Eclats de vers : Matemat : Extrema

• Chapitre \ref{chap:relations} : Les relations
• Chapitre \ref{chap:ordres} : Les ordres

Soit \(\le\) un ordre sur l'ensemble \(\Omega\) et \(A \subseteq \Omega\). Nous dirons qu'un objet \(m \in \Omega\) est inférieur à l'ensemble \(A\), ou que \(m\) est un minorant de \(A\), et nous le noterons :

\[m \le A\]

si \(m \le a\) pour tout élément \(a \in A\). Inversément, nous dirons que \(m\) est supérieur à \(A\), ou que \(m\) est un majorant de \(A\), et nous le noterons :

\[m \ge A\]

si \(m \ge a\) pour tout élément \(a \in A\) :

Soit \(\le\) un ordre sur l'ensemble de référence \(\Omega\) et \(A \subseteq \Omega\). L'ensemble des majorants de \(A\) est l'ensemble des éléments de \(\Omega\) supérieurs à A :

\[\major A = \{ m \in \Omega : m \ge A \}\]

Si \(\major A \ne \emptyset\), on dit que \(A\) est majoré ou encore que \(A\) est borné supérieurement. L'ensemble des minorants de \(A\) est l'ensemble des éléments de \(\Omega\) inférieurs à A :

\[\minor A = \{ m \in \Omega : m \le A \}\]

Si \(\minor A \ne \emptyset\), on dit que \(A\) est minoré ou encore que \(A\) est borné inférieurement.

On dit d'un élément \(M \in A\) qu'il est maximal dans \(A\) si pour tout \(a \in A\) vérifiant \(a \ge M\), on a \(M = a\). Autrement dit, aucun élément de \(A\) distinct de \(M\) n'est supérieur à ce dernier. \(M\) est donc le seul élément de \(A\) à être supérieur (au sens large) à lui-même. On a donc \(\major \{ M \} \cap A = \{ M \}\). On note \(\maxim A\) l'ensemble des éléments maximaux de \(A\) :

\[\maxim A = \Big\{ M \in A : \major \{ M \} \cap A = \{ M \} \Big\}\]

Symétriquement, on dit d'un élément \(m \in A\) qu'il est minimal dans \(A\) si pour tout \(a \in A\) vérifiant \(a \le m\), on a \(m = a\). Autrement dit, aucun élément de \(A\) distinct de \(m\) n'est inférieur à ce dernier. \(m\) est donc le seul élément de \(A\) à être inférieur (au sens large) à lui-même. On a donc \(\minor \{ m \} \cap A = \{ m \}\). On note \(\minim A\) l'ensemble des éléments minimaux de \(A\) :

\[\minim A = \Big\{ m \in A : \minor \{ m \} \cap A = \{ m \} \Big\}\]

Considérons le cas où l'on peut trouver des majorants de \(A\) appartenant à \(A\). Si \(x,y \in A \cap \major A\), on a \(x \ge y\) puisque \(x\) est un majorant de \(A\) et que \(y \in A\). Mais on a aussi \(y \ge x\) puisque \(y\) est également un majorant de \(A\) et que \(x \in A\). On en conclut que \(x = y\) et que l'intersection ne contient qu'un seul élément \(M\) :

\[A \cap \major A = \{ M \}\]

On dit alors que \(M \in A\) est le maximum de l'ensemble \(A\) et on le note :

\[M = \max A = \max_{a \in A} a\]

A présent, supposons que l'on puisse trouver des minorants de \(A\) appartenant à \(A\). Supposons que \(x,y \in A \cap \minor A\). On a alors \(x \le y\) puisque \(x\) est un minorant de \(A\) et que \(y \in A\). Mais on a aussi \(y \le x\) puisque \(y\) est également un minorant de \(A\) et que \(x \in A\). On en conclut que \(x = y\). L'intersection ne contient donc qu'un seul élément \(m\) :

\[A \cap \minor A = \{ m \}\]

On dit alors que \(m\) est le minimum de l'ensemble \(A\) et on le note :

\[m = \min A = \min_{a \in A} a\]

Soit un ensemble \(A \subseteq \Omega\) dont le maximum \(M = \max A\) existe et l'élément \(b \in \Omega\) tel que \(b \ge A\). Comme \(M\) est un élément de \(A\), on a forcément \(b \ge M\). Mais d'un autre coté, \(M \ge A\) par définition. Donc :

\[b \ge M \ge A\]

Comme ces relations sont valables pour tout les \(b\) supérieurs à \(A\), on en conclut que :

\[\major A \ge M \ge A\]

Relations qui nous disent que \(M\) est le plus petit des objets supérieurs à \(A\). Considérons à présent un cas plus général où nous ne supposons pas que le maximum de \(A\) existe. Supposons seulement que l'on puisse trouver un \(S \in \Omega\) tel que :

\[\major A \ge S \ge A\]

La première inégalité nous dit que \(S\) est un minorant de \(\major A\). La seconde nous dit que \(S\) est un majorant de \(A\), autrement dit \(S \in \major A\). Les deux conditions nous permettent d'affirmer que \(S\) est le minimum de l'ensemble des majorants de \(A\) :

\[S = \min \major A\]

Cet élément \(S\) est donc unique. On l'appelle supremum et on le note :

\[S = \sup A = \sup_{a \in A} a = \min \major A\]

Il est important de remarquer que \(S\) n'appartient pas forcément à \(A\). On procéde de la même façon pour étendre la notion de minimum. Si on peut trouver un \(I \in \Omega\) tel que :

\[\minor A \le I \le A\]

on en conclut que \(I\) est le maximum de l'ensemble des minorants de \(A\) et qu'il est donc unique. On l'appelle infimum et on le note :

\[I = \inf A = \inf_{a \in A} a = \max \minor A\]

Nous allons montrer que, sous l'hypothèse d'un ordre total, tout ensemble comportant un nombre fini d'éléments admet un maximum et un minimum. Si l'ensemble ne contient qu'un élément, soit \(A_1 = \{a\}\), on a \(a \le a\) et donc :

\[a = \max\{a\} = \min\{a\}\]

Supposons à présent que l'ensemble comporte deux éléments, soit \(A_2 = \{a_1,a_2\}\). Si \(a_1 \ge a_2\), on a \(a_1 \ge \{a_1,a_2\}\). Dans le cas contraire, on a \(a_2 \ge \{a_1,a_2\}\). On en déduit que :

Le minimum est donné par l'expression duale :

Supposons à présent avoir démontré que tout ensemble de \(n - 1\) éléments admettait un maximum et un minimum. Soit l'ensemble \(A = \{a_1,a_2,...,a_{n - 1},a_n\}\) comportant \(n\) éléments. L'ensemble \(A_{n - 1} = \{a_1,a_2,...,a_{n - 1}\}\) contient \(n - 1\) éléments et admet donc :

Posons \(\alpha = \max\{\sigma,a_n\}\). On voit que \(\alpha \in A\), que \(\alpha \ge \sigma \ge A_{n - 1}\) et que \(\alpha \ge a_n\). On en déduit que \(\alpha \ge A\). Donc :

\[\max \{a_1,a_2,...,a_{n - 1},a_n\} = \max \Big\{ \max \{a_1,a_2,...,a_{n - 1}\} , a_n \Big\}\]

Posons \(\beta = \min\{\lambda,a_n\}\). On voit que \(\beta \in A\), que \(\beta \le \lambda \le A_{n - 1}\) et que \(\beta \le a_n\). On en déduit que \(\beta \le A\). Donc :

\[\min \{a_1,a_2,...,a_{n - 1},a_n\} = \min \Big\{ \min \{a_1,a_2,...,a_{n - 1}\} , a_n \Big\}\]

Tout ensemble comportant un nombre fini d'éléments et sur lequel est défini un ordre total admet donc un maximum et un minimum. De plus, la démonstration nous donne un moyen d'évaluer récursivement ces extrema.

Il arrive qu'aucun élément de \(\Omega\) ne soit un majorant de \(\Omega\). On est alors amené à ajouter à l'ensemble une borne supérieure, notée \(+\infty\) (ou \(\infty\)), telle que tout élément \(a \in \Omega\) vérifie \(a \strictinferieur +\infty\). Le concept de l'infini négatif, noté \(-\infty\), est similaire. Il s'agit d'une borne inférieure de \(\Omega\) telle que tout élément \(a \in \Omega\) vérifie \(a \strictsuperieur -\infty\).

Soit \(A,B \subseteq \Omega\) avec \(A \subseteq B\). Soit l'ordre \(\le\) défini sur \(\Omega\).