Eclats de vers : Matemat : Fonctions et ordre
Table des matières
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\( \newenvironment{Eqts} { \begin{equation*} \begin{gathered} } { \end{gathered} \end{equation*} } \newenvironment{Matrix} {\left[ \begin{array}} {\end{array} \right]} \)
\label{chap:fonctionsEtOrdre}
1. Dépendances
- Chapitre \ref{chap:ordres} : Les ordres
- Chapitre \ref{chap:extrema} : Les extrema
2. Monotonie
2.1. Croissance
On dit qu'une fonction \(f : A \to F\) est croissante si :
\[f(x) \ge f(y)\]
pour tout \(x,y \in A\) tels que \(x \ge y\). Autrement dit, une fonction croissante conserve l'ordre.
2.2. Décroissance
On dit qu'une fonction \(f : A \to F\) est décroissante si :
\[f(x) \le f(y)\]
pour tout \(x,y \in A\) tels que \(x \ge y\). Autrement dit, une fonction décroissante inverse l'ordre.
2.3. Stricte
On dit qu'une fonction \(f : A \to F\) est strictement croissante si :
\[f(x) \strictinferieur f(y)\]
pour tout \(x,y \in A\) tels que \(x \strictinferieur y\).
On dit qu'une fonction \(f : A \to F\) est strictement décroissante si :
\[f(x) \strictsuperieur f(y)\]
pour tout \(x,y \in A\) tels que \(x \strictinferieur y\).
3. Ordre entre fonctions
Soit les fonctions \(f,g \in B^A\). Supposons qu'il existe un ordre défini sur \(B\). On dit que \(f\) est inférieure à \(g\) et on le note :
\[f \le g\]
si et seulement si les valeurs de \(f\) sont inférieures aux valeurs de \(g\) :
\[f(x) \le g(x)\]
en tout point \(x \in A\). Symétriquement, on dit que \(f\) est supérieure à \(g\) et on le note :
\[f \ge g\]
si :
\[f(x) \ge g(x)\]
pour tout \(x \in A\).
3.1. Strict
On note également :
- \(f \strictinferieur g\) si \(f(x) \strictinferieur g(x)\) pour tout \(x \in A\)
- \(f \strictsuperieur g\) si \(f(x) \strictsuperieur g(x)\) pour tout \(x \in A\)
4. Fonctions extrema
Soit un ensemble de paramètres \(Z\) et la collection paramétrée de fonctions :
\[\{ f_z \in B^A : z \in Z \}\]
Sous réserve d'existence des extrema, on définit la fonction supremum par :
\[\left[ \sup_{z \in Z} f_z \right](x) = \sup_{z \in Z} f_z(x)\]
pour tout \(x \in A\). On définit la fonction infimum par :
\[\left[ \inf_{z \in Z} f_z \right](x) = \inf_{z \in Z} f_z(x)\]
pour tout \(x \in A\).
4.1. Maximum et minimum
Lorsque les maximum et minimum existent, on définit :
\( \left[ \max_{z \in Z} f_z \right](x) = \max_{z \in Z} f_z(x) \\ \)
\( \left[ \min_{z \in Z} f_z \right](x) = \min_{z \in Z} f_z(x) \)
4.2. Notation
On note aussi :
\( \sup \{ f_z : z \in Z \} = \sup_{z \in Z} f_z \\ \)
\( \inf \{ f_z : z \in Z \} = \inf_{z \in Z} f_z \\ \)
\( \max \{ f_z : z \in Z \} = \max_{z \in Z} f_z \\ \)
\( \min \{ f_z : z \in Z \} = \min_{z \in Z} f_z \)
4.3. Couples
On définit les fonctions \(M = \max\{f,g\}\) et \(m = \min\{f,g\}\) par :
\( M(x) = \max\{ f , g \}(x) = \max\{ f(x) , g(x) \} \)
\( m(x) = \min\{ f , g \}(x) = \min\{ f(x) , g(x) \} \)
pour tout \(x \in A\).
5. Ordre mixte
Soit la fonction \(f \in B^A\) et un \(c \in B\). Supposons qu'il existe un ordre défini sur \(B\). On dit que \(f\) est inférieure à \(c\) et on le note :
\[f \le c\]
si les valeurs de \(f\) sont inférieures à \(c\) :
\[f(x) \le c\]
en tout point \(x \in A\). Symétriquement, on dit que \(f\) est supérieure à \(c\) et on le note :
\[f \ge c\]
si :
\[f(x) \ge c\]
pour tout \(x \in A\).
5.1. Strict
On note également :
- \(f \strictinferieur c\) si \(f(x) \strictinferieur c\) pour tout \(x \in A\).
- \(f \strictsuperieur c\) si \(f(x) \strictsuperieur c\) pour tout \(x \in A\).
5.2. Fonctions max et min
On définit les fonctions \(\max\{f,c\}\) et \(\min\{f,c\}\) par :
\( \max\{ f , c \}(x) = \max\{ f(x) , c \} \)
\( \min\{ f , c \}(x) = \min\{ f(x) , c \} \)
pour tout \(x \in A\).
6. Extrema d'une fonction
Etant donné la fonction \(f : \Omega \mapsto B\) et le sous-ensemble \(A \subseteq \Omega\), on définit les extrema de \(f\) (s'ils existent) par :
\( \max_{x \in A} f(x) = \max \{ f(x) : x \in A \} \\ \)
\( \min_{x \in A} f(x) = \min \{ f(x) : x \in A \} \\ \)
\( \sup_{x \in A} f(x) = \sup \{ f(x) : x \in A \} \\ \)
\( \inf_{x \in A} f(x) = \inf \{ f(x) : x \in A \} \)
7. Arguments d'extrema
7.1. Maximum et minimum
L'ensemble des éléments de \(A\) qui maximisent \(f\) sur \(A\) est noté :
\[\arg\max_{x \in A} f(x) = \left\{ \alpha \in A : f(\alpha) = \max_{x \in A} f(x) \right\}\]
Dans le cas où cet ensemble contient un unique élément, on le note :
\[\alpha = \arg\max_{x \in A} f(x)\]
L'ensemble des éléments de \(A\) qui minimisent \(f\) sur \(A\) est noté :
\[\arg\min_{x \in A} f(x) = \left\{ \beta \in A : f(\beta) = \min_{x \in A} f(x) \right\}\]
Dans le cas où cet ensemble contient un unique élément, on le note :
\[\beta = \arg\min_{x \in A} f(x)\]
7.2. Supremum et infimum
L'ensemble des éléments de \(\Omega\) qui produisent une valeur égale au supremum des valeurs de \(f\) sur \(A \subseteq \Omega\) est noté :
\[\argument_\Omega\sup_{x \in A} f(x) = \left\{ \alpha \in \Omega : f(\alpha) = \sup_{x \in A} f(x) \right\}\]
Dans le cas où cet ensemble contient un unique élément, on le note :
\[\alpha = \argument_\Omega\sup_{x \in A} f(x)\]
L'ensemble des éléments de \(\Omega\) qui produisent une valeur égale à l'infimum des valeurs de \(f\) sur \(A \subseteq \Omega\) est noté :
\[\argument_\Omega\inf_{x \in A} f(x) = \left\{ \beta \in \Omega : f(\beta) = \inf_{x \in A} f(x) \right\}\]
Dans le cas où cet ensemble contient un unique élément, on le note :
\[\beta = \argument_\Omega\inf_{x \in A} f(x)\]
8. Extrema locaux
On dit que \(f\) atteint un minimum local en \(a \in A\) si il existe un voisinage \(U\) de \(x\) tel que :
\[f(a) \le f(x)\]
pour tout \(x \in U\). A l'inverse, on dit que \(f\) atteint un maximum local en \(a \in A\) si il existe un voisinage \(U\) de \(x\) tel que :
\[f(a) \ge f(x)\]
pour tout \(x \in U\).
9. Ordre entre fonctions et extrema
Soit les fonctions \(f,g : A \mapsto B\) telles que \(f \le g\). Supposons que \(\sigma \in \major g(A)\). On a \(\sigma \ge g(x) \ge f(x)\) pour tout \(x \in A\), d'où \(\sigma \ge f(x)\) et \(\sigma \in \major f(A)\). On en conclut que \(\major g(A) \subseteq \major f(A)\). Si les minima existent, on a donc :
\[\min \major f(A) \le \min \major g(A)\]
c'est-à-dire :
\[\sup_{x \in A} f(x) = \sup f(A) \le \sup g(A) = \sup_{x \in A} g(x)\]
Supposons que \(\lambda \in \minor f(A)\). On a \(\lambda \le f(x) \le g(x)\) pour tout \(x \in A\), d'où \(\lambda \le g(x)\) et \(\lambda \in \minor g(A)\). On en conclut que \(\minor f(A) \subseteq \minor g(A)\). Si les maxima existent, on a donc :
\[\max \minor f(A) \le \max \minor g(A)\]
c'est-à-dire :
\[\inf_{x \in A} f(x) = \inf f(A) \le \inf g(A) = \inf_{x \in A} g(x)\]