Eclats de vers : Matemat : Exponentielle complexe
Table des matières
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\( \newenvironment{Eqts} { \begin{equation*} \begin{gathered} } { \end{gathered} \end{equation*} } \newenvironment{Matrix} {\left[ \begin{array}} {\end{array} \right]} \)
\label{chap:expocomp}
1. Dépendances
- Chapitre \ref{chap:complexe} : Les complexes
2. Introduction
AFAIRE : ARRANGER LE CHAPITRE
Considérons l'unique solution \(x\) de l'équation différentielle :
\( \OD{x}{t}(t) = z \cdot x(t) \)
\( x(0) = 1 \)
où \(z \in \setC\). On définit alors l'exponentielle d'un nombre complexe par :
\[\exp( z \cdot t ) = x(t)\]
On a donc simplement :
\[\exp(z) = x(1)\]
3. Additivité
Comme les fonctions :
\( s(t) = \exp( (z_1 + z_2) \cdot t ) \)
\( p(t) = \exp(z_1 t) \cdot \exp(z_2 t) \)
vérifient la même équation différentielle :
\( \OD{s}{t}(t) = (z_1 + z_2) \ s(t) \)
\( s(0) = 1 \)
\( \OD{p}{t}(t) = z_1 \ p(t) + z_2 \ p(t) = (z_1 + z_2) \ p(t) \)
\( p(0) = 1 \)
on a \(s(t) = p(t)\) pour tout \(t\). En considérant le cas \(t=1\), on arrive à la propriété d'additivité des exponentielles :
\[\exp(z_1 + z_2) = \exp(z_1) \cdot \exp(z_2)\]
4. Lien avec les fonctions trigonométriques
TODO : expliquer mieux avec la linéarité
Considérons maintenant le cas particulier où \(u(t) = \exp(\img t)\) :
\( \OD{u}{t}(t) = \img u(t) \)
\( u(0) = 1 \)
On a alors :
\[\frac{d^2 u}{dt^2}(t) = - u(t) \qquad u(0) = 1 \qquad \OD{u}{t}(0) = \img\]
Soit la fonction \(u : \setR \mapsto \setR\) définie pour tout réel \(t\) par :
\[u(t) = \cos(t) + \img \sin(t)\]
On voit que :
\[\OD{u}{t} = -\sin(t) + \img \cos(t)\]
vérifie la même équation. Par unicité de la solution, on a :
\[\exp(\img t) = \cos(t) + \img \sin(t)\]
On en déduit directement que :
\( \exp(\img \pi/2) = \img \)
\( \exp(\img \pi) = -1 \)
\( \exp(3\pi\img/2) = \img \)
\( \exp(2\pi\img) = 1 \)
ainsi que la périodicité :
\[\exp(t+2\pi) = \exp(t)\]
pour tout \(t\in\setR\).
En utilisant l'additivité, on note que :
\[\exp(z) = \exp(a) \cdot \exp(\img b) = \exp(a) \cdot (\cos(b) + \img \sin(b))\]
De la même façon, si nous prenons \(u(t) = \exp(-i.t)\), nous en déduisons :
\( \frac{d^2 u}{dt^2}(t) = - u(t) \)
\( u(0) = 1 \qquad \OD{u}{t}(0) = -i \)
Donc :
\[\exp(-\img t) = \cos(t) - \img \sin(t)\]
En additionnant, puis en soustrayant les relations :
\( \exp( \img u ) = \cos(u) + \img \sin(u) \)
\( \exp( - \img u ) = \cos(u) - \img \sin(u) \)
on obtient :
\( \cos(u) = \frac{ \exp(\img u) + \exp(-\img u) }{2} \)
\( \sin(u) = \frac{ \exp(\img u) - \exp(-\img u) }{2 \img} \)
Choisissant un angle \(\theta\in\setR\) tel que :
\( \cos(\theta) = \frac{\Re(z)}{\abs{z}} \)
\( \sin(\theta) = \frac{\Im(z)}{\abs{z}} \)
on peut réexprimer \(z\) comme :
\[z = \abs{z}(\cos(\theta)+\img\sin(\theta)) = \abs{z}\exp(\img\theta)\]
Comme les fonctions \(\cos\) sont \(2\pi\) périodiques, il existe une infinité d'angles \(\theta\) vérifiant cette propriété. On définit l'argument de \(z\) comme l'unique \(\theta\) vérifiant cette propriété et se trouvant dans l'intervalle \([0,2\pi)\).
\[ \theta = \arg(z) \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} z = \abs{z}\exp(\img\theta) \\ \theta\in [0,2\pi) \end{cases} \]
Inspiré par la relation :
\[z = \abs{z}\exp(\img\arg(z))\]
et cherchant à étendre la propriété :
\[\ln(x \cdot y) = \ln(x) + \ln(y)\]
du logarithme sur \(\setR\), on définit le logarithme d'un complexe par :
\( \ln(z) = \ln(\abs{z}) + \ln(\exp(\img\arg(z))) \)
\( \ln(z) = \ln(\abs{z}) + \img\arg(z) \)
Pour un \(z \in \setC\) donné, l'ensemble des \(y \in \setC\) tels que :
\[\exp(y) = z\]
peut s'écrire :
\[\mathcal{Y} = \{ y_k = \ln(\abs{z}) + \img \arg(z) + 2 \pi \img k : k \in \setZ \}\]
Les complexes permettent de retrouver aisément les propriétés fondamentales des fonctions trigonométriques \(\cos\), \(\sin\). En se rappelant que :
\[\exp(-\img t) \cdot \exp(i t) = \exp(i t - i t) = \exp(0) = 1\]
on retombe sur :
\( ( \cos(t) + \img \sin(t) ) ( \cos(t) - \img \sin(t) ) = 1 \)
\( \cos(t)^2 + \sin(t)^2 = 1 \)
En dérivant la relation reliant l'exponentielle aux fonctions trigonométriques, on obtient :
\( \OD{}{t}( \cos(t) + \img \sin(t) ) = \OD{}{t}\exp(\img t) \)
\( \OD{}{t} \cos(t) + \img \OD{}{t}\sin(t) = \img \exp(\img t) \)
\( \OD{}{t} \cos(t) + \img \OD{}{t}\sin(t) = \img \cos(t) - \sin(t) \)
on a bien :
\( \OD{}{t} \cos(t) = -\sin(t) \)
\( \OD{}{t}\sin(t) = \cos(t) \)
On a aussi :
\( \cos(u+v) + \img \sin(u+v) = \exp\left[ \img ( u + v ) \right] \)
\( \cos(u+v) + \img \sin(u+v) = \exp\left[ \img u \right] \cdot \exp\left[ \img v \right] \)
\( \cos(u+v) + \img \sin(u+v) = (\cos(u) + \img \sin(u))(\cos(v) + \img \sin(v)) \)
ce qui donne, tous calculs faits :
\( \cos(u+v) = \cos(u)\cos(v) - \sin(u)\sin(v) \)
\( \sin(u+v) = \sin(u)\cos(v) + \sin(v)\cos(u) \)