $1$ en $i^{ème}$ position et des $0$ partout ailleurs. On a donc :

\begin{align} \canonique_1 &= (1,0,...,0) \) $ \canonique_2 &= (0,1,0,...,0) $ $ &\vdots& $ \( \canonique_n &= (0,...,0,1) \end{align}

On a alors, pour tout $x = (x_1,...,x_n) \in \corps^n$ :

\[x = \sum_{i = 1}^n x_i \cdot \canonique_i\]

10. Représentation matricielle

On représente généralement les vecteurs de $\corps^n$ par des vecteurs lignes ou colonnes. On parle alors de « vecteurs matriciels ». Le $i^{ème}$ vecteur de la base canonique est défini par le vecteur colonne :

\( \canonique_i = ( \indicatrice_ij )_j =

\begin{Matrix}{c} \vdots \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \end{Matrix}

soit :

$ \canonique_1 = [1 \ 0 \ \hdots \ 0]^T $

$ \canonique_2 = [0 \ 1 \ \hdots \ 0]^T $

$ \vdots $

$ \canonique_n = [0 \ \hdots \ 0 \ 1]^T $