Eclats de vers : Matemat : Fonctions et opérations
Table des matières
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\( \newenvironment{Eqts} { \begin{equation*} \begin{gathered} } { \end{gathered} \end{equation*} } \newenvironment{Matrix} {\left[ \begin{array}} {\end{array} \right]} \)
\label{chap:fonctionsEtOperations}
1. Dépendances
- Chapitre \ref{chap:algebre} : L'algèbre
- Chapitre \ref{chap:naturels} : Les naturels
- Chapitre \ref{chap:entiers} : Les entiers
- Chapitre \ref{chap:rationnels} : Les rationnels
2. Opérations induites
Soit les fonctions \(f,g \in B^A\) et \(\divideontimes\) une opération sur \(A\). On définit alors la fonction \(f \divideontimes g\) par :
\[(f \divideontimes g)(x) = f(x) \divideontimes g(x)\]
pour tout \(x \in A\). Nous avons ainsi défini une opération sur \(B^A\) :
\[\divideontimes : B^A \times B^A \mapsto B^A\]
induite par la loi équivalente sur \(B\).
2.1. Usuelles
Sur les anneaux et les corps, ou sur tout ensemble où sont définies les opérations usuelles \(+,-,\cdot,/\), on aura ainsi :
- les sommes : \((f + g)(x) = f(x) + g(x)\)
- les produits : \((f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)\)
- les soustractions : \((f - g)(x) = f(x) - g(x)\)
- les divisions : \((f / g)(x) = f(x) / g(x)\)
pour tout \(x \in A\).
3. Opposé et inverse
Soit la fonction \(f \in B^A\). Si l'inverse pour l'addition \(-f(x)\) existe pour tout \(x \in A\), on définit la fonction opposée \(-f\) par :
\[(-f)(x) = -f(x)\]
pour tout \(x \in A\). On a alors :
\[f - f = 0\]
Si l'inverse pour la multiplication \(1/f(x)\) existe pour tout \(x \in A\), on définit la fonction \(1/f\) par :
\[(1/f)(x) = 1/f(x)\]
pour tout \(x \in A\). On a alors :
\[f \cdot 1/f = 1\]
4. Opérations mixte
Soit la fonction \(f \in B^A\) et \(c \in B\). Étant donnée une opération \(\divideontimes\) définie sur \(B\), on définit les opérations mixtes \(f \divideontimes c\) et \(c \divideontimes f\) par :
\( (f \divideontimes c)(x) = f(x) \divideontimes c \)
\( (c \divideontimes f)(x) = c \divideontimes f \)
pour tout \(x \in A\). Dans le cas où l'opération \(\divideontimes\) définie sur \(B\) est commutative, on a bien entendu \(f \divideontimes c = c \divideontimes f\).
Sur les ensembles où sont définies les lois usuelles \(+,-,\cdot,/\), on aura ainsi :
- les sommes :
\( (f + c)(x) = f(x) + c \)
\( (c + f)(x) = c + f(x) \)
- les produits :
\( (f \cdot c)(x) = f(x) \cdot c \)
\( (c \cdot f)(x) = c \cdot f(x) \)
- les soustractions :
\( (f - c)(x) = f(x) - c \)
\( (c - f)(x) = c - f(x) \)
- les divisions :
\( (f / c)(x) = f(x) / c \)
\( (c / f)(x) = c / f(x) \)
pour tout \(x \in A\).
5. Commutateur
Notons qu'en général la composée n'est pas commutative. On peut en effet trouver des fonctions \(f,g : A \mapsto A\) telles que \(f \circ g \ne g \circ f\).
Cette constatation nous amène à la notion de commutateur. Il s'agit d'une fonction \([f,g] : A \mapsto A\) définie par :
\[[f,g] = f \circ g - g \circ f\]
Cet opérateur est clairement antisymétrique :
\[[f,g] = - [g,f]\]
Dans le cas particulier où \([f,g] = 0\), on dit que les fonctions \(f\) et \(g\) commutent.
6. Puissance fonctionnelle et puissance
Attention à ne pas confondre exposant de la fonction et exposant de la valeur de la fonction en un point :
\[f(x)^n = f(x) \cdot f(x)^{n - 1} \ne f^n(x) = (f \circ f^{n - 1})(x)\]
7. Noyau
Le noyau d'une fonction \(f : A \mapsto B\) est l'ensemble des \(x \in A\) où les valeurs de \(f\) sont égales au neutre pour l'addition :
\[\noyau f = \{ x \in A : f(x) = 0 \}\]
8. Support d'une fonction
Le support d'une fonction \(f : A \mapsto \Omega\) est l'adhérence de l'ensemble des points où \(f\) prend une valeur non nulle :
\[\support f = \adh \{ x \in A : f(x) \ne 0 \}\]
8.1. Remarque
Attention à ne pas confondre le suprémum d'un ensemble, noté « \(\sup\) » avec un seul « p », avec le support, noté « \(\support\) », qui prend deux « p ».