Eclats de vers : Matemat : Extréma essentiels

On dit que \(f\) est {\em essentiellement} inférieure au réel \(\sigma \in \setR\), et on le note :

\[f \essinferieur \sigma\]

si on peut trouver un sous-ensemble essentiel \(S\) de \(A\) tel que \(f(x) \le \sigma\) en tout point \(x \in S\). On a donc :

\[\mu(\{ x \in A : f(x) \strictsuperieur \sigma \}) = 0\]

On dit aussi que \(f\) est essentiellement majorée par \(\sigma\).

On dit que \(f\) est {\em essentiellement} supérieure au réel \(\lambda \in \setR\), et on le note :

\[f \esssuperieur \lambda\]

si on peut trouver un sous-ensemble essentiel \(S\) de \(A\) tel que \(f(x) \ge \lambda\) en tout point \(x \in S\). On a donc :

\[\mu(\{ x \in A : f(x) \strictinferieur \lambda \}) = 0\]

On dit aussi que \(f\) est essentiellement minorée par \(\lambda\).

On note aussi :

Au besoin, la mesure \(\mu\) utilisée est indiquée par :

Supposons que \(f\) soit essentiellement inférieure (sur \(A\)) à un certain \(\sigma \in \setR\) et que \(f\) soit essentiellement supérieure à un certain \(\lambda \in \setR\) sur un ensemble \(L \subseteq A\) de mesure strictement positive. On a \(\sigma \in \Theta \ne \emptyset\). Pour tout \(\alpha \in \setR\) tel que \(\alpha \ge \sigma\), on a \(\Psi(\alpha) \subseteq \Psi(\sigma)\). Comme \(\mu(\Psi(\sigma)) = 0\), l'ensemble \(\Psi(\alpha)\) est inclus dans un ensemble de mesure nulle. Il est donc lui-même de mesure nulle et \(\alpha \in \Theta\). On en conclut que :

\[[\sigma, +\infty[ \ \subseteq \Theta\]

pour tout \(\sigma \in \Theta\). Comme \(f\) est essentiellement supérieure à \(\lambda\) sur \(L\), on peut trouver un ensemble de mesure nulle \(Z \subseteq L\) tel que :

\[L \setminus Z = \{ x \in L : f(x) \ge \lambda \}\]

Comme \(L \setminus Z\) est un sous-ensemble essentiel de \(L\), on a \(\mu(L \setminus Z) = \mu(L) \strictsuperieur 0\). Posons :

\[C = \{ x \in A : f(x) \ge \lambda \}\]

Comme \(L \subseteq A\), on a \(L \setminus Z \subseteq C\) et \(\mu(C) \ge \mu(L \setminus Z) \strictsuperieur 0\). Soit \(\beta \in \setR\) vérifiant \(\beta \strictinferieur \lambda\). La condition \(f(x) \ge \lambda\) implique que \(f(x) \strictsuperieur \beta\). On en déduit que :

\[C \subseteq \{ x \in A : f(x) \strictsuperieur \beta \} = \Psi(\beta)\]

On a alors \(\mu(\Psi(\beta)) \ge \mu(C) \strictsuperieur 0\), ce qui implique que \(\beta\) ne peut pas appartenir à \(\Theta\). Tous les éléments \(\theta \in \Theta\) vérifient donc \(\theta \ge \lambda\) et :

\[\Theta \subseteq [\lambda, +\infty[\]

Comme \(\lambda \le \Theta\), l'ensemble de réels \(\Theta\) est non vide et minoré. Il admet donc un infimum :

\[\supessentiel_{x \in A} f(x) = \inf \Theta\]

On se rappelle que l'inclusion \(X \subseteq Y\) implique que \(\inf X \ge \inf Y\). Comme \(\lambda = \inf [\lambda, +\infty[\) et \(\sigma = \inf [\sigma, +\infty[\), les inclusions :

\[[\sigma, +\infty[ \ \subseteq \Theta \subseteq [\lambda, +\infty[\]

nous montrent que :

\[\lambda \le \supessentiel_{x \in A} f(x) \le \sigma\]

Supposons que \(f\) soit essentiellement supérieure (sur \(A\)) à un certain \(\lambda \in \setR\) et que \(f\) soit essentiellement inférieure à un certain \(\sigma \in \setR\) sur un ensemble \(S \subseteq A\) de mesure strictement positive. On a \(\lambda \in \Lambda \ne \emptyset\). Pour tout \(\alpha \in \setR\) tel que \(\alpha \le \lambda\), on a \(\Gamma(\alpha) \subseteq \Gamma(\lambda)\). Comme \(\mu(\Gamma(\lambda)) = 0\), l'ensemble \(\Gamma(\alpha)\) est inclus dans un ensemble de mesure nulle. Il est donc lui-même de mesure nulle et \(\alpha \in \Lambda\). On en conclut que :

\[]-\infty, \lambda] \subseteq \Lambda\]

pour tout \(\lambda \in \Lambda\). Comme \(f\) est essentiellement inférieure à \(\sigma\) sur \(S\), on peut trouver un ensemble de mesure nulle \(Z \subseteq S\) tel que :

\[S \setminus Z = \{ x \in S : f(x) \le \sigma \}\]

Comme \(S \setminus Z\) est un sous-ensemble essentiel de \(S\), on a \(\mu(S \setminus Z) = \mu(S) \strictsuperieur 0\). Posons :

\[C = \{ x \in A : f(x) \le \sigma \}\]

Comme \(S \subseteq A\), on a \(S \setminus Z \subseteq C\) et \(\mu(C) \ge \mu(S \setminus Z) \strictsuperieur 0\). Soit \(\beta \in \setR\) vérifiant \(\beta \strictsuperieur \sigma\). La condition \(f(x) \le \sigma\) implique que \(f(x) \strictinferieur \beta\). On en déduit que :

\[C \subseteq \{ x \in A : f(x) \strictinferieur \beta \} = \Gamma(\beta)\]

On a alors \(\mu(\Gamma(\beta)) \ge \mu(C) \strictsuperieur 0\), ce qui implique que \(\beta\) ne peut pas appartenir à \(\Lambda\). Tous les éléments \(\gamma \in \Lambda\) vérifient donc \(\gamma \le \sigma\) et :

\[\Theta \subseteq \ ]-\infty, \sigma]\]

Comme \(\sigma \ge \Lambda\), l'ensemble de réels non vide \(\Lambda\) est majoré. Il admet donc un supremum :

\[\infessentiel_{x \in A} f(x) = \sup \Lambda\]

On se rappelle que l'inclusion \(X \subseteq Y\) implique que \(\sup X \le \sup Y\). Comme \(\lambda = \sup \ ]-\infty, \lambda]\) et \(\sigma = \sup \ ]-\infty, \sigma]\), les inclusions :

\[]-\infty, \lambda] \ \subseteq \Theta \subseteq \ ]-\infty, \sigma]\]

nous montrent que :

\[\lambda \le \infessentiel_{x \in A} f(x) \le \sigma\]

Supposons que \(f\) soit essentiellement inférieure à \(\sigma\) et essentiellement supérieure à \(\lambda\) sur \(A\) qui est de mesure strictement positive. On en déduit que les supremum et infimum essentiels existent :

et que \(\lambda \le \{ S,I \} \le \sigma\). Supposons que \(S \strictinferieur I\) et posons \(\delta = I - S \strictsuperieur 0\). Soit le réel strictement positif \(\epsilon = \delta / 4\). Comme l'infimum est dans l'adhérence, on peut trouver un \(\alpha \in \Theta\) tel que \(\abs{\alpha - S} \le \epsilon\), d'où \(\alpha \le S + \epsilon\). On a alors :

\[[\alpha, +\infty[ \ \subseteq \Theta\]

Comme le supremum est dans l'adhérence, on peut trouver un \(\beta \in \Lambda\) tel que \(\abs{I - \beta} \le \epsilon\), d'où \(\beta \ge I - \epsilon\). On a alors :

\[]-\infty, \beta] \subseteq \Lambda\]

On voit que :

\begin{align} S + \epsilon &= S + \frac{\delta}{4} \) \( I - \epsilon &= S + \delta - \frac{\delta}{4} = S + \frac{3 \delta}{4} \end{align}

On a donc :

\[\alpha \le S + \epsilon \strictinferieur I - \epsilon \le \beta\]

et \(\alpha \strictinferieur \beta\). On a aussi :

\[[\alpha,\beta] = \ ]-\infty, \beta] \cap [\alpha, +\infty[ \ \subseteq \Theta \cap \Lambda\]

Donc \(\alpha,\beta \in \Theta \cap \Lambda\) avec \(\alpha \ne \beta\) ce qui impossible. Notre hypothèse est donc fausse et \(I \le S\), c'est-à-dire :

\[\infessentiel_{x \in A} f(x) \le \supessentiel_{x \in A} f(x)\]

On a bien entendu :

\[f \essinferieur g \essinferieur \supessentiel_{x \in A} g(x)\]

On en déduit que :

\[\supessentiel_{x \in A} f(x) \le \supessentiel_{x \in A} g(x)\]

On a bien entendu :

\[\infessentiel_{x \in A} f(x) \essinferieur f \essinferieur g\]

On en déduit que :

\[\infessentiel_{x \in A} f(x) \le \infessentiel_{x \in A} g(x)\]

On sait que :

On a donc :

\[f + g \essinferieur \sigma + \tau\]

On en conclut que :

\[\supessentiel_{x \in A} [f(x) + g(x)] \le \supessentiel_{x \in A} f(x) + \supessentiel_{x \in A} g(x)\]

On sait que :

On a donc :

\[f + g \esssuperieur \lambda + \gamma\]

On en conclut que :

\[\infessentiel_{x \in A} [f(x) + g(x)] \ge \infessentiel_{x \in A} f(x) + \infessentiel_{x \in A} g(x)\]