Eclats de vers : Matemat : Géométrie différentielle

Table des matières

1. Dépendances
2. Indices covariants et contravariants
3. Coordonnées curvilignes
4. Changement de variable
5. Produit scalaire
6. Dérivées primales d'un vecteur
7. Dérivées duales d'un vecteur
8. Dérivées d'un tenseur
9. Produit scalaire et symboles de Christoffel
10. Bases biorthonormées
11. Dérivées des changements de variable

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\( \newenvironment{Eqts} { \begin{equation*} \begin{gathered} } { \end{gathered} \end{equation*} } \newenvironment{Matrix} {\left[ \begin{array}} {\end{array} \right]} \)

\label{chap:geometri}

1. Dépendances

Chapitre \ref{chap:vecteur} : Les vecteurs
Chapitre \ref{chap:ps} : Les produits scalaires
Chapitre \ref{chap:tenseur} : Les tenseurs

2. Indices covariants et contravariants

Les indices inférieurs (le \(i\) des vecteurs \(a_i^j\) par exemple) des tenseurs sont appelés indices covariants.

Les indices supérieurs (le \(j\) des vecteurs \(a_i^j\) par exemple) des tenseurs sont appelés indices contravariants.

Ne pas confondre ces indices supérieurs contravariants , très utilisés en calcul tensoriel, avec les puissances ! Dans le contexte des tenseurs, une éventuelle puissance d'un scalaire \(\theta_i^j\) serait notée au besoin par :

\[\big( \theta_j^i \big)^m = \theta_j^i \cdot ... \cdot \theta_j^i\]

3. Coordonnées curvilignes

Soit l'espace vectoriel \(E = \setR^n\) sur \(\setR\). Les coordonnées curvilignes sont basées sur la notion de position \(r\), exprimée comme une fonction de certains paramètres \(x \in \setR^n\) que nous appelons « coordonnées » de \(r\) :

\[r = \rho(x)\]

où \(\rho : \setR^n \to \setR^n\). Nous envisageons également le cas du changement de variable. La position dépend alors d'un autre jeu de coordonnées \(y \in \setR^n\) :

\[r = \sigma(y)\]

où \(\sigma : \setR^n \to \setR^n\). Nous définissons les vecteurs fondamentaux \(e_i\) et \(e^i\) au moyen de ces fonctions :

\( e_i(x) = \deriveepartielle{\rho}{x^i}(x) \)

\( e^i(y) = \deriveepartielle{\sigma}{y_i}(y) \)

de telle sorte que :

\[dr = \sum_i e_i \ dx^i = \sum_i e^i \ dy_i\]

Nous supposons que \((e_1, ..., e_n)\) et \((e^1, ..., e^n)\) sont des bases de \(E\).

3.1. Courbe

Dans le cas où \(x\) et \(y\) ne dépendent que d'un paramètre \(t \in \setR\), on a :

\[\OD{r}{t} = \sum_i e_i \ \OD{x^i}{t} = \sum_i e^i \ \OD{y_i}{t}\]

On dit alors que la position \(r\) décrit une courbe.

4. Changement de variable

Si les fonctions \(\rho\) et \(\sigma\) sont inversibles, on a :

\( x = \rho^{-1}(r) = (\rho^{-1} \circ \sigma)(y) = \phi(y) \)

\( y = \sigma^{-1}(r) = (\sigma^{-1} \circ \rho)(x) = \psi(x) \)

où nous avons implicitement défini \(\phi = \rho^{-1} \circ \sigma\) et \(\psi = \sigma^{-1} \circ \rho\). Nous notons \(\deriveepartielle{x^i}{y_j}\) et \(\deriveepartielle{y_i}{x^j}\) les coordonnées des dérivées de \(\phi\) et \(\psi\) suivant les bases formées par les \(e_i\) et les \(e^i\) :

\( \deriveepartielle{\phi}{y_j} = \sum_i \deriveepartielle{x^i}{y_j} \ e_i \)

\( \deriveepartielle{\psi}{x^j} = \sum_i \deriveepartielle{y_i}{x^j} \ e^i \)

La composition des dérivées nous donne les relations :

\( e_i = \sum_j \deriveepartielle{r}{y_j} \ \deriveepartielle{y_j}{x^i} = \sum_j \deriveepartielle{y_j}{x^i} \ e^j \)

\( e^i = \sum_j \deriveepartielle{r}{x^j} \ \deriveepartielle{x^j}{y_i} = \sum_j \deriveepartielle{x^j}{y_i} \ e_j \)

qui nous permettent de relier les \(e_i\) aux \(e^j\) et inversément.

5. Produit scalaire

Les produits intérieurs entre vecteurs de base se notent habituellement :

\( g_{ij} = \scalaire{e_i}{e_j} \)

\( g_i^j = \scalaire{e_i}{e^j} \)

\( g^{ij} = \scalaire{e^i}{e^j} \)

Il est clair d'après les propriétés de symétrie de ce produit que :

\( g_{ij} = g_{ji} \)

\( g^{ij} = g^{ji} \)

\( g_i^j = g_j^i \)

Le produit scalaire de deux vecteurs \(a,b\in E\) définis par :

\( a = \sum_i a^i \ e_i = \sum_i a_i \ e^i \)

\( b = \sum_i b^i \ e_i = \sum_i b_i \ e^i \)

peut s'écrire indifféremment comme :

\( \scalaire{a}{b} = \sum_{i,j} g_{ij} \ a^i \ b^j \)

\( \scalaire{a}{b} = \sum_{i,j} g^{ij} \ a_i \ b_j \)

\( \scalaire{a}{b} = \sum_{i,j} g_j^i \ a_i \ b^j \)

\( \scalaire{a}{b} = \sum_{i,j} g_i^j \ a^i \ b_j \)

Et en particulier, la longeur \(ds\) d'un changement de position \(dr\) vérifie :

\[(ds)^2 = \scalaire{dr}{dr} = \sum_{i,j} g_{ij} \ dx^i \ dx^j = \sum_{i,j} g^{ij} \ dy_i \ dy_j\]

De plus, les relations entre les vecteurs \(e_i\) et les vecteurs \(e^i\) permettent de déduire, en utilisant la linéarité du produit scalaire :

\( g_{ij} = \sum_k \deriveepartielle{y_k}{x^i} \ g_j^k = \sum_{k,l} \deriveepartielle{y_k}{x^i} \ \deriveepartielle{y_l}{x^j} \ g^{kl} \)

\( g^{ij} = \sum_k \deriveepartielle{x_k}{y^i} \ g_k^j = \sum_{k,l} \deriveepartielle{x^k}{y_i} \ \deriveepartielle{x^l}{y_j} \ g_{kl} \)

6. Dérivées primales d'un vecteur

Nous allons à présent voir comment évolue un vecteur \(a\in E\), que l'on note sous la forme :

\[a = \sum_i a^i \ e_i\]

où les coordonnées \(a^i\in\setR\) tout comme les vecteurs de base \(e_i\) dépendent des coordonnées \(x^i\). La règle de dérivation d'un produit nous donne :

\[da = \sum_i da^i \ e_i + \sum_k a^k \ de_k\]

La différentielle \(da^i\) s'obtient directement :

\[da^i = \sum_j \deriveepartielle{a^i}{x^j} \ dx^j\]

On peut suivre la même règle avec \(de_i\) :

\[de_k = \sum_j \deriveepartielle{e_k}{x^j} \ dx^j\]

Les symboles de Christoffel \(\christoffel{i}{kj}\) sont définis comme les coordonnées de \(\deriveepartielle{e_k}{x^j}\) suivant la base \((e_1, ..., e_n)\) :

\[\deriveepartielle{e_k}{x^j} = \sum_i \christoffel{i}{kj} \ e_i\]

Notons que comme :

\[\deriveepartielle{e_k}{x^j} = \dfdxdy{r}{x^j}{x^k} = \dfdxdy{r}{x^k}{x^j} = \deriveepartielle{e_j}{x^k}\]

on a la symétrie :

\[\christoffel{i}{kj} = \christoffel{i}{jk}\]

On peut évaluer ces symboles si on connait par exemple les valeurs des :

\begin{align} \scalaire{e^i}{ \deriveepartielle{e_k}{x^j} } &= \sum_m \christoffel{m}{kj} \ \scalaire{e^i}{e_m} \) \( &= \sum_m \christoffel{m}{kj} \ g^i_m \end{align}

On a alors, pour chaque choix de \(k,j\) un système linéaire à résoudre. Il suffit d'inverser la matrice \(G = (g^i_m)_{i,m}\) pour obtenir les valeurs des symboles.

La dérivation d'un vecteur \(a\in E\) s'écrit alors :

\[da = \sum_{i,j} e_i \ dx^j \ \left[ \deriveepartielle{a^i}{x^j} + \sum_k \christoffel{i}{kj} \ a^k \right]\]

On définit les coordonnées :

\[\gradient_j a^i = \deriveepartielle{a^i}{x^j} + \sum_k \christoffel{i}{kj} \ a^k\]

Dans le cas où les coordonnées dépendent d'un paramètre \(t\in\setR\), on a :

\begin{align} \OD{a}{t} &= \sum_{i,j} e_i \ \OD{x^j}{t} \ \left[ \deriveepartielle{a^i}{x^j} + \sum_k \christoffel{i}{kj} \ a^k \right] \) \( &= \sum_{i} e_i \ \left[ \OD{a^i}{t} + \sum_{j,k} \christoffel{i}{kj} \ a^k \ \OD{x^j}{t} \right] \end{align}

6.1. Dérivée seconde et géodésique

Considérons le cas :

\[a = \OD{r}{t} = \sum_i e_i \ \OD{x^i}{t}\]

Les coordonnées de \(a\) sont clairement \(a^i = \OD{x^i}{t}\) et la dérivée seconde :

\[\OOD{r}{t} = \OD{}{t}\OD{r}{t} = \OD{a}{t}\]

s'écrit :

\[\OOD{r}{t} = \sum_{i} e_i \ \left[ \OOD{x^i}{t} + \sum_{j,k} \christoffel{i}{kj} \ \OD{x^k}{t}\ \OD{x^j}{t} \right]\]

Les courbes \(x^i = x^i(t)\) vérifiant \(\OOD{r}{t} = 0\) sont appelées des géodésiques.

7. Dérivées duales d'un vecteur

Nous allons recommencer le même processus, écrivant cette fois \(a\in E\) sous la forme :

\[a = \sum_i a_i \ e^i\]

Les coordonnées \(a_i\in\setR\) tout comme les vecteurs de base \(e^i\) dépendent des coordonnées \(y_i\). En suivant la même méthode que ci-dessus, on obtient :

\[da = \sum_{i,j} e^i \ dy_j \left[ \deriveepartielle{a_i}{y_j} + \sum_k \christoffel{kj}{i} \ a_k \right]\]

où l'on a introduit de nouveaux symboles de Christoffel, définis par :

\[\deriveepartielle{e^k}{y_j} = \sum_i \christoffel{kj}{i} \ e^i\]

Ces nouveaux symboles présentent la symétrie :

\[\christoffel{kj}{i} = \christoffel{jk}{i}\]

8. Dérivées d'un tenseur

On étend simplement la notion de dérivée aux tenseurs en appliquant la formule :

\[d(a \otimes b) = da \otimes b + a \otimes db\]

où \(a\) et \(b\) sont deux tenseurs d'ordre quelconque. Par exemple, pour le tenseur :

\[T = \sum_{i,j} T^i_j \ e_i \otimes e^j\]

on a :

\[dT = \sum_{i,j} \left[ dT^i_j \ e_i \otimes e^j + T^i_j \ de_i \otimes e^j + T^i_j \ e_i \otimes de^j \right]\]

qui devient, en introduisant les symboles de Christoffel :

\[dT = \sum_{i,j} e_i \otimes e^j \left[ dT^i_j + \sum_{k,m} \christoffel{i}{mk} \ T^m_j \ dx^k + \sum_{k,m} \christoffel{mk}{j} \ T^i_m \ dy_k \right]\]

9. Produit scalaire et symboles de Christoffel

Lorsqu'on différentie les \(g_{ij}\), on obtient :

\begin{align} dg_{ij} &= \scalaire{de_i}{e_j} + \scalaire{e_i}{de_j} \) \( &= \sum_{k,l} \christoffel{k}{il} \ g_{kj} \ dx^l + \sum_{k,l} \christoffel{k}{jl} \ g_{ik} \ dx^l \end{align}

On en déduit que :

\[\deriveepartielle{g_{ij}}{x^l} = \sum_k \christoffel{k}{il} \ g_{kj} + \sum_k \christoffel{k}{jl} \ g_{ik}\]

Définissons :

\[\gamma_{ijl} = \sum_k \christoffel{k}{il} \ g_{kj}\]

Les propriétés de symétrie des symboles de Christoffel nous montrent que :

\[\gamma_{ijl} = \gamma_{ilj}\]

Et comme (changement de l'indice \(l\) en \(k\)) :

\[\deriveepartielle{g_{ij}}{x^k} = \gamma_{ijk} + \gamma_{jik}\]

On en déduit :

\begin{align} \deriveepartielle{g_{ij}}{x^k} + \deriveepartielle{g_{jk}}{x^i} - \deriveepartielle{g_{ki}}{x^j} &= 2 \ \gamma_{jik} \) \( &= 2 \sum_l \christoffel{l}{jk} \ g_{li} \end{align}

AFAIRE : LA FIN DU CHAPITRE EST A DÉBROUILLONNER

10. Bases biorthonormées

10.1. produit scalaire

Nous considérons tout au long de cette section le cas particulier où les bases sont biorthonormées, c'est-à-dire :

\[g_i^j = \indicatrice_i^j\]

On déduit des relations liant les \(g^{ij},g_{ij}\) aux \(g_i^j\) que :

\( g_{ik} g^{kj} = \sum_{k,l,m} \deriveepartielle{y_l}{x^i}\deriveepartielle{x^m}{y_k} g_k^l g_m^j \)

\( g_{ik} g^{kj} = \sum_{k,l,m} \deriveepartielle{y_l}{x^i}\deriveepartielle{x^m}{y_k} \indicatrice_k^l \indicatrice_m^j \)

\( g_{ik} g^{kj} = \sum_{k} \deriveepartielle{y_k}{x^i}\deriveepartielle{x^j}{y_k} \)

\( g_{ik} g^{kj} = \deriveepartielle{x^i}{x^j} = \indicatrice_i^j \)

On aurait de même :

\[g^{ik} g_{kj} = \indicatrice_j^i\]

10.2. Coordonnées

Les coordonnées d'un tenseur de la forme :

\[T = \sum_{i,j,k,l} T_{i...j}^{k...l} e^i \otimes ... \otimes e^j \otimes e_k \otimes ... \otimes e_l\]

où il y a \(m\) indices \(i...j\) et \(n\) indices \(k...l\) s'obtiennent facilement en utilisant la contraction double :

\[T_{i...j}^{k...l} = \dblecont{e_j \otimes ... \otimes e_i}{m}{T}{n}{e^l \otimes ... \otimes e^k}\]

11. Dérivées des changements de variable

\( \deriveepartielle{x^i}{y_j} = \scalaire{e_i}{ \deriveepartielle{\phi}{y_j} } \)

\( \deriveepartielle{y_i}{x^j} = \scalaire{e^i}{ \deriveepartielle{\psi}{x^j} } \)

11.1. Christoffel

Tenant compte de cette identité, l'équation reliant les symboles de Christoffel aux produits scalaires devient :

\[\christoffel{m}{jk} = \frac{1}{2}\sum_i g^{im}\left[\deriveepartielle{g_{ij}}{x^k} + \deriveepartielle{g_{jk}}{x^i} - \deriveepartielle{g_{ki}}{x^j}\right]\]

11.2. Dérivée d'un vecteur

La relation :

\[d\scalaire{e^i}{e_j} = d\indicatrice_i^j = 0\]

nous conduit à :

\( \scalaire{de^i}{e_j}+\scalaire{e^i}{de_j} = 0 \)

\( \sum_{k,l} \christoffel{ik}{l} \scalaire{e^l}{e_j} dy_k + \sum_{k,l} \christoffel{l}{jk} \scalaire{e^i}{e_l} dx^k = 0 \)

\( \sum_k \christoffel{ik}{l} dy_k = - \sum_k \christoffel{l}{jk} dx^m \)

Par ailleurs :

\[da_i = \deriveepartielle{a_i}{y_j} dy_j = \deriveepartielle{a_i}{x^j} dx^j\]

On peut donc réexprimer la dérivée duale comme :

\[da = \sum_{i,j} e^i dx^j \left[ \deriveepartielle{a_i}{x^j} - \sum_k \christoffel{k}{ij} a_k \right]\]

11.3. Gradient

On peut également définir le gradient d'un vecteur par :

\[\gradient a = \sum_{i,j} \gradient_j a^i e_i \otimes e^j\]

de telle sorte que l'on ait :

\[da = \scalaire{\gradient a}{dr} = \gradient a \cdot dr\]

11.4. Dérivée d'un tenseur

\[dT = \sum_{i,j,k} e_i \otimes e^j dx^k \left[ \deriveepartielle{T^i_j}{x^k} + \sum_m \christoffel{i}{mk} T^m_j - \sum_m \christoffel{m}{jk} T^i_m \right]\]

On définit alors les coordonnées :

\[\gradient_k T^i_j = \deriveepartielle{T^i_j}{x^k} + \sum_m \christoffel{i}{mk} T^m_j - \sum_m \christoffel{m}{jk} T^i_m\]

11.5. Tenseur de courbure

Appliquons la formule de dérivation des coordonnées d'un tenseur dans le cas particulier où :

\[T^i_j = \gradient_j a^i\]

On a :

\( \deriveepartielle{T^i_j}{x^k} = \dfdxdy{a^i}{x^j}{x^k}

∑_m \christoffel{i}{jm} \deriveepartielle{a^m}{x^k}
∑_m \deriveepartielle{}{x^k}\christoffel{i}{jm} a^m \\ \)

∑_l \christoffel{i}{kl} T^l_j = ∑_l \christoffel{i}{kl} \deriveepartielle{a^i}{x^j} + ∑_l,m \christoffel{i}{kl} \christoffel{l}{jm} a^m \\ \)

-∑_l \christoffel{l}{jk} Tⁱ_l = -∑_l \christoffel{l}{jk} \deriveepartielle{a^i}{x^l} - ∑_l,m \christoffel{l}{jk} \christoffel{i}{lm} a^m \)

La somme de tous ces termes vaut \(\gradient_k T^i_j = \gradient_k \gradient_j a^i\). En interchangeant les indices \(j\) et \(k\), on obtient \(\gradient_j \gradient_k a^i\). On en déduit, en utilisant les propriétés de symétrie que :

\[\gradient_k \gradient_j a^i - \gradient_j \gradient_k a^i = \sum_m R^i_{m,kj} a^m\]

où les \(R_{...}^{...}\) sont définis par :

\[R^i_{m,kj} = \deriveepartielle{}{x^k}\christoffel{i}{jm} - \deriveepartielle{}{x^j}\christoffel{i}{km} + \sum_l \christoffel{i}{kl}\christoffel{l}{jm} - \sum_l \christoffel{i}{jl}\christoffel{l}{km}\]

Ce sont les coordonnées du tenseur de courbure de Riemann-Christoffel.