Eclats de vers : Matemat : Essentialité

Table des matières

1. Dépendances
2. Introduction
3. Ensembles de mesure nulle
4. Mesure d'un sous-ensemble essentiel
5. Convergence de la mesure
6. Convergence étendue
7. Ordre faible
8. Transitivité
9. Conservation sous l'addition
10. Conservation sous la soustraction
11. Fonctions max et min
12. Egalité

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\label{chap:essentialite}

1. Dépendances

Chapitre \ref{chap:mesure} : Les mesures

2. Introduction

Soit la mesure \(\mu : \mathcal{T} \mapsto \setR\) et l'ensemble \(A \in \mathcal{T}\). On a envie de dire que tout sous-ensemble de mesure nulle de \(A\) est « négligeable ». L'essentiel de l'information demeurera donc si on s'abstrait d'un quelconque ensemble \(N \subseteq A\) vérifiant \(N \in \mathcal{T}\) et \(\mu(N) = 0\). Le résultat de cette abstraction, soit \(A \setminus N\), est appelé sous-ensemble essentiel de \(A\). On note :

\[\essentiel(A) = \{ A \setminus N : N \subseteq A, \ N \in \mathcal{T}, \ \mu(N) = 0 \}\]

l'ensemble des sous-ensembles essentiels de \(A\).

3. Ensembles de mesure nulle

3.1. Inclusion

Soit \(A,B \in \mathcal{T}\) avec \(A \subseteq B\) et \(\mu(B) = 0\). On a alors :

\[0 \le \mu(A) \le \mu(B) = 0\]

On en déduit que :

\[\mu(A) = 0\]

Un ensemble inclus dans un ensemble de mesure nulle est également de mesure nulle.

3.2. Union

Soit \(A,B \in \mathcal{T}\) avec \(\mu(A) = \mu(B) = 0\). On a alors :

\[0 \le \mu(A \cup B) \le \mu(A) + \mu(B) = 0 + 0 = 0\]

On en déduit que :

\[\mu(A \cup B) = 0\]

De même, la mesure d'une union d'une suite finie d'ensembles de mesure nulle est de mesure nulle :

\[\mu\left( \bigcup_{i = 1}^n A_i \right) = 0\]

On a le même résultat pour les suites infinies :

\[\mu\left( \bigcup_{i = 1}^{+\infty} A_i \right) = 0\]

4. Mesure d'un sous-ensemble essentiel

Soit \(E \in \essentiel(A)\). On peut alors trouver \(Z \in \mathcal{T}\) tel que \(Z \subseteq A\), \(E = A \setminus Z\) et vérifiant \(\mu(Z) = 0\). Comme les ensembles \(E\) et \(Z\) sont disjoints et d'union égale à \(A\), on a :

\[\mu(A) = \mu(E) + \mu(Z) = \mu(E) + 0 = \mu(E)\]

On a donc :

\[\mu(E) = \mu(A)\]

pour tout sous-ensemble essentiel \(E \in \essentiel(A)\).

5. Convergence de la mesure

Soit une suite d'ensembles \(\{ A_n \in \mathcal{T} : n \in \setN \}\) telle que \(A_m \subseteq A_n\) pour tout naturels \(m,n\) vérifiant \(m \le n\). Posons :

\[A = \bigcup_{n \in \setN} A_n \in \mathcal{T}\]

Considérons la suite d'ensemble \(\{D_n \subseteq A : n \in \setN \}\) définie par :

\begin{align} D_0 &= A_0 \) \( D_n &= A_n \setminus A_{n - 1} \end{align}

pour tout \(n \ge 1\). Comme \(A_{n - 1}, D_n \subseteq A_n\), on a \(A_n = A_{n - 1} \cup D_n\). Nous allons montrer par récurrence que :

\[A_n = \bigcup_{k = 0}^n D_k\]

On sait que c'est vrai pour \(n = 0\). Supposons que ce soit vrai pour \(n - 1\). On a :

\[A_n = D_n \cup A_{n - 1} = D_n \cup \bigcup_{k = 0}^{n - 1} D_k = \bigcup_{k = 0}^n D_k\]

Si \(x\) appartient à au moins un des \(A_n\), il appartient à au moins un des \(D_k\) pour \(0 \le k \le n\), et inversément. On en déduit que :

\[A = \bigcup_{n \in \setN} A_n = \bigcup_{k \in \setN} D_k\]

Soit les naturels \(i,j\) avec \(i \ne j\). Soit \(m = \max \{ i, j \}\) et \(n = \min \{ i,j \}\). Si \(D_i = \emptyset\) ou si \(D_j = \emptyset\), on a forcément \(D_i \cap D_j = \emptyset\). Sinon, soit \(x \in D_m\). On a alors \(x \in A_m\) et \(x \notin A_{m - 1}\). Comme \(i \ne j\), on a \(m - 1 \ge n\) et \(A_n \subseteq A_{m - 1}\). On en déduit que :

\[x \notin A_n = \bigcup_{k = 0}^n D_k \subseteq A_{m - 1}\]

En particulier, \(x\) ne peut pas appartenir à \(D_n\). On en conclut que \(D_i \cap D_j = D_m \cap D_n = \emptyset\). Les propriétés de la mesure nous disent alors que :

\[\mu(A_n) = \sum_{k = 0}^n \mu(D_k)\]

et que :

\[\mu(A) = \sum_{n \in \setN} \mu(D_n)\]

Par définition de la somme infinie sur \(\setN\), on a :

\[\sum_{n \in \setN} \mu(D_n) = \lim_{n \to \infty} \sum_{k = 0}^n \mu(D_k)\]

et donc :

\[\lim_{n \to \infty} \mu(A_n) = \mu(A)\]

6. Convergence étendue

Soit une suite d'ensembles \(\{ A_n \in \mathcal{T} : n \in \setN \}\) telle que, pour tout \(n \in \setN\), on puisse trouver un sous-ensemble essentiel \(E_n \subseteq A_n\) vérifiant \(E_n \subseteq A_{n + 1}\). Posons :

\[A = \bigcup_{n \in \setN} A_n \in \mathcal{T}\]

Pour tout \(n \in \setN\), on peut donc trouver un \(Z_n \subseteq A_n\) vérifiant \(\mu(Z_n) = 0\) et \(E_n = A_n \setminus Z_n \subseteq A_{n + 1}\). Notons \(Z\) l'union de ces ensembles :

\[Z = \bigcup_{n \in \setN} Z_n\]

et analysons le comportement des \(C_n = A_n \setminus Z\). Notons \(C\) l'union de ces ensembles. On a :

\[C = \bigcup_{n \in \setN} C_n = \bigcup_{n \in \setN} A_n \setminus Z = A \setminus Z\]

Supposons que \(x \in C_n\). On a alors \(x \in A_n\) et \(x \notin Z_n\), d'où \(x \in A_{n + 1}\). Comme \(x \notin Z\), on a aussi \(x \in A_{n + 1} \setminus Z = C_{n + 1}\). On en conclut que \(C_n \subseteq C_{n + 1}\). La récurrence :

\[C_0 \subseteq C_1 \subseteq C_2 \subseteq C_3 \subseteq ...\]

nous montre alors que \(C_m \subseteq C_n\) pour tout \(m,n \in \setN\) vérifiant \(m \le n\). La mesure converge par conséquent vers la mesure de l'union :

\[\lim_{n \to \infty} \mu(C_n) = \mu(C) = \mu(A \setminus Z)\]

Mais comme \(C\) est un sous-ensemble essentiel de \(A\), on a \(\mu(C) = \mu(A)\). Pour la même raison, on a \(\mu(C_n) = \mu(A_n)\). On a donc finalement :

\[\lim_{n \to \infty} \mu(A_n) = \mu(A)\]

7. Ordre faible

7.1. Infériorité essentielle

Soit deux fonctions \(f,g : A \mapsto \setR\) telles que \(f - g\) soit mesurable. On dit que \(f\) est {\em essentiellement} inférieure à \(g\), et on le note :

\[f \essinferieur g\]

si on peut trouver un sous-ensemble essentiel \(S\) de \(A\) tel que \(f(x) \le g(x)\) en tout point \(x \in S\). On a donc :

\[\mu(\{ x \in A : f(x) \strictsuperieur g(x) \}) = 0\]

7.2. Supériorité essentielle

Soit deux fonctions \(f,g : A \mapsto \setR\) telles que \(f - g\) soit mesurable. On dit que \(f\) est {\em essentiellement} supérieure à \(g\), et on le note :

\[f \esssuperieur g\]

si on peut trouver un sous-ensemble essentiel \(S\) de \(A\) tel que \(f(x) \ge g(x)\) en tout point \(x \in S\). On a donc :

\[\mu(\{ x \in A : f(x) \strictinferieur g(x) \}) = 0\]

7.3. Validité

La définition de \(f \essinferieur g\) revient à imposer que :

\[\mu(\{ x \in A : f(x) - g(x) \strictsuperieur 0 \}) = 0\]

La définition de \(f \esssuperieur g\) revient à imposer que :

\[\mu(\{ x \in A : f(x) - g(x) \strictinferieur 0 \}) = 0\]

Comme \(f - g\) est mesurable, ces notions sont correctement définies.

8. Transitivité

Soit les fonctions \(f,g,h : A \mapsto \setR\) telles que :

\( f \essinferieur g \\ \)

\( g \essinferieur h \)

Si on pose :

\( Z = \{ x \in A : f(x) \strictsuperieur g(x)\} \)

\( N = \{ x \in A : g(x) \strictsuperieur h(x)\} \)

on a \(\mu(Z) = \mu(N) = 0\). Comme une union finie d'ensembles de mesure nulle est de mesure nulle, on a \(\mu(N \cup Z) = 0\). Pour tout \(A \setminus (N \cup Z)\), on a \(f(x) \le g(x)\) et \(g(x) \le h(x)\). On en déduit que \(f(x) \le h(x)\). Notre \(f\) est donc inférieure à \(h\) sur \(A\) sauf sur l'ensemble de mesure nulle \(N \cup Z\). On en conclut que la fonction étagée \(f\) est essentiellement inférieure à \(h\) :

\[f \essinferieur h\]

9. Conservation sous l'addition

Supposons que \(f \essinferieur g\) et que \(u \essinferieur v\). Les ensembles :

\( Z = \{ x \in A : f(x) \strictsuperieur g(x)\} \)

\( N = \{ x \in A : u(x) \strictsuperieur v(x)\} \)

sont de mesure nulle. Leur union est donc également de mesure nulle et on a bien entendu \(f(x) + u(x) \le g(x) + v(x)\) sur \(A \setminus (Z \cup N)\) c'est-à-dire sur une sous-ensemble essentiel de \(A\). On en conclut que :

\[f + u \essinferieur g + v\]

10. Conservation sous la soustraction

Supposons que \(f \essinferieur g\) et que \(u \esssuperieur v\). Les ensembles :

\( Z = \{ x \in A : f(x) \strictsuperieur g(x)\} \)

\( N = \{ x \in A : u(x) \strictinferieur v(x)\} \)

sont de mesure nulle. Leur union est donc également de mesure nulle et on a bien entendu \(f(x) - u(x) \le g(x) - v(x)\) sur \(A \setminus (Z \cup N)\) c'est-à-dire sur une sous-ensemble essentiel de \(A\). On en conclut que :

\[f - u \essinferieur g - v\]

11. Fonctions max et min

11.1. Max

Supposons que \(f,g \essinferieur h\). Les ensembles :

\( Z = \{ x \in A : f(x) \strictsuperieur h(x)\} \)

\( N = \{ x \in A : g(x) \strictsuperieur h(x)\} \)

sont de mesure nulle. Leur union est donc également de mesure nulle et on a bien entendu \(\max\{f(x) , g(x)\} \le h(x)\) sur \(A \setminus (Z \cup N)\) c'est-à-dire sur une sous-ensemble essentiel de \(A\). On en conclut que :

\[\max\{f,g\} \essinferieur h\]

11.2. Min

Supposons que \(f,g \esssuperieur h\). Les ensembles :

\( Z = \{ x \in A : f(x) \strictinferieur h(x)\} \)

\( N = \{ x \in A : g(x) \strictinferieur h(x)\} \)

sont de mesure nulle. Leur union est donc également de mesure nulle et on a bien entendu \(\min\{f(x) , g(x)\} \ge h(x)\) sur \(A \setminus (Z \cup N)\) c'est-à-dire sur une sous-ensemble essentiel de \(A\). On en conclut que :

\[\min\{f,g\} \esssuperieur h\]

12. Egalité

On dit que \(f\) est essentiellement égale à \(g\), et on le note :

\[f \essegal g\]

si et seulement si \(f \essinferieur g\) et \(f \esssuperieur g\). Les ensembles :

\( Z = \{ x \in A : f(x) \strictinferieur g(x)\} \)

\( N = \{ x \in A : f(x) \strictsuperieur g(x)\} \)

sont alors de mesure nulle. Donc, l'ensemble :

\[D = \{ x \in A : f(x) \ne g(x)\} = Z \cup N\]

est également de mesure nulle.