Eclats de vers : Matemat : Formes différentielles

• Chapitre \ref{chap:differ} : Les différentielles
• Chapitre \ref{chap:integral} : Les intégrales

Soit \((\canonique_1,\canonique_2,...,\canonique_n)\) la bace canonique de \(\setR^n\) et la fonction tensorielle \(T : A \mapsto \tenseur_m(\setR^n)\) qui, à chaque \(x \in A\) associe un tenseur \(T(x)\) de la forme :

\[T(x) = \sum_{i,j,...,p} t_{ij...p}(x) \cdot \canonique_i \otimes \canonique_j \otimes ... \otimes \canonique_p\]

L'intégrale de cette fonction est définie par :

\[\int_A T(x) \ d\mu(x) = \sum_{i,j,...,p} I_{ij...p} \cdot \canonique_i \otimes \canonique_j \otimes ... \otimes \canonique_p\]

où chaque coordonnée \(I_{ij...p}\) est l'intégrale de la coordonnée correspondante de \(T\) :

\[I_{ij...p} = \int_A t_{ij...p}(x) \ d\mu(x)\]

Soit \(d\mu = dx = dx_1 \ ... \ dx_n\) la mesure de Lebesgue sur \(\setR^n\). On sait que \(dx\) représente la mesure de l'élément de volume \([x_1,x_1 + dx_1] \times ... \times [x_n,x_n + dx_N]\). Etant donné que nous avons construit le produit extérieur pour représenter (au signe près) des mesures de surfaces et de volumes, il est tout à fait naturel de le faire intervenir dans une mesure de Lebesgue. Soit la base canonique \((e_1,e_2,...,e_n)\) de \(\setR^n\) et les vecteurs :

\[\delta_i = dx_i \cdot e_i\]

où les \(dx_i\) sont bien évidemment des scalaires. Si nous évaluons le produit extérieur des ces vecteurs, nous obtenons :

\[\delta_1 \wedge \delta_2 \wedge ... \wedge \delta_n = \sum_{i,j,...,k} \permutation_{ij...k} \cdot dx_1 \cdot \delta_{1i} \cdot dx_2 \cdot \delta_{2j} \hdots \cdot dx_n \cdot \delta_{nk}\]

Le seul terme ne s'annulant pas étant \(\permutation_{1,2,...,n} = 1\), on a finalement :

\[\delta_1 \wedge \delta_2 \wedge ... \wedge \delta_n = dx_1 \cdot dx_2 \cdot ... \cdot dx_n = dx\]

Cette constatation nous amène à définir une mesure plus générale. Considérons à présent des vecteurs infinitésimaux \(\upsilon_1,\upsilon_2,...,\upsilon_n \in \setR^n\), c'est à dire des vecteurs dont la norme tendra vers zéro dans l'intégrale. Afin de garantir la positivité de la mesure, nous définissons :

\[du = \abs{\upsilon_1 \wedge \upsilon_2 \wedge ... \wedge \upsilon_n}\]

Il est même possible de définir des tenseurs différentiels \(dU\) en choisissant \(m \le n\) et en posant :

\[dU = \upsilon_1 \wedge \upsilon_2 \wedge ... \wedge \upsilon_m\]

Il est clair que \(dU \in \tenseur_{n - m}(\setR^n)\). On nomme ce type de tenseur une forme différentielle.

Soit \(m,n \in \setN\) avec \(m \le n\) et la fonction \(\phi : U \subseteq \setR^m \mapsto \setR^n\), dérivable et inversible. Le but est de paramétrer \(x\) sur \(\phi(U)\) par la relation \(x = \phi(u)\) pour tout \(u \in U\). Nous utilisons la base canonique \((e_1,e_2,...,e_m)\) de \(\setR^m\) et nous posons :

\[\delta_i = \phi(u + du_i \ e_i) - \phi(u) = \partial_i \phi(u) \ du_i\]

Sur \(\phi(U)\), on utilise le tenseur différentiel :

\[dX = \delta_1 \wedge \delta_2 \wedge ... \wedge \delta_m\]

La linéarité du produit extérieur nous permet d'ecrire :

\begin{align} dX &= \partial_1 \phi(u) \wedge \partial_2 \phi(u) \wedge ... \wedge \partial_m \phi(u) \ du_1 \ du_2 \ ... \ du_m \) \( &= \partial_1 \phi(u) \wedge \partial_2 \phi(u) \wedge ... \wedge \partial_m \phi(u) \ du \end{align}

On définit le tenseur \(W \in \tenseur_{n - m}(\setR^n)\) associé à \(dX\) par :

\[W(u) = \partial_1 \phi(u) \wedge \partial_2 \phi(u) \wedge ... \wedge \partial_m \phi(u)\]

Deux cas peuvent alors se présenter.

Nous considérons à présent le cas où \(m = n\). Nous utilisons la base canonique \((e_1,e_2,...,e_n)\) de \(\setR^n\) et nous posons de nouveau :

\[\delta_i = \phi(u + du_i \ e_i) - \phi(u) = \partial_i \phi(u) \ du_i\]

On utilise la mesure :

\[dx = \abs{\delta_1 \wedge \delta_2 \wedge ... \wedge \delta_n}\]

On a alors :

\begin{align} dx &= \abs{\partial_1 \phi(u) \wedge \partial_2 \phi(u) \wedge ... \wedge \partial_n \phi(u) \ du} \) \( &= \abs{\sum_{i,j,...,k} \permutation_{ij...k} \cdot \partial_1 \phi_i(u) \cdot \partial_2 \phi_j(u) \cdot \ \hdots \ \cdot \partial_n \phi_k(u)} \ du \) \( &= \abs{\det \partial \phi(u)} \ du \end{align}

On voit donc apparaître le déterminant de la Jacobienne de \(\phi\). Comme on a l'équivalence \(x \in A \leftrightarrow u \in \phi^{-1}(A)\), le changement de variable peut s'écrire :

\[\int_A f(x) \ dx = \int_{\phi^{-1}(A)} (f\circ\phi)(u) \cdot \abs{ \det \partial \phi(u) } \ du\]

Soit une fonction continue \(\gamma : [a,b] \to \setR^n\) définissant la courbe \(\Lambda = \gamma([a,b])\). L'intégrale de ligne d'une fonction \(f : \setR^n \mapsto \setR^n\) sur cette courbe est l'intégrale de la contraction d'ordre \(1\) de \(f\) avec \(d\gamma\), qui revient ici au produit scalaire du vecteur \(f(x) \in \Lambda\) par le vecteur \(\partial \gamma(t)\). On a donc :

\[\int_\Lambda f\cdot d\Lambda = \int_a^b \scalaire{(f \circ \gamma)(t)}{\partial \gamma(t) } dt\]

Dans le cas d'une fonction \(g : \setR^n \mapsto \setR\), on utilise comme mesure la longueur \(\norme{\partial \gamma(t)}\) de chaque petit segment \(d\Lambda\). On a alors :

\[\int_\Lambda g \ d\Lambda = \int_a^b (g \circ \gamma)(t) \cdot \norme{\partial \gamma(t)} \ dt\]

Si \(\gamma(a) = \gamma(b)\), on dit que le contour fermé, et on note en général :

\[\oint_\Lambda = \int_\Lambda\]

Soit \(f : \setR^n \mapsto \setR^n\), \(\sigma : A \subseteq \setR^{n - 1} \mapsto \setR^n\) et la surface \(\Theta = \sigma(A)\). On définit les vecteurs :

\[\delta_i = \deriveepartielle{\sigma}{u_i} du_i\]

pour \(i = 1, ..., n - 1\). L'intégrale de surface est simplement la contraction d'ordre \(1\) :

\[\int_\Theta f \cdot d\Theta = \int_A \scalaire{(f \circ \sigma)(u)}{ \delta_1 \wedge ... \wedge \delta_{n-1} }\]

qui nous donne un scalaire. Dans le cas particulier où \(n = 3\) et où \(A = [U_1,U_2] \times [V_1,V_2]\), on a :

\[\int_\Theta f \cdot d\Theta = \int_{U_1}^{U_2} du \ \int_{V_1}^{V_2} (f \circ \sigma)(u,v) \cdot \left( \deriveepartielle{\sigma}{u}(u,v) \wedge \deriveepartielle{\sigma}{v}(u,v) \right) \ dv\]

Soit \(f : \setR^n \mapsto \setR^n\), \(\sigma : A \subseteq \setR^{n - 1} \mapsto \setR^n\) et la surface \(\Theta = \sigma(A)\). On définit les vecteurs :

\[\delta_i = \deriveepartielle{\sigma}{u_i} du_i\]

pour \(i = 1, ..., n - 1\). Utilisant comme mesure la norme du produit extérieur des \(\delta_i\), on obtient :

\[\int_\Theta f \ d\Theta = \int_A (f \circ \sigma)(u) \cdot \norme{ \delta_1 \wedge ... \wedge \delta_{n-1} }\]

Dans le cas particulier où \(n = 3\) et où \(A = [U_1,U_2] \times [V_1,V_2]\), on a :

\[\int_\Theta f \ d\Theta = \int_{U_1}^{U_2} du \ \int_{V_1}^{V_2} (f \circ \sigma)(u,v) \cdot \norme{ \deriveepartielle{\sigma}{u}(u,v) \wedge \deriveepartielle{\sigma}{v}(u,v) } \ dv\]

Soit \(A \subseteq \setR^n\) et la fonction \(a : \setR^n \to \setR\) telle que :

\[A = \{ x \in \setR^n : a(x) \le 0 \}\]

On s'arrange de plus pour avoir \(a\) constante sur la frontière :

\[\partial A = \{ x \in \setR^n : a(x) = 0 \}\]

On introduit le vecteur normal :

\[n = \unsur{\norme{\deriveepartielle{a}{x}}} \cdot \deriveepartielle{a}{x}\]

L'intégrale du flux sortant de la fonction \(f : \setR^n \to \setR^n\) est alors donnée par :

\[\int_{\partial A} \scalaire{f}{n} \ d\mu\]

Soit une fonction \(f : \setR^n \mapsto \setR\), les vecteurs infinitésimaux \(\delta_1,...,\delta_{n - 1} \in \setR^n\) et la forme différentielle :

\[\omega = f \cdot \delta_1 \wedge \delta_2 \wedge ... \wedge \delta_{n-1}\]

Si \(f\) est différentiable, on définit la différentielle de \(\omega\) par :

\[d\omega = \sum_i \deriveepartielle{f}{x_i} \cdot \kappa_i \wedge \delta_1 \wedge \delta_2 \wedge ... \wedge \delta_{n-1}\]

où :

\[\kappa_i = dx_i \cdot e_i\]

On note aussi symboliquement :

\[d\omega = df \wedge dx_1 \wedge ... \wedge dx_{n-1}\]

On peut montrer sous certaines conditions que l'intégrale sur la frontière de \(A\) est alors donnée par :

\[\int_{\partial A} \omega = \int_A d\omega\]

Soit \(f,g : \setR^2 \mapsto \setR\) et les vecteurs infinitésimaux :

Considérons la forme différentielle :

\[\omega = f \delta x + g \delta y\]

Si les fonctions sont différentiables, on a alors :

\[d\omega = \deriveepartielle{f}{x} \delta x \wedge \delta x + \deriveepartielle{f}{y} \delta y \wedge \delta x + \deriveepartielle{g}{x} \delta x \wedge \delta y + \deriveepartielle{g}{y} \delta y \wedge \delta y\]

Mais comme :

il vient :

\[d\omega = \left( \deriveepartielle{g}{x} - \deriveepartielle{f}{y} \right) \delta x \wedge \delta y\]

En intégrant, on obtient alors :

\[\int_{\partial A} (f \ \delta x + g \ \delta y) = \int_A \left( \deriveepartielle{g}{x} - \deriveepartielle{f}{y} \right) dx \wedge dy\]

Mais comme nous somme dans la base canonique, on a \(\delta x \wedge \delta y = dx \ dy\) et :

\[\int_{\partial A} (f \ \delta x + g \ \delta y) = \int_A \left( \deriveepartielle{g}{x} - \deriveepartielle{f}{y} \right) \ dx \ dy\]